Modeli ya kifractional ya kifua kikuu ya Atangana–Baleanu–Caputo (ABC), ni modeli ya kihisabati ya kideterministi yenye makundi ambayo inaunganisha mienendo ya maambukizi ya kifua kikuu na maendeleo ya ugonjwa si tu na hali za wakati wa sasa, bali pia na athari ya kumbukumbu inayobebwa na hali za zamani kuingia kwenye modeli. Utafiti unagawanya jumla ya watu katika madarasa sita: walio katika hatari \(S(t)\), walioathiriwa polepole \(E_1(t)\), walioathiriwa haraka \(E_2(t)\), walioambukizwa \(I(t)\), walio katika matibabu \(T(t)\), na waliopona \(R(t)\). Badala ya derivative ya kawaida ya daraja la kwanza, modeli hutumia derivative ya fractional ya Atangana–Baleanu–Caputo yenye kernel ya Mittag–Leffler.

Ubunifu mkuu wa modeli ni kwamba badala ya kuwaweka watu walioathiriwa na kifua kikuu katika darasa moja la latent/waathiriwa, hutumia njia mbili tofauti za kuendelea kwa ugonjwa. Baada ya mtu aliye katika hatari kuwasiliana na mtu aliyeambukizwa, sehemu ya \(\omega\) ya waathiriwa wapya huingia katika darasa la walioathiriwa polepole \(E_1\), na sehemu ya \(1-\omega\) huingia moja kwa moja katika darasa la walioathiriwa haraka \(E_2\). Kutoka \(E_1\) kwenda \(E_2\) kuna mpito wa \(\varsigma_1\), na kutoka \(E_2\) kwenda kwenye maambukizi hai \(I\) kuna mpito wa \(\varsigma_2\). Watu walioambukizwa huingia katika darasa la matibabu kwa kiwango cha \(\gamma\), huku kukiwa na njia za kurudi kutoka darasa la \(T\) kwenda \(I\) na pia \(E_1\) pale matibabu yanaposhindwa.

Utafiti unachunguza sifa za kihisabati za modeli kama kutotoa idadi hasi ya watu katika eneo lenye maana ya kibiolojia, kubaki kwa suluhisho ndani ya mipaka, kuwepo kwa suluhisho na upekee wake. Usawaziko usio na ugonjwa \(E^0\) na usawaziko wa endemic \(E^\ast\) umetolewa; namba ya msingi ya uzazi \(R_0\) imepatikana kwa mbinu ya next-generation matrix. Kulingana na fomula ya chanzo, \(R_0\) ina termu nne zinazojumuisha njia za waathiriwa wa haraka na polepole, pamoja na njia za kurudi zinazotokana na kushindwa kwa matibabu.

Katika uchanganuzi wa normalized forward sensitivity, Jedwali 2 la chanzo linaripoti kwamba coefficient ya transmission \(\beta\), yenye \(+0.9186\), ndiyo parameta yenye nguvu zaidi ya kuongeza \(R_0\); kiwango cha vifo vinavyohusiana na ugonjwa katika darasa la walioambukizwa \(\sigma_1\), chenye \(-0.6243\), kina unyeti hasi wenye nguvu zaidi; na kiwango cha matibabu \(\gamma\), chenye \(-0.2607\), kinaonyesha athari hasi ya kiwango cha kati. Hata hivyo, kwa kuwa baadhi ya lebo za nguzo katika Kielelezo 1 cha chanzo kwenye ukurasa huohuo hazilingani na Jedwali 2, Verianla hutumia thamani zilizo wazi katika jedwali kama msingi wa thamani za namba za unyeti.

Katika uchanganuzi wa uthabiti wa ndani, vigezo vya Routh–Hurwitz na fractional-order Matignon vilitumika kwa usawaziko usio na ugonjwa chini ya \(R_0<1\). Matokeo ya uthabiti wa global kwa usawaziko wa endemic yanategemea, pamoja na \(R_0>1\), sharti la \(\psi\leq\varpi\) linalofanya derivative ya Lyapunov kuwa negative semidefinite katika hali zote zinazofaa. Waandishi pia wanasema wazi kwamba uthibitisho kamili wa inequality hii ya termu-kwa-termu kwa hali zote zinazoruhusiwa uko nje ya upeo wa kazi. Kwa hiyo, matokeo ya uthabiti wa global wa usawaziko wa endemic yanapaswa kusomwa kama sharti la kutosha lenye masharti.

