Шабакаи нейронии аз физика огоҳ бо ҷойгиркунии хусусиятҳои фазоӣ-замонӣ (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN) усули ҳалли ададӣ мебошад, ки барои омӯхтани тағйироти тезу шадиди фазоӣ, ки махсусан дар интерфейсҳои борики фазаи муодилаи Allen–Cahn ба вуҷуд меоянд, сохтори стандартии PINN-ро бо ду хусусияти ҳамдигарро пуркунанда такмил медиҳад. Координатаҳои фазоӣ бо функсияҳои базисии радиалии Гаусс (RBF), ки марказҳо ва параметрҳои шаклашон омӯхташавандаанд, коркард мешаванд; шарти ибтидоии \(u_0(x)\) бошад танҳо ҳамчун маҳдудият дар функсияи талафот боқӣ намонда, мустақиман ба вуруди шабака илова карда мешавад. Дар фосилаҳои дарози вақт, соҳаи вақт инчунин ба зерфосилаҳо ҷудо гардида, шабакаҳои алоҳидаи STFE-PINN пайдарпай омӯзонида мешаванд.

Дар муқоисаи асосии якченака хатои нисбии \(L^2\)-и STFE-PINN 0,0031 гузориш шуда, аз ҳамаи вариантҳои муқоисашудаи PINN пасттар будааст. Дар аблятсияи мавҷи сайёр хатои PINN-и стандартӣ \(1,48\times10^{-2}\) буд, дар ҳоле ки танҳо ҷойгиркунии RBF \(4,54\times10^{-4}\), танҳо ҷойгиркунии шарти ибтидоӣ \(3,57\times10^{-3}\), ва STFE-PINN-и пурра бо истифодаи ҳамзамони ҳар ду ҷойгиркунӣ \(6,30\times10^{-5}\) хато додааст. Дар таҷрибаи коҳишёбии қатраи дученака, хатоҳои нуқтагӣ тақрибан дар тартиби \(10^{-3}\) боқӣ мондаанд; мушоҳида шудааст, ки марказҳои RBF дар атрофи интерфейси ҳаракаткунанда зич мешаванд. Дар санҷиши сеченака бошад, азбаски ҳисоб кардани ҳалли истинодии дорои ҳалнокии баланд аз лиҳози ҳисоббарорӣ ниҳоят гарон буд, санҷиш асосан аз рӯйи рафтори талафот ва эволютсияи сифатии интерфейси курашакли пешгӯишуда анҷом дода шудааст.

Ин натиҷаҳо нишон медиҳанд, ки STFE-PINN метавонад дар benchmark-ҳои Allen–Cahn, ки дар таҳқиқот санҷида шудаанд, ҳалли интерфейсҳои тези фазавӣ ва оптимизатсияи дарозмуддатро беҳтар намояд. Аммо таҳқиқот таҷрибаи воқеии физикии мавод нест; натиҷаҳо ба benchmark-ҳои ададии PDE тааллуқ доранд ва ба дигар муодилаҳои дифференсиалии хусусӣ ба таври худкор умумӣ карда намешаванд.

STFE-PINN Чист ва Аз PINN-и Стандартӣ Чӣ Фарқ Дорад?

STFE-PINN меъмории PINN мебошад, ки ба вуруди стандартии PINN, ки координатаҳои фазо-вақтро истифода мебарад, хусусиятҳои фазоии омӯхташавандаи RBF ва хусусияти шарти ибтидоиро илова мекунад ва дар ҳолати зарурӣ вақтро ба зерфосилаҳои мустақилона омӯзонидашаванда тақсим менамояд; ҳадаф ин аст, ки тағйироти басомади баланд ва шадид, ки PINN-и стандартӣ махсусан дар интерфейсҳои борики фазавии Allen–Cahn дар ифодаи онҳо душворӣ мекашад, дақиқтар ифода шаванд.

