विलम्बितैः अग्रिमैश्च argument-भिः युक्तं implicit neutral tempered Caputo fractional Volterra–Fredholm integral-differential समीकरणं तादृशः समीकरणवर्गः अस्ति, यः fractional-order तथा exponential tempering युक्तं Caputo derivative, अतीताधीनान् विलम्बितान् argument, भविष्याभिमुखान् अग्रिमान् argument, neutral functional पदं, Volterra तथा Fredholm integral operator-ौ च एकस्मिन् गणितीयविन्यासे संयोजयति। Abdulrahman A. Sharif तथा Muath Awadalla इत्येतयोः अध्ययनं अस्य वर्गस्य समस्यानां समाधानस्य अस्तित्वम्, एकत्वम्, स्थैर्यं च fixed-point theory द्वारा परीक्षते। scalar निरन्तरफलनानां अवकाशे Banach contraction principle तथा Schauder fixed-point theorem प्रयुज्येते; सामान्ये Banach space मध्ये Darbo fixed-point theorem तथा Kuratowski measure of noncompactness प्रयुज्येते। अध्ययनं Ulam–Hyers–Rassias stability कृते पर्याप्तशर्तान् अपि निष्पादयति तथा MATLAB R2023a द्वारा कृतैः संख्यात्मक-उदाहरणैः सैद्धान्तिकविन्यासं परीक्षते।

संख्यात्मकभागे tempered Caputo derivative L1 scheme द्वारा discretize क्रियते। Volterra तथा Fredholm integral-ौ scalar समस्यायां composite Simpson rule द्वारा, Banach space समस्यायां trapezoidal rule द्वारा च सन्निकटौ क्रियेते; integral समीकरणरूपात् निष्पन्ना fixed-point iteration समाधानगणनायै प्रयुज्यते। Problem 1 मध्ये जालस्य सूक्ष्मीकरणेन दृष्टः अभिसरणक्रमः प्रायः 1,38–1,44, Problem 2 मध्ये प्रायः 1,37 इति प्रतिवेद्यते। fixed-point iteration इत्यस्य प्रतिवेदितेषु प्रथमेषु षट्सु पदेषु त्रुट्यनुपातः उभयोरपि समस्ययोः प्रायः 0,273 स्तर एव तिष्ठति। किन्तु एतदध्ययनं वास्तविके भौतिकतन्त्रे क्षेत्रीयं सत्यापनं न करोति; viscoelasticity, control theory तथा neural dynamics स्रोतसि model-वर्गस्य सम्भाव्यप्रेरणाः इति निर्दिष्टाः सन्ति।

tempered Caputo fractional derivative किम्?

tempered Caputo fractional derivative नाम fractional derivative operator अस्ति, यः पारम्परिके Caputo fractional derivative मध्ये exponential tempering परिवर्तनं योजयित्वा दीर्घकालीनस्मृतेः fractional तथा nonlocal स्वभावं रक्षति, दूरातीतस्य प्रभावं च exponential रूपेण क्षीणयति।

अध्ययने tempering parameter \(w_1\geq 0\) इति, fractional order तु \(w\) इति दर्श्यते। प्रथमं tempered Riemann–Liouville fractional integral निम्नरूपेण परिभाष्यते:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

अत्र \(\Gamma(w)\) Gamma function अस्ति। kernel मध्ये \((\rho-\varpi)^{w-1}\) पदं fractional स्मृतिं, \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) पदं तु tempering इत्येतत् निरूपयति। \(w_1=0\) सति tempered integral पारम्परिके Riemann–Liouville fractional integral मध्ये परिणमति।

स्रोतसि tempered Caputo derivative तु

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

इत्येवं निर्मीयते। अस्य परिभाषायाः अर्थः—प्रथमं फलनं \(e^{w_1\rho}\) द्वारा भारितं क्रियते, अनन्तरं पारम्परिकः Caputo derivative गृह्यते, अन्ते च \(e^{-w_1\rho}\) factor द्वारा temper क्रियते। एवं model केवलं तत्क्षणिकावस्थायाम् एव न निर्भरति, अपि तु अतीतावस्थानां भारितसमूहे अपि निर्भरति; अतीवदूरातीतस्य प्रभावः tempering parameter द्वारा क्षीणीकृतः भवति।

