Муодилаи интегралӣ-дифференсиалии касрии Volterra–Fredholm бо Caputo-и темперкардашудаи нейтралии ғайриошкор, синфи муодилаҳоест, ки ҳосилаи Caputo-и касрӣ бо темперкунии экспоненсиалӣ, аргументҳои таъхирдори вобаста ба гузашта, аргументҳои пешрафтаи ба оянда нигаронидашуда, ҳади функсионалии нейтралӣ ва ҳам операторҳои интегралии Volterra ва ҳам Fredholm-ро дар як сохтори математикӣ муттаҳид мекунад. Таҳқиқоти Abdulrahman A. Sharif ва Muath Awadalla мавҷудият, ягонагӣ ва устувории ҳалли масъалаҳои ин синфро тавассути назарияи нуқтаи собит меомӯзад. Дар фазои функсияҳои скалярии пайваста принсипи фишуриши Banach ва теоремаи нуқтаи собити Schauder; дар фазои умумии Banach бошад теоремаи нуқтаи собити Darbo ва ченаки ғайрикомпактии Kuratowski истифода мешаванд. Таҳқиқот инчунин шартҳои кофиро барои устувории Ulam–Hyers–Rassias ҳосил карда, сохтори назариявиро тавассути мисолҳои ададии дар MATLAB R2023a иҷрошуда меомӯзад.

Дар қисми ададӣ ҳосилаи Caputo-и темперкардашуда бо схемаи L1 дискретонида мешавад. Интегралҳои Volterra ва Fredholm дар масъалаи скалярӣ бо қоидаи таркибии Simpson, дар масъалаи фазои Banach бошад бо қоидаи трапетсия тақриб карда мешаванд; барои ҳисоб кардани ҳал итератсияи нуқтаи собит, ки аз шакли муодилаи интегралӣ ҳосил шудааст, истифода мешавад. Барои Problem 1 бо майда шудани шабака тартиби мушоҳидашудаи наздикшавӣ тақрибан 1,38–1,44 ва барои Problem 2 тақрибан 1,37 гузориш шудааст. Дар шаш қадами аввали гузоришшудаи итератсияи нуқтаи собит нисбати хато дар ҳар ду масъала тақрибан дар сатҳи 0,273 мемонад. Аммо ин таҳқиқот дар системаи воқеии физикӣ санҷиши саҳроӣ анҷом намедиҳад; вискоэластикӣ, назарияи идоракунӣ ва динамикаи нейронӣ дар манбаъ ҳамчун ангезаҳои эҳтимолии синфи модел оварда шудаанд.

Ҳосилаи касрии Caputo-и темперкардашуда чист?

Ҳосилаи касрии Caputo-и темперкардашуда оператори ҳосилаи касриест, ки бо илова кардани табдили темперкунии экспоненсиалӣ ба ҳосилаи классикии касрии Caputo хусусияти касрӣ ва ғайрилокалии хотираи дарозмуддатро нигоҳ дошта, таъсири гузаштаи дурро ба таври экспоненсиалӣ суст мекунад.

Дар таҳқиқот параметри темперкунӣ бо \(w_1\geq 0\), тартиби касрӣ бошад бо \(w\) нишон дода мешавад. Аввал интеграли касрии Riemann–Liouville-и темперкардашуда бо сохтори зерин таъриф мешавад:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Дар ин ҷо \(\Gamma(w)\) функсияи Gamma аст. Ҳади \((\rho-\varpi)^{w-1}\) дар ядро хотираи касриро ва ҳади \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) темперкуниро ифода мекунад. Ҳангоми \(w_1=0\) интеграли темперкардашуда ба интеграли классикии касрии Riemann–Liouville табдил меёбад.

Ҳосилаи Caputo-и темперкардашуда бошад дар манбаъ

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

ба ин шакл сохта мешавад. Ин таъриф маънои онро дорад, ки аввал функсия бо \(e^{w_1\rho}\) вазндор карда мешавад, сипас ҳосилаи классикии Caputo гирифта мешавад ва дар охир бо омили \(e^{-w_1\rho}\) темпер карда мешавад. Ҳамин тавр, модел на танҳо ба ҳолати лаҳзавӣ, балки ба маҷмӯи вазндори ҳолатҳои гузашта вобаста мемонад, дар ҳоле ки таъсири гузаштаи хеле дур тавассути параметри темперкунӣ суст карда мешавад.