Katika suluhisho la namba hutumiwa mkabala wa Adams–Bashforth uliorekebishwa kwa umbo la integral la ABC. Chanzo kinalinganisha thamani za fractional-order 1.00, 0.95, 0.90 na 0.85 katika Vielelezo 2–7. Tafsiri ya jumla ya waandishi ni kwamba fractional order inapopungua, athari ya kumbukumbu huongezeka na tabia ya transient hubadilika. Hata hivyo, kwa kuwa mielekeo inayoonekana kwenye grafu na baadhi ya maelezo ya “huongezeka/hupungua” katika maandishi hayalingani kikamilifu, Verianla hailazimishi grafu hizi kuoanishwa na tafsiri zilizoandikwa katika chanzo.

Mpaka muhimu zaidi wa tafsiri wa utafiti ni huu: matokeo haya si utabiri wa kliniki uliowekwa fit kwenye time series halisi ya wagonjwa wa Khyber Pakhtunkhwa. Makala inaeleza kwamba thamani za parameta na initial conditions zilichukuliwa kutoka utafiti wa awali wa kihisabati wa TB wa Zhang na wenzake; sehemu ya hitimisho pia inakiri wazi kwamba simulations zinatumia thamani za fasihi na kwamba hakuna data ya kliniki. Kwa hiyo, modeli ni mfumo wa epidemiolojia ya kinadharia; haipaswi kuchukuliwa kuwa inatabiri moja kwa moja ukubwa wa mlipuko katika jamii halisi au matokeo ya mpango fulani wa matibabu.

Derivative ya Fractional ya Atangana–Baleanu–Caputo Inafanya Kazi Gani Katika Modeli ya TB?

Derivative ya fractional ya Atangana–Baleanu–Caputo ni operator ya derivative ya fractional inayounganisha kasi ya mabadiliko ya mfumo si tu na hali yake ya sasa bali pia na athari yenye uzani ya hali zake za zamani, ikitumia kernel isiyo singular ya aina ya Mittag–Leffler. Katika utafiti huu, parameta ya fractional order \(\tau\in(0,1]\) ni parameta ya kihisabati inayowakilisha athari ya kumbukumbu ya hali za zamani za makundi ya kifua kikuu kwenye mienendo ya sasa; \(\tau=1\) huwakilisha kikomo cha kawaida cha integer order, huku \(\tau<1\) zikizalisha tabia ya kumbukumbu ya fractional.

Ufafanuzi wa derivative ya fractional ya ABC uliotumika katika chanzo

Katika Mlinganyo (1), chanzo kinafafanua derivative ya Atangana–Baleanu–Caputo kama:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

kama ifuatavyo.

Hapa:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\) ni operator ya Atangana–Baleanu–Caputo fractional derivative.
• \(\tau\) ni fractional order na katika chanzo inachukuliwa katika wigo wa \(0<\tau\leq1\).
• \(\omega(t)\) ni funksioni ambayo derivative yake inachukuliwa.
• \(\vartheta\) ni kigezo cha integral kinachowakilisha wakati uliopita.
• \(Z(\tau)\) ni funksioni ya normalization inayokidhi sharti la \(Z(0)=Z(1)=1\).
• \(E_\tau\) ni funksioni ya Mittag–Leffler.

Katika mlinganyo huu, badala ya mabadiliko ya ndani pekee kama katika derivative ya kawaida, kuna integral ya hali zote zilizopita kutoka \(0\) hadi wakati wa sasa \(t\). Kernel ya Mittag–Leffler yenye \((t-\vartheta)^\tau\) hutoa muundo wa kumbukumbu unaoamua jinsi hali za zamani zinavyopewa uzani katika hesabu.

Funksioni ya Mittag–Leffler

Mlinganyo (2) wa chanzo ni:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

kama ifuatavyo.

\(\Gamma(\cdot)\) ni funksioni ya Gamma. Katika fractional calculus, funksioni ya Mittag–Leffler ni funksioni iliyopanuliwa yenye jukumu linalofanana na la funksioni ya eksponensia. \(\tau\) inapobadilika, namna athari ya zamani inavyopungua inaweza kutofautiana na tabia ya kawaida ya \(e^x\). Utafiti huu hutumia sifa hii kuingiza kumbukumbu kwenye modeli ya TB.

Integral ya fractional ya ABC

Katika Mlinganyo (3), chanzo huchapisha integral ya ABC kama:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

kama ifuatavyo.

Kutokuwa wazi kwa notation ndani ya chanzo: Ingawa upande wa kushoto wa operator una \(\omega(t)\), termu ya kwanza upande wa kulia imeandikwa \(\chi(t)\). Chanzo hakifafanui \(\chi(t)\) kando katika sehemu hii. Katika sehemu zinazofuata \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) hutumiwa kwa viwango vingine vilivyounganishwa vya mpito. Kwa hiyo Verianla haibadilishi kimya kimya \(\chi(t)\) katika Mlinganyo (3) kuwa \(\omega(t)\).

