Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kesirli mertebeli tüberküloz modeli, tüberküloz bulaşma ve hastalık ilerleme dinamiklerini yalnız mevcut zamandaki durumlara değil, geçmiş durumların modele taşıdığı bellek etkisine de bağlayan deterministik bir bölmeli matematiksel modeldir. Çalışma toplam nüfusu altı sınıfa ayırmaktadır: duyarlı \(S(t)\), yavaş maruz kalan \(E_1(t)\), hızlı maruz kalan \(E_2(t)\), enfekte \(I(t)\), tedavide \(T(t)\) ve iyileşmiş \(R(t)\). Model, klasik birinci mertebeli türev yerine Mittag–Leffler çekirdeğine sahip Atangana–Baleanu–Caputo kesirli türevini kullanmaktadır.

Modelin temel yeniliği, tüberküloza maruz kalan bireyleri tek bir latent/maruz kalmış sınıfta toplamak yerine iki ayrı ilerleme yolu kullanmasıdır. Duyarlı bir bireyin enfekte bir kişiyle teması sonrasında yeni maruziyetlerin \(\omega\) oranı yavaş maruz kalan \(E_1\) sınıfına, \(1-\omega\) oranı ise doğrudan hızlı maruz kalan \(E_2\) sınıfına girmektedir. \(E_1\) sınıfından \(E_2\)'ye \(\varsigma_1\), \(E_2\)'den aktif enfeksiyon \(I\)'ya \(\varsigma_2\) geçişi vardır. Enfekte kişiler \(\gamma\) hızıyla tedavi sınıfına geçerken, tedavi başarısızlığı durumunda \(T\) sınıfından hem \(I\) hem de \(E_1\) sınıfına dönüş yolları bulunmaktadır.

Çalışma modelin biyolojik olarak anlamlı bölgede negatif nüfus üretmemesi, çözümlerin sınırlı kalması, çözümün varlığı ve tekliği gibi matematiksel özelliklerini incelemektedir. Hastalıksız denge \(E^0\) ve endemik denge \(E^\ast\) türetilmiş; temel üreme sayısı \(R_0\) next-generation matrix yöntemiyle elde edilmiştir. Kaynağın formülüne göre \(R_0\), hızlı ve yavaş maruz kalma yollarının yanı sıra tedavi başarısızlığından kaynaklanan geri dönüş yollarını da içeren dört terimden oluşmaktadır.

Normalize ileri duyarlılık analizinde kaynak Tablo 2, bulaşma katsayısı \(\beta\)'nın \(+0.9186\) ile \(R_0\)'ı artıran en güçlü parametre olduğunu; enfekte sınıfındaki hastalığa bağlı ölüm oranı \(\sigma_1\)'in \(-0.6243\) ile en güçlü negatif duyarlılığa sahip olduğunu ve tedavi oranı \(\gamma\)'nın \(-0.2607\) değerinde orta düzey negatif etki gösterdiğini raporlamaktadır. Ancak aynı sayfadaki kaynak Şekil 1'in bazı çubuk etiketleri Tablo 2 ile uyuşmadığından Verianla sayısal duyarlılık değerleri için açık tablodaki değerleri esas almaktadır.

Yerel kararlılık analizinde hastalıksız denge için \(R_0<1\) altında Routh–Hurwitz ve fractional-order Matignon kriterleri kullanılmıştır. Endemik denge için global kararlılık sonucu ise \(R_0>1\)'e ek olarak Lyapunov türevinin bütün uygun durumlarda negatif yarı-belirli olmasını sağlayan \(\psi\leq\varpi\) koşuluna bağlıdır. Yazarlar bu terim-terim eşitsizliğin bütün izin verilen durumlar için eksiksiz ispatının kapsam dışında olduğunu ayrıca belirtmektedir. Bu nedenle endemik denge için küresel kararlılık sonucu koşullu bir yeter koşul olarak okunmalıdır.

Sayısal çözümde ABC integral formuna uyarlanmış Adams–Bashforth yaklaşımı kullanılmaktadır. Kaynak Şekil 2–7'de 1.00, 0.95, 0.90 ve 0.85 fractional-order değerlerini karşılaştırmaktadır. Yazarların genel yorumu, fractional order küçüldükçe bellek etkisinin güçlendiği ve transient davranışın değiştiğidir. Bununla birlikte grafiklerin görünen eğilimleri ile metindeki bazı “artar/azalır” açıklamaları birbiriyle tam uyuşmadığından Verianla bu grafikleri kaynakta yazılan yorumlarla zorla uzlaştırmamaktadır.

