Mikrobial ekzoproteinli Darcy–Forchheimer biokonveksiya modeli, məsaməli mühitdən keçən ikiölçülü sıxılmayan nanomaye daxilində impulsun, istiliyin, nanohissəciklərin, hərəkətli mikroorqanizmlərin, mikroorqanizmlərin ifraz etdiyi ekzoproteinin və ekzoproteindən yaranan məhsulun birlikdə daşınmasını təsvir edən riyazi sərhəd layı modelidir. Tədqiqat mikroorqanizmlərin yalnız maye daxilində daşındığını fərz etmək əvəzinə, onların logistik böyüməsini və ekzoprotein istehsalı/parçalanması dinamikasını da diferensial tənliklər sisteminə əlavə edir. Qismən diferensial tənliklər oxşarlıq çevrilməsi ilə adi diferensial tənliklərə endirilmiş və spektral kvazilinearlaşdırma üsulu ilə ədədi olaraq həll edilmişdir.

Model nəticələri göstərir ki, maqnit sahəsi axın sürətini azalda bilər; mikrobial böyümə sürəti və daşıma qabiliyyəti artdıqda mikroorqanizm, ekzoprotein və son məhsul profilləri yüksəlir; ekzoprotein istehsal əmsalının artması məhsulun yaranmasını gücləndirir, təbii ekzoprotein parçalanması isə məhsul konsentrasiyasını azaldır. Mikrobial Brownian hərəkət parametrinin artması mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul profillərini azaldarkən, temperaturu və axın sürətini yüksəltmişdir.

Tədqiqat laboratoriya və ya sahə təcrübəsi deyil. Nəticələr müəyyən ölçüsüz riyazi model, seçilmiş və ya fərz edilmiş parametrlər və ədədi həll çərçivəsində əldə edilmişdir. Aşağı residual dəyərləri ədədi həllin öz tənliklər sistemini yüksək dəqiqliklə ödədiyini göstərir; real bioloji və ya sənaye sisteminin eyni kəmiyyətlərlə davranacağını eksperimental olaraq sübut etmir.

Biokonveksiya nədir?

Biokonveksiya, hərəkət edə bilən mikroorqanizmlərin istiqamətli və kollektiv üzmə davranışının maye daxilində makroskopik sıxlıq fərqləri və konvektiv hərəkət yaratdığı axın hadisəsidir. Bu tədqiqatda biokonveksiya nanohissəciklər ehtiva edən mayenin məsaməli mühit daxilində sərhəd layı axını ilə birlikdə modelləşdirilir.

Nanomaye əsas mayeyə nanoskopik hissəciklərin əlavə edildiyi mayedir. Model bu hissəciklərin Brownian hərəkətini, termoforezi, maqnit sahəsinin təsirini, istilik daşınmasını və məsaməli mühit sürüklənməsini eyni sistem daxilində nəzərə alır.

Mikroorqanizmlər və Ekzoproteinlər Bu Modeldə Bir-biri ilə Necə Əlaqələndirilir?

Modeldə mikroorqanizmlər logistik böyümə qanununa uyğun çoxalır, böyüyən mikroorqanizm populyasiyası ekzoprotein istehsal edir, ekzoprotein təbii parçalanmaya uğrayır və ekzoprotein konsentrasiyası eyni zamanda kimyəvi məhsulun yaranmasını qidalandırır; beləliklə mikroorqanizm → ekzoprotein → məhsul əlaqəsi ayrı-ayrı daşınma tənlikləri ilə modelləşdirilir.

Tədqiqatın ədəbiyyat boşluğu

Mənbə qeyd edir ki, əvvəlki biokonveksiya modellərinin çoxunda mikroorqanizmlərin divardan sabit şəkildə sistemə daxil olduğu fərz edilmiş və kultur daxilində real böyümə nəzərə alınmamışdır. Bundan əlavə, mikroorqanizmlərin ətraf mühitə ifraz etdiyi zülal/fermentlərin axın, istilik və kütlə transferi ilə birlikdə dinamik şəkildə modelləşdirilmədiyi bildirilir.

