Bu çalışma, bir sistemin mevcut matris durumunun birden fazla geçmiş zaman adımındaki değerlerine bağlı olduğu çoklu gecikmeli birinci mertebeden doğrusal ayrık matris denklemleri için kapalı biçimli çözüm ve kararlılık teorisi geliştiren teorik bir matematik araştırmasıdır. Araştırmanın temel yeniliği, önceki birçok çözümün gerektirdiği matrislerin birbiriyle değişmeli olması koşulunu kaldırmasıdır. Başka bir ifadeyle çalışma, genel olarak \(AB\neq BA\) olabilen matrislerle çalışmakta; matris çarpımındaki sırayı kaybetmeden genelleştirilmiş multinom açılımları ve çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonları kullanarak çözüm kurmaktadır.

İncelenen temel sistem, bir \(n\times n\) matris değerli bilinmeyen \(Y(k)\)'nin ileri farkını; farklı gecikmelerdeki \(Y(k-\varrho_i)\) değerlerinin soldan \(V_i\), sağdan \(W_i\) matrisleriyle çarpılması ve homojen olmayan \(\Pi(k)\) terimi üzerinden tanımlar. Çalışma önce bu nonkomütatif yapıya uygun bir genelleştirilmiş multinom mekanizması kurmakta, ardından bunun üzerinden çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonunu tanımlamakta ve bu temel çözüm aracını kullanarak genel başlangıç değer probleminin açık çözümünü elde etmektedir.

İkinci ana sonuç Hyers–Ulam kararlılığıdır. Bu kararlılık kavramı, denklemi küçük bir \(\varepsilon\) hatasıyla sağlayan yaklaşık çözüm \(\chi(k)\) ile tam çözüm \(Y(k)\) arasındaki farkın \(\lambda\varepsilon\) biçiminde kontrol edilebilmesini ifade eder. Çalışma, her sonlu ayrık zaman aralığında böyle bir sınır elde etmekte; sonsuz zaman ufkunda ise temel çözümün sönmesini sağlayan ek bir kontraktivite koşulunun gerektiğini göstermektedir.

Sayısal örnekte iki gecikmeli, \(2\times2\) ve değişmeli olmayan katsayı matrislerinden oluşan bir sistem ele alınmıştır. \(k=0,1,2,3,4\) için tam ve pertürbe çözümler hesaplanmış; dört matris bileşenindeki eğrilerin birbirine yakın kaldığı gösterilmiştir. Örnekte \(\varepsilon=2/3\) seçilmiş ve teorik kararlılık üst sınırında kullanılan sabit yaklaşık \(\lambda=1470.7\) olarak elde edilmiştir.

En önemli yorum sınırı: Bu çalışma belirli bir fiziksel cihazın saha deneyini veya gerçek zamanlı kontrol başarısını doğrulamaz. Sonuçlar matematiksel teoremler ve bunları gösteren sayısal bir örnek üzerindedir. Hyers–Ulam kararlılığı da sistemin bütün klasik kararlılık türlerinde kararlı olduğunu söylemez; küçük denklem pertürbasyonlarının tam çözüme göre sınırlı çözüm sapması doğurduğunu ifade eden özel bir kararlılık kavramıdır.

Araştırma problemi neden ortaya çıkıyor?

Ayrık zamanlı sistemlerde değişken yalnız mevcut durumdan değil geçmiş zaman adımlarından da etkilenebilir. Kontrol sistemleri, sinyal işleme, ağ bağlantılı dinamik sistemler ve gecikmeli geri besleme yapılarında bir sonraki durumun belirlenmesinde bir veya daha fazla geçmiş durumun kullanılması doğaldır.

Bir skaler denklemde çarpma sırası sorun yaratmaz. Ancak sistem matrislerle temsil edildiğinde önemli bir matematiksel güçlük ortaya çıkar. Genel olarak iki matris için

\[ AB \neq BA \]

olabilir. Bu durum, sıradan binom veya multinom açılımlarında kullandığımız terimlerin yer değiştirilmesi yöntemlerini geçersiz kılar.

Matrislerin değişmeli olmaması neden bu çalışmada merkezi bir problemdir?

Matrisler değişmeli değilse çarpım sırası matematiksel sonucu değiştirir; bu nedenle \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) ve \(W_jV_iY\) gibi terimler istenildiği gibi yeniden sıralanamaz ve klasik multinom açılımlarının doğrudan kullanılması mümkün olmaz.

