Product Order Relatively Prime Graph — grafu ya PORP, ni grafu ya kialjebra inayochukua elementi za kundi lenye ukomo kama vipeo na kufafanua ujirani kati ya elementi mbili tofauti za kundi kulingana na sharti la taratibu za elementi na utaratibu wa zao lao kuwa tasa kwa pamoja. Utafiti huu wa kinadharia, kwa namba tasa \(p\) na \(\alpha\geq1\), unachunguza indeksi sita za kitopolojia kwenye grafu ya PORP ya kundi la mzunguko la \(p\), \(\mathbb Z_{p^\alpha}\), yaani \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\): indeksi ya kwanza ya Zagreb, ya pili ya Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary na Hyper-Wiener. Mbinu ni kutumia muundo wa grafu na mfuatano wa madaraja uliokwisha kujulikana, kuainisha kingo kulingana na jozi za madaraja ya vipeo vya mwisho, na kutumia mgawanyo wa umbali wa jozi za vipeo ili kuhesabu indeksi katika umbo funge. Utafiti si wa majaribio; hauna mkusanyiko wa data, sampuli, uigaji au jaribio la takwimu.

Matokeo makuu ya kimuundo ya makala ni kwamba grafu \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\), wakati \(p\) ni namba tasa isiyo ya jozi, inaweza kuoneshwa kama muundo ambamo kipeo kimoja cha jumla kimeunganishwa na vipeo vyote vya nakala \((p^\alpha-1)/2\) za \(K_2\); wakati \(p=2\), kipeo kimoja cha jumla huunganishwa na nakala \((2^\alpha-2)/2\) za \(K_2\) pamoja na \(K_1\) ya ziada. Muundo huu maalumu unawezesha indeksi zinazotegemea daraja kuhesabiwa kupitia madarasa ya kingo na indeksi zinazotegemea umbali kuhesabiwa kwa kutumia tu umbali 1 na 2.

Kwa kuanzia muundo huu, waandishi wanatoa fomula funge kwa indeksi zote sita, wakitenganisha hali ya \(p\) tasa isiyo ya jozi na hali ya \(p=2\). Hata hivyo, kuna baadhi ya matatizo ya ulinganifu wa kihisabati ndani ya maandishi ya chanzo: idadi ya marudio katika mfuatano wa madaraja kwa \(p=2\), indeksi ya Forgotten kwa \(p=2\), na indeksi ya Harary kwa \(p=2\) hazilingani kikamilifu na ufafanuzi na hesabu za awali za makala yenyewe. Verianla haibadilishi fomula hizi kimya kimya; inawasilisha matokeo yaliyochapishwa kama yalivyo na kuonesha ukaguzi wa kialjebra wa ndani ya chanzo kando.

Kundi la mzunguko la p ni nini?

Kundi la mzunguko, ni kundi ambalo elementi zake zote zinaweza kuzalishwa kutoka kwa nguvu za elementi moja. Muundo unaochunguzwa katika utafiti unaoneshwa kwa

\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]

Hapa \(p\) ni namba tasa, \(\alpha\geq1\) ni namba kamili, na idadi ya elementi za kundi, yaani utaratibu wa kundi, ni \(p^\alpha\).

Kwa mfano, ikiwa \(p=3\) na \(\alpha=2\), utaratibu wa kundi ni \(3^2=9\). Mfano huu ni wa kueleza tu maana ya alama; makala ya chanzo haifanyi jaribio la namba kwa thamani maalumu za \(p\) na \(\alpha\).

Utaratibu wa elementi ya kundi ni nini?

Chanzo, ikiwa \(G\) ni kundi lenye ukomo na \(a\in G\), kinaonesha utaratibu wa elementi kwa \(o(a)\). \(o(a)\),

\[ a^n=e \]

ni namba kamili chanya ndogo zaidi \(n\) inayotimiza usawa huo. \(e\) hapa ni elementi ya utambulisho ya kundi.

Kwa maneno mengine, tunapozidisha elementi ya kundi na yenyewe mfululizo, nguvu chanya ya kwanza inayoturudisha kwenye elementi ya utambulisho ndiyo huamua utaratibu wa elementi hiyo.

Ujirani katika grafu ya PORP unafafanuliwaje?

