Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kəsr dərəcəli vərəm modeli, vərəmin ötürülməsi və xəstəliyin irəliləmə dinamikasını yalnız cari zamandakı vəziyyətlərlə deyil, keçmiş vəziyyətlərin modelə daşıdığı yaddaş təsiri ilə də əlaqələndirən deterministik bölməli riyazi modeldir. Tədqiqat ümumi əhalini altı sinfə ayırır: həssas \(S(t)\), yavaş məruz qalan \(E_1(t)\), sürətli məruz qalan \(E_2(t)\), yoluxmuş \(I(t)\), müalicədə olan \(T(t)\) və sağalmış \(R(t)\). Model klassik birinci dərəcəli törəmə əvəzinə Mittag–Leffler nüvəsinə malik Atangana–Baleanu–Caputo kəsr törəməsindən istifadə edir.

Modelin əsas yeniliyi vərəmə məruz qalan şəxsləri vahid latent/məruz qalmış sinifdə toplamaq əvəzinə iki ayrı irəliləmə yolundan istifadə etməsidir. Həssas şəxsin yoluxmuş şəxslə təmasından sonra yeni məruz qalmaların \(\omega\) hissəsi yavaş məruz qalan \(E_1\) sinfinə, \(1-\omega\) hissəsi isə birbaşa sürətli məruz qalan \(E_2\) sinfinə daxil olur. \(E_1\) sinfindən \(E_2\)-yə \(\varsigma_1\), \(E_2\)-dən aktiv infeksiya \(I\)-ya \(\varsigma_2\) keçidi mövcuddur. Yoluxmuş şəxslər \(\gamma\) sürəti ilə müalicə sinfinə keçərkən, müalicə uğursuz olduqda \(T\) sinfindən həm \(I\), həm də \(E_1\) sinfinə geri dönüş yolları vardır.

Tədqiqat modelin bioloji baxımdan mənalı oblastda mənfi əhali yaratmaması, həllərin məhdud qalması, həllin mövcudluğu və yeganəliyi kimi riyazi xüsusiyyətlərini araşdırır. Xəstəliksiz tarazlıq \(E^0\) və endemik tarazlıq \(E^\ast\) çıxarılmış; əsas reproduksiya sayı \(R_0\) next-generation matrix üsulu ilə əldə edilmişdir. Mənbənin formuluna görə \(R_0\), sürətli və yavaş məruz qalma yolları ilə yanaşı müalicə uğursuzluğundan qaynaqlanan geri dönüş yollarını da əhatə edən dörd termindən ibarətdir.

Normallaşdırılmış irəli həssaslıq analizində mənbə Cədvəl 2, ötürülmə əmsalı \(\beta\)-nın \(+0.9186\) ilə \(R_0\)-ı artıran ən güclü parametr olduğunu; yoluxmuş sinifdə xəstəliyə bağlı ölüm nisbəti \(\sigma_1\)-in \(-0.6243\) ilə ən güclü mənfi həssaslığa malik olduğunu və müalicə nisbəti \(\gamma\)-nın \(-0.2607\) səviyyəsində orta dərəcəli mənfi təsir göstərdiyini bildirir. Lakin eyni səhifədəki mənbə Şəkil 1-in bəzi sütun etiketləri Cədvəl 2 ilə uyğun gəlmədiyinə görə Verianla ədədi həssaslıq qiymətləri üçün açıq cədvəldəki qiymətləri əsas götürür.

Lokal sabitlik analizində xəstəliksiz tarazlıq üçün \(R_0<1\) altında Routh–Hurwitz və fractional-order Matignon meyarlarından istifadə edilmişdir. Endemik tarazlıq üçün qlobal sabitlik nəticəsi isə \(R_0>1\)-ə əlavə olaraq Lyapunov törəməsinin bütün uyğun vəziyyətlərdə mənfi yarı-müəyyən olmasını təmin edən \(\psi\leq\varpi\) şərtindən asılıdır. Müəlliflər bu term-term bərabərsizliyin bütün icazə verilən vəziyyətlər üçün tam sübutunun işin əhatəsindən kənarda olduğunu ayrıca bildirirlər. Buna görə endemik tarazlığın qlobal sabitliyi şərti kifayət şərti kimi oxunmalıdır.

Ədədi həll üçün ABC inteqral formasına uyğunlaşdırılmış Adams–Bashforth yanaşması istifadə olunur. Mənbə Şəkil 2–7-də 1.00, 0.95, 0.90 və 0.85 fractional-order qiymətlərini müqayisə edir. Müəlliflərin ümumi şərhinə görə fractional order azaldıqca yaddaş təsiri güclənir və keçid davranışı dəyişir. Bununla belə, qrafiklərin görünən meylləri ilə mətndəki bəzi “artır/azalır” izahları tam uyğun gəlmədiyinə görə Verianla bu qrafikləri mənbədə yazılan şərhlərlə məcburi şəkildə uzlaşdırmır.