Önceki çalışmaların önemli bir bölümü bu zorluğu aşmak için katsayı matrislerinin çiftler halinde değişmeli olduğunu varsaymıştır. Kaynak çalışma ise çözüm teorisini bu varsayımı kaldıracak biçimde yeniden kurmaktadır.

Diblík'in tek gecikmeli başlangıç problemi — Denklem (1)

Çalışmanın literatür çıkış noktalarından biri aşağıdaki tek gecikmeli matris denklemidir:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Formül neyi hesaplar? Bir sonraki ayrık zaman adımındaki matris değişiminin, \(\tau\) zaman adımı önceki matris durumuna ve dış/homojen olmayan \(\Lambda(k)\) terimine nasıl bağlı olduğunu tanımlar.

2. Değişkenler nelerdir? \(Y(k)\) bilinmeyen \(n\times n\) matris değerli fonksiyondur. \(A\) ve \(B\) sabit \(n\times n\) katsayı matrisleridir. \(\tau>0\) gecikmedir. \(\Lambda(k)\) bilinen homojen olmayan terimdir. \(\Psi(k)\), gecikmeli sistemi başlatmak için gerekli başlangıç geçmişini verir.

3. Birimler nelerdir? Kaynak fiziksel bir uygulama veya birim tanımlamamaktadır. Matematiksel boyut açısından \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) uygun \(n\times n\) matris yapılardır; \(k\) ve \(\tau\) ayrık tam sayı zaman indisleridir.

4. Matematiksel rol nedir? Denklem, soldan \(A\) ve sağdan \(B\) çarpımlarını aynı anda içerdiği için sıradan vektör fark denklemlerinden daha zengin bir yapı oluşturur.

5. Bilimsel anlam nedir? Geçmiş durum sisteme iki farklı doğrusal matris işlemi üzerinden etki eder.

6. Hangi koşullarda geçerlidir? \(A\) ve \(B\) sabittir; gecikme \(\tau\) pozitiftir ve başlangıç geçmişi \(-\tau\) ile 0 arasındaki ayrık zamanlarda verilmiştir.

7. Nasıl yorumlanmalıdır? Bu denklem mevcut çalışmanın doğrudan nihai modeli değil, tek gecikmeli literatür temelidir. Yeni araştırma bunu birden fazla gecikmeye ve değişmeli olmayan matrislere genişletmektedir.

Çalışmanın asıl çoklu gecikmeli sistemi — Denklem (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Formül neyi hesaplar? Birden fazla gecikme kanalının aynı matris sisteminin ileri farkına yaptığı toplam katkıyı tanımlar.

2. Değişkenler nelerdir? \(d\) gecikme kanalı sayısıdır. \(\varrho_i\in\mathbb N\) her kanalın gecikmesidir. \(V_i\) ve \(W_i\) sabit gerçek \(n\times n\) matrislerdir. \(\Pi(k)\) bilinen homojen olmayan matris fonksiyonudur. \(\Phi(k)\) başlangıç geçmişidir.

3. Birimler nelerdir? Kaynak fiziksel birim tanımlamaz. Bütün matris toplama terimleri aynı \(n\times n\) matematiksel yapıda olmalıdır.

4. Matematiksel rol nedir? Her gecikme \(\varrho_i\), geçmişte farklı bir zaman noktasından bilgi getirir. Aynı geçmiş matris soldan \(V_i\) ve sağdan \(W_i\) ile ayrı ayrı etkilenir.

5. Matematiksel anlam nedir? Çarpım sırasının korunması gerekir. Örneğin \(V_iY(k-\varrho_i)\) ile \(Y(k-\varrho_i)V_i\) aynı terim değildir.

6. Varsayım nedir? Kaynak çalışmanın önemli yeniliği, \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) ve \(\Pi\) arasında genel bir değişmelilik şartı dayatmamasıdır.

7. Sonuç nasıl yorumlanmalıdır? Makalenin bütün tanım, lemma ve teoremleri esas olarak bu sistemi açık biçimde çözmek ve pertürbasyonlara karşı kararlılığını sınırlandırmak için kurulmuştur.

İleri fark operatörü

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Bu operatör sürekli zamandaki türevin ayrık zamanlı karşılığıdır. \(Y(k)\)'nin bir sonraki adımdaki değişimini ölçer. Türev yerine iki ardışık ayrık durum arasındaki fark alınır.

