Масофаи интиқоли оптималии квантӣ \(W_{C_E,p}\) бузургии математикии монанд ба масофа аст, ки кӯшиш мекунад робитаи байни ду матритсаи зичиро бо роҳи камина кардани қимати интизории оператори хароҷот дар ҳолатҳои quantum coupling-и дорои маргиналҳои муайян чен кунад. Ин кори Tomasz Miller conjecture-еро, ки Friedland ва ҳамкоронаш соли 2022 барои матритсаи махсуси хароҷоти квантӣ пешниҳод карда буданд ва тибқи он ин бузургӣ дар ҳамаи андозаҳо масофаи ҳақиқӣ хоҳад буд, бо як оилаи аналитикии мисолҳои муқобил месанҷад ва нишон медиҳад, ки нобаробарии секунҷа барои матритсаҳои зичии диагоналии сеандоза вайрон мешавад.

Матритсаи махсуси хароҷот дар маркази таҳқиқот \(C^Q\) мебошад, ки projector ба antisymmetric subspace аст. Дар кори қаблӣ conjecture шуда буд, ки quantum 2-Wasserstein semidistance, ки бо истифодаи \(C^Q\) муайян мешавад, triangle inequality-ро дар ҳар андозаи фазои Hilbert қонеъ мекунад. Аммо Miller барои оилаи муайяни матритсаҳои зичии диагоналии \(\rho\), \(\sigma\) ва \(\tau\)

\[ W(\rho,\tau) > W(\rho,\sigma)+W(\sigma,\tau) \]

буданро ба таври аналитикӣ исбот мекунад. Азбаски масофа бояд нобаробарии секунҷаро қонеъ кунад, ҳатто ҳамин нобаробарии қатъии яксамта нишон медиҳад, ки ин бузургӣ дар ҳолати умумӣ metric буда наметавонад.

Мисолҳои муқобил танҳо бо се андоза маҳдуд намешаванд. Азбаски матритсаҳои зичии сеандозаи дар манбаъ додашударо бо илова кардани блокҳои сифр ба андозаҳои баландтар ҷойгир кардан мумкин аст, ҳамин масъала ба ҳамаи андозаҳои \(n>3\) интиқол меёбад. Дар айни ҳол, таҳқиқот ҳолатҳои махсуси қаблан исботшударо аз байн намебарад: ҳолати \(n=2\) ва ҳолатҳои махсусе, ки ҳангоми маҳдуд шудан танҳо ба pure states бо шарти зарурии \(p\ge2\) triangle inequality қонеъ карда мешавад, ҳифз мешаванд.

Саҳми муҳими дуюми таҳқиқот формулаи умумиест, ки масъалаи quantum transport байни матритсаҳои зичии диагоналӣ, яъне дар ин замина “classical”, ба каминасозӣ бар рӯи coupling-ҳои классикӣ коҳиш медиҳад. Ин формула, ки аз Proposition 1 ба даст меояд, инчунин равшан мекунад, ки фарқи байни quantum ва classical transport аз куҷо пайдо мешавад: аъзои off-diagonal дар матритсаи quantum coupling метавонанд ба хароҷот саҳми коҳишдиҳандае дар шакли \(\sqrt{\gamma_{ij}\gamma_{ji}}\) диҳанд.

“Quantum” дар ин ҷо маънои онро надорад, ки ҳисоббарорӣ дар компютери физикии квантӣ анҷом дода шудааст. Таҳқиқот дар сатҳи назарияи иттилооти квантӣ ва физикаи математикӣ аст; озмоиши лабораторӣ, quantum processor ё hardware истифода нашудааст. Натиҷаҳо аз матритсаҳои зичӣ, tensor-product spaces, partial traces, projectors, classical/quantum couplings ва нобаробариҳои аналитикӣ ба даст омадаанд.

Масъалаи интиқоли оптималии квантӣ чист?

Масъалаи интиқоли оптималии квантӣ масъалаи оптимизатсияи математикӣ аст, ки идеяи мувофиқ кардани ду тақсимоти эҳтимолиятро аз масъалаи classical optimal transport ба матритсаҳои зичӣ мегузаронад ва дар байни ҳолатҳои квантии bipartite, ки маргиналҳои собити ду ҳолати квантиро нигоҳ медоранд, coupling-и дорои камтарин хароҷотро меҷӯяд.

Идеяи интиқоли оптималии классикӣ

Дар масъалаи classical optimal transport баррасӣ мешавад, ки “масса” байни ду probability distribution чӣ гуна аз як тақсимот ба тақсимоти дигар интиқол дода мешавад. Coupling тақсимоти эҳтимолияти муштаракест, ки тақсимоти оғозӣ ва ҳадафро ҳамчун маргиналҳо нигоҳ медорад. Агар ҳар интиқоли \(i\rightarrow j\) хароҷоти \(E_{ij}\) дошта бошад, масъалаи оптимизатсия coupling-еро меҷӯяд, ки total transport cost-ро камина мекунад.

Wasserstein distance яке аз оилаҳои машҳуртарини масофа дар ин равиш аст. Аммо ин мақола тамоми назарияи классикии Wasserstein-ро мустақиман намеомӯзад; масъалаи асосӣ ин аст, ки аналоги квантии пешниҳодкардаи Friedland ва ҳамкоронаш барои матритсаҳои зичӣ воқеан metric аст ё не.

Матритсаи зичӣ чист?

Матритсаи зичӣ \(\rho\) оператори мусбати ниммуайян бо изи 1 аст, ки ҳолати квантиро ифода мекунад. Ҳолатҳои соф метавонанд ҳамчун rank-1 projector ифода шаванд, дар ҳоле ки mixed states омехтаи омории чанд ҳолати эҳтимолиро дар бар мегиранд.

Хусусияти муҳими мисолҳои муқобили ин мақола он аст, ки матритсаҳои зичии истифодашуда диагоналӣ мебошанд. Масалан:

\[ \rho=\operatorname{diag}(1-s,s,0) \]

ифодаи боло density matrix аст, ки дар computational basis танҳо diagonal entries дорад. Diagonal entries манфӣ нестанд ва ҷамъашон 1 аст. Аз ин рӯ, ҳамин entries-ро ҳамзамон метавон ҳамчун probability vector хонд.

Манбаъ чунин diagonal states-ро “classical states” меномад. Сабаб он аст, ки дар basis-и интихобшуда аъзои off-diagonal quantum coherence вуҷуд надоранд.

