Микробдук экзопротеин катышкан Darcy–Forchheimer биоконвекция модели — көзөнөктүү чөйрөдөн өткөн эки өлчөмдүү кысылбаган наносуюктуктун ичинде импульстун, жылуулуктун, нанобөлүкчөлөрдүн, кыймылдуу микроорганизмдердин, микроорганизмдер бөлүп чыгарган экзопротеиндин жана экзопротеинден түзүлгөн продуктунун бирге ташылышын сүрөттөгөн математикалык чек ара катмарынын модели. Изилдөө микроорганизмдер суюктуктун ичинде гана ташылат деп божомолдоонун ордуна, алардын логистикалык өсүшүн жана экзопротеин өндүрүү/ажыроо динамикасын да дифференциалдык теңдемелер системасына кошот. Жеке туундулуу дифференциалдык теңдемелер окшоштук өзгөртүүсү аркылуу кадимки дифференциалдык теңдемелерге келтирилип, спектралдык квазилинеарлаштыруу ыкмасы менен сандык түрдө чечилген.

Моделдин натыйжалары магнит талаасы агымдын ылдамдыгын азайта аларын; микробдук өсүү ылдамдыгы жана ташуу сыйымдуулугу жогорулаганда микроорганизмдин, экзопротеиндин жана акыркы продуктунун профилдери өсөрүн; экзопротеин өндүрүү коэффициентинин жогорулашы продуктунун пайда болушун күчөтөрүн жана экзопротеиндин табигый ажыроосу продукт концентрациясын азайтарын көрсөтөт. Микробдук Brownian кыймыл параметринин өсүшү болсо микроорганизм, экзопротеин жана продукт профилдерин төмөндөтүп, температура менен агым ылдамдыгын жогорулаткан.

Бул изилдөө лабораториялык же талаа эксперименти эмес. Натыйжалар белгилүү бир өлчөмсүз математикалык модель, тандалган же божомолдонгон параметрлер жана сандык чечим шартында алынган. Төмөн residual маанилери сандык чечим өзүнүн теңдемелер системасын жогорку тактыкта канааттандырарын көрсөтөт; реалдуу биологиялык же өнөр жай системасы дал ушундай сандык маанилер менен жүрөрүн эксперименттик түрдө далилдебейт.

Биоконвекция деген эмне?

Биоконвекция — кыймылдай алган микроорганизмдердин багытталган жана топтук сүзүү жүрүм-туруму суюктуктун ичинде макроскопиялык тыгыздык айырмаларын жана конвективдик кыймылды пайда кылган агым кубулушу. Бул изилдөөдө биоконвекция нанобөлүкчөлөрү бар суюктуктун көзөнөктүү чөйрөдөгү чек ара катмарынын агымы менен бирге моделденет.

Наносуюктук — негизги суюктукка наноөлчөмдөгү бөлүкчөлөр кошулган суюктук. Модель бул бөлүкчөлөрдүн Brownian кыймылын, термофорезди, магнит талаасынын таасирин, жылуулук ташууну жана көзөнөктүү чөйрөнүн каршылыгын бир эле системада карайт.

Микроорганизмдер менен Экзопротеиндер Бул Моделде Кантип Байланышат?

Моделде микроорганизмдер логистикалык өсүү мыйзамына ылайык көбөйөт, өсүп жаткан микроорганизм популяциясы экзопротеин өндүрөт, экзопротеин табигый ажыроого учурайт жана экзопротеин концентрациясы химиялык продуктунун пайда болушун да камсыздайт; ошентип микроорганизм → экзопротеин → продукт байланышы өзүнчө ташуу теңдемелери менен моделденет.

Изилдөөдөгү адабияттык боштук

Булак мурдагы биоконвекция моделдеринин көбүндө микроорганизмдер дубалдан системага туруктуу түрдө кирет деп болжолдонгонун жана культуранын ичиндеги чыныгы өсүү эске алынбаганын билдирет. Мындан тышкары, микроорганизмдер айлана-чөйрөгө бөлүп чыгарган белок/ферменттер агым, жылуулук жана масса өткөрүү менен бирге динамикалык түрдө моделденбегени айтылат.

