Product Order Relatively Prime Graph — PORP qrafı, sonlu qrupun elementlərini təpə kimi götürən və iki müxtəlif qrup elementi arasındakı qonşuluğu elementlərin tərtibləri ilə onların hasilinin tərtibi arasındakı qarşılıqlı sadəlik şərtinə görə müəyyən edən cəbri qrafdır. Bu nəzəri tədqiqat sadə \(p\) və \(\alpha\geq1\) üçün dövri \(p\)-qrupu \(\mathbb Z_{p^\alpha}\)-nın PORP qrafı \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) üzərində altı topoloji indeksi araşdırır: birinci Zagreb, ikinci Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary və Hyper-Wiener indeksləri. Metod əvvəlcədən məlum qraf strukturundan və dərəcə ardıcıllığından istifadə etmək, kənarları uclarındakı təpələrin dərəcə cütlərinə görə təsnifləşdirmək və təpə cütlərinin məsafə paylanmasından istifadə etməklə indeksləri qapalı formada hesablamaqdır. Tədqiqat eksperimental deyil; məlumat dəsti, seçmə, simulyasiya və ya statistik test ehtiva etmir.
Məqalənin əsas struktur nəticəsi budur ki, \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) qrafı \(p\) tək sadə olduqda bir universal təpənin \((p^\alpha-1)/2\) ədəd \(K_2\) komponentinin bütün təpələrinə qoşulduğu struktur; \(p=2\) olduqda isə bir universal təpənin \((2^\alpha-2)/2\) ədəd \(K_2\) və əlavə bir \(K_1\)-ə qoşulduğu struktur kimi ifadə edilə bilər. Bu xüsusi struktur həm dərəcə-əsaslı indekslərin kənar sinifləri vasitəsilə, həm də məsafə-əsaslı indekslərin yalnız 1 və 2 məsafələrindən hesablanmasını mümkün edir.
Müəlliflər bu strukturdan çıxış edərək altı indeks üçün \(p\) tək sadə və \(p=2\) hallarını ayrıca nəzərə alan qapalı düsturlar verirlər. Bununla yanaşı, mənbə mətnində bəzi riyazi uyğunluq problemləri var: \(p=2\) dərəcə ardıcıllığındakı təkrar sayı, \(p=2\) Forgotten indeksi və \(p=2\) Harary indeksi məqalənin öz əvvəlki tərif və saymaları ilə tam uyğun gəlmir. Verianla bu düsturları səssizcə dəyişmir; dərc olunmuş nəticəni olduğu kimi çatdırır və mənbədaxili cəbri yoxlamanı ayrıca göstərir.
Dövri p-qrupu nədir?
Bir dövri qrup, bütün elementləri tək bir elementin qüvvələrindən yaradıla bilən qrupdur. Tədqiqatda araşdırılan struktur
\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]
ilə göstərilir. Burada \(p\) sadə ədəd, \(\alpha\geq1\) tam ədəddir və qrupun elementlərinin sayı, yəni qrupun tərtibi \(p^\alpha\)-dır.
Məsələn, \(p=3\) və \(\alpha=2\) seçilərsə, qrupun tərtibi \(3^2=9\) olar. Bu nümunə yalnız işarələmənin nə demək olduğunu izah etmək üçündür; mənbə məqalə konkret \(p\) və \(\alpha\) qiymətlərindən ibarət ədədi təcrübə aparmır.
Qrup elementinin tərtibi nədir?
Mənbə \(G\) sonlu qrup və \(a\in G\) olmaqla elementin tərtibini \(o(a)\) ilə göstərir. \(o(a)\),
\[ a^n=e \]
bərabərliyini ödəyən ən kiçik müsbət \(n\) tam ədədidir. Buradakı \(e\) qrupun vahid elementidir.
Başqa sözlə, qrup elementini özü ilə ardıcıl vurduqda ilk dəfə hansı müsbət qüvvətdə vahid elementə qayıtdığımız həmin elementin tərtibini müəyyən edir.
PORP qrafında qonşuluq necə müəyyən edilir?
