Mikrobial ekzoproteinli Darcy–Forchheimer biokonveksiya modeli gʻovak muhitdan oʻtuvchi ikki oʻlchamli siqilmaydigan nanofluid ichida impuls, issiqlik, nanozarrachalar, harakatchan mikroorganizmlar, mikroorganizmlar ajratib chiqaradigan ekzoprotein va ekzoproteindan hosil boʻladigan mahsulotning birgalikda tashilishini tavsiflaydigan matematik chegaraviy qatlam modelidir. Tadqiqot mikroorganizmlar faqat suyuqlik ichida tashiladi deb faraz qilish oʻrniga, ularning logistik oʻsishi hamda ekzoprotein ishlab chiqarish/parchalanish dinamikasini ham differensial tenglamalar tizimiga qoʻshadi. Xususiy hosilali differensial tenglamalar oʻxshashlik almashtirishi orqali oddiy differensial tenglamalarga keltirilgan va spektral kvazilinearlashtirish usuli bilan sonli yechilgan.

Model natijalari magnit maydon oqim tezligini kamaytirishi mumkinligini; mikrobial oʻsish tezligi va tashish sigʻimi oshganda mikroorganizm, ekzoprotein va yakuniy mahsulot profillari koʻtarilishini; ekzoprotein ishlab chiqarish koeffitsiyentining ortishi mahsulot hosil boʻlishini kuchaytirishini va ekzoproteinning tabiiy parchalanishi mahsulot konsentratsiyasini kamaytirishini koʻrsatadi. Mikrobial Brownian harakati parametrining oshishi esa mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot profillarini pasaytirib, harorat va oqim tezligini oshirgan.

Tadqiqot laboratoriya yoki dala tajribasi emas. Natijalar muayyan oʻlchovsiz matematik model, tanlangan yoki faraz qilingan parametrlar va sonli yechim doirasida olingan. Past residual qiymatlar sonli yechim oʻz tenglamalar tizimini yuqori aniqlikda qanoatlantirishini koʻrsatadi; real biologik yoki sanoat tizimi ayni miqdorlarda xuddi shunday tutishini tajribaviy ravishda isbotlamaydi.

Biokonveksiya nima?

Biokonveksiya — harakatlana oladigan mikroorganizmlarning yoʻnalgan va jamoaviy suzish xatti-harakati suyuqlik ichida makroskopik zichlik farqlari va konvektiv harakat hosil qiladigan oqim hodisasidir. Ushbu tadqiqotda biokonveksiya nanozarrachalarni oʻz ichiga olgan suyuqlikning gʻovak muhitdagi chegaraviy qatlam oqimi bilan birga modellashtiriladi.

Nanofluid — asosiy suyuqlikka nanoskopik zarrachalar qoʻshilgan suyuqlikdir. Model ushbu zarrachalarning Brownian harakati, termoforez, magnit maydon taʼsiri, issiqlik tashilishi va gʻovak muhit qarshiligini bitta tizimda koʻrib chiqadi.

Mikroorganizmlar va Ekzoproteinlar Ushbu Modelda Qanday Bogʻlanadi?

Modelda mikroorganizmlar logistik oʻsish qonuniga muvofiq koʻpayadi, oʻsayotgan mikroorganizm populyatsiyasi ekzoprotein ishlab chiqaradi, ekzoprotein tabiiy parchalanishga uchraydi va ekzoprotein konsentratsiyasi kimyoviy mahsulot hosil boʻlishini ham taʼminlaydi; shu tariqa mikroorganizm → ekzoprotein → mahsulot bogʻlanishi alohida tashilish tenglamalari bilan modellashtiriladi.

Tadqiqotdagi adabiyot boʻshligʻi

Manbada avvalgi biokonveksiya modellarining koʻpchiligida mikroorganizmlar devordan tizimga doimiy ravishda kiradi deb faraz qilingani va kulturadagi haqiqiy oʻsish eʼtibordan chetda qoldirilgani qayd etiladi. Bundan tashqari, mikroorganizmlar atrof-muhitga ajratib chiqaradigan oqsil/fermentlarning oqim, issiqlik va massa almashinuvi bilan birga dinamik tarzda modellashtirilmagani aytiladi.

