Product Order Relatively Prime Graph — PORP grafi, chekli guruh elementlarini uchlar sifatida oladigan va ikki xil guruh elementi orasidagi qoʻshnilikni elementlarning tartiblari bilan ularning koʻpaytmasi tartibi orasidagi oʻzaro tub shartiga koʻra aniqlaydigan algebraik grafdir. Ushbu nazariy tadqiqot tub \(p\) va \(\alpha\geq1\) uchun siklik \(p\)-guruh \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) ning PORP grafi \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) da oltita topologik indeksni oʻrganadi: birinchi Zagreb, ikkinchi Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary va Hyper-Wiener indekslari. Usul avvaldan maʼlum graf tuzilmasi va darajalar ketma-ketligidan foydalanish, qirralarni uchlaridagi daraja juftliklariga koʻra tasniflash va uchlar juftlarining masofa taqsimotidan foydalanib indekslarni yopiq shaklda hisoblashdan iborat. Tadqiqot eksperimental emas; maʼlumotlar toʻplami, tanlanma, simulyatsiya yoki statistik testni oʻz ichiga olmaydi.

Maqolaning asosiy strukturaviy natijasi shuki, \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) grafi \(p\) toq tub boʻlganda bitta universal uch \((p^\alpha-1)/2\) ta \(K_2\) komponentining barcha uchlariga ulangan tuzilma; \(p=2\) boʻlganda esa bitta universal uch \((2^\alpha-2)/2\) ta \(K_2\) va qoʻshimcha bitta \(K_1\) ga ulangan tuzilma sifatida ifodalanishi mumkin. Ushbu maxsus tuzilma daraja-asosli indekslarni qirra sinflari orqali, masofa-asosli indekslarni esa faqat 1 va 2 masofalaridan hisoblash imkonini beradi.

Mualliflar ushbu tuzilmadan kelib chiqib, oltita indeks uchun \(p\) toq tub va \(p=2\) hollarini alohida koʻrib chiqadigan yopiq formulalarni beradi. Biroq manba matnida ayrim matematik izchillik muammolari mavjud: \(p=2\) darajalar ketma-ketligidagi takrorlanish soni, \(p=2\) Forgotten indeksi va \(p=2\) Harary indeksi maqolaning oʻzidagi avvalgi taʼrif va hisoblar bilan toʻliq mos kelmaydi. Verianla bu formulalarni jim tarzda oʻzgartirmaydi; chop etilgan natijani aynan yetkazadi va manba ichidagi algebraik tekshiruvni alohida koʻrsatadi.

Siklik p-guruh nima?

Siklik guruh, barcha elementlari bitta elementning darajalaridan hosil qilinishi mumkin boʻlgan guruhdir. Tadqiqotda oʻrganilayotgan tuzilma

\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]

bilan belgilanadi. Bu yerda \(p\) tub son, \(\alpha\geq1\) butun son boʻlib, guruh elementlari soni, yaʼni guruh tartibi \(p^\alpha\) ga teng.

Masalan, \(p=3\) va \(\alpha=2\) tanlansa, guruh tartibi \(3^2=9\) boʻladi. Bu misol faqat belgilash nimani anglatishini tushuntirish uchundir; manba maqola muayyan \(p\) va \(\alpha\) qiymatlaridan iborat sonli tajriba oʻtkazmaydi.

Guruh elementining tartibi nima?

Manba \(G\) chekli guruh va \(a\in G\) boʻlganda element tartibini \(o(a)\) bilan belgilaydi. \(o(a)\),

\[ a^n=e \]

tenglikni qanoatlantiradigan eng kichik musbat \(n\) butun sondir. Bu yerdagi \(e\) guruhning birlik elementidir.

Boshqacha aytganda, guruh elementini oʻzi bilan ketma-ket koʻpaytirganda birinchi marta qaysi musbat darajada birlik elementiga qaytishimiz oʻsha elementning tartibini belgilaydi.

PORP grafida qoʻshnilik qanday aniqlanadi?

