Product Order Relatively Prime Graph — PORP grafı, sonlu bir grubun elemanlarını tepe olarak alan ve iki farklı grup elemanı arasındaki komşuluğu elemanların mertebeleri ile çarpımlarının mertebeleri arasındaki aralarında-asallık koşuluna göre tanımlayan cebirsel bir graftır. Bu teorik çalışma, asal \(p\) ve \(\alpha\geq1\) için devirli \(p\)-grubu \(\mathbb Z_{p^\alpha}\)'nın PORP grafı \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) üzerinde altı topolojik indeksi incelemektedir: birinci Zagreb, ikinci Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary ve Hyper-Wiener indeksleri. Yöntem; daha önce bilinen graf yapısını ve derece dizisini kullanmak, kenarları uç tepelerinin derece çiftlerine göre sınıflandırmak ve tepe çiftlerinin uzaklık dağılımından yararlanarak indeksleri kapalı formda hesaplamaktır. Çalışma deneysel değildir; veri seti, örneklem, simülasyon veya istatistiksel test içermemektedir.

Makalenin ana yapısal sonucu, \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) grafının \(p\) tek asal olduğunda bir evrensel tepenin \((p^\alpha-1)/2\) adet \(K_2\) bileşeninin bütün tepelerine bağlandığı bir yapı; \(p=2\) olduğunda ise bir evrensel tepenin \((2^\alpha-2)/2\) adet \(K_2\) ile ek bir \(K_1\)'e bağlandığı bir yapı olarak ifade edilebilmesidir. Bu özel yapı, hem derece-temelli indekslerin kenar sınıfları üzerinden hem de uzaklık-temelli indekslerin yalnız 1 ve 2 uzaklıklarından hesaplanmasını mümkün kılmaktadır.

Yazarlar bu yapıdan hareketle altı indeks için \(p\) tek asal ve \(p=2\) durumlarını ayrı ele alan kapalı formüller vermektedir. Bununla birlikte kaynak metin içinde bazı matematiksel tutarlılık sorunları vardır: \(p=2\) derece dizisindeki tekrar sayısı, \(p=2\) Forgotten indeksi ve \(p=2\) Harary indeksi makalenin kendi önceki tanım ve sayımlarıyla tam uyuşmamaktadır. Verianla bu formülleri sessizce değiştirmemekte; yayımlanan sonucu aynen aktarmakta ve kaynak-içi cebirsel kontrolü ayrıca göstermektedir.

Devirli p-grubu nedir?

Bir devirli grup, bütün elemanları tek bir elemanın kuvvetlerinden üretilebilen gruptur. Çalışmada incelenen yapı

\[ \mathbb Z_{p^\alpha} \]

ile gösterilmektedir. Burada \(p\) bir asal sayı, \(\alpha\geq1\) bir tam sayıdır ve grubun eleman sayısı, yani grup mertebesi \(p^\alpha\)'dır.

Örneğin \(p=3\) ve \(\alpha=2\) seçilirse grup mertebesi \(3^2=9\) olur. Bu örnek yalnız gösterimin ne anlama geldiğini açıklamak içindir; kaynak makale belirli \(p\) ve \(\alpha\) değerlerinden oluşan sayısal bir deney yürütmemektedir.

Bir grup elemanının mertebesi nedir?

Kaynak, \(G\) sonlu bir grup ve \(a\in G\) olmak üzere bir elemanın mertebesini \(o(a)\) ile göstermektedir. \(o(a)\),

\[ a^n=e \]

eşitliğini sağlayan en küçük pozitif \(n\) tam sayısıdır. Buradaki \(e\), grubun birim elemanıdır.

Başka bir ifadeyle bir grup elemanını kendisiyle art arda çarptığımızda ilk kez hangi pozitif kuvvette birim elemana geri döndüğümüz, o elemanın mertebesini belirler.

PORP grafında komşuluk nasıl tanımlanıyor?