Kullanılan matris normu

Kaynak çalışma şu maksimum satır toplamı normunu kullanmaktadır:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Bu norm, her satırdaki elemanların mutlak değer toplamını hesaplar ve en büyük satır toplamını seçer. Kararlılık ispatında matrislerin büyüklüklerini tek bir pozitif sayıyla kontrol etmeye yarar.

Multinom katsayısı

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Bu katsayı, toplam \(\Xi\) adet seçimin \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\) büyüklüklerindeki gruplara kaç farklı biçimde ayrılabileceğini sayar. Kaynak çalışmada gecikme kombinasyonlarını ve çoklu indisleri düzenlemek için kullanılır.

Lemma 1: ayrık toplamlar için fark özdeşlikleri

Kaynak, ispatlarda kullanılmak üzere ayrık toplama ve fark alma ilişkilerini verir. Temel operatör:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Bununla birlikte ayrık kısmi toplama benzeri ilişki:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

ve üst sınırı \(t\)'ye bağlı bir toplamın farkı için:

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

kullanılmaktadır. Bu ilişkiler özellikle Teorem 1'de çözüm formülünün ileri farkı alınırken sınır terimlerinin doğru biçimde ortaya çıkmasını sağlar.

Belirleyici \(Q\) matrisi — Tanım 1

Kaynak, değişmeli olmayan matris çarpımlarının sırasını kaybetmemek için yardımcı bir \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\) matris ailesi tanımlar:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Başlangıç koşulları:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

ve çoklu indislerden herhangi biri negatif olduğunda ilgili \(Q\) değeri sıfır matris \(\Theta\) olarak alınır.

Bu yapı neden gerekli? Klasik multinom açılımında terimlerin sırası değiştirilerek benzer terimler birleştirilebilir. Nonkomütatif matriste bu işlem güvenli değildir. \(Q\) rekürsiyonu, soldan gelen \(V_h\) ve sağdan gelen \(W_h\) çarpımlarının oluşma sırasını yapı içinde saklar.

Lemma 2: mümkün olmayan çoklu indislerin sıfırlanması

Eğer

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

ise

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Bu sonuç hesaplamada önemlidir çünkü sonsuz görünen çoklu indis uzayının büyük bir bölümü otomatik olarak sıfır katkı verir. Kaynak bunu \(k\) üzerinde matematiksel tümevarımla kanıtlar.

Değişmeli olmayan matrisler için genelleştirilmiş multinom yapısı

Kaynak, sıradan multinom kuvvetinin yerine çarpım sırasını koruyan şu genelleştirilmiş yapıyı kullanır:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Kaynak aynı yapıyı multinom katsayıları üzerinden de açar. Buradaki alt indis \(G\), ifadenin sıradan değişmeli matris kuvveti olarak okunmaması gerektiğini hatırlatır.

Tek gecikmeli \(d=1\) durumda yapı genelleştirilmiş binom biçimine indirgenir. Matrisler çiftler halinde değişmeli olduğunda ise genelleştirilmiş yapı klasik multinom açılımıyla uyumlu hale gelir. Böylece yeni tanım eski teoriyle çelişmek yerine onu özel durum olarak içerir.

Çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonu neden gerekli?

Çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonu, sürekli sistemlerdeki temel matris üstelinin ayrık ve gecikmeli karşılığı olarak davranır; geçmiş zaman etkilerini, farklı gecikme kombinasyonlarını ve değişmeli olmayan matris çarpımlarını tek bir temel çözüm nesnesinde toplar.

Denklem (3): çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonu

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Formül neyi hesaplar? \(k\) ayrık zamanına kadar farklı gecikmelerin kaç kez kullanılabileceğini bütün uygun çoklu indisler üzerinden toplar ve her kombinasyonun nonkomütatif matris katkısını birleştirir.

2. Değişkenler nelerdir? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\), her gecikme kanalının kombinasyonda kaç kez yer aldığını gösteren çoklu indistir. \(\varrho_\ell\) gecikmelerdir. \(Q_G^{V,W}\) çarpım sırasını koruyan belirleyici matristir.

3. Birimler nelerdir? Kaynak fiziksel birim tanımlamaz. Fonksiyonun çıktısı \(n\times n\) matristir.

4. Matematiksel rol nedir? Diferansiyel denklemlerdeki temel matris çözümünün ayrık ve çoklu gecikmeli benzeridir.

5. Anlamı nedir? Her uygun \(\rho\) gecikme geçmişinden sisteme ulaşabilecek ayrı bir kombinatoryal yol olarak düşünülebilir.

