Product Order Relatively Prime Graph — PORP графы, чектүү топтун элементтерин чоку катары алып, эки башка топ элементинин ортосундагы коңшулукту элементтердин тартиптери менен алардын көбөйтүндүсүнүн тартибинин өз ара жөнөкөйлүк шарты боюнча аныктаган алгебралык граф. Бул теориялык изилдөө жөнөкөй \(p\) жана \(\alpha\geq1\) үчүн циклдик \(p\)-топ \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) PORP графында \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) алты топологиялык индексти карайт: биринчи Zagreb, экинчи Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary жана Hyper-Wiener индекстери. Ыкма мурда белгилүү болгон граф түзүмүн жана даражалар тизмегин колдонуу, кырларды уч чокуларынын даража жуптары боюнча классификациялоо жана чоку жуптарынын аралык бөлүштүрүлүшүн колдонуп индекстерди жабык түрдө эсептөөдөн турат. Изилдөө эксперименттик эмес; маалымат топтому, тандалма, симуляция же статистикалык тест камтылбайт.

Макаланын негизги түзүмдүк жыйынтыгы — \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) графын \(p\) так жөнөкөй болгондо бир универсал чоку \((p^\alpha-1)/2\) даана \(K_2\) компонентинин бардык чокуларына туташкан түзүм; \(p=2\) болгондо болсо бир универсал чоку \((2^\alpha-2)/2\) даана \(K_2\) жана кошумча бир \(K_1\) менен туташкан түзүм катары көрсөтүүгө болот. Бул өзгөчө түзүм даражага негизделген индекстерди кыр класстары аркылуу, ал эми аралыкка негизделген индекстерди болгону 1 жана 2 аралыктарынан эсептөөгө мүмкүндүк берет.

Авторлор ушул түзүмдүн негизинде алты индекс үчүн \(p\) так жөнөкөй жана \(p=2\) учурларын өзүнчө караган жабык формулаларды беришет. Бирок булак текстинде айрым математикалык шайкештик көйгөйлөрү бар: \(p=2\) даражалар тизмегиндеги кайталануу саны, \(p=2\) Forgotten индекси жана \(p=2\) Harary индекси макаланын өзүндөгү мурунку аныктамалар жана эсептөөлөр менен толук шайкеш келбейт. Verianla бул формулаларды үнсүз өзгөртпөйт; жарыяланган жыйынтыкты так берет жана булак ичиндеги алгебралык текшерүүнү өзүнчө көрсөтөт.

Циклдик p-топ деген эмне?

Циклдик топ, бардык элементтери бир эле элементтин даражаларынан түзүлө турган топ. Изилдөөдө каралган түзүм

\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]

менен белгиленет. Бул жерде \(p\) жөнөкөй сан, \(\alpha\geq1\) бүтүн сан, ал эми топтогу элементтердин саны, башкача айтканда топтун тартиби \(p^\alpha\) га барабар.

Мисалы, \(p=3\) жана \(\alpha=2\) тандалса, топтун тартиби \(3^2=9\) болот. Бул мисал белгилөө эмнени билдирерин түшүндүрүү үчүн гана берилген; булак макала белгилүү \(p\) жана \(\alpha\) маанилеринен турган сандык эксперимент жүргүзбөйт.

Топ элементинин тартиби деген эмне?

Булак \(G\) чектүү топ жана \(a\in G\) болгондо элементтин тартибин \(o(a)\) менен белгилейт. \(o(a)\),

\[ a^n=e \]

теңдигин канааттандырган эң кичине оң \(n\) бүтүн саны. Бул жердеги \(e\) топтун бирдик элементи.

Башкача айтканда, топ элементин өзү менен удаалаш көбөйткөндө биринчи жолу кайсы оң даражада бирдик элементке кайтып келерибиз ошол элементтин тартибин аныктайт.

PORP графында коңшулук кантип аныкталат?