Бул изилдөө ушул эки кемчиликти бир эле моделдин ичинде карайт: микроорганизмдерге логистикалык өсүү мүчөсү кошулган жана экзопротеин үчүн өндүрүү, диффузия жана табигый ажыроо теңдемеси түзүлгөн.

Моделдин физикалык түзүлүшү

Модель эки өлчөмдүү жана кысылбаган наносуюктук агымын карайт. Суюктук көзөнөктүү чөйрөдөн өтөт. \(u\) — бетке параллель \(x\) багытындагы, ал эми \(v\) — бетке нормалдуу \(y\) багытындагы ылдамдык компоненти.

Импульс теңдемесинде илээшкек диффузиядан тышкары магнит талаасы, Darcy көзөнөк каршылыгы, сызыктуу эмес Forchheimer каршылыгы, температурадан келип чыккан көтөрүүчү күч, нанобөлүкчө концентрациясынан келип чыккан көтөрүүчү күч жана микроорганизм тыгыздыгынан келип чыккан биоконвективдик көтөрүүчү күч бирге камтылган.

Энергия теңдемеси жылуулук өткөрүмдүүлүктү, жылуулук нурланууну, илээшкек диссипацияны, магниттик/Joule таасирлерин, көзөнөктүү чөйрөдөгү жоготууларды, Brownian ташууну, микроорганизм ташууну жана термофорез мүчөлөрүн камтыйт.

Негизги талаа өзгөрмөлөрү

Булакта басылган үзгүлтүксүздүк теңдемеси

Булак Теңдеме 1ди төмөнкү түрдө берет:

\[ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0. \]

Булак кийин \(u\)ну \(x\) багытындагы, \(v\)ни болсо \(y\) багытындагы ылдамдык компоненти катары аныктагандыктан, экинчи мүчөдө кайрадан \(u\) колдонулушу булак ичиндеги белгилөө дал келбестигин түзөт. Verianla бул теңдемени үнсүз өзгөрткөн эмес.

Импульс теңдемеси

Булак Теңдеме 2де импульс балансын төмөнкү түзүлүштө берет:

\[ u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} -\frac{\sigma B_0^2}{\rho}u -\frac{\nu}{K}u -\frac{C_b}{x\sqrt K}u^2 \]

\[ +(1-C_\infty)g\beta_T(T-T_\infty) -\frac{\rho_c-\rho}{\rho}g\beta_c(C-C_\infty) -\frac{\rho_n-\rho}{\rho}g\beta_n(n-n_\infty). \]

Бул жерде \(-\nu u/K\) Darcy тибиндеги көзөнөк каршылыгын, \(-C_bu^2/(x\sqrt K)\) болсо сызыктуу эмес Forchheimer сүйрөлүшүн билдирет. Магнит талаасынын мүчөсү да агымды жайлатуучу кошумча каршылык компоненти катары моделге кирет.

Микроорганизмдин өсүшү

Микроорганизм теңдемесиндеги биологиялык өсүү мүчөсү булактын логистикалык моделинде мындай:

\[ r(n-n_\infty) \left( 1-\frac{n-n_\infty}{\Delta n K_n} \right). \]

\(r\) микробдук өсүү ылдамдыгын, \(K_n\) болсо ташуу сыйымдуулугун билдирет. Микроорганизм тыгыздыгы төмөн болгондо өсүү оң болот; популяция ташуу сыйымдуулугуна жакындаган сайын өсүү мүчөсүнүн таасири азаят.

Экзопротеин теңдемеси

Экзопротеиндин ташылышы булак Теңдеме 6да төмөнкүдөй моделденет:

\[ u\frac{\partial m}{\partial x} +v\frac{\partial m}{\partial y} = D_m\frac{\partial^2m}{\partial y^2} +\lambda(n-n_\infty) -\mu(m-m_\infty). \]

\(D_m\) экзопротеиндин Brownian диффузия коэффициенти. \(\lambda(n-n_\infty)\) микроорганизмдерге байланышкан экзопротеин өндүрүүнү, \(\mu(m-m_\infty)\) болсо экзопротеиндин табигый ажыроосун билдирет.