Mənbədə sonlu \(G\) qrupunun PORP qrafı
\[ \Gamma_{porp}(G) \]
ilə göstərilir və təpə çoxluğu birbaşa qrup elementlərindən ibarətdir:
\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]
Bir-birindən fərqli \(a,b\in G\) təpələri, mənbə tərifinə görə yalnız və yalnız
\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]
şərtlərindən ən azı biri ödənirsə qonşudur.
Buradakı \((x,y)=1\) işarəsi müvafiq iki müsbət tam ədədin ortaq böləninin yalnız 1 olması, yəni ədədlərin qarşılıqlı sadə olması mənasında işlədilir. Buna görə PORP qrafında kənarın mövcudluğu yalnız iki elementin özündən deyil, həmin elementlərin tərtiblərindən və \(ab\) hasilinin tərtibindən asılıdır.
Qraf, təpə, kənar və dərəcə nə deməkdir?
Qraf \(\Gamma\), təpə çoxluğu \(V(\Gamma)\) və kənar çoxluğu \(E(\Gamma)\) ilə ifadə olunur. \(v\) təpəsinin dərəcəsi
\[ d(v) \]
ilə göstərilir və \(v\)-yə bağlı kənarların sayıdır.
İki \(u\) və \(v\) təpəsi arasındakı məsafə isə
\[ d(u,v) \]
ilə göstərilir və bu iki təpəni birləşdirən ən qısa yolun kənar sayıdır. Mənbə məqalədəki iki indeks ailəsinin əsas fərqi buradan yaranır:
- Dərəcə-əsaslı indekslər, kənarların uclarındakı \(d(u)\) və \(d(v)\) qiymətlərindən istifadə edir.
- Məsafə-əsaslı indekslər, təpə cütləri arasındakı \(d(u,v)\) qiymətlərindən istifadə edir.
Topoloji indeks nə deməkdir?
Bu məqalədə “topoloji indeks” ifadəsi qrafın struktur xüsusiyyətlərini tək bir ədədlə xülasə edən qraf invariantı mənasındadır. Buradakı istifadə ümumi topologiya sahəsindəki “topoloji fəza” anlayışı ilə qarışdırılmamalıdır.
Qraf yenidən adlandırılsa, lakin əlaqə strukturu dəyişməsə, bu cür indekslərin qiyməti dəyişməz. Buna görə indekslər müxtəlif qraf ailələrinin struktur xüsusiyyətlərini müqayisə etmək üçün istifadə oluna bilər.
Teorem 2.1 qrafın strukturu haqqında nə deyir?
Mənbə, \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), \(p\) sadə və \(\alpha\geq1\) olmaqla:
\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]
Buradakı simvolları bir-bir açıqlamaq lazımdır.
- \(K_1\): tək təpəli qraf.
- \(K_2\): iki təpənin bir kənarla bağlı olduğu tam qraf.
- \(mK_2\): bir-birindən ayrıq \(m\) ədəd \(K_2\) nüsxəsi.
- \(\cup\): burada komponentlərin birləşməsini göstərir.
- \(\vee\): iki qrafın join əməliyyatıdır; iki qraf öz daxili strukturunu saxlayarkən birinci qrafın hər təpəsi ikinci qrafın hər təpəsinə qoşulur.
Buna görə düsturdakı xarici \(K_1\), ikinci hissədəki bütün təpələrə qoşulan universal təpə olur.
Bu quruluş hesablamaları niyə asanlaşdırır?
Qrafın mərkəzindəki \(K_1\) bütün digər təpələrə bağlıdır. Buna görə mərkəzi təpənin dərəcəsi qrafın bütün digər təpələrinin sayına bərabərdir. Bundan əlavə, mərkəzdən kənardakı təpələr əsasən \(K_2\) cütlərində bir qonşuya və mərkəzi təpəyə bağlı olduqları üçün dərəcələri 2-dir.