Manbada chekli \(G\) guruhining PORP grafi

\[ \Gamma_{porp}(G) \]

bilan belgilanadi va uchlar toʻplami bevosita guruh elementlaridan tashkil topadi:

\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]

Bir-biridan farqli \(a,b\in G\) uchlari, manba taʼrifiga koʻra, faqat va faqat

\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]

shartlaridan kamida biri bajarilsa, qoʻshni boʻladi.

Bu yerdagi \((x,y)=1\) belgisi tegishli ikki musbat butun sonning umumiy boʻluvchisi faqat 1 boʻlishi, yaʼni sonlarning oʻzaro tub boʻlishi maʼnosida ishlatiladi. Demak, PORP grafida qirraning mavjudligi faqat ikki elementning oʻziga emas, ularning tartiblariga va \(ab\) koʻpaytmasining tartibiga ham bogʻliq.

Graf, uch, qirra va daraja nimani anglatadi?

Graf \(\Gamma\), uchlar toʻplami \(V(\Gamma)\) va qirralar toʻplami \(E(\Gamma)\) bilan ifodalanadi. \(v\) uchining darajasi

\[ d(v) \]

bilan belgilanadi va \(v\) ga tutash qirralar sonidir.

Ikki \(u\) va \(v\) uchlari orasidagi masofa esa

\[ d(u,v) \]

bilan belgilanadi va ushbu ikki uchni bogʻlaydigan eng qisqa yoʻldagi qirralar sonidir. Manba maqoladagi ikki indeks oilasining asosiy farqi shundan kelib chiqadi:

• Daraja-asosli indekslar, qirralar uchlaridagi \(d(u)\) va \(d(v)\) qiymatlaridan foydalanadi.
• Masofa-asosli indekslar, uchlar juftlari orasidagi \(d(u,v)\) qiymatlaridan foydalanadi.

Topologik indeks nima?

Ushbu maqoladagi “topologik indeks” iborasi grafning strukturaviy xususiyatlarini bitta son bilan umumlashtiradigan graf invarianti maʼnosida ishlatiladi. Bu qoʻllanish umumiy topologiya fanidagi “topologik fazo” tushunchasi bilan chalkashtirilmasligi kerak.

Graf qayta nomlansa, ammo bogʻlanish tuzilmasi oʻzgarmasa, bunday indekslarning qiymati oʻzgarmaydi. Shu sababli indekslardan turli graf oilalarining strukturaviy xususiyatlarini taqqoslash uchun foydalanish mumkin.

Teorema 2.1 graf tuzilmasi haqida nima deydi?

Manba, \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), \(p\) tub va \(\alpha\geq1\) boʻlganda:

\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]

Bu yerdagi belgilarni birma-bir ochib koʻrsatish kerak.

• \(K_1\): bitta uchli graf.
• \(K_2\): ikki uchi bitta qirra bilan bogʻlangan toʻliq graf.
• \(mK_2\): bir-biridan ajralgan \(m\) ta \(K_2\) nusxasi.
• \(\cup\): bu yerda komponentlarning birlashmasini bildiradi.
• \(\vee\): ikki grafning join amali; ikki graf oʻz ichki tuzilmasini saqlagan holda birinchi grafning har bir uchi ikkinchi grafning har bir uchiga ulanadi.

Shu sababli formuladagi tashqi \(K_1\), ikkinchi qismdagi barcha uchlarga ulanadigan universal uch ga aylanadi.

Bu tuzilma hisoblashlarni nega osonlashtiradi?

Graf markazidagi \(K_1\) barcha boshqa uchlarga ulangan. Shuning uchun markaziy uchning darajasi grafdagi boshqa barcha uchlar soniga teng. Bundan tashqari, markazdan tashqaridagi uchlar odatda \(K_2\) juftlari ichida bitta qoʻshniga va markaziy uchga ulanganligi sababli darajasi 2 ga teng.

Bu tartib graf qirralarini faqat bir nechta turli daraja juftlari boʻyicha tasniflash imkonini beradi. Yaʼni minglab yoki millionlab qirralarni bittalab yigʻish oʻrniga “shu daraja juftiga ega nechta qirra bor?” degan savolga javob berish kifoya.