6. Koşul nedir? Yalnız

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

koşulunu sağlayan çoklu indisler toplama girer.

7. Nasıl yorumlanmalıdır? Bu fonksiyon yalnız estetik bir yeniden yazım değildir; Teorem 1'de tam çözümün kompakt biçimde ifade edilmesini sağlayan temel matematiksel araçtır.

Lemma 4: temel çözümün fark denklemi

Çoklu gecikmeli matris üstel fonksiyon şu homojen denklemi sağlar:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Bu sonuç, \(\mathcal E_G^{V,W}\)'nin gerçekten temel çözüm rolü oynadığını gösterir. Başka bir deyişle bu fonksiyon yalnız tanımlanmış bir toplam değildir; hedef sistemin homojen kısmının dinamiğini doğrudan sağlar.

Hyers–Ulam kararlılığı neyi ifade eder?

Hyers–Ulam kararlılığı, denklemi her adımda en fazla \(\varepsilon\) büyüklüğünde hatayla sağlayan yaklaşık bir çözümün, gerçek bir tam çözümden en fazla sabit bir \(\lambda\varepsilon\) büyüklüğü kadar uzak kalmasının garanti edilebilmesini ifade eder.

Denklem (4): pertürbe sistem

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Eğer tam sistemin bir çözümü \(Y(k)\) ve \(\lambda>0\) sabiti bulunarak

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

sağlanabiliyorsa sistem Hyers–Ulam kararlı kabul edilir.

\(\varepsilon\) denklem düzeyindeki izin verilen pertürbasyon büyüklüğüdür. \(\lambda\) ise bu yerel denklem hatasının çözüm uzayında ne kadar büyüyebileceğini sınırlandıran kararlılık sabitidir.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, Hyers–Ulam kararlılığının “çözüm zamanla sıfıra gider” anlamına gelmemesidir. Bu tanım, yaklaşık ve tam çözümlerin birbirine kontrollü yakınlığıyla ilgilidir.

Lemma 5: temel çözümün norm üst sınırı

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Bu eşitsizlik matris değerli karmaşık temel çözümün büyüklüğünü, katsayı matrislerinin normlarından oluşturulan daha kolay kontrol edilebilir pozitif bir ifadeyle sınırlar.

Kararlılık ispatının temel mantığı burada ortaya çıkar: matris çarpımlarının ayrıntılı yönlerini doğrudan tek tek izlemek yerine bunların normları üzerinden güvenli bir üst sınır oluşturulur.

Lemma 6: kombinatoryal toplam için sonlu zaman üst sınırı

Kaynak, \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\) olmak üzere ilgili multinom toplamının

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

ile sınırlandırılabileceğini gösterir.

Bu sonuç Hyers–Ulam ispatında kritik öneme sahiptir çünkü çoklu gecikme yollarının toplam katkısının sonlu bir \(T\) zaman ufkunda kontrol edilebilir olduğunu matematiksel olarak garanti eder.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Teorem 1: genel kapalı biçimli çözüm — Denklem (5)

Çalışmanın ana çözüm teoremi, Denklem (2)'nin çözümünü aşağıdaki parçalı biçimde verir:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Formül neyi hesaplar? Başlangıç geçmişi, gecikmeler ve dış zorlama \(\Pi(k)\) bilindiğinde her \(k\ge0\) için tam matris çözümü verir.

2. Formüldeki üç ana parça nedir?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): başlangıç anındaki \(\Phi(0)\) matrisinin sistem boyunca yayılması.
• Çift toplam: 0'dan önceki başlangıç geçmişinin, her gecikme kanalı üzerinden geleceğe taşınan katkısı.
• Son toplam: homojen olmayan \(\Pi(h-1)\) girdilerinin geçmiş zamanlardan \(k\)'ya kadar birikmiş etkisi.

3. Birimler nelerdir? Bütün terimler \(n\times n\) matristir.

4. Matematiksel rol nedir? Bu formül gecikmeli sistemler için bir çeşit ayrık Duhamel/variation-of-constants yapısı oluşturur: başlangıç etkisi ile zorlayıcı terimin etkisini ayrı ayrı toplar.

5. Nonkomütatiflik nerede korunuyor? Bütün matris sırası \(\mathcal E_G^{V,W}\) ve onun içindeki \(Q_G^{V,W}\) yapısında korunur. Dolayısıyla çarpımlar keyfi biçimde yeniden sıralanmaz.