Bu tədqiqat hər iki boşluğu eyni model daxilində nəzərə alır: mikroorqanizmlərə logistik böyümə termini əlavə edilmiş və ekzoprotein üçün istehsal, diffuziya və təbii parçalanma tənliyi qurulmuşdur.

Modelin fiziki quruluşu

Model ikiölçülü və sıxılmayan nanomaye axınını nəzərdən keçirir. Maye məsaməli mühitdən keçir. \(u\), səthə paralel \(x\) istiqamətindəki; \(v\) isə səthə normal \(y\) istiqamətindəki sürət komponentidir.

İmpuls tənliyində viskoz diffuziyaya əlavə olaraq maqnit sahəsi, Darcy məsamə müqaviməti, qeyri-xətti Forchheimer müqaviməti, temperaturdan yaranan qaldırma qüvvəsi, nanohissəcik konsentrasiyasından yaranan qaldırma və mikroorqanizm sıxlığından yaranan biokonvektiv qaldırma birlikdə yer alır.

Enerji tənliyi istilik keçiriciliyi, termal şüalanma, viskoz dissipasiya, maqnit/Joule təsirləri, məsaməli mühit itkiləri, Brownian daşınması, mikroorqanizm daşınması və termoforez terminlərini ehtiva edir.

Əsas sahə dəyişənləri

Mənbədə çap olunmuş davamlılıq tənliyi

Mənbə Tənlik 1-i aşağıdakı formada verir:

\[ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0. \]

Mənbə daha sonra \(u\)-nu \(x\) istiqamətindəki, \(v\)-ni isə \(y\) istiqamətindəki sürət komponenti kimi müəyyən etdiyinə görə ikinci termində yenidən \(u\) istifadə olunması mənbədaxili notasiya uyğunsuzluğu yaradır. Verianla bu tənliyi səssizcə dəyişdirməmişdir.

İmpuls tənliyi

Mənbə Tənlik 2-də impuls balansını aşağıdakı quruluşda verir:

\[ u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} -\frac{\sigma B_0^2}{\rho}u -\frac{\nu}{K}u -\frac{C_b}{x\sqrt K}u^2 \]

\[ +(1-C_\infty)g\beta_T(T-T_\infty) -\frac{\rho_c-\rho}{\rho}g\beta_c(C-C_\infty) -\frac{\rho_n-\rho}{\rho}g\beta_n(n-n_\infty). \]

Burada \(-\nu u/K\) Darcy tipli məsamə müqavimətini, \(-C_bu^2/(x\sqrt K)\) isə qeyri-xətti Forchheimer sürüklənməsini təmsil edir. Maqnit sahəsi termini də axını yavaşıdan əlavə müqavimət komponenti kimi modelə daxil edilir.

Mikroorqanizm böyüməsi

Mikroorqanizm tənliyindəki bioloji böyümə termini mənbənin logistik modelində belədir:

\[ r(n-n_\infty) \left( 1-\frac{n-n_\infty}{\Delta n K_n} \right). \]

\(r\) mikrobial böyümə sürətini, \(K_n\) isə daşıma qabiliyyətini təmsil edir. Mikroorqanizm sıxlığı aşağı olduqda böyümə müsbət olur; populyasiya daşıma qabiliyyətinə yaxınlaşdıqca böyümə termininin təsiri azalır.

Ekzoprotein tənliyi

Ekzoprotein daşınması mənbə Tənlik 6-da aşağıdakı şəkildə modelləşdirilir:

\[ u\frac{\partial m}{\partial x} +v\frac{\partial m}{\partial y} = D_m\frac{\partial^2m}{\partial y^2} +\lambda(n-n_\infty) -\mu(m-m_\infty). \]

\(D_m\) ekzoproteinin Brownian diffuziya əmsalıdır. \(\lambda(n-n_\infty)\) mikroorqanizmlərlə əlaqəli ekzoprotein istehsalını, \(\mu(m-m_\infty)\) isə təbii ekzoprotein parçalanmasını təmsil edir.