Булакта чектүү \(G\) тобунун PORP графы

\[ \Gamma_{porp}(G) \]

менен белгиленет жана чокулар жыйындысы түздөн-түз топтун элементтеринен турат:

\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]

Бири-биринен айырмаланган \(a,b\in G\) чокулары, булактагы аныктамага ылайык, эгер жана болгону эгер

\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]

шарттарынын жок дегенде бири аткарылса коңшу болот.

Бул жердеги \((x,y)=1\) белгилөөсү тиешелүү эки оң бүтүн сандын жалпы бөлүүчүсү 1 гана болушун, башкача айтканда сандардын өз ара жөнөкөй болушун билдирет. Демек, PORP графында кырдын болушу эки элементтин өзүнө гана эмес, алардын тартиптерине жана \(ab\) көбөйтүндүсүнүн тартибине да көз каранды.

Граф, чоку, кыр жана даража деген эмне?

Граф \(\Gamma\), чокулар жыйындысы \(V(\Gamma)\) жана кырлар жыйындысы \(E(\Gamma)\) менен берилет. \(v\) чокусунун даражасы

\[ d(v) \]

менен белгиленет жана \(v\) менен байланышкан кырлардын саны.

Эки \(u\) жана \(v\) чокусунун ортосундагы аралык болсо

\[ d(u,v) \]

менен белгиленет жана бул эки чокуну бириктирген эң кыска жолдогу кырлардын саны. Булак макаладагы эки индекс үй-бүлөсүнүн негизги айырмасы ушундан келип чыгат:

• Даражага негизделген индекстер, кырлардын учтарындагы \(d(u)\) жана \(d(v)\) маанилерин колдонушат.
• Аралыкка негизделген индекстер, чоку жуптарынын ортосундагы \(d(u,v)\) маанилерин колдонушат.

Топологиялык индекс деген эмне?

Бул макаладагы “топологиялык индекс” деген сөз айкашы графтын түзүмдүк касиеттерин бир сан менен жыйынтыктаган граф инварианты маанисинде колдонулат. Бул колдонуу жалпы топологиядагы “топологиялык мейкиндик” түшүнүгү менен чаташтырылбашы керек.

Графтын аталыштары өзгөртүлүп, бирок байланыш түзүмү өзгөрбөсө, мындай индекстердин мааниси өзгөрбөйт. Ошондуктан индекстер ар башка граф үй-бүлөлөрүнүн түзүмдүк касиеттерин салыштыруу үчүн колдонулушу мүмкүн.

Теорема 2.1 графтын түзүмү жөнүндө эмне дейт?

Булак, \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), \(p\) жөнөкөй жана \(\alpha\geq1\) болгондо:

\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]

Бул жердеги белгилерди өз-өзүнчө ачып түшүндүрүү керек.

• \(K_1\): бир чокулуу граф.
• \(K_2\): эки чокусу бир кыр менен байланышкан толук граф.
• \(mK_2\): бири-биринен ажыратылган \(m\) даана \(K_2\) көчүрмөсү.
• \(\cup\): бул жерде компоненттердин биригүүсүн көрсөтөт.
• \(\vee\): эки графтын join амалы; эки граф өзүнүн ички түзүмүн сактап, биринчи графтын ар бир чокусу экинчи графтын ар бир чокусуна туташат.

Ошондуктан формуладагы тышкы \(K_1\), экинчи бөлүктөгү бардык чокуларга туташкан универсал чоку болуп калат.

Бул түзүм эсептөөлөрдү эмне үчүн жеңилдетет?

Графтын борборундагы \(K_1\) бардык башка чокуларга туташкан. Ошондуктан борбордук чокунун даражасы графтагы башка бардык чокулардын санына барабар. Мындан тышкары, борбордон тышкаркы чокулар көбүнчө \(K_2\) жуптарынын ичинде бир коңшуга жана борбордук чокуга туташкандыктан даражасы 2 болот.

Бул түзүлүш графтын кырларын бир нече гана ар башка даража жуптары боюнча классификациялоого мүмкүндүк берет. Башкача айтканда, миңдеген же миллиондогон кырларды бирден кошуунун ордуна “ушул даража жубуна ээ канча кыр бар?” деген суроого жооп берүү жетиштүү.