Tədqiqatın ən mühüm şərh sərhədi budur: bu nəticələr real Khyber Pakhtunkhwa pasiyent zaman sırasına uyğunlaşdırılmış klinik proqnozlar deyil. Məqalə parametr qiymətləri və başlanğıc şərtlərinin Zhang və əməkdaşlarının əvvəlki riyazi TB tədqiqatından götürüldüyünü bildirir; nəticə bölməsində də simulyasiyaların ədəbiyyat əsaslı qiymətlərdən istifadə etdiyini və klinik məlumat olmadığını açıq şəkildə qəbul edir. Buna görə model nəzəri epidemiologiya çərçivəsidir; real cəmiyyətdə epidemiyanın ölçüsünü və ya konkret müalicə proqramının nəticələrini birbaşa proqnozlaşdırdığı qəbul edilməməlidir.

Atangana–Baleanu–Caputo Kəsr Törəməsi TB Modelində Nə İşə Yarayır?

Atangana–Baleanu–Caputo kəsr törəməsi sistemin dəyişmə sürətini yalnız həmin andakı vəziyyətinə deyil, keçmiş vəziyyətlərinin çəkili təsirinə də bağlayan, Mittag–Leffler tipli qeyri-singulyar nüvədən istifadə edən kəsr törəmə operatorudur. Bu tədqiqatda \(\tau\in(0,1]\) fractional order parametri vərəm bölmələrinin keçmiş vəziyyətlərinin cari dinamika üzərindəki yaddaş təsirini təmsil edən riyazi idarəetmə parametridir; \(\tau=1\) klassik tam dərəcəli həddi, \(\tau<1\) isə kəsr yaddaş davranışını ifadə edir.

ABC kəsr törəməsinin mənbədə istifadə olunan tərifi

Mənbə Tənlik (1)-də Atangana–Baleanu–Caputo törəməsini:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

şəklində tərif edir.

Burada:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\), Atangana–Baleanu–Caputo fractional derivative operatorudur.
• \(\tau\), kəsr dərəcədir və mənbədə \(0<\tau\leq1\) intervalında nəzərdən keçirilir.
• \(\omega(t)\), törəməsi alınan funksiyadır.
• \(\vartheta\), keçmiş zamanı təmsil edən inteqral dəyişənidir.
• \(Z(\tau)\), \(Z(0)=Z(1)=1\) şərtini ödəyən normallaşdırma funksiyasıdır.
• \(E_\tau\), Mittag–Leffler funksiyasıdır.

Bu tənlikdə klassik törəmədəki yalnız lokal dəyişmə əvəzinə \(0\)-dan cari \(t\) zamanına qədər bütün keçmiş vəziyyətlərin inteqralı mövcuddur. \((t-\vartheta)^\tau\) ehtiva edən Mittag–Leffler nüvəsi keçmiş vəziyyətlərin hansı çəkidə nəzərə alınacağını müəyyən edən yaddaş strukturunu təmin edir.

Mittag–Leffler funksiyası

Mənbənin Tənlik (2)-si:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

şəklindədir.

\(\Gamma(\cdot)\), Gamma funksiyasıdır. Mittag–Leffler funksiyası fractional calculus daxilində eksponensial funksiyanın roluna bənzər genişləndirilmiş funksiyadır. \(\tau\) dəyişdikcə keçmişin sönümlənmə forması klassik \(e^x\) davranışından fərqlənə bilər. Bu tədqiqat bu xüsusiyyətdən TB modelinə yaddaş qazandırmaq üçün istifadə edir.

ABC fractional integral

Mənbə Tənlik (3)-də ABC inteqralını:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

şəklində çap edir.

Mənbədaxili notasiya qeyri-müəyyənliyi: Operatorun sol tərəfində \(\omega(t)\) olduğu halda ilk sağ-tərəf terminində \(\chi(t)\) yazılmışdır. Mənbə bu nöqtədə \(\chi(t)\)-ni ayrıca tərif etmir. Sonrakı bölmələrdə \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) başqa birləşdirilmiş keçid nisbətləri üçün istifadə olunur. Buna görə Verianla Tənlik (3)-dəki \(\chi(t)\)-ni səssizcə \(\omega(t)\) ilə əvəz etmir.

