Yashirin neytral temperlangan Caputo kasr tartibli Volterra–Fredholm integral-differensial tenglama — kasr tartibli va eksponensial temperlashni oʻz ichiga olgan Caputo hosilasini; oʻtmishga bogʻliq kechiktirilgan argumentlarni, kelajakka choʻzilgan ilgʻor argumentlarni, neytral funksional hadni hamda Volterra va Fredholm integral operatorlarini bitta matematik tuzilma ichida birlashtiradigan tenglamalar sinfidir. Abdulrahman A. Sharif va Muath Awadalla tadqiqoti ushbu sinfdagi masalalar yechimining mavjudligi, yagonaligi va barqarorligini qoʻzgʻalmas nuqta nazariyasi orqali oʻrganadi. Skalyar uzluksiz funksiyalar fazosida Banach qisqarish prinsipi va Schauder qoʻzgʻalmas nuqta teoremasi; umumiy Banach fazosida esa Darbo qoʻzgʻalmas nuqta teoremasi bilan Kuratowski nokompaktlik oʻlchovi qoʻllanadi. Tadqiqot, shuningdek, Ulam–Hyers–Rassias barqarorligi uchun yetarli shartlarni keltirib chiqaradi va nazariy tuzilmani MATLAB R2023a da bajarilgan sonli misollar orqali tekshiradi.

Sonli boʻlimda temperlangan Caputo hosilasi L1 sxemasi bilan diskretlashtiriladi. Volterra va Fredholm integrallari skalyar masalada murakkab Simpson qoidasi, Banach fazosi masalasida esa trapetsiya qoidasi bilan yaqinlashtiriladi; yechimni hisoblashda integral tenglama koʻrinishidan keltirib chiqarilgan qoʻzgʻalmas nuqta iteratsiyasidan foydalaniladi. Problem 1 uchun toʻr maydalashgani sari kuzatilgan yaqinlashish tartibi taxminan 1,38–1,44, Problem 2 uchun esa taxminan 1,37 deb xabar qilinadi. Qoʻzgʻalmas nuqta iteratsiyasining xabar qilingan dastlabki olti qadamidagi xato nisbati har ikkala masalada ham taxminan 0,273 darajasida qoladi. Biroq bu tadqiqot haqiqiy fizik tizimda dala tekshiruvini oʻtkazmaydi; viskoelastiklik, boshqaruv nazariyasi va neyron dinamikasi manbada model sinfining mumkin boʻlgan motivatsiyalari sifatida keltiriladi.

Temperlangan Caputo kasr tartibli hosilasi nima?

Temperlangan Caputo kasr tartibli hosilasi klassik Caputo kasr tartibli hosilasiga eksponensial temperlash oʻzgartirishini qoʻshib, uzoq muddatli xotiraning kasrli va nolokal xususiyatini saqlagan holda uzoq oʻtmish taʼsirini eksponensial tarzda susaytiradigan kasr tartibli hosila operatoridir.

Tadqiqotda temperlash parametri \(w_1\geq 0\), kasr tartibi esa \(w\) bilan belgilanadi. Avval temperlangan Riemann–Liouville kasr integrali quyidagi tuzilma bilan taʼriflanadi:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Bu yerda \(\Gamma(w)\) Gamma funksiyasidir. Yadrodagi \((\rho-\varpi)^{w-1}\) hadi kasrli xotirani, \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) hadi esa temperlashni ifodalaydi. \(w_1=0\) boʻlganda temperlangan integral klassik Riemann–Liouville kasr integraliga keltiriladi.

Temperlangan Caputo hosilasi esa manbada

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

koʻrinishida quriladi. Bu taʼrif avval funksiyani \(e^{w_1\rho}\) bilan vaznlash, keyin klassik Caputo hosilasini olish va nihoyat \(e^{-w_1\rho}\) omili bilan temperlashni anglatadi. Shunday qilib, model faqat joriy holatga emas, balki oʻtmish holatlarining vaznlangan majmuasiga ham bogʻliq boʻlib qoladi, juda uzoq oʻtmish taʼsiri esa temperlash parametri orqali susaytiriladi.

Oʻtmish, joriy va ilgʻor vaqt segmentlari

Tadqiqotning muhim xususiyatlaridan biri yechim funksiyasi faqat \([0,\xi]\) asosiy oraliqda aniqlanmasligidir. Masala uch qismli vaqt tuzilmasidan foydalanadi: oʻtmish segmenti \([ -a,0]\), asosiy yechim segmenti \([0,\xi]\) va ilgʻor segment \([\xi,\xi+g]\). Manbada \(a,g>0\) deb olinadi.