Теорема 2.2-де берилген даражалар тизмеги

Булак \(p\) так жөнөкөй болгондо даражалар тизмегин

\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]

түрүндө берет жана даража 2 \(p^\alpha-1\) жолу кайталанарын белгилейт. Бул түзүм жалпысынан \(p^\alpha\) чоку берет: бир универсал чоку жана \(p^\alpha-1\) даана даража-2 чоку.

\(p=2\) үчүн булакта

\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]

деп жазылган. Бирок ошол эле сапта даража 2 “\(p^\alpha-1\) жолу” кайталанары айтылат. Бул билдирүү Теорема 2.1 жана кийинки Лемма 3.1 менен шайкеш келбейт.

Теорема 2.1-дин \(p=2\) түзүмүнө ылайык \((2^\alpha-2)/2\) даана \(K_2\), жалпысынан

\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]

даана даража-2 чоку жаратат. Буга бир универсал даража-\((2^\alpha-1)\) чоку жана бир даража-1 чоку кошулганда жалпы

\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]

чоку алынат. Ошондуктан кийинки эсептөөлөрдө колдонулган түзүм \(2^\alpha-2\) даана даража-2 чоку менен шайкеш. Бул түшүндүрмө булакта жарыяланган Теорема 2.2 сапын үнсүз өзгөртүү эмес; ошол эле булактын эки бөлүгү эмне үчүн бири-бирине шайкеш келбесин көрсөтүү.

Кырларды бөлүштүрүү кантип жасалат?

Лемма 3.1 даражага негизделген индекстерди эсептөөнү жеңилдетүү үчүн кырларды учтарынын даража жуптары боюнча классификациялайт.

\(p\) так жөнөкөй болгондо эки кыр классы бар:

\(p=2\) болгондо үч кыр классы бар:

Бул таблица макаланын даражага негизделген жыйынтыктарынын математикалык өзөгү болуп саналат. Индекстин аныктамасында ар бир кырдын салымы өзүнчө эсептелбестен, бирдей даража жубуна ээ бардык кырлардын жалпы салымы кырлардын санына көбөйтүлөт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Биринчи Zagreb индекси \(M_1\)

Биринчи Zagreb индекси:

\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]

түрүндө аныкталат.

Ар бир кыр үчүн эки уч чокунун даражалары кошулат жана бул салымдар бардык кырлар боюнча топтолот. Даражалар жөн гана саноо маанилери болгондуктан индекс өлчөмсүз.

Булактагы Теорема 3.1-дин жыйынтыгы:

\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]

Так жөнөкөй учурда, мисалы, \(E_1\) классындагы ар бир кыр

\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]

салым кошот. Мындай кырлар \(p^\alpha-1\) даана. \(E_2\) классындагы ар бир кырдын салымы болсо \(2+2=4\). Макаладагы жабык форма ушул класс суммаларын жөнөкөйлөтүү аркылуу алынат.

Экинчи Zagreb индекси \(M_2\)

Экинчи Zagreb индекси даражалардын суммасынын ордуна уч даражаларынын көбөйтүндүсүн колдонот:

\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]

Булактагы Теорема 3.2-нин жыйынтыгы:

\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]

Мисалы, так жөнөкөй учурда \((p^\alpha-1,2)\) даража жубуна ээ кырдын салымы

\[ 2(p^\alpha-1) \]

болот. \((2,2)\) классындагы кырдын салымы болсо \(4\).

Forgotten индекси \(F\)

Forgotten индекси кырдын эки учундагы даражалардын квадраттарын колдонот:

\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]

Булактын Теорема 3.3-тө жарыялаган жыйынтыгы:

\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]

Forgotten индексиндеги булак ичиндеги шайкештик көйгөйү

\(p=2\) учурда Лемма 3.1-деги үчүнчү кыр классы бир даана \((2^\alpha-1,1)\) даража жубунан турат. Forgotten аныктамасына ылайык бул жалгыз кырдын салымы

\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]

болушу керек.

