Uzamsal-zamansal özellik gömmeli fizik-bilgili sinir ağı (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN), Allen–Cahn denkleminin özellikle ince faz arayüzlerinde ortaya çıkan keskin uzamsal değişimleri öğrenebilmek için standart PINN yapısını iki tamamlayıcı özellikle geliştiren bir sayısal çözüm yöntemidir. Uzamsal koordinatlar, merkezleri ve şekil parametreleri öğrenilebilen Gauss radyal taban fonksiyonlarıyla (RBF) işlenir; başlangıç koşulu \(u_0(x)\) ise yalnız kayıp fonksiyonunda bir kısıt olarak bırakılmayıp doğrudan ağ girdisine eklenir. Uzun zaman aralıklarında ayrıca zaman alanı alt bölümlere ayrılarak ayrı STFE-PINN ağları ardışık biçimde eğitilir.

Bir boyutlu temel karşılaştırmada STFE-PINN'in göreli \(L^2\) hatası 0,0031 olarak raporlanmış ve karşılaştırılan PINN varyantlarının tamamından düşük bulunmuştur. Seyahat eden dalga ablasyonunda standart PINN'in hatası \(1,48\times10^{-2}\) iken yalnız RBF gömme \(4,54\times10^{-4}\), yalnız başlangıç koşulu gömme \(3,57\times10^{-3}\), iki gömmenin birlikte kullanıldığı tam STFE-PINN ise \(6,30\times10^{-5}\) hata üretmiştir. İki boyutlu damla küçülmesi deneyinde noktasal hatalar yaklaşık \(10^{-3}\) mertebesinde kalmış; RBF merkezlerinin hareketli arayüz çevresinde yoğunlaştığı gözlenmiştir. Üç boyutlu testte ise yüksek çözünürlüklü referans çözüm hesaplama açısından aşırı maliyetli olduğu için doğrulama esas olarak kayıp davranışı ve tahmin edilen küresel arayüzün nitel evrimi üzerinden yapılmıştır.

Bu sonuçlar STFE-PINN'in çalışmada test edilen Allen–Cahn benchmarklarında keskin faz arayüzlerinin çözülmesini ve uzun zamanlı optimizasyonu geliştirebildiğini göstermektedir. Ancak çalışma gerçek bir fiziksel malzeme deneyi değildir; sonuçlar sayısal PDE benchmarklarına aittir ve başka kısmi diferansiyel denklemlere otomatik olarak genellenemez.

STFE-PINN Nedir ve Standart PINN'den Nasıl Ayrılır?

STFE-PINN, standart PINN'in uzay-zaman koordinatlarını kullanan girişine öğrenilebilir RBF uzamsal özellikleri ile başlangıç koşulu özelliğini ekleyen ve gerektiğinde zamanı bağımsız eğitilen alt aralıklara bölen bir PINN mimarisidir; amaç standart PINN'in özellikle ince Allen–Cahn faz arayüzlerinde zorlandığı yüksek frekanslı ve keskin değişimleri daha doğru temsil etmektir.

Allen–Cahn denklemi neyi modeller?

Allen–Cahn denklemi, faz alanı modellerinde farklı fazları birbirinden ayıran yayvan arayüzlerin zaman içindeki evrimini tanımlayan doğrusal olmayan bir kısmi diferansiyel denklemdir. Makalede kullanılan genel biçim:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Denklem (1) neyi hesaplar? Faz alanı değişkeni \(u\)'nun zamana göre değişim hızını hesaplar. \(u\), sistemdeki faz durumunu temsil eder; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) uzamsal bölgedir; \(t\) zamandır; \(\mu(u)\) hareketlilik fonksiyonudur; \(\varepsilon>0\) arayüz genişliğini kontrol eden küçük parametredir; \(\Delta u\) Laplasyen operatörü aracılığıyla uzamsal yayılımı, \(f(u)\) ise serbest enerji potansiyelinden doğan doğrusal olmayan itici terimi temsil eder.

\(\varepsilon\) küçüldikçe arayüzün karakteristik kalınlığı \(O(\varepsilon)\) düzeyine iner. Bu durum sayısal açıdan önemlidir: aynı uzamsal bölgede çok daha keskin bir \(u\) değişimi meydana gelir ve çözüm yönteminin yüksek frekanslı uzamsal özellikleri temsil etmesi zorlaşır.