Bir \(\rho\) nuqta atrofidagi funksiyaning oʻtmishi va ilgʻor qismi

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

segmenti bilan ifodalanadi. Shunday qilib, tenglamaning oʻng tomoni faqat \(k(\rho)\) qiymatidan emas, balki \(\rho\) atrofidagi kechiktirilgan va ilgʻor qiymatlardan ham foydalanishi mumkin.

Volterra va Fredholm hadlari bu modelda nimani ifodalaydi?

Volterra hadi yuqori chegarasi joriy oʻzgaruvchi \(\rho\) boʻlgan va shu sababli yechimning \(\rho\) gacha toʻplanib kelgan oʻtmishini ifodalovchi integral operatordir; Fredholm hadi esa butun qatʼiy \([0,\xi]\) oraliq boʻyicha integral olgani uchun yanada global oʻzaro taʼsirni yoki butun oraliq hissasini ifodalaydi.

Tadqiqotning asosiy tenglamasidagi ikki integral tuzilma quyidagilardir:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

Birinchi integralning yuqori chegarasi \(\rho\) boʻlishi baholash nuqtasi ilgarilagan sari hisobga olinadigan oʻtmish oraligʻi ham kengayishini anglatadi. Ikkinchi integral esa har bir \(\rho\) uchun butun \([0,\xi]\) oraliqni qamrab oladi. Manba tadqiqoti ushbu tuzilmani tarixiy/xotiraga bogʻliq taʼsirlar bilan yanada global oʻzaro taʼsirlarni bitta modelda birlashtirishning matematik usuli sifatida koʻrib chiqadi.

Asosiy yashirin neytral masala

Tadqiqot markazidagi masala soddalashtirilgan belgilashda quyidagi tuzilishga ega:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Tenglama yashirindir, chunki kasr tartibli hosila faqat chap tomonda joylashmaydi; u \(F\) funksiyasining kirishlaridan biri sifatida oʻng tomonda ham mavjud. Neytraldir, chunki hosila bevosita \(k(\rho)\) ustida emas, balki \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) birikmasi ustida olinadi. Bunga kechiktirilgan va ilgʻor argumentlar hamda ikki xil integral operatorning qoʻshilishi klassik boshlangʻich qiymat masalalaridan murakkabroq funksional tuzilmani hosil qiladi.

Nega qoʻzgʻalmas nuqta nazariyasi qoʻllanadi?

Mualliflar differensial masalani mos integral tenglamaga aylantirib, yechimni operatorning qoʻzgʻalmas nuqtasi sifatida koʻrib chiqadilar. \(S\) operatori uchun \(Sk=k\) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya dastlabki integral-differensial masalaning yechimiga mos keladi. Ushbu oʻzgartirish tufayli mavjudlik va yagonalik masalasi differensial tenglamani bevosita yechishdan operatorning muayyan funksiyalar fazolarida qaysi xossalarga ega ekanini tekshirishga koʻchiriladi.

Kuratowski nokompaktlik oʻlchovi

Umumiy Banach fazosida klassik kompaktlik shartlari bevosita qulay boʻlmasligi mumkin. Shu sababli manba chegaralangan \(M\) toʻplamiga uni chekli sondagi kichik diametrli toʻplamlar bilan qoplash uchun zarur boʻlgan miqyosga asoslangan nokompaktlik oʻlchovini tayinlaydi. Oʻlchovning nol boʻlishi tegishli toʻplam kompakt ekanini anglatadi. Darbo yondashuvida maqsad yechim operatori ushbu oʻlchovni \(q<1\) koeffitsiyent bilan kamaytirishini koʻrsatishdir.

Modelning qoʻllanish konteksti qanday talqin qilinishi kerak?

Manba ushbu matematik sinfni viskoelastiklik, boshqaruv nazariyasi, uzatish liniyalari va neyron dinamikasi kabi xotira, kechikish yoki oldindan taʼsirlarni oʻz ichiga olishi mumkin boʻlgan tizimlar bilan bogʻlaydi. Biroq tadqiqot bu sohalarning birortasida haqiqiy tajriba maʼlumotlaridan foydalanmaydi va muayyan fizik tizimda dala tekshiruvini oʻtkazmaydi. Demak, bu qoʻllanishlar modelning matematik motivatsiyalaridir; tadqiqotning bevosita tasdiqlangan muhandislik yoki biologik samaradorlik natijalari emas.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tadqiqot yechimning mavjudligi va yagonaligini qanday asoslaydi?