Бул теңдеме изилдөөнүн өзгөчө илимий түзүлүшүнүн өзөгү: микроорганизмдердин саны көбөйгөндө өндүрүү мүчөсү өсөт; табигый ажыроо күчөгөндө экзопротеин азаят.

Продукт теңдемеси

Экзопротеин түзгөн продуктунун \(S\) концентрациясы Теңдеме 7 менен моделденет:

\[ u\frac{\partial S}{\partial x} +v\frac{\partial S}{\partial y} = D_s\frac{\partial^2S}{\partial y^2} +\frac{D_T}{T_\infty}\frac{\partial^2T}{\partial y^2} +\lambda_s(m-m_\infty). \]

Бул жердеги \(\lambda_s(m-m_\infty)\) мүчөсү экзопротеин концентрациясы продуктунун пайда болушун түздөн-түз камсыз кылган математикалык байланышты билдирет.

Чектик шарттар

Булак дубалда \(u=cx\) түрүндөгү сызыктуу созулуу ылдамдыгын колдонот. Жылуулук өткөрүү конвективдик чектик шарт менен; нанобөлүкчө агымы Brownian жана термофоретикалык компоненттердин суммасы менен; микроорганизм өткөрүү болсо \(h_n\) коэффициенти менен аныкталат. Экзопротеин менен продукттун дубалдагы концентрациялары тиешелүүлүгүнө жараша \(m_w\) жана \(S_w\).

Беттен чексиздикке карай барганда ылдамдык, температура, нанобөлүкчө, микроорганизм, экзопротеин жана продукт талаалары өздөрүнүн айлана-чөйрөлүк маанилерине жакындайт.

Окшоштук өзгөртүүсү

PDE системасын оңой чечилүүчү ODE системасына келтирүү үчүн булак төмөнкү окшоштук өзгөрмөлөрүн колдонот:

\[ \psi=\sqrt{c\nu}\,x f(\eta), \qquad \eta=y\sqrt{\frac{c}{\nu}}, \qquad \theta(\eta)=\frac{T-T_\infty}{T_w-T_\infty}, \]

\[ \phi(\eta)=\frac{C-C_\infty}{C_w-C_\infty}, \qquad \chi(\eta)=\frac{n-n_\infty}{n_w-n_\infty}, \qquad \xi(\eta)=\frac{m-m_\infty}{m_w-m_\infty}, \]

\[ \varphi(\eta)=\frac{S-S_\infty}{S_w-S_\infty}, \qquad u=cxf'(\eta), \qquad v=-\sqrt{c\nu}\,f(\eta). \]

Бул өзгөртүү температура, нанобөлүкчө, микроорганизм, экзопротеин жана продукт талааларын өлчөмсүз профиль функцияларына айлантат жана эки көз карандысыз координаттуу PDE системасын бир гана окшоштук өзгөрмөсү \(\eta\) аркылуу ODE системасына келтирет.

Өзгөртүлгөн импульс теңдемеси

Теңдеме 10:

\[ f'''+ff''-Mf'-K_pf'-F_r(f')^2+ \frac{G_r}{Re^2} \left[ \theta-N_r\phi-R_b\chi \right]=0. \]

Бул теңдемеде \(M\) магнит талаасын, \(K_p\) Darcy өткөрүмдүүлүк таасирин, \(F_r\) Forchheimer каршылыгын, \(G_r\) жылуулук көтөрүү күчүн жана \(R_b\) биоконвективдик көтөрүүнү билдирген өлчөмсүз параметрлер.

Өзгөртүлгөн нанобөлүкчө теңдемеси

Теңдеме 12:

\[ \phi''+S_cf\phi' +\frac{N_t}{N_b}\theta''=0. \]

\(N_b\) нанобөлүкчөнүн Brownian кыймыл параметри, \(N_t\) болсо термофорез параметри. Термофорез температура градиентинин микроскопиялык бөлүкчөлөрдүн кыймылына тийгизген таасирин билдирет.