6. Koşullar nelerdir? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) ve \(W_\ell\) sabit gerçek ve sıfır olmayan \(n\times n\) matrislerdir. Değişmeli olmaları gerekmez.

7. Sonuç nasıl yorumlanmalıdır? Makalenin temel yeniliği, bu açık çözümün matrislerin değişmeliliğine ihtiyaç duymadan kurulabilmesidir.

Denklem (6): ispatta çözümün gecikme durumlarına göre ayrılması

Teorem 1'in ispatında gecikmeler, seçilen \(k\) için etkisi henüz başlangıç bölgesinde kalanlar ve çözüm bölgesine geçmiş olanlar şeklinde ayrılır. Kaynak çözümü şu yapıda yeniden düzenler:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Bu ayrım yeni bir çözüm tanımı değildir. İspat tekniğidir: \(k-\varrho_r\) değerinin başlangıç bölgesinde mi yoksa dinamik çözüm bölgesinde mi kaldığını açıkça ayırır.

Denklem (7): ileri farkın alınması

Denklem (6)'nın ileri farkı alındığında kaynak, Lemma 1'i kullanarak

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

ifadesine ulaşır.

Önemli ayrıntı, değişken üst sınırlı toplamın farkı alınırken yeni bir sınır teriminin ortaya çıkmasıdır. \(\Pi(k)\) terimi de tam olarak bu ileri fark işlemi sırasında mevcut zaman adımında görünür.

Denklem (8): homojen temel çözüm ilişkisi

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Kaynak bu eşitliği Denklem (7)'deki her \(\Delta\mathcal E\) terimine uygular. Böylece karmaşık fark ifadesi, hedef sistemde bulunan gecikmeli \(V_iY+YW_i\) yapısına dönüşür.

Denklem (9): hedef sisteme geri dönüş

İspat sonunda ifade şu ara yapıya indirgenir:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Başlangıç bölgesinde

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

olduğu için iki toplam birleşir ve tekrar

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

elde edilir. Böylece Denklem (5)'in gerçekten Denklem (2)'yi çözdüğü gösterilir.

Tek gecikmeli değişmeli olmayan özel durum — Denklem (10)

\(d=1\) için çözüm

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

biçimine indirgenir.

Burada

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Bu sonuç yeni teorinin yalnız çoklu gecikmede değil, tek gecikmeli fakat değişmeli olmayan matriste de kullanılabildiğini gösterir.

Ek değişmelilik koşullarındaki özel gösterimler — Denklem (11)

Kaynak, tek gecikme ve ek değişmelilik koşullarında çözümü şu alternatif biçime indirger:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Denklem (12): aynı özel durumun fark başlangıçlı gösterimi

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Kaynakta

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

tipindeki özel matris fonksiyonu kullanılmaktadır.

Denklem (11) ve (12), yeni genel yapının önceki değişmeli özel durumlarla tutarlı olduğunu göstermek için verilmektedir; ana nonkomütatif çoklu gecikme sonucu Denklem (5)'tir.

Birden fazla gecikmenin değişmeli özel durumu — Denklem (13)

Matrislerin çiftler halinde değişmeli olduğu özel durumda kaynak çözümü

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

biçiminde ifade eder.

Bu özel durum önceki literatürle uyumludur. Dolayısıyla yeni teori, eski formülleri ortadan kaldırmamakta; onları daha genel bir nonkomütatif çatının özel durumları haline getirmektedir.

Denklem (14): pertürbasyon matrisi

Hyers–Ulam ispatında yaklaşık çözümün denklemde bıraktığı artık doğrudan

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

olarak tanımlanır ve

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

olduğu kabul edilir.

Bu tanım öğretici açıdan önemlidir. \(O(k)\), yaklaşık çözümün hedef denklemi tam olarak sağlamamasından kaynaklanan yerel hata matrisidir.

Teorem 2: Hyers–Ulam kararlılık ispatının ana zinciri

Pertürbe çözüm ile tam çözümün farkı, ortak başlangıç terimleri ve ortak \(\Pi\) katkıları birbirini götürdüğünde yalnız \(O\) pertürbasyonundan gelen toplam olarak kalır:

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Lemma 5 ile matris normları, Lemma 6 ile kombinatoryal toplamlar üstten sınırlandığında

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

sonucu elde edilir.