अतीत-वर्तमान-अग्रिमकालखण्डाः

अध्ययनस्य महत्त्वपूर्णेषु वैशिष्ट्येषु एकम् इदम् यत् समाधानफलनं केवलं \([0,\xi]\) मुख्यान्तराले न परिभाष्यते। समस्या त्रिखण्डीयं कालविन्यासं प्रयुङ्क्ते: अतीतखण्डं \([ -a,0]\), मुख्यसमाधानखण्डं \([0,\xi]\), अग्रिमखण्डं \([\xi,\xi+g]\) च। स्रोतसि \(a,g>0\) स्वीक्रियेते।

एकस्य \(\rho\) बिन्दोः परितः फलनस्य अतीतभागः अग्रिमभागश्च

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

खण्डेन निरूप्येते। अतः समीकरणस्य दक्षिणभागः केवलं \(k(\rho)\) मूल्यं न, अपि तु \(\rho\) परितः विलम्बितानि अग्रिमाणि च मूल्यानि अपि उपयोक्तुं शक्नोति।

अस्मिन् model मध्ये Volterra तथा Fredholm पदे किं निरूपयतः?

Volterra पदं तादृशः integral operator अस्ति यस्य ऊर्ध्वसीमा वर्तमानचरः \(\rho\) अस्ति; अतः तत् समाधानस्य \(\rho\) पर्यन्तं सञ्चितम् अतीतं निरूपयति। Fredholm पदं तु स्थिरस्य \([0,\xi]\) अन्तरालस्य सर्वस्य उपरि integral गृह्णाति; अतः अधिकं वैश्विकं परस्परप्रभावं वा सम्पूर्णान्तरालस्य योगदानं निरूपयति।

अध्ययनस्य मुख्यसमीकरणे द्वे integral-संरचने एते स्तः:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

प्रथमस्य integral इत्यस्य ऊर्ध्वसीमा \(\rho\) भवति इत्यस्य अर्थः—मूल्याङ्कनबिन्दुः यथा अग्रे गच्छति तथा गणनायां गृहीतम् अतीतान्तरालम् अपि वर्धते। द्वितीयः integral प्रत्येकस्य \(\rho\) कृते सम्पूर्णं \([0,\xi]\) अन्तरालं व्याप्नोति। स्रोत-अध्ययनं एतां संरचनाम् ऐतिहासिक/स्मृत्यधीनप्रभावान् अधिकवैश्विकपरस्परप्रभावैः सह एकस्मिन् model मध्ये संयोजयितुं गणितीयमार्गत्वेन पश्यति।

मुख्या implicit neutral समस्या

अध्ययनस्य केन्द्रस्थिता समस्या सरलीकृत-notation मध्ये निम्नरूपा अस्ति:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

समीकरणम् implicit अस्ति, यतः fractional derivative केवलं वामभागे न भवति; \(F\) फलनस्य inputs मध्ये एकत्वेन दक्षिणभागे अपि भवति। neutral अस्ति, यतः derivative प्रत्यक्षं \(k(\rho)\) उपरि न गृह्यते, किन्तु \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) संयोजने गृह्यते। विलम्बित-अग्रिम argument तथा द्वौ भिन्नौ integral operator योजितौ सति पारम्परिकेभ्यः initial-value problems इत्येभ्यः अधिकजटिला functional संरचना जायते।

fixed-point theory किमर्थं प्रयुज्यते?

लेखकौ differential समस्यां योग्ये integral समीकरणे परिवर्त्य समाधानं कस्यचित् operator इत्यस्य fixed point इति पश्यतः। \(S\) operator कृते \(Sk=k\) समतां पूरयत् फलनम् मूलस्य integral-differential समस्यायाः समाधानं भवति। अस्य परिवर्तनस्य कारणेन अस्तित्व-एकत्वसमस्या differential समीकरणस्य प्रत्यक्षसमाधानात् हटित्वा, operator विशिष्टेषु फलनावकाशेषु कानि गुणानि पूरयति इति परीक्षणे स्थाप्यते।

Kuratowski measure of noncompactness

सामान्ये Banach space मध्ये पारम्परिकाः compactness-शर्ताः प्रत्यक्षतया उपयोगिनः न स्युः। अतः स्रोतः सीमितस्य \(M\) समुच्चयस्य कृते तं सीमितसङ्ख्यकैः लघुव्याससमुच्चयैः आच्छादयितुं अपेक्षिते scale उपरि आधारितं measure of noncompactness नियोजयति। अस्य मापनस्य शून्यत्वं सम्बन्धितसमुच्चयस्य compact इति सूचयति। Darbo-पद्धत्यां लक्ष्यं समाधान-operator एतत् मापनं \(q<1\) गुणकेन न्यूनीकरोति इति दर्शयितुम्।

model इत्यस्य अनुप्रयोग-सन्दर्भः कथं व्याख्येयः?

