Крипто-код системасы (crypto-code construction, CCC) каталарды оңдоочу коддордун алгебралык түзүлүшүн криптографиялык өзгөртүү менен бириктирген система болуп саналат. Бул изилдөө жаңы McEliece, Niederreiter же Rao–Nam primitive иштеп чыкпайт; эллиптикалык ийри сызыктардан (EC) жана genus-2 гиперэллиптикалык ийри сызыктардан (HEC) алынган алгебралык-геометриялык коддорду кантип куруу, evaluation жана parity-check матрицаларын кантип түзүү жана бир эле көзөмөлдөнгөн өлчөө протоколунун алкагында McEliece менен Rao–Nam ишке ашырууларынын наркын кантип салыштыруу керектигин аныктаган кайра өндүрүлө турган методологияны сунуштайт.

Изилдөөнүн эксперименттик benchmark’тары криптографиялык коопсуздук үчүн тандалган параметрлер менен жүргүзүлгөн эмес. Өлчөнгөн үч негизги код конфигурациясы ката салмагы \(t_e=1\) болгон toy параметрлер жана авторлор булар эч кандай криптографиялык коопсуздук камсыз кылбай турганын ачык белгилешет. Бул параметрлердин максаты системалардын коопсуздугун көрсөтүү эмес, бир эле код үй-бүлөсү жана бир эле өлчөө протоколунун шартында ишке ашыруу наркын салыштыруу.

Көзөмөлдөнгөн схема салыштыруусунун эң ишенимдүү жыйынтыгы — бир эле ийри сызык үй-бүлөсү жана бир эле код колдонулганда симметриялуу Rao–Nam ишке ашыруулары benchmark’та McEliece’ге караганда арзаныраак болушу. Булактагы 2-таблицада McEliece/Rao–Nam RNEC катышы HEC бутагында 1,176–1,251; EC бутагында 1,118–1,258 диапазонунда. Авторлордун түшүндүрмөсүнө ылайык, сыналган toy масштабында Rao–Nam болжол менен %11–21 төмөн ишке ашыруу наркын көрсөтөт. Бул айырма криптографиялык масштабда да ошол эле катыш сакталарына далил эмес.

Эллиптикалык жана гиперэллиптикалык ийри сызыктарды түздөн-түз өндүрүмдүүлүк боюнча салыштыруу баштапкы дизайнда көзөмөлдөнгөн эмес. EC бутагы 10, 100 жана 1000 байт жүктөмдөрдө тиешелүүлүгүнө жараша GF(4), GF(8) жана GF(64) үстүндө ар башка коддорго өтсө, HEC бутагы ошол эле genus-2, \((7,4)\), GF(4) кодун көп блоктуу түрдө кайра колдонот. Ошондуктан 1000 байтта байкалган чоң EC/HEC катыштары ийри сызык үй-бүлөсүнүн таза таасири эмес. Кийин бардык башка өзгөрмөлөр туруктуу кармалып жүргүзүлгөн matched comparison’да genus-1 жана genus-2 ишке ашырууларынын чыгымдары %8 чегинде калган.

Коопсуздук жагынан изилдөө мындан да этият. 6-таблицада generic information-set decoding үчүн болжол менен 77, 95 жана 260 биттик маалымдама маанилер эсептелгенине карабастан, авторлор аларды реалдуу коопсуздук деңгээли катары кабыл алышпайт. Алгебралык-геометриялык коддордун түзүлүшүнө багытталган Schur-product жана filtration чабуулдарынын наркы аныкталган эмес; ошондуктан изилдөөдө deployment-ready пост-кванттык параметрлер топтому сунушталбайт.

Изилдөө энергия керектөөсүн түздөн-түз өлчөгөн эмес. Проективдүү координаттарды колдонуу, кичине Galois талааларында иштөө жана симметриялуу Rao–Nam түзүлүшү эсептөө наркын азайта ала турган инженердик тандоолор катары каралат; чыныгы энергия керектөөсү түзмөк жана платформа боюнча өзүнчө өлчөнүшү керек.

Изилдөөнүн илимий маселеси эмнеде?

McEliece жана Niederreiter сыяктуу кодго негизделген ачык ачкычтуу криптосистемалардын күчтүү жактарынын бири — коопсуздук божомолдору каталарды оңдоочу коддордогу жалпы decoding маселелерине таянары. Мунун маанилүү инженердик чыгымдарынын бири — чоң public key’лер, чоң generator/parity-check матрицалар жана decoding наркы. Булак айрыкча мобилдик, орнотулган жана эсептөө ресурстары чектелген системаларда бул чыгымды азайтууну изилдейт.

Изилдөө эки негизги идеяны бириктирет. Биринчиси — код түзүлүшүн эллиптикалык же гиперэллиптикалык ийри сызыктардын рационалдык чекиттеринен түзүү. Экинчиси — ошол эле түзүү жана benchmark методологиясын McEliece сыяктуу асимметриялуу жана Rao–Nam сыяктуу симметриялуу crypto-code construction’дарга колдонуу.

Бул жерде маанилүү айырма бар: эллиптикалык же гиперэллиптикалык ийри сызыктар elliptic-curve discrete logarithm негизиндеги өз алдынча криптосистема катары колдонулбайт. Ийри сызыктар алгебралык-геометриялык коддун рационалдык чекиттерин, divisor түзүлүшүн, evaluation set’ин жана матрицаларын түзүү үчүн колдонулат. Негизги коопсуздук божомолу жашырылган түзүмдүү кодду decoding кылуунун татаалдыгы.