Муодилаи Allen–Cahn чиро модел мекунад?

Муодилаи Allen–Cahn муодилаи дифференсиалии хусусии ғайрихаттӣ мебошад, ки дар моделҳои майдони фаза эволютсияи интерфейсҳои паҳншударо, ки фазаҳои гуногунро аз ҳам ҷудо мекунанд, дар тӯли вақт тавсиф менамояд. Шакли умумии истифодашуда дар мақола:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Муодилаи (1) чиро ҳисоб мекунад? Суръати тағйирёбии тағйирёбандаи майдони фаза \(u\)-ро нисбат ба вақт ҳисоб мекунад. \(u\) ҳолати фазавии системаро ифода мекунад; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) минтақаи фазоӣ аст; \(t\) вақт; \(\mu(u)\) функсияи ҳаракатпазирӣ; \(\varepsilon>0\) параметри хурде мебошад, ки паҳнои интерфейсро идора мекунад; \(\Delta u\) паҳншавии фазоиро тавассути оператори Лаплас, ва \(f(u)\) ҳади ангезандаи ғайрихаттиро, ки аз потенсиали энергияи озод ба вуҷуд меояд, ифода мекунад.

Ҳангоми хурд шудани \(\varepsilon\), ғафсии хоси интерфейс ба дараҷаи \(O(\varepsilon)\) мерасад. Ин аз ҷиҳати ададӣ муҳим аст: дар ҳамон минтақаи фазоӣ тағйироти хеле шадиди \(u\) ба вуҷуд омада, барои усули ҳал ифода кардани хусусиятҳои фазоии басомади баланд душвортар мешавад.

Муодилаи (2): Шарти ибтидоӣ

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\) тақсимоти ибтидоии фазаи система дар лаҳзаи \(t=0\) мебошад. PINN-и стандартӣ ин шартро тавассути функсияи талафот татбиқ мекунад. Яке аз навовариҳои STFE-PINN ин аст, ки ҳамон маълумоти \(u_0(x)\)-ро низ ҳамчун хусусияти вурудии шабака нигоҳ медорад.

Муодилаи (3): Потенсиали энергияи озоди ду-чоҳӣ

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\) потенсиали ду-чоҳӣ мебошад, ки дар атрофи ду ҳолати устувор минимум ба вуҷуд меорад. \(f(u)=u^3-u\), ки аз ҳосилаи он ба даст меояд, ҳади реаксияи ғайрихаттии муодилаи Allen–Cahn мебошад. Ҳолатҳои фазавии атрофи \(u=\pm1\) бо ду чоҳи ин потенсиал алоқаманданд.

Муодилаи (4): Энергияи умумии озод

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

Ҳади аввал тағйирёбии босуръати майдони фазаро дар фазо аз нигоҳи энергия гарон мекунад; ҳади дуюм бошад саҳми энергияи потенсиалии \(u\)-ро ифода менамояд. \(|\nabla u|^2\) махсусан дар интерфейсҳои фазавӣ калон мешавад. Ҳамин тавр, функсионали энергия ҳам геометрияи интерфейс ва ҳам ҳолати маҳаллии фазаро якҷоя арзёбӣ мекунад.

Муодилаи (5): Қонуни коҳишёбии энергия

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Ин нобаробарӣ хусусияти ҷараёни градиентии динамикаи Allen–Cahn-ро ифода мекунад: бо гузашти вақт система набояд энергияи умумии озодро зиёд кунад. Мақола дар яке аз таҷрибаҳои ададии баъдӣ алоҳида месанҷад, ки оё ҳалли STFE-PINN ин хусусиятро нигоҳ медорад.