Teorema 2.2 da berilgan darajalar ketma-ketligi

Manba \(p\) toq tub boʻlganda darajalar ketma-ketligini

\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]

koʻrinishida beradi va daraja 2 \(p^\alpha-1\) marta takrorlanishini bildiradi. Ushbu tuzilma jami \(p^\alpha\) ta uch beradi: bitta universal uch va \(p^\alpha-1\) ta daraja-2 uch.

\(p=2\) uchun manbada

\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]

deb yozilgan. Biroq ayni qatorda daraja 2 “\(p^\alpha-1\) marta” takrorlanishi aytiladi. Bu ifoda Teorema 2.1 va keyingi Lemma 3.1 bilan mos kelmaydi.

Teorema 2.1 ning \(p=2\) tuzilmasiga koʻra \((2^\alpha-2)/2\) ta \(K_2\), jami

\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]

ta daraja-2 uch hosil qiladi. Bunga bitta universal daraja-\((2^\alpha-1)\) uch va bitta daraja-1 uch qoʻshilsa, jami

\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]

ta uch hosil boʻladi. Shu sababli keyingi hisoblarda ishlatilgan tuzilma \(2^\alpha-2\) ta daraja-2 uch bilan mos keladi. Bu izoh manbada chop etilgan Teorema 2.2 qatorini jim tarzda tuzatish emas; ayni manbaning ikki boʻlimi nega bir-biriga mos kelmasligini koʻrsatishdir.

Qirralarni boʻlish qanday amalga oshiriladi?

Lemma 3.1 daraja-asosli indekslarni hisoblashni osonlashtirish uchun qirralarni uchlaridagi daraja juftlariga koʻra tasniflaydi.

\(p\) toq tub boʻlganda ikkita qirra sinfi mavjud:

\(p=2\) boʻlganda uchta qirra sinfi mavjud:

Bu jadval maqolaning daraja-asosli natijalarining matematik asosidir. Indeks taʼrifida har bir qirraning hissasi bittalab hisoblanish oʻrniga, bir xil daraja juftiga ega barcha qirralarning umumiy hissasi qirralar soniga koʻpaytiriladi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Birinchi Zagreb indeksi \(M_1\)

Birinchi Zagreb indeksi:

\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]

koʻrinishida taʼriflanadi.

Har bir qirra uchun ikki uchning darajalari qoʻshiladi va bu hissalar barcha qirralar boʻyicha jamlanadi. Darajalar faqat sanoq qiymatlari boʻlgani uchun indeks oʻlchovsizdir.

Manbadagi Teorema 3.1 natijasi:

\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]

Toq tub holatda, masalan, \(E_1\) sinfidagi har bir qirra

\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]

hissa qoʻshadi. Bunday qirralar \(p^\alpha-1\) ta. \(E_2\) sinfidagi har bir qirraning hissasi esa \(2+2=4\) ga teng. Maqoladagi yopiq shakl ushbu sinf yigʻindilarini soddalashtirish orqali olinadi.

Ikkinchi Zagreb indeksi \(M_2\)

Ikkinchi Zagreb indeksi darajalar yigʻindisi oʻrniga qirra uchlari darajalarining koʻpaytmasidan foydalanadi:

\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]

Manbadagi Teorema 3.2 natijasi:

\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]

Masalan, toq tub holatda \((p^\alpha-1,2)\) daraja juftiga ega qirraning hissasi

\[ 2(p^\alpha-1) \]

boʻladi. \((2,2)\) sinfidagi qirraning hissasi esa \(4\) ga teng.

Forgotten indeksi \(F\)

Forgotten indeksi qirraning ikki uchidagi darajalarning kvadratlaridan foydalanadi:

\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]

Manbaning Teorema 3.3 da chop etgan natijasi:

\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]

Forgotten indeksida manba ichidagi izchillik muammosi

\(p=2\) holatda Lemma 3.1 dagi uchinchi qirra sinfi bitta \((2^\alpha-1,1)\) daraja juftidan iborat. Forgotten taʼrifiga koʻra ushbu yagona qirraning hissasi

\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]

boʻlishi kerak.

