Örtük nötr temperlenmiş Caputo kesirli Volterra–Fredholm integral-diferansiyel denklem, kesirli mertebeden ve üstel temperleme içeren bir Caputo türevini; geçmişe bağlı gecikmeli argümanları, geleceğe uzanan ileri argümanları, nötr fonksiyonel terimi ve hem Volterra hem Fredholm integral operatörlerini aynı matematiksel yapı içinde birleştiren bir denklem sınıfıdır. Abdulrahman A. Sharif ve Muath Awadalla'nın çalışması, bu sınıftaki problemlerin çözüm varlığını, tekliğini ve kararlılığını sabit nokta teorisi aracılığıyla inceliyor. Skaler sürekli fonksiyon uzayında Banach'ın daralma ilkesi ve Schauder sabit nokta teoremi; genel Banach uzayında ise Darbo sabit nokta teoremi ile Kuratowski kompakt olmama ölçüsü kullanılıyor. Çalışma ayrıca Ulam–Hyers–Rassias kararlılığı için yeterli koşullar türetiyor ve teorik yapıyı MATLAB R2023a ile yürütülen sayısal örnekler üzerinden inceliyor.

Sayısal bölümde temperlenmiş Caputo türevi L1 şemasıyla ayrıklaştırılıyor. Volterra ve Fredholm integralleri skaler problemde bileşik Simpson kuralı, Banach uzayı probleminde trapez kuralıyla yaklaştırılıyor; integral denklem biçiminden türetilmiş sabit nokta iterasyonu çözümün hesaplanmasında kullanılıyor. Problem 1 için ağ inceldikçe gözlenen yakınsama mertebesi yaklaşık 1,38–1,44, Problem 2 için yaklaşık 1,37 olarak raporlanıyor. Sabit nokta iterasyonunun ilk altı raporlanan adımındaki hata oranı iki problemde de yaklaşık 0,273 düzeyinde kalıyor. Ancak bu çalışma gerçek fiziksel bir sistem üzerinde saha doğrulaması yapmıyor; viskoelastisite, kontrol teorisi ve sinir dinamikleri kaynakta model sınıfının olası motivasyonları olarak yer alıyor.

Temperlenmiş Caputo kesirli türev nedir?

Temperlenmiş Caputo kesirli türev, klasik Caputo kesirli türevine üstel bir temperleme dönüşümü ekleyerek uzun süreli belleğin kesirli ve yerel olmayan karakterini korurken uzak geçmişin etkisinin üstel biçimde bastırılmasını sağlayan bir kesirli türev operatörüdür.

Çalışmada temperleme parametresi \(w_1\geq 0\), kesirli mertebe ise \(w\) ile gösteriliyor. Önce temperlenmiş Riemann–Liouville kesirli integrali şu yapıyla tanımlanıyor:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Buradaki \(\Gamma(w)\) Gamma fonksiyonudur. Çekirdekteki \((\rho-\varpi)^{w-1}\) terimi kesirli belleği, \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) terimi ise temperlemeyi temsil eder. \(w_1=0\) olduğunda temperlenmiş integral klasik Riemann–Liouville kesirli integraline indirgenir.

Temperlenmiş Caputo türevi ise kaynakta

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

biçiminde kuruluyor. Bu tanım, önce fonksiyonun \(e^{w_1\rho}\) ile ağırlıklandırılması, ardından klasik Caputo türevinin alınması ve son olarak \(e^{-w_1\rho}\) faktörüyle temperlenmesi anlamına gelir. Böylece model yalnız anlık duruma değil, geçmiş durumların ağırlıklı bir bütününe bağlı kalırken çok uzak geçmişin etkisi temperleme parametresi aracılığıyla zayıflatılır.

Geçmiş, mevcut ve ileri zaman segmentleri

Çalışmanın önemli özelliklerinden biri çözüm fonksiyonunun yalnız \([0,\xi]\) ana aralığında tanımlanmamasıdır. Problem üç parçalı bir zaman yapısı kullanır: geçmiş segmenti \([ -a,0]\), ana çözüm segmenti \([0,\xi]\) ve ileri segment \([\xi,\xi+g]\). Kaynakta \(a,g>0\) alınır.