Өзгөртүлгөн экзопротеин теңдемеси

Теңдеме 14:

\[ \xi''+ S_d \left[ f\xi'-A_2\xi+A_1\chi \right] =0. \]

\(A_1\) микроорганизмдердин экзопротеин өндүрүү ылдамдыгын өлчөмсүз түрдө билдирет; \(A_2\) — экзопротеиндин табигый ажыроосу. Ошондуктан моделдин биологиялык өзөгү ачык түрдө \(+A_1\chi\) өндүрүү жана \(-A_2\xi\) жоготуу мүчөлөрүнө негизделген.

Өзгөртүлгөн продукт теңдемеси

Теңдеме 15:

\[ \varphi'' + S_s \left[ f\varphi' +\tilde{\lambda}_s\xi \right] + \frac{N_t}{N_s}\theta'' =0. \]

\(\tilde{\lambda}_s\) экзопротеинден продукт түзүлүшүн билдирген өлчөмсүз өндүрүү коэффициенти.

Негизги өлчөмсүз параметрлер

Schmidt санынын белгисиндеги булак дал келбестиги

Булак Теңдеме 17 жана түшүндүрмө текстте микроорганизмдер үчүн биоконвекция Schmidt санын \(S_b=\nu/D_n\), экзопротеин үчүн Schmidt санын \(S_d=\nu/D_m\) деп аныктайт. Бирок Table 1 “Bioconvection Schmidt number” сабында \(S_d\) белгисин колдонуп, кийин белок/экзопротеин Schmidt санында да кайра \(S_d\) көрсөтөт. Ошондуктан биоконвекция Schmidt саны үчүн Table 1деги белги Verianla тарабынан оңдолгон эмес, булак ичиндеги белгилөө маселеси катары белгиленген.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Импульс, жылуулук жана масса өткөрүү көрсөткүчтөрү

Модель чек арадагы агым жана ташуу жүрүм-турумун skin-friction, Nusselt, Sherwood жана микроорганизм/экзопротеин/продукт тыгыздык сандары аркылуу баалайт.

Булакта жергиликтүү skin-friction коэффициенти:

\[ C_f=-2Re^{-1/2}f''(0) \]

деп берилген.

Жергиликтүү Nusselt саны:

\[ Nu_x = -\left(1+\frac{4}{3}R_d\right) Re^{1/2}\theta'(0) \]

жана жергиликтүү Sherwood саны:

\[ Sh_x=-Re^{1/2}\phi'(0) \]

түрүндө.

Микроорганизм, экзопротеин жана продукт үчүн тиешелүү тыгыздык сандары да тиешелүүлүгүнө жараша:

\[ Nn_x=-Re^{1/2}\chi'(0), \qquad Nm_x=-Re^{1/2}\xi'(0), \qquad Ns_x=-Re^{1/2}\varphi'(0) \]

деп аныкталган.

Ошондуктан Table 3тө \(\theta'(0)\), \(\phi'(0)\), \(\chi'(0)\), \(\xi'(0)\) жана \(\varphi'(0)\) түрүндө гана берилген маанилер тиешелүү физикалык өлчөмсүз сандын толук өзү эмес; Теңдеме 19-23төгү Reynolds масштабдоосу жана белги/коэффициент өзгөртүүлөрү да керек.

Спектралдык Квазилинеарлаштыруу Ыкмасы Бул Системаны Кантип Чечет?

Спектралдык квазилинеарлаштыруу ыкмасы сызыктуу эмес ODE системасын ырааттуу сызыктуу маселелерге айлантат; Chebyshev–Gauss–Lobatto коллокация чекиттери жана спектралдык туунду матрицасы колдонулуп, ар бир итерацияда ылдамдык, температура, нанобөлүкчө, микроорганизм, экзопротеин жана продукт профилдери бирге жаңыртылат.

Gauss–Lobatto коллокация чекиттери

Физикалык эсептөө аймагы \(\eta\in[0,L_x]\) адегенде \(z_i\in[-1,1]\) аралыгына өткөрүлөт:

\[ z_i= \cos\left(\frac{\pi i}{N}\right), \qquad i=0,1,\ldots,N. \]

Физикалык коллокация чекиттери андан кийин:

\[ \eta_i= \frac{L_x(1+z_i)}{2} \]

түрүндө түзүлөт.