Қитъаҳои вақти гузашта, ҳозира ва пешрафта

Яке аз хусусиятҳои муҳими таҳқиқот ин аст, ки функсияи ҳал танҳо дар фосилаи асосии \([0,\xi]\) муайян намешавад. Масъала сохтори сегонаи вақтро истифода мебарад: қитъаи гузашта \([ -a,0]\), қитъаи асосии ҳал \([0,\xi]\) ва қитъаи пешрафта \([\xi,\xi+g]\). Дар манбаъ \(a,g>0\) гирифта мешавад.

Гузашта ва қисми пешрафтаи функсия дар атрофи як нуқтаи \(\rho\)

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

бо ҳамин қитъа ифода мешавад. Ҳамин тавр, тарафи рости муодила метавонад на танҳо қимати \(k(\rho)\), балки қиматҳои таъхирдор ва пешрафтаи атрофи \(\rho\)-ро низ истифода барад.

Ҳадҳои Volterra ва Fredholm дар ин модел чиро ифода мекунанд?

Ҳади Volterra оператори интегралиест, ки ҳадди болоии он тағйирёбандаи ҷории \(\rho\) буда, аз ин рӯ гузаштаи ҷамъшудаи ҳалро то \(\rho\) ифода мекунад; ҳади Fredholm бошад аз тамоми фосилаи собити \([0,\xi]\) интеграл мегирад ва аз ин рӯ таъсири мутақобилаи глобалӣ ё саҳми тамоми фосиларо ифода мекунад.

Ду сохтори интегралӣ дар муодилаи асосии таҳқиқот чунинанд:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

Он ки ҳадди болоии интеграли аввал \(\rho\) аст, маънои онро дорад, ки бо пеш рафтани нуқтаи арзёбӣ фосилаи гузаштаи ба ҳисоб гирифташаванда низ васеъ мешавад. Интеграли дуюм бошад барои ҳар \(\rho\) тамоми фосилаи \([0,\xi]\)-ро фаро мегирад. Таҳқиқоти манбаъ ин сохторро ҳамчун роҳи математикии муттаҳид кардани таъсирҳои таърихӣ/вобаста ба хотира бо таъсирҳои мутақобилаи глобалӣ дар як модел баррасӣ мекунад.

Масъалаи асосии нейтралии ғайриошкор

Масъалаи марказии таҳқиқот дар ишоратгузории сода чунин сохтор дорад:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Муодила ғайриошкор аст, зеро ҳосилаи касрӣ танҳо дар тарафи чап ҷой надорад; он ҳамчун яке аз вурудҳои функсияи \(F\) дар тарафи рост низ вуҷуд дорад. Нейтралӣ аст, зеро ҳосила бевосита аз \(k(\rho)\) гирифта намешавад, балки аз таркиби \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) гирифта мешавад. Илова шудани аргументҳои таъхирдор ва пешрафта бо ду оператори гуногуни интегралӣ сохтори функсионалиеро ба вуҷуд меорад, ки аз масъалаҳои классикии қимати ибтидоӣ мураккабтар аст.

Чаро назарияи нуқтаи собит истифода мешавад?

Муаллифон масъалаи дифференсиалиро ба муодилаи интегралии мувофиқ табдил дода, ҳалро ҳамчун нуқтаи собити оператор баррасӣ мекунанд. Барои оператори \(S\), функсияе, ки баробарии \(Sk=k\)-ро қонеъ мекунад, ба ҳалли масъалаи аслии интегралӣ-дифференсиалӣ мувофиқ аст. Ба шарофати ин табдил масъалаи мавҷудият ва ягонагӣ аз ҳалли мустақими муодилаи дифференсиалӣ ба таҳқиқи он мегузарад, ки оператор дар фазоҳои муайяни функсияҳо кадом хосиятҳоро қонеъ мекунад.