Bu quruluş qrafın kənarlarını yalnız bir neçə müxtəlif dərəcə cütü üzrə təsnifləşdirməyə imkan verir. Yəni minlərlə və ya milyonlarla kənarı bir-bir toplamaq əvəzinə, “bu dərəcə cütünə malik neçə kənar var?” sualını cavablandırmaq kifayət edir.
Teorem 2.2-də verilən dərəcə ardıcıllığı
Mənbə \(p\) tək sadə olduqda dərəcə ardıcıllığını
\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]
şəklində verir və dərəcə 2-nin \(p^\alpha-1\) dəfə təkrarlandığını bildirir. Bu struktur ümumilikdə \(p^\alpha\) təpə verir: bir universal təpə və \(p^\alpha-1\) ədəd dərəcə-2 təpə.
\(p=2\) üçün mənbədə
\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]
yazılır. Lakin eyni sətirdə dərəcə 2-nin “\(p^\alpha-1\) dəfə” təkrarlandığı bildirilir. Bu ifadə Teorem 2.1 və sonrakı Lemma 3.1 ilə uyğun gəlmir.
Teorem 2.1-in \(p=2\) quruluşuna görə \((2^\alpha-2)/2\) ədəd \(K_2\), ümumilikdə
\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]
ədəd dərəcə-2 təpə yaradır. Buna bir universal dərəcə-\((2^\alpha-1)\) təpə və bir dərəcə-1 təpə əlavə edildikdə ümumi
\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]
təpə alınır. Buna görə sonrakı hesablamalarda istifadə olunan struktur \(2^\alpha-2\) ədəd dərəcə-2 təpə ilə uyğundur. Bu izah mənbədə dərc edilmiş Teorem 2.2 sətrini səssizcə dəyişdirmək deyil; eyni mənbənin iki hissəsinin niyə bir-biri ilə uyğun gəlmədiyini göstərməkdir.
Kənarların bölünməsi necə aparılır?
Lemma 3.1, dərəcə-əsaslı indekslərin hesablanmasını asanlaşdırmaq üçün kənarları uclarındakı dərəcə cütlərinə görə təsnifləşdirir.
\(p\) tək sadə olduqda iki kənar sinfi vardır:
| Kənar sinfi | Ucların dərəcə cütü | Kənar sayı |
|---|---|---|
| \(E_1\) | \((p^\alpha-1,2)\) | \(p^\alpha-1\) |
| \(E_2\) | \((2,2)\) | \(\dfrac{p^\alpha-1}{2}\) |
\(p=2\) olduqda üç kənar sinfi vardır:
| Kənar sinfi | Ucların dərəcə cütü | Kənar sayı |
|---|---|---|
| \(E_1\) | \((2^\alpha-1,2)\) | \(2^\alpha-2\) |
| \(E_2\) | \((2,2)\) | \(\dfrac{2^\alpha-2}{2}\) |
| \(E_3\) | \((2^\alpha-1,1)\) | 1 |
Bu cədvəl məqalənin dərəcə-əsaslı nəticələrinin riyazi mühərrikidir. İndeks tərifində hər kənarın töhfəsi ayrı-ayrılıqda hesablanmaq əvəzinə, eyni dərəcə cütünə malik bütün kənarların ortaq töhfəsi kənar sayı ilə vurulur.
Tədqiqatın Metodu və Nəticələri
Birinci Zagreb indeksi \(M_1\)
Birinci Zagreb indeksi:
\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]
şəklində müəyyən edilir.
Hər kənar üçün iki uc təpənin dərəcələri toplanır və bütün kənarlar üzrə bu töhfələr cəmlənir. Dərəcələr yalnız sayma qiymətləri olduğuna görə indeks ölçüsüzdür.
Mənbənin Teorem 3.1 nəticəsi:
\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]
Tək sadə halında, məsələn, \(E_1\) sinfindəki hər kənar
\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]
töhfə verir. Bu cür kənarlardan \(p^\alpha-1\) ədəd vardır. \(E_2\) sinfindəki hər kənarın töhfəsi isə \(2+2=4\)-dür. Məqalədəki qapalı forma bu sinif cəmlərinin sadələşdirilməsi ilə alınır.
