Product Order Relatively Prime Graph — графи PORP, графи алгебравиест, ки элементҳои гурӯҳи ниҳоиро ҳамчун қуллаҳо мегирад ва ҳамсоягии байни ду элементи гуногуни гурӯҳро мувофиқи шарти нисбатан сода будани тартиби элементҳо бо тартиби ҳосили онҳо муайян мекунад. Ин таҳқиқоти назариявӣ барои адади содаи \(p\) ва \(\alpha\geq1\) шаш индекси топологиро дар графи PORP-и гурӯҳи сиклии \(p\), \(\mathbb Z_{p^\alpha}\), яъне \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\), меомӯзад: индексҳои якуми Zagreb, дуюми Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary ва Hyper-Wiener. Усул аз истифодаи сохтори қаблан маълуми граф ва пайдарпаии дараҷаҳо, таснифи қирраҳо аз рӯи ҷуфтҳои дараҷаи қуллаҳои нӯгӣ ва истифодаи тақсимоти масофаи ҷуфтҳои қуллаҳо барои ҳисоб кардани индексҳо дар шакли пӯшида иборат аст. Таҳқиқот таҷрибавӣ нест; маҷмӯи додаҳо, намуна, симулятсия ё санҷиши оморӣ надорад.

Натиҷаи асосии сохтории мақола ин аст, ки графи \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) ҳангоми \(p\) адади содаи тоқ будан метавонад ҳамчун сохторе ифода шавад, ки як қуллаи универсалӣ ба ҳамаи қуллаҳои \((p^\alpha-1)/2\) ҷузъи \(K_2\) пайваст аст; ҳангоми \(p=2\) бошад, як қуллаи универсалӣ ба \((2^\alpha-2)/2\) ҷузъи \(K_2\) ва як \(K_1\)-и иловагӣ пайваст аст. Ин сохтори махсус имкон медиҳад, ки ҳам индексҳои ба дараҷа асосёфта тавассути синфҳои қирра ва ҳам индексҳои ба масофа асосёфта танҳо аз масофаҳои 1 ва 2 ҳисоб карда шаванд.

Муаллифон бар асоси ин сохтор барои шаш индекс формулаҳои пӯшида медиҳанд, ки ҳолатҳои \(p\)-и содаи тоқ ва \(p=2\)-ро алоҳида баррасӣ мекунанд. Бо вуҷуди ин, дар матни манбаъ баъзе мушкилоти мутобиқати математикӣ мавҷуданд: шумораи такрорҳо дар пайдарпаии дараҷаҳо барои \(p=2\), индекси Forgotten барои \(p=2\) ва индекси Harary барои \(p=2\) бо таърифҳо ва ҳисобҳои пешинаи худи мақола пурра мувофиқат намекунанд. Verianla ин формулаҳоро хомӯшона тағйир намедиҳад; натиҷаи нашршударо айнан меорад ва санҷиши алгебравии дохилиманбаъиро алоҳида нишон медиҳад.

Гурӯҳи сиклии p чист?

Гурӯҳи сиклӣ, гурӯҳест, ки ҳамаи элементҳои он аз қувваҳои як элементи ягона ҳосил мешаванд. Сохтори дар таҳқиқот омӯхташуда

\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]

нишон дода мешавад. Дар ин ҷо \(p\) адади сода, \(\alpha\geq1\) адади бутун аст ва шумораи элементҳои гурӯҳ, яъне тартиби гурӯҳ, \(p^\alpha\) мебошад.

Масалан, агар \(p=3\) ва \(\alpha=2\) интихоб шаванд, тартиби гурӯҳ \(3^2=9\) мешавад. Ин мисол танҳо барои шарҳ додани маънои ишора аст; мақолаи манбаъ таҷрибаи ададии аз қиматҳои муайяни \(p\) ва \(\alpha\) иборатро анҷом намедиҳад.

Тартиби элементи гурӯҳ чист?

Манбаъ барои гурӯҳи ниҳоии \(G\) ва \(a\in G\) тартиби элементро бо \(o(a)\) нишон медиҳад. \(o(a)\),

\[ a^n=e \]

хурдтарин адади бутуни мусбати \(n\) аст, ки ин баробариро қонеъ мекунад. \(e\) дар ин ҷо элементи воҳиди гурӯҳ аст.