Biroq manba isbot satrida bu hissa

\[ (2^\alpha-1)(1) \]

koʻrinishida yozilgan. Bu Forgotten indeksining kvadratlar yigʻindisi taʼrifi bilan bir xil amal emas.

Manbaning oʻz Lemma 3.1 qirra sinflarini va oʻz Forgotten taʼrifini bevosita qoʻllasak, faqat bir manba ichidagi algebraik tekshiruv sifatida quyidagi yigʻindi olinadi:

\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]

\(x=2^\alpha\) deb yozilsa:

\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]

demak

\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]

Muhim: Oxirgi ifoda maqolaning chop etilgan Teorema 3.3 natijasi emas. Verianla tomonidan faqat manbaning oʻz taʼrifi va oʻz Lemma 3.1 maʼlumotining algebraik izchilligini koʻrsatish uchun hisoblangan. Maqolada chop etilgan ifoda \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\) dir.

Masofa-asosli indekslar nega faqat ikki masofa bilan hisoblanishi mumkin?

Teorema 2.1 dagi join tuzilmasi sababli markazdagi universal uch barcha boshqa uchlarga qoʻshni. Shu bois ikki uch bevosita qoʻshni boʻlmasa ham universal uch orqali koʻpi bilan ikki qadamda bir-biriga yetishi mumkin.

Shu sababli manba graf diametrini 2 deb oladi. Tartiblanmagan turli uchlar juftlari faqat:

• masofa 1,
• masofa 2

holatlaridan birida boʻladi.

Manba:

• \(N_1\): masofasi 1 boʻlgan tartiblanmagan uchlar juftlari soni,
• \(N_2\): masofasi 2 boʻlgan tartiblanmagan uchlar juftlari soni

koʻrinishida ikki sonni aniqlaydi.

Toq tub p uchun masofa taqsimoti

Manba:

\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]

va

\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]

qiymatlaridan foydalanadi.

\(N_1\) ayni paytda qirralar sonidir; chunki masofasi 1 boʻlgan uchlar juftlari aynan bevosita qoʻshni uchlar juftlaridir.

p=2 uchun masofa taqsimoti

Manba:

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]

va

\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

qiymatlarini beradi.

Wiener indeksi \(W\)

Wiener indeksi barcha tartiblanmagan uchlar juftlarining eng qisqa yoʻl masofalarini yigʻadi:

\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]

Grafdagi barcha masofalar 1 yoki 2 boʻlgani uchun:

\[ W=N_1+2N_2. \]

Manbadagi Teorema 3.4 natijasi:

\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Bu yerda masofasi 2 boʻlgan uchlar jufti yigʻindiga ikki birlik hissa qoʻshsa, masofasi 1 boʻlgan juft bir birlik hissa qoʻshadi.

Harary indeksi \(H\)

Harary indeksi masofaning oʻzini emas, uning teskarisini yigʻadi:

\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]

Ushbu graf oilasida masofalar faqat 1 va 2 boʻlgani uchun:

\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]

Manbaning Teorema 3.5 da chop etgan formulasi:

\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]

Harary indeksida manba ichidagi ishora nomuvofiqligi

Manba ayni boʻlimda bergan

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

qiymatlarini oʻzining

\[ H=N_1+\frac12N_2 \]

ifodasiga bevosita qoʻysak:

\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]

Umumiy maxrajda soddalashtirish:

\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]

va demak:

\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]

Manba Teorema 3.5 da oʻrta hadni minus ishora bilan beradi. Bu yerdagi plus ishorali ifoda maqolaning yangi natijasi sifatida taqdim etilmaydi; u faqat manbada berilgan \(N_1\), \(N_2\) va Harary taʼrifining oʻzaro algebraik izchilligini tekshirishdir.

Hyper-Wiener indeksi \(WW\)

Manba Hyper-Wiener indeksini:

\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]

koʻrinishida taʼriflaydi.