İkinci Zagreb indeksi \(M_2\)
İkinci Zagreb indeksi dərəcələrin cəmi əvəzinə uclardakı dərəcələrin hasilindən istifadə edir:
\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]
Mənbənin Teorem 3.2 nəticəsi:
\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]
Məsələn, tək sadə halında \((p^\alpha-1,2)\) dərəcə cütünə malik kənarın töhfəsi
\[ 2(p^\alpha-1) \]
olur. \((2,2)\) sinfindəki kənarın töhfəsi isə \(4\)-dür.
Forgotten indeksi \(F\)
Forgotten indeksi kənarın iki ucundakı dərəcələrin kvadratlarından istifadə edir:
\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]
Mənbənin Teorem 3.3-də dərc etdiyi nəticə:
\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]
Forgotten indeksində mənbədaxili uyğunluq problemi
\(p=2\) halında Lemma 3.1-də üçüncü kənar sinfi bir ədəd \((2^\alpha-1,1)\) dərəcə cütündən ibarətdir. Forgotten tərifinə görə bu tək kənarın töhfəsi
\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]
olmalıdır.
Lakin mənbənin sübut sətrində bu töhfə
\[ (2^\alpha-1)(1) \]
şəklində yazılıb. Bu, Forgotten indeksinin kvadratların cəmi tərifi ilə eyni əməliyyat deyil.
Mənbənin öz Lemma 3.1 kənar siniflərini və öz Forgotten tərifini birbaşa tətbiq etsək, yalnız bir mənbədaxili cəbri yoxlama olaraq aşağıdakı cəm alınır:
\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]
\(x=2^\alpha\) yazsaq:
\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]
deməli
\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]
Vacib: Son ifadə məqalənin dərc olunmuş Teorem 3.3 nəticəsi deyil. Verianla tərəfindən yalnız mənbənin öz tərifi və öz Lemma 3.1 məlumatının cəbri uyğunluğunu göstərmək üçün hesablanıb. Məqalənin dərc etdiyi ifadə \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\)-dir.
Məsafə-əsaslı indekslər niyə yalnız iki məsafə ilə hesablana bilir?
Teorem 2.1-dəki join quruluşuna görə mərkəzdəki universal təpə bütün digər təpələrə qonşudur. Buna görə iki təpə birbaşa qonşu olmasa belə, universal təpə üzərindən ən çox iki addımda bir-birinə çata bilər.
Mənbə buna görə qrafın diametrini 2 kimi istifadə edir. Sırasız müxtəlif təpə cütləri yalnız:
- məsafə 1,
- məsafə 2
hallarından birində olur.
Mənbə:
- \(N_1\): məsafəsi 1 olan sırasız təpə cütlərinin sayı,
- \(N_2\): məsafəsi 2 olan sırasız təpə cütlərinin sayı
şəklində iki say müəyyən edir.
Tək sadə p üçün məsafə paylanması
Mənbə:
\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]
və
\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]
qiymətlərindən istifadə edir.
\(N_1\) eyni zamanda kənar sayıdır; çünki məsafəsi 1 olan təpə cütləri məhz birbaşa qonşu təpə cütləridir.
p=2 üçün məsafə paylanması
Mənbə:
\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]
və
\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]
qiymətlərini verir.
Wiener indeksi \(W\)
Wiener indeksi bütün sırasız təpə cütlərinin ən qısa yol məsafələrini cəmləyir:
\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]
Qrafdakı bütün məsafələr 1 və ya 2 olduğuna görə:
\[ W=N_1+2N_2. \]
Mənbənin Teorem 3.4 nəticəsi:
\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]
Burada məsafəsi 2 olan təpə cütü ümumi cəmə iki vahid töhfə verdiyi halda, məsafəsi 1 olan cüt bir vahid töhfə verir.