Ба ибораи дигар, вақте элементи гурӯҳро пай дар пай ба худаш зарб мекунем, аввалин қувваи мусбате, ки дар он ба элементи воҳид бармегардем, тартиби он элементро муайян мекунад.

Ҳамсоягӣ дар графи PORP чӣ гуна муайян мешавад?

Дар манбаъ графи PORP-и гурӯҳи ниҳоии \(G\)

\[ \Gamma_{porp}(G) \]

нишон дода мешавад ва маҷмӯи қуллаҳо мустақиман аз элементҳои гурӯҳ иборат аст:

\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]

Қуллаҳои гуногуни \(a,b\in G\), мувофиқи таърифи манбаъ, танҳо ва танҳо дар сурате ҳамсояанд, ки

\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]

аз ин шартҳо ҳадди ақал яке иҷро шавад.

Ишораи \((x,y)=1\) дар ин ҷо маънои онро дорад, ки тақсимкунандаи умумии ду адади бутуни мусбат танҳо 1 аст, яъне ададҳо нисбатан сода мебошанд. Аз ин рӯ, мавҷудияти қирра дар графи PORP на танҳо ба худи ду элемент, балки ба тартиби онҳо ва тартиби ҳосили \(ab\) вобаста аст.

Граф, қулла, қирра ва дараҷа чӣ маъно доранд?

Графи \(\Gamma\) бо маҷмӯи қуллаҳои \(V(\Gamma)\) ва маҷмӯи қирраҳои \(E(\Gamma)\) ифода мешавад. Дараҷаи қуллаи \(v\)

\[ d(v) \]

нишон дода мешавад ва шумораи қирраҳои ба \(v\) пайваст аст.

Масофаи байни ду қуллаи \(u\) ва \(v\) бошад,

\[ d(u,v) \]

нишон дода мешавад ва шумораи қирраҳо дар кӯтоҳтарин роҳест, ки ин ду қулларо мепайвандад. Фарқи асосии ду оилаи индексҳо дар мақолаи манбаъ аз ҳамин ҷо бармеояд:

• Индексҳои ба дараҷа асосёфта, қиматҳои \(d(u)\) ва \(d(v)\)-ро дар нӯгҳои қирраҳо истифода мебаранд.
• Индексҳои ба масофа асосёфта, қиматҳои \(d(u,v)\)-ро байни ҷуфтҳои қуллаҳо истифода мебаранд.

Индекси топологӣ чист?

Дар ин мақола ибораи “индекси топологӣ” ба маънои инварианти граф истифода мешавад, ки хусусиятҳои сохтории графро бо як адад ҷамъбаст мекунад. Ин истифода набояд бо мафҳуми “фазои топологӣ” дар фанни умумии топология омехта шавад.

Агар номи қуллаҳои граф иваз шавад, вале сохтори пайвастагии он тағйир наёбад, қимати чунин индексҳо тағйир намеёбад. Аз ин рӯ, индексҳоро барои муқоисаи хусусиятҳои сохтории оилаҳои гуногуни графҳо истифода бурдан мумкин аст.

Теоремаи 2.1 дар бораи сохтори граф чӣ мегӯяд?

Манбаъ, барои \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), ки \(p\) сода ва \(\alpha\geq1\) аст:

\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]

Бояд рамзҳои ин ҷо як-як шарҳ дода шаванд.

• \(K_1\): графи якқуллагӣ.
• \(K_2\): графи пуррае, ки ду қуллааш бо як қирра пайваст аст.
• \(mK_2\): \(m\) нусхаи аз ҳам ҷудои \(K_2\).
• \(\cup\): дар ин ҷо иттиҳоди ҷузъҳоро нишон медиҳад.
• \(\vee\): амали join-и ду граф; дар ҳоле ки ду граф сохтори дохилии худро нигоҳ медоранд, ҳар қуллаи графи аввал ба ҳар қуллаи графи дуюм пайваст мешавад.