Изилдөөнүн жаңылыгы эмнеде?

McEliece, Niederreiter жана Rao–Nam схемалары булак тарабынан классикалык жана мурда эле бар түзүлүштөр катары кабыл алынат. Эллиптикалык жана гиперэллиптикалык ийри сызыктарды алгебралык-геометриялык коддордо колдонуу да толугу менен жаңы эмес. Макаланын өзгөчө салымы — белгилүү параметрлерден EC жана HEC үчүн evaluation/parity-check матрицаларын кайра өндүрүлө турган түрдө түзгөн процедураны, төрт scheme-family комбинациясына өзгөртүүсүз колдонулган бирдиктүү benchmark протоколун жана generic-decoding чегин коопсуздук камтуусу ачык көрсөтүлгөн шартта бирге баяндоо.

Чектүү Galois талаасы GF(\(2^m\)) деген эмне?

\(\mathrm{GF}(2^m)\) — так \(2^m\) элементи бар чектүү талаа. Булак бул талааны ажырабас полином жана \(1,x,x^2,\ldots,x^{m-1}\) канондук базис аркылуу аныктайт. Мүнөздөмө 2 болгондуктан кошуу операциялары бит деңгээлинде XOR аркылуу аткарылышы мүмкүн; бул аппараттык жана программалык ишке ашырууда чоң мүнөздөмөлүү бүтүн сан арифметикасына салыштырмалуу башкача чыгым касиеттерин жаратышы мүмкүн.

Бул теңдеме талаа элементинин биттик векторунун бүтүн сан түрүндө serialize кылынышын көрсөтөт. \(v_i\) ар бир бит коэффициентин, \(m\) талаанын даражасын билдирет. Теңдеме коопсуздук деңгээлин эсептебейт; ал finite-field элементинин компьютерде көрсөтүлүшүнө байланыштуу коддоо катышы гана.

Эллиптикалык ийри сызык бул изилдөөдө кантип аныкталат?

Булак \(\mathrm{GF}(q)\) үстүндө genus \(g=1\) болгон жылма эллиптикалык ийри сызыкты жалпы Weierstrass формасында берет:

Бул жерде \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_6\) — \(\mathrm{GF}(q)\) талаасынын элементтери. Бул affine көрсөтүлүшү.

Ошол эле ийри сызыктын проективдүү формасы:

Проективдүү координаттар \((X:Y:Z)\) affine тегиздигине кошумча infinity point’ти да ырааттуу алгебралык түзүлүш ичинде көрсөтүүгө мүмкүндүк берет.

Проективдүү Координаттар Бул Изилдөөдө Эмне Үчүн Колдонулат?

Проективдүү координаттар булак изилдөөдө evaluation жана parity-check матрицаларын түзүү учурунда affine нормалдаштыруу талап кылган \(\mathrm{GF}(2^m)\) талаа тескери элементтерин азайтуу же жок кылуу үчүн колдонулган эсептөө көрсөтүлүшү болуп саналат; бул өзгөртүү коддун коопсуздук божомолун күчөткөн жаңы криптографиялык маселе эмес, ишке ашыруу наркын азайтууга багытталган координата өзгөрүшү.

Affine чекит \((x,y)\) проективдүү жабылууда \((X:Y:Z)\) түрүндө берилет. Булак айрыкча бул isomorphism’ди Abel–Jacobi map менен чаташтырбоо керектигин белгилейт. Ийри сызыктын Jacobian’ына жаңы коопсуздук божомолу өткөрүлбөйт.

Изилдөөдө affine чекиттер үчүн нормалдаштырылган көрсөтүлүш \(Z=1\), infinity point үчүн болсо \((0:1:0)\) колдонулат. Бул туруктуу көрсөтүлүш evaluation matrix’те колдонулган monomial’дардын бирдей homogeneous degree’ге ээ болбогондугу үчүн маанилүү.

Гиперэллиптикалык ийри сызык кантип аныкталат?

Мүнөздөмө 2де колдонулган жалпы гиперэллиптикалык ийри сызык формасы:

Бул жерде \(h(x)\in \mathrm{GF}(2^m)[x]\) жана \(\deg h\le g\); \(f(x)\) нормалдаштырылган полином жана \(\deg f=2g+1\) же \(2g+2\) болушу мүмкүн. \(g\) — ийри сызыктын genus мааниси.

Benchmark’та колдонулган HEC мисалы genus \(g=2\), GF(4) үстүндө. Булак берген атайын модель:

Талаа:

жана генератор үчүн:

Булак бул атайын параметрлештирүүдө жети рационалдык чекит алат:

Бул жети чекит бардык genus-2 GF(4) ийри сызыктарынын милдеттүү касиети эмес. Жети чекит benchmark’та колдонулган атайын ийри сызык параметрлештирүүсүнө гана тиешелүү.

Hasse–Weil чеги эмнени аныктайт?

\(N\) ийри сызыкта болушу мүмкүн болгон рационалдык чекиттердин санынын жогорку чегин; \(q\) finite field өлчөмүн; \(g\) genus’ту билдирет. Genus өскөн сайын ошол эле талаада колдонууга мүмкүн болгон чекиттердин саны үчүн жогорку чек өсөт.

Мисалы, булак GF(4) үчүн genus 2де жогорку чекти 13, genus 3тө 17 деп берет. Бул өсүш узунураак код түзүүгө мүмкүнчүлүк бере алат; бирок жогорку genus автоматтык түрдө жакшыраак код же жогору криптографиялык коопсуздук дегенди билдирбейт.