स्रोतः एतं गणितीयवर्गं viscoelasticity, control theory, transmission lines तथा neural dynamics इत्यादिभिः तन्त्रैः सम्बध्नाति, येषु स्मृति-, विलम्ब- अथवा अग्रिमप्रभावाः भवितुं शक्नुवन्ति। तथापि अध्ययनं एतेषु क्षेत्रेषु वास्तविकं प्रयोगात्मकदत्तांशं न उपयुङ्क्ते, न च कस्यचित् विशिष्टस्य भौतिकतन्त्रस्य क्षेत्रे सत्यापनं करोति। अतः एते अनुप्रयोगाः model इत्यस्य गणितीयप्रेरणाः सन्ति; ते अध्ययनस्य प्रत्यक्षतया सत्यापिताः अभियांत्रिकाः वा जैविकाः performance-परिणामाः न सन्ति।

अध्ययनस्य विधिः परिणामाश्च

अध्ययनं समाधानस्य अस्तित्वम् एकत्वं च कथं स्थापयति?

scalar समस्यायां समाधान-operator उचितानां Lipschitz तथा growth-शर्तानाम् अधीनं contraction इति दर्शिते Banach principle एकमेव समाधानं ददाति; दुर्बलतरासु compactness-शर्तासु Schauder न्यूनातिन्यूनम् एकं समाधानं ददाति; सामान्ये Banach space मध्ये प्रवेशे Darbo theorem तथा Kuratowski measure of noncompactness द्वारा न्यूनातिन्यूनम् एकं समाधानं लभ्यते।

scalar समस्यायाम् एकत्वशर्तः

स्रोतस्य H1–H6 assumptions, \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\), \(\hbar_2\) इत्येतेषां कृते निरन्तरता-, Lipschitz- तथा growth-नियन्त्रणानि स्थापयन्ति। Theorem 4 मध्ये निम्नः परिमाणात्मकः शर्तः केन्द्रीयभूमिकां वहति:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

वामभागस्थः योगः समाधान-operator इत्यस्य समग्रसंवेदनशीलतायाः ऊर्ध्वसीमावत् कार्यं करोति। \(\lambda\) neutral पदस्य \(k^\rho\) मध्ये परिवर्तनेषु संवेदनशीलतां; \(\mu\), \(A\), \(A_1\), \(A_2\) च \(F\) इत्यस्य विभिन्न-input-आश्रितान् Lipschitz coefficients; \(\delta_1\), \(\delta_2\) च integral kernels इत्येषां समाधानचरस्य प्रति संवेदनशीलतां निरूपयतः। एषः संयुक्तगुणकः एकात् न्यूनः सति operator contraction भवति तथा fixed point एक एव भवति।

स्रोतस्य scalar अनुप्रयोगे \(w=1/3\) तथा \(w_1=1\) प्रयुज्येते। दत्तेभ्यः विशिष्टेभ्यः \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\), \(\hbar_2\) फलनेभ्यः प्राप्ताः coefficients एकत्व-असमानतायां स्थाप्यन्ते चेत् स्रोतः प्रायः

\[ 0.1685<1 \]

मूल्यं गणयति। एषः परिणामः स्रोतसि परिभाषितस्य Problem (16)–(18) कृते Theorem 4 इत्यस्य पर्याप्तशर्तः पूर्णः इति तथा समस्यायाः एकमेव समाधानम् अस्ति इति दर्शयति।

Schauder द्वारा अस्तित्वम्

स्रोतः एकत्वम् अनिवार्यं न कृत्वा केवलं समाधानस्य अस्तित्वं प्राप्तुं Schauder fixed-point theorem अपि प्रयुङ्क्ते। अत्र समाधान-operator इत्यस्य निरन्तरता, योग्यं सीमित-बद्ध-convex समुच्चयं स्वस्मिन् एव प्रेषयति इति, तथा तस्य image equicontinuous/relatively compact अस्ति इति दर्श्यते। परिणामः—सम्बद्धानाम् assumptions तथा स्रोतसि दत्तस्य upper-bound शर्तस्य अधीनं समस्यायाः न्यूनातिन्यूनम् एकं समाधानम् अस्ति। Schauder-परिणामः एकत्वं न निश्चितं करोति।