Ченаки ғайрикомпактии Kuratowski

Дар фазои умумии Banach шартҳои классикии компактӣ на ҳамеша бевосита қулайанд. Аз ин рӯ, манбаъ ба маҷмӯи маҳдуди \(M\) ченаки ғайрикомпактиро нисбат медиҳад, ки ба миқёси зарурӣ барои пӯшонидани он бо шумораи ниҳоии маҷмӯъҳои диаметрашон хурд асос меёбад. Сифр будани ченак маънои компакт будани маҷмӯи дахлдорро дорад. Дар равиши Darbo мақсад нишон додани он аст, ки оператори ҳал ин ченакро бо коэффисиенти \(q<1\) кам мекунад.

Заминаи татбиқии моделро чӣ гуна бояд тафсир кард?

Манбаъ ин синфи математикиро бо системаҳое чун вискоэластикӣ, назарияи идоракунӣ, хатҳои интиқол ва динамикаи нейронӣ, ки метавонанд таъсирҳои хотира, таъхир ё пешбинӣ дошта бошанд, алоқаманд мекунад. Бо вуҷуди ин, таҳқиқот дар ҳеҷ яке аз ин соҳаҳо маълумоти воқеии таҷрибавиро истифода намекунад ва дар ягон системаи мушаххаси физикӣ санҷиши саҳроӣ анҷом намедиҳад. Бинобар ин, ин татбиқҳо ангезаҳои математикии модел мебошанд, на натиҷаҳои бевосита тасдиқшудаи муҳандисӣ ё биологии таҳқиқот.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Таҳқиқот мавҷудият ва ягонагии ҳалро чӣ гуна асоснок мекунад?

Дар масъалаи скалярӣ, вақте нишон дода мешавад, ки оператори ҳал таҳти шартҳои мувофиқи Lipschitz ва афзоиш фишуриш аст, принсипи Banach ҳалли ягонаро медиҳад; дар шартҳои заифтари компактӣ Schauder ҳадди ақал як ҳалро таъмин мекунад, ва ҳангоми гузариш ба фазои умумии Banach тавассути теоремаи Darbo ва ченаки ғайрикомпактии Kuratowski ҳадди ақал як ҳал ба даст меояд.

Шарти ягонагӣ дар масъалаи скалярӣ

Фарзияҳои H1–H6-и манбаъ барои \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ва \(\hbar_2\) назоратҳои пайвастагӣ, Lipschitz ва афзоишро ҷорӣ мекунанд. Дар Теорема 4 шарти миқдории зерин нақши марказӣ дорад:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Ҷамъи тарафи чап ҳамчун ҳадди болоии ҳассосияти умумии оператори ҳал амал мекунад. \(\lambda\) ҳассосияти ҳади нейтралиро ба тағйирот дар \(k^\rho\); \(\mu\), \(A\), \(A_1\) ва \(A_2\) коэффисиентҳои Lipschitz-и вобаста ба вурудҳои гуногуни \(F\); \(\delta_1\) ва \(\delta_2\) бошад ҳассосияти ядроҳои интегралиро ба тағйирёбандаи ҳал ифода мекунанд. Вақте ин коэффисиенти муттаҳид аз як хурдтар аст, оператор фишуриш ва нуқтаи собит ягона аст.

Дар татбиқи скалярии манбаъ \(w=1/3\) ва \(w_1=1\) истифода мешаванд. Вақте коэффисиентҳои аз функсияҳои махсуси додашудаи \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ва \(\hbar_2\) ҳосилшуда ба нобаробарии ягонагӣ гузошта мешаванд, манбаъ тақрибан

\[ 0.1685<1 \]

қиматро ҳисоб мекунад. Ин натиҷа нишон медиҳад, ки шарти кофии Теорема 4 барои Problem (16)–(18), ки дар манбаъ муайян шудааст, иҷро мешавад ва масъала ҳалли ягона дорад.

