Mlinganyo fiche usioegemea upande wowote wa Volterra–Fredholm wa integral-differential wenye derivative ya sehemu ya Caputo iliyotemperiwa ni darasa la milinganyo linalounganisha katika muundo mmoja wa kihisabati derivative ya Caputo ya mpangilio wa sehemu yenye utemperishaji wa kielelezo; hoja zilizocheleweshwa zinazotegemea wakati uliopita, hoja za mbele zinazoenea hadi wakati ujao, neno la kifunksia lisiloegemea upande wowote, pamoja na waendeshaji wa integral wa Volterra na Fredholm. Utafiti wa Abdulrahman A. Sharif na Muath Awadalla unachunguza uwepo, upekee na uthabiti wa suluhisho za matatizo katika darasa hili kwa kutumia nadharia ya nukta thabiti. Katika nafasi ya funksia skala endelevu hutumiwa kanuni ya mbanano ya Banach na nadharia ya nukta thabiti ya Schauder; katika nafasi ya jumla ya Banach hutumiwa nadharia ya nukta thabiti ya Darbo pamoja na kipimo cha kutokuwa kompakt cha Kuratowski. Utafiti pia unatengeneza masharti ya kutosha kwa uthabiti wa Ulam–Hyers–Rassias na kuchunguza muundo wa kinadharia kupitia mifano ya nambari iliyotekelezwa kwa MATLAB R2023a.

Katika sehemu ya nambari, derivative ya Caputo iliyotemperiwa inatenganishwa kwa skimu ya L1. Integrali za Volterra na Fredholm zinakadiriwa katika tatizo la skala kwa kanuni changamano ya Simpson, na katika tatizo la nafasi ya Banach kwa kanuni ya trapezoid; iteresheni ya nukta thabiti iliyotokana na umbo la mlinganyo wa integral hutumiwa kuhesabu suluhisho. Kwa Problem 1, kadiri gridi inavyofanywa kuwa laini zaidi, mpangilio wa muunganiko unaoonekana unaripotiwa kuwa takriban 1,38–1,44, na kwa Problem 2 takriban 1,37. Katika hatua sita za kwanza zilizoripotiwa za iteresheni ya nukta thabiti, uwiano wa kosa unabaki karibu na 0,273 katika matatizo yote mawili. Hata hivyo, utafiti huu haufanyi uthibitishaji wa uga kwenye mfumo halisi wa kimwili; viscoelasticity, nadharia ya udhibiti na mienendo ya neva zinatajwa katika chanzo kama motisha zinazowezekana za darasa la modeli.

Derivative ya sehemu ya Caputo iliyotemperiwa ni nini?

Derivative ya sehemu ya Caputo iliyotemperiwa ni opereta wa derivative ya sehemu unaoongeza ubadilishaji wa utemperishaji wa kielelezo kwenye derivative ya sehemu ya Caputo ya kawaida, hivyo kuhifadhi tabia ya sehemu na isiyo ya eneo ya kumbukumbu ya muda mrefu huku ukidhoofisha kwa kielelezo athari ya zamani ya mbali.

Katika utafiti, kigezo cha utemperishaji kinaonyeshwa kwa \(w_1\geq 0\), na mpangilio wa sehemu kwa \(w\). Kwanza, integral ya sehemu ya Riemann–Liouville iliyotemperiwa inafafanuliwa kwa muundo ufuatao:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Hapa \(\Gamma(w)\) ni funksia ya Gamma. Neno \((\rho-\varpi)^{w-1}\) katika kiini linawakilisha kumbukumbu ya sehemu, na neno \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) linawakilisha utemperishaji. Wakati \(w_1=0\), integral iliyotemperiwa hupunguzwa kuwa integral ya sehemu ya Riemann–Liouville ya kawaida.