Ushbu tadqiqot bu ikki boʻshliqni bitta model doirasida koʻrib chiqadi: mikroorganizmlarga logistik oʻsish hadi qoʻshilgan va ekzoprotein uchun ishlab chiqarish, diffuziya hamda tabiiy parchalanish tenglamasi tuzilgan.

Modelning fizik tuzilishi

Model ikki oʻlchamli va siqilmaydigan nanofluid oqimini koʻrib chiqadi. Suyuqlik gʻovak muhitdan oʻtadi. \(u\) — sirtga parallel \(x\) yoʻnalishidagi, \(v\) esa sirtga normal \(y\) yoʻnalishidagi tezlik komponentidir.

Impuls tenglamasida viskoz diffuziyaga qoʻshimcha ravishda magnit maydon, Darcy gʻovak qarshiligi, nochiziqli Forchheimer qarshiligi, haroratga bogʻliq koʻtaruvchi kuch, nanozarracha konsentratsiyasiga bogʻliq koʻtaruvchi kuch va mikroorganizm zichligiga bogʻliq biokonvektiv koʻtaruvchi kuch birgalikda mavjud.

Energiya tenglamasi issiqlik oʻtkazuvchanligi, termal nurlanish, viskoz dissipatsiya, magnit/Joule taʼsirlari, gʻovak muhit yoʻqotishlari, Brownian tashilishi, mikroorganizm tashilishi va termoforez hadlarini oʻz ichiga oladi.

Asosiy maydon oʻzgaruvchilari

Manbada chop etilgan uzluksizlik tenglamasi

Manba Tenglama 1 ni quyidagi shaklda beradi:

\[ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0. \]

Manba keyinroq \(u\) ni \(x\) yoʻnalishidagi, \(v\) ni esa \(y\) yoʻnalishidagi tezlik komponenti sifatida taʼriflagani uchun ikkinchi hadda yana \(u\) ishlatilishi manba ichidagi notatsiya nomuvofiqligini yuzaga keltiradi. Verianla ushbu tenglamani indamay oʻzgartirmagan.

Impuls tenglamasi

Manba Tenglama 2 da impuls muvozanatini quyidagi tuzilishda beradi:

\[ u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} -\frac{\sigma B_0^2}{\rho}u -\frac{\nu}{K}u -\frac{C_b}{x\sqrt K}u^2 \]

\[ +(1-C_\infty)g\beta_T(T-T_\infty) -\frac{\rho_c-\rho}{\rho}g\beta_c(C-C_\infty) -\frac{\rho_n-\rho}{\rho}g\beta_n(n-n_\infty). \]

Bu yerda \(-\nu u/K\) Darcy tipidagi gʻovak qarshilikni, \(-C_bu^2/(x\sqrt K)\) esa nochiziqli Forchheimer qarshiligini ifodalaydi. Magnit maydon hadi ham oqimni sekinlashtiruvchi qoʻshimcha qarshilik komponenti sifatida modelga kiradi.

Mikroorganizm oʻsishi

Mikroorganizm tenglamasidagi biologik oʻsish hadi manbaning logistik modelida quyidagicha:

\[ r(n-n_\infty) \left( 1-\frac{n-n_\infty}{\Delta n K_n} \right). \]

\(r\) mikrobial oʻsish tezligini, \(K_n\) esa tashish sigʻimini ifodalaydi. Mikroorganizm zichligi past boʻlganda oʻsish musbat boʻladi; populyatsiya tashish sigʻimiga yaqinlashgan sari oʻsish hadining taʼsiri kamayadi.

Ekzoprotein tenglamasi

Ekzoprotein tashilishi manba Tenglama 6 da quyidagicha modellashtiriladi:

\[ u\frac{\partial m}{\partial x} +v\frac{\partial m}{\partial y} = D_m\frac{\partial^2m}{\partial y^2} +\lambda(n-n_\infty) -\mu(m-m_\infty). \]

\(D_m\) ekzoproteinning Brownian diffuziya koeffitsiyentidir. \(\lambda(n-n_\infty)\) mikroorganizmlarga bogʻliq ekzoprotein ishlab chiqarishni, \(\mu(m-m_\infty)\) esa ekzoproteinning tabiiy parchalanishini ifodalaydi.