Бирок булактын далил сабында бул салым

\[ (2^\alpha-1)(1) \]

түрүндө жазылган. Бул Forgotten индексинин квадраттардын суммасы аныктамасы менен бирдей амал эмес.

Булактын өзүнүн Лемма 3.1-деги кыр класстарын жана өзүнүн Forgotten аныктамасын түз колдонсок, болгону булак ичиндеги алгебралык текшерүү катары төмөнкү сумма алынат:

\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]

\(x=2^\alpha\) деп жазсак:

\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]

демек

\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]

Маанилүү: Акыркы туюнтма макаланын жарыяланган Теорема 3.3 жыйынтыгы эмес. Verianla тарабынан булактын өз аныктамасы менен өзүнүн Лемма 3.1 маалыматынын алгебралык шайкештигин гана көрсөтүү үчүн эсептелген. Макалада жарыяланган туюнтма \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\).

Аралыкка негизделген индекстер эмне үчүн болгону эки аралык менен эсептелет?

Теорема 2.1-деги join түзүмүнөн улам борбордогу универсал чоку бардык башка чокуларга коңшу. Ошондуктан эки чоку түздөн-түз коңшу болбосо да, универсал чоку аркылуу эң көп эки кадамда бири-бирине жетет.

Ошондуктан булак графтын диаметрин 2 деп колдонот. Тартиптелбеген ар башка чоку жуптары болгону:

• аралык 1,
• аралык 2

учурларынын биринде болот.

Булак:

• \(N_1\): аралыгы 1 болгон тартиптелбеген чоку жуптарынын саны,
• \(N_2\): аралыгы 2 болгон тартиптелбеген чоку жуптарынын саны

деп эки санды аныктайт.

Так жөнөкөй p үчүн аралык бөлүштүрүлүшү

Булак:

\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]

жана

\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]

маанилерин колдонот.

\(N_1\) ошол эле учурда кырлардын саны; анткени аралыгы 1 болгон чоку жуптары так эле түздөн-түз коңшу чоку жуптары.

p=2 үчүн аралык бөлүштүрүлүшү

Булак:

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]

жана

\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

маанилерин берет.

Wiener индекси \(W\)

Wiener индекси бардык тартиптелбеген чоку жуптарынын эң кыска жол аралыктарын суммалайт:

\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]

Графтагы бардык аралыктар 1 же 2 болгондуктан:

\[ W=N_1+2N_2. \]

Булактагы Теорема 3.4-түн жыйынтыгы:

\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Бул жерде аралыгы 2 болгон чоку жубу жалпы суммага эки бирдик салым кошсо, аралыгы 1 болгон жуп бир бирдик салым кошот.

Harary индекси \(H\)

Harary индекси аралыктын өзүн эмес, анын тескерисин суммалайт:

\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]

Бул граф үй-бүлөсүндө аралыктар болгону 1 жана 2 болгондуктан:

\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]

Булактын Теорема 3.5-те жарыялаган формуласы:

\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]

Harary индексиндеги булак ичиндеги белги шайкешсиздиги

Булактын ошол эле бөлүмдө берген

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

маанилерин өзүнүн

\[ H=N_1+\frac12N_2 \]

туюнтмасына түз койсок:

\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]

Жалпы бөлүмгө келтирип жөнөкөйлөтүү:

\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]

жана демек:

\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]

Булак Теорема 3.5-те ортоңку мүчөнү минус белгиси менен берет. Бул жердеги плюс белгиси бар туюнтма макаланын жаңы жыйынтыгы катары сунушталбайт; бул болгону булакта берилген \(N_1\), \(N_2\) жана Harary аныктамасынын өз ара алгебралык шайкештигин текшерүү.

Hyper-Wiener индекси \(WW\)

Булак Hyper-Wiener индексин:

\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]

түрүндө аныктайт.