Skalyar masalada yechim operatori mos Lipschitz va oʻsish shartlari ostida qisqarish ekani koʻrsatilganda Banach prinsipi yagona yechimni beradi; zaifroq kompaktlik shartlarida Schauder kamida bitta yechimni taʼminlaydi, umumiy Banach fazosiga oʻtilganda esa Darbo teoremasi va Kuratowski nokompaktlik oʻlchovi orqali kamida bitta yechim olinadi.

Skalyar masalada yagonalik sharti

Manbadagi H1–H6 farazlari \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) va \(\hbar_2\) uchun uzluksizlik, Lipschitz va oʻsish nazoratlarini joriy qiladi. Teorema 4 da quyidagi miqdoriy shart markaziy rol oʻynaydi:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Chap tomondagi yigʻindi yechim operatorining umumiy sezgirligining yuqori chegarasi kabi ishlaydi. \(\lambda\) neytral hadning \(k^\rho\) dagi oʻzgarishlarga sezgirligini; \(\mu\), \(A\), \(A_1\) va \(A_2\) esa \(F\) ning turli kirishlariga bogʻliq Lipschitz koeffitsiyentlarini; \(\delta_1\) va \(\delta_2\) integral yadrolarning yechim oʻzgaruvchisiga sezgirligini ifodalaydi. Ushbu birlashtirilgan koeffitsiyent birdan kichik boʻlsa, operator qisqarish boʻladi va qoʻzgʻalmas nuqta yagona boʻladi.

Manbaning skalyar qoʻllanmasida \(w=1/3\) va \(w_1=1\) ishlatiladi. Berilgan maxsus \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) va \(\hbar_2\) funksiyalaridan olingan koeffitsiyentlar yagonalik tengsizligiga qoʻyilganda, manba taxminan

\[ 0.1685<1 \]

qiymatini hisoblaydi. Bu natija manbada taʼriflangan Problem (16)–(18) uchun Teorema 4 ning yetarli sharti bajarilganini va masala yagona yechimga ega ekanini koʻrsatadi.

Schauder orqali mavjudlik

Manba yagonalikni talab qilmasdan faqat yechim mavjudligini olish uchun Schauder qoʻzgʻalmas nuqta teoremasiga ham murojaat qiladi. Bu yerda yechim operatorining uzluksizligi, mos chegaralangan-yopiq-qavariq toʻplamni oʻziga akslantirishi va tasvirning teng uzluksiz/nisbatan kompakt boʻlishi koʻrsatiladi. Natijada tegishli farazlar va manbada berilgan yuqori chegara sharti ostida masalaning kamida bitta yechimi bor. Schauder natijasi yagonalikni kafolatlamaydi.

Umumiy Banach fazosiga kengaytirish

Tadqiqotning ikkinchi asosiy nazariy qadami skalyar \(\mathbb{R}\)-qiymatli masaladan umumiy Banach fazosi \(E\) ga oʻtishdir. Bu holda yechim \(k(\rho)\) endi real son boʻlishi shart emas; u Banach fazosining elementi boʻlishi mumkin. Manba H7–H14 turidagi farazlar ostida yechim operatorining uzluksizligini, mos toʻplamni oʻziga akslantirishini, teng uzluksizligini va nokompaktlik oʻlchovini kamaytirish xossasini asoslaydi.

Teorema 6 ning asosiy sharti manba belgilashida umumlashtirilganda

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

koʻrinishidadir. Ushbu tengsizlik Darbo qoʻzgʻalmas nuqta doirasining zarur kamaytirish xossasini beradi. Manbada \(\ell^1\) fazosida tuzilgan qoʻllanmada hisoblangan qiymat taxminan

\[ 0.00422987<1 \]

boʻlgani uchun Problem (21)–(23) uchun kamida bitta yechim topilgan degan xulosaga kelinadi.

Ulam–Hyers–Rassias barqarorligi nimani anglatadi?

Ulam–Hyers–Rassias barqarorligi tenglamani kichik va nazorat qilinadigan qoldiq xato bilan qanoatlantiruvchi taqribiy yechim mos farazlar ostida haqiqiy yechimdan yana nazorat qilinadigan masofada qolishini anglatadi; tadqiqot bu masofani \(\varepsilon\) va vazn funksiyasi \(\Delta(\rho)\) bilan chegaralaydi.