Katika chanzo, grafu ya PORP ya kundi lenye ukomo \(G\) inaoneshwa kwa

\[ \Gamma_{porp}(G) \]

na mkusanyiko wa vipeo unaundwa moja kwa moja na elementi za kundi:

\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]

Vipeo tofauti \(a,b\in G\), kwa mujibu wa ufafanuzi wa chanzo, ni majirani ikiwa na tu ikiwa

\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]

angalau mojawapo ya masharti haya inatimizwa.

Alama \((x,y)=1\) hapa inamaanisha kwamba namba kamili chanya mbili husika hazina kigawanyo cha pamoja isipokuwa 1, yaani ni tasa kwa pamoja. Kwa hiyo, kuwepo kwa ukingo katika grafu ya PORP hakutegemei elementi mbili pekee, bali pia utaratibu wa elementi hizo na utaratibu wa zao \(ab\).

Grafu, kipeo, ukingo na daraja ni nini?

Grafu \(\Gamma\) huelezwa kwa mkusanyiko wa vipeo \(V(\Gamma)\) na mkusanyiko wa kingo \(E(\Gamma)\). Daraja la kipeo \(v\)

\[ d(v) \]

huoneshwa hivyo na ni idadi ya kingo zilizounganishwa na \(v\).

Umbali kati ya vipeo \(u\) na \(v\) huoneshwa kwa

\[ d(u,v) \]

na ni idadi ya kingo kwenye njia fupi zaidi inayounganisha vipeo hivyo viwili. Tofauti kuu kati ya familia mbili za indeksi katika makala ya chanzo inatokana na hili:

• Indeksi zinazotegemea daraja, hutumia thamani za \(d(u)\) na \(d(v)\) katika ncha za kingo.
• Indeksi zinazotegemea umbali, hutumia thamani za \(d(u,v)\) kati ya jozi za vipeo.

Indeksi ya kitopolojia ni nini?

Katika makala hii, usemi “indeksi ya kitopolojia” unamaanisha invarianti ya grafu inayofupisha sifa za kimuundo za grafu kwa namba moja. Matumizi haya hayapaswi kuchanganywa na dhana ya “nafasi ya kitopolojia” katika taaluma ya jumla ya topolojia.

Ikiwa vipeo vya grafu vitapewa majina mapya lakini muundo wa miunganisho usibadilike, thamani ya indeksi kama hizi haibadiliki. Kwa hiyo indeksi zinaweza kutumiwa kulinganisha sifa za kimuundo za familia tofauti za grafu.

Teorema 2.1 inasema nini kuhusu muundo wa grafu?

Chanzo, kwa \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), \(p\) ikiwa namba tasa na \(\alpha\geq1\):

\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]

Alama zilizo hapa zinahitaji kufafanuliwa moja moja.

• \(K_1\): grafu yenye kipeo kimoja.
• \(K_2\): grafu kamili yenye vipeo viwili vilivyounganishwa na ukingo mmoja.
• \(mK_2\): nakala \(m\) za \(K_2\) ambazo hazijaunganishwa.
• \(\cup\): hapa inaonesha muungano wa vipengele.
• \(\vee\): ni operesheni ya join ya grafu mbili; grafu hizo mbili huhifadhi muundo wao wa ndani huku kila kipeo cha grafu ya kwanza kikiunganishwa na kila kipeo cha grafu ya pili.

Kwa hiyo \(K_1\) ya nje katika fomula huwa kipeo cha jumla kinachounganishwa na vipeo vyote katika sehemu ya pili.

Kwa nini muundo huu hurahisisha mahesabu?

\(K_1\) iliyo katikati ya grafu imeunganishwa na vipeo vingine vyote. Kwa hiyo daraja la kipeo cha kati ni sawa na idadi ya vipeo vingine vyote vya grafu. Pia, vipeo vilivyo nje ya kituo kwa kawaida vimeunganishwa na jirani mmoja ndani ya jozi za \(K_2\) na kipeo cha kati, hivyo vina daraja 2.

Mpangilio huu unawezesha kingo za grafu kuainishwa kwa jozi chache tu za madaraja tofauti. Yaani badala ya kujumlisha maelfu au mamilioni ya kingo moja moja, inatosha kujibu swali “kuna kingo ngapi zenye jozi hii ya madaraja?”