Derivative ya Caputo iliyotemperiwa katika chanzo imeundwa

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

kwa umbo hili. Ufafanuzi huu unamaanisha kwamba kwanza funksia inapewa uzito kwa \(e^{w_1\rho}\), kisha derivative ya Caputo ya kawaida inachukuliwa, na mwishowe inatemperiwa kwa kipengele cha \(e^{-w_1\rho}\). Kwa njia hii, modeli haitegemei hali ya papo hapo pekee bali pia mkusanyiko wenye uzito wa hali za zamani, huku athari ya zamani ya mbali sana ikidhoofishwa kupitia kigezo cha utemperishaji.

Vipande vya wakati uliopita, wa sasa na wa mbele

Moja ya sifa muhimu za utafiti ni kwamba funksia ya suluhisho haifafanuliwi tu katika kipindi kikuu \([0,\xi]\). Tatizo linatumia muundo wa wakati wa sehemu tatu: kipande cha zamani \([ -a,0]\), kipande kikuu cha suluhisho \([0,\xi]\) na kipande cha mbele \([\xi,\xi+g]\). Katika chanzo, \(a,g>0\) huchukuliwa.

Historia ya funksia na sehemu yake ya mbele karibu na nukta \(\rho\)

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

inawakilishwa kwa kipande hicho. Hivyo, upande wa kulia wa mlinganyo unaweza kutumia si tu thamani \(k(\rho)\), bali pia thamani zilizocheleweshwa na za mbele karibu na \(\rho\).

Maneno ya Volterra na Fredholm yanawakilisha nini katika modeli hii?

Neno la Volterra ni opereta wa integral ambaye kikomo chake cha juu ni kigezo cha sasa \(\rho\), na kwa hiyo huwakilisha historia ya suluhisho iliyokusanyika hadi \(\rho\); neno la Fredholm, kwa kuwa linachukua integral juu ya kipindi kizima kisichobadilika \([0,\xi]\), huwakilisha mwingiliano wa kimataifa zaidi au mchango wa kipindi kizima.

Miundo miwili ya integral katika mlinganyo mkuu wa utafiti ni ifuatayo:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

Kikomo cha juu cha integral ya kwanza kuwa \(\rho\) kinamaanisha kwamba kadiri nukta ya tathmini inavyosonga mbele, kipindi cha zamani kinachohesabiwa pia kinaongezeka. Integral ya pili, kwa kila \(\rho\), hufunika kipindi kizima \([0,\xi]\). Utafiti wa chanzo unauchukulia muundo huu kama njia ya kihisabati ya kuleta pamoja katika modeli moja athari za kihistoria/zinazotegemea kumbukumbu na mwingiliano wa kimataifa zaidi.

Tatizo kuu fiche lisiloegemea upande wowote

Tatizo lililo katikati ya utafiti lina muundo ufuatao katika uandishi uliorahisishwa:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Mlinganyo ni fiche, kwa sababu derivative ya sehemu haipo upande wa kushoto pekee; pia ipo upande wa kulia kama mojawapo ya ingizo za funksia \(F\). Hauegemei upande wowote, kwa sababu derivative haichukuliwi moja kwa moja juu ya \(k(\rho)\), bali juu ya muunganiko \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\). Kuongezwa kwa hoja zilizocheleweshwa na za mbele pamoja na waendeshaji wawili tofauti wa integral huunda muundo wa kifunksia ulio changamani zaidi kuliko matatizo ya kawaida ya thamani ya awali.

Kwa nini nadharia ya nukta thabiti inatumika?

Waandishi hubadilisha tatizo la differential kuwa mlinganyo unaofaa wa integral na kutazama suluhisho kama nukta thabiti ya opereta. Kwa opereta \(S\), funksia inayotimiza usawa \(Sk=k\) inalingana na suluhisho la tatizo la awali la integral-differential. Kupitia ubadilishaji huu, tatizo la uwepo na upekee huhamishwa kutoka kutatua moja kwa moja mlinganyo wa differential hadi kuchunguza sifa ambazo opereta anatimiza katika nafasi maalum za funksia.