Аз ин рӯ, \(K_1\)-и берунӣ дар формула ба қуллаи универсалӣ табдил меёбад, ки ба ҳамаи қуллаҳои қисми дуюм пайваст аст.

Чаро ин сохтор ҳисобҳоро осон мекунад?

\(K_1\)-и маркази граф ба ҳамаи қуллаҳои дигар пайваст аст. Аз ин рӯ, дараҷаи қуллаи марказӣ ба шумораи ҳамаи қуллаҳои дигари граф баробар аст. Илова бар ин, қуллаҳои берун аз марказ асосан дар дохили ҷуфтҳои \(K_2\) ба як ҳамсоя ва ба қуллаи марказӣ пайваст буда, дараҷаи 2 доранд.

Ин тартиб имкон медиҳад, ки қирраҳои граф танҳо аз рӯи чанд ҷуфти гуногуни дараҷа тасниф шаванд. Яъне ба ҷойи ҷамъ кардани ҳазорҳо ё миллионҳо қирра як-як, ҷавоб додан ба саволи «чанд қирра дорои ҳамин ҷуфти дараҷа аст?» кофӣ мешавад.

Пайдарпаии дараҷаҳо дар Теоремаи 2.2

Манбаъ ҳангоми \(p\) адади содаи тоқ будан пайдарпаии дараҷаҳоро

\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]

медиҳад ва мегӯяд, ки дараҷаи 2 \(p^\alpha-1\) маротиба такрор мешавад. Ин сохтор дар маҷмӯъ \(p^\alpha\) қулла медиҳад: як қуллаи универсалӣ ва \(p^\alpha-1\) қуллаи дараҷа-2.

Барои \(p=2\) дар манбаъ

\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]

навишта шудааст. Аммо дар ҳамон сатр гуфта мешавад, ки дараҷаи 2 «\(p^\alpha-1\) маротиба» такрор мешавад. Ин ифода бо Теоремаи 2.1 ва Леммаи 3.1-и баъдӣ мувофиқат намекунад.

Мувофиқи сохтори \(p=2\)-и Теоремаи 2.1, \((2^\alpha-2)/2\) адад \(K_2\) дар маҷмӯъ

\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]

қуллаи дараҷа-2 ҳосил мекунад. Агар ба ин як қуллаи универсалии дараҷа-\((2^\alpha-1)\) ва як қуллаи дараҷа-1 илова шавад, дар маҷмӯъ

\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]

қулла ба даст меояд. Аз ин рӯ, сохтори дар ҳисобҳои баъдӣ истифодашуда бо \(2^\alpha-2\) қуллаи дараҷа-2 мувофиқ аст. Ин тавзеҳ маънои хомӯшона иваз кардани сатри нашршудаи Теоремаи 2.2-ро надорад; танҳо нишон медиҳад, ки чаро ду қисми як манбаъ бо ҳам мувофиқат намекунанд.

Тақсимбандии қирраҳо чӣ гуна анҷом дода мешавад?

Леммаи 3.1 барои осон кардани ҳисобкунии индексҳои ба дараҷа асосёфта қирраҳоро аз рӯи ҷуфтҳои дараҷаи нӯгҳояшон тасниф мекунад.

Ҳангоми \(p\) адади содаи тоқ будан ду синфи қирра мавҷуд аст:

Ҳангоми \(p=2\) се синфи қирра мавҷуд аст:

Ин ҷадвал муҳаррики математикии натиҷаҳои ба дараҷа асосёфтаи мақола аст. Дар таърифи индекс ба ҷойи ҳисоб кардани саҳми ҳар қирра алоҳида, саҳми умумии ҳамаи қирраҳои дорои як ҷуфти дараҷа ба шумораи қирраҳо зарб карда мешавад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Индекси якуми Zagreb \(M_1\)

Индекси якуми Zagreb:

\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]

чунин таъриф мешавад.

Барои ҳар қирра дараҷаҳои ду қуллаи нӯгӣ ҷамъ карда мешаванд ва ин саҳмҳо дар ҳамаи қирраҳо ҷамъ мешаванд. Азбаски дараҷаҳо танҳо қиматҳои ҳисобӣ мебошанд, индекс бевоҳид аст.