Çalışmanın en önemli yorum sınırı şudur: bu sonuçlar gerçek Khyber Pakhtunkhwa hasta serisine fit edilmiş klinik tahminler değildir. Makale parametre değerleri ile başlangıç koşullarını Zhang ve arkadaşlarının önceki matematiksel TB çalışmasından aldığını belirtmekte; sonuç bölümünde de simülasyonların literatür tabanlı değerler kullandığını ve klinik veri olmadığını açıkça kabul etmektedir. Bu nedenle model bir teorik epidemiyoloji çerçevesidir; gerçek bir toplumda salgın büyüklüğünü veya belirli bir tedavi programının sonuçlarını doğrudan öngördüğü kabul edilmemelidir.

Atangana–Baleanu–Caputo Kesirli Türevi TB Modelinde Ne İşe Yarıyor?

Atangana–Baleanu–Caputo kesirli türevi, sistemin değişim hızını yalnız o andaki durumuna değil geçmiş durumlarının ağırlıklı etkisine de bağlayan, Mittag–Leffler tipi tekil olmayan bir çekirdek kullanan kesirli türev operatörüdür. Bu çalışmada \(\tau\in(0,1]\) fractional order parametresi, tüberküloz bölmelerinin geçmiş durumlarının mevcut dinamik üzerindeki bellek etkisini temsil eden matematiksel kontrol parametresidir; \(\tau=1\) klasik tam mertebeli sınırı temsil ederken \(\tau<1\) durumları kesirli bellek davranışını üretmektedir.

ABC kesirli türevin kaynakta kullanılan tanımı

Kaynak Eşitlik (1)'de Atangana–Baleanu–Caputo türevini:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

şeklinde tanımlamaktadır.

Burada:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\), Atangana–Baleanu–Caputo fractional derivative operatörüdür.
• \(\tau\), kesirli mertebedir ve kaynakta \(0<\tau\leq1\) aralığında ele alınmaktadır.
• \(\omega(t)\), türevi alınan fonksiyondur.
• \(\vartheta\), geçmiş zamanı temsil eden integral değişkenidir.
• \(Z(\tau)\), \(Z(0)=Z(1)=1\) koşulunu sağlayan normalizasyon fonksiyonudur.
• \(E_\tau\), Mittag–Leffler fonksiyonudur.

Bu denklemde klasik türevdeki yalnız yerel değişim yerine \(0\)'dan mevcut \(t\) zamanına kadar bütün geçmiş durumların integrali bulunur. \((t-\vartheta)^\tau\) içeren Mittag–Leffler çekirdeği geçmiş durumların ne kadar ağırlıkla hesaba katılacağını belirleyen bellek yapısını sağlar.

Mittag–Leffler fonksiyonu

Kaynağın Eşitlik (2)'si:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

şeklindedir.

\(\Gamma(\cdot)\), Gamma fonksiyonudur. Mittag–Leffler fonksiyonu fractional calculus içinde üstel fonksiyonun rolüne benzeyen genişletilmiş bir fonksiyondur. \(\tau\) değiştikçe geçmişin sönümlenme biçimi klasik \(e^x\) davranışından farklılaşabilir. Bu çalışma bu özelliği TB modeline bellek kazandırmak için kullanmaktadır.

ABC fractional integral

Kaynak Eşitlik (3)'te ABC integralini:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

şeklinde basmaktadır.

Kaynak-içi notasyon belirsizliği: Operatörün sol tarafında \(\omega(t)\) bulunmasına rağmen ilk sağ-taraf teriminde \(\chi(t)\) yazılmıştır. Kaynak bu noktada \(\chi(t)\)'yi ayrıca tanımlamamaktadır. Daha sonraki bölümlerde \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) başka birleşik geçiş oranları için kullanılmaktadır. Verianla bu nedenle Eşitlik (3)'teki \(\chi(t)\)'yi sessizce \(\omega(t)\) olarak değiştirmemektedir.

İki Farklı Maruz Kalma Sınıfı \(E_1\) ve \(E_2\) Neden Kullanılıyor?