Kipimo cha kutokuwa kompakt cha Kuratowski

Katika nafasi ya jumla ya Banach, masharti ya kawaida ya ukompakti huenda yasiwe rahisi kutumika moja kwa moja. Kwa hiyo chanzo huipa seti iliyowekewa mpaka \(M\) kipimo cha kutokuwa kompakt kinachotegemea kiwango kinachohitajika kuifunika kwa idadi yenye ukomo ya seti zenye kipenyo kidogo. Kipimo kuwa sifuri humaanisha kwamba seti husika ni kompakt. Katika mkabala wa Darbo, lengo ni kuonyesha kuwa opereta wa suluhisho hupunguza kipimo hiki kwa kipengele \(q<1\).

Muktadha wa matumizi ya modeli unapaswa kufasiriwaje?

Chanzo kinahusisha darasa hili la kihisabati na mifumo kama viscoelasticity, nadharia ya udhibiti, laini za usafirishaji na mienendo ya neva ambayo inaweza kuwa na athari za kumbukumbu, ucheleweshaji au utangulizi. Hata hivyo, utafiti hautumii data halisi ya majaribio katika eneo lolote kati ya hayo na haufanyi uthibitishaji wa uga kwenye mfumo mahususi wa kimwili. Kwa hiyo matumizi haya ni motisha za kihisabati za modeli; si matokeo ya utendaji wa kihandisi au kibaiolojia yaliyothibitishwa moja kwa moja na utafiti.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Utafiti unawekaje msingi wa uwepo na upekee wa suluhisho?

Katika tatizo la skala, ikiwa opereta wa suluhisho anaonyeshwa kuwa mbanano chini ya masharti yanayofaa ya Lipschitz na ukuaji, kanuni ya Banach hutoa suluhisho la pekee; chini ya masharti dhaifu zaidi ya ukompakti, Schauder huhakikisha angalau suluhisho moja, na inapohamia kwenye nafasi ya jumla ya Banach, angalau suluhisho moja hupatikana kwa kutumia nadharia ya Darbo na kipimo cha kutokuwa kompakt cha Kuratowski.

Sharti la upekee katika tatizo la skala

Dhana H1–H6 za chanzo huweka udhibiti wa mwendelezo, Lipschitz na ukuaji kwa \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) na \(\hbar_2\). Katika Theorem 4, sharti la kiasi lifuatalo lina jukumu kuu:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Jumla iliyo upande wa kushoto hufanya kazi kama kikomo cha juu cha unyeti wa jumla wa opereta wa suluhisho. \(\lambda\) inawakilisha unyeti wa neno lisiloegemea upande wowote kwa mabadiliko katika \(k^\rho\); \(\mu\), \(A\), \(A_1\) na \(A_2\) zinawakilisha vigawo vya Lipschitz vinavyotegemea ingizo tofauti za \(F\); \(\delta_1\) na \(\delta_2\) zinawakilisha unyeti wa viini vya integral kwa kigezo cha suluhisho. Wakati kigawo hiki kilichounganishwa ni kidogo kuliko moja, opereta ni mbanano na nukta thabiti ni ya pekee.

Katika matumizi ya skala ya chanzo, \(w=1/3\) na \(w_1=1\) hutumiwa. Vigawo vinavyopatikana kutoka kwa funksia mahususi zilizotolewa za \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) na \(\hbar_2\) vinapowekwa katika ukosefu wa usawa wa upekee, chanzo huhesabu takriban

\[ 0.1685<1 \]

thamani hii. Matokeo haya yanaonyesha kwamba kwa Problem (16)–(18) iliyofafanuliwa katika chanzo, sharti la kutosha la Theorem 4 limetimizwa na tatizo lina suluhisho la pekee.

Uwepo kwa Schauder

Chanzo pia hutumia nadharia ya nukta thabiti ya Schauder ili kupata uwepo wa suluhisho tu bila kulazimisha upekee. Hapa inaonyeshwa kwamba opereta wa suluhisho ni endelevu, hupeleka seti inayofaa iliyo na mipaka-imefungwa-mbonyeo ndani yake yenyewe, na picha yake ni sawa-endelevu/kompakt kwa kiasi. Matokeo ni kwamba chini ya dhana husika na sharti la kikomo cha juu lililotolewa katika chanzo, tatizo lina angalau suluhisho moja. Matokeo ya Schauder hayahakikishi upekee.