Натиҷаи Теоремаи 3.1-и манбаъ:

\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]

Дар ҳолати p-и содаи тоқ, масалан, ҳар қирраи синфи \(E_1\)

\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]

саҳм мегузорад. Чунин қирраҳо \(p^\alpha-1\) ададанд. Саҳми ҳар қирраи синфи \(E_2\) бошад \(2+2=4\) аст. Шакли пӯшидаи мақола аз содда кардани ҷамъҳои ин синфҳо ба даст меояд.

Индекси дуюми Zagreb \(M_2\)

Индекси дуюми Zagreb ба ҷойи ҷамъ кардани дараҷаҳо ҳосили дараҷаҳои нӯгҳоро истифода мекунад:

\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]

Натиҷаи Теоремаи 3.2-и манбаъ:

\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]

Масалан, дар ҳолати p-и содаи тоқ саҳми қирраи дорои ҷуфти дараҷаи \((p^\alpha-1,2)\)

\[ 2(p^\alpha-1) \]

аст. Саҳми қирраи синфи \((2,2)\) бошад \(4\) мебошад.

Индекси Forgotten \(F\)

Индекси Forgotten квадратҳои дараҷаҳои ду нӯги қирраро истифода мекунад:

\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]

Натиҷае, ки манбаъ дар Теоремаи 3.3 нашр кардааст:

\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]

Мушкилоти мутобиқати дохилиманбаъӣ дар индекси Forgotten

Дар ҳолати \(p=2\), синфи сеюми қирра дар Леммаи 3.1 аз як ҷуфти дараҷаи \((2^\alpha-1,1)\) иборат аст. Мувофиқи таърифи Forgotten саҳми ин як қирра бояд

\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]

бошад.

Аммо дар сатри исботи манбаъ ин саҳм

\[ (2^\alpha-1)(1) \]

навишта шудааст. Ин бо амали ҷамъ кардани квадратҳо дар таърифи индекси Forgotten яксон нест.

Агар синфҳои қирраи худи манбаъ дар Леммаи 3.1 ва таърифи худи Forgotten-ро мустақиман татбиқ кунем, танҳо ҳамчун санҷиши алгебравии дохилиманбаъӣ ҷамъбасти зерин ба даст меояд:

\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]

Агар \(x=2^\alpha\) нависем:

\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]

пас

\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]

Муҳим: Ифодаи охирин натиҷаи нашршудаи Теоремаи 3.3-и мақола нест. Он аз ҷониби Verianla танҳо барои нишон додани мутобиқати алгебравии таърифи худи манбаъ ва маълумоти Леммаи 3.1-и худи он ҳисоб карда шудааст. Ифодаи нашршудаи мақола \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\) мебошад.

Чаро индексҳои ба масофа асосёфта танҳо бо ду масофа ҳисоб мешаванд?

Бо сабаби сохтори join дар Теоремаи 2.1 қуллаи универсалии марказӣ ба ҳамаи қуллаҳои дигар ҳамсоя аст. Аз ин рӯ, ҳатто агар ду қулла мустақиман ҳамсоя набошанд, тавассути қуллаи универсалӣ дар ҳадди аксар ду қадам ба ҳам мерасанд.

Аз ҳамин сабаб манбаъ диаметри графро 2 мегирад. Ҷуфтҳои тартибнадоштаи қуллаҳои гуногун танҳо дар яке аз ҳолатҳои:

• масофаи 1,
• масофаи 2

қарор доранд.

Манбаъ:

• \(N_1\): шумораи ҷуфтҳои тартибнадоштаи қуллаҳо бо масофаи 1,
• \(N_2\): шумораи ҷуфтҳои тартибнадоштаи қуллаҳо бо масофаи 2

ду ададро чунин муайян мекунад.

Тақсимоти масофа барои p-и содаи тоқ

Манбаъ:

\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]

ва

\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]

қиматҳоро истифода мекунад.

