Truncated Variational Hamiltonian Ansatz (tVHA) — ansatz-и вариатсионии квантии аз ҷиҳати кимиёвӣ сохторёфтаест, ки аз сохтори физикии Hamiltonian-и электронии молекулавӣ бармеояд ва барои идорашавандатар кардани схемаи квантии параметрӣ махсусан non-Coulomb two-body terms-ро ба таври назоратшаванда мебурад. Ин таҳқиқот рафтори ҳашт алгоритми классикии оптимизатсияро дар ҳисобҳои Variational Quantum Eigensolver (VQE) бар асоси tVHA барои H₂, занҷири хаттии H₄ ва тасвирҳои full-space ва active-space-и LiH муқоиса мекунад. Таҳқиқот дар сахтафзори воқеии квантӣ анҷом дода нашудааст; quantum circuits дар инфрасохтори классикии ҳисоббарории баландсамар бо Qiskit симулятсия шудаанд. Аз ин рӯ, “тобоварӣ ба садо”-и дар ин ҷо ченшуда пеш аз ҳама самаранокии симулятсия бар зидди finite-shot sampling noise мебошад.

Ҳашт optimizer-и муқоисашуда BFGS, Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy (CMA-ES), COBYLA, Gradient Descent (GD), Nelder–Mead, Particle Swarm Optimization (PSO), Sequential Least Squares Programming (SLSQP) ва Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation (SPSA) мебошанд. Ҳар як ҷуфти molecule–optimizer дар чор сенария санҷида шудааст: оғози Hartree–Fock + statevector, оғози Hartree–Fock + finite-shot sampling, оғози random + statevector ва оғози random + finite-shot sampling. Барои ҳар сенария 10 иҷрои мустақил анҷом дода шуда, дар маҷмӯъ:

\[ 4\ \text{moleküler temsil} \times 8\ \text{optimizer} \times 4\ \text{senaryo} \times 10\ \text{koşu} = 1280 \]

simulation-и мустақил ҳосил шудааст.

Дар noisy benchmark-и асосӣ барои ҳар function evaluation 6144 shot истифода шудааст. Барои exact reference аз Qiskit StatevectorEstimator ва барои ҳисобҳои finite-shot аз Qiskit Aer Estimator истифода шудааст. Азбаски Aer Estimator мувофиқи қоидаи Born намуна мегирад, measured expectation values дорои finite sample variance мебошанд. Хулосаи асосии таҳқиқот ин аст, ки sampling noise танҳо ба натиҷаҳо хатои хурд илова намекунад; он шакли cost landscape, минимумҳои намоён, gradient directions ва дар натиҷа тартиби optimizer-ҳоро тағйир медиҳад.

Дар шароити statevector-и бесадо, махсусан барои системаи хурди H₂, BFGS ва дигар усулҳои детерминистӣ хеле зуд ва дақиқ ҳамгаро мешаванд, аммо дар зери finite-shot sampling noise ин бартарӣ асосан аз байн меравад. Бо мураккабтар шудани фазои молекулавӣ ва параметрӣ, усулҳои population-based ё stochastic ба монанди CMA-ES, PSO ва SPSA устувортар мешаванд. Дар full-space LiH noisy benchmark, пас аз high-shot reevaluation CMA-ES бо хатои тақрибан \(8\times10^{-3}\) Ha беҳтарин натиҷаро дар манбаъ додааст; дар active-space LiH бошад CMA-ES ба \(2.6\times10^{-4}\) Ha, SPSA ба \(3.9\times10^{-4}\) Ha ва PSO ба \(4.2\times10^{-4}\) Ha расидаанд.

Муҳимтарин ҳадди тафсири физикии таҳқиқот ба variational principle вобаста аст. Барои exact expectation value:

\[ E(\boldsymbol{\theta})\ge E_0 \]

ҳамоно амал мекунад. Дар ҳисоби finite-shot қимате, ки метавонад аз ин поёнтар намоён шавад:

\[ \hat E(\boldsymbol{\theta})

баҳодиҳии омории энергия мебошад. Ин маънои онро надорад, ки quantum state-и воқеии физикӣ аз энергияи ҳолати асосӣ энергияи камтар дорад. Sampling fluctuation метавонад estimator-и ченшударо муваққатан ба поён кашад.

Натиҷаҳои таҳқиқот тасдиқи мустақими самаранокии quantum hardware-и воқеӣ нестанд. Benchmark coherent gate errors, stochastic gate errors, amplitude damping, thermal relaxation ё readout-assignment bias-ро дар бар намегирад. Муаллифон низ таъкид мекунанд, ки дар доираи future work ин hardware noise channels-и воқеъбинона бояд алоҳида санҷида шаванд.

tVHA Чист ва Дар VQE Чӣ Кор Мекунад?

Truncated Variational Hamiltonian Ansatz ansatz-и аз ҷиҳати кимиёвӣ сохторёфтаест, ки ҷузъҳои як-электронӣ, Coulomb ду-электронӣ ва non-Coulomb ду-электронии Hamiltonian-и молекулавиро мустақиман ба блокҳои параметрии quantum evolution табдил медиҳад ва барои коҳиш додани мураккабии схема қисми саҳмҳои non-Coulomb-ро аз рӯйи аҳамият мебурад; вазифаи он дар VQE муайян кардани оилаи quantum state мебошад, ки classical optimizer-и ҷӯяндаи энергияи ҳолати асосӣ онро танзим мекунад.

Чаро VQE ҳам алгоритми квантӣ ва ҳам классикӣ аст?

Variational Quantum Eigensolver усули hybrid quantum–classical мебошад. Қисми Quantum ҳолати параметриро:

\[ |\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle \]

омода карда, expectation value-и Hamiltonian-ро чен мекунад:

\[ E(\boldsymbol{\theta}) = \langle\psi(\boldsymbol{\theta})| H |\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle. \]

Classical optimizer бошад бо тағйир додани параметрҳои \(\boldsymbol{\theta}\) кӯшиш мекунад ин энергияро кам кунад.

Аз ин рӯ objective function-е, ки optimizer мебинад, баҳодиҳии энергияест, ки схемаи квантӣ истеҳсол мекунад. Вақте ин баҳодиҳӣ садодор аст, optimizer метавонад gradient-и нодуруст, curvature-и нодуруст ё false minimum-и муваққатиро бинад.

Ansatz чист?

Ansatz оилаи quantum-state-и параметриест, ки VQE дар он ҷустуҷӯ мекунад. Ansatz-и хуб бояд ду талаботи зиддиро мувозинат диҳад:

• Он бояд ба қадри кофӣ expressive бошад, то ба ground state-и воқеии молекулавӣ ба қадри кофӣ наздик шавад.
• Он бояд барои иҷро дар шароити NISQ параметрҳои кам ва умқи схемаи паст дошта бошад.