Kwa Nini Madarasa Mawili Tofauti ya Waathiriwa \(E_1\) na \(E_2\) Yanatumika?

Modeli hutumia njia mbili tofauti za exposure ili kuwakilisha ukweli kwamba baada ya mawasiliano na mtu aliyeambukizwa, si kila mtu huendelea hadi maambukizi hai kwa kasi ileile: \(E_1(t)\) ni watu walioathiriwa polepole na \(E_2(t)\) ni watu walioathiriwa haraka. Sehemu ya \(\omega\) ya exposures mpya huenda \(E_1\), sehemu ya \(1-\omega\) huenda moja kwa moja \(E_2\); kisha mlolongo wa maendeleo \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) na njia za kurudi baada ya kushindwa kwa matibabu huongezwa kwenye modeli.

Makundi sita

Milinganyo ya modeli

Mlinganyo (4) wa chanzo:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Katika mlinganyo wa kwanza, \(\Delta\) huwakilisha uingiaji wa watu katika darasa la walio katika hatari, \(\beta SI/N\) huwakilisha mtiririko wa mawasiliano unaoweza kusababisha maambukizi, na \(\nu S\) huwakilisha kutoka kwa sababu ya kifo cha kawaida.

Katika milinganyo ya pili na ya tatu, mtiririko mpya wa exposure hugawanywa katika matawi mawili. Sehemu ya \(\omega\beta SI/N\) huenda \(E_1\), na sehemu ya \((1-\omega)\beta SI/N\) huenda \(E_2\). Pia kutoka \(E_1\) kwenda \(E_2\) kuna mpito wa \(\varsigma_1E_1\).

Katika mlinganyo wa nne, mpito kutoka \(E_2\) kwenda maambukizi hai ni \(\varsigma_2E_2\). Sehemu ya \(\rho\delta T\) ya kushindwa kwa matibabu pia hurudi moja kwa moja kwenye darasa la walioambukizwa.

Katika mlinganyo wa tano, kuingia kwa walioambukizwa katika darasa la matibabu kwa mtiririko wa \(\gamma I\) kunamodeliwa. Katika mlinganyo wa sita, mtiririko wa \(\phi T\) ni mpito kutoka matibabu kwenda darasa la waliopona.

Viwango vya kutoka vilivyounganishwa

Chanzo hutumia:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

ufafanuzi huu.

Hizi si parameta mpya za kibiolojia zenyewe, bali ni viwango vilivyounganishwa vinavyotumiwa kufupisha viwango vya jumla vya kutoka katika kundi husika. Kwa mfano, kwa kuwa kutoka katika darasa la \(I\) kunajumuisha kifo cha kawaida \(\nu\), kuingia katika matibabu \(\gamma\), na kifo kinachohusiana na ugonjwa \(\sigma_1\), basi \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\).

Masharti ya awali

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Chanzo kinahitaji kwamba idadi zote za watu za awali zianze na thamani zisizo hasi. Hata hivyo, hakitoi thamani halisi za namba za initial conditions zilizotumika katika simulation katika jedwali lake lenyewe; kinasema kwamba zilitolewa kutoka Zhang et al. [28].

Parameta za modeli

Jumla ya watu na boundedness

Jumla ya watu inafafanuliwa kama:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

kama ifuatavyo.

Milinganyo yote sita inapojumlishwa, maambukizi na mipito ya ndani kati ya makundi hufutana na:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

hupatikana.

Kwa kuwa \(\sigma_1I\) na \(\sigma_2T\) ni termu hasi za kutoka:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

na chanzo hutumia:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

kama upper bound. Bound hii ni sharti la kihisabati la boundedness linalozuia idadi ya watu katika modeli kukimbilia infinity.

Chanzo kinafafanua feasible region takribani kama:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

kama ifuatavyo.

Mgongano wa prose ndani ya chanzo: Katika sehemu ileile ya well-posedness, kwanza inahitajika \(N(t)\) iwe inaongezeka na \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\), lakini baadaye kuna sentensi inayoelekea kusema hali ya \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) imeondolewa. Verianla haipatanishi sentensi hizi mbili; inatumia mpaka ulioandikwa wazi kihisabati katika Milinganyo (9)–(11) kama msingi.

Kwa nini positivity ni muhimu?

Idadi hasi katika makundi ya watu haina maana ya kibiolojia. Chanzo kinatumia kanuni ya kulinganisha na funksioni ya Mittag–Leffler kujaribu kuonyesha kwamba kama thamani za awali si hasi, basi suluhisho pia hubaki zisizo hasi ndani ya feasible region.

Kwa mfano, kwa darasa la walio katika hatari:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Lower bounds zinazofanana zimetolewa pia kwa \(E_1,E_2,I,T,R\), na chanzo kinahitimisha kwamba vigezo vyote vya hali hubaki katika eneo lisilo hasi.