Kaynakta sonlu bir \(G\) grubunun PORP grafı

\[ \Gamma_{porp}(G) \]

ile gösterilmektedir ve tepe kümesi doğrudan grup elemanlarından oluşmaktadır:

\[ V\!\left(\Gamma_{porp}(G)\right)=G. \]

Birbirinden farklı \(a,b\in G\) tepeleri, kaynak tanımına göre ancak ve ancak

\[ \big(o(a),o(ab)\big)=1 \quad\text{veya}\quad \big(o(b),o(ab)\big)=1 \]

koşullarından en az biri sağlanıyorsa komşudur.

Buradaki \((x,y)=1\) gösterimi, ilgili iki pozitif tam sayının ortak böleninin yalnız 1 olması, yani sayıların aralarında asal olması anlamında kullanılmaktadır. Dolayısıyla PORP grafında bir kenarın varlığı yalnız iki elemanın kendisine değil, bu elemanların mertebelerine ve \(ab\) çarpımının mertebesine bağlıdır.

Graf, tepe, kenar ve derece ne demektir?

Bir graf \(\Gamma\), tepe kümesi \(V(\Gamma)\) ve kenar kümesi \(E(\Gamma)\) ile ifade edilir. Bir \(v\) tepesinin derecesi

\[ d(v) \]

ile gösterilir ve \(v\)'ye bağlı kenarların sayısıdır.

İki tepe \(u\) ve \(v\) arasındaki uzaklık ise

\[ d(u,v) \]

ile gösterilir ve bu iki tepeyi bağlayan en kısa yolun kenar sayısıdır. Kaynak makaledeki iki indeks ailesinin temel farkı buradan gelir:

• Derece-temelli indeksler, kenarların uçlarındaki \(d(u)\) ve \(d(v)\) değerlerini kullanır.
• Uzaklık-temelli indeksler, tepe çiftleri arasındaki \(d(u,v)\) değerlerini kullanır.

Topolojik indeks ne demektir?

Bu makaledeki “topolojik indeks” ifadesi, bir grafın yapısal özelliklerini tek bir sayıyla özetleyen graf değişmezi anlamındadır. Buradaki kullanım, genel topoloji disiplinindeki “topolojik uzay” kavramıyla karıştırılmamalıdır.

Bir graf yeniden adlandırılsa fakat bağlantı yapısı değişmese bu tür indekslerin değeri değişmez. Bu nedenle indeksler farklı graf ailelerinin yapısal özelliklerini karşılaştırmak için kullanılabilir.

Teorem 2.1 grafın yapısı hakkında ne söylüyor?

Kaynak, \(G\cong\mathbb Z_{p^\alpha}\), \(p\) asal ve \(\alpha\geq1\) olmak üzere:

\[ \Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha}) \cong \begin{cases} K_1\vee\left(\dfrac{p^\alpha-1}{2}K_2\right), & p\text{ tek asal ise},\\[8pt] K_1\vee\left(\dfrac{2^\alpha-2}{2}K_2\cup K_1\right), & p=2\text{ ise}. \end{cases} \]

Buradaki sembolleri tek tek açmak gerekir.

• \(K_1\): tek tepeli graf.
• \(K_2\): iki tepenin bir kenarla bağlı olduğu tam graf.
• \(mK_2\): birbirinden ayrık \(m\) adet \(K_2\) kopyası.
• \(\cup\): burada bileşenlerin birleşimini gösterir.
• \(\vee\): iki grafın join işlemidir; iki graf kendi iç yapısını korurken birinci grafın her tepesi ikinci grafın her tepesine bağlanır.

Bu nedenle formüldeki dıştaki \(K_1\), ikinci bölümdeki bütün tepelere bağlanan bir evrensel tepe hâline gelir.

Bu yapı neden hesaplamaları kolaylaştırıyor?

Grafın merkezindeki \(K_1\) bütün diğer tepelere bağlıdır. Dolayısıyla merkez tepenin derecesi grafın diğer bütün tepelerinin sayısına eşittir. Ayrıca merkez dışındaki tepeler çoğunlukla \(K_2\) çiftleri içinde bir komşuya ve merkez tepeye bağlı olduğundan derece 2'ye sahiptir.