İki Fərqli Məruz Qalma Sinfi \(E_1\) və \(E_2\) Niyə İstifadə Olunur?

Model yoluxmuş şəxslə təmasdan sonra hər kəsin aktiv infeksiyaya eyni sürətlə irəliləmədiyini təmsil etmək üçün iki ayrı məruz qalma yolundan istifadə edir: \(E_1(t)\) yavaş məruz qalan, \(E_2(t)\) isə sürətli məruz qalan əhalidir. Yeni məruz qalmaların \(\omega\) hissəsi \(E_1\)-ə, \(1-\omega\) hissəsi birbaşa \(E_2\)-yə keçir; daha sonra \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) irəliləmə zənciri və müalicə uğursuzluğundan geri dönüş yolları modelə əlavə edilir.

Altı bölmə

Model tənlikləri

Mənbənin Tənlik (4)-ü:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Birinci tənlikdə \(\Delta\) həssas sinfə əhali girişini, \(\beta SI/N\) infeksiya yarada bilən təmas axınını və \(\nu S\) təbii ölüm səbəbindən çıxışı təmsil edir.

İkinci və üçüncü tənliklərdə yeni məruz qalma axını iki qola ayrılır. \(\omega\beta SI/N\) hissəsi \(E_1\)-ə, \((1-\omega)\beta SI/N\) hissəsi \(E_2\)-yə keçir. Bundan əlavə \(E_1\)-dən \(E_2\)-yə \(\varsigma_1E_1\) keçidi vardır.

Dördüncü tənlikdə \(E_2\)-dən aktiv infeksiyaya keçid \(\varsigma_2E_2\)-dir. Müalicə uğursuzluğunun \(\rho\delta T\) hissəsi də birbaşa yoluxmuş sinfə geri qayıdır.

Beşinci tənlikdə yoluxmuş şəxslərin \(\gamma I\) axını ilə müalicə sinfinə keçməsi modelləşdirilir. Altıncı tənlikdə \(\phi T\) axını müalicədən sağalmış sinfə keçiddir.

Birləşdirilmiş çıxış nisbətləri

Mənbə:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

təriflərindən istifadə edir.

Bunlar özlüyündə yeni bioloji parametrlər deyil, müvafiq bölmədən ümumi çıxış sürətlərini qısaltmaq üçün istifadə olunan birləşdirilmiş nisbətlərdir. Məsələn, \(I\) sinfindən çıxış təbii ölüm \(\nu\), müalicəyə keçid \(\gamma\) və xəstəliyə bağlı ölüm \(\sigma_1\) komponentlərindən ibarət olduğu üçün \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\)-dir.

Başlanğıc şərtlər

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Mənbə bütün başlanğıc populyasiyalarının mənfi olmayan qiymətlərlə başlamasını tələb edir. Lakin simulyasiyada istifadə olunan faktiki ədədi başlanğıc qiymətləri bu məqalənin öz cədvəlində verilmir; onların Zhang və b. [28]-dən götürüldüyü bildirilir.

Model parametrləri

Ümumi əhali və məhdudluq

Ümumi əhali:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

kimi tərif edilir.

Altı tənlik toplandıqda infeksiya və bölmələrarası daxili keçidlər bir-birini ləğv edir və:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

alınır.

\(\sigma_1I\) və \(\sigma_2T\) mənfi çıxış terminləri olduğuna görə:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

və mənbə:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

yuxarı sərhədindən istifadə edir. Bu sərhəd model əhalisinin sonsuzluğa getməsinin qarşısını alan riyazi məhdudluq şərtidir.

Mənbə feasible region-u təxminən:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

şəklində tərif edir.

Mənbədaxili mətn ziddiyyəti: Eyni well-posedness bölməsində əvvəlcə \(N(t)\)-nin artan olması və \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\) tələb olunur, daha sonra isə \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) halının istisna edildiyini bildirən bir cümlə yer alır. Verianla bu iki cümləni uzlaşdırmır; riyazi baxımdan açıq şəkildə yazılmış Tənlik (9)–(11) sərhədini əsas götürür.

Pozitivlik niyə vacibdir?

Əhali bölmələrinin mənfi olması bioloji baxımdan mənasızdır. Mənbə müqayisə prinsipi və Mittag–Leffler funksiyasından istifadə edərək başlanğıc qiymətləri mənfi deyilsə həllərin də feasible region daxilində mənfi olmayacağını göstərməyə çalışır.

Məsələn, həssas sinif üçün:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Oxşar aşağı sərhədlər \(E_1,E_2,I,T,R\) üçün də verilmiş və bütün vəziyyət dəyişənlərinin mənfi olmayan oblastda qaldığı nəticəsi çıxarılmışdır.