Harary indeksi \(H\)
Harary indeksi məsafənin özünü deyil, tərsini cəmləyir:
\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]
Bu qraf ailəsində məsafələr yalnız 1 və 2 olduğuna görə:
\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]
Mənbənin Teorem 3.5-də dərc etdiyi düstur:
\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]
Harary indeksində mənbədaxili işarə uyğunsuzluğu
Mənbənin eyni bölmədə verdiyi
\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]
qiymətlərini öz
\[ H=N_1+\frac12N_2 \]
ifadəsinə birbaşa qoysaq:
\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]
Ortaq məxrəcə gətirib sadələşdirmə:
\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]
və deməli:
\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]
Mənbə Teorem 3.5-də orta həddi mənfi işarə ilə verir. Buradakı müsbət işarəli ifadə məqalənin yeni nəticəsi kimi təqdim edilmir; yalnız mənbədə verilmiş \(N_1\), \(N_2\) və Harary tərifinin bir-biri ilə cəbri uyğunluq yoxlamasıdır.
Hyper-Wiener indeksi \(WW\)
Mənbə Hyper-Wiener indeksini:
\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]
şəklində müəyyən edir.
Məsafəsi 1 olan cüt üçün töhfə:
\[ \frac12(1+1^2)=1, \]
məsafəsi 2 olan cüt üçün isə:
\[ \frac12(2+2^2)=3 \]
olduğuna görə:
\[ WW=N_1+3N_2. \]
Mənbənin Teorem 3.6 nəticəsi:
\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]
Mənbənin sübut mətnində bu mərhələdə bir sətirdə \(WW\) əvəzinə \(W\) simvolu işlədilib; ətrafındakı Teorem 3.6 başlığı, tərif və \(N_1+3N_2\) əlaqəsi bunun Hyper-Wiener hesabını ifadə etdiyini göstərir. Verianla simvol fərqini gizlətmir, lakin müvafiq hesabı Hyper-Wiener kontekstində izah edir.
Altı indeksin mənbədə dərc olunan qapalı düsturları
| İndeks | p tək sadə | p=2 | Mənbədaxili vəziyyət |
|---|---|---|---|
| Birinci Zagreb \(M_1\) | \((p^\alpha-1)(p^\alpha+3)\) | \(2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6\) | Mənbə sübutu ilə uyğundur |
| İkinci Zagreb \(M_2\) | \(2p^\alpha(p^\alpha-1)\) | \(2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1\) | Mənbə sübutu ilə uyğundur |
| Forgotten \(F\) | \((p^\alpha-1)((p^\alpha-1)^2+8)\) | \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\) | p=2 üçün tərif/kənar töhfəsi ilə uyğunsuzluq |
| Wiener \(W\) | \(\dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}\) | \(\dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}\) | Mənbənin \(N_1,N_2\) hesabı ilə uyğundur |
| Harary \(H\) | \(\dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}\) | \(\dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}\) | p=2 üçün mənbənin \(N_1,N_2\) hesabı ilə işarə uyğunsuzluğu |
| Hyper-Wiener \(WW\) | \(\dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}\) | \(\dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}\) | Mənbənin məsafə hesabı ilə uyğundur |
İndekslərin artım davranışı necə oxuna bilər?
Aşağıdakı şərhlər mənbədə verilən qapalı düsturların riyazi davranışını izah etmək üçündür; yeni eksperimental nəticə deyil.
\(x=p^\alpha\) yazsaq, tək sadə halında:
- \(M_1=(x-1)(x+3)\), dominant hədd \(x^2\)-dir.
- \(M_2=2x(x-1)\), dominant hədd \(2x^2\)-dir.
- \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), dominant hədd \(x^3\)-dür.
- \(W=(x-1)(2x-3)/2\), dominant hədd \(x^2\)-dir.
- \(H=(x-1)(x+3)/4\), dominant hədd \(x^2/4\)-dür.
- \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), dominant hədd \(3x^2/2\)-dir.
Bu fərq xüsusilə Forgotten indeksinin dərəcə kvadratlarını toplamasından yaranan daha yüksək tərtibli artımı izah etməyə kömək edir. Lakin artım tərtibi indekslərin “daha yaxşı” və ya “daha pis” olması demək deyil; yalnız müxtəlif struktur xüsusiyyətlərini müxtəlif çəkilərlə xülasə etdiklərini göstərir.