Bu düzen, grafın kenarlarının yalnız birkaç farklı derece çiftiyle sınıflandırılmasını sağlar. Yani binlerce veya milyonlarca kenarı tek tek toplamak yerine, “bu derece çiftine sahip kaç kenar var?” sorusunu cevaplamak yeterli hâle gelir.

Teorem 2.2'de verilen derece dizisi

Kaynak \(p\) tek asal olduğunda derece dizisini

\[ (p^\alpha-1,2,2,\ldots,2) \]

şeklinde vermektedir ve derece 2'nin \(p^\alpha-1\) kez tekrar ettiğini belirtmektedir. Bu yapı toplam \(p^\alpha\) tepe verir: bir evrensel tepe ve \(p^\alpha-1\) adet derece-2 tepe.

\(p=2\) için kaynakta

\[ (2^\alpha-1,2,2,\ldots,2,1) \]

yazmaktadır. Fakat aynı satırda derece 2'nin “\(p^\alpha-1\) kez” tekrar ettiği belirtilmektedir. Bu ifade Teorem 2.1 ve sonraki Lemma 3.1 ile uyuşmamaktadır.

Teorem 2.1'in \(p=2\) yapısına göre \((2^\alpha-2)/2\) adet \(K_2\), toplam

\[ 2\cdot\frac{2^\alpha-2}{2}=2^\alpha-2 \]

adet derece-2 tepe üretir. Buna bir evrensel derece-\((2^\alpha-1)\) tepe ve bir derece-1 tepe eklendiğinde toplam

\[ 1+(2^\alpha-2)+1=2^\alpha \]

tepe elde edilir. Bu nedenle sonraki hesaplamalarda kullanılan yapı \(2^\alpha-2\) adet derece-2 tepeyle uyumludur. Bu açıklama, kaynakta yayımlanmış Teorem 2.2 satırını sessizce değiştirmek değil; aynı kaynağın iki bölümünün neden birbiriyle uyuşmadığını göstermektir.

Kenar bölümlendirmesi nasıl yapılıyor?

Lemma 3.1, derece-temelli indekslerin hesaplanmasını kolaylaştırmak için kenarları uç noktalarının derece çiftlerine göre sınıflandırmaktadır.

\(p\) tek asal olduğunda iki kenar sınıfı vardır:

\(p=2\) olduğunda üç kenar sınıfı vardır:

Bu tablo makalenin derece-temelli sonuçlarının matematiksel motorudur. İndeks tanımında her kenarın katkısı tek tek hesaplanmak yerine, aynı derece çiftine sahip bütün kenarların ortak katkısı kenar sayısıyla çarpılır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Birinci Zagreb indeksi \(M_1\)

Birinci Zagreb indeksi:

\[ M_1(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \big(d(u)+d(v)\big) \]

şeklinde tanımlanmaktadır.

Her kenar için iki uç tepenin dereceleri toplanır ve bütün kenarlar üzerinden bu katkılar biriktirilir. Dereceler yalnız sayım değerleri olduğu için indeks boyutsuzdur.

Kaynağın Teorem 3.1 sonucu:

\[ M_1\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)(p^\alpha+3), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha}+2^{\alpha+1}-6, & p=2. \end{cases} \]

Tek asal durumda örneğin \(E_1\) sınıfındaki her kenar

\[ (p^\alpha-1)+2=p^\alpha+1 \]

katkısı yapar. Bu tür kenarlardan \(p^\alpha-1\) adet vardır. \(E_2\) sınıfındaki her kenarın katkısı ise \(2+2=4\)'tür. Makaledeki kapalı form bu sınıf toplamlarının sadeleştirilmesiyle elde edilmektedir.