Model, enfekte kişiyle temas sonrası herkesin aktif enfeksiyona aynı hızla ilerlemediğini temsil etmek için iki ayrı maruziyet yolu kullanmaktadır: \(E_1(t)\) yavaş maruz kalan, \(E_2(t)\) ise hızlı maruz kalan nüfustur. Yeni maruziyetlerin \(\omega\) bölümü \(E_1\)'e, \(1-\omega\) bölümü doğrudan \(E_2\)'ye gider; daha sonra \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) ilerleme zinciri ve tedavi başarısızlığından geri dönüş yolları modele eklenir.

Altı bölme

Model denklemleri

Kaynağın Eşitlik (4)'ü:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Birinci denklemde \(\Delta\) duyarlı sınıfa nüfus girişini, \(\beta SI/N\) enfeksiyon oluşturabilecek temas akışını ve \(\nu S\) doğal ölüm nedeniyle çıkışı temsil eder.

İkinci ve üçüncü denklemlerde yeni maruziyet akışı iki kola ayrılır. \(\omega\beta SI/N\) bölümü \(E_1\)'e, \((1-\omega)\beta SI/N\) bölümü \(E_2\)'ye gider. Ayrıca \(E_1\)'den \(E_2\)'ye \(\varsigma_1E_1\) geçişi vardır.

Dördüncü denklemde \(E_2\)'den aktif enfeksiyona geçiş \(\varsigma_2E_2\)'dir. Tedavi başarısızlığının \(\rho\delta T\) bölümü de doğrudan enfekte sınıfa geri döner.

Beşinci denklemde enfekte kişilerin \(\gamma I\) akışıyla tedavi sınıfına geçmesi modellenir. Altıncı denklemde \(\phi T\) akışı tedaviden iyileşmiş sınıfa geçiştir.

Birleşik çıkış oranları

Kaynak:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

tanımlarını kullanmaktadır.

Bunlar tek başına yeni biyolojik parametreler değil, ilgili bölmeden toplam çıkış hızlarını kısaltmak için kullanılan birleşik oranlardır. Örneğin \(I\) sınıfından çıkış doğal ölüm \(\nu\), tedaviye geçiş \(\gamma\) ve hastalığa bağlı ölüm \(\sigma_1\) bileşenlerinden oluştuğu için \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\)'dir.

Başlangıç koşulları

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Kaynak bütün başlangıç popülasyonlarının negatif olmayan değerlerle başlamasını şart koşmaktadır. Ancak simülasyonda kullanılan gerçek sayısal başlangıç değerlerini bu makalenin kendi tablosunda vermemektedir; bunların Zhang vd. [28]'den alındığını belirtmektedir.

Model parametreleri

Toplam nüfus ve sınırlılık

Toplam nüfus:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

olarak tanımlanır.

Altı denklem toplandığında enfeksiyon ve bölmeler arası iç geçişler birbirini götürür ve:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

elde edilir.

\(\sigma_1I\) ve \(\sigma_2T\) negatif çıkış terimleri olduğu için:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

ve kaynak:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

üst sınırını kullanmaktadır. Bu bound, model nüfusunun sonsuza kaçmasını engelleyen matematiksel sınırlılık koşuludur.

Kaynak feasible region'i yaklaşık olarak:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

biçiminde tanımlamaktadır.

Kaynak-içi prose çelişkisi: Aynı well-posedness bölümünde önce \(N(t)\)'nin artan olması ve \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\) istenirken daha sonra \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) durumunun dışlandığı yönünde bir cümle bulunmaktadır. Verianla bu iki cümleyi uzlaştırmamaktadır; matematiksel olarak açık biçimde yazılmış olan Eşitlik (9)–(11) sınırını esas almaktadır.

Pozitiflik neden önemlidir?

Nüfus bölmelerinin negatif olması biyolojik olarak anlamsızdır. Kaynak karşılaştırma prensibi ve Mittag–Leffler fonksiyonunu kullanarak başlangıç değerleri negatif değilse çözümlerin de feasible region içinde negatif olmayacağını göstermeye çalışmaktadır.

Örneğin duyarlı sınıf için:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Benzer alt sınırlar \(E_1,E_2,I,T,R\) için de verilmiş ve tüm durum değişkenlerinin negatif olmayan bölgede kaldığı sonucu çıkarılmıştır.