Сохтори математикии PINN-и стандартӣ

Муаллифон аввал масъалаи умумии PDE-ро ба шакли зерин муайян мекунанд:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) оператори дифференсиалӣ, \(\mathcal B\) оператори шарти сарҳадӣ, \(f\) ҳади маълуми манбаи PDE, \(g\) маҳдудияти сарҳад ва \(u_0\) шарти ибтидоӣ мебошад. Вазифаи PINN омӯхтани функсияи тахминии \(u(x,t)\) аст, ки ин се шартро ҳамзамон то ҳадди имкон хуб қонеъ мекунад.

Муодилаи (7): PINN-и пурра пайваст

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\) якҷоякунии координатаҳои фазо ва вақт дар самти сутун мебошад. \(W^{[l]}\) матритсаҳои вазн, \(b^{[l]}\) векторҳои bias, \(\sigma\) функсияи фаъолсозии ғайрихаттӣ ва \(\theta\) ҳамаи параметрҳои омӯхташавандаи шабака мебошанд. Баромади шабака \(\tilde u\) наздиксозии ҳалли ҳақиқии PDE тавассути шабакаи нейронӣ мебошад.

Муодилаи (8): Функсияи талафоти PINN

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

Ҳади аввал хатои боқимондаи PDE, ҳади дуюм хатои шарти сарҳадӣ ва ҳади сеюм хатои шарти ибтидоиро чен мекунад. \(N_r\), \(N_b\) ва \(N_0\) мутаносибан шумораи намунаҳои дохилии минтақа, сарҳад ва ибтидо мебошанд. \(\lambda_b\) ва \(\lambda_0\) вазнҳои нисбии ин маҳдудиятҳои физикиро дар функсияи талафот идора мекунанд. Шабака бо оптимизатори Adam барои кам кардани талафоти умумӣ омӯзонида мешавад.

Муодилаи (9): Хусусияти фазоии RBF-и омӯхташаванда

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) шумораи RBF аст; \(c_i\) маркази RBF, \(d_i\) параметри шакл ва \(w_i\) вазнро нишон медиҳад. Таҳқиқот функсияи базисии радиалии Гауссро истифода мебарад. Азбаски қимати функсияи Гаусс бо дур шудан аз марказ зуд кам мешавад, RBF-ҳо метавонанд сохторҳои маҳаллии фазоиро ифода намоянд. Нуқтаи муҳим ин аст, ки марказҳо, параметрҳои шакл ва вазнҳо собит нестанд; онҳо ҳангоми омӯзиш омӯхта мешаванд.

Ин хусусият махсусан барои интерфейсҳои тези фазавӣ муҳим аст. Азбаски параметрҳои RBF метавонанд дар вақти омӯзиш дар минтақаҳои мувофиқи фазоӣ зич шаванд, шабака метавонад тағйироти тези фазоиро, ки вуруди стандартии координатӣ дар ифодаи онҳо мушкилӣ мекашад, дар фазои иловагии хусусиятҳо нишон диҳад.

Муодилаи (10): Илова кардани хусусияти RBF ба PINN

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

Дар ҳоле ки PINN-и стандартӣ танҳо маълумоти \([x|t]\)-ро мегирад, ин сохтор вектори \([x|t|\Phi]\)-ро истифода мебарад. Ҳамин тариқ, шабака ба як координатаи физикӣ ҳам бевосита ҳамчун координата ва ҳам тавассути ифодаи фазоие, ки шабакаи RBF месозад, дастрасӣ пайдо мекунад.

Муодилаи (11): Ҷойгир кардани шарти ибтидоӣ ҳамчун хусусият

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Дар ин марҳила шарти ибтидоӣ дигар танҳо ҳади ҷаримавии Муодилаи (8) нест. \(u_0(x)\) дар ҳамаи нуқтаҳои вақт қисми вуруди шабака мебошад. Ҳадафи муаллифон ин аст, ки шабака маълумоти сохтори ибтидоиро дар тамоми раванди омӯзиш ҳамчун хусусияти мустақиман дастрас нигоҳ дорад.