Upanuzi kwenda nafasi ya jumla ya Banach

Hatua kuu ya pili ya kinadharia ya utafiti ni kuhama kutoka tatizo la skala lenye thamani katika \(\mathbb{R}\) kwenda nafasi ya jumla ya Banach \(E\). Katika hali hii, suluhisho \(k(\rho)\) halilazimiki tena kuwa namba halisi; linaweza kuwa elementi ya nafasi ya Banach. Chini ya dhana za aina H7–H14, chanzo huweka mwendelezo wa opereta wa suluhisho, kwamba hupeleka seti inayofaa ndani yake yenyewe, usawa wa mwendelezo wake na sifa ya kupunguza kipimo cha kutokuwa kompakt.

Sharti kuu la Theorem 6 likifupishwa kwa uandishi wa chanzo ni

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

la umbo hili. Ukosefu huu wa usawa unatoa sifa ya kupunguza inayohitajika katika mfumo wa nukta thabiti wa Darbo. Katika matumizi yaliyojengwa katika nafasi ya \(\ell^1\) kwenye chanzo, thamani iliyohesabiwa ni takriban

\[ 0.00422987<1 \]

na kwa hiyo inahitimishwa kuwa angalau suluhisho moja limepatikana kwa Problem (21)–(23).

Uthabiti wa Ulam–Hyers–Rassias una maana gani?

Uthabiti wa Ulam–Hyers–Rassias una maana kwamba suluhisho la kukadiria linalotimiza mlinganyo kwa kosa dogo la mabaki linalodhibitiwa, chini ya dhana zinazofaa, hubaki katika umbali unaodhibitiwa kutoka kwa suluhisho halisi; utafiti huweka mpaka wa umbali huu kwa \(\varepsilon\) na funksia ya uzito \(\Delta(\rho)\).

Katika chanzo, lengo kuu la uthabiti lina umbo lifuatalo:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

hapa \(k\) ni suluhisho la kukadiria linalotimiza ukosefu wa usawa ulioperturbishwa, \(\bar{k}\) ni suluhisho la tatizo la asili, na \(\lambda_{F,\Delta}>0\) ni konstanti ya uthabiti inayotokana na dhana za chanzo. Matokeo haya huweka kikomo cha kihisabati kwamba uwepo wa kosa dogo la mabaki katika mlinganyo hausababishi suluhisho kuondoka bila udhibiti.

Theorem 7 pia hutumia funksia isiyopungua \(\Delta\) na

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

sharti hili. Katika maandishi ya chanzo, miongoni mwa dhana za Theorem 7 pia kuna kauli “condition (15)”. Kwa kuwa uandishi wa konstanti katika sehemu ya nafasi ya Banach ni tofauti, rejeo hili la msalaba halijapewa nambari mpya au kusahihishwa kimyakimya hapa.

Mbinu ya nambari

Majaribio ya nambari yanafanywa kwa MATLAB R2023a. Ukadiriaji wa L1 hutumiwa kwa derivative ya Caputo iliyotemperiwa. Chanzo hutumia ubadilishaji \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) kwenye udiscretishaji wa kawaida wa L1 na hutemperi matokeo kwa \(e^{-w_1\rho_k}\). Uzito

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

hufafanuliwa kwa umbo hili. Kwa \(f\) laini vya kutosha, chanzo kinaeleza kwamba kosa la kukata la ndani lina mpangilio wa \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\).

Integrali za Volterra na Fredholm huhesabiwa katika Problem 1 kwa kanuni changamano ya Simpson, na katika tatizo la nafasi ya \(\ell^1\) Banach kwa kanuni ya trapezoid. Katika kila iteresheni, derivative ya sehemu, integral ya Volterra, integral ya Fredholm na neno fiche \(F\) husasishwa; kisha ukadiriaji mpya wa suluhisho hutolewa kutoka kwa fomula ya integral.