Bu tənlik tədqiqatın orijinal elmi quruluşunun mərkəzidir: mikroorqanizm sayı artdıqca istehsal termini yüksəlir; təbii parçalanma artdıqda ekzoprotein azalır.

Məhsul tənliyi

Ekzoproteinin yaratdığı məhsulun konsentrasiyası \(S\), Tənlik 7 ilə modelləşdirilir:

\[ u\frac{\partial S}{\partial x} +v\frac{\partial S}{\partial y} = D_s\frac{\partial^2S}{\partial y^2} +\frac{D_T}{T_\infty}\frac{\partial^2T}{\partial y^2} +\lambda_s(m-m_\infty). \]

Buradakı \(\lambda_s(m-m_\infty)\) termini ekzoprotein konsentrasiyasının məhsul yaranmasını birbaşa qidalandırdığı riyazi əlaqədir.

Sərhəd şərtləri

Mənbə divarda \(u=cx\) şəklində xətti dartılma sürətindən istifadə edir. İstilik transferi konvektiv sərhəd şərti ilə; nanohissəcik axını Brownian və termoforetik komponentlərin cəmi ilə; mikroorqanizm transferi isə \(h_n\) əmsalı ilə müəyyən edilir. Ekzoprotein və məhsulun divar konsentrasiyaları müvafiq olaraq \(m_w\) və \(S_w\)-dir.

Səthdən sonsuzluğa doğru gedildikdə sürət, temperatur, nanohissəcik, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul sahələri öz mühit qiymətlərinə yaxınlaşır.

Oxşarlıq çevrilməsi

PDE sistemini daha asan həll edilə bilən ODE sisteminə endirmək üçün mənbə aşağıdakı oxşarlıq dəyişənlərindən istifadə edir:

\[ \psi=\sqrt{c\nu}\,x f(\eta), \qquad \eta=y\sqrt{\frac{c}{\nu}}, \qquad \theta(\eta)=\frac{T-T_\infty}{T_w-T_\infty}, \]

\[ \phi(\eta)=\frac{C-C_\infty}{C_w-C_\infty}, \qquad \chi(\eta)=\frac{n-n_\infty}{n_w-n_\infty}, \qquad \xi(\eta)=\frac{m-m_\infty}{m_w-m_\infty}, \]

\[ \varphi(\eta)=\frac{S-S_\infty}{S_w-S_\infty}, \qquad u=cxf'(\eta), \qquad v=-\sqrt{c\nu}\,f(\eta). \]

Bu çevrilmə temperatur, nanohissəcik, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul sahələrini ölçüsüz profil funksiyalarına çevirir və iki müstəqil koordinatlı PDE sistemini tək oxşarlıq dəyişəni \(\eta\) üzərindən ODE sisteminə endirir.

Çevrilmiş impuls tənliyi

Tənlik 10:

\[ f'''+ff''-Mf'-K_pf'-F_r(f')^2+ \frac{G_r}{Re^2} \left[ \theta-N_r\phi-R_b\chi \right]=0. \]

Bu tənlikdə \(M\) maqnit sahəsini, \(K_p\) Darcy keçiricilik təsirini, \(F_r\) Forchheimer müqavimətini, \(G_r\) termal qaldırmanı və \(R_b\) biokonvektiv qaldırmanı təmsil edən ölçüsüz parametrlərdir.

Çevrilmiş nanohissəcik tənliyi

Tənlik 12:

\[ \phi''+S_cf\phi' +\frac{N_t}{N_b}\theta''=0. \]

\(N_b\) nanohissəcik Brownian hərəkət parametri, \(N_t\) isə termoforez parametridir. Termoforez temperatur qradiyentinin mikroskopik hissəciklərin hərəkətinə təsirini təmsil edir.

Çevrilmiş ekzoprotein tənliyi

Tənlik 14:

\[ \xi''+ S_d \left[ f\xi'-A_2\xi+A_1\chi \right] =0. \]

\(A_1\), mikroorqanizmlərin ekzoprotein istehsal sürətini ölçüsüz formada təmsil edir; \(A_2\) təbii ekzoprotein parçalanmasıdır. Buna görə modelin bioloji nüvəsi açıq şəkildə \(+A_1\chi\) istehsal və \(-A_2\xi\) itki terminləri üzərində qurulur.