Фарқи муҳими semidistance аз metric-и ҳақиқӣ чист?

Дар заминаи ин таҳқиқот \(W_{C_E,p}\) semidistance-и монанд ба масофа аст; барои metric-и ҳақиқӣ будан, он ба ғайр аз дигар хосиятҳои зарурӣ бояд нобаробарии секунҷаро низ қонеъ кунад. Мисоли муқобили Miller маҳз ноком шудани нобаробарии секунҷаро нишон медиҳад ва бинобар ин даъвои metric-и умумиро аз байн мебарад.

Барои metric-и \(d\), вақте се нуқта ё ҳолат \(A,B,C\) интихоб мешаванд:

\[ d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C) \]

бояд иҷро шавад.

Маънои интуитивӣ чунин аст: масофаи мустақим аз \(A\) то \(C\) аз ҷамъбасти роҳе, ки аз тариқи \(B\) мегузарад, дарозтар буда наметавонад.

Дар ин таҳқиқот бошад барои \(\rho,\sigma,\tau\)-и муайян нобаробарии қатъӣ дар самти баръакс ба даст меояд:

\[ W(\rho,\tau)> W(\rho,\sigma)+W(\sigma,\tau). \]

Пас \(W\) дар фазои ҳолатҳои мазкур metric-и ҳақиқӣ нест.

Quantum coupling чист?

Quantum coupling матритсаи зичии bipartite аст, ки ду матритсаи зичии ҳадафро тавассути partial trace ҳамчун маргиналҳо бармегардонад; дар мақола \(\Gamma(\rho_1,\rho_2)\), шартҳои \(\operatorname{Tr}_1\rho_{12}=\rho_2\) ва \(\operatorname{Tr}_2\rho_{12}=\rho_1\)-ро қонеъ карда, маҷмӯи ҳамаи ҳолатҳои \(\rho_{12}\) мебошад.

Ду density matrix-и \(n\times n\):

\[ \rho_1,\rho_2 \]

дода шавад, coupling:

\[ \rho_{12} \]

як density matrix-и bipartite бо андозаи \(n^2\times n^2\) аст.

Шартҳои манбаъ:

\[ \operatorname{Tr}_1\rho_{12}=\rho_2, \qquad \operatorname{Tr}_2\rho_{12}=\rho_1. \]

Дар ин ҷо \(\operatorname{Tr}_1\) ва \(\operatorname{Tr}_2\) амалҳои partial-trace мебошанд, ки мутаносибан зерсистемаи якум ва дуюми системаи tensor-product-ро бо trace бартараф мекунанд.

Ин сохтор ҳамтои квантии идеяи classical coupling аст. Дар classical coupling ҷамъҳои сатрҳо ва сутунҳои probability matrix-и муштарак probability vectors-и додашударо бармегардонанд, дар quantum coupling бошад ҳамин нақшро partial traces иҷро мекунанд.

Чаро antisymmetric subspace ва SWAP operator дар ин таҳқиқот муҳиманд?

Quantum cost matrix-и махсуси \(C^Q\), ки дар маркази таҳқиқот қарор дорад, projector-и SWAP operator ба antisymmetric subspace аст; SWAP operator ду зерсистемаро иваз мекунад. Conjecture-и қаблӣ маҳз ба ин даъво асос меёфт, ки quantum 2-Wasserstein semidistance-и бо ин хароҷоти махсус муайяншуда дар ҳамаи андозаҳо triangle inequality-ро қонеъ мекунад.

Antisymmetric basis state

Манбаъ аввал:

\[ |i\wedge j\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |ij\rangle-|ji\rangle \right) \]

ҳолатро муайян мекунад.

Дар ин ҷо:

• \(|i\rangle\) ва \(|j\rangle\) унсурҳои собити computational basis мебошанд.
• \(|ij\rangle=|i\rangle\otimes|j\rangle\) tensor-product basis state аст.
• \(|i\wedge j\rangle\) normalized antisymmetric combination аст, ки ҳангоми иваз шудани ҷойҳои \(i\) ва \(j\) аломаташ тағйир меёбад.
• Коэффисиенти \(1/\sqrt{2}\) барои ба 1 баробар кардани нормаи ҳолат зарур аст.

Quantum cost matrix-и умумӣ

Барои ҳар гуна distance matrix-и \(n\times n\), \(E=(E_{ij})\), манбаъ дар Муодила (1):

\[ C_E := \sum_{i

таърифи зеринро истифода мекунад.

\(|i\wedge j\rangle\langle i\wedge j|\) rank-1 projector ба antisymmetric direction-и дахлдор аст. Коэффисиентҳои \(E_{ij}\) ҳамчун cost weights барои ин directions хизмат мекунанд.

\(C_E\) ҳатман Hamiltonian-и физикии энергия нест. Нақши он дар ин таҳқиқот Hermitian operator будан аст, ки хароҷотро дар transport optimization муайян мекунад.

Аналоги Quantum p-Wasserstein

Муодила (2)-и манбаъ:

\[ W_{C_E,p}(\rho_1,\rho_2) := \min_{\rho_{12}\in\Gamma(\rho_1,\rho_2)} \left[ \operatorname{Tr} C_E^p\rho_{12} \right]^{1/p} \]

\[ = \min_{\rho_{12}\in\Gamma(\rho_1,\rho_2)} \left[ \sum_{i

Маънои формула қадам ба қадам чунин аст:

1. Ду state-и ҳадаф \(\rho_1\) ва \(\rho_2\) собит карда мешаванд.
2. Ҳама quantum couplings-и \(\rho_{12}\), ки ин states-ро ҳамчун partial traces медиҳанд, баррасӣ мешаванд.
3. Барои ҳар coupling cost-и бо \(C_E^p\) муайяншуда ҳисоб карда мешавад.
4. Қимати камтарин дар байни ҳамаи couplings интихоб мешавад.
5. Натиҷа ба қувваи \(1/p\) бардошта мешавад.

Ин бузургӣ дар манбаъ ҳамчун quantum analogue of the \(p\)-Wasserstein distance баррасӣ мешавад. Аммо мавзӯи асосии мақола он аст, ки ин аналог дар кадом шартҳо воқеан хосиятҳои metric-ро дорад.

Projector-и махсуси antisymmetric \(C^Q\)

Барои conjecture-и қаблӣ матритсаи хароҷот:

\[ C^Q := \sum_{i

интихоб мешавад.