Мавҷудият бо Schauder

Манбаъ барои ба даст овардани танҳо мавҷудияти ҳал, бе талаб кардани ягонагӣ, ба теоремаи нуқтаи собити Schauder низ муроҷиат мекунад. Дар ин ҷо пайвастагии оператори ҳал, ба дохили худ фиристодани маҷмӯи мувофиқи маҳдуд-пӯшида-қабурға ва баробари-пайваста/нисбатан компакт будани тасвир нишон дода мешавад. Натиҷа ин аст, ки таҳти фарзияҳои дахлдор ва шарти ҳадди болоии дар манбаъ додашуда масъала ҳадди ақал як ҳал дорад. Натиҷаи Schauder ягонагиро кафолат намедиҳад.

Васеъкунӣ ба фазои умумии Banach

Қадами дуюми асосии назариявии таҳқиқот гузариш аз масъалаи скалярии \(\mathbb{R}\)-қимат ба фазои умумии Banach \(E\) аст. Дар ин ҳолат ҳал \(k(\rho)\) дигар ҳатман адади ҳақиқӣ нест; он метавонад унсури фазои Banach бошад. Манбаъ таҳти фарзияҳои навъи H7–H14 пайвастагии оператори ҳал, ба дохили худ фиристодани маҷмӯи мувофиқ, баробари-пайвастагии он ва хосияти кам кардани ченаки ғайрикомпактиро асоснок мекунад.

Шарти асосии Теорема 6 дар ишоратгузории манбаъ ҷамъбаст карда шавад, чунин аст:

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

Ин нобаробарӣ хосияти зарурии камкунии чорчӯбаи нуқтаи собити Darbo-ро медиҳад. Дар татбиқи дар фазои \(\ell^1\) сохташудаи манбаъ қимати ҳисобшуда тақрибан

\[ 0.00422987<1 \]

аст, бинобар ин барои Problem (21)–(23) ҳадди ақал як ҳал ёфт шудааст, хулоса карда мешавад.

Устувории Ulam–Hyers–Rassias чиро ифода мекунад?

Устувории Ulam–Hyers–Rassias маънои онро дорад, ки ҳалли тақрибие, ки муодиларо бо хатои боқимондаи хурд ва идорашаванда қонеъ мекунад, таҳти фарзияҳои мувофиқ аз ҳалли ҳақиқӣ низ дар масофаи идорашаванда мемонад; таҳқиқот ин масофаро бо \(\varepsilon\) ва функсияи вазнии \(\Delta(\rho)\) маҳдуд мекунад.

Дар манбаъ ҳадафи асосии устуворӣ чунин шакл дорад:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

дар ин ҷо \(k\) ҳалли тақрибии қонеъкунандаи нобаробарии пертурбшуда, \(\bar{k}\) ҳалли масъалаи аслӣ ва \(\lambda_{F,\Delta}>0\) собити устувориест, ки аз фарзияҳои манбаъ ҳосил мешавад. Ин натиҷа аз нигоҳи математикӣ маҳдуд мекунад, ки мавҷудияти хатои хурди боқимонда дар муодила ҳалро бе назорат дур намекунад.

Теорема 7 инчунин функсияи камнашавандаи \(\Delta\) ва

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

шартро истифода мебарад. Дар матни манбаъ дар байни фарзияҳои Теорема 7 ибораи “condition (15)” низ ҳаст. Азбаски дар бахши фазои Banach ишоратгузории собитҳо фарқ мекунад, ин истиноди салибӣ дар ин ҷо хомӯшона аз нав рақамгузорӣ ё ислоҳ нашудааст.

Усули ададӣ

Таҷрибаҳои ададӣ бо MATLAB R2023a гузаронида мешаванд. Барои ҳосилаи Caputo-и темперкардашуда наздикшавии L1 истифода мешавад. Манбаъ табдили \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\)-ро ба дискретонии классикии L1 татбиқ карда, натиҷаро бо \(e^{-w_1\rho_k}\) темпер мекунад. Вазнҳо

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

ба ҳамин шакл таъриф мешаванд. Барои \(f\)-и ба қадри кофӣ ҳамвор, манбаъ изҳор мекунад, ки хатои буриши маҳаллӣ тартиби \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) дорад.

Интегралҳои Volterra ва Fredholm дар Problem 1 бо қоидаи таркибии Simpson ва дар масъалаи фазои \(\ell^1\) Banach бо қоидаи трапетсия ҳисоб мешаванд. Дар ҳар итератсия ҳосилаи касрӣ, интеграли Volterra, интеграли Fredholm ва ҳади ғайриошкори \(F\) нав карда мешаванд; сипас аз формулаи интегралӣ тақриби нави ҳал ҳосил карда мешавад.