Тақсимоти соҳаи вақт

Ҳангоми ҳал кардани фосилаи дарози вақт бо як шабака, бузургиҳои градиент дар минтақаҳои гуногуни вақт метавонанд номутаносиб шаванд ва хато ҷамъ гардад. Аз ин рӯ, таҳқиқот фосилаи \([0,T]\)-ро ба \(N_T\) қисми баробар тақсим мекунад:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Ба ҳар як зерфосила STFE-PINN-и алоҳида бо меъмории яксон, вале параметрҳои мустақили омӯхташаванда таъин карда мешавад. Шабакаи аввал то ҳамгароӣ омӯзонида шуда, сипас параметрҳои он собит карда мешаванд. Шабакаи навбатӣ ҳалли шабакаи қаблиро дар вақти охирини он ҳамчун маълумоти ибтидоӣ истифода мебарад.

Муодилаҳои (12) ва (13): Пайвастагии зерфосилаҳо

Муодилаҳои нашршуда дар манбаъ чунинанд:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Муодилаи (12) ҳадаф дорад, ки дар қимати ҳал ҷаҳиш ба вуҷуд наояд; Муодилаи (13) бошад пайвастагии ҳосилаи вақтро низ ҳадаф мегирад. Ҳамин тавр, на танҳо мавқеъ/қимат, балки нишебӣ дар самти вақт низ дар сарҳади зершакаба ба ҳам пайваст карда мешавад.

Огоҳии ишорагузории дохилии манбаъ: Ин ду муодилаи нашршуда \(T_k\)-ро истифода мебаранд. Аммо тавзеҳи фавран пеш аз онҳо мегӯяд, ки зерфосилаи \(k\)-ум оғозро аз анҷоми зерфосилаи \((k-1)\)-ум мегирад; Муодилаи (14)-и поён ва тавзеҳи баъдӣ ин интерфейсро ҳамчун \(T_{k-1}\) менависанд. Verianla Муодилаҳои нашршудаи (12)–(13)-ро пинҳонӣ тағйир намедиҳад.

Муодилаи (14): Талафоти зершакабаҳои минбаъдаи вақт

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

Ду ҳади аввал боз боқимондаҳои PDE ва сарҳадро чен мекунанд. Ду ҳади охир бошад зершакабаи навро маҷбур мекунанд, ки дар интерфейс бо шабакаи қаблии собитшуда ҳам аз рӯйи қимати ҳал ва ҳам аз рӯйи ҳосилаи вақт мувофиқат кунад. Ҳамин тавр, тақсимоти вақт ба ҷойи ҳалли мустақили аз ҳам ҷудо, занҷири пайдарпайи ҳалро месозад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Муодилаи (15): Метрикаи хатои нисбии L2

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) пешгӯии STFE-PINN, \(u_r\) қимати истинодие мебошад, ки аз усули классикии дақиқи баланд ё, агар мавҷуд бошад, аз ҳалли аналитикӣ гирифта шудааст. Сурат фарқи умумии квадратии байни пешгӯӣ ва истинодро чен мекунад, махраҷ бошад бузургии ҳалли истинодиро нормализатсия мекунад. Метрика беандоза аст; қимати хурдтар дақиқии баландтарро маъно медиҳад.

Танзимоти асосии омӯзиш ва ҳисоббарорӣ

Муқоисаи асосии 1B Allen–Cahn

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Дар ин таҷриба \(\varepsilon^2=0,0001\) ва \(\mu=5\) мебошанд. Қимати хурди \(\varepsilon\) интерфейсҳоро борик ва шадид месозад; аз ин рӯ, ин таҷриба қобилияти шабакаро барои ҳалли гузаришҳои мураккаби фазоӣ месанҷад.

Шартҳои сарҳадии даврӣ:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

ва шарти ибтидоӣ:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

дода шудаанд. Шарти даврӣ таъмин мекунад, ки ҳам қимати ҳал ва ҳам ҳосилаи фазоӣ дар канорҳои чап ва рости соҳа мувофиқат кунанд.