Дар ин ҷо \(S\) SWAP operator аст:

\[ S|ij\rangle=|ji\rangle. \]

\(\mathbf{1}_{n^2}\) identity operator дар \(n^2\)-dimensional tensor-product space аст.

Дар ин ҳолати махсус quantum 2-Wasserstein semidistance:

\[ W_{C^Q,2}(\rho_1,\rho_2) = \min_{\rho_{12}\in\Gamma(\rho_1,\rho_2)} \sqrt{ \sum_{i

Conjecture I-и қаблӣ пешниҳод мекард, ки ин бузургӣ барои ҳар dimension \(n\) triangle inequality-ро қонеъ мекунад. Conjecture II бошад пешниҳод мекард, ки ин хосият дар зери cost-matrix perturbations-и хурд дар атрофи \(C^Q\) низ нигоҳ дошта мешавад.

Proposition 1 чиро исбот мекунад?

Proposition 1 исбот мекунад, ки вақте states-и вурудӣ диагоналӣ мебошанд, quantum transport optimization-ро метавон комилан тавассути classical coupling matrix \(\gamma\) навишт ва таъсири quantum дар сохтори \((\sqrt{\gamma_{ij}}-\sqrt{\gamma_{ji}})^2\) намоён мегардад.

Probability vectors:

\[ P=(p_1,\ldots,p_n), \qquad Q=(q_1,\ldots,q_n) \]

бошанд.

Матритсаҳои зичии диагоналии мувофиқ:

\[ \operatorname{diag}(P), \qquad \operatorname{diag}(Q) \]

барои Proposition 1:

\[ W_{C_E,p} \left( \operatorname{diag}(P), \operatorname{diag}(Q) \right) = \min_{\gamma\in\Gamma_{\mathrm{cl}}(P,Q)} \left[ \frac{1}{2} \sum_{i

натиҷаро медиҳад.

\(\Gamma_{\mathrm{cl}}(P,Q)\) маҷмӯи ҳамаи classical couplings байни \(P\) ва \(Q\) аст. Барои coupling matrix-и \(\gamma=(\gamma_{ij})\):

\[ \sum_j\gamma_{ij}=p_i, \qquad \sum_i\gamma_{ij}=q_j, \qquad \gamma_{ij}\ge0. \]

Пас ҷамъҳои сатрҳо \(P\)-ро ва ҷамъҳои сутунҳо \(Q\)-ро медиҳанд.

Чаро исботи Proposition 1 ба се қадам ҷудо мешавад?

Стратегияи асосии исбот аз он иборат аст, ки quantum phase information-и нолозим барои states-и диагоналии вурудӣ тавассути миёнагирӣ бартараф карда шавад, coupling matrix ба block-ҳои хурд коҳиш дода шавад ва optimal off-diagonal terms тавассути positivity constraint муайян гарданд.

Қадами 1 — Diagonal unitary phase averaging

Манбаъ:

\[ \theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n) \in[0,2\pi)^n \]

барои diagonal unitary operator-ро муайян мекунад:

\[ U_\theta := \sum_{k=1}^{n} e^{i\theta_k} |k\rangle\langle k|. \]

Барои coupling-и \(\omega\in\Gamma(\rho,\sigma)\):

\[ \omega_\theta := \left( U_\theta^\dagger\otimes U_\theta^\dagger \right) \omega \left( U_\theta\otimes U_\theta \right). \]

Сипас аз рӯи ҳамаи phase angles average гирифта мешавад:

\[ \widetilde{\omega} := \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{[0,2\pi)^n} \omega_\theta\,d\theta. \tag{5} \]

Ин амалро метавон ҳамчун symmetrization монанд ба “phase twirling” баррасӣ кард. Ҳадаф тағйир додани coupling нест, балки бо миёнагирӣ нест кардани phase-dependent matrix elements мебошад, ки ба diagonal marginals дахл надоранд.

Табдили matrix element:

\[ \langle ij| \omega_\theta |kl\rangle = e^{i(\theta_k+\theta_l-\theta_i-\theta_j)} \langle ij| \omega |kl\rangle. \tag{6} \]

Чаро partial traces тағйир намеёбанд?

Азбаски \(\rho\) диагоналӣ аст:

\[ \begin{aligned} \langle i| \operatorname{Tr}_2\omega_\theta |k\rangle &= \sum_j \langle ij| \omega_\theta |kj\rangle\\ &= e^{i(\theta_k-\theta_i)} \sum_j \langle ij| \omega |kj\rangle\\ &= e^{i(\theta_k-\theta_i)} \langle i|\rho|k\rangle\\ &= \langle i|\rho|k\rangle. \end{aligned} \tag{7} \]

Баробарии охир ба он асос меёбад, ки барои \(\rho\)-и диагоналӣ off-diagonal \(\langle i|\rho|k\rangle\) entries ҳангоми \(i\neq k\) аллакай сифр мебошанд.

Ба ҳамин монанд:

\[ \begin{aligned} \langle j| \operatorname{Tr}_1\omega_\theta |l\rangle &= \sum_i \langle ij| \omega_\theta |il\rangle\\ &= e^{i(\theta_l-\theta_j)} \sum_i \langle ij| \omega |il\rangle\\ &= e^{i(\theta_l-\theta_j)} \langle j|\sigma|l\rangle\\ &= \langle j|\sigma|l\rangle. \end{aligned} \tag{8} \]

Пас:

\[ \omega_\theta\in\Gamma(\rho,\sigma) \]

ва phase average-и \(\widetilde{\omega}\) низ дар ҳамон coupling set боқӣ мемонад.

Чаро cost дар зери phase averaging тағйир намеёбад?

Antisymmetric state:

\[ |i\wedge j\rangle \]

дар зери diagonal unitary pair танҳо global phase мегирад:

\[ (U_\theta\otimes U_\theta) |i\wedge j\rangle = e^{i(\theta_i+\theta_j)} |i\wedge j\rangle. \]

Азбаски global phase projector expectation value-ро тағйир намедиҳад:

\[ \sum_{i

Натиҷаи ин хеле муҳим аст: ҳангоми ҷустуҷӯи coupling-и оптималӣ ба ҷойи ҳамаи possible quantum couplings танҳо дар phase-averaged couplings minimization кардан кофист.

Қадами 2 — Phase averaging кадом matrix elements-ро боқӣ мегузорад?