Ansatz-и хеле заиф ба ground state намерасад. Ansatz-и хеле мураккаб бошад метавонад умқи схема, арзиши ченкунӣ ва душвории оптимизатсияро зиёд кунад.

Hamiltonian-и молекулавӣ чӣ гуна қисмбандӣ мешавад?

Манбаъ сохтори tVHA-ро аввал:

\[ H=H_{\alpha}+H_{\beta}+H_{\gamma} \tag{1} \]

муайян мекунад.

Дар ин ҷо:

• \(H_{\alpha}\): one-body terms,
• \(H_{\beta}\): Coulomb two-body terms,
• \(H_{\gamma}\): non-Coulomb two-body terms

-ро ифода мекунанд.

Манбаъ Муодилаи (2)-ро чунин медиҳад:

\[ H= \sum_{ij} h_{ij}a_i^{\dagger}a_j + \frac{1}{2} \sum_{ij} g_{ijk\ell} a_i^{\dagger}a_j^{\dagger}a_ja_i + \frac{1}{2} \sum_{\substack{ijk\ell\\i\neq k\\j\neq\ell}} g_{ijk\ell} a_i^{\dagger}a_j^{\dagger}a_ka_{\ell}. \tag{2} \]

\(a_i^\dagger\) fermionic creation operator ва \(a_j\) annihilation operator мебошад. \(h_{ij}\) намоиши рамзии one-electron integrals ва \(g_{ijk\ell}\) намоиши рамзии two-electron interaction coefficients аст.

Огоҳӣ оид ба нотатсияи манбаъ: Дар қисми Coulomb-и Муодилаи (2) аломати ҷамъ танҳо бар \(i,j\) навишта шудааст, дар ҳоле ки coefficient \(g_{ijk\ell}\) чор индекс дорад. Манбаъ дар ин нуқта индексҳои \(k,\ell\)-ро алоҳида шарҳ намедиҳад. Аз ин рӯ Verianla муодиларо хомӯшона ба сохтори маъмулии индексҳо табдил надода, намоиши манбаъро нигоҳ доштааст.

truncation threshold дар tVHA чиро ифода мекунад?

Пас аз он ки non-Coulomb two-body terms аз рӯйи бузургии аҳамият тартиб дода мешаванд, манбаъ cumulative truncation fraction-ро дар Муодилаи (3):

\[ p= \frac{1} {\sum_s |g_s^{\gamma}|} \sum_{s=1}^{s_{\mathrm{cut}}} |g_s^{\gamma}| \tag{3} \]

муайян мекунад.

Дар ин ҷо:

• \(g_s^\gamma\): non-Coulomb two-body coefficient,
• \(s\): шакле, ки чор fermionic index зери як индекси тартибдодашуда ҷамъ шудаанд,
• \(s_{\mathrm{cut}}\): cutoff барои terms-и нигоҳдошташуда,
• \(p\): cumulative interaction weight fraction-и нигоҳдошташуда.

Дар ин benchmark:

\[ p=0.999 \]

истифода шудааст.

Яъне тибқи таърифи манбаъ, кӯшиш шудааст terms-е нигоҳ дошта шаванд, ки %99,9 бузургии ҷамъии non-Coulomb two-body interaction strength-ро ташкил медиҳанд; саҳмҳои хурдтар барои кам кардани мураккабии схема бурида шудаанд.

Ин truncation бехарҷ нест. Operator-ҳои камтар метавонанд ба circuit-и камумқтар кумак кунанд, аммо бо танг кардани state space-е, ки ansatz ба он мерасад, метавонанд reachability deficit ба вуҷуд оваранд. Дар чунин ҳолат, ҳатто агар optimizer беайб кор кунад, ansatz метавонад ба ground state-и воқеии full-configuration-interaction пурра нарасад.

Чаро Fermionic Hamiltonian ба qubit operatorҳо табдил дода мешавад?

Азбаски электронҳо fermion мебошанд, electronic Hamiltonian бо creation/annihilation operators навишта мешавад. Gate-model quantum circuit бошад бо qubit ва Pauli operators кор мекунад. Дар таҳқиқот fermionic Hamiltonian:

\[ H_{\alpha} = \sum_{\alpha}c_{\alpha}P_{\alpha}, \qquad H_{\beta} = \sum_{\beta}c_{\beta}P_{\beta}, \qquad H_{\gamma} = \sum_{\gamma}c_{\gamma}P_{\gamma} \]

ба сохторҳои Pauli-term бо Jordan–Wigner transformation табдил дода мешавад.

Манбаъ қайд мекунад, ки Bravyi–Kitaev transformation низ дар асл имконпазир аст, аммо Jordan–Wigner mapping имкон медиҳад ҳар qubit state ҳамчун spin-orbital occupation number мустақимтар тафсир карда шавад.

Чаро Commuting Pauli groups истифода мешаванд?

Pauli terms-е, ки бо ҳам commute мекунанд, метавонанд дар як measurement context якҷоя баррасӣ шаванд. Манбаъ Pauli terms-ро бо graph coloring ба commuting groups ҷудо мекунад ва ба ин васила коҳиш додани сарбории ченкуниро ҳадаф мегирад.

Барои се Hamiltonian fragment commuting-set families:

\[ \mathcal{G}^{\alpha}, \qquad \mathcal{G}^{\beta}, \qquad \mathcal{G}^{\gamma} \]

нишон дода мешаванд.

Табдили unitary-и tVHA чӣ гуна сохта мешавад?

Манбаъ Муодилаи (4):

\[ U(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}) = \prod_{d=1}^{D} \left[ \prod_{G\in\mathcal{G}^{\alpha}} e^{i\alpha_d c_{\alpha,G}P_{\alpha}} \right] \left[ \prod_{G\in\mathcal{G}^{\beta}} e^{i\beta_d c_{\beta,G}P_{\beta}} \right] \left[ \prod_{G\in\mathcal{G}^{\gamma}} e^{i\gamma_d c_{\gamma,G}P_{\gamma}} \right]. \tag{4} \]

Дар ин ҷо:

• \(D\): шумораи discretization/Trotter-step ва аз ин рӯ параметре, ки ба circuit depth вобаста аст,
• \(\alpha_d,\beta_d,\gamma_d\): variational parameters, ки classical optimizer тағйир медиҳад,
• \(c_{\alpha,G},c_{\beta,G},c_{\gamma,G}\): Pauli-group coefficients,
• \(P\): Pauli operator-и дахлдор,
• \(\mathcal G\): commuting groups мебошанд.

Exponential evolution-и қисмҳои non-commuting Hamiltonian ба таври тақрибӣ бо Suzuki–Trotter-и дараҷаи якум, ки Lie–Trotter expansion низ номида мешавад, иҷро мегардад.

Манбаъ барои H₂ чӣ гуна quantum circuit мисол меорад?