Problem 1: mfano wa skala wa kipindi chenye mwisho

Katika Problem 1, mpangilio wa sehemu \(w=1/3\), kigezo cha utemperishaji \(w_1=1\), eneo kuu \([0,1]\) na uvumilivu wa muunganiko wa nambari \(10^{-6}\) hutolewa. Ili kutathmini unyeti wa gridi, suluhisho la \(N=1600\) hutumiwa kama suluhisho la marejeo.

Mpangilio wa kiempiria wa muunganiko

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

unahesabiwa kwa fomula hii. Kadiri gridi inavyofanywa kuwa laini zaidi, kosa dhidi ya suluhisho la marejeo hupungua kwa utaratibu na katika hatua mbili za mwisho zilizoripotiwa mpangilio hufikia takriban 1,44.

Kwa sababu hakuna suluhisho kamili la kiuchanganuzi katika chanzo, “Maximum Error” katika jedwali la iteresheni si kosa dhidi ya suluhisho halisi. Kiasi hiki

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

kimefafanuliwa kama tofauti kati ya iteresheni mbili mfululizo za nukta thabiti. Kwa mujibu wa hili, katika hatua sita za kwanza zilizoripotiwa thamani hupungua kutoka 0.154327 hadi 0.000234, huku uwiano wa kosa mfululizo ukibaki karibu na 0.273.

Kikomo cha tafsiri:Ingawa chanzo kinataja uvumilivu wa \(10^{-6}\) katika algoriti, tofauti katika iteresheni ya sita iliyoripotiwa ni \(2.34\times10^{-4}\). Kwa hiyo, jedwali linaonyesha muunganiko dhahiri wa kijiometria katika hatua sita na tabia ya mbanano ya takriban 0.273; jedwali lenyewe halionyeshi kwamba uvumilivu wa kusimamisha wa \(10^{-6}\) ulifikiwa katika hatua ya sita.

Figure 1 ya chanzo ina paneli nne: muunganiko wa gridi, wasifu mzima wa suluhisho, derivative ya sehemu iliyotemperiwa na michango ya integral ya Volterra–Fredholm. Kwa mtazamo wa Verianla, figure hii inafaa kuchorwa upya kwa mpangilio asilia wa grafu kwa kutumia data za chanzo; hakuna haja ya kunakili pikseli au muundo wa figure ya chanzo.

Problem 2: mfano wa nafasi ya \(\ell^1\) Banach

Tatizo la pili linafafanuliwa katika nafasi ya mfuatano ya \(\ell^1\) yenye vipimo visivyo na mwisho. Mpangilio wa sehemu ni tena \(w=1/3\), lakini kigezo cha utemperishaji ni \(w_1=3\). Kwa sababu hesabu ya nambari haiwezi kushughulikia moja kwa moja idadi isiyo na mwisho ya vijenzi, mfumo hukatwa hadi vijenzi \(M\) vya kwanza.

Chanzo kinaeleza, kwa kutegemea kupungua kwa haraka kwa vijenzi kadiri faharisi inavyoongezeka, kwamba kiwango cha kihafidhina cha ukataji kwa \(10^{-6}\) kingekuwa \(M=1000\). Hata hivyo, \(M=5\) imetumiwa kwa urahisi wa hesabu na uwasilishaji katika majedwali; pia imeripotiwa kwamba hesabu za \(M=20\) na \(M=50\) zilitoa matokeo yasiyotofautika kwa vijenzi vinavyoongoza na norma ya \(\ell^1\).

Katika tatizo hili, vijenzi vitatu vya kwanza vinaonyesha muundo uliopimwa kwa utaratibu katika chanzo. Kwa mfano, katika \(\rho=1\), \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) na \(k_3=0.181070\) zimeripotiwa.

