Global Karleman bahosi xususiy hosilali differensial tenglama yechimiga maxsus tanlangan katta parametrli ogʻirliklarni qoʻllash orqali yechimning ichki sohadagi energetik kattaliklarini manba hadlari va mavjud kuzatuvlar bilan nazorat qiluvchi aprior tengsizlikdir. Luchuan Zhou va Bo You tadqiqoti markazda \(\mu/|x|^2\) koʻrinishidagi singulyarlikka ega va Wiener shovqini bilan buzilgan stoxastik Shredinger tenglamalari uchun shunday bahoni quradi. Tadqiqotning asosiy murakkabligi — singulyar potensialning Hardy-kritik xatti-harakati, yechimning kompleks qiymatli boʻlishi va Itô stoxastik hadlarini bitta isbot doirasida birgalikda nazorat qilishdir.

Mualliflar avval kritik Hardy doimiysi \(\mu^*=(N-2)^2/4\) atrofida mos funksional fazolarni qurib, toʻgʻri va teskari sistemalarning korrekt qoʻyilganligini hamda teskari qoʻshma yechimning chegaradagi normal hosilasi regulyarligini taʼminlaydilar. Soʻng \(\psi(x)=\ln|x|\), vaqtning uchlarida singulyarlashadigan \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\) va ikkita katta Karleman parametri \(s,\lambda\) orqali vaznli ayniyatni keltirib chiqaradilar. Hardy tipidagi tengsizliklar ushbu ayniyatda teskari-kvadrat singulyarligi hosil qiladigan manfiy energiya hadlarini nazorat qilish uchun qoʻllanadi.

Qurilgan Karleman bahosidan teskari qoʻshma sistema uchun kuzatuvchanlik tengsizligi olinadi. Stoxastik dualizm, Hahn-Banach teoremasi va Riesz tasvirlash teoremi orqali bu kuzatuvchanlik natijasi boshqariladigan toʻgʻri sistemaga oʻtkaziladi va manbada koʻrsatilgan farazlar ostida har bir \(T>0\) uchun aniq boshqariluvchanlik isbotlanadi. Xuddi shu Karleman mexanizmining toʻgʻri sistema uchun versiyasi chegaradagi normal hosila kuzatuvlaridan boshlangʻich holatlar orasidagi farqni chegaralovchi turgʻunlik bahosini ham beradi.

Oʻrganilgan stoxastik Shredinger sistemasi

Tadqiqot \(N\geq3\) boʻlganda chegaralangan \(G\subset\mathbb R^N\) sohada va \(Q=G\times(0,T)\) fazo-vaqt silindrida quyidagi boshqariladigan stoxastik sistemani koʻrib chiqadi:

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Bu yerda \(W(t)\) bir oʻlchovli standart Brownian harakatidir. \(p\) va \(q\) quyi tartibli koeffitsiyentlardir. \(f\) deterministik-vaqt differensiali kanalidagi tashqi had; \(u\) chegaraviy boshqaruv; \(g\) esa stoxastik diffuziya kanalidagi boshqaruvdir. Tadqiqotdagi aniq boshqariluvchanlik natijasi faqat chegaraviy \(u\) boshqaruviga tayanmaydi; \((u,g)\) boshqaruv jufti birgalikda qoʻllanadi.

Teskari-Kvadrat Singulyar Potensial Nega Kritik Matematik Muammo?

Teskari-kvadrat potensial \(\mu/|x|^2\), \(x=0\) da cheksiz boʻlib qolishi sababli standart \(H_0^1(G)\) energiya baholarini bevosita qoʻllashni qiyinlashtiradi. Tadqiqot bu singulyarlikni Hardy tengsizligi bilan nazorat qiladi va \(\mu^*=(N-2)^2/4\) doimiysini kritik chegara sifatida qoʻllaydi; \(\mu<\mu^*\) holatda energiya normasi standart Sobolev normasiga ekvivalent boʻlsa, \(\mu=\mu^*\) kritik holatda yanada nozik Hardy tipidagi baholar talab etiladi.

Hardy kritik doimiysi va \(H_\mu\) fazosi

Manbada klassik Hardy tengsizligining kritik doimiysi

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

deb taʼriflanadi va

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

tengsizligi qoʻllanadi. Shunga asoslanib \(\mu\leq\mu^*\) uchun

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

energiya tuzilmasi aniqlanadi. Subkritik \(\mu<\mu^*\) rejimida bu norma \(H_0^1(G)\) normasiga ekvivalentdir. Kritik \(\mu=\mu^*\) holatda esa manba qoʻshimcha uchta oʻtkir Hardy tipidagi tengsizlikdan foydalanadi.