Denklem (2): Başlangıç koşulu

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\), sistemin \(t=0\) anındaki başlangıç faz dağılımıdır. Standart PINN bu koşulu kayıp fonksiyonuyla uygular. STFE-PINN'in yeniliklerinden biri, aynı \(u_0(x)\) bilgisini ayrıca ağın giriş özelliği olarak da taşımasıdır.

Denklem (3): Çift kuyulu serbest enerji potansiyeli

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\), iki kararlı durum çevresinde minimum oluşturan çift kuyulu potansiyeldir. Türevinden elde edilen \(f(u)=u^3-u\), Allen–Cahn denklemindeki doğrusal olmayan reaksiyon terimidir. \(u=\pm1\) çevresindeki faz durumları bu potansiyelin iki kuyusuyla ilişkilidir.

Denklem (4): Toplam serbest enerji

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

İlk terim faz alanının uzayda hızla değişmesini enerji açısından maliyetli hale getirir; ikinci terim ise \(u\)'nun potansiyel enerji katkısını temsil eder. \(|\nabla u|^2\) özellikle faz arayüzlerinde büyür. Böylece enerji fonksiyoneli hem arayüz geometrisini hem de yerel faz durumunu birlikte değerlendirir.

Denklem (5): Enerji sönümü yasası

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Bu eşitsizlik Allen–Cahn dinamiğinin gradyan-akışı karakterini ifade eder: sistem zaman ilerledikçe toplam serbest enerjiyi artırmamalıdır. Makale daha sonraki sayısal deneylerden birinde STFE-PINN çözümünün bu özelliği koruyup korumadığını ayrıca test etmektedir.

Standart PINN'in matematiksel yapısı

Yazarlar önce genel bir PDE problemini şu biçimde tanımlar:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) diferansiyel operatörü, \(\mathcal B\) sınır koşulu operatörü, \(f\) PDE'nin bilinen kaynak terimi, \(g\) sınırdaki kısıt ve \(u_0\) başlangıç koşuludur. PINN'in görevi bu üç koşulu aynı anda mümkün olduğunca iyi sağlayan yaklaşık \(u(x,t)\) fonksiyonunu öğrenmektir.

Denklem (7): Tam bağlantılı PINN

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\), uzay ve zaman koordinatlarının sütun yönünde birleştirilmesidir. \(W^{[l]}\) ağırlık matrisleri, \(b^{[l]}\) bias vektörleri, \(\sigma\) doğrusal olmayan aktivasyon fonksiyonu ve \(\theta\) bütün öğrenilebilir ağ parametreleridir. Ağın çıktısı \(\tilde u\), gerçek PDE çözümünün sinir ağı yaklaşımıdır.

Denklem (8): PINN kayıp fonksiyonu

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

İlk terim PDE artık hatasını, ikinci terim sınır koşulu hatasını, üçüncü terim başlangıç koşulu hatasını ölçer. \(N_r\), \(N_b\) ve \(N_0\) sırasıyla iç bölge, sınır ve başlangıç örnek sayılarıdır. \(\lambda_b\) ve \(\lambda_0\), bu fiziksel kısıtların kayıp fonksiyonundaki göreli ağırlıklarını kontrol eder. Ağ, Adam optimizasyonuyla bu toplam kaybı azaltacak şekilde eğitilir.

Denklem (9): Öğrenilebilir RBF uzamsal özelliği

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) RBF sayısıdır; \(c_i\) RBF merkezini, \(d_i\) şekil parametresini, \(w_i\) ağırlığı gösterir. Çalışma Gauss radyal taban fonksiyonunu kullanmaktadır. Merkezden uzaklaşıldıkça Gauss fonksiyonunun değeri hızla küçüldüğü için RBF'ler yerel uzamsal yapıları temsil edebilir. Kritik nokta, merkezlerin, şekil parametrelerinin ve ağırlıkların sabit olmaması; eğitim sırasında öğrenilmesidir.

Bu özellik özellikle keskin faz arayüzleri açısından önemlidir. RBF parametreleri eğitim sırasında uygun uzamsal bölgelerde yoğunlaşabildiğinden ağ, standart koordinat girdisinin temsil etmekte zorlandığı hızlı uzamsal değişimleri ek bir özellik uzayında ifade edebilir.