Kwa iteresheni sita za kwanza, tofauti ya suluhisho mfululizo hupungua kutoka 0.142567 hadi 0.000217 huku uwiano wa mbanano ulioripotiwa ukibaki karibu na 0.273. Mpangilio wa muunganiko wa gridi wa Problem 2 ni takriban 1.37. Chanzo pia kinaripoti kwamba katika utemperishaji wa \(w_1=3\), derivative ya sehemu hupungua haraka zaidi kuliko katika hali ya \(w_1=1\) ya Problem 1.

Figure 2 kwenye ukurasa wa 32 wa PDF inaonyesha kwa pamoja kosa la gridi na mteremko wa 1.37, vijenzi vitatu vya kwanza vya suluhisho, derivative ya sehemu iliyotemperiwa ya \(k_1\), na mabadiliko ya norma ya \(\ell^1\) katika \([0,1]\).

Matatizo mawili kwa pamoja yanaonyesha nini?

Katika mifano ya nambari ya chanzo, kadiri gridi inavyofanywa kuwa laini zaidi kosa dhidi ya suluhisho la marejeo hupungua, uwiano sawa wa mbanano wa takriban 0.273 hujitokeza katika iteresheni za nukta thabiti, na wasifu laini wa suluhisho hupatikana katika mipangilio ya skala na \(\ell^1\). Katika Problem 2, kigezo kikubwa zaidi cha utemperishaji kinahusishwa na kupungua kwa haraka zaidi kwa mchango wa derivative ya sehemu.

Hitimisho linaloungwa mkono na utafiti:Chini ya masharti yaliyowekwa ya mwendelezo, Lipschitz, ukuaji na kutokuwa kompakt, uwepo wa suluhisho kwa darasa hili la milinganyo, upekee wa suluhisho chini ya masharti fulani ya skala, na uthabiti wa Ulam–Hyers–Rassias vinaweza kuanzishwa kihisabati. Mifano mahususi iliyotolewa inatimiza masharti ya kutosha husika; mbinu za nambari pia zinaonyesha tabia ya muunganiko yenye utaratibu katika mifano iliyochaguliwa.

Hitimisho lisiloungwa mkono na utafiti:Utafiti hauonyeshi kwamba matatizo yote fiche ya sehemu ya Volterra–Fredholm yana suluhisho la pekee bila masharti. Masharti ya kutosha ya kihisabati yakikiukwa, matokeo yale yale hayatumiki kiotomatiki. Simuleringi za nambari si uthibitisho huru wa kihisabati unaochukua nafasi ya nadharia za nukta thabiti. Aidha, utendaji halisi wa uga katika mifumo ya viscoelastic, kibaiolojia, neva au udhibiti haujathibitishwa kwa majaribio katika utafiti huu.

Hoja mbili za utoaji taarifa katika chanzo zinazohitaji tahadhari

Hoja ya kwanza ni kwamba Theorem 7 inarejelea pia kauli “condition (15)” pamoja na dhana H7–H12. Kwa kuwa sehemu ya nafasi ya Banach katika chanzo ina uandishi tofauti wa konstanti na vigawo, rejeo hili la msalaba halijabadilishwa kimyakimya na Verianla kuwa nambari nyingine ya mlinganyo.

Hoja ya pili ni kwamba, ingawa uvumilivu wa \(10^{-6}\) umetajwa kwa mbinu ya nambari, majedwali ya chanzo yanaonyesha iteresheni sita za kwanza tu na tofauti za iteresheni mfululizo katika hatua ya sita bado ziko karibu na kiwango cha \(2\times10^{-4}\). Kwa hiyo, maelezo ya Verianla hayapanui kauli “muunganiko katika iteresheni sita” inayopatikana pia katika chanzo kuwa maana ya kwamba uvumilivu wa \(10^{-6}\) ulifikiwa katika iteresheni sita.