Дар муқоисаи манбаъ STFE-PINN пасттарин қимати хаторо ба даст овардааст. Муаллифон инчунин таъкид мекунанд, ки STFE-PINN бо вуҷуди истифодаи 64 нейрон дар панҷ қабати пинҳонӣ ва 500 RBF, бо параметрҳои шабакавии камтар нисбат ба баъзе сохторҳои муқоисавии PINN ба ин натиҷа расидааст. Қиматҳои хатои усулҳои муқоисашуда аз таҳқиқоти аслии худи онҳо, ки нисбат ба ҳамон ҳалли истинодӣ гузориш шудаанд, гирифта шудаанд.

RBF ва Ҷойгиркунии Шарти Ибтидоӣ Алоҳида Чӣ Қадар Саҳм Мегузоранд?

Дар аблятсияи мавҷи сайёр ҳар ду хусусият нисбат ба PINN-и стандартӣ хаторо кам карданд; ҷойгиркунии RBF беҳбудии бештари дақиқӣ дод, ҷойгиркунии шарти ибтидоӣ ҳамгароиро тезонд, ва STFE-PINN бо истифодаи ҳамзамони ҳар ду хусусият бо \(6,30\times10^{-5}\) ба пасттарин хатои ниҳоӣ расид.

Муодилаи (19): Ҳалли аналитикии мавҷи сайёр

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Ин ҳалли аналитикӣ мавҷи сайёреро ифода мекунад, ки минтақаи гузариши шадиди он бо гузашти вақт дар фазо ҳаракат мекунад. Мавҷуд будани ҳалли аналитикӣ имкон медиҳад, ки пешгӯии STFE-PINN мустақиман нисбат ба ҳалли ҳақиқии математикӣ чен карда шавад.

Муодилаи (20): Шакли аз нав миқёскардашудаи Allen–Cahn

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Манбаъ мегӯяд, ки ин шакл аз Муодилаи (1) тавассути аз нав миқёскардани вақт \(t\leftarrow\varepsilon^2t\) ба даст оварда шудааст. Аз ин рӯ, физика ба ҳамон динамикаи Allen–Cahn вобаста мемонад, аммо миқёси вақти истифодашуда тағйир мекунад.

Азбаски дар ҳалли ададӣ фазои беохирро мустақиман истифода бурдан мумкин нест, соҳа ба фосилаи маҳдуд бо \(L_x=-2\), \(R_x=5\) бурида шудааст. \(\varepsilon=0,1\) ва \(T=\sqrt{\varepsilon}\) интихоб шудаанд.

Муодилаи (21): Ҳосилаи фазоии ҳалли аналитикӣ

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Ин ҳосила барои ҳамаи қиматҳои \(x\) манфӣ аст. Аммо агар қабати гузариш аз сарҳадҳои соҳаи ҳисоббарорӣ ба қадри кофӣ дур бошад, ҳосила дар \(L_x\) ва \(R_x\) ба сифр наздик мешавад. Аз ин рӯ, манбаъ барои тақрибан ифода кардани масъалаи соҳаи беохир дар соҳаи маҳдуд шарти сарҳадии якхелаи Neumann-ро истифода кардааст.

Натиҷаҳои аблятсия

Модели пурра нисбат ба PINN-и стандартӣ тақрибан се тартиб камшавии хаторо таъмин кардааст. Дар иваз, шумораи параметрҳо аз 12.737 ба 14.365 ва вақти омӯзиш барои ҳар epoch аз 4,40 сония ба 5,88 сония афзудааст. Аз ин рӯ, беҳбудии дақиқӣ бояд дар якҷоягӣ бо хароҷоти иловагии ҳисоббарорӣ ва параметрҳо арзёбӣ шавад.