\(N_1\) ҳамзамон шумораи қирраҳо мебошад; зеро ҷуфтҳои қуллаҳое, ки масофаашон 1 аст, маҳз ҷуфтҳои қуллаҳои мустақиман ҳамсоя мебошанд.

Тақсимоти масофа барои p=2

Манбаъ:

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]

ва

\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

қиматҳоро медиҳад.

Индекси Wiener \(W\)

Индекси Wiener масофаҳои кӯтоҳтарин роҳро барои ҳамаи ҷуфтҳои тартибнадоштаи қуллаҳо ҷамъ мекунад:

\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]

Азбаски ҳамаи масофаҳои граф 1 ё 2 мебошанд:

\[ W=N_1+2N_2. \]

Натиҷаи Теоремаи 3.4-и манбаъ:

\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Дар ин ҷо ҷуфти қуллаҳои масофааш 2 ба ҷамъ ду воҳид саҳм мегузорад, ҷуфти масофааш 1 бошад як воҳид саҳм мегузорад.

Индекси Harary \(H\)

Индекси Harary ба ҷойи худи масофа баръакси онро ҷамъ мекунад:

\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]

Азбаски дар ин оилаи графҳо масофаҳо танҳо 1 ва 2 ҳастанд:

\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]

Формулае, ки манбаъ дар Теоремаи 3.5 нашр кардааст:

\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]

Номувофиқии аломати дохилиманбаъӣ дар индекси Harary

Қиматҳои

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

дар ҳамон бахш додаи манбаъро ба ифодаи худи он

\[ H=N_1+\frac12N_2 \]

мустақиман гузорем:

\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]

Соддакунӣ бо махраҷи умумӣ:

\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]

ва бинобар ин:

\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]

Манбаъ дар Теоремаи 3.5 ҳадди миёнаро бо аломати манфӣ медиҳад. Ифодаи дорои аломати мусбат дар ин ҷо ҳамчун натиҷаи нави мақола пешниҳод намешавад; он танҳо санҷиши мутобиқати алгебравии \(N_1\), \(N_2\) ва таърифи Harary дар худи манбаъ аст.

Индекси Hyper-Wiener \(WW\)

Манбаъ индекси Hyper-Wiener-ро:

\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]

чунин таъриф мекунад.

Барои ҷуфти масофааш 1 саҳм:

\[ \frac12(1+1^2)=1, \]

барои ҷуфти масофааш 2 бошад:

\[ \frac12(2+2^2)=3 \]

аз ин рӯ:

\[ WW=N_1+3N_2. \]

Натиҷаи Теоремаи 3.6-и манбаъ:

\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Дар матни исботи манбаъ дар ин марҳила дар як сатр ба ҷойи \(WW\) рамзи \(W\) истифода шудааст; сарлавҳаи Теоремаи 3.6, таъриф ва робитаи \(N_1+3N_2\) дар атрофи он нишон медиҳанд, ки сухан дар бораи ҳисоби Hyper-Wiener меравад. Verianla фарқи рамзро пинҳон намекунад, аммо ҳисоби дахлдорро дар заминаи Hyper-Wiener шарҳ медиҳад.

Формулаҳои пӯшидаи шаш индекс, ки дар манбаъ нашр шудаанд

Рафтори афзоиши индексҳоро чӣ гуна хондан мумкин аст?

Шарҳҳои зерин барои тавзеҳи рафтори математикии формулаҳои пӯшидаи дар манбаъ додашуда мебошанд; онҳо натиҷаи нави таҷрибавӣ нестанд.

Агар \(x=p^\alpha\) нависем, дар ҳолати p-и содаи тоқ:

• \(M_1=(x-1)(x+3)\), ҳадди бартаридошта \(x^2\) аст.
• \(M_2=2x(x-1)\), ҳадди бартаридошта \(2x^2\) аст.
• \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), ҳадди бартаридошта \(x^3\) аст.
• \(W=(x-1)(2x-3)/2\), ҳадди бартаридошта \(x^2\) аст.
• \(H=(x-1)(x+3)/4\), ҳадди бартаридошта \(x^2/4\) аст.
• \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), ҳадди бартаридошта \(3x^2/2\) аст.