Bir \(\rho\) noktası çevresindeki fonksiyon geçmişi ve ileri kısmı

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

segmentiyle temsil edilir. Böylece denklemin sağ tarafı yalnız \(k(\rho)\) değerini değil, \(\rho\) çevresindeki gecikmeli ve ileri değerleri de kullanabilir.

Volterra ve Fredholm terimleri bu modelde neyi temsil eder?

Volterra terimi üst sınırı mevcut değişken \(\rho\) olan ve bu nedenle çözümün \(\rho\)'ya kadar biriken geçmişini temsil eden integral operatörüdür; Fredholm terimi ise sabit \([0,\xi]\) aralığının tamamı üzerinden integral aldığı için daha küresel bir etkileşimi veya bütün-aralık katkısını temsil eder.

Çalışmanın temel denklemindeki iki integral yapı şunlardır:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

İlk integralin üst sınırının \(\rho\) olması, değerlendirme noktası ilerledikçe hesaba katılan geçmiş aralığının da büyümesi anlamına gelir. İkinci integral ise her \(\rho\) için bütün \([0,\xi]\) aralığını kapsar. Kaynak çalışma bu yapıyı tarihsel/belleğe bağlı etkiler ile daha küresel etkileşimlerin aynı model içinde bir araya getirilmesinin matematiksel yolu olarak ele alıyor.

Ana örtük nötr problem

Çalışmanın merkezindeki problem, sadeleştirilmiş gösterimle şu yapıya sahiptir:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Denklem örtüktür, çünkü kesirli türev yalnız sol tarafta yer almaz; \(F\) fonksiyonunun girdilerinden biri olarak sağ tarafta da bulunur. Nötrdür, çünkü türev doğrudan \(k(\rho)\) üzerinde değil \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) birleşimi üzerinde alınır. Buna gecikmeli ve ileri argümanlar ile iki farklı integral operatörünün eklenmesi, klasik başlangıç değer problemlerinden daha karmaşık bir işlevsel yapı oluşturur.

Neden sabit nokta teorisi kullanılıyor?

Yazarlar diferansiyel problemi uygun bir integral denkleme dönüştürerek çözümü bir operatörün sabit noktası olarak ele alıyor. Bir \(S\) operatörü için \(Sk=k\) eşitliğini sağlayan fonksiyon, özgün integral-diferansiyel problemin çözümüne karşılık geliyor. Bu dönüşüm sayesinde varlık ve teklik problemi diferansiyel denklemin doğrudan çözümünden, operatörün belirli fonksiyon uzaylarında hangi özellikleri sağladığının incelenmesine taşınıyor.

Kuratowski kompakt olmama ölçüsü

Genel Banach uzayında klasik kompaktlık koşulları doğrudan kullanışlı olmayabilir. Kaynak bu nedenle sınırlı bir \(M\) kümesine, onu sonlu sayıda küçük çaplı kümeyle örtmek için gereken ölçeği temel alan bir kompakt olmama ölçüsü atıyor. Ölçünün sıfır olması ilgili kümenin kompakt olduğunu ifade eder. Darbo yaklaşımında amaç, çözüm operatörünün bu ölçüyü bir \(q<1\) katsayısıyla küçülttüğünü göstermektir.

Modelin uygulama bağlamı nasıl yorumlanmalı?

Kaynak, bu matematiksel sınıfı viskoelastisite, kontrol teorisi, iletim hatları ve sinir dinamikleri gibi bellek, gecikme veya öngörü etkileri içerebilen sistemlerle ilişkilendiriyor. Bununla birlikte çalışma bu alanlardan birinde gerçek deney verisi kullanmıyor ve belirli bir fiziksel sistem üzerinde saha doğrulaması yapmıyor. Dolayısıyla bu uygulamalar modelin matematiksel motivasyonlarıdır; çalışmanın doğrudan doğrulanmış mühendislik veya biyolojik performans sonuçları değildir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Çalışma çözümün varlığını ve tekliğini nasıl kuruyor?

