Yönlendirici etkileşimli diyagram (guiding interactive diagram, ID), öğrencinin matematiksel bir ilişkiyi araştırmasına olanak verirken araştırma yolunu tamamen serbest bırakmayan; belirli görsel kaynaklar ve tasarım kısıtlarıyla dikkatini matematiksel probleme yönelten etkileşimli bir öğrenme materyalidir. Bu nitel vaka çalışması, 13 ve 14 yaşlarındaki üç öğrencinin hareket animasyonu ile zaman-konum grafiklerini eşleştirmeye çalışırken geliştirdikleri matematiksel argümantasyonu inceler. Öğrencilerin sözlü etkileşimi Toulmin argümantasyon modeliyle dönüş-dönüş kodlanmış ve süreç yedi bağlantılı argüman halinde analiz edilmiştir. Bulgular, başlangıçtaki temsil uyuşmazlığının semiyotik çatışma doğurduğunu; öğrencilerin daha sonra veri, iddia, gerekçe ve destek geliştirerek iki temsili koordine ettiklerini ve son aşamalarda istisnai hareketsiz durumu kullanarak çürütme bileşeni oluşturduklarını göstermektedir. Ancak çalışma yalnız üç öğrencilik amaçlı seçilmiş tek bir vakaya dayandığından, etkileşimli diyagram tasarımının argümantasyonu nedensel olarak geliştirdiği veya bulguların bütün öğrencilere genellenebileceği sonucuna varılamaz.

Araştırmanın özel önemi, “öğrenci doğru cevabı buldu mu?” sorusundan çok matematiksel anlamın nasıl müzakere edildiğine odaklanmasıdır. Öğrenciler, animasyondaki hareketsiz bir nokta ile zaman-konum grafiğindeki yatay çizginin ilk bakışta çeliştiğini düşünmüş; zamanın ilerlemeye devam ettiği halde konumun değişmeyebileceğini kavradıkça argüman yapılarını yeniden düzenlemişlerdir. Çalışma, bilinçli olarak tam eşleştirme vermeyen, bir istisnai örnek içeren ve öğrenciyi iki temsil arasında bağlantı kurmaya zorlayan etkileşimli materyallerin zengin matematiksel tartışma için bir kaynak olabileceğini düşündürmektedir.

Araştırma problemi: Etkileşimli materyal yalnız bilgi göstermiyor, düşünme yolunu da şekillendiriyor

Matematik eğitiminde dijital materyaller; animasyon, grafik, tablo ve değiştirilebilir örnekleri aynı ortamda birleştirebilir. Bununla birlikte aynı matematiksel kavram, çok farklı etkileşim tasarımlarıyla sunulabilir. Bu nedenle yalnız “teknoloji kullanıldı mı?” sorusu yeterli değildir. Materyalin ne kadar yönlendirdiği, hangi bilgiyi doğrudan verdiği, hangi bağlantıları öğrencinin kurmasını beklediği ve hangi belirsizlikleri bilinçli olarak açık bıraktığı da öğrenme sürecini etkileyebilir.

Kaynak çalışma etkileşimli diyagramları pedagojik işlevlerine göre üç ana tasarım mantığıyla tartışmaktadır. Gösterici diyagramlar öğrenciyi daha belirgin biçimde önceden belirlenmiş özelliklere yöneltir. Genişletici diyagramlar parametre ve nesnelerde daha serbest keşif sağlar. Yönlendirici diyagramlar ise bu iki uç arasında yer alır: öğrencinin keşif yapmasına izin verirken belirli kaynak ve kısıtlarla araştırmayı hedeflenen matematiksel ilişkiye doğru yönlendirir.

Yönlendirici Etkileşimli Diyagram Nedir ve Bu Çalışmada Nasıl Kullanılmıştır?

Yönlendirici etkileşimli diyagram, öğrencinin matematiksel keşif alanını tamamen kapatmayan fakat belirli görsel ipuçları, temsil bağlantıları ve kısıtlarla araştırma yönünü şekillendiren etkileşimli bir materyaldir. Bu çalışmada öğrenciler yedi nokta/araba ile bunlara karşılık gelen zaman-konum grafiklerini eşleştirmeye çalışmış; animasyon ve grafik aynı anda çalışmasına rağmen doğrudan renk eşlemesi verilmemiş, öğrencilerin bağlantıyı gözlem ve matematiksel muhakemeyle kurmaları gerekmiştir.