Əsas Reproduksiya Sayı \(R_0\) Bu Modeldə Necə Qurulur?

Əsas reproduksiya sayı \(R_0\), modelin yoluxmuş/məruz qalmış alt sistemində yeni infeksiya yaranmasının keçid və uzaqlaşma proseslərinə nisbətən xalis böyümə qabiliyyətini təmsil edən hədd kəmiyyətidir. Tədqiqat \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\) yoluxmuş alt sistemini seçərək next-generation matrix \(K=FV^{-1}\) qurur və \(R_0\)-ı bu matrisin dominant özqiyməti/spektral radiusu kimi çıxarır.

Xəstəliksiz tarazlıq

Mənbənin xəstəliksiz tarazlıq nöqtəsi:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Bu nöqtədə bütün əhali həssas sinifdədir; məruz qalmış, yoluxmuş, müalicədə olan və sağalmış siniflər sıfırdır.

Yoluxmuş alt sistem

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Yeni infeksiya vektoru:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

digər keçidlər isə:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

şəklində yazılır.

\(R_0\) formulu

Next-generation matrix:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

olub mənbə dominant özqiymətdən:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

ifadəsini əldə edir.

Dörd terminin bioloji/riyazi şərhi

Birinci termin, yeni təmasın \(E_1\) yavaş məruz qalma yoluna daxil olması və daha sonra \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) zəncirində irəliləməsi ilə əlaqəlidir.

İkinci termin, təmasdan sonra birbaşa \(E_2\)-yə daxil olan sürətli məruz qalma yolunu təmsil edir.

Üçüncü termin, infeksiya → müalicə → müalicə uğursuzluğu → \(E_1\) → \(E_2\) → infeksiyaya geri dönüş zənciri ilə əlaqəlidir.

Dördüncü termin, infeksiya → müalicə → birbaşa yenidən infeksiya sinfinə geri dönüş yolu ilə əlaqəlidir.

Mənbə xüsusilə son iki termində \(\beta\)-nın olmamasını izah edən bir Remark verir. Müəlliflərin şərhinə görə bu terminlər yeni infeksiya matrisi \(F\)-dən deyil, \(V^{-1}\) daxilindəki müalicə uğursuzluğu/keçid yollarından yaranır. Verianla bu izahı mənbə şərhi kimi qoruyur.

Endemik tarazlıq

Mənbənin endemik tarazlığı:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Mənbə komponentləri:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Mənbə endemik tarazlığın \(R_0>1\) olduqda mövcud olduğunu bildirir. Tənlik (27)-də \(R_0-1\) faktorunun olması da bu hədlə birbaşa bağlıdır.

Normallaşdırılmış həssaslıq indeksi

Bir parametrin \(R_0\) üzərindəki nisbi təsiri:

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

ilə hesablanır.

Bu kəmiyyət ölçüsüzdür. Müsbət qiymət parametr artdıqda \(R_0\)-ın artma istiqamətində, mənfi qiymət isə \(R_0\)-ın azalma istiqamətində dəyişdiyini göstərir. Mütləq qiymət böyüdükcə \(R_0\)-ın həmin parametrə görə nisbi həssaslığı artır.

Məsələn, \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\), istifadə olunan parametr nöqtəsinin ətrafında \(\beta\)-dakı nisbi artımın \(R_0\)-ı eyni istiqamətdə güclü şəkildə dəyişdirdiyini göstərir. Bu rəqəm birbaşa “\(\beta\)-nı %1 azaltmaq real dünyada TB-ni tam %0,9186 azaldır” demək deyil; yalnız riyazi \(R_0\)-ın lokal normallaşdırılmış həssaslığıdır.

Cədvəl 2 ilə mənbə Şəkil 1 niyə ayrı saxlanıldı?

PDF-in eyni səhifəsində Cədvəl 2-nin açıq ədədi siyahısı ilə altında çəkilmiş Şəkil 1-in bəzi sütun etiketləri bir-birindən fərqlənir. Bu vəziyyət hansı məlumat dəstinin vizual qrafikə köçürüldüyünü mənbədən dəqiq müəyyən etməyə mane olur. Buna görə Verianla açıq və tək ədədi cədvəli birbaşa yenidən təqdim edir; mənbə Şəkil 1-dəki fərqli rəqəmlərlə orta qiymət alma, düzəliş və ya yeni həssaslıq qiymətləri yaratmır.

Mövcudluq və yeganəlik nə deməkdir?