İkinci Zagreb indeksi \(M_2\)

İkinci Zagreb indeksi, derece toplamı yerine uç derecelerinin çarpımını kullanır:

\[ M_2(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} d(u)d(v). \]

Kaynağın Teorem 3.2 sonucu:

\[ M_2\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} 2p^\alpha(p^\alpha-1), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{2\alpha+1}-3\cdot2^\alpha-1, & p=2. \end{cases} \]

Örneğin tek asal durumda \((p^\alpha-1,2)\) derece çiftine sahip bir kenarın katkısı

\[ 2(p^\alpha-1) \]

olur. \((2,2)\) sınıfındaki bir kenarın katkısı ise \(4\)'tür.

Forgotten indeksi \(F\)

Forgotten indeksi, kenarın iki ucundaki derecelerin karelerini kullanır:

\[ F(\Gamma) = \sum_{uv\in E(\Gamma)} \left(d(u)^2+d(v)^2\right). \]

Kaynağın Teorem 3.3'te yayımladığı sonuç:

\[ F\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} (p^\alpha-1)\left((p^\alpha-1)^2+8\right), & p\text{ tek asal ise},\\[6pt] 2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18, & p=2. \end{cases} \]

Forgotten indeksinde kaynak-içi tutarlılık sorunu

\(p=2\) durumunda Lemma 3.1'de üçüncü kenar sınıfı bir adet \((2^\alpha-1,1)\) derece çiftinden oluşmaktadır. Forgotten tanımı gereği bu tek kenarın katkısının

\[ (2^\alpha-1)^2+1^2 \]

olması gerekir.

Ancak kaynak ispat satırında bu katkı

\[ (2^\alpha-1)(1) \]

biçiminde yazılmıştır. Bu, Forgotten indeksinin kareler toplamı tanımıyla aynı işlem değildir.

Kaynağın kendi Lemma 3.1 kenar sınıflarını ve kendi Forgotten tanımını doğrudan uygularsak, yalnız bir kaynak-içi cebir kontrolü olarak şu toplam elde edilir:

\[ \begin{aligned} F ={}& (2^\alpha-2)\left((2^\alpha-1)^2+2^2\right)\\ &+\frac{2^\alpha-2}{2}(2^2+2^2)\\ &+\left((2^\alpha-1)^2+1^2\right). \end{aligned} \]

\(x=2^\alpha\) yazılırsa:

\[ F=x^3-3x^2+11x-16, \]

dolayısıyla

\[ F = 2^{3\alpha} -3\cdot2^{2\alpha} +11\cdot2^\alpha -16. \]

Önemli: Son ifade makalenin yayımlanmış Teorem 3.3 sonucu değildir. Verianla tarafından, yalnız kaynağın kendi tanımı ve kendi Lemma 3.1 verisinin cebirsel tutarlılığını göstermek için hesaplanmıştır. Makalenin yayımladığı ifade \(2^{3\alpha}-3\cdot2^{2\alpha}+13\cdot2^\alpha-18\)'dir.

Uzaklık-temelli indeksler neden yalnız iki uzaklıkla hesaplanabiliyor?

Teorem 2.1'deki join yapısı nedeniyle merkezdeki evrensel tepe bütün diğer tepelere komşudur. Dolayısıyla iki tepe doğrudan komşu değilse bile evrensel tepe üzerinden en fazla iki adımda birbirine ulaşabilir.

Kaynak bu nedenle grafın çapını 2 olarak kullanmaktadır. Sırasız farklı tepe çiftleri yalnız:

• uzaklık 1,
• uzaklık 2

durumlarından birinde bulunur.

Kaynak:

• \(N_1\): uzaklığı 1 olan sırasız tepe çiftlerinin sayısı,
• \(N_2\): uzaklığı 2 olan sırasız tepe çiftlerinin sayısı

şeklinde iki sayı tanımlar.

Tek asal p için uzaklık dağılımı

Kaynak:

\[ N_1=\frac{3(p^\alpha-1)}{2} \]

ve

\[ N_2= \frac{(p^\alpha-1)(p^\alpha-3)}{2} \]

değerlerini kullanmaktadır.

\(N_1\) aynı zamanda kenar sayısıdır; çünkü uzaklığı 1 olan tepe çiftleri tam olarak doğrudan komşu tepe çiftleridir.

p=2 için uzaklık dağılımı

Kaynak:

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} \]

ve

\[ N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

değerlerini vermektedir.