Temel Üreme Sayısı \(R_0\) Bu Modelde Nasıl Kuruluyor?

Temel üreme sayısı \(R_0\), modelin enfekte/maruz kalmış alt sisteminde yeni enfeksiyon üretiminin geçiş ve uzaklaşma süreçlerine göre net büyüme kapasitesini temsil eden eşik büyüklüğüdür. Çalışma \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\) enfekte alt sistemini seçerek next-generation matrix \(K=FV^{-1}\) oluşturmakta ve \(R_0\)'ı bu matrisin baskın özdeğeri/spektral yarıçapı olarak türetmektedir.

Hastalıksız denge

Kaynağın hastalıksız denge noktası:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Bu noktada bütün nüfus duyarlı sınıftadır; maruz kalmış, enfekte, tedavide ve iyileşmiş sınıflar sıfırdır.

Enfekte alt sistem

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Yeni enfeksiyon vektörü:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

diğer geçişler ise:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

olarak yazılır.

\(R_0\) formülü

Next-generation matrix:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

olup kaynak baskın özdeğerden:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

ifadesini elde etmektedir.

Dört terimin biyolojik/matematiksel yorumu

Birinci terim, yeni temasın \(E_1\) yavaş maruziyet yoluna girmesi ve daha sonra \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) zincirinde ilerlemesiyle ilişkilidir.

İkinci terim, temas sonrası doğrudan \(E_2\)'ye giren hızlı maruziyet yolunu temsil etmektedir.

Üçüncü terim, enfeksiyon → tedavi → tedavi başarısızlığı → \(E_1\) → \(E_2\) → enfeksiyon geri dönüş zinciriyle ilişkilidir.

Dördüncü terim, enfeksiyon → tedavi → doğrudan yeniden enfeksiyon sınıfına dönüş yoluyla ilişkilidir.

Kaynak özellikle son iki terimde \(\beta\) bulunmamasını açıklayan bir Remark vermektedir. Yazarların yorumu, bu terimlerin yeni enfeksiyon matrisi \(F\)'den değil \(V^{-1}\) içindeki tedavi başarısızlığı/geçiş yollarından doğmasıdır. Verianla bu açıklamayı kaynak yorumu olarak korumaktadır.

Endemik denge

Kaynağın endemik dengesi:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Kaynak bileşenleri:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Kaynak endemik dengenin \(R_0>1\) olduğunda var olduğunu belirtmektedir. Eşitlik (27)'de \(R_0-1\) faktörünün bulunması da bu eşikle doğrudan bağlantılıdır.

Normalize duyarlılık indeksi

Bir parametrenin \(R_0\) üzerindeki oransal etkisi:

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

ile hesaplanmaktadır.

Bu büyüklük boyutsuzdur. Pozitif değer parametre arttığında \(R_0\)'ın artma yönünde, negatif değer ise \(R_0\)'ın azalma yönünde değiştiğini ifade eder. Mutlak değer büyüdükçe \(R_0\)'ın o parametreye göre göreli duyarlılığı artar.

Örneğin \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\), kullanılan parametre noktasının çevresinde \(\beta\)'daki göreli artışın \(R_0\)'ı aynı yönde güçlü biçimde değiştirdiğini ifade eder. Bu sayı doğrudan “\(\beta\)'yı %1 azaltmak gerçek dünyada TB'yi tam %0,9186 azaltır” anlamına gelmez; yalnız matematiksel \(R_0\)'ın yerel normalize duyarlılığıdır.

Tablo 2 ile kaynak Şekil 1 neden ayrı tutuldu?

PDF'nin aynı sayfasında Tablo 2'nin açık sayısal listesi ile altında çizilmiş Şekil 1'in bazı bar etiketleri birbirinden farklıdır. Bu durum hangi veri setinin görsel grafiğe aktarıldığını kaynaktan kesin olarak belirlemeyi engeller. Bu nedenle Verianla, açık ve tekil sayısal tabloyu doğrudan yeniden üretmekte; kaynak Şekil 1'in farklı sayılarıyla ortalama alma, düzeltme veya yeni duyarlılık değerleri oluşturma işlemi yapmamaktadır.

Varlık ve teklik ne anlama geliyor?