Namba ya Msingi ya Uzazi \(R_0\) Inaundwaje Katika Modeli Hii?

Namba ya msingi ya uzazi \(R_0\) ni ukubwa wa kizingiti unaowakilisha uwezo wa jumla wa kuzalisha maambukizi mapya katika sub-system ya walioambukizwa/waathiriwa ikilinganishwa na michakato ya mpito na kuondoka. Utafiti huchagua sub-system ya walioambukizwa \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\), huunda next-generation matrix \(K=FV^{-1}\), na kutoa \(R_0\) kama eigenvalue kuu/spectral radius ya matrix hiyo.

Usawaziko usio na ugonjwa

Nukta ya usawaziko usio na ugonjwa ya chanzo ni:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Katika nukta hii watu wote wako katika darasa la walio katika hatari; madarasa ya walioathiriwa, walioambukizwa, walio katika matibabu na waliopona ni sifuri.

Sub-system ya walioambukizwa

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Vekta ya maambukizi mapya:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

na mipito mingine huandikwa kama:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

kama ifuatavyo.

Fomula ya \(R_0\)

Next-generation matrix ni:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

na chanzo kinapata kutoka eigenvalue kuu:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

usemi huu.

Tafsiri ya kibiolojia/kihisabati ya termu nne

Termu ya kwanza inahusishwa na mawasiliano mapya kuingia katika njia ya exposure ya polepole \(E_1\), kisha kuendelea katika mlolongo wa \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\).

Termu ya pili inawakilisha njia ya exposure ya haraka inayoingia moja kwa moja katika \(E_2\) baada ya mawasiliano.

Termu ya tatu inahusishwa na mlolongo wa maambukizi → matibabu → kushindwa kwa matibabu → \(E_1\) → \(E_2\) → kurudi katika maambukizi.

Termu ya nne inahusishwa na njia ya maambukizi → matibabu → kurudi moja kwa moja katika darasa la maambukizi.

Chanzo kinatoa Remark inayoeleza hasa kwa nini \(\beta\) haipo katika termu mbili za mwisho. Tafsiri ya waandishi ni kwamba termu hizi hazitokani na matrix ya maambukizi mapya \(F\), bali hutokana na njia za kushindwa kwa matibabu/mipito ndani ya \(V^{-1}\). Verianla huhifadhi maelezo haya kama tafsiri ya chanzo.

Usawaziko wa endemic

Usawaziko wa endemic wa chanzo ni:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Vipengele vya chanzo ni:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Chanzo kinasema kwamba usawaziko wa endemic upo wakati \(R_0>1\). Uwepo wa factor \(R_0-1\) katika Mlinganyo (27) pia unahusiana moja kwa moja na kizingiti hiki.

Normalized sensitivity index

Athari ya uwiano ya parameta kwenye \(R_0\) huhesabiwa kwa:

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

kama ifuatavyo.

Ukubwa huu hauna vipimo. Thamani chanya inaonyesha kuwa parameta inapoongezeka \(R_0\) hubadilika katika mwelekeo wa kuongezeka; thamani hasi inaonyesha kuwa \(R_0\) hubadilika katika mwelekeo wa kupungua. Kadiri thamani kamili inavyokuwa kubwa, ndivyo unyeti wa uwiano wa \(R_0\) kwa parameta hiyo unavyoongezeka.

Kwa mfano, \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\) ina maana kwamba karibu na nukta ya parameta iliyotumika, ongezeko la uwiano katika \(\beta\) hubadilisha \(R_0\) kwa nguvu katika mwelekeo huohuo. Namba hii haimaanishi moja kwa moja kwamba “kupunguza \(\beta\) kwa 1% kutapunguza TB halisi kwa 0,9186%”; ni normalized sensitivity ya ndani ya \(R_0\) ya kihisabati pekee.

Kwa nini Jedwali 2 na Kielelezo 1 cha chanzo viliwekwa tofauti?

Kwenye ukurasa huohuo wa PDF, orodha ya wazi ya namba katika Jedwali 2 na baadhi ya lebo za nguzo za Kielelezo 1 kilichochorwa chini yake zinatofautiana. Hali hii inazuia kutambua kwa uhakika kutoka kwenye chanzo ni seti gani ya data iliyohamishwa kwenda kwenye grafu ya kuona. Kwa hiyo, Verianla huzalisha upya moja kwa moja jedwali la wazi na la kipekee la namba; haichukui wastani, haisahihishi wala kuunda thamani mpya za unyeti kutokana na namba tofauti za Kielelezo 1 cha chanzo.

Kuwepo na upekee wa suluhisho vinamaanisha nini?