Tədqiqatın əsas riyazi metodu addım-addım
- Dövri \(p\)-qrupu \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) seçilir.
- Əvvəllər əldə edilmiş PORP qraf strukturu Teorem 2.1 vasitəsilə istifadə olunur.
- Qrafın dərəcə ardıcıllığı müəyyən edilir.
- Dərəcə-əsaslı indekslər üçün kənarlar \((d(u),d(v))\) cütlərinə görə təsnifləşdirilir.
- Hər kənar sinfində neçə element olduğu sayılır.
- Birinci Zagreb, ikinci Zagreb və Forgotten indekslərinin hər kənara düşən töhfələri hesablanıb sinif ölçüləri ilə vurulur.
- Məsafə-əsaslı indekslər üçün qrafın diametrinin 2 olması istifadə edilir.
- Məsafəsi 1 olan cütlərin sayı \(N_1\), məsafəsi 2 olan cütlərin sayı \(N_2\) kimi hesablanır.
- \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) və \(WW=N_1+3N_2\) əlaqələrindən istifadə etməklə qapalı düsturlar alınır.
- \(p\) tək sadə və \(p=2\) strukturları ayrıca qiymətləndirilir.
Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr
- \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) üçün dərəcə-əsaslı və məsafə-əsaslı indekslərin struktur qraf məlumatından istifadə etməklə qapalı formada hesablana bildiyi göstərilir.
- Birinci Zagreb, ikinci Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary və Hyper-Wiener indeksləri üçün açıq düsturlar dərc olunur.
- Kənarların bölünməsi dərəcə-əsaslı indekslərin birbaşa cəm əvəzinə sinif əsasında hesablanmasına imkan verir.
- Qrafın diametrinin 2 olması məsafə-əsaslı indeksləri yalnız \(N_1\) və \(N_2\) saylarına endirir.
- Tək sadə \(p\) ilə \(p=2\) hallarının qraf strukturu fərqli olduğuna görə düsturlar iki ayrı hal üçün verilir.
- Nəticələr PORP qraflarının başqa sonlu qrup sinifləri üzərində öyrənilməsinə əsas ola biləcək nəzəri struktur təqdim edir.
Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr
- Tədqiqat fiziki, kimyəvi və ya bioloji sistem üzərində təcrübə aparmır.
- Topoloji indekslərin müəyyən real dünya performansını proqnozlaşdırdığı bu məqalədə sınaqdan keçirilməyib.
- Məqalə alqoritmik zaman mürəkkəbliyi və ya kompüter işləmə müddəti müqayisəsi təqdim etmir.
- Ədədi simulyasiya, proqram təminatı doğrulaması və ya kompüter dəstəkli simvolik doğrulama barədə məlumat verilmir.
- Düsturların bütün sonlu qrup sinifləri üçün keçərli olduğu göstərilməyib; tədqiqat dövri \(p\)-qrupları ilə məhduddur.
- Mənbədəki \(p=2\) Forgotten və Harary düstur uyğunsuzluqları müstəqil düzəliş/erratum dərc olunmuş kimi şərh edilməməlidir.
Mənbədaxili uyğunluq problemlərinin xülasəsi
| Yer | Mənbədə yazılan | Niyə diqqət tələb edir? |
|---|---|---|
| Teorem 2.2, p=2 | Dərəcə 2-nin \(p^\alpha-1\) dəfə təkrarlandığı yazılır. | Teorem 2.1 və Lemma 3.1 strukturu \(2^\alpha-2\) dərəcə-2 təpə ilə uyğundur. |
| Teorem 3.3, Forgotten, p=2 | \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\) | Sübutda \((2^\alpha-1,1)\) kənarının Forgotten töhfəsi kvadratlar cəmi əvəzinə hasil kimi yazılıb. |
| Teorem 3.5, Harary, p=2 | \((2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4)/4\) | Mənbənin öz \(N_1,N_2\) qiymətləri \(+2^{\alpha+1}\) işarəsini verir. |
| Teorem 3.6 sübut mətni | Bir sətirdə \(W=N_1+3N_2\) yazılıb. | Bölmə Hyper-Wiener \(WW\) indeksini hesablayır; tərif və nəticə \(WW\)-yə aiddir. |
| Ədəbiyyat siyahısı | Girişdə [11] və [12]-yə istinad var. | Məqalənin dərc olunmuş mənbə siyahısı [10] ilə bitir. |
Tədqiqatın əsas məhdudiyyətləri
Tək qraf ailəsi: Nəticələr \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) üçün çıxarılıb. Başqa sonlu qrup növlərinə avtomatik tətbiq edilə bilməz.