Çevrilmiş məhsul tənliyi

Tənlik 15:

\[ \varphi'' + S_s \left[ f\varphi' +\tilde{\lambda}_s\xi \right] + \frac{N_t}{N_s}\theta'' =0. \]

\(\tilde{\lambda}_s\), ekzoproteindən məhsul yaranmasını təmsil edən ölçüsüz istehsal əmsalıdır.

Əsas ölçüsüz parametrlər

Schmidt sayı simvolundakı mənbə uyğunsuzluğu

Mənbə Tənlik 17 və izah mətnində mikroorqanizmlər üçün biokonveksiya Schmidt sayını \(S_b=\nu/D_n\), ekzoprotein üçün Schmidt sayını isə \(S_d=\nu/D_m\) kimi müəyyən edir. Buna qarşılıq Cədvəl 1 “Bioconvection Schmidt number” sətrində \(S_d\) simvolundan istifadə edir və daha sonra protein/ekzoprotein Schmidt sayında da yenidən \(S_d\) göstərir. Buna görə biokonveksiya Schmidt sayı üçün Cədvəl 1-dəki simvol Verianla tərəfindən düzəldilməmiş, mənbədaxili notasiya problemi kimi işarələnmişdir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

İmpuls, istilik və kütlə transferi göstəriciləri

Model sərhəddəki axın və daşınma davranışını skin-friction, Nusselt, Sherwood və mikroorqanizm/ekzoprotein/məhsul sıxlıq sayları vasitəsilə qiymətləndirir.

Mənbədə yerli skin-friction əmsalı:

\[ C_f=-2Re^{-1/2}f''(0) \]

kimi verilmişdir.

Yerli Nusselt sayı:

\[ Nu_x = -\left(1+\frac{4}{3}R_d\right) Re^{1/2}\theta'(0) \]

və yerli Sherwood sayı:

\[ Sh_x=-Re^{1/2}\phi'(0) \]

şəklindədir.

Mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul üçün uyğun sıxlıq sayları da müvafiq olaraq:

\[ Nn_x=-Re^{1/2}\chi'(0), \qquad Nm_x=-Re^{1/2}\xi'(0), \qquad Ns_x=-Re^{1/2}\varphi'(0) \]

kimi müəyyən edilmişdir.

Buna görə Cədvəl 3-də yalnız \(\theta'(0)\), \(\phi'(0)\), \(\chi'(0)\), \(\xi'(0)\) və \(\varphi'(0)\) kimi verilən dəyərlər müvafiq fiziki ölçüsüz ədədin tamamı deyil; Tənlik 19-23-dəki Reynolds miqyaslaması və işarə/əmsal çevrilmələri də tələb olunur.

Spektral Kvazilinearlaşdırma Üsulu Bu Sistemi Necə Həll Edir?

Spektral kvazilinearlaşdırma üsulu qeyri-xətti ODE sistemini ardıcıl xətti məsələlərə çevirir; Chebyshev–Gauss–Lobatto kollokasiya nöqtələri və spektral törəmə matrisi istifadə olunaraq hər iterasiyada sürət, temperatur, nanohissəcik, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul profilləri birlikdə yenilənir.

Gauss–Lobatto kollokasiya nöqtələri

Fiziki hesablama sahəsi \(\eta\in[0,L_x]\), əvvəlcə \(z_i\in[-1,1]\) aralığına çevrilir:

\[ z_i= \cos\left(\frac{\pi i}{N}\right), \qquad i=0,1,\ldots,N. \]

Fiziki kollokasiya nöqtələri daha sonra:

\[ \eta_i= \frac{L_x(1+z_i)}{2} \]

şəklində yaradılır.