Bu farq faqat texnik emas. Boshqariladigan masala uchun kritik holatda manba qoʻshimcha \(p=q=0\) farazini qoʻyadi. Toʻgʻri sistemaning holatni kuzatish boʻlimida qoʻllanadigan Condition 2.7 esa kritik holatda \(p=q=f=0\) shartini oʻz ichiga oladi. Shu sababli maqolaning kritik rejim natijalarini umumiy quyi tartibli koeffitsiyentli masala uchun shartsiz natija sifatida talqin qilib boʻlmaydi.

Teskari qoʻshma sistema nima uchun kerak?

Aniq boshqariluvchanlik isboti toʻgʻri tenglamani bevosita boshqarishga urinish oʻrniga unga dual boʻlgan teskari stoxastik Shredinger sistemasining kuzatuvchanligini oʻrganadi:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Bu yerda \(z\) qoʻshma holat; \(Z\) esa teskari stoxastik sistemaning martingal/diffuziya komponentidir. Tadqiqot avval \((z,Z)\) uchun korrekt qoʻyilganlik va energiya baholarini oladi. Keyin chegaradagi normal hosilaning

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

kvadratining vaqt-chegara integrali terminal maʼlumotning \(H_\mu\) normasi bilan nazorat qilinadi. Ushbu “yashirin regulyarlik” natijasi Karleman bahosidagi chegaraviy kuzatuv hadining matematik jihatdan mazmunli boʻlishini taʼminlaydi.

Transpozitsion yechim nima uchun kerak?

Chegaraviy boshqaruv \(u\) va boshlangʻich maʼlumot \(y_0\in H_\mu'\) kabi past regulyarlikdagi maʼlumotlar bilan toʻgʻri sistemaning klassik yoki kuchli yechimini talab qilish maqsadga muvofiq emas. Shu sababli manba toʻgʻri sistemani transpozitsion yechim orqali taʼriflaydi. Yechim teskari yordamchi masala yechimlari bilan qurilgan dualizm ayniyatini qanoatlantirishi orqali aniqlanadi.

Bu yondashuvning ilmiy roli chegaraviy boshqaruv va stoxastik hadlarni kuchsizroq funksional fazolarda saqlagan holda ham yaxshi aniqlangan toʻgʻri evolyutsiyani qurishdir. Manba avval \(p=q=0\) holatda Riesz tasvirlash teoremi bilan mavjudlikni oladi; soʻng umumiy subkritik holatda kichik vaqt oraliqlarida Banach qoʻzgʻalmas nuqta teoremasidan foydalanib, oraliqlarni birlashtirish orqali butun \([0,T]\) ga oʻtadi.

Karleman Bahosi Ushbu Tadqiqotda Nimani Taʼminlaydi?

Karleman bahosi yechimning vaznlangan \(L^2\), gradient va Hardy-energiya hadlarini; manba hadlari, stoxastik diffuziya hadi va kuzatiladigan chegaradagi normal hosila bilan nazorat qiladi. Bu yagona tengsizlik keyinchalik teskari sistemaning kuzatuvchanligi hamda toʻgʻri sistemadagi holat kuzatuvi turgʻunligining asosiy analitik kirish omiliga aylanadi.

Tadqiqotning vazn funksiyasi

Manba Karleman vaznini

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

bilan taʼriflaydi. Bundan tashqari

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

qoʻllanadi. Kuzatiladigan chegara qismi esa

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

deb tanlanadi.

Manba ichidagi notatsion chegara: PDF bir joyning oʻzida \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) va \(\psi(x)=\ln|x|\) deb yozadi, holbuki avval \(0\in G\) farazini bergan. Standart \(L^\infty\)-norma taʼrifida bu ikki ifodaning birga ishlatilishi izoh talab qiladi. Bu yerda formula manbada qanday boʻlsa, shunday beriladi, biroq bu nuqta tuzatilgan yoki hal qilingan deb qabul qilinmaydi.