Манбаъ дар Figure 1 барои масъалаи H₂ ground-state намунаи пурра decomposed-и tVHA circuit-и 4-qubit ва 3 trainable-parameter-ро нишон медиҳад.

Ин gate count танҳо ба мисоли H₂ circuit, ки дар манбаъ нишон дода шудааст, дахл дорад; барои молекулаҳои дигар фарз кардани ҳамин шумораи gate дуруст нест.

Hartree–Fock initialization чӣ гуна сохта мешавад?

Манбаъ оғозеро, ки ба ғояи adiabatic state preparation асос ёфтааст, чунин медиҳад:

\[ U_{\mathrm{ad}} = \prod_{d=1}^{D} e^{-i\frac{\tau}{D}H_0} e^{-i\frac{\tau}{D}\frac{d}{D}V} \tag{5} \]

Ба ҳамин шакл пешниҳод шудааст.

Дар ин ҷо:

• \(H_0\): non-interacting Hamiltonian component,
• \(V\): interacting component,
• \(\tau\): effective adiabatic-evolution parameter,
• \(d/D\): fractional weight-и interaction, ки бо пешрафти қадам зиёд мешавад,
• \(D\): шумораи discretization step.

Манбаъ параметрҳои ибтидоиро барои \(H_{\beta}\) ва \(H_{\gamma}\):

\[ \beta_d^{(0)} = \gamma_d^{(0)} = \frac{\tau}{D} \langle V\rangle_{\mathrm{HF}} \frac{d}{D} \]

чунин медиҳад.

Дар ҷумлаи манбаъ оид ба параметри ибтидоии \(H_{\alpha}\), \(\alpha_d^{(0)}\), \(\tau/D\) ва \(\langle H_\alpha\rangle_{\mathrm{HF}}\) якҷоя навишта шудаанд; аммо дар матни PDF-и нашршуда дар ин қисм аломати равшани баробарӣ дида намешавад. Аз ин рӯ, пайванди рамзие, ки гумшуда менамояд, аз ҷониби Verianla бо тахмин пур карда нашудааст.

Random initialization бошад:

\[ \theta_i^{(0)} \sim \mathcal U(0,1) \]

бо uniform distribution анҷом дода шудааст.

Чаро Finite-Shot Sampling Noise Манзараи Энергияро Вайрон Мекунад?

Finite-shot sampling noise ба баҳодиҳии энергия хатои тасодуфӣ меафзояд, зеро expectation value ба ҷои миёнаи ченкунии беохир аз шумораи маҳдуди quantum measurement outcome баҳо дода мешавад; вақте gradient-и воқеӣ хурд аст, ин хато метавонад gradient-ро пинҳон кунад, самти баръакс нишон диҳад, водиҳои ҳамворро ба таври сунъӣ ноҳамвор намояд ва ба optimizer минимумҳоеро нишон диҳад, ки воқеан вуҷуд надоранд.

Фарқи байни Statevector ва shot-based simulation

StatevectorEstimator expectation value-ро аз quantum state amplitudes ба таври детерминистӣ ҳисоб мекунад. Finite-shot sampling variance вуҷуд надорад.

Aer Estimator бошад measurement outcomes-ро тибқи қоидаи Born намуна мегирад. Вақте шумораи shot маҳдуд аст, агар ҳамон parameter point дубора чен карда шавад, гирифтани ҳамон estimated energy ҳатмӣ нест.

Манбаъ барои benchmark-и асосӣ:

\[ N_{\mathrm{shots}}=6144 \]

истифода кардааст.

Sampling variance умуман дар миқёси:

\[ \sigma^2\propto\frac{1}{N_{\mathrm{shots}}} \]

кам мешавад.

Аз ин рӯ standard deviation тақрибан рафтори:

\[ \sigma\propto\frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{shots}}}} \]

нишон медиҳад. Чор баробар зиёд кардани шумораи shot, агар шароити дигар яксон бошад, бо square-root scaling, ки standard deviation-ро тақрибан нисф мекунад, мувофиқат мекунад.

Energy-landscape slicing чӣ гуна анҷом дода шуд?

Муаллифон аввал бо sampling-и дақиқбаланд:

\[ N_{\mathrm{shots}}\ge10^6 \]

дар шароити reference parameter set:

\[ \boldsymbol{\theta}^{\ast} \]

ба даст овардаанд.

Сипас барои ду parameter direction-и интихобшуда:

\[ \delta_i,\delta_j\in[-\Delta,\Delta] \]

энергия дар тӯли grid дубора ҳисоб карда шуд ва дигар parameters дар optimum reference values собит нигоҳ дошта шуданд.

Ҳамин тавр муқоиса шудааст, ки optimizer ҳамон energy surface-и асосиро дар shot counts-и гуногун чӣ гуна “мебинад”.

Се вайроншавии асосии landscape, ки дар манбаъ мушоҳида шудааст

Паёми асосии Figure 2-и манбаъро метавон дар се механизм ҷамъбаст кард:

1. False minima: бо сабаби finite-shot fluctuations минтақаҳои пасти маҳаллӣ, ки дар сатҳи воқеӣ вуҷуд надоранд, пайдо шуда метавонанд.
2. Gradient reversal: noisy slope метавонад самти баръакси slope-и воқеиро нишон диҳад.
3. Noise-induced ruggedness: махсусан дар пояи quasi-degenerate ё flat valley, gradient-и хурди воқеӣ аз ҷониби sampling fluctuations пахш мешавад.

Дар чунин шароит optimizer метавонад ба ҷои deterministic descent дар дохили parameter space ҳаракати монанди stochastic drift ё random-walk нишон диҳад.

Barren plateau чист?

Barren plateau режими ҳамвори optimization landscape мебошад, ки дар он cost-function gradient-ҳои parameterized quantum circuit бо калон шудани система хеле хурд мешаванд ва ёфтани descent direction-и маънодор барои optimizer душвор мегардад.

Манбаъ заминаи назариявиро бо:

\[ \ell_{\theta} = \langle\rho(\theta),O\rangle, \qquad \rho(\theta)\in\mathcal B(\mathcal H) \tag{6} \]

ва:

\[ \operatorname{Var}_{\theta}(\ell_{\theta}) \in \mathcal O\left(\frac{1}{4^n}\right) \tag{7} \]

шарҳ медиҳад.

Дар ин ҷо:

• \(\rho(\theta)\): parameterized quantum state/operator representation,
• \(O\): observable,
• \(\ell_\theta\): loss, ки аз observable expectation ҳосил мешавад,
• \(n\): шумораи qubit.

Hilbert-space dimension:

\[ \dim\mathcal H=2^n \]

ва operator-space dimension:

\[ \dim\mathcal B(\mathcal H)=4^n \]

меафзоянд.

Манбаъ барои мисоли 12-qubit LiH:

\[ 4^{12}=16\,777\,216\approx1.6\times10^7 \]

бузургии operator-space dimension-ро таъкид мекунад.