Spektral törəmə matrisi

Bir funksiyanın törəməsi kollokasiya nöqtələrində \(D\) törəmə matrisi ilə təqribi hesablanır:

\[ f' = Df. \]

Mənbə Lagrange interpolasiya polinomlarından da istifadə edərək funksiyaları:

\[ u(\eta)= \sum_{i=0}^{N} u(\eta_i)L_i(\eta) \]

şəklində təqdim edir.

Kvazilinear iterasiya

Qeyri-xətti altı tənlik mövcud iterasiya \(r\) ətrafında kvazilinearlaşdırılaraq növbəti \(r+1\) iterasiyasındakı naməlumlar üçün blok matris sisteminə çevrilir:

\[ \mathbf{A}_r \begin{bmatrix} f_{r+1}\\ \theta_{r+1}\\ \phi_{r+1}\\ \chi_{r+1}\\ \xi_{r+1}\\ \varphi_{r+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_f\\ R_\Theta\\ R_\Phi\\ R_X\\ R_\Upsilon\\ R_\Psi \end{bmatrix}. \]

Mənbə Tənlik 32-54 arasında bu blok sistemdəki residual funksiyalarını, xəttiləşdirmə əmsallarını və matris komponentlərini ətraflı şəkildə açır.

Başlanğıc təxminləri

Spektral iterasiyanın başlanğıc profilləri mənbə Tənlik 46-da eksponensial azalan funksiyalar kimi seçilmişdir. Məsələn, sürət üçün:

\[ f_0(\eta)=1-e^{-\eta} \]

istifadə edilmişdir. Temperatur, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul üçün də sərhəd şərtlərini ödəyən oxşar \(e^{-\eta}\) əsaslı başlanğıc profilləri müəyyən edilmişdir.

Simulyasiyada istifadə olunan əsas parametrlər

Ədədi həllin residual doğrulaması

Mənbə altı həll dəyişəni üçün on iterasiyada residual xəta təhlili aparmışdır. Temperatur, nanohissəcik, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul residual dəyərlərinin böyük hissəsi \(10^{-11}\) ilə \(10^{-12}\) mərtəbəsindədir.

Sürət funksiyası \(f(\eta)\) üçün isə mənbə Cədvəl 2-də \(4,53\times10^{-9}\), \(3,70\times10^{-9}\) və \(4,22\times10^{-9}\) kimi dəyərlər vardır. Buna baxmayaraq nəticə mətni ümumi xəta aralığını \(10^{-12}\) ilə \(10^{-10}\) kimi təsvir edir. Buna görə mənbənin izahı ən böyük \(f(\eta)\) residual dəyərlərini tam əhatə etmir.

Bu residual testi ədədi tənliklərin nə dərəcədə yaxşı ödənildiyini ölçür. Eksperimental sistem ilə model arasındakı fiziki dəqiqlik xətasını ölçmür.

Maqnit sahəsinin təsiri

Şəkil 2-yə görə maqnit sahəsi parametri artdıqca maye sürəti azalır. Mənbə bunu maqnit sahəsinin yaratdığı sürüklənmə təsiri ilə əlaqələndirir.

Eyni zamanda temperatur, nanohissəcik, mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul profillərinin sərhəd layında artdığı görünür. Müəlliflərin izahına görə azalan konvektiv daşınma digər növlərin sərhəd layı daxilində toplanmasına töhfə verir.

Mikrobial Brownian hərəkətin təsiri

Şəkil 3-də mikrobial Brownian hərəkət parametri artdıqda mikroorqanizm konsentrasiyası azalır. Buna bağlı olaraq ekzoprotein və məhsul konsentrasiyaları da azalır.

Buna qarşılıq temperatur və maye sürəti artır. Bu nəticə nanohissəciklərə aid \(N_b\) Brownian parametri ilə qarışdırılmamalıdır; mənbə \(N_b\) və \(N_n\)-ni ayrı model dəyişənləri kimi müəyyən edir.

Mikrobial böyümə sürətinin təsiri

Şəkil 4 göstərir ki, mikrobial böyümə sürəti \(r\) artdıqda mikroorqanizm sıxlığı yüksəlir; bu da ekzoprotein və məhsul profillərini yuxarı qaldırır.