Kaynak diyagram dört tür özelliği birlikte içerir: farklı yönlerde hareket, farklı başlangıç ve bitiş konumları, bazı noktaların aynı bazı noktaların farklı hızlarda hareket etmesi ve diğerlerinden farklı olarak hareketsiz kalan bir istisnai nokta. Diyagramın önemli tasarım kararlarından biri, animasyondaki nokta ile grafikteki çizgiyi doğrudan renk veya başka belirgin işaretle eşleştirmemesidir. Böylece öğrenci bir grafiği yalnız görünüşüne bakarak seçemez; hareket ile matematiksel temsil arasındaki anlam ilişkisini kurmak zorunda kalır.

Diyagram ayrıca tam bir ölçüm aracı değildir. Öğrencilerin şematik temsili hassas metrik diyagrama dönüştürmesine yarayacak kontroller verilmemiştir ve hareket sürekli izlenmek zorundadır. Bu tasarım, kesin sayısal ölçümden çok değişkenlerin anlamına ve temsil ilişkisine odaklanmayı teşvik etmektedir.

Semiyotik Çatışma Nedir?

Semiyotik çatışma, öğrencinin farklı temsil sistemlerine verdiği anlamların birbirleriyle veya matematiksel olarak kabul edilen anlamla uyuşmaması durumudur. Bu vakada öğrenciler animasyonda hareketsiz duran bir noktayı görürken zaman-konum grafiğinde ona karşılık gelebilecek yatay çizgiyi başlangıçta doğru yorumlayamamış; “hareket etmeyen nokta” ile “zaman ekseni boyunca uzanan grafik” arasında bir çelişki bulunduğunu düşünmüşlerdir.

Çalışma semiyotik çatışmayı sıradan bir hata veya yalnız öğrencinin zihnindeki eksiklik olarak tanımlamaz. Analizin odağı, öğrencilerin animasyon, grafik, eksen adları, jestler ve ortak konuşma sırasında ürettikleri farklı anlamların nasıl karşı karşıya geldiğidir. Çatışmanın üretken hale gelmesi, öğrencilerin bu farklı anlamları tartışarak yeniden koordine edebilmesine bağlıdır.

Çatışma, öğrenciler yatay zaman-konum çizgisinin “zaman duruyor” anlamına gelmediğini fark ettiğinde çözülmeye başlar. Matematiksel olarak kabul edilen yorum, zaman ilerlerken konumun sabit kalabileceğidir. Böylece hareketsiz nokta ile yatay grafik aynı sürecin iki farklı gösterimi haline gelir.

Matematiksel argümantasyon ile formel ispat aynı şey değildir

Kaynak çalışma, argümantasyonu formel ispatla eşitlemez. Muhakeme matematiksel fikirleri üretme ve bağlama sürecini; açıklama düşünceyi başkasına anlaşılır kılmayı; gerekçelendirme bir iddianın geçerliliğini desteklemeyi; formel ispat ise kurumsal olarak kabul edilmiş dedüktif bir gerekçelendirme biçimini ifade eder. Bu araştırmada argümantasyon, öğrencilerin ortak etkileşim sırasında matematiksel iddialar üretmesi, desteklemesi, sorgulaması ve yeniden biçimlendirmesi olarak ele alınır.

Toulmin modeli araştırmada nasıl kullanıldı?

Toulmin modeli, argümanın işlevsel parçalarını ayırmak için kullanılmıştır. Veri (Data, D) iddiayı destekleyen gözlem veya bilgidir. İddia (Claim, C) öğrencinin ulaştığı sonuç veya yorumdur. Gerekçe (Warrant, W) verinin neden iddiayı desteklediğini açıklayan bağlantıdır. Destek (Backing, B) gerekçeyi ek bilgiyle güçlendirir. Çürütme (Rebuttal, R) iddianın veya gerekçenin geçerliliğini sınırlayan istisna, karşı örnek veya koşulu görünür hale getirir. Toulmin modelinde ayrıca niteleyici (Qualifier, Q) bulunmasına rağmen bu çalışmanın argüman kodlarında D, C, W, B ve R bileşenleri kullanılmıştır.

Jestler ve öğrencilerin ekrana yaptığı fiziksel müdahaleler bağımsız Toulmin kodları olarak sınıflandırılmamıştır. Bunun yerine araştırmacılar bu davranışları öğrencinin sözlü katkısının hangi matematiksel temsile veya argümantatif işleve ait olduğunu yorumlamak için bağlamsal kanıt olarak kullanmıştır.