Average matrix element:

\[ \langle ij| \widetilde{\omega} |kl\rangle = \frac{ \langle ij|\omega|kl\rangle }{ (2\pi)^n } \int_{[0,2\pi)^n} e^{i(\theta_k+\theta_l-\theta_i-\theta_j)} d\theta. \tag{10} \]

Ин интеграл танҳо вақте метавонад nonzero боқӣ монад, ки index multisets:

\[ \{i,j\}=\{k,l\} \]

бошанд.

Пас potentially nonzero matrix elements:

\[ \langle ii| \widetilde{\omega} |ii\rangle =:\gamma_{ii}, \]

\[ \langle ij| \widetilde{\omega} |ij\rangle =:\gamma_{ij}, \qquad \langle ji| \widetilde{\omega} |ji\rangle =:\gamma_{ji}, \]

ва:

\[ \langle ij| \widetilde{\omega} |ji\rangle =:z_{ij}, \qquad \langle ji| \widetilde{\omega} |ij\rangle = \overline{z}_{ij}. \tag{11} \]

мебошанд.

Hermiticity талаб мекунад, ки entry-и дуюми off-diagonal complex conjugate бошад.

Positive semidefiniteness барои ҳар block-и \(2\times2\):

\[ \gamma_{ij}\ge0, \qquad \gamma_{ji}\ge0, \qquad |z_{ij}|^2 \le \gamma_{ij}\gamma_{ji} \]

constraint медиҳад.

Чаро \(\gamma\) воқеан classical coupling мешавад?

Diagonal entries-и phase-averaged coupling:

\[ \sum_j\gamma_{ij} = \sum_j \langle ij| \widetilde{\omega} |ij\rangle = \langle i|\rho|i\rangle = p_i \]

ва:

\[ \sum_i\gamma_{ij} = \sum_i \langle ij| \widetilde{\omega} |ij\rangle = \langle j|\sigma|j\rangle = q_j \]

шартҳоро қонеъ мекунанд.

Аз ин рӯ \((\gamma_{ij})\) ordinary classical coupling matrix байни \(P\) ва \(Q\) мебошад.

Қадами 3 — Quantum cost чӣ гуна ба формулаи classical coupling табдил меёбад?

Cost барои phase-averaged coupling:

\[ \sum_{i

Positive-semidefinite constraint:

\[ |z_{ij}| \le \sqrt{\gamma_{ij}\gamma_{ji}} \]

буданаш сабаб мешавад, ки:

\[ \operatorname{Re}z_{ij} \le |z_{ij}| \le \sqrt{\gamma_{ij}\gamma_{ji}}. \]

Азбаски аъзои cost \(-2\operatorname{Re}z_{ij}\) аст, барои кам кардани cost бузургтарин \(\operatorname{Re}z_{ij}\)-и имконпазир лозим мешавад. Ҳадди поён:

\[ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \sum_{i

Ин lower bound танҳо formal bound намемонад. Манбаъ:

\[ z_{ij} = \sqrt{\gamma_{ij}\gamma_{ji}} \]

интихобро истифода бурда нишон медиҳад, ки bound attain мешавад.

Ҳамин тавр, Муодила (4)-и Proposition 1 ҳамчун баробарии дақиқ ба даст меояд.

Чаро quantum transport метавонад аз classical transport камтар бошад?

Мувофиқи Remark 2-и манбаъ, сабаби математикии камтар будани quantum transport cost нисбат ба classical transport барои diagonal states дар он аст, ки аъзои off-diagonal \(z_{ij}\), ки дар quantum coupling иҷозат дода мешаванд, метавонанд дар cost саҳми interference-и коҳишдиҳанда дар шакли \(-2\sqrt{\gamma_{ij}\gamma_{ji}}\) ба вуҷуд оранд.

Ҳангоми истифодаи Муодила (4):

\[ \begin{aligned} &W_{C_E,p} \left( \operatorname{diag}(P), \operatorname{diag}(Q) \right) \\ &= \min_{\gamma\in\Gamma_{\mathrm{cl}}(P,Q)} \left[ \frac{1}{2} \sum_{i

Вақте \(E\) distance matrix-и ҳақиқӣ аст, ифодаи аз ҳама рост шакли classical \(p\)-Wasserstein distance мебошад, ки бо коэффисиенти \(2^{-1/p}\) миқёс шудааст.

Ибораи “transport-и арзонтар” дар ин ҷо маънои истеъмоли камтари энергияи физикиро надорад. Он танҳо маънои камтар будани қимати оптималии mathematical objective function-ро дорад.

Пешниҳоди normalization-и манбаъ

Miller бинобар ин factor-и \(2^{-1/p}\) пешниҳод мекунад, ки дар таърифи қаблӣ:

\[ \min_{\rho_{12}\in\Gamma(\rho_1,\rho_2)} \left[ 2\operatorname{Tr} C_E^p\rho_{12} \right]^{1/p} \]

истифодаи factor 2 ҳангоми маҳдуд шудан ба classical states ва classical couplings имкон медиҳад standard classical \(p\)-Wasserstein distance мустақиман барқарор шавад.

Ин нукта арзёбии математикии normalization-и муаллиф дар манбаъ аст. Verianla онро ҳамчун стандарти нави қабулшуда пешниҳод намекунад.

Чаро ҳолати махсуси дуандоза муҳим аст?

Ҳолати \(n=2\) муҳим аст, зеро дар кори қаблӣ исбот шудааст, ки triangle inequality дар ҳамин андозаи махсус иҷро мешавад; формулаи Proposition 1-и Miller низ натиҷаи қаблан маълумро барои \(n=2\) дубора ҳосил намуда, барои формулаи нав санҷиши мутобиқат медиҳад.

Манбаъ дар Remark 3:

\[ n=2, \qquad p=2, \qquad E= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

интихобро баррасӣ мекунад.

Дар матни манбаъ states:

\[ \rho=\operatorname{diag}(r,1-r), \qquad \sigma=\operatorname{diag}(s,1-s) \]

муаррифӣ мешаванд.

Ёддошти нотация: Дар coupling matrix ва Муодила (13)-и баъдӣ манбаъ ба ҷойи \(r,s\) рамзҳои \(p,q\)-ро истифода мекунад. Дар поён нотацияи худи манбаъ бо \(p,q\) нигоҳ дошта шудааст.