Manbada barqarorlikning asosiy maqsadi quyidagi koʻrinishda:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

bu yerda \(k\) perturbatsiyalangan tengsizlikni qanoatlantiruvchi taqribiy yechim, \(\bar{k}\) dastlabki masalaning yechimi va \(\lambda_{F,\Delta}>0\) manba farazlaridan keltirib chiqarilgan barqarorlik doimiysidir. Bu natija tenglamadagi kichik qoldiq xato yechimni nazoratsiz tarzda uzoqlashtirmasligini matematik jihatdan chegaralaydi.

Teorema 7 shuningdek kamaymaydigan \(\Delta\) funksiyasi va

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

shartidan foydalanadi. Manba matnida Teorema 7 farazlari orasida “condition (15)” iborasi ham mavjud. Banach fazosi boʻlimidagi doimiylar belgilanishi boshqacha boʻlgani sababli ushbu oʻzaro havola bu yerda jim ravishda qayta raqamlanmagan yoki tuzatilmagan.

Sonli usul

Sonli tajribalar MATLAB R2023a da bajariladi. Temperlangan Caputo hosilasi uchun L1 yaqinlashuvi qoʻllanadi. Manba \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) oʻzgartirishini klassik L1 diskretlashtirishiga qoʻllab, natijani \(e^{-w_1\rho_k}\) bilan temperlaydi. Vaznlar

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

koʻrinishida aniqlanadi. Yetarlicha silliq \(f\) uchun manba lokal kesish xatosi \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) tartibida ekanini bildiradi.

Volterra va Fredholm integrallari Problem 1 da murakkab Simpson qoidasi bilan, \(\ell^1\) Banach fazosi masalasida esa trapetsiya qoidasi bilan hisoblanadi. Har bir iteratsiyada kasr tartibli hosila, Volterra integrali, Fredholm integrali va yashirin \(F\) hadi yangilanadi; soʻng integral formuladan yangi yechim yaqinlashuvi hosil qilinadi.

Problem 1: skalyar chekli-oraliq misoli

Problem 1 da kasr tartibi \(w=1/3\), temperlash parametri \(w_1=1\), asosiy soha \([0,1]\) va sonli yaqinlashish tolerantligi \(10^{-6}\) deb berilgan. Toʻr sezgirligini baholash uchun \(N=1600\) yechim tayanch yechim sifatida ishlatiladi.

Empirik yaqinlashish tartibi

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

bilan hisoblanadi. Toʻr maydalashgani sari tayanch yechimga nisbatan xato muntazam kamayadi va xabar qilingan oxirgi ikki qadamda tartib taxminan 1,44 ga yetadi.

Manbada toʻliq analitik yechim mavjud boʻlmagani uchun iteratsiya jadvalidagi “Maximum Error” haqiqiy yechimga nisbatan xato emas. Bu kattalik

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

sifatida, yaʼni ketma-ket ikki qoʻzgʻalmas nuqta iteratsiyasi orasidagi farq sifatida taʼriflangan. Shunga koʻra, xabar qilingan dastlabki olti qadamda qiymat 0.154327 dan 0.000234 gacha kamayadi, ketma-ket xato nisbati esa taxminan 0.273 darajasida qoladi.

Talqin chegarasi:Manba algoritmda \(10^{-6}\) tolerantlikni koʻrsatgan boʻlsa-da, xabar qilingan oltinchi iteratsiyadagi farq \(2.34\times10^{-4}\) dir. Shu sababli jadval olti qadamda yaqqol geometrik yaqinlashishni va taxminan 0.273 qisqarish xatti-harakatini koʻrsatadi; jadvalning oʻzi oltinchi qadamda \(10^{-6}\) toʻxtatish tolerantligiga erishilganini koʻrsatmaydi.

Manbaning 1-rasmi toʻrtta paneldan iborat: toʻr yaqinlashuvi, butun yechim profili, temperlangan kasr tartibli hosila va Volterra–Fredholm integral hissalari. Verianla nuqtai nazaridan ushbu rasm manba maʼlumotlaridan foydalanib, original grafik kompozitsiyada qayta chizishga mos; manba rasmining piksel yoki dizayn nusxasini koʻchirish zarur emas.