Genus өскөндө эмне өзгөрөт?

Булак төрт таасирди бирге талкуулайт:

• Код узундугу: Hasse–Weil жогорку чеги genus менен өсөт; ошол эле field үстүндө көбүрөөк рационалдык чекиттер болушу мүмкүн.
• Минималдык аралык: genus өсүшү долбоорлонгон минималдык аралык кепилдигин азайтышы мүмкүн.
• Арифметикалык нарк: Mumford representation эң көп \(2g\) field element талап кылат; Cantor reduction наркы genus өскөн сайын жогорулайт.
• Коопсуздук: жогорку genus түзүмдүү код чабуулдарын жок кылбайт; булак жогорку genus автоматтык коопсуздук өсүшүн бербей турганын ачык айтат.

Минималдык аралык–genus алмашуусу

Riemann–Roch өлчөмү:

жана Goppa аралык төмөнкү чеги:

бирге колдонулганда:

алынат. \(n-k+1\) — Singleton bound тараптагы маалымдама мүчө. Булактын түшүндүрмөсү боюнча коддун кепилденген минималдык аралыгы Singleton bound’дан genus өлчөмүндө төмөн калат. Ошондуктан genus аркылуу көбүрөөк рационалдык чекит алынганда минималдык аралык кепилдигинен баа төлөнүшү мүмкүн.

Булак негизги algebraic decoding үчүн оңдоло турган ката санын:

түрүндө берет. Бул genus өсүшү код узундугуна гана эмес, decoding radius’ка да таасир этерин көрсөтөт.

Divisor деген эмне?

Divisor — ийри сызыктагы чекиттердин чектүү бүтүн сан коэффициенттүү формалдык суммасы:

Divisor rational function кайда нөлгө же полюска ээ экенин жана анын multiplicity маанисин каттоо үчүн колдонулган алгебралык объект.

Анын даражасы:

түрүндө аныкталат.

Бир rational function \(f\) үчүн principal divisor:

түрүндө. \(v_P(f)\) \(P\) чекитиндеги zero/pole valuation маалыматын алып жүрөт.

Jacobian бул изилдөөдө эмне үчүн колдонулат?

Degree-zero divisor класстары:

аркылуу көрсөтүлөт. Булак Jacobian’ды рационалдык чекиттерди, reduced divisor’лорду жана кодду аныктаган divisor’ду тартиптүү тандоого мүмкүндүк берүүчү construction and parameterization tool катары колдонот.

Изилдөөнүн коопсуздугу hyperelliptic-curve discrete logarithm маселесине таянбайт. Secret — Jacobian үстүндөгү discrete logarithm эмес, жашырылган code description. Ошондуктан genus \(\ge3\) HEC discrete logarithm үчүн белгилүү index-calculus жакшыртуулары менен бул жерде колдонулган code-based hardness божомолун чаташтырбоо керек.

Riemann–Roch мейкиндиги жана evaluation code

\(L(G)\) — полюстары divisor \(G\) менен чектелген rational function’дардын мейкиндиги.

Evaluation divisor:

түрүндө түзүлөт. Колдоо топтомдорунун кесилишпеши \(L(G)\) ичиндеги функцияларды evaluation чекиттеринде туура баалоого мүмкүндүк берет.

Evaluation map:

жана ага ылайык evaluation code:

түрүндө.

Булактын constructive code аныктамасы

Изилдөөдө чыныгы benchmark коду түздөн-түз:

түрүндө аныкталып, \(G\) ушул kernel’дин базасын түзгөн саптардан курулат. Текшерилген шарттар:

түрүндө.

HEC genus-2 GF(4) benchmark’ында жана matched genus-1 benchmark’ында \(n=7\), \(k=4\), \(\operatorname{rank}(G)=4\), \(\operatorname{rank}(H)=3\) жана \(HG^T=0\) так текшерилген.

Бирок булак маанилүү чектөө коёт: түзүлгөн \(C=\ker(H)\) коду сөзсүз мурда аныкталган конкреттүү \(C_L(D,G)\) evaluation code менен бирдей деп же тандалган саптар алгебралык-геометриялык dual \(C_\Omega(D,G)\) кодун ишке ашырат деп айтылбайт. Бул correspondence изилдөөдө далилденген эмес.

McEliece түзүлүшүндөгү masking

Булак McEliece бутагында secret masking матрицаларын \(X\), \(P\) жана айрым өзгөртүлгөн түзүлүштөрдө \(D\) менен аныктайт. Public generator matrix жалпысынан masked code generator аркылуу түзүлөт.

Булакта codogram үчүн берилген негизги байланыш:

\(i\) — \(k\)-символдуу information vector; \(G_X\) — masked public generator matrix; \(e\) — салмагы decoding мүмкүнчүлүгү менен чектелген жашыруун ката вектору. Encryption жарактуу codeword үстүнө көзөмөлдөнгөн ката кошот.

Niederreiter түзүлүшү

Niederreiter түзүлүшүндө confidential information түздөн-түз error vector аркылуу syndrome катары көрсөтүлөт:

\(H_X\) — masked parity-check matrix; \(e\) — узундугу \(n\) жана салмагы \(t\)ден ашпаган error vector. McEliece codeword негизиндеги көрсөтүүнү колдонсо, Niederreiter syndrome негизиндеги көрсөтүүнү колдонот.