Mənbə eyni zamanda temperaturun yüksəldiyini, divara yaxın nanohissəcik konsentrasiyasının isə azaldığını bildirir. Müəlliflər nanohissəcik azalmasına səbəb olan mexanizmin bu mərhələdə aydın olmadığını xüsusi qeyd edirlər.

Daşıma qabiliyyətinin təsiri

Şəkil 5-də \(K_n=2,10,50,100\) dəyərləri üçün mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul profilləri göstərilir. Daşıma qabiliyyəti artdıqca mikrobial populyasiyanın icazə verilən logistik yuxarı həddi yüksəlir; nəticədə ekzoprotein və məhsul profilləri də artır.

Ekzoprotein istehsal və parçalanma sürətləri

Şəkil 6-nın ilk iki panelində \(A_1\) artdıqca ekzoprotein və məhsul profilləri yüksəlir. Son iki paneldə isə \(A_2\) artdıqca ekzoprotein və məhsul profilləri azalır.

Cədvəldəki dəyərlər birbaşa fiziki ekzoprotein və ya məhsul sıxlığı deyil; sərhəddəki ölçüsüz profil törəmələridir. Həqiqi \(Nm_x\) və \(Ns_x\) dəyərləri Tənlik 22 və 23-də müəyyən edilən Reynolds miqyaslaması və işarə çevrilməsi ilə əldə edilir.

Termoforez parametri

Cədvəl 3-də \(N_t\) 0,2-dən 0,5-ə yüksəldikdə mənbə \(\theta'(0)\) dəyərinin 0,08472-dən 0,09986-ya çıxdığını, məhsul sərhəd törəməsinin isə 1,9530-dan 3,6460-a yüksəldiyini bildirir.

Abstract, termoforez parametrindəki artımın ekzoprotein konsentrasiyasını və Nusselt sayını artırdığını bildirir. Lakin Cədvəl 3-də verilən \(\theta'(0)\) və \(\xi'(0)\) dəyərləri birbaşa yekun fiziki Nusselt və ekzoprotein sıxlıq sayları olmadığına görə işarə və miqyaslama Tənlik 19 və 22 ilə birlikdə qiymətləndirilməlidir.

Mikrobial böyümə parametrinin sərhəd nəticələri

Cədvəl 3-də \(r\) 0,05-dən 0,30-a qaldırıldıqda \(\theta'(0)\) 0,07884-dən 0,13658-ə, ekzoprotein törəməsi \(\xi'(0)\) -1,01332-dən 1,98578-ə və məhsul törəməsi \(\varphi'(0)\) 1,01443-dən 8,05433-ə dəyişir.

Bu nəticələr modelin mikrobial böyümə parametrinə güclü həssaslıq göstərə bildiyini ortaya qoyur. Lakin bunlar müəyyən parametr dəstindəki ədədi model çıxışlarıdır; real bakterial kulturda ölçülmüş istehsal sürətləri deyil.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

Model mikrobial böyümə və ekzoprotein istehsalı/parçalanmasını biokonveksiya nanomaye tənliklərinə birlikdə daxil edə bilir.

Spektral kvazilinearlaşdırma üsulu seçilmiş model üçün aşağı residual dəyərləri yaratmışdır.

Model daxilində maqnit sahəsi, mikrobial Brownian hərəkət, termoforez, mikrobial böyümə, daşıma qabiliyyəti və ekzoprotein istehsal/parçalanma əmsalları axın, temperatur və növ profillərini dəyişir.

Ekzoprotein istehsal parametri yüksəldikdə məhsul artır; təbii parçalanma parametri yüksəldikdə məhsul azalır.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

Tədqiqat müəyyən real bakteriyanın laboratoriya şəraitində bu modellə eyni böyümə və ya ekzoprotein profilini göstərəcəyini sübut etmir.

Nanomayenin sənayedə enerji səmərəliliyini müəyyən faiz artırdığına dair eksperimental ölçmə aparılmamışdır.