Муодилаи (6)–(7) натиҷаи нави empirical scaling, ки дар ин benchmark чен шудааст, нест; ин чаҳорчӯбаи назариявиест, ки шарҳ медиҳад sampling noise ва мушкили barren-plateau якҷоя чаро метавонанд ҷиддӣ бошанд.

Оё Принсипи Вариатсионӣ Дар Ченкунии Finite-Shot Воқеан Вайрон Мешавад?

Exact quantum expectation value ҳадди поёнии вариатсиониро вайрон намекунад; \(E(\theta)\ge E_0\) ҳамоно амал мекунад, аммо estimator-и тасодуфии \(\hat E\), ки аз finite-shot measurement ҳисоб шудааст, дар атрофи expectation-и воқеӣ тақсим мешавад ва аз ин рӯ дар баъзе намунаҳо метавонад аз \(E_0\) поёнтар намоён шавад; манбаъ ибораи “variational-bound violation”-ро барои ҳамин вайроншавии омории намоён истифода мебарад.

Exact energy ва estimated energy як чиз нестанд

Принсипи вариатсионӣ мегӯяд:

\[ E(\boldsymbol{\theta}) = \langle\psi(\boldsymbol{\theta})| H |\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle \ge E_0 \]

.

\(E_0\) exact ground-state energy мебошад.

Дар ченкунии finite-shot он чизе, ки optimizer мебинад:

\[ \hat E = E+\text{sampling fluctuation} \]

stochastic estimator мебошад.

Агар variational energy-и воқеӣ аллакай ба ground state хеле наздик бошад, sampling fluctuation-и манфӣ метавонад аз energy gap-и боқимонда калонтар шавад. Он гоҳ:

\[ \hat E

намоён шуда метавонад.

Ин маънои “ground state-и физикии боз ҳам пасттар кашф шуд”-ро надорад.

Sampling noise аз ҷиҳати математикӣ чӣ гуна модел карда мешавад?

Манбаъ Муодилаи (8):

\[ \bar C(\boldsymbol{\theta}) = C(\boldsymbol{\theta}) + \epsilon_{\mathrm{sampling}} \tag{8} \]

мебошад.

Дар ин ҷо:

• \(C(\theta)\): objective-и воқеии expectation-based,
• \(\bar C(\theta)\): finite-shot noisy estimate,
• \(\epsilon_{\mathrm{sampling}}\): sampling error, ки mean-и он сифр қабул мешавад.

Манбаъ:

\[ \operatorname{Var} (\epsilon_{\mathrm{sampling}}) = \frac{\operatorname{Var}[C(\theta)]} {N_{\mathrm{shots}}} \]

робитаро истифода мебарад.

Hamiltonian variance чӣ гуна ҳисоб карда мешавад?

\[ \hat H = \sum_k c_kP_k \]

барои он манбаъ Муодилаи (9):

\[ \operatorname{Var}[C(\theta)] = \langle\hat H^2\rangle - \langle\hat H\rangle^2. \tag{9} \]

Ин фарқи байни моменти дуюми observable ва квадрати expectation value мебошад.

Манбаъ ҳамчунин қайд мекунад, ки ба ғайр аз Pauli-term shot noise, covariance contributions дар дохили ҳамон commuting measurement groups ба estimator variance саҳм мегузоранд.

Sampling noise floor чӣ гуна муайян мешавад?

Манбаъ effective noise floor-ро дар тӯли optimization trajectory чунин баҳогузорӣ мекунад:

\[ \sigma_{\mathrm{noise}} \approx \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{ \operatorname{Var}[C(\theta_i)] }{ N_{\mathrm{shots}} } } \tag{10} \]

ба ҳамин шакл тахмин карда мешавад.

Дар ин ҷо \(N\) шумораи нуқтаҳоест, ки дар тӯли trajectory баҳогузорӣ шудаанд.

Ҳангоми наздик шудан ба noise floor, пайдо кардани observed energy-и пасттар аз ҷониби optimizer дигар ҳатман маънои ёфтани parameters-и беҳтарро надорад; measured differences метавонанд ба ҳамон миқёси noise magnitude расида бошанд.

Дар Figure 3 noise floor бо шумораи shot чӣ гуна тағйир меёбад?

Бо зиёд шудани шумораи shot, noise floor кам мешавад; аммо аз сабаби scaling-и дорои хусусияти \(1/\sqrt{N_{\mathrm{shots}}}\), барои ба даст овардани ҳамон беҳбудии мутлақ тадриҷан shot-и бештар лозим мешавад. Арзёбии муаллифон дар бораи “diminishing returns пас аз тақрибан 1000 shot” маънои пурра қатъ шудани беҳбудиро надорад; он нишон медиҳад, ки фоидаи маржиналии дақиқӣ барои ҳар shot-и иловагӣ кам мешавад.

Чаро Population Mean Метавонад Аз Як Номзади “Беҳтарин” Боэътимодтар Бошад?

Вақте sampling noise тақрибан симметрӣ аст, миёнаи бисёр номзадҳо дар population метавонад measurement fluctuations-и мусбат ва манфиро муқобили ҳам хомӯш кунад; баръакс, интихоб кардани танҳо номзаде, ки пасттарин чен шудааст, эҳтимоли интихоби “good outlier”-и тасодуфан хеле паст ченшударо дар population-и калон зиёд карда, метавонад optimizer-ро водор кунад noise-ро пешрафти воқеӣ ҳисоб кунад.

Ҳангоми калон шудани Population ду таъсири муқобил метавонанд ҳамзамон ба вуҷуд оянд

Яке аз нозукиҳои муҳими ин таҳқиқот:

• Best-value selection: бо калон шудани population эҳтимоли ёфтани lucky noise sample-и хеле паст метавонад афзояд.
• Population mean: бо калон шудани population, fluctuations-и мустақил/бо коррелятсияи маҳдуд метавонанд дар миёна якдигарро беҳтар бекор кунанд.

Манбаъ барои population-average estimation error аз scaling-и:

\[ \mathrm{Error} \propto \frac{\sigma_{\mathrm{noise}}}{\sqrt{\lambda}} \]

истифода мекунад.

Дар ин ҷо \(\lambda\) population size мебошад.

Ин ифода набояд ҳамчун “ҳадди фундаменталии физикии sampling noise шикаста шуд” тафсир карда шавад. Азбаски маълумоти оморӣ аз population member-ҳои бештар якҷо карда мешавад, mean estimate нисбат ба як noisy evaluation дақиқтар мегардад.

Се стратегияи noise-floor, ки манбаъ муқоиса мекунад

1. Shot escalation: зиёд кардани шумораи shot барои ҳар evaluation.
2. Selective high-shot reevaluation: дубора чен кардани candidates-и зоҳиран беҳтарин бо shot-и бештар.
3. Population averaging: истифодаи CMA-ES steady-state population statistics.