Mfuatano wa madaraja uliotolewa katika Teorema 2.2

Chanzo, wakati \(p\) ni namba tasa isiyo ya jozi, kinatoa mfuatano wa madaraja kama

\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]

na kinaeleza kwamba daraja 2 linarudiwa mara \(p^\alpha-1\). Muundo huu una jumla ya vipeo \(p^\alpha\): kipeo kimoja cha jumla na vipeo \(p^\alpha-1\) vya daraja-2.

Kwa \(p=2\), chanzo kinaandika

\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]

Hata hivyo, katika mstari huo huo kinaeleza kwamba daraja 2 linarudiwa “mara \(p^\alpha-1\)”. Kauli hii hailingani na Teorema 2.1 na Lemma 3.1 inayofuata.

Kulingana na muundo wa \(p=2\) katika Teorema 2.1, nakala \((2^\alpha-2)/2\) za \(K_2\) huzalisha jumla ya

\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]

vipeo vya daraja-2. Kikiwekwa kipeo kimoja cha jumla cha daraja-\((2^\alpha-1)\) na kipeo kimoja cha daraja-1, jumla huwa

\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]

vipeo. Kwa hiyo muundo unaotumiwa katika mahesabu yanayofuata unaendana na vipeo \(2^\alpha-2\) vya daraja-2. Maelezo haya hayabadilishi kimya kimya mstari uliochapishwa wa Teorema 2.2; yanaonesha kwa nini sehemu mbili za chanzo hicho hicho hazilingani.

Mgawanyo wa kingo unafanywaje?

Lemma 3.1 inaainisha kingo kulingana na jozi za madaraja ya ncha zake ili kurahisisha mahesabu ya indeksi zinazotegemea daraja.

Wakati \(p\) ni namba tasa isiyo ya jozi, kuna madarasa mawili ya kingo:

Wakati \(p=2\), kuna madarasa matatu ya kingo:

Jedwali hili ndilo msingi wa kihisabati wa matokeo ya makala yanayotegemea daraja. Badala ya kuhesabu mchango wa kila ukingo mmoja mmoja katika ufafanuzi wa indeksi, mchango wa pamoja wa kingo zote zenye jozi ileile ya madaraja huzidishwa kwa idadi ya kingo.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Indeksi ya kwanza ya Zagreb \(M_1\)

Indeksi ya kwanza ya Zagreb:

\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]

inafafanuliwa hivyo.

Kwa kila ukingo, madaraja ya vipeo viwili vya mwisho hujumlishwa na michango hii hukusanywa kwa kingo zote. Kwa kuwa madaraja ni thamani za kuhesabu tu, indeksi haina kipimo.

Matokeo ya Teorema 3.1 ya chanzo:

\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]

Katika hali ya p tasa isiyo ya jozi, kwa mfano, kila ukingo katika darasa \(E_1\)

\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]

huchangia. Kuna kingo \(p^\alpha-1\) za aina hii. Mchango wa kila ukingo katika darasa \(E_2\) ni \(2+2=4\). Umbo funge katika makala hupatikana kwa kurahisisha jumla za madarasa haya.

Indeksi ya pili ya Zagreb \(M_2\)

Indeksi ya pili ya Zagreb hutumia zao la madaraja ya ncha badala ya jumla ya madaraja:

\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]

Matokeo ya Teorema 3.2 ya chanzo:

\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]

Kwa mfano, katika hali ya p tasa isiyo ya jozi, mchango wa ukingo wenye jozi ya madaraja \((p^\alpha-1,2)\) ni

\[ 2(p^\alpha-1) \]

Mchango wa ukingo katika darasa \((2,2)\) ni \(4\).

Indeksi ya Forgotten \(F\)

Indeksi ya Forgotten hutumia mraba wa madaraja katika ncha mbili za ukingo:

\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]

Matokeo yaliyochapishwa na chanzo katika Teorema 3.3:

\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]

Tatizo la ulinganifu wa ndani ya chanzo katika indeksi ya Forgotten

Katika hali ya \(p=2\), darasa la tatu la kingo katika Lemma 3.1 lina jozi moja ya madaraja \((2^\alpha-1,1)\). Kwa mujibu wa ufafanuzi wa Forgotten, mchango wa ukingo huu mmoja unapaswa kuwa

\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]

hivyo.