सामान्ये Banach space मध्ये विस्तारः

अध्ययनस्य द्वितीयः मुख्यः सैद्धान्तिकः चरणः scalar \(\mathbb{R}\)-मूल्ययुक्तसमस्यातः सामान्यं Banach space \(E\) प्रति गमनम् अस्ति। अस्मिन् सन्दर्भे समाधानं \(k(\rho)\) वास्तविकसंख्या भवेत् इति आवश्यकं नास्ति; तत् Banach space इत्यस्य तत्वं भवितुं शक्नोति। H7–H14 प्रकारस्य assumptions अधीनं स्रोतः समाधान-operator इत्यस्य निरन्तरतां, योग्यसमुच्चयं स्वस्मिन् एव प्रेषणं, equicontinuity तथा measure of noncompactness न्यूनीकरणगुणं स्थापयति।

Theorem 6 इत्यस्य मुख्यशर्तः स्रोत-notation अनुसारं संक्षेपेण

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

इति रूपेण अस्ति। एषा असमानता Darbo fixed-point framework कृते अपेक्षितं न्यूनीकरणगुणं ददाति। स्रोतसि \(\ell^1\) space मध्ये निर्मिते अनुप्रयोगे गणितं मूल्यं प्रायः

\[ 0.00422987<1 \]

अस्ति; अतः Problem (21)–(23) कृते न्यूनातिन्यूनम् एकं समाधानं प्राप्तम् इति निष्कर्षः क्रियते।

Ulam–Hyers–Rassias stability किं सूचयति?

Ulam–Hyers–Rassias stability इत्यस्य अर्थः—यत् सन्निकटसमाधानं लघुना नियन्त्रितेन residual error द्वारा समीकरणं पूरयति, तत् उचितानाम् assumptions अधीनं वास्तविकसमाधानात् अपि नियन्त्रितदूरे तिष्ठति; अध्ययनं एतं दूरं \(\varepsilon\) तथा भारफलनं \(\Delta(\rho)\) द्वारा सीमितं करोति।

स्रोतसि stability इत्यस्य मुख्यलक्ष्यं निम्नरूपेण अस्ति:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

अत्र \(k\) perturb कृताम् असमानतां पूरयत् सन्निकटसमाधानम्, \(\bar{k}\) मूलसमस्यायाः समाधानम्, \(\lambda_{F,\Delta}>0\) च स्रोत-assumptions तः निष्पन्नः stability constant अस्ति। एषः परिणामः गणितीयतया सीमां स्थापयति यत् समीकरणे लघोः residual error इत्यस्य अस्तित्वं समाधानं अनियन्त्रिततया दूरं न नयति।

Theorem 7 अपि न ह्रासमानं \(\Delta\) फलनं तथा

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

शर्तं प्रयुङ्क्ते। स्रोतपाठे Theorem 7 इत्यस्य assumptions मध्ये “condition (15)” इति वाक्यांशोऽपि अस्ति। Banach space विभागे constants इत्येषां notation भिन्नम् अस्ति; अतः अयं cross-reference अत्र मौनेन पुनः क्रमाङ्कितः वा संशोधितः वा न कृतः।

संख्यात्मकविधिः

संख्यात्मकप्रयोगाः MATLAB R2023a द्वारा क्रियन्ते। tempered Caputo derivative कृते L1 approximation प्रयुज्यते। स्रोतः \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) परिवर्तनं पारम्परिके L1 discretization मध्ये प्रयोज्य परिणामं \(e^{-w_1\rho_k}\) द्वारा temper करोति। भाराः

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

इत्येवं परिभाष्यन्ते। पर्याप्तरूपेण smooth \(f\) कृते स्रोतः local truncation error इत्यस्य क्रमः \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) इति निर्दिशति।

Volterra तथा Fredholm integral-ौ Problem 1 मध्ये composite Simpson rule द्वारा, \(\ell^1\) Banach space समस्यायां trapezoidal rule द्वारा गणितौ। प्रत्येकस्य iteration मध्ये fractional derivative, Volterra integral, Fredholm integral तथा implicit \(F\) पदं अद्यतनं क्रियते; ततः integral सूत्रात् नवीनं समाधानसन्निकटनं निर्मीयते।