Çürütme Bileşeni Neden Argümantasyonun Geç Aşamalarında Ortaya Çıktı?

Çürütme, öğrenciler genel hareket örüntüsünü hareketsiz istisnai durumla karşılaştırabilecek kadar iki temsili koordine ettikten sonra ortaya çıktı. A6 ve A7 aşamalarında öğrenciler hareket eden noktalar için hem zamanın hem konumun değiştiğini, hareketsiz nokta için ise zaman değişirken konumun sabit kaldığını ayırabildi; böylece istisnai durum genel kuralı yalnız bozmak yerine argümanın sınırını tanımlayan bir çürütme bileşeni haline geldi.

Kaynak yazarları, diyagramdaki istisnai örneğin öğrencileri benzerlik ve farklılıkları karşılaştırmaya yönelterek çürütmenin oluşumuna katkı sağlamış olabileceğini tartışmaktadır. Ancak çalışma tek vaka tasarımı nedeniyle çürütmenin yalnız bu tasarım özelliğinden kaynaklandığını nedensel olarak kanıtlamaz.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Vaka seçimi ve katılımcılar

Daha geniş araştırma projesi, aynı yönlendirici etkileşimli diyagramla çalışan altı grup ve toplam 19 öğrenciden oluşmaktadır. Bütün oturumlar video kaydına alınmış ve argümantasyon yapılarının ortaya çıkışı bakımından ön incelemeye tabi tutulmuştur. Bu makalede ise üç öğrencilik tek grup, temel argümantasyon bileşenlerinin tümünü göstermesi ve bileşenlerin tek bir etkileşim bölümü boyunca kesintisiz izlenebilmesi nedeniyle amaçlı olarak odak vaka şeklinde seçilmiştir.

Üç katılımcı 13–14 yaşlarında erkek öğrencilerdi ve cebir öğrenimlerinin ikinci yılındaydı. Aynı devlet ortaokuluna ve aynı sınıfa devam ediyor, aynı arkadaş grubunda bulunuyorlardı. Öğretmen değerlendirmeleri ve okul performansına göre üç öğrenci düşük, orta ve yüksek matematik başarısı düzeylerini temsil ediyordu. Araştırmacılar arkadaşlık ilişkilerinin spontan konuşmayı ve karşılıklı sorgulamayı kolaylaştırmış olabileceğini belirtmiş ancak arkadaşlığı bağımsız araştırma değişkeni olarak analiz etmemiştir.

Görev

Öğrencilerden animasyondaki yedi nokta/araba ile zaman-konum grafiğindeki yedi çizgi arasındaki karşılıkları belirlemeleri istendi. Doğrudan renk eşlemesi bulunmadığından öğrencilerin hız, hareket yönü, konum değişimi, zaman ve hareketsizlik gibi özelliklerden veri çıkarmaları gerekti. Öğrenciler düşüncelerini sesli biçimde ifade etmeye, arkadaşlarının fikirlerini değerlendirmeye ve etkinlikle istedikleri kadar çalışmaya teşvik edildi.

Semiyotik çatışmanın belirlenmesi

Araştırmacılar, öğrencilerin animasyon ve grafik arasında açık bir çelişki veya tutarsızlık bildirdiği, temsillerden birinin geçerliliğini diğerine göre sorguladığı veya iki temsilin nasıl yorumlanacağı konusunda belirsizlik ifade ettiği bölümleri semiyotik çatışmanın göstergesi olarak değerlendirdi. Çatışmanın çözülmüş sayılması için öğrencilerin animasyon ve grafik arasında matematiksel olarak kabul edilen, tutarlı bir anlam koordinasyonu kurması gerekti.

İki aşamalı argüman analizi

Analizin ilk aşamasında konuşma dönüş-dönüş incelendi ve her sözlü katkının argümantatif işlevi D, C, W, B veya R olarak kodlandı. İkinci aşamada bu kodlanmış katkılar birbirine bağlı argüman diyagramları haline getirildi. Bir yapının argüman olarak kabul edilmesi için en az bir iddia ve onu destekleyen veri bulunması gerekiyordu; gerekçe, destek ve çürütme mevcut olduğunda ayrıca işlendi.

Analiz yalnız tek cümleleri ayrı ayrı saymaya odaklanmadı. Bir argümandaki gerekçe veya desteğin sonraki argümana veri olabildiği iç içe ve yinelemeli yapı da izlendi. Böylece yedi argüman, birbirinden kopuk yedi konuşma değil, önceki matematiksel anlamın sonraki argümana taşındığı gelişen bir yapı olarak analiz edildi.