Аралыгы 1 болгон жуп үчүн салым:

\[ \frac12(1+1^2)=1, \]

ал эми аралыгы 2 болгон жуп үчүн:

\[ \frac12(2+2^2)=3 \]

болгондуктан:

\[ WW=N_1+3N_2. \]

Булактагы Теорема 3.6-нын жыйынтыгы:

\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Булактын далил текстинде ушул этапта бир сапта \(WW\) ордуна \(W\) белгиси колдонулган; айланасындагы Теорема 3.6 аталышы, аныктама жана \(N_1+3N_2\) байланышы бул Hyper-Wiener эсебин билдирерин көрсөтөт. Verianla белги айырмасын жашырбайт, бирок тиешелүү эсепти Hyper-Wiener контекстинде түшүндүрөт.

Алты индекстин булакта жарыяланган жабык формулалары

Индекстердин өсүү жүрүм-турумун кантип окууга болот?

Төмөнкү түшүндүрмөлөр булакта берилген жабык формулалардын математикалык жүрүм-турумун түшүндүрүү үчүн гана; алар жаңы эксперименттик жыйынтык эмес.

\(x=p^\alpha\) деп жазсак, так жөнөкөй учурда:

• \(M_1=(x-1)(x+3)\), үстөм мүчө \(x^2\).
• \(M_2=2x(x-1)\), үстөм мүчө \(2x^2\).
• \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), үстөм мүчө \(x^3\).
• \(W=(x-1)(2x-3)/2\), үстөм мүчө \(x^2\).
• \(H=(x-1)(x+3)/4\), үстөм мүчө \(x^2/4\).
• \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), үстөм мүчө \(3x^2/2\).

Бул айырма өзгөчө Forgotten индекси даражалардын квадраттарын суммалаганынан келип чыккан жогорку тартиптеги өсүүнү түшүндүрүүгө жардам берет. Бирок өсүү тартиби индекстер “жакшыраак” же “жаманыраак” дегенди билдирбейт; ал болгону ар башка түзүмдүк касиеттерди ар башка салмактар менен жыйынтыктаганын көрсөтөт.

Изилдөөнүн негизги математикалык ыкмасы кадам сайын

1. Циклдик \(p\)-топ \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) тандалат.
2. Мурда алынган PORP граф түзүмү Теорема 2.1 аркылуу колдонулат.
3. Графтын даражалар тизмеги аныкталат.
4. Даражага негизделген индекстер үчүн кырлар \((d(u),d(v))\) жуптары боюнча классификацияланат.
5. Ар бир кыр классы канча элемент камтыганы саналат.
6. Биринчи Zagreb, экинчи Zagreb жана Forgotten индекстеринин ар бир кырга туура келген салымдары эсептелип, класс өлчөмдөрүнө көбөйтүлөт.
7. Аралыкка негизделген индекстер үчүн графтын диаметри 2 экени колдонулат.
8. Аралыгы 1 болгон жуптардын саны \(N_1\), аралыгы 2 болгон жуптардын саны \(N_2\) катары эсептелет.
9. \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) жана \(WW=N_1+3N_2\) байланыштары колдонулуп жабык формулалар алынат.
10. \(p\) так жөнөкөй жана \(p=2\) түзүмдөрү өз-өзүнчө бааланат.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) үчүн даражага негизделген жана аралыкка негизделген индекстерди түзүмдүк граф маалыматын колдонуп жабык түрдө эсептөөгө болору көрсөтүлөт.
• Биринчи Zagreb, экинчи Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary жана Hyper-Wiener индекстери үчүн ачык формулалар жарыяланат.
• Кырларды бөлүштүрүү даражага негизделген индекстерди түз сумманын ордуна класс боюнча эсептөөгө мүмкүндүк берет.
• Графтын диаметри 2 болушу аралыкка негизделген индекстерди болгону \(N_1\) жана \(N_2\) сандарына чейин кыскартат.
• Так жөнөкөй \(p\) менен \(p=2\) учурларынын граф түзүмү айырмалангандыктан формулалар эки өзүнчө учурда берилет.
• Жыйынтыктар PORP графтарын башка чектүү топ класстарында изилдөөгө негиз боло турган теориялык түзүм берет.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