Спектралдык туунду матрицасы

Функциянын туундусу коллокация чекиттеринде \(D\) туунду матрицасы менен жакындатылып эсептелет:

\[ f' = Df. \]

Булак Lagrange интерполяция полиномдорун да колдонуп, функцияларды:

\[ u(\eta)= \sum_{i=0}^{N} u(\eta_i)L_i(\eta) \]

түрүндө көрсөтөт.

Квазилинеар итерация

Алты сызыктуу эмес теңдеме учурдагы \(r\) итерациясынын айланасында квазилинеарлаштырылып, кийинки \(r+1\) итерациядагы белгисиздер үчүн блок матрицалык системага айландырылат:

\[ \mathbf{A}_r \begin{bmatrix} f_{r+1}\\ \theta_{r+1}\\ \phi_{r+1}\\ \chi_{r+1}\\ \xi_{r+1}\\ \varphi_{r+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_f\\ R_\Theta\\ R_\Phi\\ R_X\\ R_\Upsilon\\ R_\Psi \end{bmatrix}. \]

Булак Теңдеме 32-54 аралыгында бул блок системадагы residual функцияларды, сызыктуулаштыруу коэффициенттерин жана матрица компоненттерин кеңири ачып берет.

Баштапкы болжолдор

Спектралдык итерациянын баштапкы профилдери булак Теңдеме 46да экспоненциалдуу азайган функциялар катары тандалган. Мисалы, ылдамдык үчүн:

\[ f_0(\eta)=1-e^{-\eta} \]

колдонулган. Температура, микроорганизм, экзопротеин жана продукт үчүн да чектик шарттарды канааттандырган окшош \(e^{-\eta}\) негизиндеги баштапкы профилдер аныкталган.

Симуляцияда колдонулган негизги параметрлер

Сандык чечимдин residual текшерүүсү

Булак алты чечим өзгөрмөсү үчүн он итерацияда residual ката талдоосун жүргүзгөн. Температура, нанобөлүкчө, микроорганизм, экзопротеин жана продукт residual маанилеринин көбү \(10^{-11}\) менен \(10^{-12}\) даражасында.

Ал эми ылдамдык функциясы \(f(\eta)\) үчүн булак Table 2де \(4,53\times10^{-9}\), \(3,70\times10^{-9}\) жана \(4,22\times10^{-9}\) сыяктуу маанилерди берет. Ошого карабастан жыйынтык тексти жалпы ката аралыгын \(10^{-12}\) менен \(10^{-10}\) деп сүрөттөйт. Ошондуктан булактын баяны эң чоң \(f(\eta)\) residual маанилерин толук камтыбайт.

Бул residual тест сандык теңдемелер канчалык жакшы канааттандырылганын өлчөйт. Эксперименттик система менен моделдин ортосундагы физикалык тактык катасын өлчөбөйт.

Магнит талаасынын таасири

Сүрөт 2ге ылайык, магнит талаасынын параметри көбөйгөн сайын суюктуктун ылдамдыгы азаят. Булак муну магнит талаасы пайда кылган сүйрөлүү таасири менен түшүндүрөт.

Ошол эле учурда температура, нанобөлүкчө, микроорганизм, экзопротеин жана продукт профилдери чек ара катмарында көбөйгөнү көрүнөт. Авторлордун түшүндүрмөсүнө ылайык, азайган конвективдик ташуу башка компоненттердин чек ара катмарынын ичинде топтолушуна салым кошот.

Микробдук Brownian кыймылынын таасири

Сүрөт 3тө микробдук Brownian кыймыл параметри көбөйгөндө микроорганизм концентрациясы азаят. Ошого байланыштуу экзопротеин жана продукт концентрациялары да төмөндөйт.

Ал эми температура менен суюктуктун ылдамдыгы өсөт. Бул жыйынтык нанобөлүкчөлөргө тиешелүү \(N_b\) Brownian параметри менен чаташтырылбашы керек; булак \(N_b\) жана \(N_n\)ди өзүнчө модель өзгөрмөлөрү катары аныктайт.