Shot escalation variance-ро мустақиман кам мекунад, аммо хароҷотро зиёд менамояд. Selective reevaluation, агар номзади интихобшуда аллакай lucky outlier бошад, хатари selection bias дорад. Population mean бошад бо истифода аз симметрияи sampling fluctuations кӯшиш мекунад bias-и як мушоҳидаи minimum-ро кам кунад.

Муаллифон аз қобилияти CMA-ES барои наздик шудан ба steady-state distribution, ки noise floor муайян мекунад, истифода мебаранд; вале равшан таъкид мекунанд, ки ин расидан ба global ground-state optimum-ро кафолат намедиҳад.

Таҳлили иловагии Population size чиро нишон дод?

Appendix C:

\[ \lambda=7,\ 25,\ 50,\ 100 \]

барои population sizes таҳлили иловагӣ пешниҳод мекунад.

Ҳатто дар шароити \(\lambda=7\), iteration mean нисбат ба як best-value selection тамоюли хатои пасттар нишон медиҳад.

Дар \(\lambda=25\) ва махсусан \(\lambda=50\), population mean хеле наздик ба theoretical/empirical noise floor рафтор мекунад.

Барои \(\lambda=100\) дар режими 30.000-shot манбаъ гузориш медиҳад, ки тақрибан дар iteration 5 зуд ба атрофи zero-error расида, то тақрибан iteration 20 дар ин минтақа мондааст ва баъдтар нишонаҳои noise-induced divergence/overfitting пайдо шудаанд.

Аз ин рӯ таҳқиқот ба хулосаи “population ҳар қадар калон бошад, ҳамеша ҳамон қадар беҳтар” намерасад. Муаллифон пешниҳод мекунанд, ки population-size window-и оптималӣ вуҷуд дошта метавонад, аммо як қимати оптималии \(\lambda\)-ро, ки барои ҳамаи масъалаҳо дуруст бошад, муайян намекунанд.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Benchmark рафтори ҳашт classical optimizer-ро дар шароити exact statevector ва finite-shot sampling бо вариантҳои Hartree–Fock ва random initialization дар tVHA circuits, ки дар инфрасохтори classical high-performance computing симулятсия шудаанд, муқоиса мекунад.

Системаҳои молекулавӣ

Footnote-и манбаъ барои LiH active-space ибораи orbitals [1,2,3] ва 2 alpha + 2 beta electrons-ро истифода мебарад. Ин намоиш ҳамон тавре, ки дар манбаъ дода шудааст, нигоҳ дошта шудааст.

STO-3G basis set чӣ маъно дорад?

STO-3G minimal Gaussian basis family мебошад, ки дар молекулярӣ orbital calculations истифода мешавад. Манбаъ онро барои ҳамаи системаҳо ҳамчун basis-и яксон истифода бурда, муқоисаи optimizer-ҳоро дар як electronic-structure approximation-и асосӣ мегузаронад.

Чаро Active-space reduction муҳим аст?

Равиши Active-space ба ҷои ҳамаи molecular orbitals ҳисобро танҳо дар orbitals-и интихобшудае анҷом медиҳад, ки барои electron correlation муҳиманд. Бо ин роҳ:

• талаботи qubit/circuit,
• андозаи parameter-space,
• effective landscape, ки optimizer бояд ҷустуҷӯ кунад

кам шуда метавонад.

Аммо натиҷаи active-space ҳамон масъалае нест, ки ҳалли full molecular Hilbert-space мебошад. Гарчанде манбаъ нишон медиҳад, ки LiH active-space noise robustness-ро зиёд мекунад, онро ҳамчун “масъалаи full LiH пурра ва дақиқтар ҳал шуд” тафсир кардан дуруст нест.

Optimizer-ҳои муқоисашуда

Ёддошт оид ба таснифи SLSQP: Дар Introduction-и манбаъ COBYLA ва SLSQP якҷоя зери ибораи “derivative-free techniques” зикр мешаванд. Баръакс, Appendix A ва Table 3 SLSQP-ро ҳамчун gradient-based method тасниф карда, сохтори sequential quadratic programming-ро шарҳ медиҳанд. Verianla дар ҷадвали асосӣ таснифи муфассалтари Appendix A/Table 3-ро истифода бурда, ифодаи фарқкунандаи Introduction-ро пинҳон накардааст.

Чанд simulation-и мустақил иҷро шуд?

Барои ҳар ҷуфти optimizer–molecule чор configuration ва барои ҳар configuration 10 run мавҷуд аст:

Дар маҷмӯъ:

\[ 1280 \]

run-и мустақил иҷро шудааст.

Pseudo-random seeds собит карда нашудаанд. Тибқи манбаъ, бо ин роҳ starting points, stochastic steps-и optimizer ва shot sampling дар ҳар trial ҳамчун stochastic draw-и мустақил ба амал омадаанд.

Ин интихоб барои арзёбии ensemble-level robustness маънодор аст; аммо бозтавлиди bit-bit-и як run-ро нисбат ба истифодаи seed-и собит душвортар мекунад.

Optimizer hyperparameters чӣ гуна интихоб шуданд?

Манбаъ қайд мекунад, ки optimizer hyperparameters барои ҳар molecule алоҳида tune нашудаанд; баръакс, defaults-и маъмултарини implementations-и дахлдор интихоб шудаанд. Ҳадаф кам кардани case-by-case tuning bias байни усулҳо мебошад.

Дар иваз, Appendix E барои stopping/convergence criteria tolerance-ҳои равшан медиҳад.

Convergence criteria

Меъёри SPSA slope дар Appendix E

Манбаъ Муодилаи (18):

\[ \mathrm{slope} = \frac{1}{N} \frac{df_k}{dk} > 0 \tag{18} \]

ро истифода мебарад.

Slope бо linear regression бар \(N=100\) objective values-и охирин муайян карда мешавад.

Холигии Reproducibility: Манбаъ мегӯяд maximum function-evaluation limit барои ҳамаи optimizers яксон аст; аммо дар матни manuscript-и боршуда арзиши рақамии ин maximum-и умумӣ ба таври намоён гузориш нашудааст. Дар саҳифаи 11 низ дар ибораи “running up to optimization iterations” шумораи iteration гум аст. Ин арзиш аз ҷониби Verianla тахмин карда нашудааст.

Software stack

Инфрасохтори ҳисоббарорӣ

Симулятсияҳо дар IT4Innovations Barbora supercomputer иҷро шудаанд. Манбаъ системаро чунин тавсиф мекунад:

• 192 standard node: барои ҳар node 2 × 18-core Intel Xeon ва 192 GB RAM,
• 8 GPU node: 2 × 12-core Intel Xeon + 4 × NVIDIA V100,
• 1 fat node: 8 × 16-core Intel Xeon + 6 TB RAM,
• 200 Gb/s Infiniband HDR,
• 310 TB SCRATCH storage ва 28 GB/s throughput

.