Classical couplings бо як параметри \(\lambda\):

\[ \gamma= \begin{bmatrix} \lambda & p-\lambda\\ q-\lambda & 1-p-q+\lambda \end{bmatrix}, \]

\[ \max\{0,p+q-1\} \le \lambda \le \min\{p,q\}. \]

мебошанд.

Ҳангоми истифодаи Муодила (4):

\[ W_{C_E,2}(\rho,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2}} \min_{\lambda} \left| \sqrt{p-\lambda} - \sqrt{q-\lambda} \right|. \]

Дар натиҷаи minimum манбаъ Муодила (13)-ро ба даст меорад:

\[ W_{C_E,2}(\rho,\sigma) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} \left| \sqrt{p}-\sqrt{q} \right|, & p+q\le1, \\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} \left| \sqrt{1-p}-\sqrt{1-q} \right|, & p+q>1. \end{cases} \tag{13} \]

Ин expression инчунин бо шакли:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \max \left\{ |\sqrt{p}-\sqrt{q}|, |\sqrt{1-p}-\sqrt{1-q}| \right\} \]

ҳамарзиш аст.

Манбаъ ин ҳамарзиширо ба муносибати:

\[ p+q\le1 \Longleftrightarrow |\sqrt{p}-\sqrt{q}| \ge |\sqrt{1-p}-\sqrt{1-q}| \]

мепайвандад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Оилаи сеандозаи мисолҳои муқобил чӣ гуна сохта мешавад?

Мисоли муқобил бо оилаи дупараметрии се density matrix-и диагоналии \(3\times3\) сохта мешавад; вақте \(s,t\) дар admissible region интихоб мешаванд, direct \(\rho\rightarrow\tau\) quantum transport value аз ҷамъбасти ду transport value, ки аз тариқи \(\sigma\) мегузаранд, калонтар мешавад ва triangle inequality вайрон мегардад.

Се density matrix

Манбаъ дар Муодила (14):

\[ \rho := \operatorname{diag}(1-s,s,0), \]

\[ \sigma := \operatorname{diag}(s,1-s-t,t), \]

\[ \tau := \operatorname{diag}(t,1-s-t,s) \tag{14} \]

таърифҳоро истифода мекунад.

Parameter space:

\[ \Delta := \left\{ (s,t) \ \middle|\ 0\le t\le s\le\frac{1}{2}, \quad 2s+t\le1 \right\}. \]

Ин constraints тасодуфӣ нестанд. Ҳама diagonal entries бояд nonnegative бошанд ва states ҳамчун probability distributions/density matrices-и дуруст боқӣ монанд.

Масалан, entries барои \(\rho\):

\[ 1-s,\ s,\ 0 \]

буда, ҷамъаш:

\[ (1-s)+s+0=1. \]

Entries барои \(\sigma\) ва \(\tau\) низ ба 1 ҷамъ мешаванд.

Се pairwise transport value

Манбаъ \(W_{C_E,2}\)-ро дар ин бахш кӯтоҳ \(W\) меномад ва аввал се натиҷаи closed-form-и зеринро исбот мекунад:

\[ W(\rho,\sigma) = \sqrt{ \frac{1}{2} - \sqrt{s(1-s-t)} }. \tag{15} \]

\[ W(\rho,\tau) = \sqrt{ \frac{1}{2}(1+t-s) - \sqrt{t(1-2s)} }. \tag{16} \]

\[ W(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{s}-\sqrt{t} \right). \tag{17} \]

Азбаски дар \(\Delta\) \(t\le s\) аст, \(\sqrt{s}-\sqrt{t}\ge0\); бинобар ин дар Муодила (17) тартиби мусбате, ки қимати мутлақро талаб намекунад, нигоҳ дошта мешавад.

Муодила (15) чӣ гуна ҳосил мешавад?

Probability vectors-и \(\rho\) ва \(\sigma\):

\[ P=(1-s,s,0), \qquad Q=(s,1-s-t,t) \]

навишта мешаванд.

Манбаъ classical coupling family-ро:

\[ \gamma= \begin{bmatrix} \lambda & 1-s-t-\lambda+\mu & t-\mu \\ s-\lambda & \lambda-\mu & \mu \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

parametrizes мекунад.

Nonnegativity constraints:

\[ \lambda\in[0,s], \qquad \mu\in[0,\min\{\lambda,t\}] \]

дода мешаванд.

Ҳангоми татбиқи Муодила (4):

\[ W^2(\rho,\sigma) = \frac{1}{2} \min_{\lambda,\mu} \left[ \left( \sqrt{1-s-t-\lambda+\mu} - \sqrt{s-\lambda} \right)^2 +t \right]. \]

Дар далели манбаъ objective function аввал нисбат ба \(\mu\) nondecreasing аст, бинобар ин minimum:

\[ \mu=0 \]

дар ҳамин нуқта гирифта мешавад.

Сипас, азбаски ифодаи боқимонда нисбат ба \(\lambda\) низ nondecreasing аст:

\[ \lambda=0 \]

интихоб мешавад.

Ҳамин тавр:

\[ W^2(\rho,\sigma) = \frac{1}{2} \left[ \left( \sqrt{1-s-t} -\sqrt{s} \right)^2 +t \right]. \]

Ҳангоми кушодани квадрат:

\[ \left( \sqrt{1-s-t} -\sqrt{s} \right)^2 = 1-t-2s - 2\sqrt{s(1-s-t)} + 2s \]

ва бо илова кардани \(t\):

\[ 1-2\sqrt{s(1-s-t)} \]

ба даст меояд.

Пас:

\[ W^2(\rho,\sigma) = \frac{1}{2} - \sqrt{s(1-s-t)}, \]

ва бо гирифтани square root-и мусбат Муодила (15) ҳосил мешавад.

Муодила (16) чӣ гуна ҳосил мешавад?

Барои \(\rho\) ва \(\tau\):

\[ P=(1-s,s,0), \qquad R=(t,1-s-t,s). \]

Манбаъ coupling matrix-ро:

\[ \gamma= \begin{bmatrix} \lambda & 1-2s-\lambda+\mu & s-\mu \\ t-\lambda & s-t+\lambda-\mu & \mu \\ 0&0&0 \end{bmatrix}. \]

Admissible parameters:

\[ \lambda\in[0,t], \qquad \mu\in[0,s-t+\lambda]. \]

Муодила (4):

\[ W^2(\rho,\tau) = \frac{1}{2} \min_{\lambda,\mu} \left[ \left( \sqrt{1-2s-\lambda+\mu} - \sqrt{t-\lambda} \right)^2 +s \right]. \]

Манбаъ боз аз он истифода мекунад, ки objective function аввал нисбат ба \(\mu\) ва баъд нисбат ба \(\lambda\) nondecreasing аст. Minimum:

\[ \mu=0, \qquad \lambda=0 \]

дар ин нуқта қарор дорад.