Denklem (10): RBF özelliğinin PINN'e eklenmesi

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

Standart PINN yalnız \([x|t]\) bilgisini alırken bu yapı \([x|t|\Phi]\) vektörünü kullanır. Böylece ağ aynı fiziksel koordinata hem doğrudan koordinat olarak hem de RBF ağının oluşturduğu uzamsal temsil üzerinden erişebilir.

Denklem (11): Başlangıç koşulunun da özellik olarak gömülmesi

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Bu aşamada başlangıç koşulu artık yalnız Denklem (8)'deki ceza terimi değildir. \(u_0(x)\) bütün zaman noktalarında ağ girdisinin bir parçasıdır. Yazarların amacı, ağın başlangıç yapı bilgisini eğitim boyunca doğrudan erişilebilir bir özellik olarak taşımasını sağlamaktır.

Zaman alanı ayrıştırması

Uzun zaman aralığının tek ağla çözülmesinde farklı zaman bölgelerindeki gradyan büyüklükleri dengesizleşebilir ve hata birikimi oluşabilir. Çalışma bu nedenle \([0,T]\) aralığını \(N_T\) eşit parçaya ayırır:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Her alt aralığa aynı mimariye fakat bağımsız öğrenilebilir parametrelere sahip ayrı bir STFE-PINN atanır. İlk ağ yakınsayana kadar eğitilir ve daha sonra parametreleri dondurulur. Sonraki ağ, önceki ağın son zamanındaki çözümü başlangıç bilgisi olarak kullanır.

Denklem (12) ve (13): Alt aralık sürekliliği

Kaynakta yayımlanmış denklemler şöyledir:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Denklem (12), çözüm değerinde sıçrama oluşmamasını; Denklem (13) ise zaman türevinin de sürekliliğini hedefler. Böylece yalnız konum/değer değil, zaman yönündeki eğim de alt ağ sınırında birbirine bağlanır.

Kaynak içi gösterim uyarısı: Bu iki yayımlanmış denklem \(T_k\)'yı kullanmaktadır. Ancak hemen önceki açıklama, \(k\). alt aralığın başlangıcını \((k-1)\). aralığın sonundan aldığını söyler; aşağıdaki Denklem (14) ve onu izleyen açıklama ise bu arayüzü \(T_{k-1}\) olarak yazar. Verianla yayımlanmış Denklem (12)–(13)'ü sessizce değiştirmemektedir.

Denklem (14): Sonraki zaman alt ağlarının kaybı

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

İlk iki terim yine PDE ve sınır artıklarını ölçer. Son iki terim ise yeni alt ağın, bir önceki dondurulmuş ağla arayüzde hem çözüm değeri hem de zaman türevi açısından eşleşmesini zorlar. Böylece zaman ayrıştırması birbirinden kopuk bağımsız çözümler üretmek yerine ardışık bir çözüm zinciri kurar.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Denklem (15): Göreli L2 hata metriği

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) STFE-PINN tahmini, \(u_r\) yüksek doğruluklu klasik yöntemden veya mevcutsa analitik çözümden alınan referans değerdir. Pay tahmin ile referans arasındaki toplam karesel farkı, payda referans çözümün büyüklüğünü normalize eder. Metrik boyutsuzdur; daha küçük değer daha yüksek doğruluk anlamına gelir.

Temel eğitim ve hesaplama ayarları

1B temel Allen–Cahn karşılaştırması

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Bu deneyde \(\varepsilon^2=0,0001\) ve \(\mu=5\)'tir. Küçük \(\varepsilon\) değeri arayüzlerin ince ve keskin olmasını sağlar; dolayısıyla bu deney ağın zor uzamsal geçişleri çözebilmesini sınar.

Periyodik sınır koşulları:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

ve başlangıç koşulu:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

olarak verilmiştir. Periyodik koşul, alanın sol ve sağ uçlarında hem çözüm değerinin hem de uzamsal türevin eşleşmesini sağlar.

Kaynak karşılaştırmasında STFE-PINN en düşük hata değerini üretmiştir. Yazarlar ayrıca STFE-PINN'in beş gizli katmanda 64 nöron ve 500 RBF kullanmasına rağmen bazı karşılaştırmalı PINN yapılarına göre daha az ağ parametresiyle bu sonuca ulaştığını vurgulamaktadır. Karşılaştırılan yöntemlerin hata değerleri kendi özgün çalışmalarından, aynı referans çözüme göre raporlanan değerlerden alınmıştır.