Ushbu tenglama tadqiqotning oʻziga xos ilmiy tuzilishining markazidir: mikroorganizmlar soni ortganda ishlab chiqarish hadi oshadi; tabiiy parchalanish ortganda ekzoprotein kamayadi.

Mahsulot tenglamasi

Ekzoprotein hosil qiladigan mahsulotning \(S\) konsentratsiyasi Tenglama 7 bilan modellashtiriladi:

\[ u\frac{\partial S}{\partial x} +v\frac{\partial S}{\partial y} = D_s\frac{\partial^2S}{\partial y^2} +\frac{D_T}{T_\infty}\frac{\partial^2T}{\partial y^2} +\lambda_s(m-m_\infty). \]

Bu yerdagi \(\lambda_s(m-m_\infty)\) hadi ekzoprotein konsentratsiyasi mahsulot hosil boʻlishini bevosita taʼminlashini ifodalovchi matematik bogʻlanishdir.

Chegaraviy shartlar

Manba devorda \(u=cx\) koʻrinishidagi chiziqli choʻzilish tezligidan foydalanadi. Issiqlik uzatilishi konvektiv chegaraviy shart bilan; nanozarracha oqimi Brownian va termoforetik komponentlar yigʻindisi bilan; mikroorganizm uzatilishi esa \(h_n\) koeffitsiyenti bilan aniqlanadi. Ekzoprotein va mahsulotning devordagi konsentratsiyalari mos ravishda \(m_w\) va \(S_w\) dir.

Sirtdan cheksizlikka qarab borilganda tezlik, harorat, nanozarracha, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot maydonlari oʻz muhit qiymatlariga yaqinlashadi.

Oʻxshashlik almashtirishi

PDE tizimini osonroq yechiladigan ODE tizimiga keltirish uchun manba quyidagi oʻxshashlik oʻzgaruvchilaridan foydalanadi:

\[ \psi=\sqrt{c\nu}\,x f(\eta), \qquad \eta=y\sqrt{\frac{c}{\nu}}, \qquad \theta(\eta)=\frac{T-T_\infty}{T_w-T_\infty}, \]

\[ \phi(\eta)=\frac{C-C_\infty}{C_w-C_\infty}, \qquad \chi(\eta)=\frac{n-n_\infty}{n_w-n_\infty}, \qquad \xi(\eta)=\frac{m-m_\infty}{m_w-m_\infty}, \]

\[ \varphi(\eta)=\frac{S-S_\infty}{S_w-S_\infty}, \qquad u=cxf'(\eta), \qquad v=-\sqrt{c\nu}\,f(\eta). \]

Ushbu almashtirish harorat, nanozarracha, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot maydonlarini oʻlchovsiz profil funksiyalariga aylantiradi va ikki mustaqil koordinatali PDE tizimini bitta oʻxshashlik oʻzgaruvchisi \(\eta\) orqali ODE tizimiga keltiradi.

Almashtirilgan impuls tenglamasi

Tenglama 10:

\[ f'''+ff''-Mf'-K_pf'-F_r(f')^2+ \frac{G_r}{Re^2} \left[ \theta-N_r\phi-R_b\chi \right]=0. \]

Bu tenglamada \(M\) magnit maydonni, \(K_p\) Darcy oʻtkazuvchanlik taʼsirini, \(F_r\) Forchheimer qarshiligini, \(G_r\) termal koʻtaruvchi kuchni va \(R_b\) biokonvektiv koʻtaruvchi kuchni ifodalovchi oʻlchovsiz parametrlardir.

Almashtirilgan nanozarracha tenglamasi

Tenglama 12:

\[ \phi''+S_cf\phi' +\frac{N_t}{N_b}\theta''=0. \]

\(N_b\) nanozarracha Brownian harakati parametri, \(N_t\) esa termoforez parametridir. Termoforez harorat gradientining mikroskopik zarrachalar harakatiga taʼsirini ifodalaydi.