Шумораи RBF ва фосилаи ибтидоии параметри шакл

Дида мешавад, ки истифодаи RBF-и бештар ба таври худкор натиҷаи беҳтар намедиҳад. Дар байни панҷ танзимоти санҷидашуда, \(N=300\) ва \(d\in[0,10]\) ба таври равшан пасттарин хаторо додаанд. Дар чор танзимоти дигар хато ба тартиби \(10^{-3}\) баромадааст; бо вуҷуди ин, манбаъ мегӯяд, ки усул дар ҳамаи санҷишҳо ҳамгаро шудааст.

Таҷрибаи коҳишёбии энергия ва принсипи ҳадди максималӣ

Дар ин санҷиш \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) ва \(\mu=1,0\) истифода шудаанд. Шартҳои сарҳадии Dirichlet:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

ва шарти ибтидоӣ:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

дода шудаанд. Қимати мутлақи профили ибтидоӣ бо 1 маҳдуд аст. Манбаъ хабар медиҳад, ки хатои мутлақи нуқтагӣ байни ҳалли пешгӯишуда ва истинод тақрибан дар тартиби \(10^{-3}\) боқӣ мондааст.

Энергияи умумӣ бо ҳамтои дискретии Муодилаи (4) дар шабакаи яксони 201×201 ҳисоб шуда, дар тӯли вақт ба таври монотонӣ кам шудааст. Ин мушоҳида бо қонуни коҳишёбии энергия дар Муодилаи (5) мувофиқ аст. Илова бар ин, дар ҳудуди \([-1,1]\) боқӣ мондани қиматҳои ниҳоии пешгӯишуда далел медиҳад, ки дар ин санҷиш принсипи ҳадди максималӣ низ ба таври ададӣ нигоҳ дошта шудааст.

Benchmark-и дученакаи Allen–Cahn

Соҳа:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

ва параметрҳо \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\) мебошанд. Ҳалли аналитикӣ:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

интихоб шуда, ҳади манбаи мувофиқ:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

ҳосил карда шудааст. Шарти ибтидоӣ \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\) мебошад ва шартҳои сарҳадии Dirichlet истифода шудаанд.

Хатои нисбии \(L^2\) дар чандсад итератсияи аввал зуд кам шуда, баъд аз тақрибан 200 итератсия ба тартиби \(10^{-4}\) ҳамгаро шудааст. Хатои мутлақи нуқтагӣ дар вақти \(t=1\) бошад, тақрибан дар тартиби \(10^{-3}\) аст.

Коҳишёбии як қатраи 2B

Соҳа \(\Omega=[0,1]^2\) ва шарти якхелаи Neumann:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

дода шудааст. \(\partial/\partial n\) ҳосиларо дар самти нормали берунии сарҳад ифода мекунад; сифр будани он маънои набудани ҷараён дар самти нормалӣ дар тӯли сарҳадро дорад.

Интерфейси ибтидоии даврашакл:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

муайян шудааст. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\). Марказ \((0,5,0,5)\), ҳадди муайянкунандаи радиуси ибтидоӣ бошад 0,35 аст. Функсияи Tanh байни ду фаза қабати гузариши шадид, вале пайвастаро ба вуҷуд меорад.

Уфуқи дарози вақт \(T=10\) ба \(N_T=5\) зерфосилаи вақт ҷудо шуда, ҳар як зерфосила бо дарозии \(\Delta t=2\) гирифта шудааст. Дар ҳар зерфосила 500.000 нуқтаи дохилии коллокатсия, дар чор канор ҳамагӣ 1.200 нуқтаи сарҳадӣ ва 800 нуқтаи ибтидоӣ истифода шудаанд. Batch size 2.048 аст.

Интерфейси даврашакли пешгӯишуда дар тӯли \(t=0,2,4,6,8,10\) тадриҷан хурд шуда, дар ниҳоят нопадид шудааст. Нисбат ба ҳалли классикии истинодии дорои ҳалнокии баланд, хатоҳои нуқтагӣ тақрибан дар тартиби \(10^{-3}\) боқӣ монда, асосан дар атрофи интерфейси тезу ҳаракаткунанда ҷамъ шудаанд.