Masofasi 1 boʻlgan juft uchun hissa:

\[ \frac12(1+1^2)=1, \]

masofasi 2 boʻlgan juft uchun esa:

\[ \frac12(2+2^2)=3 \]

boʻlgani sababli:

\[ WW=N_1+3N_2. \]

Manbadagi Teorema 3.6 natijasi:

\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Manbaning isbot matnida shu bosqichda bir qatorda \(WW\) oʻrniga \(W\) belgisi ishlatilgan; atrofidagi Teorema 3.6 sarlavhasi, taʼrif va \(N_1+3N_2\) munosabati bu Hyper-Wiener hisobini anglatishini koʻrsatadi. Verianla belgi farqini yashirmaydi, biroq tegishli hisobni Hyper-Wiener kontekstida tushuntiradi.

Oltita indeksning manbada chop etilgan yopiq formulalari

Indekslarning oʻsish xatti-harakati qanday oʻqilishi mumkin?

Quyidagi sharhlar manbada berilgan yopiq formulalarning matematik xatti-harakatini tushuntirish uchun; ular yangi tajriba natijasi emas.

\(x=p^\alpha\) deb yozilsa, toq tub holatda:

• \(M_1=(x-1)(x+3)\), yetakchi had \(x^2\) dir.
• \(M_2=2x(x-1)\), yetakchi had \(2x^2\) dir.
• \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), yetakchi had \(x^3\) dir.
• \(W=(x-1)(2x-3)/2\), yetakchi had \(x^2\) dir.
• \(H=(x-1)(x+3)/4\), yetakchi had \(x^2/4\) dir.
• \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), yetakchi had \(3x^2/2\) dir.

Bu farq, ayniqsa Forgotten indeksining daraja kvadratlarini yigʻishi natijasida yuzaga keladigan yuqori tartibli oʻsishni tushuntirishga yordam beradi. Biroq oʻsish tartibi indekslarning “yaxshiroq” yoki “yomonroq” ekanini anglatmaydi; faqat turli strukturaviy xususiyatlarni turli ogʻirliklar bilan umumlashtirishini koʻrsatadi.

Tadqiqotning asosiy matematik usuli bosqichma-bosqich

1. Siklik \(p\)-guruh \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) tanlanadi.
2. Avval olingan PORP graf tuzilmasi Teorema 2.1 orqali ishlatiladi.
3. Grafning darajalar ketma-ketligi aniqlanadi.
4. Daraja-asosli indekslar uchun qirralar \((d(u),d(v))\) juftlariga koʻra tasniflanadi.
5. Har bir qirra sinfida nechta element borligi sanaladi.
6. Birinchi Zagreb, ikkinchi Zagreb va Forgotten indekslarining har bir qirra hissasi hisoblanib, sinf oʻlchamlari bilan koʻpaytiriladi.
7. Masofa-asosli indekslar uchun graf diametri 2 ekanidan foydalaniladi.
8. Masofasi 1 boʻlgan juftlar soni \(N_1\), masofasi 2 boʻlgan juftlar soni \(N_2\) sifatida hisoblanadi.
9. \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) va \(WW=N_1+3N_2\) munosabatlaridan foydalanib yopiq formulalar olinadi.
10. \(p\) toq tub va \(p=2\) tuzilmalari alohida baholanadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar

• \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) uchun daraja-asosli va masofa-asosli indekslarni strukturaviy graf maʼlumotidan foydalanib yopiq koʻrinishda hisoblash mumkinligi koʻrsatiladi.
• Birinchi Zagreb, ikkinchi Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary va Hyper-Wiener indekslari uchun ochiq formulalar chop etiladi.
• Qirralarni boʻlish daraja-asosli indekslarni bevosita yigʻish oʻrniga sinf boʻyicha hisoblash imkonini beradi.
• Graf diametrining 2 boʻlishi masofa-asosli indekslarni faqat \(N_1\) va \(N_2\) sonlariga keltiradi.
• Toq tub \(p\) va \(p=2\) holatlarining graf tuzilmalari farq qilgani sababli formulalar ikki alohida holat uchun beriladi.
• Natijalar PORP graflarini boshqa chekli guruh sinflarida oʻrganishga asos boʻlishi mumkin boʻlgan nazariy tuzilma beradi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natijalar