Kararlılık sabiti:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Bu formül neyi hesaplar? Sonlu \(T\) zaman ufkunda, denklemdeki \(\varepsilon\) büyüklüğündeki hatanın çözümler arasındaki uzaklığa aktarılabileceği teorik üst sınır katsayısını oluşturur.

2. Değişkenler nelerdir? \(T\) sonlu zaman üst sınırı, \(\rho\) gecikme kombinasyonu, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) gecikmeler ve \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) katsayı normlarıdır.

3. Birimler nelerdir? Çalışma fiziksel birim tanımlamaz; \(\lambda\) norm tabanlı matematiksel sınır sabitidir.

4. Matematiksel rol nedir? Çoklu gecikme yollarının ve matris büyüklüklerinin toplam pertürbasyon büyümesine etkisini güvenli biçimde bir üst sınırda toplar.

5. Nonkomütatiflik nasıl etkiler? Matrislerin sırası korunmak zorunda olduğu için bütün nonkomütatif monomların etkisi hesaba katılır. Kaynak, bunun değişmeli duruma kıyasla daha muhafazakâr bir \(\lambda\) sınırı üretebileceğini belirtmektedir.

6. Gecikmeler nasıl etkiler? \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) koşulu, hangi çoklu indislerin belirli \(T\) içinde katkı verebildiğini belirler. Dolayısıyla gecikme yapısı kararlılık sınırında doğrudan yer alır.

7. Nasıl yorumlanmalıdır? Büyük \(\lambda\), gerçek çözüm sapmasının mutlaka bu değere ulaşacağını göstermez. Bu bir garanti üst sınırıdır ve muhafazakâr olabilir.

Sonlu ve sonsuz zaman ufku arasındaki fark

Kaynak, her sonlu \(T\) için Hyers–Ulam kararlılığını kurar. Ancak

\[ T\rightarrow\infty \]

durumunda sonsuz zaman kararlılığı için ek bir kontraktivite koşulu gerekir:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Bu koşul temel çözümün üstel biçimde sönmesini ve \(\lambda\)'yı tanımlayan serinin yakınsamasını sağlar.

Dolayısıyla makalenin “kararlılık kanıtlandı” sonucu sınırsız zaman için koşulsuz okunmamalıdır. Genel teorem sonlu aralık içindir; sonsuz ufukta kontraktivite gereklidir.

Sayısal örnek — Denklem (15)

Kaynak, iki gecikmeli \(2\times2\) bir sistemi ele alır:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Katsayı matrisleri:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Gecikmeler:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Homojen olmayan terim:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Başlangıç matrisi:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

ve özellikle

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Temel çözümün ilk değerleri

Kaynak, homojen bölüm için elde edilen temel çözüm matrislerini \(k=0,\ldots,4\) için hesaplar:

Denklem (16): kesin çözümün matris biçimi

Teorem 1 uygulandıktan sonra çözüm

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

olarak yazılır.

Sayısal örnekte Hyers–Ulam pertürbasyonu

Kaynak

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

seçer ve

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

pertürbasyonunu tanımlar.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Böylece Denklem (4)'teki pertürbasyon koşulu doğrudan sağlanır.

Örnekte Teorem 2'nin üst sınır sabiti

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

olarak hesaplanmıştır.

Bu değerin büyüklüğü, tam ve pertürbe çözümlerin gerçekten 1470 birim civarında ayrıldığı anlamına gelmez. \(\lambda\varepsilon\) teorik ve muhafazakâr bir üst sınırdır. Nitekim kaynak grafiğinde gerçek sapmalar çok daha küçüktür.

Tam ve pertürbe çözümün bileşen bazında karşılaştırılması

Şekil neden Hyers–Ulam kararlılığını destekliyor?

\(Y_{21}\) bileşeninde iki çözüm örneklenen bütün \(k\) değerlerinde aynı görünmektedir. \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) ve \(Y_{22}\) bileşenlerinde ise pertürbasyon sonrasında küçük farklar oluşmaktadır ancak eğriler birbirinden kontrolsüz biçimde ayrılmamaktadır.

Örneğin:

• \(k=2\)'de \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• \(k=3\)'te \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• \(k=4\)'te \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• \(k=4\)'te \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Bu gözlem tek başına genel teoremin ispatı değildir. Teorem 2 analitik olarak kanıtlanmıştır; sayısal örnek yalnız teoremin belirli bir sistemde nasıl göründüğünü göstermektedir.

Gecikme kararlılığı nasıl etkiliyor?