Kodlama güvenirliği

İki yazar etkileşimi birbirinden bağımsız olarak dönüş-dönüş kodladı ve farklılıkları tartışarak uzlaşıya vardı. Matematiksel argümantasyon alanında uzman üçüncü bir kodlayıcı veri kümesinden rastgele seçilmiş altı argümanı bağımsız olarak değerlendirdi; kaynak, üçüncü kodlayıcının analizinin yazarların analiziyle tutarlı olduğunu bildirir. Sayısal bir kodlayıcılar arası uyum katsayısı raporlanmamıştır.

Yedi argümanın gelişim çizgisi

A1: Çelişkinin fark edilmesi

Öğrenciler ilk aşamada animasyonda yalnız altı noktanın hareket ediyor görünmesine karşın grafikte yedi çizginin bulunmasını açıklayamadı. Bu uyuşmazlık, animasyondaki fiziksel hareket görüntüsü ile grafikte zaman içinde değişen veya değişmeyen konumu gösteren matematiksel temsil arasındaki farkın henüz kurulmadığını gösterdi. İlk argüman böylece semiyotik çatışmanın görünür hale geldiği başlangıç noktası oldu.

A2–A4: Zaman ve konum değişkenlerinin yeniden yorumlanması

Öğrenciler başlangıçta hareketsiz bir nokta için hem konumun hem de zamanın sabit olduğunu düşündüler. Sonraki tartışmada zamanın diğer noktalar için ilerlediği gibi hareketsiz nokta için de ilerlemesi gerektiğini fark ettiler. Zamanı sürekli ve bağımsız bir değişken olarak ele almaları, “nokta hareket etmiyorsa zaman da hareket etmiyor” biçimindeki ilk yorumu değiştirdi. Destek bileşeninin ortaya çıkışı bu aşamada daha belirgin hale geldi.

A5: İki temsilin koordine edilmesi

Öğrenciler yatay/sabit grafiğin hareketsiz noktayla eşleştiği iddiasını geliştirdiler ve animasyonu yeniden çalıştırarak bu iddiayı kontrol ettiler. Böylece grafiğin yatay olmasının zamanın durduğu anlamına değil, zaman ilerlerken konumun değişmediği anlamına geldiğini daha açık biçimde kurmaya başladılar.

A6–A7: Genel örüntü, istisna ve çürütme

Son aşamalarda öğrenciler hareket eden noktaların yönünü grafik çizgilerinin eğimiyle ilişkilendirirken hareketsiz noktayı genel hareket örüntüsünün istisnası olarak kullandılar. Çürütme bileşeni tam burada önem kazandı: öğrenciler bir genel açıklamayı yalnız tekrarlamak yerine hangi durumda farklı davrandığını belirleyebildi. Son argümanda konumun sabit kalmasına rağmen zamanın ilerlediğini ve bu nedenle grafiğin yatay bir çizgi olduğunu matematiksel olarak kabul edilen biçimde ifade ettiler.

Bu Çalışma Etkileşimli Diyagram Tasarımının Argümantasyona Nedensel Etkisini Kanıtlıyor mu?

Hayır. Çalışma, yönlendirici etkileşimli diyagramın belirli tasarım özelliklerinin öğrencilerin zengin argümantasyon geliştirmesine katkı sağlamış olabileceğini gösteren ayrıntılı bir vaka sunar; ancak ön bilgi, arkadaşlık ilişkileri, görev yapısı, öğretmen müdahalesinin bulunmaması ve amaçlı vaka seçimi gibi etkenler tasarımın bağımsız etkisinden ayrıştırılmadığı için doğrudan nedensel etki göstermez.

Çalışmanın desteklediği yorum

Kaynak, kısmi temsil bağlantısının, doğrudan eşleştirme ipuçlarının yokluğunun ve hareketsiz istisnai örneğin öğrencileri iki temsil arasında matematiksel ilişki kurmaya zorlayan kaynaklar olarak işlev görmüş olabileceğini desteklemektedir. Odak vakada argümantasyon, başlangıçtaki çelişki algısından destek ve çürütme içeren daha gelişmiş bir yapıya ilerlemiştir.