Wiener indeksi \(W\)

Wiener indeksi bütün sırasız tepe çiftlerinin en kısa yol uzaklıklarını toplar:

\[ W(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} d(u,v). \]

Grafın bütün uzaklıkları 1 veya 2 olduğundan:

\[ W=N_1+2N_2. \]

Kaynağın Teorem 3.4 sonucu:

\[ W\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(2p^\alpha-3)}{2}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha+1}-5\cdot2^\alpha+4}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Burada uzaklık 2 olan bir tepe çifti toplamda iki birim katkı yaparken uzaklık 1 olan çift bir birim katkı yapmaktadır.

Harary indeksi \(H\)

Harary indeksi uzaklığın kendisi yerine tersini toplar:

\[ H(\Gamma) = \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \frac{1}{d(u,v)}. \]

Bu graf ailesinde uzaklıklar yalnız 1 ve 2 olduğundan:

\[ H=N_1+\frac{1}{2}N_2. \]

Kaynağın Teorem 3.5'te yayımladığı formül:

\[ H\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{(p^\alpha-1)(p^\alpha+3)}{4}, & p\text{ tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{2^{2\alpha}-2^{\alpha+1}-4}{4}, & p=2. \end{cases} \]

Harary indeksinde kaynak-içi işaret tutarsızlığı

Kaynağın aynı bölümde verdiği

\[ N_1=\frac{3\cdot2^\alpha-4}{2}, \qquad N_2=\frac{(2^\alpha-2)^2}{2} \]

değerlerini kendi

\[ H=N_1+\frac12N_2 \]

ifadesine doğrudan koyarsak:

\[ H = \frac{3\cdot2^\alpha-4}{2} + \frac{(2^\alpha-2)^2}{4}. \]

Ortak paydada sadeleştirme:

\[ H = \frac{ 6\cdot2^\alpha-8 + 2^{2\alpha} -4\cdot2^\alpha +4 }{4} \]

ve dolayısıyla:

\[ H = \frac{ 2^{2\alpha} + 2^{\alpha+1} -4 }{4}. \]

Kaynak Teorem 3.5'te orta terimi eksi işaretiyle vermektedir. Buradaki artı işaretli ifade makalenin yeni bir sonucu olarak sunulmamaktadır; yalnız kaynakta verilen \(N_1\), \(N_2\) ve Harary tanımının birbirleriyle cebirsel tutarlılık kontrolüdür.

Hyper-Wiener indeksi \(WW\)

Kaynak Hyper-Wiener indeksini:

\[ WW(\Gamma) = \frac12 \sum_{\{u,v\}\subseteq V(\Gamma)} \left(d(u,v)+d(u,v)^2\right) \]

şeklinde tanımlamaktadır.

Uzaklık 1 olan bir çift için katkı:

\[ \frac12(1+1^2)=1, \]

uzaklık 2 olan bir çift için ise:

\[ \frac12(2+2^2)=3 \]

olduğundan:

\[ WW=N_1+3N_2. \]

Kaynağın Teorem 3.6 sonucu:

\[ WW\!\left(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\right) = \begin{cases} \dfrac{3(p^\alpha-1)(p^\alpha-2)}{2}, & p\text> tek asal ise},\\[10pt] \dfrac{3\cdot2^{2\alpha}-9\cdot2^\alpha+8}{2}, & p=2. \end{cases} \]

Kaynağın ispat metninde bu aşamada bir satırda \(WW\) yerine \(W\) sembolü kullanılmıştır; çevresindeki Teorem 3.6 başlığı, tanım ve \(N_1+3N_2\) bağıntısı bunun Hyper-Wiener hesabını ifade ettiğini göstermektedir. Verianla sembol farkını gizlememekte, fakat ilgili hesabı Hyper-Wiener bağlamında açıklamaktadır.

Altı indeksin kaynakta yayımlanan kapalı formülleri

İndekslerin büyüme davranışı nasıl okunabilir?