Almashtirilgan ekzoprotein tenglamasi

Tenglama 14:

\[ \xi''+ S_d \left[ f\xi'-A_2\xi+A_1\chi \right] =0. \]

\(A_1\) mikroorganizmlarning ekzoprotein ishlab chiqarish tezligini oʻlchovsiz shaklda ifodalaydi; \(A_2\) ekzoproteinning tabiiy parchalanishidir. Shuning uchun modelning biologik yadrosi aniq \(+A_1\chi\) ishlab chiqarish va \(-A_2\xi\) yoʻqotish hadlari orqali qurilgan.

Almashtirilgan mahsulot tenglamasi

Tenglama 15:

\[ \varphi'' + S_s \left[ f\varphi' +\tilde{\lambda}_s\xi \right] + \frac{N_t}{N_s}\theta'' =0. \]

\(\tilde{\lambda}_s\) ekzoproteindan mahsulot hosil boʻlishini ifodalovchi oʻlchovsiz ishlab chiqarish koeffitsiyentidir.

Asosiy oʻlchovsiz parametrlar

Schmidt soni belgisidagi manba nomuvofiqligi

Manba Tenglama 17 va izoh matnida mikroorganizmlar uchun biokonveksiya Schmidt sonini \(S_b=\nu/D_n\), ekzoprotein uchun Schmidt sonini \(S_d=\nu/D_m\) shaklida taʼriflaydi. Bunga qarshi Table 1 “Bioconvection Schmidt number” qatorida \(S_d\) belgisidan foydalanadi va keyin protein/ekzoprotein Schmidt sonida ham yana \(S_d\) ni koʻrsatadi. Shu sababli biokonveksiya Schmidt soni uchun Table 1 dagi belgi Verianla tomonidan tuzatilmagan, balki manba ichidagi notatsiya muammosi sifatida belgilangan.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Impuls, issiqlik va massa uzatish koʻrsatkichlari

Model chegaradagi oqim va tashilish xatti-harakatini skin-friction, Nusselt, Sherwood hamda mikroorganizm/ekzoprotein/mahsulot zichlik sonlari orqali baholaydi.

Manbada mahalliy skin-friction koeffitsiyenti:

\[ C_f=-2Re^{-1/2}f''(0) \]

shaklida berilgan.

Mahalliy Nusselt soni:

\[ Nu_x = -\left(1+\frac{4}{3}R_d\right) Re^{1/2}\theta'(0) \]

va mahalliy Sherwood soni:

\[ Sh_x=-Re^{1/2}\phi'(0) \]

koʻrinishidadir.

Mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot uchun mos zichlik sonlari ham mos ravishda:

\[ Nn_x=-Re^{1/2}\chi'(0), \qquad Nm_x=-Re^{1/2}\xi'(0), \qquad Ns_x=-Re^{1/2}\varphi'(0) \]

deb taʼriflangan.

Shu sababli Table 3 da faqat \(\theta'(0)\), \(\phi'(0)\), \(\chi'(0)\), \(\xi'(0)\) va \(\varphi'(0)\) sifatida berilgan qiymatlar tegishli fizik oʻlchovsiz sonning toʻliq qiymati emas; Tenglama 19-23 dagi Reynolds masshtablash va ishora/koeffitsiyent almashtirishlari ham talab etiladi.

Spektral Kvazilinearlashtirish Usuli Bu Tizimni Qanday Yechadi?

Spektral kvazilinearlashtirish usuli nochiziqli ODE tizimini ketma-ket chiziqli masalalarga aylantiradi; Chebyshev–Gauss–Lobatto kollokatsiya nuqtalari va spektral hosila matritsasidan foydalanilib, har bir iteratsiyada tezlik, harorat, nanozarracha, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot profillari birgalikda yangilanadi.

Gauss–Lobatto kollokatsiya nuqtalari

Fizik hisoblash sohasi \(\eta\in[0,L_x]\) avval \(z_i\in[-1,1]\) oraligʻiga oʻtkaziladi:

\[ z_i= \cos\left(\frac{\pi i}{N}\right), \qquad i=0,1,\ldots,N. \]

Fizik kollokatsiya nuqtalari keyin:

\[ \eta_i= \frac{L_x(1+z_i)}{2} \]

koʻrinishida hosil qilinadi.