Rao–Nam түзүлүшү

Классикалык Rao–Nam encryption:

түрүндө. \(I\) — plaintext information vector; \(G\) — generator matrix; \(e\) — random error vector.

Өзгөртүлгөн түзүлүш кошумча permutation matrix \(Z\) колдонот:

Булак бул түзүлүш public-key matrix операцияларынан кача алгандыктан төмөнүрөөк операциялык наркка ээ болушу мүмкүн экенин талкуулайт.

Бирок классикалык Rao–Nam’дын коопсуздук тарыхы көйгөйсүз эмес. Булак unmodified Rao–Nam үчүн chosen-plaintext attack сезимталдыгын жана түзүмдүү чабуул көйгөйлөрүн ачык белгилейт. Ошондуктан benchmark’тагы төмөн нарк өзүнчө deployment коопсуздугун билдирбейт.

Flawed code жана MV2 механизми деген эмне?

Булак “flawed code” терминин көзөмөлдөнгөн түрдө бузулган/жоготуулуу маалымат көрсөтүлүшүн аныктоо үчүн колдонот. MV2 ыкмасында баштапкы маалымат бири-бирине көз каранды damage sequence жана damaged text бөлүктөрүнө ажыратылат; булак бир гана бөлүк plaintext’ти кайра калыбына келтирүүгө жетишсиз экенин белгилейт.

Бул түзүлүштүн максаты multi-channel cryptography жана ишке ашыруу наркын жөнгө салуу. Бирок булакта колдонулган toy benchmark’тар бул механизмдин cryptographically secure deployment деңгээлин далилдебейт.

LDPC ыкмасы

Изилдөө McEliece үчүн экинчи код ыкмасы катары Low-Density Parity-Check (LDPC) коддорун да карайт. Decoding Belief Propagation / Sum–Product Algorithm аркылуу аткарылат. Программалык ишке ашыруу log-likelihood ratio (LLR) билдирүүлөрүн variable node жана check node ортосунда итеративдүү өткөрөт.

Булак алгоритминде check-node жаңыртууда \(\tanh\) маанилери көбөйтүлөт жана inverse hyperbolic tangent колдонулганга чейин катыш сандык туруктуулук үчүн болжол менен \((-1+10^{-10},1-10^{-10})\) диапазонунда clip кылынат. Демейки максималдуу итерация 50. Zero syndrome алынганда алгоритм эрте токтойт.

Булак LDPC’нин AWGN тибиндеги байланыш каналдарындагы итеративдүү decoding натыйжалуулугун кабыл алуу менен бирге graph-related маалымат түзүлүштөрүнүн эстутум талаптарын жана QC-LDPC/QC-MDPC түзүлүштөрүндөгү structural cryptanalysis тобокелдиктерин өзүнчө талкуулайт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Эксперимент жана программалык чөйрө

Авторлордун computational experiments ишке ашыруусу Python 3.12.5 жана SageMath колдонуу менен аткарылган. Controlled performance evaluation үчүн 2 GHz single-core reference processor жана %5 background operating-system load аныкталган.

Булак base seed 2026ны тапшырмалар арасында детерминисттик бөлүштүрөт: candidate search үчүн +101, key generation үчүн +202, matrix generation үчүн +303 жана encryption үчүн +10.000.

Бир benchmark trial encrypt–decrypt жуптарын гана убакыт боюнча өлчөйт. Key generation жана matrix construction өлчөө терезесинен тышкары. Бул чек RNEC жыйынтыктарын чечмелөөдө маанилүү.

RNEC Эмнени Өлчөйт жана Эмнени Өлчөбөйт?

Reference-Normalized Execution Cost (RNEC) — изилдөөдө encrypt–decrypt операциясынын wall-clock убактысын 2 GHz маалымдама жыштыгы жана %5 фондук OS жүгү боюнча plaintext байтына нормалдаштырган салыштырмалуу нарк метрикасы; hardware performance counter колдонулбагандыктан бул чыныгы CPU cycle count же платформадан көз карандысыз “cycles per byte” өлчөөсү эмес.

Булак Теңдеме (32):

Бул жерде:

• \(f=2\times10^9\ \mathrm{Hz}\): маалымдама процессор жыштыгы.
• \(\eta=0.05\): %5 background OS load.
• \(1-\eta=0.95\): өлчөнгөн операция үчүн болжолдонгон жеткиликтүү процессор үлүшү.
• \(t_{\mathrm{exec}}\): секунд менен өлчөнгөн wall-clock иштөө убактысы.
• \(n_{\mathrm{bytes}}\): иштетилген plaintext өлчөмү.

\(f\times t_{\mathrm{exec}}\) өлчөм жагынан маалымдама цикл эквивалентин берет жана аны byte санына бөлүү нормалдаштырылган наркты чыгарат. Бирок бул маани чыныгы performance-counter cycle өлчөөсү эмес. Cache жүрүм-туруму, microarchitecture, dynamic frequency scaling, OS scheduling жана Python/SageMath runtime таасирлери бул нормалдаштыруу менен жоголбойт.

Булак per-codeword/per-block өлчөөсү үчүн кошумча:

формуласын колдонот. Бул экинчи өзгөртүү ар башка block payload’дары жараткан amortization таасирин азайтууну көздөйт; бирок EC жана HEC бутактарынын ар башка масштабдоо стратегияларын теңебейт.

Benchmark конфигурациялары эмне үчүн симметриялуу эмес?