Kuunda mfumo wa milinganyo tofauti ya epidemiolojia pekee hakutoshi. Kwa masharti fulani ya awali, kuwepo kwa angalau suluhisho moja huitwa kuwepo, na kutokuwepo kwa suluhisho kadhaa tofauti chini ya masharti hayo hayo huitwa upekee.

Chanzo kwanza huandika pande za kulia za modeli kama:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

na:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

katika umbo la vekta.

Kisha, kwa kutumia theorem ya fixed point ya Schauder, hutumia sharti la kutosha la aina:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

kwa kuwepo kwa angalau suluhisho moja.

Kwa upekee wa suluhisho na udhibiti dhidi ya mabadiliko madogo katika masharti ya awali, chanzo hutumia konstanti ya Lipschitz \(J\) pamoja na:

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

sharti hili.

Hoja ya inequalities hizi ni kufanya operator ya integral kuwa contraction na hivyo kupata suluhisho la kipekee chini ya Banach fixed-point theorem.

Uthabiti wa ndani

Kwa usawaziko usio na ugonjwa, chanzo hutumia criterion ya fractional-order Matignon:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

kama ifuatavyo.

Hapa \(\lambda_j\) ni eigenvalues za Jacobian matrix zilizohesabiwa kwenye usawaziko usio na ugonjwa. Katika mifumo ya kawaida, sehemu halisi hasi pekee ndiyo criterion kuu, ilhali katika mfumo wa fractional-order, pembe ya eigenvalue katika uwanda changamano pia huamua eneo la uthabiti linalotegemea \(\tau\).

Eigenvalues mbili hupatikana moja kwa moja kama:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

kama ifuatavyo.

Eigenvalues nne zilizobaki ni mizizi ya polynomial:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

Hizi ni mizizi ya polynomial hiyo.

Chanzo kinatoa:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

misemo hii.

Chini ya \(R_0<1\), \(b_4>0\). Chanzo kinadai kwamba masharti mengine ya Routh–Hurwitz pia yanatimizwa, hivyo mizizi iliyobaki ina sehemu halisi hasi, na kisha kwa criterion ya Matignon kinahitimisha kwamba usawaziko usio na ugonjwa ni locally asymptotically stable.

Uthabiti wa global wa endemic na funksioni ya Lyapunov

Muundo wa Lyapunov unaotumiwa na chanzo kwa usawaziko wa endemic ni:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Usemi wa aina hii hutumiwa kama funksioni chanya inayofanana na nishati, inayopima kupotoka kwa kila kundi kutoka thamani yake ya usawaziko wa endemic na kufikia sifuri kwenye nukta ya usawaziko.

Matokeo ya Theorem 4.3 ya chanzo ni haya: ikiwa \(R_0>1\) na kwa hali zote zinazofaa:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

na usawa hutokea tu katika \(E^\ast\), basi:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

na usawaziko wa endemic hukubaliwa kuwa globally asymptotically stable.

Kikomo muhimu sana cha chanzo: Waandishi wanasema wazi kwamba uthibitishaji kamili wa inequalities za termu-kwa-termu:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

unaohitajika kwa suluhisho zote admissible unahitaji algebra pana na uko nje ya upeo wa uthibitisho wao. Kwa hiyo, Verianla huwasilisha matokeo ya global stability kama matokeo yenye masharti yanayotegemea sharti la ziada la kutosha.

Mkabala wa namba wa Adams–Bashforth

Chanzo hutumia umbo la fractional integral:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

kama ifuatavyo.

Mlinganyo huu una sehemu mbili. Sehemu ya kwanza hutumia moja kwa moja thamani ya \(\Psi\) katika wakati wa sasa; integral ya pili hukusanya thamani zote za zamani kwa uzani wa \((t-\eta)^{\tau-1}\). Fractional memory huingia katika scheme ya namba kupitia sehemu hii ya pili.

Katika mkabala wa Adams–Bashforth, integral hugawanywa katika vipindi vya wakati na katika kila kipindi upande wa kulia wa modeli hukadiriwa kwa kutumia nukta mbili zinazofuatana. Chanzo kinafafanua uzani mbili kama:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

kisha kinatoa closed forms zao na kutoa milinganyo ya kusasisha \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\) kwa kila kundi kama Milinganyo (155)–(160).

Milinganyo hii sita ina muundo uleule; tofauti ni funksioni ya upande wa kulia \(K_1,\ldots,K_6\) inayotumiwa. Kwa mfano:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Jukumu la scheme ya Adams–Bashforth ni kukadiria mtiririko huu wa upande wa kulia katika kila hatua ya wakati kwa namna inayolingana na integral ya fractional-memory.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Ni taarifa gani zinaripotiwa katika simulation ya namba?