Kaynak, Hyers–Ulam üst sınırında gecikmelerin özellikle uygun \(T\) üst sınırının seçimini etkilediğini belirtmektedir. Çoklu indis toplamasındaki

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

koşulu, hangi gecikme kombinasyonlarının kararlılık sabitine katkıda bulunacağını doğrudan belirler.

Gecikmeler büyüdüğünde katkı yollarının zaman içindeki oluşumu değişir. Nonkomütatif matrislerde bu yolların her birinde çarpım sırası da korunmak zorunda olduğundan gecikme ile değişmeli olmama etkileri birbirinden tamamen bağımsız değildir.

Değişmeli olmama kararlılık üst sınırını nasıl etkiliyor?

Kaynağın Remark 11 yorumu, değişmeli olmayan durumda genelleştirilmiş multinom açılımının bütün matris ürünlerinin sırasını korumak zorunda olduğunu vurgular. Bu nedenle \(\lambda\) bütün nonkomütatif monomların norm katkılarını içerebilir.

Sonuç olarak teorik üst sınır, değişmeli özel duruma göre daha muhafazakâr olabilir. Bu “sistem kesinlikle daha kararsızdır” demek değildir; kanıtın güvenli üst sınırı daha geniş olabilir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Çoklu gecikmeli birinci mertebeden doğrusal ayrık matris denklemleri için değişmelilik varsayımı olmadan açık çözüm temsili kurulabilir.
• Genelleştirilmiş multinom ve çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyon bu çözümün temel matematiksel araçlarıdır.
• Yeni yapı klasik değişmeli ve tek gecikmeli sonuçları özel durum olarak geri üretmektedir.
• Sistem her sonlu ayrık zaman aralığında belirtilen koşullar altında Hyers–Ulam kararlıdır.
• Sayısal iki gecikmeli örnek, tam ve pertürbe çözümün bileşenlerinin sınırlı biçimde ayrıldığını göstermektedir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Çalışma bütün nonkomütatif gecikmeli sistemlerin asimptotik olarak kararlı olduğunu söylemez.
• Sonsuz zaman ufkunda koşulsuz Hyers–Ulam kararlılığı iddia edilmez; uygun kontraktivite gereklidir.
• Sayısal örnek gerçek bir fiziksel deney değildir.
• Sonuçlar zamanla değişen \(V_\ell(k)\) ve \(W_\ell(k)\) matrislerini doğrudan kapsamaz.
• Çalışma çok yüksek gecikme sayılarında yöntemin hesaplama açısından her zaman verimli olduğunu iddia etmez.

Hesaplama karmaşıklığı ve yöntem sınırı

Kaynak sonuç bölümünde önemli bir hesaplama sınırlılığı açıkça belirtilmektedir. Açık çözüm formüllerindeki çoklu indisler

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

koşulunu sağlamaktadır.

Sabit gecikme sayısı \(d\) için uygun indislerin sayısının büyüme ölçeği kaynakta yaklaşık

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

olarak verilmektedir.

Bu nedenle yazarlar yaklaşımın özellikle az sayıda gecikmeli, örneğin \(d\le3\), ve orta uzunluktaki zaman ufuklarında uygun olduğunu belirtmektedir. Çok daha büyük sistemler için Z-dönüşümü veya doğrudan iterasyon gibi sayısal yöntemlerle hesaplama maliyeti karşılaştırmalarının ayrıca yapılması gerekmektedir.

Gelecekte önerilen araştırmalar

• Yöntemin gecikmeli kesirli mertebeden ayrık sistemlere genişletilmesi.
• Sabit olmayan ve duruma bağlı gecikmelerin ele alınması.
• Sonlu zaman kararlılığı, üstel kararlılık ve girişten-duruma kararlılık gibi başka kararlılık kavramlarının incelenmesi.
• Açık çözüm temsillerinin kontrol edilebilirlik, gözlenebilirlik ve iteratif öğrenme kontrolünde kullanılması.
• Ağ bağlantılı dinamik sistemler ve çok etmenli sistemlere uygulama.
• Sabit \(V_\ell,W_\ell\) matrislerinin yerine zamanla değişen \(V_\ell(k),W_\ell(k)\) katsayılarının incelenmesi.
• Zamanla değişen durum için Peano–Baker tipi seri veya zamanla değişen genelleştirilmiş multinom yapılarının geliştirilmesi.
• Büyük ölçekli problemlerde hesaplama karmaşıklığının ve verimli uygulama stratejilerinin ayrıntılı analizi.