Bir epidemiyolojik diferansiyel denklem sisteminin kurulması tek başına yeterli değildir. Belirli başlangıç koşulları verildiğinde sistemin en az bir çözümünün bulunması varlık, aynı koşullarda birden fazla farklı çözüm oluşmaması ise teklik problemidir.

Kaynak önce model sağ taraflarını:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

ve:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

vektör formuna taşımaktadır.

Ardından Schauder sabit nokta teoremiyle en az bir çözüm için:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

tipinde bir yeter koşul kullanmaktadır.

Çözümlerin tekliği ve başlangıç koşullarındaki küçük değişime karşı kontrolü için kaynak Lipschitz sabiti \(J\) ile:

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

koşulunu vermektedir.

Bu eşitsizliklerin mantığı, integral operatörünün bir contraction haline gelmesini sağlayarak Banach fixed-point teoremi altında tek çözüm elde etmektir.

Yerel kararlılık

Kaynak hastalıksız denge için fractional-order Matignon kriterini:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

şeklinde kullanmaktadır.

Buradaki \(\lambda_j\), hastalıksız dengede hesaplanan Jacobian matrisinin özdeğerleridir. Klasik sistemlerde yalnız negatif gerçek kısım temel kriterken fractional-order sistemde özdeğerin kompleks düzlemdeki açısı da \(\tau\)'ya bağlı kararlılık bölgesini belirler.

İki özdeğer doğrudan:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

olarak bulunur.

Kalan dört özdeğer:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

polinomunun kökleridir.

Kaynak:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

ifadelerini verir.

\(R_0<1\) altında \(b_4>0\) olur. Kaynak diğer Routh–Hurwitz koşullarının da sağlandığını savunarak kalan köklerin negatif gerçek kısma sahip olduğunu, ardından Matignon kriteriyle hastalıksız dengenin yerel asimptotik kararlı olduğunu sonucuna bağlamaktadır.

Küresel endemik kararlılık ve Lyapunov fonksiyonu

Kaynağın endemik denge için kullandığı Lyapunov yapısı:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Bu tür ifade her bölmenin endemik denge değerinden sapmasını ölçen, denge noktasında sıfıra inen pozitif bir enerji-benzeri fonksiyon olarak kullanılır.

Kaynağın Theorem 4.3 sonucu şöyledir: \(R_0>1\) ve bütün uygun durumlar için:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

olması, eşitliğin yalnız \(E^\ast\)'ta gerçekleşmesi halinde:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

olur ve endemik denge küresel asimptotik kararlı kabul edilir.

Çok önemli kaynak sınırı: Yazarlar bütün admissible çözümler için gerekli terimsel:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

eşitsizliklerinin eksiksiz doğrulanmasının geniş cebir gerektirdiğini ve kendi ispatlarının kapsamı dışında kaldığını açıkça belirtmektedir. Bu nedenle Verianla, global stability sonucunu ek bir yeter koşula bağlı koşullu sonuç olarak aktarmaktadır.

Sayısal Adams–Bashforth yaklaşımı

Kaynak fractional integral biçimini:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

şeklinde kullanmaktadır.

Bu denklem iki parçadan oluşur. Birinci kısım mevcut zamandaki \(\Psi\) değerini doğrudan kullanır; ikinci integral ise geçmiş bütün değerleri \((t-\eta)^{\tau-1}\) ağırlığıyla toplar. Fractional memory sayısal şemaya bu ikinci kısımla girer.

Adams–Bashforth yaklaşımında integral, zaman aralıklarına bölünür ve her aralıkta model sağ tarafı iki ardışık nokta kullanılarak yaklaşık hesaplanır. Kaynak iki ağırlığı:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

olarak tanımlamakta, ardından bunların kapalı biçimlerini türeterek her bölme için \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\) güncelleme denklemlerini Eşitlik (155)–(160) olarak vermektedir.

Bu altı denklem yapısal olarak aynıdır; fark yalnız kullanılan sağ-taraf fonksiyonu \(K_1,\ldots,K_6\)'dır. Örneğin:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Adams–Bashforth şemasının görevi bu sağ-taraf akışlarını her zaman adımında fractional-memory integraline uygun biçimde yaklaştırmaktır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Sayısal simülasyonda hangi bilgiler raporlanıyor?