Chanzo kinasema kwamba parameter values na initial conditions zilichukuliwa kutoka Zhang et al. [28], lakini hakiorodheshi upya thamani zote za namba katika sehemu yake ya mbinu/jedwali. Kwa hiyo msomaji hawezi kuunda upya simulation kwa parameta zilezile kwa kutumia PDF hii pekee; ni lazima pia kurejea Zhang et al. [28].

Thamani za fractional-order zinazoonekana katika Vielelezo 2–7 ni:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

kama zilivyoonyeshwa. Mhimili mlalo wa grafu uko katika wigo wa \(t=0\)–200, lakini chanzo hakielezi kama \(t\) ni siku, miezi au kitengo kingine cha kimwili cha wakati. Katika Vielelezo 8–13 kuna pia maonyesho ya surface/contour ya vipimo vitatu ambapo wakati na fractional order hubadilika pamoja; hapa mhimili wa fractional-order unaonyeshwa takribani katika wigo wa 0.1–1.

Dokezo la notation: Katika nadharia kuu fractional order huandikwa mara kwa mara kwa alama \(\tau\), ilhali katika legend za Vielelezo 2–7 hutumika alama inayoonekana tofauti ya aina ya \(v_1/\upsilon_1\). Chanzo hakielezi sababu yake; maandishi hutafsiri thamani hizi kama fractional order.

Tafsiri ya simulation katika maandishi ya chanzo

Waandishi wanasema kwamba thamani ya \(\tau\) ni muhimu kwa memory-dependent dynamics ya mfumo. Kwa mujibu wa prose ya chanzo, fractional order ndogo huimarisha athari ya kumbukumbu na kusababisha baadhi ya makundi kuwa na tabia iliyodhibitiwa/nyororo zaidi.

Tafsiri zinazotolewa katika maandishi ya chanzo kwa muhtasari ni:

Je, grafu na maandishi ya chanzo yanalingana kikamilifu?

Hapana. Mikunjo inayoonekana ya Vielelezo 2–5 kwenye ukurasa wa 15 wa PDF na sehemu ya maelezo ya maneno kwenye kurasa 19–20 zinaonekana kupingana katika baadhi ya maeneo. Kwa hiyo, makala hii haitoi matokeo mapya ya namba kutoka kwenye mikunjo ghafi na huhifadhi wazi mgongano huo.

Ukaguzi huu haujafanywa kubadilisha matokeo ya chanzo, bali kumwezesha msomaji kuona tofauti kati ya grafu na prose ndani ya chanzo kilekile. Kwa kuwa thamani ghafi za simulation hazijachapishwa, Verianla haifanyi interpolation kutoka kwenye grafu wala kuunda mikunjo mipya.

Grafu za surface za vipimo vitatu

Chanzo katika Vielelezo 8–13 kinawasilisha, kwa \(S,E_1,E_2,I,T,R\) mtawalia, surfaces za vipimo vitatu na contours za vipimo viwili ambapo wakati na fractional order hubadilika pamoja. Waandishi hutafsiri surfaces hizi kama ushahidi wa kuona kwamba parameta ya fractional-order ina athari kwenye peak height na convergence speed.

Maandishi ya chanzo yanasema kwamba thamani ndogo za \(\tau\) huufanya mfumo kuwa stable kwa kasi zaidi na surfaces zinaunga mkono convergence kuelekea usawaziko wa endemic ulio stable. Hata hivyo, kutokana na kutolingana kwa grafu/prose kulikotajwa hapo juu na ukosefu wa data ghafi, maandishi haya ya Verianla hutenganisha kauli hiyo kama tafsiri ya waandishi wa chanzo; hayahesabu thamani mpya ya convergence-rate moja kwa moja kutoka kwenye surfaces.