Ҳамин тавр:

\[ W^2(\rho,\tau) = \frac{1}{2} \left[ \left( \sqrt{1-2s} -\sqrt{t} \right)^2 +s \right]. \]

Пас аз тартиб додани ин ифода:

\[ W^2(\rho,\tau) = \frac{1}{2}(1+t-s) - \sqrt{t(1-2s)} \]

ва бинобар ин Муодила (16) ба даст меояд.

Чаро Муодила (17) далели дигарро талаб мекунад?

Азбаски мустақим parametrizes кардани ҳамаи classical couplings байни \(\sigma\) ва \(\tau\) дар манбаъ чор parameter талаб мекард, Miller ба ҷойи ин барои objective function lower bound месозад ва баъдан coupling-и ошкореро нишон медиҳад, ки ҳамин lower bound-ро амалӣ мекунад.

Таъриф:

\[ \Phi(\gamma) := \sum_{1\le i

Аввал як summand-и nonnegative партофта шуда:

\[ \Phi(\gamma) \ge \left( \sqrt{\gamma_{12}} -\sqrt{\gamma_{21}} \right)^2 + \left( \sqrt{\gamma_{13}} -\sqrt{\gamma_{31}} \right)^2. \]

Ин ду аъзо:

\[ \sum_{j=1}^{3} \left( \sqrt{\gamma_{1j}} - \sqrt{\gamma_{j1}} \right)^2 \]

навишта мешаванд.

Бо истифодаи Cauchy–Schwarz inequality:

\[ \sum_{j=1}^{3} \left( \sqrt{\gamma_{1j}} - \sqrt{\gamma_{j1}} \right)^2 \ge \left( \sqrt{ \sum_{j=1}^{3}\gamma_{1j} } - \sqrt{ \sum_{j=1}^{3}\gamma_{j1} } \right)^2. \]

Аз сабаби coupling marginals:

\[ \sum_j\gamma_{1j}=s, \qquad \sum_j\gamma_{j1}=t. \]

Пас:

\[ \Phi(\gamma) \ge (\sqrt{s}-\sqrt{t})^2. \]

Бо Муодила (4):

\[ W^2(\sigma,\tau) = \frac{1}{2} \min_{\gamma\in\Gamma_{\mathrm{cl}}(Q,R)} \Phi(\gamma) \ge \frac{1}{2} (\sqrt{s}-\sqrt{t})^2. \]

Ин lower bound тавассути coupling-и дар манбаъ додашуда:

\[ \gamma^\ast = \begin{bmatrix} 0&0&s\\ 0&1-s-t&0\\ t&0&0 \end{bmatrix} \]

attain мешавад.

Пас inequality ба баробарӣ табдил меёбад:

\[ W^2(\sigma,\tau) = \frac{1}{2} (\sqrt{s}-\sqrt{t})^2 \]

ва:

\[ W(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{s}-\sqrt{t}). \]

Ин ҳамон Муодила (17) аст.

Нобаробарии секунҷа маҳз чӣ гуна вайрон мешавад?

Манбаъ нишон медиҳад, ки дар ҳамаи нуқтаҳои дохилии admissible parameter region \(\Delta\), \(W(\rho,\tau)-W(\rho,\sigma)-W(\sigma,\tau)>0\); бинобар ин triangle inequality на танҳо барои як интихоби тасодуфии parameter, балки дар як оилаи кушоди дупараметрии мисолҳои муқобил иҷро намешавад.

Ҳангоми муқоисаи Муодила (15)–(17) бо самти зарурии triangle inequality, манбаъ ҳадаф мегузорад нобаробарии баръакси зеринро исбот кунад:

\[ W(\rho,\tau)> W(\rho,\sigma) + W(\sigma,\tau). \]

Шакли эквивалентии манбаъ дар Муодила (18):

\[ \sqrt{ 1+t-s - 2\sqrt{t(1-2s)} } > \sqrt{ 1 - 2\sqrt{s(1-s-t)} } + \sqrt{s} - \sqrt{t}, \tag{18} \]

ва validity region:

\[ 0

Ин шартҳо маҳз қисми interior-и \(\Delta\)-ро ифода мекунанд.

Чаро тағйирёбандаҳои нави \(r\) ва \(a\) муайян мешаванд?

Манбаъ барои идорашаванда кардани қисми охирини proof:

\[ r := \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{s}} \]

ва:

\[ a := \frac{ \sqrt{1-2s}-\sqrt{t} }{ \sqrt{s} } \]

таърифҳоро истифода мекунад.

Аз сабаби interior constraints:

\[ 00. \]

Муодила (18) бо ин variables ба:

\[ \sqrt{1+a^2} +r-1 > \sqrt{ \left( \sqrt{1+a^2+2ar}-1 \right)^2 +r^2 }. \tag{19} \]

табдил дода мешавад.

Азбаски ҳар ду тараф мусбатанд, squares гирифтан мумкин аст. Пас аз algebraic cancellation inequality-и лозим:

\[ (1-r) \sqrt{1+a^2} + r(1+a) < \sqrt{1+a^2+2ar}. \tag{20} \]

мешавад.

Чаро strict concavity қадами охиринро ҳал мекунад?

Манбаъ:

\[ f(r) = \sqrt{1+a^2+2ar} \]

function-ро дар interval-и \([0,1]\) баррасӣ мекунад.

Барои \(a>0\) ин function strictly concave аст.

Натиҷаи асосии strict concavity ин аст, ки барои \(0

\[ f(r)> (1-r)f(0)+rf(1). \]

Endpoint values:

\[ f(0)=\sqrt{1+a^2} \]

ва:

\[ f(1) = \sqrt{1+a^2+2a} = \sqrt{(1+a)^2} = 1+a \]

буданашон сабаб мешавад, ки:

\[ f(r)> (1-r)\sqrt{1+a^2} + r(1+a). \]

Ин маҳз Муодила (20) аст.

Ҳамин тавр:

\[ W(\rho,\tau)> W(\rho,\sigma)+W(\sigma,\tau) \]

дар тамоми interior \(\Delta^\circ\) исбот мешавад.