Problem 1: мисоли скалярии фосилаи маҳдуд

Дар Problem 1 тартиби касрӣ \(w=1/3\), параметри темперкунӣ \(w_1=1\), соҳаи асосӣ \([0,1]\) ва таҳаммулпазирии наздикшавии ададӣ \(10^{-6}\) дода шудаанд. Барои арзёбии ҳассосияти шабака ҳалли \(N=1600\) ҳамчун ҳалли истинодӣ истифода мешавад.

Тартиби эмпирикии наздикшавӣ

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

ҳисоб карда мешавад. Бо майда шудани шабака хато нисбат ба ҳалли истинодӣ мунтазам кам мешавад ва дар ду қадами охирини гузоришшуда тартиб тақрибан ба 1,44 мерасад.

Азбаски дар манбаъ ҳалли пурраи аналитикӣ вуҷуд надорад, “Maximum Error” дар ҷадвали итератсия хато нисбат ба ҳалли ҳақиқӣ нест. Ин бузургӣ

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

ҳамчун фарқи байни ду итератсияи пайдарпайи нуқтаи собит таъриф шудааст. Мувофиқи ин, дар шаш қадами аввали гузоришшуда қимат аз 0.154327 то 0.000234 кам мешавад ва нисбати хатои пайдарпай тақрибан дар сатҳи 0.273 мемонад.

Ҳадди тафсир:Гарчанде манбаъ дар алгоритм таҳаммулпазирии \(10^{-6}\)-ро нишон медиҳад, фарқ дар итератсияи шашуми гузоришшуда \(2.34\times10^{-4}\) аст. Аз ин рӯ, ҷадвал наздикшавии равшани геометриро дар шаш қадам ва рафтори фишуриши тақрибан 0.273 нишон медиҳад; худи ҷадвал нишон намедиҳад, ки дар қадами шашум ба таҳаммулпазирии боздоштани \(10^{-6}\) расида шудааст.

Расми 1-и манбаъ аз чор панел иборат аст: наздикшавии шабака, профили пурраи ҳал, ҳосилаи касрии темперкардашуда ва саҳмҳои интегралии Volterra–Fredholm. Аз нуқтаи назари Verianla ин расм барои аз нав кашидан бо тарҳи графикии аслӣ дар асоси маълумоти манбаъ мувофиқ аст; нусхаи пикселӣ ё тарҳии расми манбаъ зарур нест.

Problem 2: мисоли фазои \(\ell^1\) Banach

Масъалаи дуюм дар фазои пайдарпаии беандозаи \(\ell^1\) муайян шудааст. Тартиби касрӣ боз \(w=1/3\), вале параметри темперкунӣ \(w_1=3\) аст. Азбаски ҳисобкунии ададӣ шумораи беинтиҳои компонентҳоро мустақим коркард карда наметавонад, система то \(M\) компоненти аввал бурида мешавад.

Манбаъ бо такя ба зуд кам шудани компонентҳо ҳангоми калон шудани индекс изҳор мекунад, ки сатҳи консервативии буридан барои \(10^{-6}\) бояд \(M=1000\) бошад. Аммо барои осонии ҳисоб ва пешниҳоди ҷадвалҳо \(M=5\) истифода шудааст; инчунин гузориш шудааст, ки ҳисобҳои \(M=20\) ва \(M=50\) аз ҷиҳати компонентҳои пешбар ва нормаи \(\ell^1\) натиҷаҳои фарқнашаванда додаанд.

Дар ин масъала се компоненти аввал дар манбаъ сохтори мунтазам миқёскардашударо нишон медиҳанд. Масалан, дар \(\rho=1\), \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) ва \(k_3=0.181070\) гузориш шудаанд.