Problem 1: scalar सीमित-अन्तराल-उदाहरणम्

Problem 1 मध्ये fractional order \(w=1/3\), tempering parameter \(w_1=1\), मुख्यक्षेत्रं \([0,1]\), संख्यात्मक-अभिसरण tolerance \(10^{-6}\) इति दत्तानि। जालसंवेदनशीलतायाः मूल्याङ्कनाय \(N=1600\) समाधानं reference solution इति प्रयुज्यते।

अनुभवजन्य-अभिसरणक्रमः

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

इत्यनेन गणितः। जालस्य सूक्ष्मीकरणेन reference solution प्रति त्रुटिः नियमिततया न्यूनीभवति, तथा प्रतिवेदितयोः अन्तिमयोः द्वयोः पदयोः क्रमः प्रायः 1,44 पर्यन्तं प्राप्नोति।

स्रोतसि पूर्णं analytic solution नास्ति; अतः iteration-सारण्यां “Maximum Error” वास्तविकसमाधानस्य प्रति त्रुटिः नास्ति। एतत् परिमाणम्

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

इति, अर्थात् अनुक्रामिकयोः द्वयोः fixed-point iteration इत्योः भेदः इति परिभाषितम्। अतः प्रतिवेदितेषु प्रथमेषु षट्सु पदेषु मूल्यं 0.154327 तः 0.000234 पर्यन्तं न्यूनीभवति, अनुक्रामिक-त्रुट्यनुपातः तु प्रायः 0.273 एव तिष्ठति।

व्याख्यासীমा:यद्यपि स्रोतः algorithm मध्ये \(10^{-6}\) tolerance निर्दिशति, प्रतिवेदिते षष्ठे iteration मध्ये भेदः \(2.34\times10^{-4}\) अस्ति। अतः सारणी षट्सु पदेषु स्पष्टं geometric convergence तथा प्रायः 0.273 contraction व्यवहारं दर्शयति; सारणी स्वयमेव षष्ठे पदे \(10^{-6}\) stopping tolerance प्राप्तम् इति न दर्शयति।

स्रोतस्य Figure 1 चतुर्भिः panel-ैः निर्मितम्: grid convergence, सम्पूर्णः solution profile, tempered fractional derivative तथा Volterra–Fredholm integral contributions। Verianla-दृष्ट्या एतत् चित्रं स्रोतदत्तांशान् उपयुज्य नवीनया graph-विन्यासेन पुनः चित्रयितुं योग्यं; स्रोतचित्रस्य pixel वा design प्रतिलिपिः आवश्यक नास्ति।

Problem 2: \(\ell^1\) Banach space उदाहरणम्

द्वितीया समस्या अनन्त-आयामीये \(\ell^1\) sequence space मध्ये परिभाष्यते। fractional order पुनः \(w=1/3\), किन्तु tempering parameter \(w_1=3\) अस्ति। संख्यात्मकगणना अनन्तसङ्ख्यकान् घटकान् प्रत्यक्षं संसाधयितुं न शक्नोति; अतः तन्त्रं प्रथमेषु \(M\) घटकेषु truncate क्रियते।

घटकाः index-वृद्ध्या शीघ्रं न्यूनीभवन्ति इत्यस्मात् स्रोतः \(10^{-6}\) कृते conservative truncation level \(M=1000\) भविष्यति इति निर्दिशति। किन्तु सारणीगणना-प्रस्तुतीकरणसौकर्यार्थं \(M=5\) प्रयुक्तम्; \(M=20\) तथा \(M=50\) गणनाः प्रमुखघटकानां तथा \(\ell^1\) norm इत्यस्य दृष्ट्या अविभेद्यान् परिणामान् दत्तवत्यः इति अपि प्रतिवेदितम्।

अस्यां समस्यायां प्रथमाः त्रयः घटकाः स्रोतसि नियमिततया scaled संरचनां दर्शयन्ति। उदाहरणतः \(\rho=1\) स्थाने \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\), \(k_3=0.181070\) इति प्रतिवेदितानि।