Kaynak, parameter values ile initial conditions'ın Zhang vd. [28]'den alındığını belirtmektedir ancak bu makalenin kendi yöntem/tablo bölümünde söz konusu sayısal değerlerin tamamını yeniden listelememektedir. Bu nedenle okuyucu yalnız bu PDF'yi kullanarak simülasyonu tam olarak aynı parametrelerle yeniden kuramaz; Zhang vd. [28]'e de başvurmak gerekir.

Şekil 2–7'de görünen fractional-order değerleri:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

olarak gösterilmektedir. Grafiklerin yatay ekseni \(t=0\)–200 aralığındadır ancak kaynak bu \(t\)'nin gün, ay veya başka fiziksel zaman birimi olduğunu belirtmemektedir. Şekil 8–13'te ayrıca zaman ve fractional order birlikte değişen üç-boyutlu surface/contour sunumları vardır; burada fractional-order ekseni yaklaşık 0.1–1 aralığında gösterilmektedir.

Notasyon notu: Ana teoride fractional order sürekli olarak \(\tau\) sembolüyle yazılırken Şekil 2–7 legend'lerinde farklı görünen bir \(v_1/\upsilon_1\) tipi sembol kullanılmaktadır. Kaynak bunun nedenini ayrıca açıklamamaktadır; metin bu değerleri fractional order olarak yorumlamaktadır.

Kaynak metninin simülasyon yorumu

Yazarlar, \(\tau\) değerinin sistemdeki memory-dependent dynamics için önemli olduğunu belirtmektedir. Kaynak prose'una göre daha küçük fractional order, bellek etkisini güçlendirmekte ve bazı bölmelerin daha kontrollü/daha yumuşak davranmasına yol açmaktadır.

Kaynak metninde verilen yorumlar özetle şöyledir:

Grafiklerle kaynak metni tamamen uyuşuyor mu?

Hayır. PDF'nin 15. sayfasındaki Şekil 2–5'in görünür eğrileri ile 19–20. sayfalardaki sözlü yorumların bir bölümü birbirine ters görünmektedir. Bu nedenle bu makalede ham eğrilerden yeni sayısal sonuç çıkarılmamış ve çelişki açıkça korunmuştur.

Bu kontrol, kaynağın bulgularını değiştirmek için değil, okuyucunun aynı kaynak içindeki grafik ve prose arasındaki farkı görmesi için yapılmıştır. Ham simülasyon değerleri yayımlanmadığından Verianla grafiklerden interpolasyon veya yeni eğri üretmemektedir.

Üç-boyutlu surface grafikleri

Kaynak Şekil 8–13, sırasıyla \(S,E_1,E_2,I,T,R\) için zaman ve fractional order'ın birlikte değiştiği üç-boyutlu surface ile iki-boyutlu contour görselleri sunmaktadır. Yazarlar bu yüzeyleri, fractional-order parametresinin peak height ve convergence speed üzerinde etkili olduğunun görsel desteği olarak yorumlamaktadır.

Kaynak metni küçük \(\tau\) değerlerinin sistemi daha hızlı stabilize ettiğini ve yüzeylerin kararlı endemik dengeye yakınsamayı desteklediğini söylemektedir. Ancak yukarıda belirtilen grafik/prose tutarsızlıkları ve ham veri eksikliği nedeniyle bu Verianla metni, söz konusu ifadeyi kaynak yazarlarının yorumu olarak ayırmaktadır; yüzeylerden bağımsız yeni bir convergence-rate değeri hesaplamamaktadır.