• Tadqiqot jismoniy, kimyoviy yoki biologik tizimda tajriba oʻtkazmaydi.
• Topologik indekslar muayyan real dunyo samaradorligini bashorat qilishi ushbu maqolada sinovdan oʻtkazilmagan.
• Maqola algoritmik vaqt murakkabligi yoki kompyuter ishlash vaqti boʻyicha taqqoslash bermaydi.
• Sonli simulyatsiya, dasturiy taʼminot tasdigʻi yoki kompyuter yordamidagi ramziy tekshiruv hisobot qilinmagan.
• Formulalar barcha chekli guruh sinflari uchun amal qilishi koʻrsatilmagan; tadqiqot siklik \(p\)-guruhlar bilan cheklangan.
• Manbadagi \(p=2\) Forgotten va Harary formula nomuvofiqliklari mustaqil tuzatish/erratum chop etilgandek talqin qilinmasligi kerak.

Manba ichidagi izchillik muammolarining qisqacha bayoni

Tadqiqotning asosiy cheklovlari

Bitta graf oilasi: Natijalar \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) uchun keltirib chiqarilgan. Boshqa chekli guruh turlariga avtomatik qoʻllanmaydi.

Avvalgi strukturaviy natijalarga bogʻliqlik: Teorema 2.1 va Teorema 2.2 mualliflarning avvalgi PORP tadqiqotidagi natijalarga asoslanadi. Hozirgi konferensiya maqolasi bu asosiy tuzilmalarni boshidan qayta isbotlamaydi.

Manba ichidagi algebra/yozuv muammolari: Ayniqsa \(p=2\) holatda ayrim ifodalar bir-biri bilan nomuvofiq. Bu holat tegishli formulalarni ishlatishda mustaqil matematik tekshiruvni talab qiladi.

Hisoblash orqali tasdiqlash yoʻq: Manbada SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python yoki boshqa ramziy/graf hisoblash vositasi orqali olingan tasdiq berilmagan.

Adabiyotlar roʻyxati toʻliq emas: Matnda havola qilingan [11] va [12] manbalari chop etilgan manbalar roʻyxatida yoʻq.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups

Mualliflar: R. Ponraj; T. Sutharson.

Mualliflar tartibi: R. Ponraj birinchi, T. Sutharson ikkinchi muallif.

R. Ponraj affiliatsiyasi: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.

T. Sutharson affiliatsiyasi: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; manbada shuningdek Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India affiliatsiyasi koʻrsatilgan.

Corresponding author: Manbada aniq koʻrsatilmagan.

Teng hissa / teng birinchi mualliflik: Manbada bildirilmagan.

2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.

Manba turi: Nazariy matematika tadqiqot maqolasi; konferensiya materiallari kitobida chop etilgan.

Platforma: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).

Maqola sahifalari: Konferensiya materiallari kitobidagi 1–6-sahifalar; yuklangan PDFning 11–16-sahifalari.

ISBN: 978-81-688512-8-3.

Manbada berilgan DOI: 10.65647/msp/132/2026.

DOI holati: Ayni DOI konferensiya materiallari kitobidagi boshqa maqolalarning sahifa pastlarida ham takrorlanganligi sababli manba uni ushbu maqolaga xos mustaqil DOI sifatida aniq ajratmaydi. Verianla tomonidan alohida maqola DOI si yaratilmagan.

Nashr: First Edition.

Nashr sanasi: August 2026.

Konferensiya sanasi boʻyicha manba ichidagi farq: Jild ICAMRI – 2026 va August 2026 nashri sifatida berilgan boʻlsa-da, konferensiya tashkiloti sahifasida 15th August 2025 sanasi koʻrsatilgan.

Tashkilot: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.

Akademik hamkorlik: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.

Taqriz: Konferensiya materiallari kitobining soʻzboshisi jilddagi har bir qoʻlyozma tajribali taqrizchilar va soha mutaxassislaridan iborat panel tomonidan rigorous peer-review process doirasida baholanganini bayon qiladi. Bu konferensiya kitobining oʻz bayonotidir; tadqiqot taqrizli jurnal maqolasi sifatida tasniflanmagan.