Микробдук өсүү ылдамдыгынын таасири

Сүрөт 4 микробдук өсүү ылдамдыгы \(r\) жогорулаганда микроорганизм тыгыздыгы өсөрүн; бул экзопротеин жана продукт профилдерин да жогорулатарын көрсөтөт.

Булак ошондой эле температура жогорулап, дубалга жакын нанобөлүкчө концентрациясы азайганын билдирет. Авторлор нанобөлүкчөлөрдүн азайышын пайда кылган механизм бул этапта ачык эмес экенин атайын белгилешет.

Ташуу сыйымдуулугунун таасири

Сүрөт 5те \(K_n=2,10,50,100\) маанилери үчүн микроорганизм, экзопротеин жана продукт профилдери көрсөтүлгөн. Ташуу сыйымдуулугу чоңойгон сайын микробдук популяциянын уруксат берилген логистикалык жогорку чеги өсөт; мунун натыйжасында экзопротеин жана продукт профилдери да көбөйөт.

Экзопротеин өндүрүү жана ажыроо ылдамдыктары

Сүрөт 6нын биринчи эки панелинде \(A_1\) көбөйгөн сайын экзопротеин жана продукт профилдери өсөт. Акыркы эки панелде болсо \(A_2\) көбөйгөн сайын экзопротеин жана продукт профилдери азаят.

Таблицадагы маанилер түздөн-түз физикалык экзопротеин же продукт тыгыздыгы эмес; алар чек арадагы өлчөмсүз профиль туундулары. Чыныгы \(Nm_x\) жана \(Ns_x\) маанилери Теңдеме 22 жана 23тө аныкталган Reynolds масштабдоосу жана белги өзгөртүүсү менен алынат.

Термофорез параметри

Table 3тө \(N_t\) 0,2ден 0,5ке жогорулаганда булак \(\theta'(0)\) мааниси 0,08472ден 0,09986га, ал эми продукттун чектик туундусу 1,9530дан 3,6460га жогорулаганын билдирет.

Abstract термофорез параметринин өсүшү экзопротеин концентрациясын жана Nusselt санын көбөйтөрүн айтат. Бирок Table 3 берген \(\theta'(0)\) жана \(\xi'(0)\) маанилери түздөн-түз акыркы физикалык Nusselt жана экзопротеин тыгыздык сандары болбогондуктан, белги жана масштабдоо Теңдеме 19 жана 22 менен бирге бааланышы керек.

Микробдук өсүү параметринин чектик жыйынтыктары

Table 3тө \(r\) 0,05тен 0,30га көбөйтүлгөндө \(\theta'(0)\) 0,07884төн 0,13658ге, экзопротеин туундусу \(\xi'(0)\) -1,01332ден 1,98578ге жана продукт туундусу \(\varphi'(0)\) 1,01443төн 8,05433кө өзгөрөт.

Бул жыйынтыктар модель микробдук өсүү параметрине күчтүү сезгичтик көрсөтө аларын айгинелейт. Бирок булар белгилүү параметрлер топтомундагы сандык модель жыйынтыктары; реалдуу бактериялык культурада өлчөнгөн өндүрүү ылдамдыктары эмес.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

Модель микробдук өсүү менен экзопротеин өндүрүү/ажыроосун биоконвекция наносуюктук теңдемелерине бирге киргизе алат.

Спектралдык квазилинеарлаштыруу ыкмасы тандалган модель үчүн төмөн residual маанилерин берген.

Моделдин ичинде магнит талаасы, микробдук Brownian кыймылы, термофорез, микробдук өсүү, ташуу сыйымдуулугу жана экзопротеин өндүрүү/ажыроо коэффициенттери агым, температура жана компонент профилдерин өзгөртөт.

Экзопротеин өндүрүү параметри жогорулаганда продукт көбөйөт; табигый ажыроо параметри жогорулаганда продукт азаят.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

Изилдөө белгилүү бир реалдуу бактерия лабораториялык шартта ушул модельдегидей өсүү же экзопротеин профилин көрсөтөрүн далилдебейт.