Problem 2: \(\ell^1\) Banach fazosi misoli

Ikkinchi masala cheksiz oʻlchamli \(\ell^1\) ketma-ketliklar fazosida aniqlanadi. Kasr tartibi yana \(w=1/3\), ammo temperlash parametri \(w_1=3\) dir. Sonli hisoblash cheksiz koʻp komponentni bevosita qayta ishlay olmagani uchun tizim dastlabki \(M\) komponentgacha kesiladi.

Manba komponentlar indeks oshgani sari tez kamayishiga asoslanib, \(10^{-6}\) uchun konservativ kesish darajasi \(M=1000\) boʻlishini bildiradi. Biroq jadvallarda hisoblash va taqdim etish qulayligi uchun \(M=5\) ishlatilgan; bundan tashqari \(M=20\) va \(M=50\) hisoblari yetakchi komponentlar va \(\ell^1\) normasi jihatidan farqlab boʻlmaydigan natijalar bergani xabar qilingan.

Bu masalada dastlabki uch komponent manbada muntazam masshtablangan tuzilmani koʻrsatadi. Masalan, \(\rho=1\) da \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) va \(k_3=0.181070\) deb xabar qilinadi.

Dastlabki olti iteratsiya uchun ketma-ket yechim farqi 0.142567 dan 0.000217 gacha kamayarkan, xabar qilingan qisqarish nisbati taxminan 0.273 atrofida qoladi. Problem 2 ning toʻr yaqinlashish tartibi taxminan 1.37 dir. Manba, shuningdek, \(w_1=3\) temperlashida kasr tartibli hosila Problem 1 dagi \(w_1=1\) holatiga qaraganda tezroq kamayishini bildiradi.

PDF ning 32. sahifasidagi 2-rasm; toʻr xatosi va 1.37 qiyalikni, dastlabki uch yechim komponentini, \(k_1\) ning temperlangan kasr tartibli hosilasini va \(\ell^1\) normasining \([0,1]\) boʻylab oʻzgarishini birgalikda koʻrsatadi.

Ikki masala birgalikda nimani koʻrsatadi?

Manbaning sonli misollarida toʻr maydalashgani sari tayanch yechimga nisbatan xato kamayishi, qoʻzgʻalmas nuqta iteratsiyalarida oʻxshash taxminan 0.273 qisqarish nisbatlari paydo boʻlishi va ham skalyar, ham \(\ell^1\) tuzilmalarda silliq yechim profillari olinishi koʻrsatiladi. Problem 2 da kattaroq temperlash parametri kasr tartibli hosila hissasining tezroq kamayishi bilan bogʻlanadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natija:Belgilangan uzluksizlik, Lipschitz, oʻsish va nokompaktlik shartlari ostida ushbu tenglamalar sinfi uchun yechim mavjudligi, muayyan skalyar shartlarda yechim yagonaligi va Ulam–Hyers–Rassias barqarorligi matematik jihatdan asoslanishi mumkin. Berilgan maxsus misollar tegishli yetarli shartlarni qanoatlantiradi; sonli usullar ham tanlangan misollarda muntazam yaqinlashish xatti-harakatini koʻrsatadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natija:Tadqiqot barcha yashirin kasr tartibli Volterra–Fredholm masalalari shartsiz ravishda yagona yechimga ega ekanini koʻrsatmaydi. Matematik yetarli shartlar buzilganda ayni natija avtomatik tarzda amal qilmaydi. Sonli simulyatsiyalar qoʻzgʻalmas nuqta teoremalarining oʻrnini bosuvchi mustaqil matematik isbot emas. Shuningdek, viskoelastik, biologik, neyron yoki boshqaruv tizimlaridagi haqiqiy dala samaradorligi ushbu tadqiqotda tajribaviy ravishda tasdiqlanmagan.

Manbada eʼtibor talab qiladigan ikki hisobot nuqtasi

Birinchi nuqta — Teorema 7 H7–H12 farazlariga qoʻshimcha ravishda “condition (15)” iborasiga havola qiladi. Manbaning Banach-fazosi boʻlimida alohida doimiy va koeffitsiyent belgilashlari mavjud boʻlgani uchun ushbu oʻzaro havola Verianla tomonidan jim ravishda boshqa tenglama raqamiga oʻzgartirilmagan.