EC бутагында payload өскөн сайын intrinsic code жана field бирге өзгөртүлгөн:

Демек ийри сызык үй-бүлөсү, field size, code dimension жана batching strategy бир убакта өзгөрөт. Баштапкы EC–HEC салыштыруусу ошондуктан curve-family experiment эмес.

1-таблица — RNEC per block

Булак бардык уячаларда 100 retained repetition колдонот. 1-таблицада coefficient of variation %0,3төн %5,7ге чейин деп билдирилет. 95% confidence interval’дын жарым туурасы эч бир уячада mean’дин %1,2синен ашпайт.

Булак ошондой эле mean/median катышы он эки уячанын эч биринде 1,011ден ашпаганын белгилейт. Figure 13 гистограммалары ошол эле retained per-run үлгүлөрүн көрсөтөт. Бул көрүнгөн орточо маанилер бир нече четки үлгү тарабынан сүйрөлбөгөнүн көрсөтөт; бирок RNEC’нин platform-normalization булагындагы системалуу белгисиздикти жок кылбайт.

McEliece жана Rao–Nam салыштыруусу

Булактын түшүндүрмөсү боюнча Rao–Nam бул benchmark’та бардык payload чекиттеринде McEliece’ден болжол менен %11–21 арзаныраак. HEC бутагында үнөм болжол менен %15, %20 жана %20; EC бутагында болсо field GF(4)төн GF(64)кө чоңойгон сайын болжол менен %20,5тен %10,6га төмөндөйт.

Бул салыштыруу curve-family comparison’га караганда күчтүүрөөк; анткени бир эле үй-бүлөнүн ичиндеги McEliece жана Rao–Nam бирдей code, field жана payload колдонушат. Демек өзгөргөн негизги фактор криптографиялык схема.

Бирок \(k=4\), \(t_e=1\) сыяктуу toy параметрлерден улам ошол эле пайыздык катыш cryptographic-scale code’дордо сакталары көрсөтүлгөн эмес.

Баштапкы EC–HEC салыштыруусу

Маани 1ден жогору болсо HEC benchmark configuration арзаныраак; 1ден төмөн болсо EC configuration арзаныраак. Бирок 1000 byte’тагы 7,580 жана 8,480 катыштары “HEC ийри сызыгы intrinsically 7–9× ылдамыраак” дегенди билдирбейт. Ошол эле учурда field, code dimension жана batching ыкмасы да өзгөргөн.

Булак ичиндеги отчеттук эскертүү: изилдөөнүн аягындагы matched-comparison түшүндүрмөсү 3-таблицага шилтеме бергенде unmatched McEliece катыштарын 0,899; 1,257; 7,424 деп берет. Бул сандар 3-таблицадагы 0,945; 1,300; 7,580 маанилери менен бирдей эмес жана айырманын себеби булакта түшүндүрүлгөн эмес. Verianla негизги сандык булак катары көрүнгөн 3-таблица маанилерин сактайт.

Гиперэллиптикалык Ийри Сызыктар Бул Benchmark’та Эллиптикалык Ийри Сызыктардан Ылдамыраакпы?

Булак мындай жалпы тыянак чыгарбайт; дал келтирилбеген benchmark’та HEC конфигурациясы чоң payload’дарда кыйла арзаныраак көрүнгөнү менен field, code dimension жана batching strategy бирге өзгөргөндүктөн бул айырманы ийри сызык үй-бүлөсүнө таандык кылууга болбойт, бардык башка параметрлер GF(4), \((7,4)\), \(t_e=1\) шартында туруктуу кармалганда genus-1 EC менен genus-2 HEC чыгымдары өлчөө чечилишинин чегинде болжол менен %8 ичинде калган.

Дал келтирилген EC–HEC салыштыруусу

Булак андан кийин confounding факторлорду алып салуу үчүн эки бутакты тең GF(4), \(n=7\), \(k=4\), \(t_e=1\), бирдей payload, бирдей multiblock batching, бирдей decoder path жана бирдей measurement protocol менен кайра иштеткен. Болгону genus өзгөргөн: EC үчүн \(g=1\), HEC үчүн \(g=2\).

Бардык катыштар 1дин болжол менен %8инин ичинде калат. Авторлор ошондуктан баштапкы дал келтирилбеген жыйынтыктарды hyperelliptic curve family үчүн intrinsically чоң өндүрүмдүүлүк артыкчылыгы катары чечмелөөдөн баш тартышат.

Бул matched comparison да toy параметрлерде жүргүзүлгөн. Жыйынтык ушул масштабда genus өзгөрүшү өз алдынча олуттуу чыгым айырмасын көрсөтпөгөнүн гана билдирет; cryptographic-length коддордо ошол эле натыйжа сакталарына далил эмес.

RNEC’нин эки машинада кайра өндүрүлүшү

Булак протоколду эки башка машинада иштеткен. Absolute wall-clock чыгымдар күтүлгөндөй өзгөргөн, ал эми 2-таблицадагы scheme-level катыштар эки машина ортосунда absolute 0,031 ичинде дал келген. Булак муну RNEC’ни абсолюттук өндүрүмдүүлүк метрикасынан көбүрөөк relative comparison метрикасы катары чечмелейт.

Generic-decoding baseline кантип эсептелет?

Code-based construction үчүн generic information-set decoding наркынын жогорку чеги катары булак классикалык Prange иш факторун колдонот:

Бул туюнтма field operation саны менен берилет.