Skaler problemde çözüm operatörünün uygun Lipschitz ve büyüme koşulları altında daralma olduğu gösterildiğinde Banach ilkesi tek çözüm verir; daha zayıf kompaktlık koşullarında Schauder en az bir çözüm sağlar, genel Banach uzayına geçildiğinde ise Darbo teoremi ve Kuratowski kompakt olmama ölçüsü kullanılarak en az bir çözüm elde edilir.

Skaler problemde teklik koşulu

Kaynağın H1–H6 varsayımları; \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ve \(\hbar_2\) için süreklilik, Lipschitz ve büyüme kontrolleri getiriyor. Teorem 4'te aşağıdaki nicel koşul merkezi rol oynuyor:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Sol taraftaki toplam, çözüm operatörünün toplam duyarlılığının bir üst sınırı gibi davranır. \(\lambda\), nötr terimin \(k^\rho\)'daki değişimlere hassasiyetini; \(\mu\), \(A\), \(A_1\) ve \(A_2\) ise \(F\)'nin farklı girdilerine bağlı Lipschitz katsayılarını; \(\delta_1\) ve \(\delta_2\) integral çekirdeklerinin çözüm değişkenine duyarlılığını temsil eder. Bu bütünleşik katsayı birden küçük olduğunda operatör daralmadır ve sabit nokta tektir.

Kaynağın skaler uygulamasında \(w=1/3\) ve \(w_1=1\) kullanılıyor. Verilen özel \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ve \(\hbar_2\) fonksiyonlarından elde edilen katsayılar teklik eşitsizliğine yerleştirildiğinde kaynak yaklaşık

\[ 0.1685<1 \]

değerini hesaplıyor. Bu sonuç, kaynakta tanımlanan Problem (16)–(18) için Teorem 4'ün yeterli koşulunun sağlandığını ve problemin tek çözüme sahip olduğunu gösteriyor.

Schauder ile varlık

Kaynak tekliği zorunlu kılmadan yalnız çözümün varlığını elde etmek için Schauder sabit nokta teoremine de başvuruyor. Burada çözüm operatörünün sürekliliği, uygun sınırlı-kapalı-konveks kümenin kendi içine gönderilmesi ve görüntünün eşsürekli/nispeten kompakt olması gösteriliyor. Sonuç, ilgili varsayımlar ve kaynakta verilen üst sınır koşulu altında problemin en az bir çözümü olduğudur. Schauder sonucu tekliği garanti etmez.

Genel Banach uzayına genişletme

Çalışmanın ikinci ana teorik adımı, skaler \(\mathbb{R}\) değerli problemden genel bir Banach uzayı \(E\)'ye geçmektir. Bu durumda çözüm \(k(\rho)\) artık bir reel sayı olmak zorunda değildir; Banach uzayındaki bir eleman olabilir. Kaynak, H7–H14 türü varsayımlar altında çözüm operatörünün sürekliliğini, uygun kümenin kendi içine gönderildiğini, eşsürekliliğini ve kompakt olmama ölçüsünü küçültme özelliğini kuruyor.

Teorem 6'nın temel koşulu kaynak notasyonuyla özetlendiğinde

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

şeklindedir. Bu eşitsizlik Darbo sabit nokta çerçevesinin gerekli küçültme özelliğini verir. Kaynakta \(\ell^1\) uzayında kurulan uygulamada hesaplanan değer yaklaşık

\[ 0.00422987<1 \]

olduğu için Problem (21)–(23) için en az bir çözüm bulunduğu sonucuna varılıyor.

Ulam–Hyers–Rassias kararlılığı neyi ifade eder?

Ulam–Hyers–Rassias kararlılığı, denklemi küçük ve kontrollü bir artık hatayla sağlayan yaklaşık bir çözümün, uygun varsayımlar altında gerçek bir çözüme yine kontrollü bir uzaklıkta kalmasını ifade eder; çalışma bu uzaklığı \(\varepsilon\) ve bir ağırlık fonksiyonu \(\Delta(\rho)\) ile sınırlar.

Kaynakta kararlılığın temel hedefi şu biçimdedir:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

burada \(k\) pertürbe edilmiş eşitsizliği sağlayan yaklaşık çözüm, \(\bar{k}\) özgün problemin çözümü ve \(\lambda_{F,\Delta}>0\) kaynak varsayımlarından türetilen kararlılık sabitidir. Bu sonuç, denklemde küçük bir artık hata bulunmasının çözümü kontrolsüz biçimde uzaklaştırmadığını matematiksel olarak sınırlar.