Ин фарқ махсусан ба шарҳи афзоиши дараҷаи болотаре кумак мекунад, ки аз ҷамъ кардани квадратҳои дараҷаҳо дар индекси Forgotten ба вуҷуд меояд. Аммо дараҷаи афзоиш маънои “беҳтар” ё “бадтар” будани индексҳоро надорад; танҳо нишон медиҳад, ки онҳо хусусиятҳои гуногуни сохториро бо вазнҳои гуногун ҷамъбаст мекунанд.

Усули асосии математикии таҳқиқот қадам ба қадам

1. Гурӯҳи сиклии \(p\), \(\mathbb Z_{p^\alpha}\), интихоб мешавад.
2. Сохтори қаблан бадастомадаи графи PORP тавассути Теоремаи 2.1 истифода мешавад.
3. Пайдарпаии дараҷаҳои граф муайян мешавад.
4. Барои индексҳои ба дараҷа асосёфта қирраҳо аз рӯи ҷуфтҳои \((d(u),d(v))\) тасниф мешаванд.
5. Шумораи элементҳои ҳар синфи қирра ҳисоб карда мешавад.
6. Саҳми ҳар қирра барои индексҳои якуми Zagreb, дуюми Zagreb ва Forgotten ҳисоб шуда, ба андозаи синфҳо зарб карда мешавад.
7. Барои индексҳои ба масофа асосёфта аз он истифода мешавад, ки диаметри граф 2 аст.
8. Шумораи ҷуфтҳои масофаашон 1 ҳамчун \(N_1\) ва шумораи ҷуфтҳои масофаашон 2 ҳамчун \(N_2\) ҳисоб мешавад.
9. Бо истифода аз робитаҳои \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) ва \(WW=N_1+3N_2\) формулаҳои пӯшида ба даст оварда мешаванд.
10. Сохторҳои \(p\)-и содаи тоқ ва \(p=2\) алоҳида арзёбӣ мешаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Нишон дода мешавад, ки барои \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) индексҳои ба дараҷа ва ба масофа асосёфтаро бо истифода аз маълумоти сохтории граф дар шакли пӯшида ҳисоб кардан мумкин аст.
• Барои индексҳои якуми Zagreb, дуюми Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary ва Hyper-Wiener формулаҳои ошкор нашр мешаванд.
• Тақсимбандии қирраҳо имкон медиҳад, ки индексҳои ба дараҷа асосёфта ба ҷойи ҷамъкунии мустақим аз рӯи синф ҳисоб карда шаванд.
• Диаметри 2 доштани граф индексҳои ба масофа асосёфтаро танҳо ба ададҳои \(N_1\) ва \(N_2\) коҳиш медиҳад.
• Азбаски сохтори граф барои \(p\)-и содаи тоқ ва \(p=2\) фарқ мекунад, формулаҳо дар ду ҳолати ҷудогона дода мешаванд.
• Натиҷаҳо сохтори назариявие медиҳанд, ки метавонад барои омӯзиши графҳои PORP дар синфҳои дигари гурӯҳҳои ниҳоӣ асос шавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот дар низоми физикӣ, химиявӣ ё биологӣ озмоиш намегузаронад.
• Дар ин мақола санҷида нашудааст, ки индексҳои топологӣ фаъолияти муайяни ҷаҳони воқеиро пешгӯӣ мекунанд.
• Мақола муқоисаи мураккабии алгоритмии вақт ё вақти кори компютерро пешниҳод намекунад.
• Симулятсияи ададӣ, санҷиши нармафзор ё санҷиши рамзии бо компютер дастгиришуда гузориш нашудааст.
• Нишон дода нашудааст, ки формулаҳо барои ҳамаи синфҳои гурӯҳҳои ниҳоӣ дурустанд; таҳқиқот бо гурӯҳҳои сиклии \(p\) маҳдуд аст.
• Номувофиқии формулаҳои Forgotten ва Harary барои \(p=2\) дар манбаъ набояд ҳамчун нашри ислоҳи мустақил/erratum тафсир шавад.