Epidemioloji diferensial tənlik sisteminin qurulması təkbaşına kifayət deyil. Müəyyən başlanğıc şərtləri verildikdə sistemin ən azı bir həllinin olması mövcudluq, eyni şərtlərdə birdən çox fərqli həllin yaranmaması isə yeganəlik problemidir.

Mənbə əvvəlcə modelin sağ tərəflərini:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

və:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

vektor formasına keçirir.

Sonra Schauder sabit nöqtə teoremi ilə ən azı bir həll üçün:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

tipində kifayət şərtindən istifadə edir.

Həllərin yeganəliyi və başlanğıc şərtlərindəki kiçik dəyişikliklərə qarşı nəzarət üçün mənbə Lipschitz sabiti \(J\) ilə:

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

şərtini verir.

Bu bərabərsizliklərin məntiqi inteqral operatorunu contraction halına gətirərək Banach fixed-point teoremi altında yeganə həll əldə etməkdir.

Lokal sabitlik

Mənbə xəstəliksiz tarazlıq üçün fractional-order Matignon meyarını:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

şəklində istifadə edir.

Buradakı \(\lambda_j\), xəstəliksiz tarazlıqda hesablanan Jacobian matrisinin özqiymətləridir. Klassik sistemlərdə yalnız mənfi həqiqi hissə əsas meyar olduğu halda fractional-order sistemdə özqiymətin kompleks müstəvidəki bucağı da \(\tau\)-dan asılı sabitlik oblastını müəyyən edir.

İki özqiymət birbaşa:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

kimi tapılır.

Qalan dörd özqiymət:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

polinomunun kökləridir.

Mənbə:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

ifadələrini verir.

\(R_0<1\) olduqda \(b_4>0\) olur. Mənbə digər Routh–Hurwitz şərtlərinin də ödəndiyini müdafiə edərək qalan köklərin mənfi həqiqi hissəyə malik olduğunu, sonra isə Matignon meyarı ilə xəstəliksiz tarazlığın lokal asimptotik sabit olduğu nəticəsinə gəlir.

Qlobal endemik sabitlik və Lyapunov funksiyası

Mənbənin endemik tarazlıq üçün istifadə etdiyi Lyapunov strukturu:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Bu tip ifadə hər bölmənin endemik tarazlıq qiymətindən yayınmasını ölçən və tarazlıq nöqtəsində sıfıra enən müsbət enerji-bənzər funksiya kimi istifadə olunur.

Mənbənin Theorem 4.3 nəticəsi belədir: \(R_0>1\) və bütün uyğun vəziyyətlər üçün:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

olarsa və bərabərlik yalnız \(E^\ast\)-da baş verərsə:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

olur və endemik tarazlıq qlobal asimptotik sabit hesab edilir.

Çox mühüm mənbə sərhədi: Müəlliflər bütün admissible həllər üçün tələb olunan term üzrə:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

bərabərsizliklərinin tam yoxlanmasının geniş cəbr tələb etdiyini və öz sübutlarının əhatəsindən kənarda qaldığını açıq şəkildə bildirirlər. Buna görə Verianla qlobal stability nəticəsini əlavə kifayət şərtinə bağlı şərti nəticə kimi təqdim edir.

Ədədi Adams–Bashforth yanaşması

Mənbə fractional integral formasını:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

şəklində istifadə edir.

Bu tənlik iki hissədən ibarətdir. Birinci hissə cari zamandakı \(\Psi\) qiymətindən birbaşa istifadə edir; ikinci inteqral isə bütün keçmiş qiymətləri \((t-\eta)^{\tau-1}\) çəkisi ilə toplayır. Fractional memory ədədi sxemə bu ikinci hissə ilə daxil olur.

Adams–Bashforth yanaşmasında inteqral zaman intervallarına bölünür və hər intervalda modelin sağ tərəfi iki ardıcıl nöqtədən istifadə etməklə təxmini hesablanır. Mənbə iki çəkini:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

kimi tərif edir, sonra bunların qapalı formalarını çıxararaq hər bölmə üçün \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\) yeniləmə tənliklərini Tənlik (155)–(160) kimi verir.

Bu altı tənlik struktur baxımından eynidir; fərq yalnız istifadə olunan sağ-tərəf funksiyası \(K_1,\ldots,K_6\)-dır. Məsələn:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Adams–Bashforth sxeminin vəzifəsi bu sağ-tərəf axınlarını hər zaman addımında fractional-memory inteqralına uyğun şəkildə yaxınlaşdırmaqdır.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Ədədi simulyasiyada hansı məlumatlar bildirilir?