Asosiy global Karleman tengsizligi

Teorema 3.1, \(\mu\leq\mu^*(N)\) uchun yetarlicha katta \(\lambda\) va unga bogʻliq yetarlicha katta \(s\) qiymatlarida,

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

sistema yechimlari quyidagi tuzilishdagi global bahoni qanoatlantirishini bildiradi:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Tengsizlikning chap tomoni uch xil maʼlumotni birgalikda nazorat qiladi: fazoviy vaznlangan holat kattaligi, vaznlangan gradient kattaligi va teskari-kvadrat potensialni oʻz ichiga olgan Hardy energiya farqi. Oʻng tomonda esa dreyf manbai \(F_1\), kuzatiladigan chegaradagi normal hosila va stoxastik manba \(F_2\) joylashadi.

Xususan

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

hadining musbat/nazorat qilinadigan energiya tuzilmasida saqlanishi Hardy tengsizliklarining ushbu tadqiqotdagi markaziy vazifasini koʻrsatadi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Karleman isbotining toʻrt bosqichi

Vaznlangan ayniyatning asosiy oʻzgaruvchilari

Isbotda

\[ v=\theta z \]

almashtirishi qoʻllanadi va manba

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

ifodasini taʼriflaydi. Shredinger operatori esa

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

koʻrinishida qaraladi. \(I\) bilan \(Pz\) ning vaznlangan koʻpaytmasi ochilganda manbada \(J_1,\ldots,J_7\) shaklida guruhlangan hajm, chegara, vaqt va stoxastik kvadratik variatsiya hadlari paydo boʻladi.

Bu bosqichda Shredinger yechimining kompleks qiymatli boʻlishi sababli faqat haqiqiy energiya hadlari emas, balki mavhum qismlardan keladigan kesishma hadlar ham mavjud. Stoxastik tuzilma qoʻshimcha ravishda \((dv)(d\overline v)\) tipidagi Itô hadlarini hosil qiladi. Mualliflar tanlagan vazn va Hardy baholari ushbu hadlarni mos ishorali asosiy energiya hadlari tomonidan absorbsiyalanishini taʼminlash uchun ishlab chiqilgan.

Kritik rejimda Hardy baholarining vazifasi

Manba kritik \(\mu=\mu^*\) holatda nafaqat klassik Hardy tengsizligini, balki qoʻshimcha vaznlangan Hardy tipidagi natijalarni ham qoʻllaydi. Ular ayniqsa

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

energiya farqidan ham \(L^2\) nazoratini, ham \(|x|^2|\nabla v|^2\) kabi vaznlangan hosila nazoratini olish imkonini beradi. Shu tariqa singulyarlik Karleman bahosining chap tomonida yoʻqolib ketmay, ochiq ravishda saqlanadi.

Teskari qoʻshma sistema uchun keltirib chiqarilgan Karleman bahosi

Asosiy tengsizlikda

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

tanlanib, teskari qoʻshma sistemaga xos Karleman tengsizligi olinadi. Yetarlicha katta \(s\) bilan \(p\) va \(q\) dan keladigan mos quyi tartibli hadlar absorbsiyalangach, yechimning ichki energiya hadlari asosan ikkita kuzatiladigan kattalik bilan nazorat qilinadi:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Bu ikki hadning keyinchalik kuzatuvchanlik tengsizligida birga paydo boʻlishi tasodif emas; stoxastik Shredinger sistemasining boshqaruv masalasida nima uchun ham chegaraviy boshqaruv, ham stoxastik boshqaruv zarurligining analitik ifodasidir.

Kuzatuvchanlik Tengsizligi Aniq Boshqariluvchanlikka Qanday Bogʻlanadi?

Teskari qoʻshma sistemaning terminal holati \(z_T\), chegaradagi normal hosila kuzatuvi va stoxastik qoʻshma komponent \(Z\) orqali nazorat qilinishi mumkin boʻlsa, bu kuzatuvchanlik tengsizligi dualizm orqali toʻgʻri sistema uchun boshqaruv funksiyalarining mavjudligiga aylantiriladi. Tadqiqot bu oʻtishda Hahn-Banach kengaytirish teoremi va Riesz tasvirlash teoremidan foydalanib, istalgan \(y_1\) terminal holatga olib boradigan \((u,g)\) boshqaruv juftini quradi.

Kuzatuvchanlik natijasi

Teorema 4.2 da teskari sistema uchun

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

tengsizligi olinadi.

Bu natija terminal qoʻshma holatning toʻliq normasi faqat kuzatiladigan/boshqaruv-dual kanallardan chegaralanishi mumkinligini ifodalaydi. Karleman bahosi avval oʻrta vaqt oraligʻida yechimni nazorat qiladi; teskari energiya bahosi esa keyin bu maʼlumotni terminal vaqtdagi \(z_T\) ga olib oʻtadi.