RBF ve Başlangıç Koşulu Gömme Ayrı Ayrı Ne Kadar Katkı Sağlıyor?

Seyahat eden dalga ablasyonunda her iki özellik de standart PINN'e göre hatayı azaltmıştır; RBF gömme daha büyük doğruluk kazancı üretirken başlangıç koşulu gömme yakınsamayı hızlandırmış, ikisinin birlikte kullanıldığı STFE-PINN ise \(6,30\times10^{-5}\) ile en düşük son hataya ulaşmıştır.

Denklem (19): Seyahat eden dalganın analitik çözümü

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Bu analitik çözüm, keskin geçiş bölgesinin zaman içinde uzayda ilerlediği bir seyahat eden dalgayı temsil eder. Analitik çözümün mevcut olması, STFE-PINN tahmininin doğrudan gerçek matematiksel çözüme göre ölçülebilmesini sağlar.

Denklem (20): Yeniden ölçeklendirilmiş Allen–Cahn biçimi

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Kaynak bu biçimin Denklem (1)'den \(t\leftarrow\varepsilon^2t\) zaman yeniden ölçeklendirmesiyle elde edildiğini belirtmektedir. Bu nedenle fizik aynı Allen–Cahn dinamiğine bağlı kalırken kullanılan zaman ölçeği değişmiştir.

Sayısal çözümde sonsuz uzay doğrudan kullanılamadığı için alan \(L_x=-2\), \(R_x=5\) olacak şekilde sonlu aralığa kesilmiştir. \(\varepsilon=0,1\) ve \(T=\sqrt{\varepsilon}\) seçilmiştir.

Denklem (21): Analitik çözümün uzamsal türevi

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Bu türev tüm \(x\) değerlerinde negatiftir. Ancak geçiş tabakası hesaplama alanının sınırlarından yeterince uzaktaysa \(L_x\) ve \(R_x\)'te türev sıfıra yaklaşır. Bu nedenle kaynak, sonsuz alan problemini sonlu alanda yaklaşık temsil etmek için homojen Neumann sınır koşulunu kullanmıştır.

Ablasyon sonuçları

Tam model standart PINN'e göre yaklaşık üç mertebelik hata azalması sağlamıştır. Bunun karşılığında parametre sayısı 12.737'den 14.365'e, epoch başına eğitim süresi 4,40 saniyeden 5,88 saniyeye yükselmiştir. Dolayısıyla doğruluk kazanımı ek hesaplama ve parametre maliyetiyle birlikte değerlendirilmelidir.

RBF sayısı ve şekil parametresi başlangıç aralığı

Daha fazla RBF kullanmanın otomatik olarak daha iyi sonuç üretmediği görülmektedir. Test edilen beş yapılandırma içinde \(N=300\) ve \(d\in[0,10]\) açık biçimde en düşük hatayı vermiştir. Diğer dört yapılandırmada hata \(10^{-3}\) mertebesine çıkmıştır; buna rağmen kaynak bütün testlerde yöntemin yakınsadığını belirtmektedir.

Enerji sönümü ve maksimum sınır ilkesi deneyi

Bu testte \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) ve \(\mu=1,0\) kullanılmıştır. Dirichlet sınır koşulları:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

ve başlangıç koşulu:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

olarak verilmiştir. Başlangıç profilinin mutlak değeri 1 ile sınırlıdır. Kaynak, tahmin edilen çözüm ile referans arasındaki noktasal mutlak hatanın yaklaşık \(10^{-3}\) mertebesinde kaldığını bildirmektedir.

Toplam enerji Denklem (4)'ün 201×201 düzgün ızgara üzerindeki ayrık karşılığıyla hesaplanmış ve zaman boyunca monoton biçimde azalmıştır. Bu gözlem Denklem (5)'teki enerji sönümü yasasıyla uyumludur. Ayrıca tahmin edilen uç değerlerin \([-1,1]\) sınırları içinde kalması, bu testte maksimum sınır ilkesinin de sayısal olarak korunduğuna dair kanıt sağlamıştır.