Паёми математикии Figure 1

Манбаъ Figure 1:

\[ g(s,t) := W(\rho,\tau) - W(\rho,\sigma) - W(\sigma,\tau) \]

function-ро дар admissible parameter region \(\Delta\) нишон медиҳад.

Мувофиқи caption-и манбаъ:

• \(g(s,t)=0\), дар boundary \(\partial\Delta\);
• \(g(s,t)>0\), дар interior \(\Delta^\circ\).

Пас график ҳамтои визуалии analytical proof мебошад; numerical evidence нест, ки proof-ро иваз кунад.

Чаро мисоли муқобил ба ҳамаи андозаҳои \(n>3\) паҳн мешавад?

Манбаъ three-dimensional counterexample states-ро ба higher-dimensional space:

\[ \rho\oplus\mathbf{0}_{n-3}, \qquad \sigma\oplus\mathbf{0}_{n-3}, \qquad \tau\oplus\mathbf{0}_{n-3} \]

ба ин шакл ҷой медиҳад.

\(\mathbf{0}_{n-3}\) zero block дар dimensions-и иловагӣ мебошад.

Ин embedding probability structure-и се dimensions-и аввалро тағйир намедиҳад. Аз ин рӯ triangle-inequality violation-и мавҷуд дар \(n=3\) ба dimensions-и баландтар низ мегузарад.

Дар ин ҷо хулосаи дуруст:

Мисоли муқобил аз \(n=3\) оғоз мешавад ва барои ҳамаи dimensions-и \(n>3\) низ counterexample медиҳад.

Хулосаи нодуруст бошад:

Барои \(n=2\) низ ҳамин failure исбот шуд.

мебуд. Манбаъ баръакс \(n=2\)-ро ҳамчун яке аз ҳолатҳои махсуси metric-и маълум ёдовар мешавад.

Чаро Conjecture I рад карда мешавад?

Conjecture I пешниҳод мекард, ки quantum 2-Wasserstein semidistance-и бо \(C^Q\) cost matrix муайяншуда барои ҳамаи dimensions triangle inequality-ро қонеъ мекунад.

Ҳамин ки family-и Miller барои \(n=3\) violation-и ошкор медиҳад, даъвои “ҳамаи \(n\)” нодуруст мегардад.

Барои рад кардани universal mathematical conjecture як counterexample-и дуруст кофист. Аммо ин таҳқиқот ба ҷойи як isolated point дар дохили \(\Delta^\circ\) як family-и васеи дупараметриро нишон медиҳад.

Чаро Conjecture II боқӣ намемонад?

Conjecture II пешниҳод мекард, ки рафтори мазкури metric дар атрофи perturbations-и хурди \(C^Q\) низ нигоҳ дошта мешавад. Азбаски таҳқиқот нишон медиҳад, ки triangle-inequality property-и асосӣ барои худи \(C^Q\) иҷро намешавад, асоси ин conjectured metric neighborhood дар маркази \(C^Q\) низ аз байн меравад. Манбаъ дар abstract ва introduction равшан мегӯяд, ки ҳар ду conjecture бо ин analytical counterexamples disproved шудаанд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Construction-и умумии \(W_{C_E,p}\)-ро метавон ҳамчун semidistance баррасӣ кард, аммо triangle inequality дар ҳолати умумӣ кафолат дода намешавад.
• Quantum 2-Wasserstein quantity-и барои antisymmetric projector-и махсуси \(C^Q\) муайяншуда дар \(n=3\) diagonal-state counterexamples дорад, ки triangle inequality-ро вайрон мекунанд.
• Ин counterexamples бо zero-block embedding ба ҳамаи андозаҳои \(n>3\) густариш дода мешаванд.
• Барои diagonal states, \(W_{C_E,p}\)-ро метавон ба формулаи classical-coupling minimization-и дар Proposition 1 додашуда коҳиш дод.
• Дар фарқи quantum/classical transport аъзои off-diagonal coupling нақши ҳалкунандаи математикӣ доранд.
• Дар тамоми минтақаи \(\Delta^\circ\), ки манбаъ муайян кардааст, triangle defect мусбат аст.
• Натиҷаҳои махсуси қаблан маълум, ба монанди \(n=2\) ва pure-state restrictions, бо ин counterexample бекор намешаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот натиҷаи “ҳамаи quantum Wasserstein distances нодурустанд”-ро нишон намедиҳад.
• Ин мақола танҳо худаш исбот намекунад, ки ҳамаи quantum optimal transport formulations metric буда наметавонанд.
• Таҳқиқот quantum transport experiment-и физикӣ анҷом намедиҳад.
• Таҳқиқот algorithm benchmark-ро дар компютери квантӣ иҷро намекунад.
• Ибораи “Quantum transport cheaper” маънои бартарӣ дар энергия, вақт ё хароҷоти иқтисодиро надорад.
• Мисоли муқобил ҳолати \(n=2\)-ро рад намекунад.
• Манбаъ барои \(p<2\), ҳамаи possible cost operators ё ҳамаи alternative quantum-transport definitions як universal no-go theorem пешниҳод намекунад.
• Figure 1 теоремаро тавассути numerical simulation исбот намекунад; натиҷаи асосӣ аз analytical proof меояд.

Ҷадвали рамзҳо ва мафҳумҳо

Ёддошти андоза ва воҳид

Ин таҳқиқот кори математикии quantum-information аст. Density-matrix entries, probabilities, coupling coefficients, parameters-и \(s,t,r,a\) ва normalized transport quantities-и муайяншуда бо воҳидҳои физикии SI дода намешаванд. Аз ин рӯ метр, ҷоул, сония ё дигар dimensional units дар ин муодилаҳо вуҷуд надоранд.

Огоҳии нотация дар дохили манбаъ

Дар Remark 3 манбаъ:

\[ \rho=\operatorname{diag}(r,1-r), \qquad \sigma=\operatorname{diag}(s,1-s) \]

ва фавран баъд аз ин таъриф дар coupling matrix ба:

\[ p,\ q \]

рамзҳо мегузарад.

Манбаъ барои ин notation change шарҳи ҷудогона намедиҳад. Verianla аз контексти математикӣ метавонад нишон диҳад, ки \(p\) ва \(q\) дар ин ҷо нақши parameters-и эҳтимолияти two-state-и марбутро доранд; аммо тағйири ҳарфҳоро дар манбаи аслӣ ноаён бознависӣ намекунад, то таассуроти “манбаъ ҳамин тавр навиштааст” ба вуҷуд наояд.