Хулосаи мушкилоти мутобиқати дохилиманбаъӣ

Маҳдудиятҳои асосии таҳқиқот

Як оилаи граф: Натиҷаҳо барои \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) бароварда шудаанд. Онҳоро ба дигар намудҳои гурӯҳҳои ниҳоӣ худкор татбиқ кардан мумкин нест.

Вобастагӣ ба натиҷаҳои сохтории қаблӣ: Теоремаи 2.1 ва Теоремаи 2.2 ба натиҷаҳои таҳқиқоти пешинаи PORP-и муаллифон такя мекунанд. Мақолаи ҳозира ин сохторҳои асосиро аз нав аз ибтидо исбот намекунад.

Мушкилоти алгебравӣ/навиштии дохилиманбаъӣ: Хусусан дар ҳолати \(p=2\) баъзе ифодаҳо бо ҳам номувофиқанд. Ин истифодаи формулаҳои дахлдорро ба санҷиши мустақили математикӣ ниёзманд мекунад.

Санҷиши ҳисоббарорӣ вуҷуд надорад: Дар манбаъ санҷише, ки бо SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python ё абзори дигари ҳисоббарории рамзӣ/графӣ гирифта шуда бошад, пешниҳод нашудааст.

Нопуррагии рӯйхати манбаъҳо: Манбаъҳои [11] ва [12], ки дар матн ба онҳо истинод шудааст, дар рӯйхати нашршудаи манбаъҳо вуҷуд надоранд.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups

Муаллифон: R. Ponraj; T. Sutharson.

Тартиби муаллифон: R. Ponraj муаллифи якум, T. Sutharson муаллифи дуюм аст.

Аффилиатсияи R. Ponraj: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.

Аффилиатсияи T. Sutharson: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; дар манбаъ ҳамчунин аффилиатсияи Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India нишон дода шудааст.

Corresponding author: Дар манбаъ ошкоро нишон дода нашудааст.

Саҳми баробар / ҳаммуаллифии якуми баробар: Дар манбаъ гузориш нашудааст.

2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.

Навъи манбаъ: Мақолаи таҳқиқотии математикаи назариявӣ; дар китоби маводи конфронс нашр шудааст.

Платформа: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).

Саҳифаҳои мақола: Саҳифаҳои 1–6 дар китоби маводи конфронс; саҳифаҳои 11–16 дар PDF-и боршуда.

ISBN: 978-81-688512-8-3.

DOI-и дар манбаъ додашуда: 10.65647/msp/132/2026.

Вазъи DOI: Азбаски ҳамин DOI дар поёни саҳифаҳои мақолаҳои гуногуни китоби маводи конфронс низ такрор шудааст, манбаъ онро ҳамчун DOI-и мустақили махсуси ҳамин мақола ошкоро ҷудо намекунад. Аз ҷониби Verianla DOI-и алоҳидаи мақола сохта нашудааст.

Нашр: First Edition.

Санаи нашр: August 2026.

Фарқи дохилиманбаъӣ вобаста ба санаи конфронс: Гарчанде ҷилд ҳамчун ICAMRI – 2026 ва нашри August 2026 дода шудааст, дар саҳифаи ташкили конфронс санаи 15th August 2025 нишон дода шудааст.

Ташкилот: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.

Ҳамкории академӣ: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.

Ҳакамӣ: Сарсухани китоби маводи конфронс изҳор мекунад, ки ҳар дастнависи ҷилд аз ҷониби ҳайате аз ҳакамони ботаҷриба ва коршиносони соҳа дар доираи rigorous peer-review process арзёбӣ шудааст. Ин маълумот изҳороти худи китоби конфронс аст; таҳқиқот ҳамчун мақолаи маҷаллаи ҳакамшуда тасниф нашудааст.

Иҷозатнома / ҳуқуқи муаллиф: Манбаъ ибораҳои “All Rights Reserved” ва © Publisher-ро дорад. Иҷозатномаи кушодаи Creative Commons нишон дода нашудааст.

Тамоси ношир: Дар манбаъ маълумоти Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org ва www.multispectrum.org дода шудааст.

Пайванди расмӣ: Дар манбаъ https://www.multispectrum.org ҳамчун сомонаи ношир дода шудааст. URL-и алоҳидаи расмии махсуси ҳамин мақола дар PDF нишон дода нашудааст.