Spektral hosila matritsasi

Funksiyaning hosilasi kollokatsiya nuqtalarida \(D\) hosila matritsasi orqali taxminan hisoblanadi:

\[ f' = Df. \]

Manba Lagrange interpolyatsiya polinomlaridan ham foydalanib funksiyalarni:

\[ u(\eta)= \sum_{i=0}^{N} u(\eta_i)L_i(\eta) \]

koʻrinishida ifodalaydi.

Kvazilinear iteratsiya

Oltita nochiziqli tenglama joriy iteratsiya \(r\) atrofida kvazilinearlashtirilib, keyingi \(r+1\) iteratsiyadagi nomaʼlumlar uchun blok matritsa tizimiga aylantiriladi:

\[ \mathbf{A}_r \begin{bmatrix} f_{r+1}\\ \theta_{r+1}\\ \phi_{r+1}\\ \chi_{r+1}\\ \xi_{r+1}\\ \varphi_{r+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_f\\ R_\Theta\\ R_\Phi\\ R_X\\ R_\Upsilon\\ R_\Psi \end{bmatrix}. \]

Manba Tenglama 32-54 oraligʻida ushbu blok tizimidagi residual funksiyalar, chiziqlashtirish koeffitsiyentlari va matritsa komponentlarini batafsil ochib beradi.

Boshlangʻich taxminlar

Spektral iteratsiyaning boshlangʻich profillari manba Tenglama 46 da eksponensial kamayuvchi funksiyalar sifatida tanlangan. Masalan, tezlik uchun:

\[ f_0(\eta)=1-e^{-\eta} \]

ishlatilgan. Harorat, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot uchun ham chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan oʻxshash \(e^{-\eta}\) asosidagi boshlangʻich profillar aniqlangan.

Simulyatsiyada ishlatilgan asosiy parametrlar

Sonli yechimning residual tekshiruvi

Manba oltita yechim oʻzgaruvchisi uchun oʻn iteratsiyada residual xato tahlilini oʻtkazgan. Harorat, nanozarracha, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot residual qiymatlarining katta qismi \(10^{-11}\) bilan \(10^{-12}\) tartibidadir.

Tezlik funksiyasi \(f(\eta)\) uchun esa manba Table 2 da \(4,53\times10^{-9}\), \(3,70\times10^{-9}\) va \(4,22\times10^{-9}\) kabi qiymatlarni beradi. Shunga qaramay natijalar matni umumiy xato oraligʻini \(10^{-12}\) bilan \(10^{-10}\) deb taʼriflaydi. Shu sababli manbadagi bayon eng katta \(f(\eta)\) residual qiymatlarini toʻliq qamrab olmaydi.

Ushbu residual testi sonli tenglamalar qanchalik yaxshi qanoatlantirilishini oʻlchaydi. Tajribaviy tizim bilan model orasidagi fizik aniqlik xatosini oʻlchamaydi.

Magnit maydonning taʼsiri

Shakl 2 ga koʻra, magnit maydon parametri ortgani sari suyuqlik tezligi kamayadi. Manba buni magnit maydon hosil qiladigan qarshilik taʼsiri bilan bogʻlaydi.

Shu bilan bir vaqtda harorat, nanozarracha, mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot profillari chegaraviy qatlamda ortishi koʻrinadi. Mualliflar izohiga koʻra, kamaygan konvektiv tashilish boshqa komponentlarning chegaraviy qatlam ichida toʻplanishiga hissa qoʻshadi.

Mikrobial Brownian harakatining taʼsiri

Shakl 3 da mikrobial Brownian harakati parametri ortganda mikroorganizm konsentratsiyasi kamayadi. Shunga bogʻliq ravishda ekzoprotein va mahsulot konsentratsiyalari ham kamayadi.

Bunga qarshi harorat va suyuqlik tezligi ortadi. Ushbu natijani nanozarrachalarga tegishli \(N_b\) Brownian parametri bilan chalkashtirmaslik kerak; manba \(N_b\) va \(N_n\) ni alohida model oʻzgaruvchilari sifatida taʼriflaydi.