Caputo modeliyle kaynak karşılaştırması

Bu tablo bir predictive-accuracy benchmark'ı değildir. Kaynak MAE, RMSE, likelihood, gerçek veri fit'i, cross-validation veya klinik tahmin başarısı karşılaştırmamaktadır. Karşılaştırma model yapısı ve yöntem özellikleri düzeyindedir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Kaynak altı bölmeli, iki ayrı maruziyet sınıfına sahip fractional-order TB modeli tanımlamaktadır.
• ABC türevi ile Mittag–Leffler kernel'i model dinamiğine geçmiş durumları içeren non-local memory yapısı eklemektedir.
• Model için pozitiflik ve boundedness argümanları geliştirilmiştir.
• Sabit nokta yöntemleriyle çözümün varlığı ve belirli contraction koşulları altında tekliği incelenmiştir.
• Hastalıksız ve endemik denge noktaları analitik olarak türetilmiştir.
• Next-generation matrix kullanılarak \(R_0\) için açık formül elde edilmiştir.
• Tablo 2'ye göre \(\beta\), kullanılan parametre noktasında \(R_0\)'ın en güçlü pozitif duyarlılık parametresidir.
• Tablo 2'ye göre \(\sigma_1\) en güçlü negatif; \(\gamma\) ise orta düzey negatif duyarlılığa sahiptir.
• \(R_0<1\) için hastalıksız dengenin yerel asimptotik kararlılığı kaynakta Routh–Hurwitz ve Matignon kriterleriyle analiz edilmiştir.
• \(R_0>1\) durumunda endemik dengenin global kararlılığı, ek \(\psi\leq\varpi\) yeter koşulu altında Lyapunov yaklaşımıyla verilmiştir.
• Fractional order değişimi modelin transient davranışını ve bölmelerin hesaplanan zaman evrimini değiştirmektedir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Model Khyber Pakhtunkhwa için gerçek hasta verileriyle kalibre edilmiş veya doğrulanmış değildir.
• Simülasyon sonuçları klinik veri değildir.
• Duyarlılık indeksi bir halk sağlığı müdahalesinin gerçek dünyada aynı yüzdeyle vaka azaltacağını göstermez.
• \(R_0\) formülü tek başına belirli bir ülke veya dönemde gerçek TB \(R_0\)'ını ölçmez.
• Fractional order'ın biyolojik bir molekül, hasta özelliği veya doğrudan ölçülmüş klinik parametre olduğu gösterilmemiştir.
• ABC modelinin Caputo modelinden gerçek veri tahmin doğruluğu bakımından üstün olduğu gösterilmemiştir.
• Kaynak grafiklerindeki bütün eğilimlerin prose açıklamalarıyla uyumlu olduğu söylenemez.
• Endemik dengenin global stability sonucu ek yeter koşul olmaksızın tamamlanmış genel bir ispat değildir.
• Stokastik bulaşma, uzaysal heterojenlik, zamanla değişen parametreler ve zaman-bağımlı müdahaleler bu modelde doğrudan simüle edilmemiştir.

Kaynağın kendi sınırlılıkları

Sonuç bölümü kaynak modelin stochasticity, heterogeneous environment ve time-dependent intervention strategies yapılarını ihmal ettiğini; epidemiological parameters'ın zamanla değişimini kapsamadığını belirtmektedir.

Kaynak ayrıca “does not consider homogeneous mixing” ifadesini kullanmaktadır. Ancak bu cümlenin modelde kullanılan normalize temas terimi \(\beta SI/N\) ile nasıl ilişkilendirildiği ayrıca açıklanmamıştır. Verianla bu ifadeyi “model kesin olarak homojen karışım varsayıyor” veya “kesin olarak varsaymıyor” şeklinde yeniden yazmamaktadır.

Kaynağın en önemli yeniden üretilebilirlik sınırlılıklarından biri, simülasyonda kullanılan parameter values ve initial conditions'ın Zhang vd. [28]'den alındığının söylenmesine rağmen bu çalışmada sayısal listenin yeniden verilmemesidir. Ayrıca grafiklerdeki zaman ekseni için fiziksel zaman birimi ve kullanılan sayısal \(h\) adım büyüklüğünün simülasyon bölümünde açık bir uygulama değeri raporlanmamaktadır.

Yazarların gelecek çalışma önerileri stochastic, spatially distributed ve data-driven fractional-order modellerin geliştirilmesidir. Bu öneri, mevcut çalışmanın teorik ve literatür-parametreli yapısının kendileri tarafından da sınırlandırıldığını göstermektedir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Yazarlar: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Yazar sırası: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Sorumlu yazar: Kottakkaran Sooppy Nisar; kaynak PDF'de yıldız işareti ve n.sooppy@psau.edu.sa adresiyle belirtilmiştir.

Eş katkı: Kaynakta eş birinci yazarlık/eş katkı beyanı tespit edilmemiştir.

Muhammad Farman afiliyasyonları: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Kottakkaran Sooppy Nisar afiliyasyonu: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Dergi: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Bölüm: Mathematics & Statistics.

Yayınevi: Nigerian Society of Physical Sciences.

Cilt / sayı / makale numarası: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Gönderim tarihi: 8 Mayıs 2026.