Дар ин таҷриба инчунин марказҳои омӯхташудаи Gauss RBF баррасӣ шудаанд. Гузориш шудааст, ки марказҳо дар панҷ зерфосилаи вақт ба тавре зич шудаанд, ки интерфейси ҳаракаткунандаи қатраи хурдшавандаро пайгирӣ мекунанд. Ин мушоҳида нишон медиҳад, ки хусусияти RBF на танҳо параметрҳои иловагӣ эҷод мекунад, балки метавонад ба минтақае, ки тағйироти тези фазоӣ вуҷуд дорад, мутобиқ шавад.

Коҳишёбии як қатраи 3B

Масъалаи сеченака дар минтақаи \(\Omega=[0,1]^3\) ҳамон шарти якхелаи Neumann-ро истифода мебарад:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Интерфейси ибтидоии курашакл:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Дар ин ҷо \(\mu=10\) ва \(\varepsilon=0,05\). Ин муодила ҳамтои мустақими сеченакаи шарти ибтидоии даврашакли 2B мебошад.

Дар омӯзиши сеченака 2.000.000 нуқтаи дохилии коллокатсия, дар шаш рӯйи куб барои ҳар рӯй 100×100 ва дар маҷмӯъ 60.000 нуқтаи сарҳадӣ, дар \(t=0\) 1.000 нуқтаи ибтидоӣ ва 4.096 batch size истифода шудаанд.

Изосатҳи пешгӯишудаи \(u=0\) дар вақтҳои \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) кураи тадриҷан хурдшавандаро нишон дода, бо натиҷаҳои сифатии таҳқиқоти қаблӣ мувофиқ будааст. Талафоти омӯзиш ба таври устувор кам шудааст; гузориш шудааст, ки саҳми асосӣ ба талафоти умумӣ аз ҳади боқимондаи PDE омадааст.

Ҳадди муҳими тафсир: Азбаски дар масъалаи сеченака ҳисоб кардани ҳалли истинодии дорои ҳалнокии баланд ниҳоят гарон буд, муаллифон мисли мисолҳои 1B ва 2B муқоисаи дақиқи хатои нисбии \(L^2\)-ро анҷом надодаанд. Аз ин рӯ, ҳамгароии муваффақ ва рафтори коҳишёбии курашакл дар қисми 3B набояд бо санҷиши миқдории хато нисбат ба истиноди дорои ҳалнокии баланд омехта шавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• STFE-PINN дар муқоисаи асосии 1B-и таҳқиқот дар байни вариантҳои санҷидашудаи PINN пасттарин хатои нисбии \(L^2\)-и гузоришшударо ба даст овардааст.
• Ҷойгиркунии фазоии RBF ва ҷойгиркунии шарти ибтидоӣ ҳар кадом PINN-и стандартиро беҳтар карданд ва ҳангоми истифодаи якҷоя беҳбудии қавитари дақиқӣ доданд.
• Ҷойгиркунии шарти ибтидоӣ ҳамгароиро дар таҷрибаи аблятсия тезонд.
• Марказҳои омӯхташавандаи RBF дар масъалаи қатраи хурдшавандаи 2B дар атрофи интерфейси ҳаракаткунанда зич шуданд.
• Пешгӯии STFE-PINN коҳишёбии энергия ва принсипи ҳадди максималиро дар масъалаи 1B-и санҷидашуда ба таври ададӣ нигоҳ дошт.
• Тақсимоти соҳаи вақт дар масъалаи дарозмуддати қатраи 2B ҳалли устувори пайдарпай ба вуҷуд овард.
• Усул дар benchmark-ҳои 1B, 2B ва 3B Allen–Cahn иҷро шудааст.

Умумисозиҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот таҷрибаи лабораторӣ ё саҳроии физикӣ нест; натиҷаҳо ба симулятсияҳои ададӣ тааллуқ доранд.
• Нишон дода нашудааст, ки STFE-PINN дар ҳамаи PDE-ҳо аз PINN-и стандартӣ бартарӣ дорад.
• Гуфтан мумкин нест, ки усул барои ҳамаи шумораҳои RBF ва параметрҳои шакл яксон дақиқ аст; таҷрибаи ҳассосият баръакси инро нишон медиҳад.
• Дар мисоли 3B метрикаи миқдории хато нисбат ба истиноди дорои ҳалнокии баланд гузориш нашудааст.
• Дар барномаҳои воқеии илми мавод, механикаи моеъҳо, механикаи шикаст ё коркарди тасвир санҷиши мустақим анҷом дода нашудааст.
• Моделҳои дигари майдони фаза, системаҳои реаксия-диффузия ва масъалаҳои динамикаи моеъ натиҷаи тасдиқшудаи мақола нестанд, балки ҳадафҳои кори оянда мебошанд.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Муаллифон: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Муаллифи масъул: Zhiwen Wang.

Муассисаҳо: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Маҷалла: Mathematics.

Ношир: MDPI.

Сабти библиографӣ: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Пайванди расмӣ: https://doi.org/10.3390/math14132344

Ирсол: 7 июни 2026. Бознигарӣ: 27 июни 2026. Қабул: 30 июни 2026. Нашр: 2 июли 2026.

Навъи манбаъ: Мақолаи таҳқиқотии рецензияшуда; таҳқиқоти ададӣ оид ба моделсозии математикӣ ва омӯзиши мошинии аз физика огоҳ.

Иҷозатнома: Creative Commons Attribution (CC BY).

Маблағгузорӣ: Zhiwen Wang аз ҷониби Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project бо грантҳои рақами YKJ25065R ва 5019926048/0171 дастгирӣ шудааст.

Дастрасии маълумот ва код: Муаллифон хабар медиҳанд, ки коди манбаъ ва маълумоти дастгиркунандаи таҳқиқот дар GitHub кушода мебошанд. Гузориш шудааст, ки репозиторий PyTorch 2.5.1, NumPy, версияҳои муфассали бастаҳо, дастурҳои сатри фармон ва файлҳои конфигуратсияро барои бозтавлиди ҷадвалҳо ва шаклҳои мақола дар бар мегирад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон хабар додаанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон: Консептуализатсия ва методология — Zhiwen Wang ва Minxin Chen; нармафзор, санҷиш, таҳлили формалӣ, таҳқиқот, куратсияи маълумот, тарҳи аввал ва визуализатсия — Zhiwen Wang; захираҳо, бозбинӣ/таҳрир, роҳнамоӣ ва идоракунии лоиҳа — Minxin Chen; дарёфти маблағгузорӣ — Zhiwen Wang.

Маҳдудияти асосии методологӣ: Санҷиши таҳқиқот ба масъалаҳои benchmark такя мекунад, ки барои онҳо истинодҳои аналитикӣ ё ададии дақиқи баланд мавҷуданд. Дар мисоли сеченака, азбаски истиноди дорои ҳалнокии баланд ҳисоб карда нашуд, арзёбӣ бо ҳамгароии талафот ва рафтори сифатии физикии ҳал маҳдуд аст.

Ёддошти ишорагузории дохилии манбаъ: Муодилаҳои нашршудаи (12)–(13) дар тақсимоти соҳаи вақт интерфейсро бо \(T_k\) нишон медиҳанд, дар ҳоле ки Муодилаи минбаъдаи (14) ва тавсифи матнӣ интерфейсро ҳамчун \(T_{k-1}\) истифода мебаранд. Verianla ин фарқиятро пинҳонӣ ислоҳ накардааст.