Mikrobial oʻsish tezligining taʼsiri

Shakl 4 mikrobial oʻsish tezligi \(r\) oshganda mikroorganizm zichligi ortishini; bu esa ekzoprotein va mahsulot profillarini ham yuqoriga koʻtarishini koʻrsatadi.

Manba shuningdek harorat oshishini, devor yaqinidagi nanozarracha konsentratsiyasi esa kamayishini qayd etadi. Mualliflar nanozarracha kamayishini yuzaga keltiradigan mexanizm bu bosqichda aniq emasligini alohida taʼkidlaydi.

Tashish sigʻimining taʼsiri

Shakl 5 da \(K_n=2,10,50,100\) qiymatlari uchun mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot profillari koʻrsatilgan. Tashish sigʻimi kattalashgani sari mikrobial populyatsiyaning ruxsat etilgan logistik yuqori chegarasi ortadi; natijada ekzoprotein va mahsulot profillari ham oshadi.

Ekzoprotein ishlab chiqarish va parchalanish tezliklari

Shakl 6 ning dastlabki ikki panelida \(A_1\) oshganda ekzoprotein va mahsulot profillari koʻtariladi. Oxirgi ikki panelda esa \(A_2\) oshganda ekzoprotein va mahsulot profillari pasayadi.

Jadvaldagi qiymatlar bevosita fizik ekzoprotein yoki mahsulot zichligi emas; ular chegaradagi oʻlchovsiz profil hosilalaridir. Haqiqiy \(Nm_x\) va \(Ns_x\) qiymatlari Tenglama 22 va 23 da taʼriflangan Reynolds masshtablashi va ishora almashtirishi orqali olinadi.

Termoforez parametri

Table 3 da \(N_t\) 0,2 dan 0,5 gacha oshirilganda manba \(\theta'(0)\) qiymati 0,08472 dan 0,09986 gacha, mahsulot chegaraviy hosilasi esa 1,9530 dan 3,6460 gacha oshganini xabar qiladi.

Abstract termoforez parametri oshishi ekzoprotein konsentratsiyasi va Nusselt sonini oshirishini bildiradi. Biroq Table 3 bergan \(\theta'(0)\) va \(\xi'(0)\) qiymatlari bevosita yakuniy fizik Nusselt va ekzoprotein zichlik sonlari boʻlmagani uchun ishora va masshtablash Tenglama 19 va 22 bilan birga baholanishi kerak.

Mikrobial oʻsish parametrining chegaraviy natijalari

Table 3 da \(r\) 0,05 dan 0,30 gacha oshirilganda \(\theta'(0)\) 0,07884 dan 0,13658 gacha, ekzoprotein hosilasi \(\xi'(0)\) -1,01332 dan 1,98578 gacha va mahsulot hosilasi \(\varphi'(0)\) 1,01443 dan 8,05433 gacha oʻzgaradi.

Bu natijalar model mikrobial oʻsish parametriga kuchli sezgirlik koʻrsatishi mumkinligini namoyon etadi. Biroq ular muayyan parametrlar toʻplamidagi sonli model chiqishlaridir; real bakterial kulturada oʻlchangan ishlab chiqarish tezliklari emas.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan xulosalar

Model mikrobial oʻsish va ekzoprotein ishlab chiqarish/parchalanishini biokonveksiya nanofluid tenglamalariga birgalikda kiritishi mumkin.

Spektral kvazilinearlashtirish usuli tanlangan model uchun past residual qiymatlarni hosil qilgan.

Model ichida magnit maydon, mikrobial Brownian harakati, termoforez, mikrobial oʻsish, tashish sigʻimi va ekzoprotein ishlab chiqarish/parchalanish koeffitsiyentlari oqim, harorat va komponent profillarini oʻzgartiradi.

Ekzoprotein ishlab chiqarish parametri oshganda mahsulot ortadi; tabiiy parchalanish parametri oshganda mahsulot kamayadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan xulosalar

Tadqiqot muayyan real bakteriya laboratoriya sharoitida ushbu model bilan bir xil oʻsish yoki ekzoprotein profilini koʻrsatishini isbotlamaydi.