Өзгөрмөлөр:

• \(n\): код узундугу.
• \(k\): код өлчөмү/dimension.
• \(n-k\): parity/syndrome өлчөмүнө байланышкан айырма.
• \(t\): ката салмагы.
• \(\binom{n}{t}\): \(n\) позициянын арасынан \(t\) ката позициясын тандоо комбинациясы.

Булак заманбап ISD ыкмаларын болжолдуу моделдөө үчүн:

колдонот. \(\alpha\) теориялык универсал туруктуу эмес. Бир гана Classic McEliece binary parameter set үстүндө болжол менен 143-bit жарыяланган estimate’ге каршы 148-bit жыйынтык бере тургандай калибрленген.

Кванттык тилке үчүн булак:

түрүндө орой placeholder колдонот. Макаланын өзү бул чыныгы achievable quantum attack cost эмес экенин жана кайсы ISD subroutine’дери квантташтырылганына жараша абал өзгөрөрүн ачык белгилейт.

Error vector candidate саны:

менен берилет. \(q\) — alphabet/field өлчөмү. Бул сан brute-force талапкер мейкиндигин билдирет.

6-Таблицадагы 260 Бит Чыныгы Коопсуздук Деңгээлиби?

Жок. Булак 260-bit маанисин GF(1024) үстүндөгү \((1000,399)\), \(t=298\) маалымдама параметрлер топтому үчүн бир binary калибрлөөгө негизделген болжолдуу generic-decoding baseline катары берет; q-ary ISD көз карандылыктарын жана алгебралык-геометриялык коддорго каршы structural attack наркын моделдебегендиктен бул маани чыныгы же deployment-ready коопсуздук деңгээли эмес экенин ачык айтат.

Алгачкы үч benchmark конфигурациясы \(t=1\) болгондуктан өтө кичине error space’ке ээ жана булак аларды ачык “no cryptographic security whatsoever” деп аныктайт.

Акыркы саптагы 260-bit сан generic decoding жагынан чоң көрүнгөнү менен generic attack жогорку чеги гана. Structured code attack арзаныраак болсо, чыныгы коопсуздук аны ээрчийт.

Түзүмдүү чабуулдар эмне үчүн критикалык?

Algebraic-geometric code кокустук сызыктуу code эмес; рационалдык чекиттерден, function evaluation жана divisor түзүлүшүнөн келген кошумча алгебралык издерди алып жүрөт. Generic-decoding чабуулу бул түзүлүштү эске албайт.

Булак Sidelnikov–Shestakov, Faure–Minder жана Couvreur–Marquez-Corbella–Pellikaan багытындагы чабуулдарды талкуулайт. Айрыкча public code’дун component-wise Schur square түзүлүшү structural distinguisher жана filtration attack үчүн колдонулушу мүмкүн.

жана component-wise product:

деп аныкталат.

Algebraic-geometric evaluation code үчүн:

катышынан улам Schur-square dimension кокустук code’дон башкача өсүш көрсөтүшү мүмкүн жана бул айырма түзүмдүү чабуулга алып келиши мүмкүн.

Toy Schur-square тести эмне үчүн коопсуздук далили эмес?

Benchmark’та genus-1 жана genus-2 \((7,4)\) коддорунун Schur square dimension мааниси 7 деп табылган. Ошол эле параметрлерде random code үчүн:

болгондуктан тест random code менен бирдей жыйынтык берет.

Бирок бул жерде жогорку чек \(n=7\) тарабынан эле толтурулган. Ошондуктан тесттин айырмалоо күчү жок. Булак cryptographic size’да structural distinguisher тарабынан айырмаланышы мүмкүн болгон code бул toy масштабда деле тесттен өтүшү мүмкүн экенин ачык белгилейт.

Masking түзүмдүү чабуулдарды жок кылабы?

Булак жок деп жооп берет. Non-singular \(X\) менен көбөйтүү code’дун өзүн өзгөртпөйт; monomial \(PD\) өзгөртүүсү Schur-square dimension profile’ын сакташы мүмкүн. Shortening алгебралык-геометриялык түзүлүштү сактайт жана кээ бир учурларда code length’ти азайтып, чабуулчуга жардам бериши да мүмкүн. Plaintext-derived symbol кошкон extension механизми structure-recovery hardness’ты жогорулатары да көрсөтүлгөн эмес.

Deployment алдында булак кайсы коопсуздук иштерин милдеттүү деп эсептейт?

1. Cryptographic-size параметрлерде Schur-square profiling.
2. Filtration attack’ты түздөн-түз колдонуу жана кайсы жерде ийгиликсиз болгонун баяндоо.
3. Evaluation point, support жана multiplier recovery анализи.
4. Best-known structural attack үчүн parameter-dependent work factor.
5. Generic-decoding маанилерин жарыяланган q-ary syndrome-decoding estimator менен өз алдынча эсептөө.
6. Decoding routine’дери constant-time болбогондуктан ачык side-channel leakage моделин түзүү.

Бул алты иш cryptographically meaningful масштабда бүтмөйүнчө булак эч бир параметрлер топтомун deployment-ready катары сунуштабайт.

Энергия керектөөсү өлчөндүбү?

Жок. Булак implementation cost, wall-clock benchmark жана айрым мурдагы иштердин cycle-count маалыматтарын талкуулаганы менен, учурдагы экспериментте түздөн-түз энергия өлчөөсүн жүргүзгөн эмес. Энергияга тийгизген таасир платформага көз каранды экени ачык айтылат.