Əvvəlki struktur nəticələrindən asılılıq: Teorem 2.1 və Teorem 2.2 müəlliflərin əvvəlki PORP tədqiqatındakı nəticələrə əsaslanır. Hazırkı məruzə bu əsas strukturları sıfırdan yenidən sübut etmir.
Mənbədaxili cəbr/yazı problemləri: Xüsusilə \(p=2\) halında bəzi ifadələr bir-biri ilə uyğunsuzdur. Bu vəziyyət müvafiq düsturlar istifadə edilməzdən əvvəl müstəqil riyazi yoxlama tələb edir.
Hesablama doğrulaması yoxdur: Mənbədə SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python və ya başqa simvolik/qraf hesablama alətindən əldə edilmiş doğrulama təqdim olunmur.
Ədəbiyyat siyahısı natamamdır: Mətndə istinad edilən [11] və [12] mənbələri dərc olunmuş ədəbiyyat siyahısında yoxdur.
Mənbə və Metod Qeydi
Orijinal başlıq: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups
Müəlliflər: R. Ponraj; T. Sutharson.
Müəllif sırası: R. Ponraj birinci, T. Sutharson ikinci müəllifdir.
R. Ponraj affiliasiyası: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.
T. Sutharson affiliasiyası: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; mənbədə həmçinin Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India affiliasiyası göstərilib.
Corresponding author: Mənbədə açıq şəkildə göstərilməyib.
Bərabər töhfə / bərabər birinci müəlliflik: Mənbədə bildirilməyib.
2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.
Mənbə növü: Nəzəri riyaziyyat tədqiqat məruzəsi; konfrans materialları kitabında dərc olunub.
Platforma: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).
Məqalə səhifələri: Konfrans materialları kitabında 1–6-cı səhifələr; yüklənmiş PDF-də 11–16-cı səhifələr.
ISBN: 978-81-688512-8-3.
Mənbədə verilən DOI: 10.65647/msp/132/2026.
DOI statusu: Eyni DOI konfrans materialları kitabındakı müxtəlif məqalələrin səhifə altlarında da təkrarlandığı üçün mənbə bunu bu məqaləyə məxsus müstəqil DOI kimi açıq şəkildə ayırmır. Verianla tərəfindən ayrıca məqalə DOI-si yaradılmayıb.
Nəşr: First Edition.
Nəşr tarixi: August 2026.
Konfrans tarixi ilə bağlı mənbədaxili fərq: Cild ICAMRI – 2026 və August 2026 nəşri kimi verilsə də, konfransın təşkilat səhifəsində 15th August 2025 tarixi göstərilir.
Təşkilat: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.
Akademik əməkdaşlıq: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.
Resenziya: Konfrans materialları kitabının ön sözü cilddəki hər manuskriptin təcrübəli resenzentlər və sahə mütəxəssislərindən ibarət panel tərəfindən rigorous peer-review process çərçivəsində qiymətləndirildiyini bəyan edir. Bu məlumat konfrans kitabının öz bəyanatıdır; tədqiqat resenziyalı jurnal məqaləsi kimi təsnif edilməyib.
Lisenziya / müəllif hüququ: Mənbə “All Rights Reserved” və © Publisher ifadələrini daşıyır. Açıq Creative Commons lisenziyası göstərilməyib.