प्रथमेषु षट्सु iteration-ेषु अनुक्रामिक-समाधानभेदः 0.142567 तः 0.000217 पर्यन्तं न्यूनीभवति, प्रतिवेदितः contraction ratio प्रायः 0.273 समीपे तिष्ठति। Problem 2 इत्यस्य grid convergence order प्रायः 1.37 अस्ति। स्रोतः अपि वदति यत् \(w_1=3\) tempering मध्ये fractional derivative, Problem 1 मध्ये \(w_1=1\) अवस्थायाः अपेक्षया शीघ्रतरं न्यूनीभवति।

PDF इत्यस्य 32. पृष्ठे Figure 2, grid error तथा 1.37 slope, प्रथमत्रयः solution components, \(k_1\) इत्यस्य tempered fractional derivative, तथा \(\ell^1\) norm इत्यस्य \([0,1]\) मध्ये परिवर्तनं सह दर्शयति।

उभे समस्ये संयुक्ततया किं दर्शयतः?

स्रोतस्य संख्यात्मक-उदाहरणेषु जालस्य सूक्ष्मीकरणेन reference solution प्रति त्रुटिः न्यूनीभवति, fixed-point iteration-ेषु सदृशाः प्रायः 0.273 contraction ratios दृश्यन्ते, तथा scalar तथा \(\ell^1\) उभयविन्यासयोः smooth solution profiles लभ्यन्ते। Problem 2 मध्ये अधिकः tempering parameter fractional derivative योगदानस्य शीघ्रतरह्रासेन सम्बध्यते।

अध्ययनेन समर्थितः परिणामः:निर्धारितानां निरन्तरता-, Lipschitz-, growth- तथा noncompactness-शर्तानाम् अधीनं अस्य समीकरणवर्गस्य समाधान-अस्तित्वम्, कतिपयेषु scalar शर्तेषु समाधान-एकत्वम्, Ulam–Hyers–Rassias stability च गणितीयतया स्थापयितुं शक्यन्ते। दत्तानि विशिष्ट-उदाहरणानि सम्बन्धितान् पर्याप्तशर्तान् पूरयन्ति; संख्यात्मकविधयः अपि चयनितेषु उदाहरणेषु नियमितम् अभिसरणव्यवहारं दर्शयन्ति।

अध्ययनेन असमर्थितः परिणामः:अध्ययनं न दर्शयति यत् सर्वाः implicit fractional Volterra–Fredholm समस्याः निरपेक्षतया एकमेव समाधानं धारयन्ति। गणितीयाः पर्याप्तशर्ताः उल्लङ्घिताः सति समानः परिणामः स्वतः न प्रवर्तते। numerical simulations fixed-point theorems इत्येषां स्थानं गृह्णन्तः स्वतन्त्राः गणितीयप्रमाणानि न सन्ति। अपि च viscoelastic, जैविक, neural वा control तन्त्रेषु वास्तविकः क्षेत्रीय-performance अस्मिन् अध्ययने प्रयोगात्मकतया सत्यापितः नास्ति।

स्रोतसि सावधानतां याचमानौ द्वौ report-बिन्दू

प्रथमः बिन्दुः—Theorem 7, H7–H12 assumptions अतिरिक्तं “condition (15)” इति वाक्यांशं निर्दिशति। स्रोतस्य Banach-space विभागे constants तथा coefficients इत्येषां भिन्नं notation अस्ति; अतः अयं cross-reference Verianla द्वारा मौनेन अन्यसमीकरणक्रमाङ्के न परिवर्तितः।

द्वितीयः बिन्दुः—संख्यात्मकविधेः कृते \(10^{-6}\) tolerance उक्ता अस्ति, तथापि स्रोतसारण्यः केवलं प्रथमाः षट् iteration दर्शयन्ति, तथा षष्ठे पदे अनुक्रामिक-iteration-भेदाः अद्यापि प्रायः \(2\times10^{-4}\) स्तरस्य सन्ति। अतः Verianla-वर्णनं स्रोतसि पृथक् विद्यमानं “षट्सु iteration-ेषु convergence” इति वचनं “षट्सु iteration-ेषु \(10^{-6}\) tolerance प्राप्ता” इति न विस्तारयति।

भावि-अध्ययनदिशाः

स्रोतः भावि-अनुसन्धानाय अधिकविशिष्टानां संख्यात्मक-algorithms इत्येषां विकासं, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard अथवा Katugampola प्रकारेषु अन्येषु fractional operators मध्ये विस्तारं, optimal control समस्याः, विशिष्टेषु भौतिक-जैविक-अभियांत्रिक-आर्थिक models मध्ये अनुप्रयोगान्, stochastic perturbations तथा परस्परसम्बद्ध-समीकरणतन्त्राणि च प्रस्तावयति।

स्रोत-विधि-विषये टिप्पणी

मूल-अध्ययनम्: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

लेखकाः: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

संस्थाः: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

पत्रिका: Mathematics.