Ulinganisho wa chanzo na modeli ya Caputo

Jedwali hili si predictive-accuracy benchmark. Chanzo hakilinganishi MAE, RMSE, likelihood, real data fit, cross-validation au mafanikio ya utabiri wa kliniki. Ulinganisho uko katika kiwango cha muundo wa modeli na sifa za mbinu.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Chanzo kinafafanua modeli ya TB ya fractional-order yenye makundi sita na madarasa mawili tofauti ya walioathiriwa.
• Derivative ya ABC na kernel ya Mittag–Leffler huongeza muundo wa non-local memory unaojumuisha hali za zamani kwenye mienendo ya modeli.
• Hoja za positivity na boundedness zimetengenezwa kwa ajili ya modeli.
• Kuwepo kwa suluhisho na, chini ya masharti fulani ya contraction, upekee wake umechunguzwa kwa mbinu za fixed point.
• Nukta za usawaziko usio na ugonjwa na wa endemic zimetolewa kwa njia ya analitiki.
• Kwa kutumia next-generation matrix, fomula wazi ya \(R_0\) imepatikana.
• Kulingana na Jedwali 2, \(\beta\) ndiyo parameta yenye unyeti chanya wenye nguvu zaidi kwa \(R_0\) katika nukta ya parameta iliyotumika.
• Kulingana na Jedwali 2, \(\sigma_1\) ina unyeti hasi wenye nguvu zaidi; \(\gamma\) ina unyeti hasi wa kiwango cha kati.
• Kwa \(R_0<1\), uthabiti wa ndani wa asymptotic wa usawaziko usio na ugonjwa umechanganuliwa katika chanzo kwa vigezo vya Routh–Hurwitz na Matignon.
• Katika hali ya \(R_0>1\), uthabiti wa global wa usawaziko wa endemic umetolewa kwa mkabala wa Lyapunov chini ya sharti la ziada la kutosha la \(\psi\leq\varpi\).
• Mabadiliko ya fractional order hubadilisha tabia ya transient ya modeli na mabadiliko ya makundi yaliyohesabiwa kwa wakati.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono

• Modeli haijacalibrate wala kuthibitishwa kwa data halisi za wagonjwa wa Khyber Pakhtunkhwa.
• Matokeo ya simulation si data ya kliniki.
• Sensitivity index haionyeshi kwamba intervention ya afya ya umma itapunguza matukio kwa asilimia ileile katika ulimwengu halisi.
• Fomula ya \(R_0\) yenyewe haipimi \(R_0\) halisi ya TB katika nchi au kipindi maalum.
• Haijaonyeshwa kwamba fractional order ni molekuli ya kibiolojia, sifa ya mgonjwa, au parameta ya kliniki iliyopimwa moja kwa moja.
• Haijaonyeshwa kwamba modeli ya ABC ni bora kuliko modeli ya Caputo kwa usahihi wa utabiri wa data halisi.
• Haiwezi kusemwa kwamba mielekeo yote katika grafu za chanzo inalingana na maelezo ya prose.
• Matokeo ya global stability ya usawaziko wa endemic si uthibitisho wa jumla uliokamilika bila sharti la ziada la kutosha.
• Transmission ya stochastic, heterogeneity ya anga, parameta zinazobadilika kwa wakati na interventions zinazotegemea wakati hazijasimuliwa moja kwa moja katika modeli hii.

Vikwazo vya chanzo chenyewe

Sehemu ya hitimisho inaeleza kwamba modeli ya chanzo inapuuza miundo ya stochasticity, heterogeneous environment na time-dependent intervention strategies; pia haijumuishi mabadiliko ya epidemiological parameters kwa wakati.

Chanzo pia kinatumia usemi “does not consider homogeneous mixing”. Hata hivyo, hakielezi tofauti jinsi sentensi hii inavyohusiana na termu ya mawasiliano iliyowekewa normalization \(\beta SI/N\) inayotumiwa katika modeli. Verianla haiandiki upya kauli hii kuwa “modeli kwa hakika inadhania homogeneous mixing” au “kwa hakika haidhanii”.

Mojawapo ya vikwazo muhimu zaidi vya reproducibility ni kwamba, ingawa chanzo kinasema parameter values na initial conditions zilizotumika katika simulation zimechukuliwa kutoka Zhang et al. [28], orodha kamili ya namba haijatolewa tena katika utafiti huu. Zaidi ya hayo, kitengo cha kimwili cha muda kwa mhimili wa wakati kwenye grafu na thamani ya wazi ya hatua ya namba \(h\) iliyotumika katika utekelezaji hazijaripotiwa wazi katika sehemu ya simulation.

Mapendekezo ya waandishi kwa kazi ya baadaye ni kuendeleza modeli za stochastic, spatially distributed na data-driven fractional-order. Pendekezo hili linaonyesha kwamba muundo wa kinadharia na unaotegemea parameta za fasihi wa utafiti huu pia unatambuliwa na waandishi wenyewe kuwa na mipaka.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa asili: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Waandishi: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Mpangilio wa waandishi: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Mwandishi wa mawasiliano: Kottakkaran Sooppy Nisar; ameonyeshwa katika PDF ya chanzo kwa alama ya nyota na anwani n.sooppy@psau.edu.sa.

Mchango sawa: Hakuna tamko la uandishi wa kwanza wa pamoja/mchango sawa lililotambuliwa katika chanzo.

Uhusiano wa kitaasisi wa Muhammad Farman: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Uhusiano wa kitaasisi wa Kottakkaran Sooppy Nisar: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Jarida: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Sehemu: Mathematics & Statistics.

Mchapishaji: Nigerian Society of Physical Sciences.