Наносуюктук өнөр жайда энергия натыйжалуулугун белгилүү бир пайызга көбөйтөрүн көрсөткөн эксперименттик өлчөө жүргүзүлгөн эмес.

Изилдөө сыра, дары-дармек, сыр, минерал казып алуу же рак дарылоодо моделдин операциялык натыйжалуулугун сынаган эмес.

Residual каталардын кичине болушу реалдуу система менен моделдин ортосундагы эксперименттик тактык да ошол эле өлчөмдө дегенди билдирбейт.

Божомолдонгон \(K_n\), \(S_d\), \(S_s\), \(A_2\), \(\tilde{\lambda}_s\) жана \(B_n\) маанилеринин белгилүү реалдуу микроорганизм–наносуюктук системасына тиешелүү экени көрсөтүлгөн эмес.

Булактагы маанилүү техникалык дал келбестиктер

Теңдеме 1: Булак эки өлчөмдүү ылдамдык компоненттерин \(u\) жана \(v\) деп аныктаганы менен, үзгүлтүксүздүк теңдемесинде \(\partial u/\partial x+\partial u/\partial y=0\) деп жазат.

Schmidt белгиси: Текст \(S_b\)ни биоконвекция Schmidt саны, \(S_d\)ни экзопротеин Schmidt саны катары аныктайт, бирок Table 1 биоконвекция Schmidt санын да \(S_d\) менен көрсөтөт.

Residual ката даражасы: Жыйынтык тексти \(10^{-12}\)-\(10^{-10}\) аралыгын берсе, Table 2 ылдамдык residualында \(10^{-9}\) даражасындагы маанилерди камтыйт.

Table 3 энбелгилери: Таблица чектик туундуларды Nusselt, Sherwood жана тыгыздык “number”лары катары атаганы менен, Теңдеме 18-23 тиешелүү өлчөмсүз сандар кошумча коэффициенттер менен белгилерди камтарын көрсөтөт.

Brownian терминологиясы: Abstract жалпы Brownian параметрлери экзопротеинди көбөйтөрүн айтса, жыйынтыктар бөлүмү микробдук Brownian параметри \(N_n\) микроорганизм, экзопротеин жана продукт концентрацияларын азайтарын ачык билдирет.

Маалымат жеткиликтүүлүгү: Макаланын мукабасында data availability “Not applicable” деп белгиленген, ал эми макаланын аягында түзүлгөн/талданган бардык маалымат жарыянын ичинде экени айтылган.

Негизги методологиялык чектөөлөр

Булак өзүнчө “Limitations” бөлүмүн бербейт. Ошого карабастан изилдөөнүн чеги түздөн-түз моделдин түзүлүшүнөн аныкталышы мүмкүн.

Модель эки өлчөмдүү, кысылбаган жана окшоштук өзгөртүүсү колдонууга боло турган чек ара катмары системасы. Реалдуу үч өлчөмдүү жана убакытка көз каранды биореактор агымдарын түздөн-түз чагылдырары көрсөтүлгөн эмес.

Микроорганизмдин өсүшү логистикалык өсүү мыйзамы менен, экзопротеин өндүрүү микроорганизм тыгыздыгы менен сызыктуу түрдө, ажыроо болсо биринчи тартиптеги жоготуу мүчөсү менен берилет. Татаалыраак гендик жөнгө салуу, азык чектелүүсү же бир нече метаболизм жолдору моделге киргизилген эмес.

Параметрлердин бир бөлүгү адабияттан алынган, бир бөлүгү болсо түздөн-түз “Assumed” деп тандалган.

Моделди текшерүү residual ката талдоосу менен чектелет; эксперименттик профиль, лабораториялык өлчөө же көз карандысыз CFD/эксперимент салыштыруусу берилген эмес.

Белгисиздиктин таралышы же божомолдонгон параметрлердин ишеним интервалдары эсептелген эмес.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталышы: A two-dimensional Darcy–Forchheimer mathematical model for bioconvection flow with microbial exoprotein activity

Авторлор: Mqhelewenkoso A. Mpofu; Mlamuli Dhlamini; Adolf Ndlovu; Nqobile A. Chirwa.