Naşir əlaqəsi: Mənbədə Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org və www.multispectrum.org məlumatları verilir.
Rəsmi bağlantı: Mənbədə naşirin saytı kimi https://www.multispectrum.org göstərilir. Bu məruzəyə aid ayrıca rəsmi məqalə URL-si PDF-də göstərilməyib.
Açar sözlər: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.
Elmi sahə: Qraf nəzəriyyəsi ilə sonlu qrup nəzəriyyəsi arasındakı cəbri qraf tədqiqatları.
Tədqiqat metodu: Saf nəzəri/analitik riyaziyyat. Əvvəldən məlum PORP qraf strukturu və dərəcə ardıcıllığından istifadə etməklə kənar bölünməsi və məsafə paylanması üzərindən qapalı düsturlar çıxarılıb.
Təcrübə: Yoxdur.
Seçmə / məlumat dəsti: Yoxdur.
Nəzarət qrupu: Tətbiq edilə bilməz.
Proqram təminatı: Mənbədə hər hansı riyaziyyat və ya qraf proqram təminatı barədə məlumat verilməyib.
Statistik metod: Yoxdur.
Əsas riyazi obyekt: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).
Parametrlər: \(p\) sadə ədəd; \(\alpha\geq1\).
Əsas struktur vasitələri: Teorem 2.1-dəki qraf izomorfizmi, Teorem 2.2-dəki dərəcə ardıcıllığı, Lemma 3.1-dəki kənar bölünməsi və Teorem 3.4-də istifadə olunan məsafə paylanması.
Hesablanan indekslər: Birinci Zagreb \(M_1\), ikinci Zagreb \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).
Düstur uyğunluğu qeydi: Mənbədə \(p=2\) üçün Teorem 2.2 təkrar sayı, Teorem 3.3 Forgotten düsturu və Teorem 3.5 Harary düsturu əvvəlki mənbədaxili tərif və ya saymalarla uyğun gəlmir. Verianla dərc olunmuş nəticələri dəyişməyib; uyğunluq hesabını ayrıca göstərib.
Ədəbiyyat siyahısı qeydi: Giriş bölməsində [11] və [12] nömrəli işlərə istinad olunsa da, dərc olunmuş altı səhifəlik məruzənin ədəbiyyat siyahısı [10] ilə bitir. Çatışmayan biblioqrafik məlumatlar təxmin yolu ilə tamamlanmayıb.
Maliyyələşdirmə: Ayrı maliyyələşdirmə bəyanatı yoxdur.
Maraqların toqquşması: Ayrı maraqların toqquşması bəyanatı yoxdur.
Məlumatların əlçatanlığı: Tədqiqat nəzəri riyaziyyat məqaləsidir; ayrıca məlumat dəsti bildirilməyib və ayrıca data availability statement yoxdur.
Etik komitə: Tədqiqat insan, heyvan və ya klinik nümunə ehtiva etməyən nəzəri riyaziyyat araşdırmasıdır; mənbədə ayrıca etik komitə bəyanatı yoxdur.
Müəllif töhfələri / CRediT: Mənbədə ayrıca müəllif töhfəsi bəyanatı yoxdur.
Vizual yenidənqurma: Mənbədə orijinal şəkil yoxdur. Teorem 2.1-in açıq simvolik qraf strukturu Verianla üçün miqyassız və mənbədən törədilmiş inline SVG sxemi kimi yenidən ifadə olunub.
Əsas şərh sərhədi: Tədqiqatın nəticələri dövri \(p\)-qruplarının PORP qrafı üçün nəzəri qraf invariantlarıdır. Real dünya eksperiment nəticəsi, fiziki ölçmə, proqnoz dəqiqliyi və ya tətbiq performansı kimi şərh edilməməlidir. Mənbədəki riyazi uyğunsuzluqlara görə xüsusilə \(p=2\) Forgotten və Harary ifadələri istifadə edilməzdən əvvəl müstəqil riyazi doğrulama tələb edir.
Şərh yazın
E-poçt ünvanınız yayımlanmayacaq. Məcburi sahələr * ilə işarələnib