Juzuu / toleo / namba ya makala: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Tarehe ya kuwasilishwa: 8 Mei 2026.

Tarehe ya marekebisho: 13 Julai 2026.

Tarehe ya kukubaliwa: 18 Julai 2026.

Uchapishaji mtandaoni: 10 Agosti 2026.

Aina ya chanzo: Makala ya utafiti wa kinadharia/kihesabu wa epidemiolojia ya kihisabati iliyopitiwa na wahakiki.

Mapitio ya wenzao: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences inaelezwa katika taarifa rasmi ya jarida kuwa peer-reviewed na kutumia single-blind peer-review.

Leseni: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Mbinu kuu: Derivative ya fractional ya Atangana–Baleanu–Caputo, kernel ya Mittag–Leffler, modeli ya TB ya kideterministi yenye makundi sita, next-generation matrix, normalized forward sensitivity analysis, nadharia ya fixed point, uchanganuzi wa uthabiti wa ndani wa Routh–Hurwitz/Matignon, uthabiti wa global wenye masharti unaotegemea Lyapunov/LaSalle, na mkabala wa namba wa Adams–Bashforth unaoendana na ABC.

Makundi makuu ya modeli: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Data ya parameta ya chanzo: Thamani za parameta za simulation na initial conditions zimetolewa kutoka Zhang et al. [28]. Makala hii haitoi tena kwa ukamilifu seti hiyo ya namba ndani yake.

Hali ya data halisi: Chanzo kinaeleza katika sehemu ya hitimisho kwamba thamani za simulation zilizotumika zinatokana na fasihi na si data ya kliniki. Hakuna fitting/validation ya moja kwa moja kwa time series halisi ya wagonjwa wa Khyber Pakhtunkhwa iliyoripotiwa.

Ufadhili: Prince Sattam bin Abdulaziz University, mradi PSAU/2025/01/34222.

Upatikanaji wa data: Inaelezwa kwamba data zinazounga mkono matokeo ya utafiti zinaweza kutolewa na mwandishi wa mawasiliano kwa ombi lenye msingi unaofaa.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wametangaza kwamba hakuna competing interest.

Shukrani: Waandishi wanaishukuru Prince Sattam bin Abdulaziz University kwa ufadhili chini ya mradi PSAU/2025/01/34222.

CRediT / michango ya waandishi: Hakuna tamko tofauti la CRediT/michango ya waandishi lililotambuliwa katika makala iliyopakiwa.

Tofauti ya kichwa rasmi: Kichwa katika PDF kina “tuberculosis model”. Kwenye ukurasa wa wavuti wa jarida, kichwa kinaonekana kama “tuberculosisvmodel” kutokana na kosa la uchapaji. Verianla imehifadhi kichwa cha PDF kama kichwa asili cha kisayansi.

Tatizo la notation ndani ya chanzo: Katika Mlinganyo (3), operator ya integral ya ABC inatumika kwa \(\omega(t)\), lakini termu ya kwanza ya upande wa kulia imeandikwa \(\chi(t)\), na alama hii haijafafanuliwa katika muktadha huo.

Tatizo la sensitivity ndani ya chanzo: Thamani za namba za normalized sensitivity katika Jedwali 2 hazilingani na baadhi ya lebo za nguzo katika Kielelezo 1 cha chanzo. Verianla imewasilisha Jedwali 2 kando kama chanzo cha wazi cha tabulation.

Tatizo la simulation ndani ya chanzo: Mielekeo inayoonekana katika Vielelezo 2–5, hasa kwa \(S,E_1,E_2,I\), hailingani na baadhi ya kauli za “hupungua / kwanza huongezeka kisha hupungua” katika mjadala wa chanzo. Verianla haijaficha tofauti hii.

Kikomo cha uthabiti wa global: Matokeo ya global asymptotic stability ya usawaziko wa endemic yanategemea, pamoja na \(R_0>1\), sharti la ziada la kutosha la \(\psi\leq\varpi\). Chanzo kinaacha uthibitisho kamili wa termwise inequality zote zinazohitajika nje ya upeo wa utafiti.

Kikomo cha reproducibility: Orodha kamili ya parameta za namba/initial conditions, kitengo cha kimwili cha muda na timestep ya namba iliyo wazi iliyotumika katika utekelezaji hazijatolewa katika makala hii kama kifurushi kamili cha reproduction.

Mpaka mkuu wa tafsiri: Utafiti huu ni modeli ya epidemiolojia ya kinadharia. Matokeo ya modeli hayapaswi kulinganishwa moja kwa moja na idadi halisi ya visa katika jamii fulani, ufanisi wa kliniki wa matibabu, au matokeo ya uwanjani ya intervention ya afya ya umma.