Çalışmanın desteklemediği yorum

Kaynak, aynı diyagramın bütün öğrencilerde aynı argümantasyon örüntüsünü oluşturacağını, çürütmenin yalnız diyagram tasarımından kaynaklandığını, bu materyalin başka matematik konularında aynı etkiyi göstereceğini veya geleneksel öğretimden üstün olduğunu kanıtlamamaktadır. Çalışmada kontrol grubu, randomizasyon veya nedensel etkiyi izole eden deneysel tasarım bulunmamaktadır.

Sınırlılıklar ve gelecek araştırma

Makalenin odak analizi yalnız üç öğrenciden oluşan tek gruba dayanır. Öğrenciler aynı sınıf ve arkadaş grubundadır; tek tür yönlendirici etkileşimli diyagram ve belirli bir cebirsel hareket içeriği kullanılmıştır. Öğrencilerin önceki matematik bilgisi ile sosyal ilişkileri argümantasyonun akışını etkilemiş olabilir. Ayrıca odak vaka, daha geniş veri kümesinden özellikle argümantasyon bileşenlerinin zenginliği nedeniyle seçilmiştir ve bu nedenle tipik veya temsilî vaka olarak kabul edilmemelidir.

Yazarlar gelecek araştırmalarda farklı etkileşimli diyagram türlerinin daha sistematik biçimde karşılaştırılmasını, semiyotik çatışmanın argümantasyon oluşumundaki rolünün daha ayrıntılı incelenmesini ve cebir dışındaki matematik alanlarında benzer örüntülerin ortaya çıkıp çıkmadığının araştırılmasını önermektedir. Kalkülüs, belirtilen olası genişleme alanlarından biridir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Students’ Mathematical Argumentation with Guiding Interactive Diagrams: A Case Study of Semiotic Conflict and Rebuttal Formation

Yazarlar: Elena Naftaliev, Osama Swidan.

Sorumlu yazar: Elena Naftaliev.

Kurumlar: Department of Mathematics Teaching, Achva Academic College, İsrail; School of Education, Ben-Gurion University of the Negev, İsrail.

Dergi / yayınevi: Education Sciences, MDPI.

Cilt / sayı / makale numarası: 16(7), 1070.

Yayın tarihi: 3 Temmuz 2026.

DOI: 10.3390/educsci16071070.

Kaynak türü: Nitel tek-vaka araştırması; daha geniş altı grup ve 19 öğrencilik proje içinden amaçlı seçilmiş üç öğrencilik odak vaka.

Hakemlik: Hakemli dergi makalesi.

Lisans: Creative Commons Attribution, CC BY 4.0.

Temel yöntem: Video kayıtlı öğrenci etkileşiminin dönüş-dönüş nitel analizi; semiyotik çatışma çerçevesi ve Toulmin argümantasyon modeli; kodlanmış katkıların bağlantılı argüman diyagramlarına dönüştürülmesi.

Kodlama güvenirliği: İki yazar bağımsız kodlama yapmış ve uzlaşıya varmıştır. Üçüncü uzman kodlayıcı rastgele seçilmiş altı argümanı ayrıca değerlendirmiştir. Kaynak sayısal kodlayıcılar arası uyum katsayısı bildirmemektedir.

Finansman: Araştırma dış finansman almamıştır.

Etik onay: İsrail Eğitim Bakanlığı Chief Scientist Office; onay numarası 10.32 376.

Bilgilendirilmiş onam: Katılımcı öğrenciler ve ebeveynleri araştırmaya katılım öncesinde onam vermiştir.

Veri erişilebilirliği: Kaynak makale “bu çalışmada yeni veri oluşturulmadığını veya analiz edilmediğini” bildirmektedir. Bu ifade, yöntem bölümünde video kaydı ve ayrıntılı vaka analizinin açıklanmasıyla görünür bir ifade gerilimi oluşturduğu için Verianla tarafından yeniden yorumlanmamıştır.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması bildirmemiştir.

Yazar katkıları: Kavramsallaştırma, metodoloji, doğrulama, formel analiz, araştırma ve özgün taslak iki yazar tarafından; kaynaklar ve veri kürasyonu Elena Naftaliev tarafından; görselleştirme iki yazar tarafından yürütülmüştür.

Temel yorum sınırı: Bulgular üç öğrencilik amaçlı seçilmiş bilgi-zengin bir vaka içindeki argümantasyon gelişimini göstermektedir; sonuçlar geniş öğrenci popülasyonuna genellenemez ve etkileşimli diyagram tasarımının bağımsız nedensel etkisi olarak kullanılamaz.