Mielekeo ya utafiti wa baadaye

Chanzo kinapendekeza kwa utafiti wa baadaye uundaji wa algoriti za nambari zilizo maalum zaidi, upanuzi kwenda waendeshaji wengine wa sehemu wa aina ya \(\psi\)-Hilfer, Hadamard au Katugampola, matatizo ya udhibiti bora, matumizi katika modeli mahususi za kimwili-kibaiolojia-kihandisi-kiuchumi, perturbations za stochastiki na mifumo ya milinganyo iliyounganishwa.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asilia: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Waandishi: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Taasisi: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Jarida: Mathematics.

Mchapishaji: MDPI.

Rekodi ya kibibliografia: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Iliwasilishwa:4 Januari 2026.Marekebisho:24 Januari 2026.Ilikubaliwa:26 Januari 2026.Ilichapishwa:29 Januari 2026.

Aina ya chanzo:Makala ya utafiti wa kitaaluma iliyopitiwa na wenzao; ina uchanganuzi wa kihisabati wa kinadharia, mifano ya kimuundo na simuleringi za nambari.

Leseni:Creative Commons Attribution (CC BY). Badala ya kuchapisha tena sentensi za makala chanzo au muundo wa figure, maandishi ya Verianla yameunda upya ukweli wa kisayansi, milinganyo, mbinu, matokeo na mipaka kwa maelezo huru ya kielimu.

Ufadhili:Utafiti uliungwa mkono na Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research ndani ya King Faisal University kwa ruzuku nambari KFU260481.

Upatikanaji wa data:Waandishi wanaeleza kuwa michango asilia ya utafiti imo ndani ya makala na kwamba maswali ya ziada yanaweza kuelekezwa kwa corresponding author.

Mgongano wa maslahi:Waandishi hawakuripoti mgongano wa maslahi.

Michango ya waandishi:Abdulrahman A. Sharif alifanya uundaji wa dhana, metodolojia na uandishi wa rasimu ya kwanza; Muath Awadalla alifanya mapitio na uhariri. Mapitio ya kinadharia na uchanganuzi rasmi yalifanywa na waandishi wote wawili.

Kikomo cha kimetodolojia:Matokeo yanategemea dhana za kutosha za kihisabati zilizofafanuliwa katika chanzo. Sehemu ya nambari inafanya kazi kwenye matatizo mawili mahususi na si uthibitishaji wa uga wa ulimwengu halisi. Hesabu ya mfano wa \(\ell^1\) ilitekelezwa kwa kukata nafasi yenye vipimo visivyo na mwisho hadi idadi yenye ukomo ya vijenzi.

Kikomo cha utoaji taarifa za nambari:Ingawa chanzo kinataja uvumilivu wa iteresheni wa \(10^{-6}\), katika majedwali yaliyochapishwa ya hatua sita tofauti za mwisho za iteresheni mfululizo ni kubwa kuliko kizingiti hiki. Kwa hiyo Verianla huwasilisha tabia ya mbanano wa kijiometria inayoonekana katika chanzo lakini haitoi kwa kujitegemea hitimisho kwamba uvumilivu wa \(10^{-6}\) ulifikiwa katika iteresheni sita.

Ufaafu wa kuchora figure upya:Inafaa. Kutoka data za Jedwali 1–7 za chanzo, michoro mipya kabisa ya grafu za Verianla inaweza kuandaliwa. Ujumbe wa kisayansi wa Figure 1 na Figure 2 katika PDF unaweza kuchorwa upya; si lazima kunakili mpangilio wa figure asilia.

Ufaafu wa Verianla Live / Live Figure:Inafaa kwa kiasi. Kupungua kwa kosa katika iteresheni ya nukta thabiti, muunganiko wa gridi na mabadiliko ya norma ya \(\ell^1\) vinaweza kuwasilishwa kwa kucheza/kusimamisha/kuanzisha upya bila kubadilisha data za chanzo. Mtumiaji hapaswi kupewa udhibiti wa kubadilisha \(w\), \(w_1\), uvumilivu au vigezo vingine vya kisayansi na kuzalisha matokeo mapya.