Aniq boshqariluvchanlik

Manbada sistemaning \(T\) vaqtda aniq boshqariladigan boʻlishi har bir ruxsat etilgan boshlangʻich holat \(y_0\) va har bir maqsad

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

uchun mos

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

boshqaruvlarining mavjud boʻlishi va mos yechimning

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

tengligini qanoatlantirishi sifatida taʼriflanadi.

Teorema 4.3, Assumption 2.1 ostida \(\mu\leq\mu^*\) va \(T>0\) uchun ushbu aniq boshqariluvchanlikni bildiradi.

Dualizm isbotining mantiqi

Isbotda qoʻshma yechimlardan iborat fazoda

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

chiziqli funksional aniqlanadi. Kuzatuvchanlik tengsizligi bu funksionalning chegaralanganligini beradi. Hahn-Banach teoremasi funksionalni butun koʻpaytma fazoga kengaytiradi va Riesz tasvirlash teoremasi \((\widetilde u,\widetilde g)\) juftini taʼminlaydi. Manba keyin

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

tanlovini transpozitsion yechim dualizmi bilan birlashtirib,

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

natijasiga har bir mos \(z_T\) uchun erishadi; bundan \(y(T)=y_1\) natijasi kelib chiqadi.

Holat Kuzatuvi Turgʻunlik Bahosi Nimani Chegaralaydi?

Holat kuzatuvi turgʻunlik bahosi bir xil toʻgʻri stoxastik Shredinger sistemasi uchun ikki xil boshlangʻich holat orasidagi farqni kuzatiladigan chegara qismidagi normal hosilalar farqi bilan chegaralaydi. Shunday qilib, chegaraviy kuzatuvdagi kichik farq boshlangʻich holatda cheksiz noaniqlikka mos kelmasligi manbada berilgan farazlar ostida Lipschitz tipidagi turgʻunlik munosabati bilan ifodalanadi.

Ikki yechim \(y\) va \(\widehat y\) mos ravishda \(y_0\) va \(\widehat y_0\) boshlangʻich holatlar bilan bogʻliq boʻlsa, Teorema 4.4

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

bahosini beradi.

Isbot

\[ h=y-\widehat y \]

farqini olib, bir jinsli manbali toʻgʻri masalaga oʻtadi va toʻgʻri sistema uchun keltirib chiqarilgan Karleman tengsizligini \(h\) ga qoʻllaydi. Avval olingan teskari energiya/korrekt qoʻyilganlik baholari bilan birga bu boshlangʻich normani chegaradagi normal hosila farqi bilan nazorat qilishga aylanadi.

Kritik holatda muhim cheklov

Manbaning Remark 4.5 qismi muhim cheklov qoʻyadi. \(\mu=\mu^*\) kritik rejimida qurilgan Karleman bahosi oʻz-oʻzicha yanada umumiy koeffitsiyentlarga ruxsat berishi mumkindek koʻrinsa-da, 2.5-boʻlimda olingan regulyarlik natijalari \(p,q\neq0\) holat uchun yetarli emas. Mualliflar kritik rejimda ushbu regulyarlik kengaytirilsa, Teorema 4.4 farazini ham yumshatish mumkinligini taʼkidlaydilar.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar va talqin chegarasi

• Singulyar teskari-kvadrat potensialli stoxastik Shredinger tenglamalari uchun manbada koʻrsatilgan shartlar ostida yangi global Karleman bahosi qurilgan.
• Karleman bahosi kritik \(\mu=\mu^*\) holatdagi Hardy energiya hadini ham ochiq ravishda nazorat qiladigan tarzda ishlab chiqilgan.
• Teskari qoʻshma sistema uchun kuzatuvchanlik tengsizligi olingan.
• Boshqariladigan toʻgʻri sistema manbada koʻrsatilgan \((u,g)\) boshqaruv jufti ishlatilganda va farazlar bajarilganda har bir \(T>0\) uchun aniq boshqariluvchandir.
• Toʻgʻri masala uchun boshlangʻich holatga doir chegaraviy kuzatuvga asoslangan turgʻunlik bahosi olingan.
• Natijalar nazariydir; fizik kvant sistemasida eksperimental boshqaruv muvaffaqiyati yoki sonli qoʻllash samaradorligi koʻrsatilmagan.
• “Aniq boshqariluvchanlik” barcha real kvant sistemalarini amalda istalgan holatga keltirish mumkinligini anglatmaydi; teorema koʻrsatilgan stoxastik PDE modeli, funksional fazolar va koeffitsiyent farazlari doirasidadir.
• Kritik rejimda quyi tartibli koeffitsiyentlarga doir qoʻshimcha nolga tenglashtirish farazlari mavjud; natijalar ular yoʻqdek umumlashtirilmasligi kerak.
• Manbaning Karleman vaznidagi \(\psi=\ln|x|\) va \(L^\infty\)-norma yozuvi izoh talab qiluvchi manba ichidagi nuqta boʻlib, Verianla tomonidan tuzatilgan deb hisoblanmagan.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Mualliflar: Luchuan Zhou; Bo You.