Tədqiqat pivə, dərman, pendir, mineral çıxarılması və ya xərçəng müalicəsində modelin əməliyyat performansını sınaqdan keçirməmişdir.

Residual xətaların kiçik olması real sistemlə model arasındakı eksperimental dəqiqliyin eyni böyüklükdə olduğu anlamına gəlmir.

Fərz edilmiş \(K_n\), \(S_d\), \(S_s\), \(A_2\), \(\tilde{\lambda}_s\) və \(B_n\) dəyərlərinin müəyyən real mikroorqanizm–nanomaye sisteminə aid olduğu göstərilməmişdir.

Mənbə daxilində mühüm texniki uyğunsuzluqlar

Tənlik 1: Mənbə ikiölçülü sürət komponentlərini \(u\) və \(v\) kimi müəyyən etsə də davamlılıq tənliyində \(\partial u/\partial x+\partial u/\partial y=0\) yazır.

Schmidt simvolu: Mətn \(S_b\)-ni biokonveksiya Schmidt sayı, \(S_d\)-ni isə ekzoprotein Schmidt sayı kimi müəyyən etdiyi halda Cədvəl 1 biokonveksiya Schmidt sayını da \(S_d\) ilə göstərir.

Residual xəta mərtəbəsi: Nəticə mətni \(10^{-12}\)-\(10^{-10}\) aralığını verir, Cədvəl 2 isə sürət residualında \(10^{-9}\) mərtəbəsində dəyərlər ehtiva edir.

Cədvəl 3 etiketləri: Cədvəl sərhəd törəmələrini Nusselt, Sherwood və sıxlıq “number”ları kimi adlandırdığı halda Tənlik 18-23 müvafiq ölçüsüz ədədlərin əlavə əmsal və işarələr ehtiva etdiyini göstərir.

Brownian terminologiyası: Abstract ümumi Brownian parametrlərinin ekzoproteini artırdığını deyərkən nəticələr bölməsi açıq şəkildə mikrobial Brownian parametri \(N_n\)-nin mikroorqanizm, ekzoprotein və məhsul konsentrasiyalarını azaltdığını bildirir.

Məlumat əlçatanlığı: Məqalənin üz qabığında data availability “Not applicable” işarələnmiş, məqalənin sonunda isə yaradılan/analiz edilən bütün məlumatların nəşr daxilində olduğu bildirilmişdir.

Əsas metodoloji məhdudiyyətlər

Mənbə ayrıca “Limitations” bölməsi təqdim etmir. Bununla belə tədqiqatın əhatə dairəsi birbaşa model quruluşundan müəyyən edilə bilər.

Model ikiölçülü, sıxılmayan və oxşarlıq çevrilməsi tətbiq edilə bilən sərhəd layı sistemidir. Real üçölçülü və zamandan asılı bioreaktor axınlarını birbaşa təmsil etdiyi göstərilməmişdir.

Mikroorqanizm böyüməsi logistik böyümə qanunu ilə, ekzoprotein istehsalı mikroorqanizm sıxlığı ilə xətti, parçalanma isə birinci dərəcəli itki termini ilə təmsil olunur. Daha mürəkkəb gen tənzimlənməsi, qida məhdudiyyəti və ya çoxsaylı metabolik yollar modelə daxil edilməmişdir.

Parametrlərin bir hissəsi ədəbiyyatdan, bir hissəsi isə birbaşa “Assumed” olaraq seçilmişdir.

Modelin doğrulanması residual xəta təhlili ilə məhduddur; eksperimental profil, laboratoriya ölçməsi və ya müstəqil CFD/eksperiment müqayisəsi bildirilməmişdir.

Qeyri-müəyyənliyin yayılması və ya fərz edilmiş parametrlərin etibar intervalları hesablanmamışdır.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: A two-dimensional Darcy–Forchheimer mathematical model for bioconvection flow with microbial exoprotein activity

Müəlliflər: Mqhelewenkoso A. Mpofu; Mlamuli Dhlamini; Adolf Ndlovu; Nqobile A. Chirwa.

Corresponding author: Mlamuli Dhlamini.