Genel bilimsel sonuç

Çalışmanın temel matematiksel katkısı, gecikmeli ayrık matris sistemlerinde uzun süredir çözüm formüllerini kolaylaştıran değişmelilik varsayımını kaldırmasıdır. Bunun için klasik multinom açılımını doğrudan kullanmak yerine matris çarpımlarının sırasını saklayan \(Q_G^{V,W}\) yapısı geliştirilmiş ve bu yapı çoklu gecikmeli ayrık matris üstel fonksiyonuna taşınmıştır.

Bu temel fonksiyon üzerinden başlangıç geçmişi, çoklu gecikmeler ve homojen olmayan girdilerin tamamını içeren açık çözüm elde edilmiştir. Aynı çözüm yapısının norm tahminleri kullanılarak yaklaşık ve tam çözümler arasındaki fark sınırlandırılmış ve Hyers–Ulam kararlılığı gösterilmiştir.

Matematiksel olarak önemli nokta yalnız “daha genel bir formül” elde edilmesi değildir. Çalışma, çarpım sırasının artık serbestçe değiştirilemediği bir ortamda bile klasik gecikmeli sistem teorisindeki temel çözüm, başlangıç değer problemi ve kararlılık kavramlarını tek bir çatı altında sürdürebilmektedir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Yazarlar: Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer ve Xingtao Wang.

Sorumlu yazar: Ahmed M. Elshenhab.

Kurum 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Kurum 2: Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Kurum 3: School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Dergi: Mathematics.

Yayınevi: MDPI, Basel, Switzerland.

Bibliyografik kayıt: Mathematics, 2026, Cilt 14, Sayı 9, Makale 1537.

DOI: 10.3390/math14091537

Gönderim: 3 Nisan 2026.

Revizyon: 22 Nisan 2026.

Kabul: 29 Nisan 2026.

Yayın: 1 Mayıs 2026.

Kaynak türü: Hakemli, açık erişimli özgün teorik matematik araştırması.

Lisans: Creative Commons Attribution (CC BY).

Anahtar kelimeler: linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC: 39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Yazar katkıları

• Kavramsallaştırma: A.M.E. ve X.W.
• Veri kürasyonu: A.M.E., G.A. ve X.W.
• Biçimsel analiz: A.M.E. ve X.W.
• Yazılım: A.M.E.
• Gözetim: X.W.
• Doğrulama: A.M.E., G.A. ve X.W.
• Görselleştirme: A.M.E.
• İlk taslak: A.M.E.
• İnceleme ve düzenleme: A.M.E., G.A. ve X.W.
• Araştırma: A.M.E.
• Metodoloji: A.M.E. ve X.W.
• Finansman edinimi: G.A.

Finansman

Araştırma, Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project tarafından PNURSP2026R45 proje numarasıyla finanse edilmiştir.

Veri erişilebilirliği

Yazarların beyanına göre çalışmanın özgün katkıları makale içinde yer almaktadır. Ek sorular sorumlu yazara yöneltilebilir.

Teşekkür

Yazarlar Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45 programına teşekkür etmektedir.

Çıkar çatışması

Yazarlar çıkar çatışması bulunmadığını beyan etmektedir.

Yöntemsel sınır

Çalışma teorik matematik araştırmasıdır. Kaynakta sunulan sayısal örnek, genel çözüm ve Hyers–Ulam kararlılık teoremlerinin hesaplanabilirliğini göstermek amacı taşımaktadır; gerçek mühendislik sistemi üzerinde deneysel doğrulama değildir.

Temel model sabit katsayı matrislerini kullanır. \(V_\ell(k)\) ve \(W_\ell(k)\) gibi zamanla değişen katsayılar mevcut teorem kapsamında doğrudan çözülmemektedir.

Yöntem çoklu indis toplamları içerdiği için gecikme sayısı ve zaman ufku arttıkça hesaplama maliyeti büyümektedir. Kaynak çalışma özellikle küçük gecikme sayıları ve orta zaman ufuklarını yöntemin doğal kullanım alanı olarak görmektedir.

Sonlu zaman Hyers–Ulam kararlılığı ile sonsuz zaman kararlılığı aynı sonuç değildir. Sonsuz ufukta kaynak ek kontraktivite koşulu vermektedir.

Resmî yayın bağlantısı: https://doi.org/10.3390/math14091537