Mənbə parameter values və initial conditions-ın Zhang və b. [28]-dən götürüldüyünü bildirir, lakin bu məqalənin öz metod/cədvəl bölməsində həmin ədədi qiymətlərin hamısını yenidən sadalamır. Buna görə oxucu yalnız bu PDF-dən istifadə etməklə simulyasiyanı tam eyni parametrlərlə yenidən qura bilmir; Zhang və b. [28]-ə də müraciət etmək lazımdır.

Şəkil 2–7-də görünən fractional-order qiymətləri:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

kimi göstərilir. Qrafiklərin üfüqi oxu \(t=0\)–200 intervalındadır, lakin mənbə bu \(t\)-nin gün, ay və ya başqa fiziki zaman vahidi olduğunu bildirmir. Şəkil 8–13-də əlavə olaraq zaman və fractional order-ın birlikdə dəyişdiyi üçölçülü surface/contour təqdimatları vardır; burada fractional-order oxu təxminən 0.1–1 intervalında göstərilir.

Notasiya qeydi: Əsas nəzəriyyədə fractional order davamlı olaraq \(\tau\) simvolu ilə yazıldığı halda Şəkil 2–7 legend-lərində fərqli görünən \(v_1/\upsilon_1\) tipli simvol istifadə olunur. Mənbə bunun səbəbini ayrıca izah etmir; mətn bu qiymətləri fractional order kimi şərh edir.

Mənbə mətninin simulyasiya şərhi

Müəlliflər \(\tau\) qiymətinin sistemdə memory-dependent dynamics üçün mühüm olduğunu bildirirlər. Mənbə mətninə görə daha kiçik fractional order yaddaş təsirini gücləndirir və bəzi bölmələrin daha nəzarətli/daha yumşaq davranmasına səbəb olur.

Mənbə mətnində verilən şərhlər xülasə olaraq belədir:

Qrafiklərlə mənbə mətni tam uyğun gəlirmi?

Xeyr. PDF-in 15-ci səhifəsindəki Şəkil 2–5-in görünən əyriləri ilə 19–20-ci səhifələrdəki şifahi şərhlərin bir hissəsi bir-birinə əks görünür. Buna görə bu məqalədə xam əyrilərdən yeni ədədi nəticə çıxarılmamış və ziddiyyət açıq şəkildə qorunmuşdur.

Bu yoxlama mənbənin nəticələrini dəyişdirmək üçün deyil, oxucunun eyni mənbə daxilində qrafik və mətn arasındakı fərqi görməsi üçün aparılmışdır. Xam simulyasiya qiymətləri yayımlanmadığından Verianla qrafiklərdən interpolasiya və ya yeni əyri yaratmır.

Üçölçülü surface qrafikləri

Mənbə Şəkil 8–13 müvafiq olaraq \(S,E_1,E_2,I,T,R\) üçün zaman və fractional order-ın birlikdə dəyişdiyi üçölçülü surface və ikiölçülü contour təsvirləri təqdim edir. Müəlliflər bu səthləri fractional-order parametrinin peak height və convergence speed üzərində təsirli olduğunun vizual dəstəyi kimi şərh edirlər.

Mənbə mətni kiçik \(\tau\) qiymətlərinin sistemi daha tez sabitləşdirdiyini və səthlərin sabit endemik tarazlığa yaxınlaşmanı dəstəklədiyini bildirir. Lakin yuxarıda qeyd olunan qrafik/mətn uyğunsuzluqları və xam məlumat çatışmazlığı səbəbindən bu Verianla mətni həmin ifadəni mənbə müəlliflərinin şərhi kimi ayırır; səthlərdən müstəqil yeni convergence-rate qiyməti hesablamır.