Ikkinchi nuqta — sonli usul uchun \(10^{-6}\) tolerantlik koʻrsatilganiga qaramay, manba jadvallari faqat dastlabki olti iteratsiyani koʻrsatadi va oltinchi qadamdagi ketma-ket iteratsiya farqlari hali ham taxminan \(2\times10^{-4}\) darajasidadir. Shu sababli Verianla bayoni manbada alohida uchraydigan “olti iteratsiyada yaqinlashish” iborasini olti iteratsiyada \(10^{-6}\) tolerantlikka erishildi deb kengaytirmaydi.

Kelajakdagi tadqiqot yoʻnalishlari

Manba kelajakdagi tadqiqotlar uchun yanada ixtisoslashgan sonli algoritmlarni ishlab chiqish, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard yoki Katugampola turidagi boshqa kasr operatorlarga kengaytirish, optimal boshqaruv masalalari, muayyan fizik-biologik-muhandislik-iqtisodiy modellarga tatbiqlar, stoxastik perturbatsiyalar va oʻzaro bogʻlangan tenglamalar tizimlarini taklif qiladi.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Mualliflar: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Muassasalar: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Jurnal: Mathematics.

Nashriyot: MDPI.

Bibliografik qayd: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Yuborilgan:4 yanvar 2026.Qayta koʻrib chiqish:24 yanvar 2026.Qabul:26 yanvar 2026.Nashr:29 yanvar 2026.

Manba turi:Taqrizdan oʻtgan akademik tadqiqot maqolasi; nazariy matematik tahlil, tuzilmaviy misollar va sonli simulyatsiyalarni oʻz ichiga oladi.

Litsenziya:Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla matni manba maqola jumlalari yoki rasm dizaynini qayta nashr etish oʻrniga ilmiy faktlar, tenglamalar, usullar, natijalar va cheklovlarni mustaqil oʻquv bayoni bilan qayta tuzgan.

Moliyalashtirish:Tadqiqot King Faisal University tarkibidagi Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research tomonidan KFU260481 raqamli grant bilan qoʻllab-quvvatlangan.

Maʼlumotlarning mavjudligi:Mualliflar tadqiqotning asl hissalari maqola ichida ekanini, qoʻshimcha savollar corresponding author larga yoʻnaltirilishi mumkinligini bildiradilar.

Manfaatlar toʻqnashuvi:Mualliflar manfaatlar toʻqnashuvi yoʻqligini bildirganlar.

Muallif hissalari:Abdulrahman A. Sharif konseptuallashtirish, metodologiya va dastlabki qoralamani yozishni; Muath Awadalla esa koʻrib chiqish va tahrirlashni bajargan. Nazariy tekshiruv va formal tahlil ikki muallif tomonidan amalga oshirilgan.

Metodologik chegara:Natijalar manbada belgilangan yetarli matematik farazlarga bogʻliq. Sonli boʻlim ikki maxsus masalada ishlaydi va haqiqiy dunyo dala tekshiruvi emas. \(\ell^1\) misolini hisoblash cheksiz oʻlchamli fazoni chekli komponentlarga kesish orqali amalga oshirilgan.

Sonli hisobot chegarasi:Manbada \(10^{-6}\) iteratsiya tolerantligi koʻrsatilgan boʻlsa-da, nashr etilgan olti-qadamli jadvallarda oxirgi ketma-ket iteratsiya farqlari ushbu chegaradan kattadir. Shu sababli Verianla manbada koʻrinadigan geometrik qisqarish xatti-harakatini yetkazadi, biroq olti iteratsiyada \(10^{-6}\) tolerantlikka erishilgan degan xulosani mustaqil ravishda chiqarmaydi.

Rasmni qayta chizish uchun moslik:Mos. Manbaning Jadval 1–7 maʼlumotlaridan butunlay yangi Verianla grafik kompozitsiyalari tayyorlanishi mumkin. PDF dagi 1-rasm va 2-rasmning ilmiy xabari qayta chizilishi mumkin; asl rasm joylashuvini nusxalashga ehtiyoj yoʻq.

Verianla Live / Live Figure mosligi:Qisman mos. Qoʻzgʻalmas nuqta iteratsiyasidagi xatoning kamayishi, toʻr yaqinlashuvi va \(\ell^1\) normasining oʻzgarishi manba maʼlumotlari oʻzgartirilmasdan ijro etish/toʻxtatish/qayta boshlash koʻrinishida taqdim etilishi mumkin. Foydalanuvchiga \(w\), \(w_1\), tolerantlik yoki boshqa ilmiy parametrlarni oʻzgartirib yangi natija yaratish nazorati berilmasligi kerak.