Masʼul muallif: SSRN qaydi Bo You ni aloqa uchun muallif sifatida koʻrsatadi.

Muassasa: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

PDF sanasi: 28 may 2026.

Platforma: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

SSRN ga yuborilgan sana: 18 iyun 2026.

Manba turi: Nazariy matematika boʻyicha tadqiqot preprinti.

Taqriz holati: Taqrizdan oʻtmagan; PDF buni aniq koʻrsatadi.

Jurnal/nashriyot: Manbada taqrizlangan jurnal nashri yoki rasmiy yakuniy nashr versiyasi haqidagi maʼlumot mavjud emas; foydalanilgan versiya SSRN preprintidir.

Litsenziya/mualliflik huquqi holati: SSRN qaydi “All rights reserved; no reuse allowed without permission” maʼlumotini beradi. Shu sababli manba matni, original bayon tuzilishi yoki original sahifa dizayni qayta nashr etilmagan; ilmiy faktlar, matematik ifodalar, usul va natijalar mustaqil Verianla taʼlim arxitekturasida tushuntirilgan.

Moliyalashtirish: Manba National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 va Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032 doirasida qisman moliyaviy qoʻllab-quvvatlashni bildiradi.

Maʼlumotlar mavjudligi: Tadqiqot nazariy PDE ishidir; tahlil qilingan eksperimental maʼlumotlar toʻplami qayd etilmagan.

Muallif hissalari: Alohida CRediT hissa bayonoti aniqlanmagan.

Manfaatlar toʻqnashuvi: PDF da alohida manfaatlar toʻqnashuvi boʻlimi aniqlanmagan.

Asosiy usul: Hardy kritik energiya fazolari, toʻgʻri/teskari stoxastik Shredinger tenglamalarining korrekt qoʻyilganligi, Itô hisobi, vaznlangan Karleman ayniyati, Hardy tipidagi tengsizliklar, chegaraviy kuzatuvchanlik, stoxastik dualizm, Hahn-Banach teoremasi va Riesz tasvirlash teoremasi.

Asosiy matematik chegara: Natijalar \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), manbada taʼriflangan koeffitsiyentlar regulyarligi va kritik holatda koʻrsatilgan qoʻshimcha koeffitsiyent farazlari ostida olingan.

Manba ichidagi muvofiqlik izohi 1: Manba \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) va \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) yozuvlarini birgalikda ishlatadi. Standart norma talqinida bu nuqta izoh talab qiladi; Verianla manbadan tashqari tuzatish kiritmaydi.

Manba ichidagi muvofiqlik izohi 2: 4.2-boʻlim kirishida problem (2.35) ifodasi berilgan boʻlsa, Teorema 4.4 va undan keyingi hisoblar problem (2.33) ni ishlatadi. Bu oʻzaro havola farqi manbada izohlanmagan.

Vizualni qayta chizish: Manbada maʼlumotlarga asoslangan grafik yoki eksperimental tasvir boʻlmagani uchun eng xavfsiz yondashuv butunlay original matematik sxemadir: markaziy \(1/|x|^2\) singulyarligi, \(G\) sohasi, \(\Gamma_0\) kuzatuv chegarasi va Karleman → kuzatuvchanlik → dualizm → aniq boshqariluvchanlik oqimi.

Verianla Live / Live Figure: Oʻzgarmas parametrli usul oqimi uchun qisman mos. Ilmiy parametrlarni oʻzgartiradigan foydalanuvchi boshqaruvidagi simulyatsiya yoki real kvant dinamikasi daʼvosini bildiradigan animatsiya mos emas.