Aşağıdaki yorumlar kaynakta verilen kapalı formüllerin matematiksel davranışını açıklamak içindir; yeni deney sonucu değildir.

\(x=p^\alpha\) yazılırsa tek asal durumda:

• \(M_1=(x-1)(x+3)\), baskın terim \(x^2\)'dir.
• \(M_2=2x(x-1)\), baskın terim \(2x^2\)'dir.
• \(F=(x-1)((x-1)^2+8)\), baskın terim \(x^3\)'tür.
• \(W=(x-1)(2x-3)/2\), baskın terim \(x^2\)'dir.
• \(H=(x-1)(x+3)/4\), baskın terim \(x^2/4\)'tür.
• \(WW=3(x-1)(x-2)/2\), baskın terim \(3x^2/2\)'dir.

Bu fark özellikle Forgotten indeksinin derece karelerini toplamasından kaynaklanan daha yüksek mertebeli büyümeyi açıklamaya yardımcı olur. Ancak büyüme mertebesi, indekslerin “daha iyi” veya “daha kötü” olduğu anlamına gelmez; yalnız farklı yapısal özellikleri farklı ağırlıklarla özetlediklerini gösterir.

Çalışmanın ana matematiksel yöntemi adım adım

1. Devirli \(p\)-grubu \(\mathbb Z_{p^\alpha}\) seçilir.
2. Daha önce elde edilmiş PORP graf yapısı Teorem 2.1 üzerinden kullanılır.
3. Grafın derece dizisi belirlenir.
4. Derece-temelli indeksler için kenarlar \((d(u),d(v))\) çiftlerine göre sınıflandırılır.
5. Her kenar sınıfının kaç eleman içerdiği sayılır.
6. Birinci Zagreb, ikinci Zagreb ve Forgotten indekslerinin kenar başına katkıları hesaplanıp sınıf büyüklükleriyle çarpılır.
7. Uzaklık-temelli indeksler için graf çapının 2 olması kullanılır.
8. Uzaklığı 1 olan çiftlerin sayısı \(N_1\), uzaklığı 2 olan çiftlerin sayısı \(N_2\) olarak hesaplanır.
9. \(W=N_1+2N_2\), \(H=N_1+\frac12N_2\) ve \(WW=N_1+3N_2\) ilişkileri kullanılarak kapalı formüller elde edilir.
10. \(p\) tek asal ve \(p=2\) yapıları ayrı ayrı değerlendirilir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) için derece-temelli ve uzaklık-temelli indekslerin yapısal graf bilgisi kullanılarak kapalı biçimde hesaplanabileceği gösterilmektedir.
• Birinci Zagreb, ikinci Zagreb, Forgotten, Wiener, Harary ve Hyper-Wiener indeksleri için açık formüller yayımlanmaktadır.
• Kenar bölümlendirmesi, derece-temelli indekslerin doğrudan toplam yerine sınıf bazında hesaplanmasını sağlar.
• Grafın çapının 2 olması, uzaklık-temelli indeksleri yalnız \(N_1\) ve \(N_2\) sayılarına indirger.
• Tek asal \(p\) ile \(p=2\) durumlarının graf yapısı farklı olduğu için formüller iki ayrı durumda verilmektedir.
• Sonuçlar PORP graflarının başka sonlu grup sınıfları üzerinde incelenmesine temel oluşturabilecek teorik yapı sağlamaktadır.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Çalışma fiziksel, kimyasal veya biyolojik bir sistem üzerinde deney yapmamaktadır.
• Topolojik indekslerin belirli bir gerçek dünya performansını tahmin ettiği bu makalede test edilmemiştir.
• Makale algoritmik zaman karmaşıklığı veya bilgisayar çalışma süresi karşılaştırması sunmamaktadır.
• Sayısal simülasyon, yazılım doğrulaması veya bilgisayar destekli sembolik doğrulama raporlanmamaktadır.
• Formüllerin bütün sonlu grup sınıfları için geçerli olduğu gösterilmemiştir; çalışma devirli \(p\)-gruplarıyla sınırlıdır.
• Kaynak içinde bulunan \(p=2\) Forgotten ve Harary formül tutarsızlıkları bağımsız bir düzeltme/erratum yayımlanmış gibi yorumlanmamalıdır.