Teorem 7 ayrıca azalmayan bir \(\Delta\) fonksiyonu ve

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

koşulunu kullanır. Kaynak metinde Teorem 7'nin varsayımları arasında “condition (15)” ifadesi de bulunur. Banach uzayı bölümündeki sabitlerin notasyonu farklı olduğundan bu çapraz referans burada sessizce yeniden numaralandırılmamış veya düzeltilmemiştir.

Sayısal yöntem

Sayısal deneyler MATLAB R2023a ile yürütülüyor. Temperlenmiş Caputo türevi için L1 yaklaşımı kullanılıyor. Kaynak, \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) dönüşümünü klasik L1 ayrıklaştırmasına uygulayıp sonucu \(e^{-w_1\rho_k}\) ile temperliyor. Ağırlıklar

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

şeklinde tanımlanıyor. Yeterince düzgün \(f\) için kaynak, yerel kesme hatasının \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) mertebesinde olduğunu belirtiyor.

Volterra ve Fredholm integralleri Problem 1'de bileşik Simpson kuralıyla, \(\ell^1\) Banach uzayı probleminde ise trapez kuralıyla hesaplanıyor. Her iterasyonda kesirli türev, Volterra integrali, Fredholm integrali ve örtük \(F\) terimi güncelleniyor; ardından integral formülünden yeni çözüm yaklaşımı üretiliyor.

Problem 1: skaler sonlu-aralık örneği

Problem 1'de kesirli mertebe \(w=1/3\), temperleme parametresi \(w_1=1\), ana alan \([0,1]\) ve sayısal yakınsama toleransı \(10^{-6}\) olarak veriliyor. Ağ hassasiyetini değerlendirmek için \(N=1600\) çözümü referans çözüm olarak kullanılıyor.

Ampirik yakınsama mertebesi

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

ile hesaplanıyor. Ağ inceldikçe referans çözüme göre hata düzenli biçimde azalıyor ve son iki raporlanan adımda mertebe yaklaşık 1,44'e ulaşıyor.

Kaynakta tam analitik çözüm mevcut olmadığı için iterasyon tablosundaki “Maximum Error” gerçek çözüme göre hata değildir. Bu büyüklük

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

olarak, yani ardışık iki sabit nokta iterasyonunun farkı olarak tanımlanmıştır. Buna göre ilk altı raporlanan adımda değer 0.154327'den 0.000234'e düşmekte, ardışık hata oranı ise yaklaşık 0.273 düzeyinde kalmaktadır.

Yorum sınırı: Kaynak algoritmada \(10^{-6}\) toleransı belirtmesine rağmen altıncı raporlanan iterasyondaki fark \(2.34\times10^{-4}\)'tür. Bu nedenle tablo, altı adımda belirgin geometrik yakınsamayı ve yaklaşık 0.273 daralma davranışını gösterir; tablonun kendisi \(10^{-6}\) durdurma toleransına altıncı adımda ulaşıldığını göstermemektedir.

Kaynağın Şekil 1'i dört panelden oluşur: ağ yakınsaması, tüm çözüm profili, temperlenmiş kesirli türev ve Volterra–Fredholm integral katkıları. Verianla açısından bu şekil kaynak verileri kullanılarak özgün grafik düzeniyle yeniden çizilmeye uygundur; kaynak şeklin piksel veya tasarım kopyası gerekli değildir.

Problem 2: \(\ell^1\) Banach uzayı örneği

İkinci problem sonsuz boyutlu \(\ell^1\) dizi uzayında tanımlanıyor. Kesirli mertebe yine \(w=1/3\), fakat temperleme parametresi \(w_1=3\)'tür. Sayısal hesaplama sonsuz sayıda bileşeni doğrudan işleyemediği için sistem ilk \(M\) bileşene kırpılıyor.