Барои шаш итератсияи аввал фарқи ҳалли пайдарпай аз 0.142567 то 0.000217 кам мешавад, дар ҳоле ки нисбати фишуриши гузоришшуда тақрибан дар атрофи 0.273 мемонад. Тартиби наздикшавии шабакаи Problem 2 тақрибан 1.37 аст. Манбаъ инчунин хабар медиҳад, ки дар темперкунии \(w_1=3\) ҳосилаи касрӣ нисбат ба ҳолати \(w_1=1\) дар Problem 1 зудтар кам мешавад.

Расми 2 дар саҳифаи 32-и PDF хатои шабака ва нишеби 1.37, се компоненти аввали ҳал, ҳосилаи касрии темперкардашудаи \(k_1\) ва тағйири нормаи \(\ell^1\)-ро дар тӯли \([0,1]\) якҷо нишон медиҳад.

Ду масъала якҷо чиро нишон медиҳанд?

Мисолҳои ададии манбаъ нишон медиҳанд, ки бо майда шудани шабака хато нисбат ба ҳалли истинодӣ кам мешавад, дар итератсияҳои нуқтаи собит нисбатҳои монанди фишуриши тақрибан 0.273 ба вуҷуд меоянд ва ҳам дар сохтмони скалярӣ ва ҳам дар \(\ell^1\) профилҳои ҳамвори ҳал ба даст меоянд. Дар Problem 2 параметри калонтари темперкунӣ бо зудтар кам шудани саҳми ҳосилаи касрӣ алоқаманд карда мешавад.

Натиҷае, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад:Таҳти шартҳои муайяншудаи пайвастагӣ, Lipschitz, афзоиш ва ғайрикомпактӣ барои ин синфи муодилаҳо мавҷудияти ҳал, дар шартҳои муайяни скалярӣ ягонагии ҳал ва устувории Ulam–Hyers–Rassias аз ҷиҳати математикӣ асоснок карда мешаванд. Мисолҳои махсуси додашуда шартҳои кофии дахлдорро қонеъ мекунанд; усулҳои ададӣ низ дар мисолҳои интихобшуда рафтори мунтазами наздикшавиро нишон медиҳанд.

Натиҷае, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад:Таҳқиқот нишон намедиҳад, ки ҳамаи масъалаҳои ғайриошкори касрии Volterra–Fredholm бидуни шарт ҳалли ягона доранд. Агар шартҳои кофии математикӣ вайрон шаванд, ҳамон натиҷа худкор татбиқ намешавад. Симулятсияҳои ададӣ далели мустақили математикӣ нестанд, ки теоремаҳои нуқтаи собитро иваз кунанд. Илова бар ин, фаъолияти воқеии саҳроӣ дар системаҳои вискоэластикӣ, биологӣ, нейронӣ ё идоракунӣ дар ин таҳқиқот таҷрибавӣ тасдиқ нашудааст.

Ду нуқтаи гузоришдиҳии манбаъ, ки диққат талаб мекунанд

Нуқтаи аввал ин аст, ки Теорема 7 ба ғайр аз фарзияҳои H7–H12 ба ибораи “condition (15)” низ истинод мекунад. Азбаски дар бахши фазои Banach-и манбаъ ишоратгузории алоҳидаи собитҳо ва коэффисиентҳо мавҷуд аст, ин истиноди салибӣ аз ҷониби Verianla хомӯшона ба рақами дигари муодила табдил дода нашудааст.

Нуқтаи дуюм ин аст, ки гарчанде барои усули ададӣ таҳаммулпазирии \(10^{-6}\) нишон дода шудааст, ҷадвалҳои манбаъ танҳо шаш итератсияи аввалро нишон медиҳанд ва фарқҳои итератсияи пайдарпай дар қадами шашум ҳанӯз тақрибан дар сатҳи \(2\times10^{-4}\) ҳастанд. Бинобар ин, баёни Verianla ибораи дар манбаъ алоҳида омадаи “наздикшавӣ дар шаш итератсия”-ро ба маънои расидан ба таҳаммулпазирии \(10^{-6}\) дар шаш итератсия васеъ намекунад.