Revizyon tarihi: 13 Temmuz 2026.

Kabul tarihi: 18 Temmuz 2026.

Çevrimiçi yayın: 10 Ağustos 2026.

Kaynak türü: Hakemli teorik/nümerik matematiksel epidemiyoloji araştırma makalesi.

Hakemlik: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences, resmî dergi bilgisinde peer-reviewed ve single-blind peer-review kullanan bir dergi olarak tanımlanmaktadır.

Lisans: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Ana yöntem: Atangana–Baleanu–Caputo kesirli türevi, Mittag–Leffler kernel'i, altı bölmeli deterministik TB modeli, next-generation matrix, normalize ileri duyarlılık analizi, sabit nokta teorisi, Routh–Hurwitz/Matignon yerel kararlılık analizi, Lyapunov/LaSalle tabanlı koşullu küresel kararlılık ve ABC uyumlu Adams–Bashforth sayısal yaklaşımı.

Temel model bölmeleri: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Kaynak parametre verisi: Simülasyon parametre değerleri ve initial conditions Zhang vd. [28]'den alınmıştır. Bu makale söz konusu sayısal parametre setini kendi içinde tam olarak tekrar listelememektedir.

Gerçek veri durumu: Kaynak sonuç bölümünde kullanılan simülasyon değerlerinin literatür tabanlı olduğunu ve klinik veri olmadığını belirtmektedir. Khyber Pakhtunkhwa gerçek hasta zaman serisine doğrudan fitting/validation raporlanmamıştır.

Finansman: Prince Sattam bin Abdulaziz University, proje PSAU/2025/01/34222.

Veri erişilebilirliği: Çalışmanın bulgularını destekleyen verilerin makul talep üzerine sorumlu yazardan sağlanabileceği belirtilmiştir.

Çıkar çatışması: Yazarlar competing interest olmadığını beyan etmiştir.

Teşekkür: Yazarlar Prince Sattam bin Abdulaziz University'ye PSAU/2025/01/34222 projesi kapsamında finansman için teşekkür etmektedir.

CRediT / yazar katkıları: Yüklenen makalede ayrı bir CRediT/yazar katkı beyanı tespit edilmemiştir.

Resmî başlık farkı: PDF başlığı “tuberculosis model” biçimindedir. Derginin web sayfasında başlık “tuberculosisvmodel” şeklinde bir dizgi hatasıyla görüntülenmektedir. Verianla PDF'deki başlığı özgün bilimsel başlık olarak korumuştur.

Kaynak-içi notasyon sorunu: Eşitlik (3)'te ABC integral operatörü \(\omega(t)\)'ye uygulanırken ilk sağ-taraf teriminde \(\chi(t)\) yazılmış, bu sembol o bağlamda tanımlanmamıştır.

Kaynak-içi duyarlılık sorunu: Tablo 2'nin sayısal normalize sensitivity değerleri ile kaynak Şekil 1'in bazı bar etiketleri birbirine uymamaktadır. Verianla Tablo 2'yi açık tabulasyon kaynağı olarak ayrı aktarmıştır.

Kaynak-içi simülasyon sorunu: Şekil 2–5'in görünür eğilimleri, özellikle \(S,E_1,E_2,I\) için kaynak tartışmasındaki bazı “azalır / önce artıp sonra azalır” ifadeleriyle uyuşmamaktadır. Verianla bu farkı kapatmamıştır.

Küresel kararlılık sınırı: Endemik dengenin global asymptotic stability sonucu \(R_0>1\)'in yanı sıra \(\psi\leq\varpi\) ek yeter koşuluna bağlıdır. Kaynak, gerekli bütün termwise inequality'lerin tam ispatını çalışmanın kapsamı dışında bırakmaktadır.

Reproducibility sınırı: Sayısal parametrelerin/başlangıç koşullarının tam listesi, fiziksel zaman birimi ve uygulamada kullanılan açık sayısal timestep bu makalede tam bir yeniden üretim paketi halinde verilmemiştir.

Temel yorum sınırı: Bu çalışma teorik bir epidemiyolojik modeldir. Model sonuçları belirli bir toplumdaki gerçek vaka sayıları, klinik tedavi etkinliği veya halk sağlığı müdahalesinin saha sonucuyla eşitlenmemelidir.