Hata hivyo, katika mstari wa uthibitisho wa chanzo, mchango huu

\[ (2^\alpha-1)(1) \]

umeandikwa kwa namna hiyo. Hii si operesheni ileile na jumla ya miraba katika ufafanuzi wa indeksi ya Forgotten.

Ikiwa tutatumia moja kwa moja madarasa ya kingo ya Lemma 3.1 ya chanzo yenyewe na ufafanuzi wake wa Forgotten, jumla ifuatayo hupatikana kama ukaguzi wa kialjebra wa ndani ya chanzo pekee:

\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]

Ikiwa \(x=2^\alpha\) itaandikwa:

\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]

hivyo

\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]

Muhimu: Usemi wa mwisho si matokeo yaliyochapishwa ya Teorema 3.3 ya makala. Umehesabiwa na Verianla kwa lengo pekee la kuonesha ulinganifu wa kialjebra wa ufafanuzi wa chanzo na data yake ya Lemma 3.1. Usemi uliochapishwa na makala ni \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\).

Kwa nini indeksi zinazotegemea umbali zinaweza kuhesabiwa kwa umbali mbili tu?

Kwa sababu ya muundo wa join katika Teorema 2.1, kipeo cha jumla katikati ni jirani wa vipeo vingine vyote. Kwa hiyo hata kama vipeo viwili si majirani moja kwa moja, vinaweza kufikiana kupitia kipeo cha jumla kwa hatua zisizozidi mbili.

Kwa sababu hii, chanzo hutumia kipenyo cha grafu kuwa 2. Jozi zisizopangwa za vipeo tofauti ziko tu katika:

• umbali 1,
• umbali 2

mojawapo ya hali hizi.

Chanzo:

• \(N_1\): idadi ya jozi zisizopangwa za vipeo zenye umbali 1,
• \(N_2\): idadi ya jozi zisizopangwa za vipeo zenye umbali 2

hufafanua namba mbili kwa namna hiyo.

Mgawanyo wa umbali kwa p tasa isiyo ya jozi

Chanzo hutumia:

\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]

na

\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]

thamani hizo.

\(N_1\) pia ni idadi ya kingo; kwa sababu jozi za vipeo zenye umbali 1 ndizo hasa jozi za vipeo jirani moja kwa moja.

Mgawanyo wa umbali kwa p=2

Chanzo kinatoa:

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]

na

\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

thamani hizo.

Indeksi ya Wiener \(W\)

Indeksi ya Wiener hujumlisha umbali wa njia fupi zaidi wa jozi zote zisizopangwa za vipeo:

\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]

Kwa kuwa umbali wote katika grafu ni 1 au 2:

\[ W=N_1+2N_2. \]

Matokeo ya Teorema 3.4 ya chanzo:

\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Hapa jozi ya vipeo yenye umbali 2 huchangia vitengo viwili kwa jumla, wakati jozi yenye umbali 1 huchangia kitengo kimoja.

Indeksi ya Harary \(H\)

Indeksi ya Harary hujumlisha kinyume cha umbali badala ya umbali wenyewe:

\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]

Kwa kuwa katika familia hii ya grafu umbali ni 1 na 2 tu:

\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]

Fomula iliyochapishwa na chanzo katika Teorema 3.5:

\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]

Kutolingana kwa alama ndani ya chanzo katika indeksi ya Harary

Ikiwa thamani

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

ambazo chanzo kinatoa katika sehemu hiyo hiyo zitawekwa moja kwa moja katika usemi wake

\[ H=N_1+\frac12N_2 \]

tunapata:

\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]

Kurahisisha kwa denominator ya pamoja:

\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]

na hivyo:

\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]

Chanzo katika Teorema 3.5 kinatoa neno la katikati kwa alama ya kutoa. Usemi wenye alama ya kujumlisha hapa hauwasilishwi kama matokeo mapya ya makala; ni ukaguzi tu wa ulinganifu wa kialjebra wa \(N_1\), \(N_2\) na ufafanuzi wa Harary uliotolewa na chanzo.

Indeksi ya Hyper-Wiener \(WW\)

Chanzo kinafafanua indeksi ya Hyper-Wiener kama:

\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]

inafafanuliwa kwa namna hiyo.