Caputo modeli ilə mənbə müqayisəsi

Bu cədvəl predictive-accuracy benchmark deyil. Mənbə MAE, RMSE, likelihood, real data fit, cross-validation və ya klinik proqnoz uğuru müqayisəsi aparmır. Müqayisə model strukturu və üsul xüsusiyyətləri səviyyəsindədir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Mənbə altı bölməli, iki ayrı məruz qalma sinfinə malik fractional-order TB modeli müəyyən edir.
• ABC törəməsi və Mittag–Leffler kernel-i model dinamikasına keçmiş vəziyyətləri ehtiva edən non-local memory strukturu əlavə edir.
• Model üçün pozitivlik və boundedness arqumentləri işlənib hazırlanmışdır.
• Sabit nöqtə üsulları ilə həllin mövcudluğu və müəyyən contraction şərtləri altında yeganəliyi araşdırılmışdır.
• Xəstəliksiz və endemik tarazlıq nöqtələri analitik olaraq çıxarılmışdır.
• Next-generation matrix istifadə edilərək \(R_0\) üçün açıq formula əldə edilmişdir.
• Cədvəl 2-yə görə \(\beta\), istifadə olunan parametr nöqtəsində \(R_0\)-ın ən güclü müsbət həssaslıq parametridir.
• Cədvəl 2-yə görə \(\sigma_1\) ən güclü mənfi; \(\gamma\) isə orta dərəcəli mənfi həssaslığa malikdir.
• \(R_0<1\) üçün xəstəliksiz tarazlığın lokal asimptotik sabitliyi mənbədə Routh–Hurwitz və Matignon meyarları ilə təhlil edilmişdir.
• \(R_0>1\) halında endemik tarazlığın qlobal sabitliyi əlavə \(\psi\leq\varpi\) kifayət şərti altında Lyapunov yanaşması ilə verilmişdir.
• Fractional order dəyişməsi modelin keçid davranışını və bölmələrin hesablanmış zaman təkamülünü dəyişdirir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Model Khyber Pakhtunkhwa üçün real pasiyent məlumatları ilə kalibrasiya və ya doğrulama edilməmişdir.
• Simulyasiya nəticələri klinik məlumat deyil.
• Həssaslıq indeksi ictimai səhiyyə müdaxiləsinin real dünyada eyni faizlə hadisələri azaldacağını göstərmir.
• \(R_0\) formulu özlüyündə konkret ölkə və ya dövr üçün real TB \(R_0\)-ını ölçmür.
• Fractional order-ın bioloji molekul, pasiyent xüsusiyyəti və ya birbaşa ölçülmüş klinik parametr olduğu göstərilməmişdir.
• ABC modelinin Caputo modelindən real məlumat proqnoz dəqiqliyi baxımından üstün olduğu göstərilməmişdir.
• Mənbə qrafiklərindəki bütün meyllərin mətn izahları ilə uyğun olduğu deyilə bilməz.
• Endemik tarazlığın global stability nəticəsi əlavə kifayət şərti olmadan tamamlanmış ümumi sübut deyil.
• Stoxastik ötürülmə, məkan heterogenliyi, zamanla dəyişən parametrlər və zamandan asılı müdaxilələr bu modeldə birbaşa simulyasiya edilməmişdir.

Mənbənin öz məhdudiyyətləri

Nəticə bölməsi mənbə modelinin stochasticity, heterogeneous environment və time-dependent intervention strategies strukturlarını nəzərə almadığını; epidemiological parameters-ın zamanla dəyişməsini əhatə etmədiyini bildirir.

Mənbə həmçinin “does not consider homogeneous mixing” ifadəsindən istifadə edir. Lakin bu cümlənin modeldə istifadə olunan normallaşdırılmış təmas termini \(\beta SI/N\) ilə necə əlaqələndirildiyi ayrıca izah edilmir. Verianla bu ifadəni “model qəti şəkildə homogen qarışma fərz edir” və ya “qəti şəkildə fərz etmir” formasında yenidən yazmır.

Mənbənin ən mühüm reproducibility məhdudiyyətlərindən biri simulyasiyada istifadə olunan parameter values və initial conditions-ın Zhang və b. [28]-dən götürüldüyünün deyilməsinə baxmayaraq bu tədqiqatda ədədi siyahının yenidən verilməməsidir. Bundan əlavə, qrafiklərdəki zaman oxu üçün fiziki zaman vahidi və istifadə olunan ədədi \(h\) addım ölçüsünün simulyasiya bölməsində açıq tətbiq qiyməti bildirilmir.

Müəlliflərin gələcək tədqiqat təklifləri stochastic, spatially distributed və data-driven fractional-order modellərin işlənib hazırlanmasıdır. Bu təklif mövcud tədqiqatın nəzəri və ədəbiyyat-parametrli strukturunun müəlliflərin özləri tərəfindən də məhdud hesab edildiyini göstərir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Müəlliflər: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Müəllif sırası: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Məsul müəllif: Kottakkaran Sooppy Nisar; mənbə PDF-də ulduz işarəsi və n.sooppy@psau.edu.sa ünvanı ilə göstərilmişdir.

Bərabər töhfə: Mənbədə bərabər birinci müəlliflik/bərabər töhfə bəyanı müəyyən edilməmişdir.

Muhammad Farman afiliyasiyaları: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Kottakkaran Sooppy Nisar afiliyasiyası: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Jurnal: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Bölmə: Mathematics & Statistics.

Nəşriyyat: Nigerian Society of Physical Sciences.

Cild / nömrə / məqalə nömrəsi: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Göndərilmə tarixi: 8 may 2026.

Reviziya tarixi: 13 iyul 2026.