Runs ба таври job-level embarrassingly parallel ҳамчун Slurm jobs тақсим карда шуданд. Барои LiH ва H₄ гурӯҳҳои 5–10 concurrent run истифода шуданд.

Манбаъ total computational consumption-ро тақрибан:

\[ 4500\ \text{node-hour} \]

гузориш мекунад.

Чаро High-shot reevaluation анҷом дода шуд?

Noisy optimizer баъзан бо сабаби lucky sampling fluctuation candidate parameters-еро интихоб мекунад, ки аз воқеият хеле беҳтар менамоянд. Figure 4–7 captions нишон медиҳанд, ки candidate parameters, ки ҳангоми optimization ёфт шудаанд, бо:

\[ 10^5\ \text{shot} \]

дубора баҳогузорӣ шудаанд.

High-shot reevaluation маънои аз нав иҷро кардани optimizer-ро надорад. Ҳадаф ин аст, ки энергияи ҳамон parameter point бо sampling variance-и камтар дубора чен карда шавад ва муайян гардад, ки муваффақияти намоён аз parameter quality-и воқеӣ аст ё аз low-shot fluctuation.

Натиҷаҳои H₂

Дар шароити statevector-и бесадо H₂ осонтарин benchmark мебошад.

Манбаъ:

• барои BFGS, CMA-ES, COBYLA, Nelder–Mead ва PSO errors-и тақрибан поёнтар аз \(10^{-13}\)–\(10^{-14}\) Ha,
• барои GD + HF тақрибан \(10^{-6}\) Ha,
• барои SPSA тақрибан \(3\times10^{-5}\) Ha

гузориш мекунад.

Дар ин режим фарқи асосии усулҳо бештар convergence speed аст, на final accuracy.

Барои high-shot corrected values дар зери sampling noise манбаъ:

SLSQP дар шароити sampling-noise ҳатто барои H₂ ҳам ба таври боэътимод converge накардааст.

Огоҳии тартиббандии дохили манбаъ: Матни манбаъ менависад “lowest corrected mean errors come from GD ... followed by SPSA ... and CMA-ES”. Аммо ҳангоми муқоисаи рақамҳои додашуда:

\[ 4.1\times10^{-4} < 4.5\times10^{-4} < 6.6\times10^{-4}. \]

Пас тартиби бузургии рақамӣ SPSA, CMA-ES, GD мебошад. Verianla ҷумлаи манбаъро бо қарори худ аз нав тартиб надода, онро ҳамчун “манбаъ чунин гуфт” пешниҳод намекунад; ҳам ифодаи матнӣ ва ҳам қиматҳои рақамӣ намоён нигоҳ дошта мешаванд.

Натиҷаҳои H₄

H₄ chain Hamiltonian ва optimization landscape-и мураккабтар месозад.

Дар шароити statevector манбаъ:

• барои BFGS, COBYLA ва SLSQP тақрибан \(7\times10^{-3}\) Ha,
• барои GD тақрибан \(2,5\times10^{-2}\) Ha

сатҳҳои хаторо гузориш мекунад.

Пас аз sampling-noise high-shot reevaluation:

Огоҳии тартиббандии дохили манбаъ: Матн пас аз CMA-ES тартиби “GD ва PSO”-ро месозад; аммо дар рақамҳои додашуда қимати \(2,7\times10^{-2}\) Ha-и PSO аз \(3,01\times10^{-2}\) Ha-и GD хурдтар аст.

Натиҷаҳои LiH full-space

Манбаъ мегӯяд, ки дар шароити statevector BFGS, CMA-ES, COBYLA, Nelder–Mead ва SPSA ба тақрибан:

\[ 4\times10^{-3}\ \mathrm{Ha} \]

расидаанд, GD тақрибан дар \(2\times10^{-2}\) Ha ва PSO тақрибан дар \(9\times10^{-3}\) Ha мондааст.

Манбаъ дар ҳамон ҷумла барои гурӯҳи аввал ибораи “sub-millihartree precision”-ро истифода мебарад.

Аммо:

\[ 4\times10^{-3}\ \mathrm{Ha} = 4\ \mathrm{mHa}. \]

“Sub-millihartree” аз ҷиҳати математикӣ маънои камтар аз 1 mHa, яъне поёнтар аз \(10^{-3}\) Ha-ро дорад. Пас сифате, ки манбаъ истифода кардааст, бо рақами тақрибан \(4\times10^{-3}\) Ha, ки дар ҳамон ҷумла дода шудааст, мувофиқат намекунад. Verianla инро бо асос гирифтани рақам пинҳон намекунад.

Sampling noise + high-shot reevaluation:

Full-space LiH яке аз системаҳое мебошад, ки дар шароити larger parameter-space population-based CMA-ES дар зери sampling noise натиҷаи устувортарин додааст.

Натиҷаҳои LiH active-space

Active-space reduction масъалаи optimization-ро ба таври назаррас осон мекунад.

Дар шароити statevector CMA-ES, PSO, Nelder–Mead ва SPSA ба:

\[ <2\times10^{-4}\ \mathrm{Ha} \]

мерасанд.

BFGS ва COBYLA низ тақрибан дар \(2\times10^{-4}\) Ha мебошанд.

Sampling-noise high-shot reevaluation:

Манбаъ дар параграфи баъдии literature-comparison барои SPSA + HF инчунин \(6,5\times10^{-4}\) Ha ва 486 function evaluation гузориш мекунад. Аммо дар параграфи натиҷаҳои high-shot-и Section 6 \(3,9\times10^{-4}\) Ha навишта шудааст. Манбаъ равшан шарҳ намедиҳад, ки ин ду рақам аз evaluation stage, aggregation ё reporting choice-и гуногун бармеоянд ё не. Аз ин рӯ, ду қимат ба таври маҷбурӣ бо ҳам муттаҳид карда нашудаанд.

Фарқи асосии Full LiH ва active-space LiH

Манбаъ мегӯяд active-space reduction optimizer demand ва noise sensitivity-ро тақрибан як order of magnitude кам мекунад.

Дар Discussion барои COBYLA sampling пас аз active-space truncation:

\[ 95.2\% \]

error reduction гузориш шудааст.

Ин фоиз ба comparison-и мушаххаси LiH/COBYLA дахл дорад; он набояд ҳамчун беҳбудии умумии %95,2 барои ҳамаи optimizers, молекулаҳо ё quantum hardware-и воқеӣ тафсир шавад.

Figure 8 чиро нишон медиҳад?

Figure 8-и манбаъ final errors-и чор системаро барои ҳамаи optimizers дар шаш evaluation category муқоиса мекунад:

• Random Init Statevector,
• HF Init Statevector,
• Random Init Sampling Noise,
• HF Init Sampling Noise,
• Random-Sampling High-Shot Reevaluation,
• HF-Sampling High-Shot Reevaluation.