Самтҳои таҳқиқоти оянда

Манбаъ барои таҳқиқоти оянда таҳияи алгоритмҳои ададии махсусгардонидашуда, густариш ба операторҳои дигари касрии навъи \(\psi\)-Hilfer, Hadamard ё Katugampola, масъалаҳои идоракунии оптималӣ, татбиқҳо ба моделҳои мушаххаси физикӣ-биологӣ-муҳандисӣ-иқтисодӣ, пертурбатсияҳои стохастикӣ ва системаҳои муодилаҳои ба ҳам пайвастро пешниҳод мекунад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Таҳқиқоти аслӣ: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Муаллифон: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Муассисаҳо: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Маҷалла: Mathematics.

Ношир: MDPI.

Сабти библиографӣ: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Ирсол:4 январи 2026.Бозбинӣ:24 январи 2026.Қабул:26 январи 2026.Нашр:29 январи 2026.

Навъи манбаъ:Мақолаи академии таҳқиқотии аз баррасии ҳамтоён гузашта; таҳлили назариявии математикӣ, мисолҳои сохторӣ ва симулятсияҳои ададиро дар бар мегирад.

Иҷозатнома:Creative Commons Attribution (CC BY). Матни Verianla ба ҷойи аз нав нашр кардани ҷумлаҳои мақолаи манбаъ ё тарҳи шакл, далелҳои илмӣ, муодилаҳо, усулҳо, натиҷаҳо ва маҳдудиятҳоро бо баёни мустақили омӯзишӣ бозсозӣ кардааст.

Маблағгузорӣ:Таҳқиқот аз ҷониби Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research дар King Faisal University бо гранти рақами KFU260481 дастгирӣ шудааст.

Дастрасии маълумот:Муаллифон изҳор мекунанд, ки саҳмҳои аслии таҳқиқот дар дохили мақола ҳастанд ва саволҳои иловагӣ метавонанд ба corresponding author-ҳо равона карда шаванд.

Бархӯрди манфиатҳо:Муаллифон бархӯрди манфиатҳоро гузориш накардаанд.

Саҳмҳои муаллифон:Abdulrahman A. Sharif консептуализатсия, методология ва навиштани тарҳи аввалро; Muath Awadalla баррасӣ ва таҳрирро иҷро кардааст. Баррасии назариявӣ ва таҳлили формалӣ аз ҷониби ҳар ду муаллиф анҷом дода шудааст.

Маҳдудияти методологӣ:Натиҷаҳо ба фарзияҳои кофии математикии дар манбаъ муайяншуда вобастаанд. Қисми ададӣ бо ду масъалаи махсус кор мекунад ва санҷиши саҳроии ҷаҳони воқеӣ нест. Ҳисобкунии мисоли \(\ell^1\) тавассути буридани фазои беандозаи ниҳоӣ ба шумораи маҳдуди компонентҳо анҷом дода шудааст.

Маҳдудияти гузоришдиҳии ададӣ:Гарчанде дар манбаъ таҳаммулпазирии итератсияи \(10^{-6}\) нишон дода шудааст, дар ҷадвалҳои шаш-қадами нашршуда фарқҳои охирини итератсияҳои пайдарпай аз ин ҳад бузургтаранд. Аз ин рӯ, Verianla рафтори фишуриши геометрии дар манбаъ дидашударо мерасонад, аммо мустақилона хулоса намекунад, ки дар шаш итератсия ба таҳаммулпазирии \(10^{-6}\) расида шудааст.

Мувофиқати аз нав кашидани шакл:Мувофиқ. Аз маълумоти Ҷадвал 1–7-и манбаъ таркибҳои графикии комилан нави Verianla омода кардан мумкин аст. Паёми илмии Расми 1 ва Расми 2-и PDF метавонад аз нав кашида шавад; нусхабардории тарҳи аслии шакл зарур нест.

Мувофиқати Verianla Live / Live Figure:Қисман мувофиқ. Камшавии хато дар итератсияи нуқтаи собит, наздикшавии шабака ва тағйири нормаи \(\ell^1\) метавонанд бе тағйир додани маълумоти манбаъ дар шакли пахш/таваққуф/оғози дубора пешниҳод шаванд. Ба корбар набояд идорае дода шавад, ки бо тағйир додани \(w\), \(w_1\), таҳаммулпазирӣ ё дигар параметрҳои илмӣ натиҷаи нав тавлид кунад.