Ошондуктан кичине field же азыраак операция санынан түздөн-түз joule, watt же батарея мөөнөтү боюнча жыйынтык чыгарууга болбойт.

4-таблица эмне үчүн башка benchmark таблицаларынан айырмаланат?

Булак 4-таблицада HEC McEliece үчүн character read, string comparison жана string concatenation call count/processor cycle профилин берет. Бирок Data Availability Statement бул call-count жана cycle сандарын учурдагы reproducibility package кайра өндүрбөй турганын; алар мурдагы Ref. [3]’төн алынганын ачык айтат. Ошондуктан 4-таблица учурдагы benchmark кампаниясынын чийки убакыт үлгүлөрү менен бир provenance классына кирбейт.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• EC жана genus-2 HEC негизиндеги code matrices үчүн кайталанма construction procedure түзүүгө мүмкүн болгон.
• Benchmark коддорунда \(\operatorname{rank}(G)=k\), \(\operatorname{rank}(H)=n-k\) жана \(HG^T=0\) шарттары текшерилген.
• Проективдүү көрсөтүлүш matrix-construction этабында field inversion зарылдыгын азайткан эсептөө оптималдаштыруусу.
• Көзөмөлдөнгөн same-family салыштыруусунда Rao–Nam benchmark наркы McEliece’ден төмөн.
• Өлчөнгөн Rao–Nam артыкчылыгы сыналган toy масштабда болжол менен %11–21 диапазонунда.
• Баштапкы EC–HEC чоң өндүрүмдүүлүк айырмасы curve family’нин таза таасири эмес.
• Matched toy comparison’да genus-1 жана genus-2 чыгымдары болжол менен %8 ичинде калат.
• Generic-decoding baseline эсептелген жана structural security’ден ачык бөлүнгөн.
• Reproducibility package кодду, параметрлерди, матрицаларды, fixed seeds, raw timings жана work-factor script’терин камтыйт.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

• Benchmark’та колдонулган toy параметрлер пост-кванттык коопсуз деген жыйынтык чыгарууга болбойт.
• 260-bit generic-decoding baseline чыныгы 260-bit коопсуздук кепилдиги эмес.
• Гиперэллиптикалык ийри сызыктар эллиптикалык ийри сызыктарга караганда intrinsically 7–9× ылдамыраак деген жыйынтык чыгарууга болбойт.
• Жогорку genus structural cryptanalysis’ке туруктуураак экени көрсөтүлгөн эмес.
• Проективдүү координаттар коддун алгебралык түзүлүшүн чабуулчудан жашырары көрсөтүлгөн эмес.
• Schur-square тестинин toy мисалда random code менен бирдей жыйынтык бериши structural resistance далили эмес.
• Учурдагы изилдөө deployment-ready McEliece, Niederreiter же Rao–Nam параметрлер топтомун сунуштабайт.
• Изилдөө чыныгы энергия керектөөсүн өлчөгөн эмес.
• RNEC чыныгы hardware cycle counter өлчөөсү эмес.
• Мобилдик системаларда confidentiality/integrity кызматы ушул параметрлер менен production-ready экени көрсөтүлгөн эмес.

Кайра өндүрүлүүчүлүк

Булак ачык reproducibility package ичинде EC жана HEC ишке ашыруулары, curve parameter generation коду, evaluation-matrix construction жана decoding routine’дери; бардык benchmark curve equation жана irreducible polynomial маалыматтары; rational-point жана evaluation set’тер; generator/parity-check матрицалары; fixed PRNG seeds; Algorithm 3 benchmark harness; raw per-run timing samples; Figure 13 түзүү script’и жана Table 6 work-factor estimation script’и бар экенин билдирет.

Программалык версиялар Python 3.12.5 жана SageMath 10.5 деп берилген.

Булак Tables 1–3, Table 6 жана Figure 13 package script’тери аркылуу кайра өндүрүлө аларын; absolute RNEC hardware платформага көз каранды бойдон каларын, бирок configuration ratio’лары ар башка платформаларда кайра өндүрүлө аларын белгилейт.

Келечектеги иштин чеги

Авторлордун түз улантуу иши genus \(g=2,3,4\), ар башка base fields жана ар башка evaluation divisors камтыган кеңири family study болуп саналат. Бул изилдөөсүз benchmark’та колдонулган жалгыз genus-2 GF(4) мисалы бардык hyperelliptic constructions үчүн өкүл деп айтууга болбойт.

Мындан тышкары cryptographic-scale structural cryptanalysis, өз алдынча q-ary syndrome-decoding estimation, constant-time implementation жана чыныгы platform energy measurement келечектеги текшерүү талаптары.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталыш: Construction and Benchmarking Methodology for Crypto-Code Systems on Elliptic and Hyperelliptic Curves

Авторлор: Serhii Yevseiev; Stanislav Milevskyi; Serhii Pohasii; Olena Akhiiezer; Vladyslav Sokol.

Авторлордун тартиби: Serhii Yevseiev биринчи, Stanislav Milevskyi экинчи, Serhii Pohasii үчүнчү, Olena Akhiiezer төртүнчү, Vladyslav Sokol бешинчи автор.

Жооптуу автор: Serhii Yevseiev.

Мекеме: Department of Cybersecurity, National Technical University “Kharkiv Polytechnic Institute”, 61002 Kharkiv, Ukraine.

Тең салым: Булакта тең биринчи авторлук же тең салым билдирүүсү жок.