Kwa jozi yenye umbali 1, mchango ni:

\[ \frac12(1+1^2)=1, \]

na kwa jozi yenye umbali 2:

\[ \frac12(2+2^2)=3 \]

hivyo:

\[ WW=N_1+3N_2. \]

Matokeo ya Teorema 3.6 ya chanzo:

\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Katika maandishi ya uthibitisho ya chanzo, katika hatua hii, katika mstari mmoja, alama \(WW\) imeandikwa kama \(W\); kichwa cha Teorema 3.6, ufafanuzi na uhusiano wa \(N_1+3N_2\) unaozunguka sehemu hiyo vinaonesha kwamba hii ni hesabu ya Hyper-Wiener. Verianla haifichi tofauti ya alama, lakini inaeleza hesabu husika katika muktadha wa Hyper-Wiener.

Fomula funge za indeksi sita zilizochapishwa katika chanzo

Tabia ya ukuaji wa indeksi inaweza kusomwaje?

Maelezo yafuatayo ni kwa ajili ya kufafanua tabia ya kihisabati ya fomula funge zilizotolewa katika chanzo; si matokeo mapya ya majaribio.

Ikiwa \(x=p^\alpha\) itaandikwa, katika hali ya p tasa isiyo ya jozi:

• \(M_1=(x-1)(x+3)\), neno linalotawala ni \(x^2\).
• \(M_2=2x(x-1)\), neno linalotawala ni \(2x^2\).
• \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), neno linalotawala ni \(x^3\).
• \(W=(x-1)(2x-3)/2\), neno linalotawala ni \(x^2\).
• \(H=(x-1)(x+3)/4\), neno linalotawala ni \(x^2/4\).
• \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), neno linalotawala ni \(3x^2/2\).

Tofauti hii husaidia hasa kueleza ukuaji wa kiwango cha juu unaotokana na indeksi ya Forgotten kujumlisha miraba ya madaraja. Hata hivyo, kiwango cha ukuaji hakimaanishi kwamba indeksi ni “bora” au “mbaya” zaidi; kinaonesha tu kwamba zinafupisha sifa tofauti za kimuundo kwa uzani tofauti.

Mbinu kuu ya kihisabati ya utafiti hatua kwa hatua

1. Kundi la mzunguko la \(p\), \(\mathbb Z_{p^\alpha}\), huchaguliwa.
2. Muundo wa grafu ya PORP uliopatikana awali hutumiwa kupitia Teorema 2.1.
3. Mfuatano wa madaraja ya grafu huamuliwa.
4. Kwa indeksi zinazotegemea daraja, kingo huainishwa kulingana na jozi \((d(u),d(v))\).
5. Idadi ya elementi katika kila darasa la kingo huhesabiwa.
6. Michango kwa kila ukingo ya indeksi ya kwanza ya Zagreb, ya pili ya Zagreb na Forgotten huhesabiwa na kuzidishwa kwa ukubwa wa madarasa.
7. Kwa indeksi zinazotegemea umbali, hutumiwa ukweli kwamba kipenyo cha grafu ni 2.
8. Idadi ya jozi zenye umbali 1 huhesabiwa kama \(N_1\), na idadi ya jozi zenye umbali 2 kama \(N_2\).
9. Fomula funge hupatikana kwa kutumia mahusiano \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) na \(WW=N_1+3N_2\).
10. Miundo ya \(p\) tasa isiyo ya jozi na \(p=2\) hutathminiwa kando.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Inaoneshwa kwamba kwa \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\), indeksi zinazotegemea daraja na zinazotegemea umbali zinaweza kuhesabiwa katika umbo funge kwa kutumia taarifa ya kimuundo ya grafu.
• Fomula wazi zinachapishwa kwa indeksi ya kwanza ya Zagreb, ya pili ya Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary na Hyper-Wiener.
• Mgawanyo wa kingo unawezesha indeksi zinazotegemea daraja kuhesabiwa kwa msingi wa madarasa badala ya jumla ya moja kwa moja.
• Kipenyo cha grafu kuwa 2 hupunguza indeksi zinazotegemea umbali hadi namba \(N_1\) na \(N_2\) pekee.
• Kwa kuwa muundo wa grafu katika hali ya \(p\) tasa isiyo ya jozi unatofautiana na hali ya \(p=2\), fomula hutolewa katika hali mbili tofauti.
• Matokeo yanatoa muundo wa kinadharia unaoweza kuwa msingi wa kuchunguza grafu za PORP kwenye madarasa mengine ya makundi yenye ukomo.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono

• Utafiti haufanyi jaribio kwenye mfumo wa kimwili, kikemia au kibaolojia.
• Haijajaribiwa katika makala hii kwamba indeksi za kitopolojia hutabiri utendaji fulani wa ulimwengu halisi.
• Makala haitoi ulinganisho wa utata wa muda wa algoriti au muda wa uendeshaji wa kompyuta.
• Uigaji wa namba, uthibitishaji wa programu au uthibitishaji wa kiishara unaosaidiwa na kompyuta hauripotiwi.
• Haijaoneshwa kwamba fomula ni halali kwa madarasa yote ya makundi yenye ukomo; utafiti umewekewa mipaka ya makundi ya mzunguko ya \(p\).
• Kutolingana kwa fomula za Forgotten na Harary kwa \(p=2\) ndani ya chanzo hakupaswi kufasiriwa kana kwamba marekebisho/erratum huru yamechapishwa.

Muhtasari wa matatizo ya ulinganifu ndani ya chanzo

Vikwazo vikuu vya utafiti

Familia moja ya grafu: Matokeo yametolewa kwa \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\). Hayawezi kutumika moja kwa moja kwa aina nyingine za makundi yenye ukomo.

Kutegemea matokeo ya kimuundo ya awali: Teorema 2.1 na Teorema 2.2 zinategemea matokeo ya kazi ya awali ya PORP ya waandishi. Karatasi hii ya sasa haithibitishi upya miundo hii ya msingi kutoka mwanzo.

Matatizo ya kialjebra/uandishi ndani ya chanzo: Hasa katika hali ya \(p=2\), baadhi ya semi hazilingani. Hali hii inahitaji ukaguzi huru wa kihisabati kabla ya kutumia fomula husika.

Hakuna uthibitishaji wa kihesabu kwa programu: Chanzo hakitoi uthibitishaji uliopatikana kwa SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python au zana nyingine ya hesabu za kiishara/grafu.

Upungufu wa marejeo: Marejeo [11] na [12] yaliyotajwa katika maandishi hayapo katika orodha ya marejeo iliyochapishwa.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa asili: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups

Waandishi: R. Ponraj; T. Sutharson.

Mpangilio wa waandishi: R. Ponraj ni mwandishi wa kwanza, T. Sutharson ni mwandishi wa pili.

Ushirika wa R. Ponraj: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.

Ushirika wa T. Sutharson: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; chanzo pia kinaonesha ushirika wa Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India.

Corresponding author: Haijaelezwa wazi katika chanzo.

Mchango sawa / uandishi mwenza wa kwanza: Haijaripotiwa katika chanzo.

2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.

Aina ya chanzo: Karatasi ya utafiti wa hisabati ya kinadharia; imechapishwa katika kitabu cha makala za mkutano.

Jukwaa: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).

Kurasa za makala: Kurasa 1–6 katika kitabu cha makala za mkutano; kurasa 11–16 za PDF iliyopakiwa.

ISBN: 978-81-688512-8-3.

DOI iliyotolewa katika chanzo: 10.65647/msp/132/2026.

Hali ya DOI: Kwa kuwa DOI hiyo hiyo inarudiwa pia chini ya kurasa za makala tofauti katika kitabu cha mkutano, chanzo hakiiainishi wazi kama DOI huru mahususi kwa makala hii. Verianla haijaunda DOI tofauti ya makala.

Toleo: First Edition.

Tarehe ya toleo: August 2026.

Tofauti ya ndani ya chanzo kuhusu tarehe ya mkutano: Ingawa jildi imetolewa kama ICAMRI – 2026 na toleo la August 2026, ukurasa wa shirika la mkutano una tarehe 15th August 2025.

Shirika: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.

Ushirikiano wa kitaaluma: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.

Mapitio ya kitaalamu: Utangulizi wa kitabu cha makala za mkutano unasema kwamba kila muswada katika jildi ulitathminiwa na jopo la wakaguzi wenye uzoefu na wataalamu wa eneo husika chini ya rigorous peer-review process. Hii ni kauli ya kitabu cha mkutano chenyewe; utafiti haujaainishwa kama makala ya jarida lililopitiwa na wataalamu.