Qəbul tarixi: 18 iyul 2026.

Onlayn nəşr: 10 avqust 2026.

Mənbə növü: Resenziyalı nəzəri/ədədi riyazi epidemiologiya tədqiqat məqaləsi.

Resenziya: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences rəsmi jurnal məlumatında peer-reviewed və single-blind peer-review istifadə edən jurnal kimi müəyyən edilir.

Lisenziya: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Əsas metod: Atangana–Baleanu–Caputo kəsr törəməsi, Mittag–Leffler kernel-i, altı bölməli deterministik TB modeli, next-generation matrix, normallaşdırılmış irəli həssaslıq analizi, sabit nöqtə nəzəriyyəsi, Routh–Hurwitz/Matignon lokal sabitlik analizi, Lyapunov/LaSalle əsaslı şərti qlobal sabitlik və ABC-yə uyğun Adams–Bashforth ədədi yanaşması.

Əsas model bölmələri: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Mənbə parametr məlumatı: Simulyasiya parametr qiymətləri və initial conditions Zhang və b. [28]-dən götürülmüşdür. Bu məqalə həmin ədədi parametr dəstini öz daxilində tam şəkildə təkrar sadalamır.

Real məlumat vəziyyəti: Mənbə nəticə bölməsində istifadə olunan simulyasiya qiymətlərinin ədəbiyyat əsaslı olduğunu və klinik məlumat olmadığını bildirir. Khyber Pakhtunkhwa real pasiyent zaman sırasına birbaşa fitting/validation bildirilməmişdir.

Maliyyələşdirmə: Prince Sattam bin Abdulaziz University, layihə PSAU/2025/01/34222.

Məlumatların əlçatanlığı: Tədqiqatın nəticələrini dəstəkləyən məlumatların əsaslandırılmış sorğu əsasında məsul müəllifdən əldə edilə biləcəyi bildirilmişdir.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər competing interest olmadığını bəyan etmişlər.

Təşəkkür: Müəlliflər Prince Sattam bin Abdulaziz University-yə PSAU/2025/01/34222 layihəsi çərçivəsində maliyyələşdirməyə görə təşəkkür edirlər.

CRediT / müəllif töhfələri: Yüklənmiş məqalədə ayrıca CRediT/müəllif töhfəsi bəyanı müəyyən edilməmişdir.

Rəsmi başlıq fərqi: PDF başlığında “tuberculosis model” forması işlənir. Jurnalın veb səhifəsində başlıq “tuberculosisvmodel” şəklində dizgi xətası ilə görünür. Verianla PDF-dəki başlığı orijinal elmi başlıq kimi qorumuşdur.

Mənbədaxili notasiya problemi: Tənlik (3)-də ABC inteqral operatoru \(\omega(t)\)-yə tətbiq edildiyi halda ilk sağ-tərəf terminində \(\chi(t)\) yazılmış və bu simvol həmin kontekstdə tərif edilməmişdir.

Mənbədaxili həssaslıq problemi: Cədvəl 2-nin ədədi normallaşdırılmış sensitivity qiymətləri ilə mənbə Şəkil 1-in bəzi sütun etiketləri bir-birinə uyğun gəlmir. Verianla Cədvəl 2-ni açıq tabulyasiya mənbəyi kimi ayrıca təqdim etmişdir.

Mənbədaxili simulyasiya problemi: Şəkil 2–5-in görünən meylləri, xüsusilə \(S,E_1,E_2,I\) üçün mənbə müzakirəsindəki bəzi “azalır / əvvəl artıb sonra azalır” ifadələri ilə uyğun gəlmir. Verianla bu fərqi örtməyib.

Qlobal sabitlik sərhədi: Endemik tarazlığın global asymptotic stability nəticəsi \(R_0>1\)-ə əlavə olaraq \(\psi\leq\varpi\) əlavə kifayət şərtindən asılıdır. Mənbə tələb olunan bütün termwise inequality-lərin tam sübutunu tədqiqatın əhatəsindən kənarda saxlayır.

Reproducibility sərhədi: Ədədi parametrlərin/başlanğıc şərtlərinin tam siyahısı, fiziki zaman vahidi və tətbiqdə istifadə olunan açıq ədədi timestep bu məqalədə tam yenidən istehsal paketi şəklində verilməmişdir.

Əsas şərh sərhədi: Bu tədqiqat nəzəri epidemioloji modeldir. Model nəticələri konkret cəmiyyətdəki real hadisə sayı, klinik müalicə effektivliyi və ya ictimai səhiyyə müdaxiləsinin sahə nəticəsi ilə eyniləşdirilməməlidir.