• Изилдөө физикалык, химиялык же биологиялык системада эксперимент жүргүзбөйт.
• Топологиялык индекстер белгилүү бир реалдуу дүйнөлүк көрсөткүчтү алдын ала айтат деген нерсе бул макалада сыналган эмес.
• Макала алгоритмдик убакыт татаалдыгын же компьютердин иштөө убактысын салыштыруу бербейт.
• Сандык симуляция, программалык текшерүү же компьютердик символдук текшерүү билдирилген эмес.
• Формулалар бардык чектүү топ класстары үчүн жарактуу экени көрсөтүлгөн эмес; изилдөө циклдик \(p\)-топтор менен чектелет.
• Булактагы \(p=2\) Forgotten жана Harary формула шайкешсиздиктери көз карандысыз түзөтүү/erratum жарыялангандай чечмеленбеши керек.

Булак ичиндеги шайкештик көйгөйлөрүнүн кыскача мазмуну

Изилдөөнүн негизги чектөөлөрү

Бир граф үй-бүлөсү: Жыйынтыктар \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) үчүн чыгарылган. Башка чектүү топ түрлөрүнө автоматтык колдонулбайт.

Мурунку түзүмдүк жыйынтыктарга көз карандылык: Теорема 2.1 жана Теорема 2.2 авторлордун мурунку PORP изилдөөсүндөгү жыйынтыктарга негизделет. Азыркы баяндама бул негизги түзүмдөрдү башынан кайра далилдебейт.

Булак ичиндеги алгебра/жазуу көйгөйлөрү: Өзгөчө \(p=2\) учурда айрым туюнтмалар бири-бири менен шайкеш эмес. Бул тиешелүү формулаларды колдонууда көз карандысыз математикалык текшерүүнү талап кылат.

Эсептөөчү текшерүү жок: Булакта SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python же башка символдук/граф эсептөө куралы менен алынган текшерүү берилбейт.

Адабияттар тизмеси толук эмес: Текстте шилтеме берилген [11] жана [12] булактары жарыяланган булактар тизмесинде жок.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталышы: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups

Авторлор: R. Ponraj; T. Sutharson.

Авторлордун тартиби: R. Ponraj биринчи, T. Sutharson экинчи автор.

R. Ponraj аффилиациясы: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.

T. Sutharson аффилиациясы: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; булакта ошондой эле Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India аффилиациясы көрсөтүлгөн.

Corresponding author: Булакта ачык көрсөтүлгөн эмес.

Тең салым / тең биринчи авторлук: Булакта билдирилген эмес.

2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.

Булак түрү: Теориялык математика боюнча изилдөө баяндамасы; конференция материалдарынын китебинде жарыяланган.

Платформа: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).

Макаланын беттери: Конференция материалдары китебиндеги 1–6-беттер; жүктөлгөн PDFдеги 11–16-беттер.

ISBN: 978-81-688512-8-3.

Булакта берилген DOI: 10.65647/msp/132/2026.

DOI статусу: Ошол эле DOI конференция материалдары китебиндеги ар башка макалалардын беттеринин төмөн жагында да кайталангандыктан, булак аны ушул макалага гана тиешелүү көз карандысыз DOI катары ачык ажыратпайт. Verianla тарабынан өзүнчө макала DOIси түзүлгөн эмес.

Басылышы: First Edition.

Басылган датасы: August 2026.

Конференция датасы боюнча булак ичиндеги айырма: Том ICAMRI – 2026 жана August 2026 басылышы катары берилгенине карабастан, конференцияны уюштуруу барагында 15th August 2025 датасы көрсөтүлгөн.

Уюм: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.

Академиялык кызматташтык: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.

Рецензиялоо: Конференция материалдары китебинин кириш сөзүндө томдогу ар бир кол жазма тажрыйбалуу рецензенттер жана тармак адистеринен турган панель тарабынан rigorous peer-review process алкагында бааланганы айтылат. Бул маалымат конференция китебинин өзүнүн билдирүүсү; изилдөө рецензияланган журнал макаласы катары классификацияланган эмес.