प्रकाशकः: MDPI.

ग्रन्थसूची-अभिलेखः: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

प्रेषणम्:4 January 2026.संशोधनम्:24 January 2026.स्वीकारः:26 January 2026.प्रकाशनम्:29 January 2026.

स्रोतप्रकारः:peer-reviewed academic research article; अस्मिन् सैद्धान्तिकं गणितीयविश्लेषणं, संरचनात्मक-उदाहरणानि तथा numerical simulations सन्ति।

अनुज्ञप्तिः:Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla-पाठः स्रोतलेखस्य वाक्यानि वा figure-design पुनः प्रकाशयितुं न प्रयतते; अपि तु वैज्ञानिकतथ्यानि, समीकरणानि, विधयः, परिणामाः, सीमाः च स्वतन्त्र-शैक्षिकवर्णनेन पुनः संरचयति।

वित्तपोषणम्:अध्ययनं King Faisal University अन्तर्गतेन Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research द्वारा KFU260481 सङ्ख्यक-अनुदानेन समर्थितम्।

दत्तांश-उपलब्धता:लेखकौ वदतः यत् अध्ययनस्य मौलिकयोगदानानि लेखे एव सन्ति, अतिरिक्तप्रश्नाः corresponding author प्रति प्रेषयितुं शक्यन्ते।

हितविरोधः:लेखकौ हितविरोधं न प्रतिवेदितवन्तौ।

लेखकयोगदानानि:Abdulrahman A. Sharif conceptualization, methodology तथा प्रथम-draft लेखनं कृतवान्; Muath Awadalla review तथा editing कृतवान्। सैद्धान्तिक-समीक्षा तथा formal analysis उभाभ्यां लेखकाभ्यां कृते।

विधिसम्बद्धसीमा:परिणामाः स्रोतसि परिभाषितेषु पर्याप्तेषु गणितीय-assumptions उपरि निर्भरन्ति। संख्यात्मकभागः द्वयोः विशिष्टयोः समस्ययोः कार्यं करोति, वास्तविकजगतः क्षेत्रीयसत्यापनं नास्ति। \(\ell^1\) उदाहरणस्य गणना अनन्त-आयामीय-अवकाशं सीमितसङ्ख्यक-घटकेषु truncate कृत्वा कृता।

संख्यात्मक-reporting सीमा:स्रोतसि \(10^{-6}\) iteration tolerance निर्दिष्टा अस्ति, तथापि प्रकाशितासु षट्-पद-सारणीषु अन्तिमाः अनुक्रामिक-iteration-भेदाः अस्याः सीमायाः अधिकाः सन्ति। अतः Verianla स्रोतसि दृश्यमानं geometric contraction व्यवहारं प्रस्तुतयति, किन्तु षट्सु iteration-ेषु \(10^{-6}\) tolerance प्राप्ता इति स्वतन्त्रं निष्कर्षं न करोति।

चित्रस्य पुनरङ्कन-योग्यता:योग्यम्। स्रोतस्य Table 1–7 दत्तांशेभ्यः पूर्णतया नवीनाः Verianla graph compositions निर्मातुं शक्यन्ते। PDF इत्यस्य Figure 1 तथा Figure 2 इत्येतयोः वैज्ञानिकसन्देशः पुनः चित्रयितुं शक्यते; मूलfigure-विन्यासस्य प्रतिलिपिः आवश्यक नास्ति।

Verianla Live / Live Figure योग्यता:आंशिकतया योग्यम्। fixed-point iteration मध्ये त्रुटेः ह्रासः, grid convergence तथा \(\ell^1\) norm इत्यस्य परिवर्तनं स्रोतदत्तांशान् अपरिवर्तितान् स्थाप्य play/pause/restart रूपेण प्रदर्शयितुं शक्यते। उपयोक्त्रे \(w\), \(w_1\), tolerance अथवा अन्यवैज्ञानिक-parameters परिवर्त्य नवीनपरिणामं जनयितुं control न दातव्यम्।