Leseni / hakimiliki: Chanzo kina maneno “All Rights Reserved” na © Publisher. Hakuna leseni wazi ya Creative Commons iliyotajwa.

Mawasiliano ya mchapishaji: Chanzo kinatoa taarifa za Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org na www.multispectrum.org.

Kiungo rasmi: Chanzo kinatoa https://www.multispectrum.org kama tovuti ya mchapishaji. URL tofauti rasmi mahususi kwa makala hii haijaoneshwa ndani ya PDF.

Maneno muhimu: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.

Eneo la kisayansi: Tafiti za grafu za kialjebra katika makutano ya nadharia ya grafu na nadharia ya makundi yenye ukomo.

Mbinu ya utafiti: Hisabati safi ya kinadharia/kiuchanganuzi. Fomula funge zimetolewa kupitia mgawanyo wa kingo na mgawanyo wa umbali kwa kutumia muundo wa grafu ya PORP na mfuatano wa madaraja uliokwisha kujulikana.

Jaribio: Hakuna.

Sampuli / mkusanyiko wa data: Hakuna.

Kundi dhibiti: Halitumiki.

Programu: Chanzo hakiripoti programu yoyote ya hisabati au grafu.

Mbinu ya takwimu: Hakuna.

Kitu kikuu cha kihisabati: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).

Vigezo: \(p\) ni namba tasa; \(\alpha\geq1\).

Zana kuu za kimuundo: Isomofia ya grafu katika Teorema 2.1, mfuatano wa madaraja katika Teorema 2.2, mgawanyo wa kingo katika Lemma 3.1 na mgawanyo wa umbali uliotumiwa katika Teorema 3.4.

Indeksi zilizohesabiwa: Zagreb ya kwanza \(M_1\), Zagreb ya pili \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).

Maelezo ya ulinganifu wa fomula: Katika chanzo, kwa \(p=2\), idadi ya marudio katika Teorema 2.2, fomula ya Forgotten katika Teorema 3.3 na fomula ya Harary katika Teorema 3.5 hazilingani na ufafanuzi au hesabu za awali ndani ya chanzo. Verianla haijabadilisha matokeo yaliyochapishwa; imeonesha hesabu ya ulinganifu kando.

Maelezo ya marejeo: Ingawa utangulizi unarejelea kazi [11] na [12], orodha ya marejeo ya karatasi ya kurasa sita iliyochapishwa inaishia [10]. Taarifa za marejeo zinazokosekana hazijakamilishwa kwa kubashiri.

Ufadhili: Hakuna taarifa tofauti ya ufadhili.

Mgongano wa maslahi: Hakuna taarifa tofauti ya mgongano wa maslahi.

Upatikanaji wa data: Utafiti ni makala ya hisabati ya kinadharia; hakuna mkusanyiko tofauti wa data ulioripotiwa na hakuna data availability statement tofauti.

Kamati ya maadili: Utafiti ni utafiti wa hisabati ya kinadharia usiohusisha binadamu, wanyama au sampuli za kliniki; hakuna taarifa tofauti ya kamati ya maadili katika chanzo.

Michango ya waandishi / CRediT: Hakuna taarifa tofauti ya michango ya waandishi katika chanzo.

Ujenzi upya wa taswira: Hakuna umbo asili katika chanzo. Muundo wazi wa kiishara wa grafu katika Teorema 2.1 umeelezwa upya kwa Verianla kama mchoro wa inline SVG usio na kipimo na unaotokana na chanzo.

Kikomo kikuu cha tafsiri: Matokeo ya utafiti ni invarianti za kinadharia za grafu ya PORP ya makundi ya mzunguko ya \(p\). Hayapaswi kufasiriwa kama matokeo ya majaribio ya ulimwengu halisi, vipimo vya kimwili, usahihi wa utabiri au utendaji wa matumizi. Kwa sababu ya kutolingana kwa kihisabati ndani ya chanzo, hasa semi za Forgotten na Harary kwa \(p=2\) zinahitaji uthibitishaji huru wa kihisabati kabla ya kutumiwa.