Nanofluid sanoatda energiya samaradorligini muayyan foizga oshirishini koʻrsatuvchi tajribaviy oʻlchov oʻtkazilmagan.

Tadqiqot pivo, dori-darmon, pishloq, mineral qazib olish yoki saraton davolashda modelning operatsion samaradorligini sinamagan.

Residual xatolarning kichikligi real tizim bilan model oʻrtasidagi tajribaviy aniqlik ham ayni kattalikda ekanini anglatmaydi.

Faraz qilingan \(K_n\), \(S_d\), \(S_s\), \(A_2\), \(\tilde{\lambda}_s\) va \(B_n\) qiymatlarining muayyan real mikroorganizm–nanofluid tizimiga tegishli ekani koʻrsatilmagan.

Manbadagi muhim texnik nomuvofiqliklar

Tenglama 1: Manba ikki oʻlchamli tezlik komponentlarini \(u\) va \(v\) deb taʼriflagan boʻlsa-da, uzluksizlik tenglamasida \(\partial u/\partial x+\partial u/\partial y=0\) deb yozadi.

Schmidt belgisi: Matnda \(S_b\) biokonveksiya Schmidt soni, \(S_d\) esa ekzoprotein Schmidt soni sifatida taʼriflangan boʻlsa-da, Table 1 biokonveksiya Schmidt sonini ham \(S_d\) bilan koʻrsatadi.

Residual xato tartibi: Natijalar matni \(10^{-12}\)-\(10^{-10}\) oraligʻini beradi, Table 2 esa tezlik residualida \(10^{-9}\) tartibidagi qiymatlarni oʻz ichiga oladi.

Table 3 yorliqlari: Jadval chegaraviy hosilalarni Nusselt, Sherwood va zichlik “number”lari deb atasa-da, Tenglama 18-23 tegishli oʻlchovsiz sonlar qoʻshimcha koeffitsiyentlar va ishoralarni oʻz ichiga olishini koʻrsatadi.

Brownian terminologiyasi: Abstract umumiy Brownian parametrlar ekzoproteinni oshirishini aytadi, natijalar boʻlimi esa mikrobial Brownian parametri \(N_n\) mikroorganizm, ekzoprotein va mahsulot konsentratsiyalarini kamaytirishini aniq bildiradi.

Maʼlumotlarga kirish: Maqola muqovasida data availability “Not applicable” deb belgilangan, maqola oxirida esa yaratilgan/tahlil qilingan barcha maʼlumotlar nashrning oʻzida ekanligi aytilgan.

Asosiy metodologik cheklovlar

Manba alohida “Limitations” boʻlimini bermaydi. Shunga qaramay, tadqiqot doirasi bevosita model tuzilishidan aniqlanishi mumkin.

Model ikki oʻlchamli, siqilmaydigan va oʻxshashlik almashtirishi qoʻllanishi mumkin boʻlgan chegaraviy qatlam tizimidir. Real uch oʻlchamli va vaqtga bogʻliq bioreaktor oqimlarini bevosita ifodalashi koʻrsatilmagan.

Mikroorganizm oʻsishi logistik oʻsish qonuni bilan, ekzoprotein ishlab chiqarish mikroorganizm zichligiga chiziqli bogʻliq holda, parchalanish esa birinchi tartibli yoʻqotish hadi bilan ifodalanadi. Murakkabroq gen regulyatsiyasi, oziqa cheklanishi yoki koʻp metabolik yoʻllar modelga kiritilmagan.

Parametrlarning bir qismi adabiyotdan, bir qismi esa toʻgʻridan-toʻgʻri “Assumed” deb tanlangan.

Modelni tekshirish residual xato tahlili bilan cheklangan; tajribaviy profil, laboratoriya oʻlchovi yoki mustaqil CFD/tajriba taqqoslanishi xabar qilinmagan.

Noaniqlik tarqalishi yoki faraz qilingan parametrlarning ishonch intervallari hisoblanmagan.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: A two-dimensional Darcy–Forchheimer mathematical model for bioconvection flow with microbial exoprotein activity

Mualliflar: Mqhelewenkoso A. Mpofu; Mlamuli Dhlamini; Adolf Ndlovu; Nqobile A. Chirwa.