Litsenziya / mualliflik huquqi: Manba “All Rights Reserved” va © Publisher iboralarini oʻz ichiga oladi. Ochiq Creative Commons litsenziyasi koʻrsatilmagan.

Nashriyot aloqasi: Manbada Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org va www.multispectrum.org maʼlumotlari berilgan.

Rasmiy havola: Manbada nashriyot sayti sifatida https://www.multispectrum.org koʻrsatilgan. Ushbu maqolaga xos alohida rasmiy maqola URL si PDFda berilmagan.

Kalit soʻzlar: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.

Ilmiy soha: Graf nazariyasi va chekli guruh nazariyasi orasidagi algebraik graf tadqiqotlari.

Tadqiqot usuli: Sof nazariy/analitik matematika. Avvaldan maʼlum PORP graf tuzilmasi va darajalar ketma-ketligidan foydalanib, qirralarni boʻlish va masofa taqsimoti orqali yopiq formulalar keltirib chiqarilgan.

Tajriba: Mavjud emas.

Tanlanma / maʼlumotlar toʻplami: Mavjud emas.

Nazorat guruhi: Qoʻllanilmaydi.

Dasturiy taʼminot: Manbada matematika yoki graf dasturiy vositasi haqida maʼlumot berilmagan.

Statistik usul: Mavjud emas.

Asosiy matematik obyekt: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).

Parametrlar: \(p\) tub son; \(\alpha\geq1\).

Asosiy strukturaviy vositalar: Teorema 2.1 dagi graf izomorfizmi, Teorema 2.2 dagi darajalar ketma-ketligi, Lemma 3.1 dagi qirralarni boʻlish va Teorema 3.4 da ishlatilgan masofa taqsimoti.

Hisoblangan indekslar: Birinchi Zagreb \(M_1\), ikkinchi Zagreb \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).

Formula izchilligi boʻyicha izoh: Manbada \(p=2\) uchun Teorema 2.2 dagi takrorlanish soni, Teorema 3.3 Forgotten formulasi va Teorema 3.5 Harary formulasi avvalgi manba ichidagi taʼrif yoki hisoblar bilan mos kelmaydi. Verianla chop etilgan natijalarni oʻzgartirmagan; izchillik hisobini alohida koʻrsatgan.

Adabiyotlar boʻyicha izoh: Kirish boʻlimida [11] va [12] raqamli ishlarga havola berilgan boʻlsa-da, chop etilgan olti sahifalik maqolaning manbalar roʻyxati [10] bilan tugaydi. Yetishmayotgan bibliografik maʼlumotlar taxmin bilan toʻldirilmagan.

Moliyalashtirish: Alohida moliyalashtirish bayonoti mavjud emas.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Alohida manfaatlar toʻqnashuvi bayonoti mavjud emas.

Maʼlumotlar mavjudligi: Tadqiqot nazariy matematika maqolasi; alohida maʼlumotlar toʻplami hisobot qilinmagan va alohida data availability statement mavjud emas.

Etika qoʻmitasi: Tadqiqot inson, hayvon yoki klinik namuna ishtirok etmaydigan nazariy matematika tadqiqotidir; manbada alohida etika qoʻmitasi bayonoti mavjud emas.

Muallif hissalari / CRediT: Manbada alohida muallif hissasi bayonoti mavjud emas.

Vizual qayta qurish: Manbada original shakl mavjud emas. Teorema 2.1 ning ochiq ramziy graf tuzilmasi Verianla uchun masshtabsiz va manbadan keltirib chiqarilgan inline SVG sxemasi sifatida qayta ifodalangan.

Asosiy talqin chegarasi: Tadqiqot natijalari siklik \(p\)-guruhlarning PORP grafi uchun nazariy graf invariantlaridir. Ular real dunyo tajriba natijasi, jismoniy oʻlchov, bashorat aniqligi yoki amaliy ishlash samaradorligi sifatida talqin qilinmasligi kerak. Manbadagi matematik nomuvofiqliklar sababli, ayniqsa \(p=2\) Forgotten va Harary ifodalari ishlatilishidan oldin mustaqil matematik tekshiruv talab etiladi.