Mqhelewenkoso A. Mpofu qurumu: Department of Mathematics and Statistics, Gwanda State University, Filabusi, Zimbabwe.

Mlamuli Dhlamini, Adolf Ndlovu və Nqobile A. Chirwa qurumu: Department of Applied Mathematics, Faculty of Applied Science, National University of Science and Technology, Bulawayo, Zimbabwe.

Jurnal: South African Journal of Science.

Nəşriyyat: Academy of Science of South Africa (ASSAf).

Cild / nömrə: 122(1/2).

Məqalə nömrəsi: 18964.

Göndərilmə tarixi: 25 Sentyabr 2024.

Reviziya tarixləri: 9 İyun 2025 və 30 Sentyabr 2025.

Qəbul tarixi: 13 Noyabr 2025.

Nəşr tarixi: 29 Yanvar 2026.

DOI: 10.17159/sajs.2026/18964.

Rəsmi nəşr növü: Review Article. Məzmun yeni riyazi model və ədədi simulyasiya hazırlayır; Verianla rəsmi nəşr növünü dəyişdirməmişdir.

Resenziya: Mənbə PDF “Peer review” seçimini işarələyir; SAJS siyasəti Review Article-ların resenziyaya tabe olduğunu bildirir.

Lisenziya: Creative Commons Attribution; SAJS-in cari nəşr siyasəti CC BY 4.0 International istifadə edir.

Tədqiqat növü: Nəzəri riyazi modelləşdirmə və ədədi simulyasiya.

Əsas model: İkiölçülü Darcy–Forchheimer məsaməli mühit biokonveksiya nanomaye modeli.

Yeni model qatları: Logistik mikrobial böyümə, ekzoprotein istehsalı, ekzoproteinin təbii parçalanması və ekzoproteinə bağlı məhsul yaranması.

Həll üsulu: Spectral quasilinearisation method; Gauss–Lobatto spektral kollokasiya və kvazilinear iterasiya.

Ədədi doğrulama: Residual error təhlili.

Maliyyələşdirmə: None.

Məlumat əlçatanlığı: Məqalənin sonundakı bəyan yaradılan və ya analiz edilən bütün məlumatların dərc olunmuş məqalədə olduğunu bildirir. Üz qabığındakı metadata sahəsində isə “Not applicable” işarələnmişdir.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər competing interest olmadığını bildirmişdir.

AI/LLM istifadəsi: Müəlliflər AI və ya LLM istifadəsi olmadığını bəyan etmişdir.

Dissertasiya mənşəyi: Məqalə M.A. Mpofu-nun National University of Science and Technology, Zimbabwe-də Applied Mathematics Modelling üzrə magistr dissertasiyasından uyğunlaşdırılmışdır; elmi rəhbəri Mlamuli Dhlamini-dir.

Müəllif töhfələri: M.A. Mpofu — metodologiya, tədqiqat, formal analiz, doğrulama, ədədi analiz, ilk layihə və nəzərdən keçirmə/redaktə. M. Dhlamini — konseptuallaşdırma, metodologiya, tədqiqat, formal analiz, doğrulama, ədədi analiz, məsləhətçilik/nəzarət, ilk layihə və nəzərdən keçirmə/redaktə. A. Ndlovu və N.A. Chirwa — metodologiya, tədqiqat, formal analiz, doğrulama, ədədi analiz, ilk layihə və nəzərdən keçirmə/redaktə. Bütün müəlliflər yekun mətni təsdiqləmişdir.

Əsas şərh sərhədi

Bu tədqiqat real bioloji və ya sənaye axınının eksperimental ölçümü deyil. Mənbə müəyyən riyazi fərziyyələr və ölçüsüz parametrlər altında mikrobial böyümə, ekzoprotein dinamikası və istilik/kütlə transferi arasındakı nəzəri əlaqələri göstərir. Aşağı ədədi residual dəyərləri model həllinin daxili ardıcıllığına dair güclü dəlil verir; real dünyadakı etibarlılıq ayrıca eksperimental olaraq təsdiqlənməlidir.