Kaynak-içi tutarlılık sorunlarının özeti

Çalışmanın temel sınırlılıkları

Tek graf ailesi: Sonuçlar \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\) için türetilmiştir. Başka sonlu grup türlerine otomatik olarak uygulanamaz.

Daha önceki yapısal sonuçlara bağımlılık: Teorem 2.1 ve Teorem 2.2, yazarların önceki PORP çalışmasındaki sonuçlara dayanmaktadır. Mevcut bildiri bu temel yapıları yeniden sıfırdan ispatlamamaktadır.

Kaynak-içi cebir/yazım sorunları: Özellikle \(p=2\) durumunda bazı ifadeler birbirleriyle tutarsızdır. Bu durum ilgili formüllerin kullanımında bağımsız matematiksel kontrol gerektirir.

Hesaplamalı doğrulama yok: Kaynakta SageMath, GAP, Mathematica, Maple, Python veya başka bir sembolik/graf hesaplama aracından elde edilmiş doğrulama sunulmamaktadır.

Kaynakça eksikliği: Metinde atıf yapılan [11] ve [12] kaynakları yayımlanan kaynak listesinde bulunmamaktadır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: Certain Topological Indices of the PORP Graph of Cyclic p-Groups

Yazarlar: R. Ponraj; T. Sutharson.

Yazar sırası: R. Ponraj birinci, T. Sutharson ikinci yazardır.

R. Ponraj afiliyasyonu: Department of Mathematics, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India.

T. Sutharson afiliyasyonu: Research Scholar, Reg. No. 241112312016, Sri Paramakalyani College, Alwarkurichi-627 412, India; kaynakta ayrıca Manonmaniam Sundaranar University, Tirunelveli-627 010, India afiliyasyonu belirtilmiştir.

Corresponding author: Kaynakta açıkça belirtilmemiştir.

Eş katkı / eş birinci yazarlık: Kaynakta bildirilmemiştir.

2020 Subject Classification: 05C25, 05C12.

Kaynak türü: Teorik matematik araştırma bildirisi; konferans bildiriler kitabında yayımlanmıştır.

Platform: International Conference Proceedings on Advanced Multidisciplinary Research and Innovation (ICAMRI – 2026).

Makale sayfaları: Bildiriler kitabı içindeki 1–6. sayfalar; yüklenen PDF'nin 11–16. sayfaları.

ISBN: 978-81-688512-8-3.

Kaynakta verilen DOI: 10.65647/msp/132/2026.

DOI statüsü: Aynı DOI bildiriler kitabındaki farklı makalelerin sayfa altlarında da tekrarlandığı için kaynak bunu bu makaleye özgü bağımsız bir DOI olarak açık biçimde ayırmamaktadır. Verianla tarafından ayrı makale DOI'si üretilmemiştir.

Baskı: First Edition.

Baskı tarihi: August 2026.

Konferans tarihiyle ilgili kaynak-içi fark: Cilt ICAMRI – 2026 ve Ağustos 2026 baskısı olarak verilmesine rağmen konferans organizasyon sayfasında 15th August 2025 tarihi bulunmaktadır.

Organizasyon: University of Edenberg, Lusaka, Zambia, Africa.

Akademik işbirliği: S.T. Hindu College; Sree Ayyappa College for Women; Don Bosco College; Women's Christian College.

Hakemlik: Bildiriler kitabının önsözü ciltteki her manuskriptin deneyimli hakemler ve alan uzmanlarından oluşan panel tarafından rigorous peer-review process kapsamında değerlendirildiğini beyan etmektedir. Bu bilgi konferans kitabının kendi beyanıdır; çalışma hakemli dergi makalesi olarak sınıflandırılmamıştır.

Lisans / telif: Kaynak “All Rights Reserved” ve © Publisher ibarelerini taşımaktadır. Açık Creative Commons lisansı belirtilmemiştir.