Corresponding author: Mlamuli Dhlamini.

Mqhelewenkoso A. Mpofu tashkiloti: Department of Mathematics and Statistics, Gwanda State University, Filabusi, Zimbabwe.

Mlamuli Dhlamini, Adolf Ndlovu va Nqobile A. Chirwa tashkiloti: Department of Applied Mathematics, Faculty of Applied Science, National University of Science and Technology, Bulawayo, Zimbabwe.

Jurnal: South African Journal of Science.

Nashriyotchi: Academy of Science of South Africa (ASSAf).

Jild / son: 122(1/2).

Maqola raqami: 18964.

Yuborilgan sana: 25 Sentabr 2024.

Tahrir sanalari: 9 Iyun 2025 va 30 Sentabr 2025.

Qabul qilingan sana: 13 Noyabr 2025.

Nashr sanasi: 29 Yanvar 2026.

DOI: 10.17159/sajs.2026/18964.

Rasmiy nashr turi: Review Article. Mazmun yangi matematik model va sonli simulyatsiyani ishlab chiqadi; Verianla rasmiy nashr turini oʻzgartirmagan.

Taqriz: Manba PDF “Peer review” variantini belgilagan; SAJS siyosati Review Article lar taqrizdan oʻtishini bildiradi.

Litsenziya: Creative Commons Attribution; SAJSning amaldagi nashr siyosati CC BY 4.0 International dan foydalanadi.

Tadqiqot turi: Nazariy matematik modellashtirish va sonli simulyatsiya.

Asosiy model: Ikki oʻlchamli Darcy–Forchheimer gʻovak muhit biokonveksiya nanofluid modeli.

Yangi model qatlamlari: Logistik mikrobial oʻsish, ekzoprotein ishlab chiqarish, ekzoproteinning tabiiy parchalanishi va ekzoproteinga bogʻliq mahsulot hosil boʻlishi.

Yechish usuli: Spectral quasilinearisation method; Gauss–Lobatto spektral kollokatsiya va kvazilinear iteratsiya.

Sonli tekshirish: Residual error tahlili.

Moliyalashtirish: None.

Maʼlumotlar mavjudligi: Maqola oxiridagi bayon yaratilgan yoki tahlil qilingan barcha maʼlumotlar chop etilgan maqolada mavjudligini bildiradi. Muqova metadata maydonida esa “Not applicable” belgilangan.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Mualliflar competing interest yoʻqligini bildirgan.

AI/LLM ishlatilishi: Mualliflar AI yoki LLM ishlatilmaganini bayon qilgan.

Dissertatsiya kelib chiqishi: Maqola M.A. Mpofuning National University of Science and Technology, Zimbabwedagi Applied Mathematics Modelling magistrlik dissertatsiyasidan moslashtirilgan; ilmiy rahbari Mlamuli Dhlamini.

Muallif hissalari: M.A. Mpofu — metodologiya, tadqiqot, formal tahlil, tekshirish, sonli tahlil, dastlabki qoralama va koʻrib chiqish/tahrirlash. M. Dhlamini — konseptuallashtirish, metodologiya, tadqiqot, formal tahlil, tekshirish, sonli tahlil, maslahat/nazorat, dastlabki qoralama va koʻrib chiqish/tahrirlash. A. Ndlovu va N.A. Chirwa — metodologiya, tadqiqot, formal tahlil, tekshirish, sonli tahlil, dastlabki qoralama va koʻrib chiqish/tahrirlash. Barcha mualliflar yakuniy matnni tasdiqlagan.

Asosiy talqin chegarasi

Ushbu tadqiqot real biologik yoki sanoat oqimining tajribaviy oʻlchovi emas. Manba muayyan matematik farazlar va oʻlchovsiz parametrlar ostida mikrobial oʻsish, ekzoprotein dinamikasi va issiqlik/massa uzatish oʻrtasidagi nazariy munosabatlarni koʻrsatadi. Past sonli residual qiymatlar model yechimining ichki izchilligiga kuchli dalil beradi; real dunyodagi haqiqiyligi alohida tajribaviy tekshirilishi kerak.