Маълумоти зеҳни сунъӣ дар Acknowledgement

Дар бахши Acknowledgements-и мақола муаллиф мегӯяд, ки барои ёфтани мисолҳои муқобил аз кӯмаки ChatGPT 5.4 Pro истифода кардааст.

Ин гуфта маънои онро надорад, ки исботҳои математикии таҳқиқот ба таври автоматӣ санҷида шудаанд. Дар preprint-и нашршуда занҷири analytical proof равшан навишта шудааст ва арзёбии илмӣ бояд аз рӯи дурустии математикии ҳамин proof анҷом дода шавад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Comment on ‘Quantum Monge–Kantorovich Problem and Transport Distance between Density Matrices’

Муаллиф: Tomasz Miller

Тартиби муаллифон: Кори якмуаллифӣ.

Corresponding author: Tomasz Miller; дар PDF-и манбаъ бо аломати ситора ҳамчун муаллифи тамос нишон дода шудааст.

Почтаи электронӣ: tomasz.miller@uj.edu.pl

Саҳми баробар: Татбиқ намешавад; таҳқиқот якмуаллифӣ аст.

Муассиса: Copernicus Center for Interdisciplinary Studies, Jagiellonian University, Szczepańska 1/5, 31-011 Kraków, Poland.

Соҳа: Quantum Physics, Mathematical Physics, quantum optimal transport, density-matrix geometry.

Навъи манбаъ: Comment preprint-и назариявӣ/математикӣ.

Ҳолати баррасии ҳамсолон: Манбаи боршуда arXiv preprint аст. Сабти расмии дар вақти баррасии Verianla тасдиқшуда сабти arXiv v1 мебошад; дар файли боршуда маълумоти ҷудогонаи journal publication-и рецензияшуда вуҷуд надорад.

arXiv: arXiv:2607.07764v1 [quant-ph].

DOI: 10.48550/arXiv.2607.07764.

Санаи пешниҳоди arXiv: 8 Июл 2026.

Санаи manuscript дар PDF: 10 Июл 2026.

Платформа: arXiv.

Категорияи асосии мавзӯъ: Quantum Physics (quant-ph).

Соҳаи марбут: Mathematical Physics.

Пайванди расмӣ: https://arxiv.org/abs/2607.07764

Пайванди DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2607.07764

Шумораи саҳифаҳо: 7.

Шумораи шаклҳо: 1.

Ҷадвал: Дар манбаъ ҷадвали алоҳидаи рақамгузоришуда вуҷуд надорад.

Ҳолати озмоиш/симулятсия: Озмоиши физикӣ вуҷуд надорад. Таҷҳизоти квантӣ истифода нашудааст. Натиҷаи асосӣ analytical counterexample ва proof аст. Figure 1 намоиши parameter-space-и triangle-defect function мебошад, ки аз формулаҳои аналитикӣ муайян шудааст.

Масъалаи асосӣ: Санҷидани он, ки quantum 2-Wasserstein semidistance-и аз ҷониби Friedland, Eckstein, Cole ва Życzkowski муайяншуда барои \(C^Q\) cost matrix-и махсус дар ҳамаи dimensions metric-и ҳақиқӣ аст ё не.

Натиҷаи асосӣ: Барои diagonal states-и \(n=3\) дар як counterexample family-и васеъ triangle inequality вайрон мешавад; family бо zero-block embedding ба \(n>3\) густариш меёбад.

Proposition 1: \(W_{C_E,p}\) байни diagonal density matrices дар classical couplings бо objective-и \(\frac12\sum E_{ij}^p(\sqrt{\gamma_{ij}}-\sqrt{\gamma_{ji}})^2\) ифода мешавад.

Ҳолати махсуси муҳим: Натиҷаҳои қаблан маълуми metric барои \(n=2\) ва pure-state restrictions бо ин таҳқиқот рад карда намешаванд; манбаъ шарти зарурии \(p\ge2\)-ро барои онҳо нишон медиҳад.

Масъалаи нотация дар манбаъ: Дар Remark 3 two-level states бо \(r,s\) муайян мешаванд, вале coupling ва Муодила (13) ба рамзҳои \(p,q\) мегузаранд. Манбаъ барои ин шарҳи ҷудогона намедиҳад.

Шарҳи normalization: Муаллиф дар Remark 2 пешниҳод мекунад, ки барои мустақим барқарор кардани classical Wasserstein limit шояд normalize кардани cost бо factor 2 дар Муодила (2) мувофиқтар бошад. Ин ҳамчун шарҳи математикии манбаъ интиқол шудааст.

Литсензия: Дар PDF-и боршуда изҳороти равшани Creative Commons license дида намешавад. Аз ин рӯ дар мундариҷаи Verianla матни манбаъ ё Figure 1-и аслӣ айнан бознашр нашудааст; маълумоти илмӣ бо матни мустақили омӯзишӣ ва сохтори оригиналии SVG пешниҳод шудааст.

Маблағгузорӣ: Дар манбаъ funding statement-и ҷудогона дода нашудааст.

Бархӯрди манфиатҳо: Дар манбаъ conflict-of-interest statement-и ҷудогона дода нашудааст.

Дастрасии маълумот: Таҳқиқот dataset-и таҷрибавӣ истифода намекунад; data-availability statement-и ҷудогона дода нашудааст.

Саҳми муаллиф: Дар кори якмуаллифӣ CRediT breakdown-и ҷудогона дода нашудааст.

Acknowledgement: Муаллиф гуфтааст, ки мисолҳои муқобил бо кӯмаки ChatGPT 5.4 Pro ёфт шудаанд.

Кори асосие, ки манбаъ ба он такя мекунад: Shmuel Friedland, Michał Eckstein, Sam Cole ва Karol Życzkowski, “Quantum Monge–Kantorovich problem and transport distance between density matrices”, Physical Review Letters 129, 110402 (2022).

Манбаи асосии дуюм: Sam Cole, Michał Eckstein, Shmuel Friedland ва Karol Życzkowski, “On quantum optimal transport”, Mathematical Physics, Analysis and Geometry 26, 14 (2023).

Манбаи сеюм: Tomasz Miller ва R. Bistroń, “Distances between pure quantum states induced by a distance matrix”, arXiv:2509.14727 [math-ph] (2025).