Yayınevi iletişimi: Kaynakta Australia, Chennai & Kanyakumari; +91 6384730258; editor@multispectrum.org ve www.multispectrum.org bilgileri verilmektedir.

Resmî bağlantı: Kaynakta yayınevi sitesi olarak https://www.multispectrum.org verilmektedir. Bu bildiriye özgü ayrı resmî makale URL'si PDF içinde belirtilmemiştir.

Anahtar kelimeler: Product order relatively prime graph; Cyclic p-group; Topological indices; Degree-based topological indices; Distance-based topological indices.

Bilimsel alan: Graf teorisi ve sonlu grup teorisi arasındaki cebirsel graf çalışmaları.

Araştırma yöntemi: Saf teorik/analitik matematik. Daha önce bilinen PORP graf yapısı ve derece dizisi kullanılarak kenar bölümlendirmesi ve uzaklık dağılımı üzerinden kapalı formüller türetilmiştir.

Deney: Bulunmamaktadır.

Örneklem / veri seti: Bulunmamaktadır.

Kontrol grubu: Uygulanabilir değildir.

Yazılım: Kaynakta herhangi bir matematik veya graf yazılımı raporlanmamıştır.

İstatistiksel yöntem: Bulunmamaktadır.

Ana matematiksel nesne: \(\Gamma_{porp}(\mathbb Z_{p^\alpha})\).

Parametreler: \(p\) asal sayı; \(\alpha\geq1\).

Temel yapısal araçlar: Teorem 2.1'deki graf izomorfizmi, Teorem 2.2'deki derece dizisi, Lemma 3.1'deki kenar bölümlendirmesi ve Teorem 3.4'te kullanılan uzaklık dağılımı.

Hesaplanan indeksler: Birinci Zagreb \(M_1\), ikinci Zagreb \(M_2\), Forgotten \(F\), Wiener \(W\), Harary \(H\), Hyper-Wiener \(WW\).

Formül tutarlılığı notu: Kaynakta \(p=2\) için Teorem 2.2 tekrar sayısı, Teorem 3.3 Forgotten formülü ve Teorem 3.5 Harary formülü önceki kaynak-içi tanım veya sayımlarla uyuşmamaktadır. Verianla yayımlanmış sonuçları değiştirmemiş; tutarlılık hesabını ayrı biçimde göstermiştir.

Kaynakça notu: Giriş bölümünde [11] ve [12] numaralı çalışmalara atıf yapılmasına rağmen yayımlanan altı sayfalık bildirinin kaynakça listesi [10] ile bitmektedir. Eksik künyeler tahmin yoluyla tamamlanmamıştır.

Finansman: Ayrı finansman beyanı bulunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Ayrı çıkar çatışması beyanı bulunmamaktadır.

Veri erişilebilirliği: Çalışma teorik matematik makalesidir; ayrı veri seti raporlanmamaktadır ve ayrı data availability statement bulunmamaktadır.

Etik kurul: Çalışma insan, hayvan veya klinik örnek içermeyen teorik matematik araştırmasıdır; kaynakta ayrı etik kurul beyanı bulunmamaktadır.

Yazar katkıları / CRediT: Kaynakta ayrı yazar katkı beyanı bulunmamaktadır.

Görsel yeniden inşa: Kaynakta özgün şekil bulunmamaktadır. Teorem 2.1'in açık sembolik graf yapısı, Verianla için ölçeksiz ve kaynak-türetilmiş bir inline SVG şema olarak yeniden ifade edilmiştir.

Temel yorum sınırı: Çalışmanın sonuçları devirli \(p\)-gruplarının PORP grafı için teorik graf değişmezleridir. Gerçek dünya deney sonucu, fiziksel ölçüm, tahmin doğruluğu veya uygulama performansı olarak yorumlanmamalıdır. Kaynak içindeki matematiksel tutarsızlıklar nedeniyle özellikle \(p=2\) Forgotten ve Harary ifadeleri kullanılmadan önce bağımsız matematiksel doğrulama gerektirir.