Лицензия / автордук укук: Булак “All Rights Reserved” жана © Publisher белгилерин камтыйт. Ачык Creative Commons лицензиясы көрсөтүлгөн эмес.

Басып чыгаруучу менен байланыш: Булакта Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org жана www.multispectrum.org маалыматтары берилген.

Расмий шилтеме: Булакта басып чыгаруучунун сайты катары https://www.multispectrum.org көрсөтүлгөн. Бул баяндамага гана таандык өзүнчө расмий макала URLи PDF ичинде берилген эмес.

Ачкыч сөздөр: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.

Илимий тармак: Граф теориясы менен чектүү топтор теориясынын ортосундагы алгебралык граф изилдөөлөрү.

Изилдөө ыкмасы: Таза теориялык/аналитикалык математика. Мурда белгилүү PORP граф түзүмү жана даражалар тизмеги колдонулуп, кырларды бөлүштүрүү жана аралык бөлүштүрүлүшү аркылуу жабык формулалар чыгарылган.

Эксперимент: Жок.

Тандалма / маалымат топтому: Жок.

Көзөмөл тобу: Колдонулбайт.

Программалык камсыздоо: Булакта кандайдыр бир математикалык же граф программасы тууралуу маалымат берилген эмес.

Статистикалык ыкма: Жок.

Негизги математикалык объект: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).

Параметрлер: \(p\) жөнөкөй сан; \(\alpha\geq1\).

Негизги түзүмдүк куралдар: Теорема 2.1-деги граф изоморфизми, Теорема 2.2-деги даражалар тизмеги, Лемма 3.1-деги кырларды бөлүштүрүү жана Теорема 3.4-тө колдонулган аралык бөлүштүрүлүшү.

Эсептелген индекстер: Биринчи Zagreb \(M_1\), экинчи Zagreb \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).

Формуланын шайкештиги боюнча эскертүү: Булакта \(p=2\) үчүн Теорема 2.2-деги кайталануу саны, Теорема 3.3-төгү Forgotten формуласы жана Теорема 3.5-теги Harary формуласы мурунку булак ичиндеги аныктама же эсептөөлөр менен шайкеш келбейт. Verianla жарыяланган жыйынтыктарды өзгөрткөн эмес; шайкештик эсебин өзүнчө көрсөткөн.

Адабияттар боюнча эскертүү: Кириш бөлүмдө [11] жана [12] номерлүү эмгектерге шилтеме берилгенине карабастан, жарыяланган алты беттик баяндаманын булактар тизмеси [10] менен бүтөт. Жетишпеген библиографиялык маалыматтар божомол менен толукталган эмес.

Каржылоо: Өзүнчө каржылоо билдирүүсү жок.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Өзүнчө кызыкчылыктардын кагылышы тууралуу билдирүү жок.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Изилдөө теориялык математика макаласы; өзүнчө маалымат топтому билдирилген эмес жана өзүнчө data availability statement жок.

Этика кеңеши: Изилдөө адам, жаныбар же клиникалык үлгү камтыбаган теориялык математика изилдөөсү; булакта өзүнчө этика кеңеши тууралуу билдирүү жок.

Автордук салымдар / CRediT: Булакта өзүнчө автордук салым билдирүүсү жок.

Визуалдык кайра түзүү: Булакта түпнуска фигура жок. Теорема 2.1-дин ачык символдук граф түзүмү Verianla үчүн масштабсыз жана булактан чыгарылган inline SVG схема катары кайра берилген.

Негизги чечмелөө чеги: Изилдөөнүн жыйынтыктары циклдик \(p\)-топтордун PORP графы үчүн теориялык граф инварианттары. Алар реалдуу дүйнөдөгү эксперименттин жыйынтыгы, физикалык өлчөө, божомол тактыгы же колдонмонун иштөө көрсөткүчү катары чечмеленбеши керек. Булактагы математикалык шайкешсиздиктерден улам, өзгөчө \(p=2\) Forgotten жана Harary туюнтмалары колдонулардан мурда көз карандысыз математикалык текшерүү талап кылынат.