Bars mean final error-ро ва error bars тибқи caption-и манбаъ қиматҳои %95 confidence interval-ро ифода мекунанд.

Манбаъ ҳамаи bar heights-и Figure 8-ро ҳамчун numeric table-и алоҳида гузориш намекунад. Аз ин рӯ Verianla бо хондани пикселҳо аз график рақамҳои нави дорои дақиқии сохта эҷод накардааст.

Натиҷаи асосии optimizer дар манбаъ чӣ гуна бояд ҷамъбаст шавад?

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Optimizer ranking аз мавҷудияти sampling noise сахт вобаста аст.
• Дар системаҳои хурди бесадо усулҳои gradient/quasi-Newton метавонанд хеле самаранок бошанд.
• Finite-shot sampling метавонад gradient ва curvature estimates-ро вайрон кунад.
• SLSQP дар шароити tested sampling-noise divergence-и ҷиддӣ нишон додааст.
• BFGS бартарии қавии худро дар шароити noiseless зери sampling noise асосан аз даст додааст.
• CMA-ES, PSO ва SPSA дар larger/noisy benchmark-ҳо устувортар буданд.
• Hartree–Fock initialization дар системаҳои хурд аксаран кумак мекунад, вале бартарии он бо complexity кам мешавад.
• Random initialization барои баъзе population-based methods метавонад бо HF баробар ё беҳтар бошад.
• Active-space reduction optimization ва noise robustness-ро дар LiH ба таври назаррас беҳтар кардааст.
• Finite-shot energy estimates метавонанд аз exact ground-state lower bound поёнтар намоён шаванд.
• High-shot reevaluation нишон додааст, ки қисми натиҷаҳои “хуб”-и low-shot sampling artifact мебошанд.
• Population mean метавонад нисбат ба single best candidate selection хатари noise-overfitting-ро кам кунад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот ҳашт optimizer-ро дар quantum computer-и воқеӣ benchmark накардааст.
• Нишон дода нашудааст, ки CMA-ES дар ҳамаи масъалаҳои VQE ҳатман беҳтарин optimizer аст.
• Нишон дода нашудааст, ки sampling noise аз ҷиҳати физикӣ quantum states-и воқеии пасттар аз ground-state energy месозад.
• Variational principle барои exact expectation values рад нашудааст.
• Gate infidelity, coherent error, depolarizing noise, amplitude damping, thermal relaxation ё readout error benchmark нашудаанд.
• Исбот нашудааст, ки тартиби optimizer дар зери hardware noise-и воқеӣ ҳамон мемонад.
• Quantum computational speedup ё quantum advantage нишон дода нашудааст.
• Натиҷаҳои STO-3G ва molecular systems-и хурди таҳқиқшуда ба системаҳои калони кимиёвӣ худкорона умумӣ карда намешаванд.
• Нишон дода нашудааст, ки бо зиёд шудани population size самаранокӣ бидуни маҳдудият беҳтар мешавад.
• Тавсияҳои optimizer дар Source Table 2 ба монанди “мувофиқ барои hardware” натиҷаи мустақими hardware benchmark нестанд.

Маҳдудиятҳои асосии таҳқиқот

Вақте манбаъ ва усул якҷоя баҳогузорӣ мешаванд, маҳдудиятҳои асосӣ инҳоянд:

• Quantum circuits дар компютери классикӣ/HPC симулятсия шудаанд.
• Main noisy condition танҳо finite-shot sampling noise мебошад.
• Real-device gate/readout/calibration noise дохил нашудааст.
• STO-3G minimal basis истифода шудааст.
• Molecular systems-и таҳқиқшуда бо H₂, H₄ ва LiH маҳдуданд.
• Random seeds собит нестанд.
• Ҳамаи optimizer hyperparameters ба molecule-specific tuning тобеъ нашудаанд.
• Қимати numeric-и common maximum function-evaluation дар матни manuscript ба таври намоён гузориш нашудааст.
• Ҳамаи bar values-и Figure 8 ҳамчун numeric table дода нашудаанд.
• tVHA truncation ҳангоми кам кардани circuit depth метавонад reachability deficit эҷод кунад.
• CMA-ES steady-state stability кафолати global optimum нест.

Самтҳои таҳқиқоти оянда

Муаллифон дар оянда таҳқиқи:

• noise-adaptive switching байни fast gradient search ва population methods,
• dynamic shot allocation мувофиқи measured noise floor,
• noise-aware stopping rules,
• thermal relaxation,
• amplitude damping,
• readout assignment errors,
• hardware-backed calibration

барин noise conditions-и воқеъбинона ва hybrid optimization strategies-ро пешниҳод мекунанд.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Numerical Optimization Strategies for the Variational Hamiltonian Ansatz in Noisy Quantum Environments

Муаллифон: Silvie Illésová; Vojtěch Novák; Tomáš Bezděk; Clemens Possel; Martin Beseda.

Тартиби муаллифон: Тартиби манбаъ нигоҳ дошта шудааст.

Саҳми баробар: Дар v4 PDF-и боршуда баёнияи равшани equal-contribution/equal-first-author дида намешавад.

Corresponding author: Martin Beseda.

Corresponding-author e-mail: martin.beseda@univaq.it

Муассиса 1: Gran Sasso Science Institute, L’Aquila, Italy.

Муассиса 2: Department of Applied Mathematics, Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, VSB-Technical University of Ostrava, Ostrava, Czech Republic.

Муассиса 3: IT4Innovations National Supercomputing Center, VSB–Technical University of Ostrava, Ostrava, Czech Republic.

Муассиса 4: Department of Computer Science, Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, VSB–Technical University of Ostrava, Ostrava, Czech Republic.

Муассиса 5: Department of Mathematics, TUM School of Computation, Information and Technology, Technical University of Munich, Garching bei München, Germany.

Муассиса 6: Fraunhofer Institute for Chemical Technology ICT, Pfinztal, Germany.

Муассиса 7: Department of Physics, Saarland University, Saarbrücken, Germany.

Муассиса 8: Department of Information Engineering, Computer Science and Mathematics, University of L’Aquila, L’Aquila, Italy.

Платформа: arXiv.

arXiv: arXiv:2505.22398v4 [quant-ph].

Аввалин ирсоли arXiv: 28 майи 2025.

Версияи боршуда: v4, 22 январи 2026.

DOI: 10.48550/arXiv.2505.22398.

Пайванди расмӣ: https://arxiv.org/abs/2505.22398

Навъи манбаъ: Preprint/manuscript-и назариявӣ/ҳисоббарории quantum-chemistry ва numerical-optimization.