Журнал: Cryptography.

Басма: MDPI, Basel, Switzerland.

Том / сан / макала: 10(6), Article 78.

Бет саны: 44.

DOI: 10.3390/cryptography10060078.

Жөнөтүлгөн: 11 Август 2026.

Ревизия: 5 Октябрь 2026.

Кабыл алынган: 20 Октябрь 2026.

Жарыяланган: 27 Октябрь 2026.

Булак түрү: Рецензияланган изилдөө макаласы; алгебралык-геометриялык code construction, программалык ишке ашыруу, controlled benchmark жана generic-decoding baseline анализин бириктирет.

Рецензиялоо: Cryptography рецензияланган журнал; расмий MDPI журнал материалдары single-blind peer-review процессин билдирет.

Preprint абалы: Verianla үчүн иштетилген документ жарыяланган журнал версиясы; булакта өзүнчө preprint версиясы иштетилген эмес.

Лицензия: Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).

Расмий жарыя жазуусу: MDPI Cryptography, DOI 10.3390/cryptography10060078.

Негизги илимий тармак: Пост-кванттык криптография, кодго негизделген криптография, алгебралык-геометриялык коддор жана чектүү талаа эсептөөлөрү.

Негизги ыкма: EC жана HEC рационалдык чекиттеринен evaluation/parity-check matrices түзүү; \(C=\ker(H)\) аркылуу generator matrix чыгаруу; McEliece жана Rao–Nam ишке ашырууларынын бирдей benchmark harness астында өлчөнүшү.

Benchmark программасы: Python 3.12.5 жана SageMath 10.5.

Benchmark протоколу: 2 GHz single-core reference processor, %5 OS load, уячага 10 discarded warm-up жана 100 retained run, \(t_e=1\), 10/100/1000-byte payload жана perf_counter_ns wall-clock timer.

RNEC чечмелөөсү: Reference-normalized relative execution cost; чыныгы hardware cycle-count эмес.

Benchmark коопсуздук классы: Өлчөнгөн параметрлер toy параметрлер жана булак алар cryptographic security алып жүрбөй турганын ачык белгилейт.

Generic-decoding анализи: Prange work factor жана бир binary calibration point аркылуу \(\alpha=0.85\) оңдоосу колдонулган illustrative baseline; q-ary quantitative security estimate эмес.

Structural security: Cryptographic-scale Schur-product/filtration resistance көрсөтүлгөн эмес; эч бир параметр deployment-ready катары берилбейт.

Энергия өлчөөсү: Учурдагы изилдөөдө түздөн-түз энергия керектөөсү өлчөнгөн эмес.

Каржылоо: Изилдөө тышкы каржылоо алган эмес.

Маалымат жеткиликтүүлүгү: Булак complete reproducibility package ачык берилгенин; reference implementation, exact curve parameters, irreducible polynomials, rational-point/evaluation sets, generator жана parity-check matrices, fixed PRNG seeds, benchmark harness, raw timing samples, Figure 13 script жана Table 6 work-factor estimation script камтылганын билдирет.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришет.

Авторлордун салымы: Концептуалдаштыруу Serhii Yevseiev жана Stanislav Milevskyi; ыкма Serhii Yevseiev жана Stanislav Milevskyi; программалык камсыздоо Serhii Pohasii жана Vladyslav Sokol; текшерүү Serhii Yevseiev, Stanislav Milevskyi жана Olena Akhiiezer; формалдык анализ Serhii Yevseiev, Stanislav Milevskyi жана Olena Akhiiezer; изилдөө Serhii Yevseiev жана Serhii Pohasii; ресурстар Serhii Yevseiev жана Vladyslav Sokol; маалыматтарды курациялоо Serhii Pohasii жана Olena Akhiiezer; алгачкы долбоор Serhii Yevseiev; карап чыгуу/редакциялоо Stanislav Milevskyi, Serhii Pohasii жана Olena Akhiiezer; визуалдаштыруу Vladyslav Sokol; жетекчилик жана долбоорду башкаруу Serhii Yevseiev деп билдирилген.

Негизги методологиялык чектөөлөр: Toy коопсуздук параметрлери; HEC тарабында бир гана genus-2 GF(4) ийри сызык мисалы; дал келтирилбеген EC/HEC масштабдоосу; RNEC wall-clock негизинде болушу; чыныгы cycle counter жана энергия өлчөөсүнүн жоктугу; Table 6 generic-decoding маанилеринин орой proxy болушу; cryptographic-scale structural attack баалоосу толук бүтпөшү; decoding routine’деринин constant-time болбошу; Table 4 cycle/call-count маалыматтары учурдагы reproducibility package тарабынан кайра өндүрүлбөшү.

Булак ичиндеги сандык эскертүү: 3-таблицада McEliece EC/HEC катыштары 0,945; 1,300; 7,580 болсо, изилдөөнүн акыркы matched-comparison текстинде 3-таблица үчүн 0,899; 1,257; 7,424 маанилери жазылган. Булак айырманын себебин түшүндүрбөйт; бул Verianla мазмунунда көрүнгөн 3-таблица маанилери негизге алынган жана айырма жашырылган эмес.

Чечмелөө чеги: Изилдөөнүн салымы deployment-ready жаңы пост-кванттык primitive же далилденген жаңы security level эмес; EC/HEC негизиндеги crypto-code construction’дарды түзүү жана ишке ашыруу наркын кайра өндүрүлө турган түрдө салыштырууга багытталган методология.