Калидвожаҳо: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.

Соҳаи илмӣ: Таҳқиқоти графҳои алгебравӣ дар миёни назарияи граф ва назарияи гурӯҳҳои ниҳоӣ.

Усули таҳқиқот: Математикаи соф назариявӣ/аналитикӣ. Бо истифода аз сохтори қаблан маълуми графи PORP ва пайдарпаии дараҷаҳо, формулаҳои пӯшида тавассути тақсимбандии қирраҳо ва тақсимоти масофа ҳосил шудаанд.

Озмоиш: Мавҷуд нест.

Намуна / маҷмӯи додаҳо: Мавҷуд нест.

Гурӯҳи назоратӣ: Татбиқнопазир аст.

Нармафзор: Дар манбаъ ягон нармафзори математикӣ ё графӣ гузориш нашудааст.

Усули оморӣ: Мавҷуд нест.

Объекти асосии математикӣ: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).

Параметрҳо: \(p\) адади сода; \(\alpha\geq1\).

Абзорҳои асосии сохторӣ: Изоморфизми граф дар Теоремаи 2.1, пайдарпаии дараҷаҳо дар Теоремаи 2.2, тақсимбандии қирраҳо дар Леммаи 3.1 ва тақсимоти масофае, ки дар Теоремаи 3.4 истифода шудааст.

Индексҳои ҳисобшуда: Zagreb-и якум \(M_1\), Zagreb-и дуюм \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).

Ёддошт оид ба мутобиқати формула: Дар манбаъ барои \(p=2\) шумораи такрорҳои Теоремаи 2.2, формулаи Forgotten дар Теоремаи 3.3 ва формулаи Harary дар Теоремаи 3.5 бо таърифҳо ё ҳисобҳои пешинаи дохилиманбаъӣ мувофиқат намекунанд. Verianla натиҷаҳои нашршударо тағйир надодааст; ҳисоби мутобиқатро алоҳида нишон додааст.

Ёддошт оид ба рӯйхати манбаъҳо: Гарчанде дар муқаддима ба корҳои [11] ва [12] истинод шудааст, рӯйхати манбаъҳои мақолаи шашсаҳифагии нашршуда бо [10] анҷом меёбад. Маълумоти библиографии норасо бо тахмин пур карда нашудааст.

Маблағгузорӣ: Изҳороти алоҳидаи маблағгузорӣ вуҷуд надорад.

Бархӯрди манфиатҳо: Изҳороти алоҳидаи бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Дастрасии додаҳо: Таҳқиқот мақолаи математикаи назариявӣ аст; маҷмӯи додаҳои алоҳида гузориш нашудааст ва data availability statement-и алоҳида вуҷуд надорад.

Кумитаи ахлоқ: Таҳқиқот пажӯҳиши математикаи назариявӣ буда, инсон, ҳайвон ё намунаи клиникиро дар бар намегирад; дар манбаъ изҳороти алоҳидаи кумитаи ахлоқ вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон / CRediT: Дар манбаъ изҳороти алоҳидаи саҳми муаллифон вуҷуд надорад.

Азнавсозии визуалӣ: Дар манбаъ шакли аслӣ вуҷуд надорад. Сохтори ошкори рамзии граф дар Теоремаи 2.1 барои Verianla ҳамчун схемаи inline SVG-и бемиқёс ва аз манбаъ ҳосилшуда аз нав ифода шудааст.

Ҳадди асосии тафсир: Натиҷаҳои таҳқиқот инвариантҳои назариявии граф барои графи PORP-и гурӯҳҳои сиклии \(p\) мебошанд. Онҳо набояд ҳамчун натиҷаи озмоиши ҷаҳони воқеӣ, ченаки физикӣ, дақиқии пешгӯӣ ё фаъолияти татбиқ тафсир шаванд. Бо сабаби номувофиқиҳои математикӣ дар манбаъ, махсусан ифодаҳои Forgotten ва Harary барои \(p=2\) пеш аз истифода ба санҷиши мустақили математикӣ ниёз доранд.