Ҳолати peer review: Манбаи боршуда версияи arXiv preprint мебошад. PDF аз IOP Publishing manuscript template истифода мебарад; аммо Journal Name, volume/year/article-number ва received/revised dates дар ҳолати placeholder мебошанд. Дар ин баррасӣ барои exact title сабти тасдиқшудаи ниҳоии peer-reviewed journal publication пайдо нашуд, бинобар ин мақола ҳамчун нашри ниҳоии peer-reviewed пешниҳод нашудааст.

Ёддошти шаблони IOP: Дар PDF placeholders ба монанди “Journal vv (yyyy) aaaaaa”, “Journal Name”, “dd Month yyyy” мавҷуданд. Онҳо ҳамчун journal metadata-и библиографии воқеӣ истифода нашудаанд.

Ёддошт оид ба шиносоии файл: Гарчанде номи файли боршуда ифодаи шабеҳи формати Research Square DOI дорад, шиносоии дохилии PDF arXiv:2505.22398v4 ва PDF metadata DOI 10.48550/arXiv.2505.22398 мебошад. Азбаски сабти Research Square дар ин баррасӣ аз саҳифаи боэътимоди расмӣ алоҳида тасдиқ нашуд, он ҳамчун DOI-и асосӣ истифода нашудааст.

Иҷозатнома: PDF metadata иҷозатномаи Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)-ро нишон медиҳад.

Калидвожаҳо: Variational Quantum Eigensolver; Noisy optimization; CMA-ES; Truncated Variational Hamiltonian Ansatz; Quantum chemistry.

Навъи таҳқиқот: Classical HPC бо quantum-circuit simulation ва optimizer benchmarking.

Quantum hardware-и воқеӣ: Истифода нашудааст.

Модели асосии noise: Finite-shot sampling noise.

Навъҳои noise-и дохилнашуда: coherent/stochastic gate errors, thermal relaxation, amplitude damping ва readout bias ба benchmark-и асосӣ дохил нашудаанд.

Системаҳои молекулавӣ: H₂, linear H₄ chain, LiH full space, LiH active space.

Basis: STO-3G.

Hamiltonian mapping: Jordan–Wigner.

tVHA truncation: \(p=0.999\), яъне мувофиқи тафсири манбаъ cumulative %99,9-и non-Coulomb two-body interaction strength нигоҳ дошта мешавад.

Sampling budget-и асосӣ: 6144 shot / function evaluation.

Landscape reference sampling: \(N_{\mathrm{shots}}\ge10^6\).

High-shot reevaluation: дар Figure 4–7 \(10^5\) shot.

Шумораи run-и мустақил: 1280.

Random seeds: Собит карда нашудаанд.

Optimizer tuning: Манбаъ мегӯяд, ки ба ҷойи case-by-case hyperparameter optimization аз implementation defaults-и маъмул истифода шудааст; stopping tolerances-и алоҳида дар Appendix E гузориш шудаанд.

Инфрасохтори ҳисоббарорӣ: Barbora supercomputer, Bull Sequana X cluster; дар маҷмӯъ тақрибан 4500 node-hour.

Нармафзор: Qiskit 1.0.2; qiskit_algorithms 0.3.1; qiskit_nature 0.7.2; qiskit_aer 0.14.2; PySCF 2.6.0; SciPy 1.15.2; cma 3.3.0.

Data Availability: Натиҷаҳои ҳисобшуда ва scripts-и тавлидкунандаи онҳо дар Zenodo ба таври public мубодила шудаанд.

Zenodo DOI: 10.5281/zenodo.15526170.

Conflict of Interest: Муаллифон изҳор мекунанд, ки competing financial interests ё personal relationships-и маълум вуҷуд надоранд.

Ethical Statement: Азбаски Human participants, human data ё animal experimentation вуҷуд надошт, ethical approval талаб нашуд.

Funding / дастгирӣ: Clemens Possel аз ҷониби Baden-Württemberg Ministry of Economic Affairs, Labour and Tourism тавассути лоиҳаҳои QC-4-BW, QC-4-BW II ва KQCBW24 дастгирӣ шудааст. Tomáš Bezděk дастгирии SGS No. SP2025/049 ва Vojtěch Novák дастгирии SGS No. SP2025/072 гирифтаанд. Таҳқиқот инчунин аз ҷониби Czech Ministry of Education, Youth and Sports тавассути e-INFRA CZ ID:90254 дастгирӣ шудааст.

Саҳми муаллифон: Дар манбаъ CRediT author-contribution breakdown-и алоҳида вуҷуд надорад.

Омор: Барои ҳар configuration 10 independent run анҷом дода шудааст. Figure 8 mean final errors ва %95 confidence intervals-ро нишон медиҳад. Дар манбаъ барои ҷуфтҳои optimizer ҷадвали фарогири formal p-value significance-testing гузориш нашудааст.

Ёддошти нотацияи Equation (2): Дар Coulomb term ҷамъ \(\sum_{ij}\) аст, дар ҳоле ки coefficient \(g_{ijk\ell}\) чаҳор индекс дорад. Манбаъ ин навиштро алоҳида шарҳ намедиҳад; Verianla индексҳои муодиларо бо фарзия тағйир надодааст.

Ёддошти тартиби натиҷаҳои H₂: Манбаъ GD + HF \(6,6\times10^{-4}\) Ha-ро аввал ҳамчун “lowest” менависад, вале барои SPSA + HF \(4,1\times10^{-4}\) Ha ва CMA-ES \(4,5\times10^{-4}\) Ha numeric values-и хурдтар гузориш мекунад.

Ёддошти тартиби H₄: Матн баъд аз CMA-ES тартиби GD ва PSO-ро истифода мебарад, дар ҳоле ки арзиши PSO \(2,7\times10^{-2}\) Ha ва арзиши GD \(3,01\times10^{-2}\) Ha аст.

Ёддошти LiH unit-language: Параграфи Full-space statevector арзишҳои тақрибан \(4\times10^{-3}\) Ha-ро “sub-millihartree” меномад; чун \(4\times10^{-3}\) Ha = 4 mHa аст, рақам ва тавсиф мувофиқат намекунанд.

Ёддошти таснифи SLSQP: Дар Introduction дар заминаи derivative-free methods зикр мешавад, аммо дар Appendix A ва Table 3 ҳамчун gradient-based constrained optimizer муайян шудааст.

Ёддошти SPSA active-space: Main result paragraph натиҷаи high-shot-и \(3,9\times10^{-4}\) Ha медиҳад, аммо literature-comparison paragraph-и баъдӣ \(6,5\times10^{-4}\) Ha ва 486 function evaluations-ро медиҳад. Манбаъ фарқро муфассал шарҳ намедиҳад.

Ёддошти Maximum function-evaluation: Гуфта мешавад, ки барои ҳамаи optimizers як maximum limit истифода шудааст, аммо дар manuscript text-и боршуда максимуми умумии ададӣ ба таври равшан дида намешавад.