İki boyutlu Allen–Cahn benchmarkı

Alan:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

ve parametreler \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\)'tir. Analitik çözüm:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

olarak seçilmiş ve buna karşılık gelen kaynak terimi:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

olarak türetilmiştir. Başlangıç koşulu \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\)'dir ve Dirichlet sınır koşulları kullanılmıştır.

Göreli \(L^2\) hata ilk birkaç yüz iterasyonda hızla azalmış ve yaklaşık 200 iterasyondan sonra \(10^{-4}\) mertebesine yakınsamıştır. \(t=1\) anındaki noktasal mutlak hata ise yaklaşık \(10^{-3}\) mertebesindedir.

2B tek damlanın küçülmesi

Alan \(\Omega=[0,1]^2\) ve homojen Neumann koşulu:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

olarak verilmiştir. \(\partial/\partial n\), sınırın dış normal yönündeki türevi temsil eder; sıfır olması sınır boyunca normal yönde akının bulunmadığını ifade eder.

Başlangıçtaki dairesel arayüz:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

ile tanımlanmıştır. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\)'tir. Merkez \((0,5,0,5)\), başlangıç yarıçapını belirleyen eşik ise 0,35'tir. Tanh fonksiyonu iki faz arasında keskin fakat sürekli bir geçiş tabakası oluşturur.

Uzun zaman ufku \(T=10\), \(N_T=5\) zaman alt aralığına ayrılmış ve her alt aralık \(\Delta t=2\) uzunluğunda alınmıştır. Her alt aralıkta 500.000 iç kollokasyon noktası, dört kenarda toplam 1.200 sınır noktası ve 800 başlangıç noktası kullanılmıştır. Batch size 2.048'dir.

Tahmin edilen dairesel arayüz \(t=0,2,4,6,8,10\) boyunca giderek küçülmüş ve sonunda kaybolmuştur. Yüksek çözünürlüklü klasik referans çözüme karşı noktasal hatalar yaklaşık \(10^{-3}\) mertebesinde kalmış ve esas olarak hareketli keskin arayüz çevresinde yoğunlaşmıştır.

Bu deneyde ayrıca öğrenilmiş Gauss RBF merkezleri incelenmiştir. Merkezlerin beş zaman alt aralığı boyunca küçülen damlanın hareketli arayüzünü takip edecek şekilde yoğunlaştığı raporlanmıştır. Bu gözlem, RBF özelliğinin yalnız ek parametre üretmekle kalmayıp keskin uzamsal değişimin bulunduğu bölgeye uyarlanabildiğini göstermektedir.

3B tek damlanın küçülmesi

Üç boyutlu problem \(\Omega=[0,1]^3\) bölgesinde aynı homojen Neumann koşulunu kullanmaktadır:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Başlangıçtaki küresel arayüz:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Burada \(\mu=10\) ve \(\varepsilon=0,05\)'tir. Bu denklem 2B dairesel başlangıç koşulunun doğrudan üç boyutlu küresel karşılığıdır.

Üç boyutlu eğitimde 2.000.000 iç kollokasyon noktası, küpün altı yüzünde yüz başına 100×100 olmak üzere toplam 60.000 sınır noktası, \(t=0\)'da 1.000 başlangıç noktası ve 4.096 batch size kullanılmıştır.

Tahmin edilen \(u=0\) izoyüzeyi \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) anlarında giderek küçülen bir küre göstermiş ve önceki çalışmadaki nitel sonuçlarla uyumlu bulunmuştur. Eğitim kaybı kararlı biçimde azalmış; toplam kayba esas katkının PDE artık teriminden geldiği raporlanmıştır.