Corresponding author: Mlamuli Dhlamini.

Mqhelewenkoso A. Mpofu мекемеси: Department of Mathematics and Statistics, Gwanda State University, Filabusi, Zimbabwe.

Mlamuli Dhlamini, Adolf Ndlovu жана Nqobile A. Chirwa мекемеси: Department of Applied Mathematics, Faculty of Applied Science, National University of Science and Technology, Bulawayo, Zimbabwe.

Журнал: South African Journal of Science.

Басып чыгаруучу: Academy of Science of South Africa (ASSAf).

Том / сан: 122(1/2).

Макала номери: 18964.

Жөнөтүлгөн күнү: 25 Сентябрь 2024.

Оңдоо даталары: 9 Июнь 2025 жана 30 Сентябрь 2025.

Кабыл алынган күнү: 13 Ноябрь 2025.

Жарыяланган күнү: 29 Январь 2026.

DOI: 10.17159/sajs.2026/18964.

Расмий жарыя түрү: Review Article. Мазмун жаңы математикалык модель жана сандык симуляция иштеп чыгат; Verianla расмий жарыя түрүн өзгөрткөн эмес.

Рецензия: Булак PDF “Peer review” параметрин белгилейт; SAJS саясаты Review Article рецензиядан өтөрүн билдирет.

Лицензия: Creative Commons Attribution; SAJSтин учурдагы жарыя саясаты CC BY 4.0 International колдонот.

Изилдөө түрү: Теориялык математикалык моделдөө жана сандык симуляция.

Негизги модель: Эки өлчөмдүү Darcy–Forchheimer көзөнөктүү чөйрө биоконвекция наносуюктук модели.

Жаңы модель катмарлары: Логистикалык микробдук өсүү, экзопротеин өндүрүү, экзопротеиндин табигый ажыроосу жана экзопротеинге байланышкан продукт түзүлүшү.

Чечүү ыкмасы: Spectral quasilinearisation method; Gauss–Lobatto спектралдык коллокация жана квазилинеар итерация.

Сандык текшерүү: Residual error талдоосу.

Каржылоо: None.

Маалымат жеткиликтүүлүгү: Макаланын аягындагы билдирүү түзүлгөн же талданган бардык маалымат жарыяланган макалада бар экенин айтат. Мукабадагы metadata талаасында болсо “Not applicable” белгиленген.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор competing interest жок экенин билдирген.

AI/LLM колдонулушу: Авторлор AI же LLM колдонулбаганын билдирген.

Диссертациялык теги: Макала M.A. Mpofuнун National University of Science and Technology, Zimbabweдеги Applied Mathematics Modelling магистрдик диссертациясынан ылайыкташтырылган; жетекчиси Mlamuli Dhlamini.

Автордук салымдар: M.A. Mpofu — методология, изилдөө, формалдык талдоо, текшерүү, сандык талдоо, алгачкы долбоор жана карап чыгуу/редакциялоо. M. Dhlamini — концептуалдаштыруу, методология, изилдөө, формалдык талдоо, текшерүү, сандык талдоо, кеңеш берүү/көзөмөл, алгачкы долбоор жана карап чыгуу/редакциялоо. A. Ndlovu жана N.A. Chirwa — методология, изилдөө, формалдык талдоо, текшерүү, сандык талдоо, алгачкы долбоор жана карап чыгуу/редакциялоо. Бардык авторлор акыркы текстти бекитишкен.

Негизги чечмелөө чеги

Бул изилдөө реалдуу биологиялык же өнөр жай агымынын эксперименттик өлчөөсү эмес. Булак белгилүү математикалык божомолдор жана өлчөмсүз параметрлер шартында микробдук өсүү, экзопротеин динамикасы жана жылуулук/масса өткөрүү ортосундагы теориялык байланыштарды көрсөтөт. Төмөн сандык residual маанилери модель чечиминин ички ырааттуулугу үчүн күчтүү далил берет; реалдуу дүйнөдөгү жарактуулугу өзүнчө эксперименттик текшерүүнү талап кылат.