Önemli yorum sınırı: Üç boyutlu problemde yüksek çözünürlüklü bir referans çözümün hesaplanması aşırı maliyetli olduğundan yazarlar 1B ve 2B örneklerdeki gibi kesin bir göreli \(L^2\) doğruluk karşılaştırması yapmamıştır. Dolayısıyla 3B bölümündeki başarılı yakınsama ve küresel küçülme davranışı, yüksek çözünürlüklü referansa karşı nicel hata doğrulamasıyla karıştırılmamalıdır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• STFE-PINN, çalışmanın 1B temel karşılaştırmasında test edilen PINN varyantları arasında en düşük raporlanan göreli \(L^2\) hatayı üretmiştir.
• RBF uzamsal gömme ve başlangıç koşulu gömme ayrı ayrı standart PINN'i iyileştirmiş, birlikte kullanıldıklarında daha güçlü bir doğruluk kazanımı sağlamıştır.
• Başlangıç koşulu gömme, ablasyon deneyindeki yakınsamayı hızlandırmıştır.
• Öğrenilebilir RBF merkezleri 2B küçülen damla probleminde hareketli arayüz çevresinde yoğunlaşmıştır.
• STFE-PINN'in tahmini enerji sönümü ve maksimum sınır ilkesini test edilen 1B problemde sayısal olarak korumuştur.
• Zaman alanı ayrıştırması uzun zamanlı 2B damla probleminde kararlı bir ardışık çözüm üretmiştir.
• Yöntem 1B, 2B ve 3B Allen–Cahn benchmarklarında çalıştırılmıştır.

Çalışmanın desteklemediği genellemeler

• Çalışma fiziksel laboratuvar veya saha deneyi değildir; sonuçlar sayısal simülasyonlara aittir.
• STFE-PINN'in bütün PDE'lerde standart PINN'den üstün olduğu gösterilmemiştir.
• Yöntemin bütün RBF sayıları ve şekil parametreleri için aynı doğruluğa sahip olduğu söylenemez; duyarlılık deneyi bunun tersini göstermektedir.
• 3B örnekte yüksek çözünürlüklü referansa karşı nicel hata metriği raporlanmamıştır.
• Malzeme bilimi, akışkanlar, kırılma mekaniği veya görüntü işlemedeki gerçek uygulamalarda doğrudan doğrulama yapılmamıştır.
• Başka faz alanı modelleri, reaksiyon-difüzyon sistemleri ve akışkan dinamiği problemleri makalenin doğrulanmış sonucu değil, gelecek çalışma hedefidir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Yazarlar: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Sorumlu yazar: Zhiwen Wang.

Kurumlar: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Dergi: Mathematics.

Yayınevi: MDPI.

Bibliyografik kayıt: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Resmî bağlantı: https://doi.org/10.3390/math14132344

Gönderim: 7 Haziran 2026. Revizyon: 27 Haziran 2026. Kabul: 30 Haziran 2026. Yayın: 2 Temmuz 2026.

Kaynak türü: Hakemli araştırma makalesi; matematiksel modelleme ve fizik-bilgili makine öğrenmesi üzerine sayısal çalışma.

Lisans: Creative Commons Attribution (CC BY).

Finansman: Zhiwen Wang, Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project tarafından YKJ25065R ve 5019926048/0171 numaralı hibelerle desteklenmiştir.

Veri ve kod erişilebilirliği: Yazarlar kaynak kodu ve çalışmayı destekleyen verilerin GitHub üzerinde açık olduğunu belirtmektedir. Depoda PyTorch 2.5.1, NumPy, ayrıntılı paket sürümleri, komut satırı talimatları ve makaledeki tablo ve şekillerin yeniden üretilmesine yönelik yapılandırma dosyalarının bulunduğu raporlanmıştır.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması olmadığını bildirmiştir.

Yazar katkıları: Kavramsallaştırma ve metodoloji Zhiwen Wang ile Minxin Chen; yazılım, doğrulama, biçimsel analiz, araştırma, veri kürasyonu, ilk taslak ve görselleştirme Zhiwen Wang; kaynaklar, gözden geçirme/düzenleme, danışmanlık ve proje yönetimi Minxin Chen; finansman edinimi Zhiwen Wang tarafından gerçekleştirilmiştir.

Temel yöntemsel sınır: Çalışmanın doğrulaması analitik veya yüksek doğruluklu sayısal referansların bulunduğu benchmark problemlerine dayanır. Üç boyutlu örnekte yüksek çözünürlüklü referans hesaplanamadığından değerlendirme kayıp yakınsaması ve çözümün nitel fiziksel davranışıyla sınırlıdır.

Kaynak içi gösterim notu: Zaman alanı ayrıştırmasındaki yayımlanmış Denklem (12)–(13) arayüzü \(T_k\) ile gösterirken, onu izleyen Denklem (14) ve metinsel tanım arayüzü \(T_{k-1}\) olarak kullanmaktadır. Verianla bu farklılığı sessizce düzeltmemiştir.