Kaynak, bileşenlerin indeks büyüdükçe hızlı azalmasına dayanarak \(10^{-6}\) için konservatif kırpma seviyesinin \(M=1000\) olacağını belirtiyor. Buna karşın tablolar için hesaplama ve sunum kolaylığı amacıyla \(M=5\) kullanılmış; ayrıca \(M=20\) ve \(M=50\) hesaplarının önde gelen bileşenler ve \(\ell^1\) normu bakımından ayırt edilemez sonuçlar verdiği raporlanmıştır.

Bu problemde ilk üç bileşen kaynakta düzenli ölçeklenmiş bir yapı gösterir. Örneğin \(\rho=1\)'de \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) ve \(k_3=0.181070\) olarak raporlanır.

İlk altı iterasyon için ardışık çözüm farkı 0.142567'den 0.000217'ye düşerken raporlanan daralma oranı yaklaşık 0.273 çevresinde kalır. Problem 2'nin ağ yakınsama mertebesi yaklaşık 1.37'dir. Kaynak ayrıca \(w_1=3\) temperlemesinde kesirli türevin Problem 1'deki \(w_1=1\) durumuna göre daha hızlı azaldığını bildirir.

PDF'nin 32. sayfasındaki Şekil 2; ağ hatası ve 1.37 eğimi, ilk üç çözüm bileşeni, \(k_1\)'in temperlenmiş kesirli türevi ve \(\ell^1\) normunun \([0,1]\) boyunca değişimini birlikte gösterir.

İki problem birlikte ne gösteriyor?

Kaynak sayısal örneklerinde ağ inceldikçe referans çözüme göre hatanın azaldığını, sabit nokta iterasyonlarında benzer yaklaşık 0.273 daralma oranlarının ortaya çıktığını ve hem skaler hem \(\ell^1\) kurulumunda düzgün çözüm profilleri elde edildiğini gösteriyor. Problem 2'de daha büyük temperleme parametresi kesirli türev katkısının daha hızlı azalmasıyla ilişkilendiriliyor.

Çalışmanın desteklediği sonuç: Belirlenen süreklilik, Lipschitz, büyüme ve kompakt olmama koşulları altında bu denklem sınıfı için çözüm varlığı, belirli skaler koşullarda çözüm tekliği ve Ulam–Hyers–Rassias kararlılığı matematiksel olarak kurulabilir. Verilen özel örnekler ilgili yeterli koşulları sağlıyor; sayısal yöntemler de seçilen örneklerde düzenli yakınsama davranışı gösteriyor.

Çalışmanın desteklemediği sonuç: Çalışma, bütün örtük kesirli Volterra–Fredholm problemlerinin koşulsuz biçimde tek çözüme sahip olduğunu göstermez. Matematiksel yeterli koşullar ihlal edildiğinde aynı sonuç otomatik olarak geçerli değildir. Sayısal simülasyonlar sabit nokta teoremlerinin yerine geçen bağımsız matematiksel kanıt değildir. Ayrıca viskoelastik, biyolojik, sinirsel veya kontrol sistemlerinde gerçek saha performansı bu çalışmada deneysel olarak doğrulanmamıştır.

Kaynakta dikkat gerektiren iki raporlama noktası

Birinci nokta, Teorem 7'nin H7–H12 varsayımlarına ek olarak “condition (15)” ifadesine gönderme yapmasıdır. Kaynağın Banach-uzayı bölümünde ayrı sabit ve katsayı notasyonu bulunduğundan bu çapraz referans Verianla tarafından sessizce başka bir denklem numarasına dönüştürülmemiştir.

İkinci nokta, sayısal yöntem için \(10^{-6}\) toleransı belirtilirken kaynak tablolarının yalnız ilk altı iterasyonu göstermesi ve altıncı adımdaki ardışık iterasyon farklarının hâlâ yaklaşık \(2\times10^{-4}\) düzeyinde olmasıdır. Bu nedenle Verianla anlatımı, kaynakta ayrıca geçen “altı iterasyonda yakınsama” ifadesini \(10^{-6}\) toleransına altı iterasyonda ulaşıldığı şeklinde genişletmez.

Gelecek çalışma yönleri

Kaynak, gelecek araştırmalar için daha özel sayısal algoritmaların geliştirilmesini, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard veya Katugampola türü başka kesirli operatörlere genişletmeyi, optimal kontrol problemlerini, belirli fiziksel-biyolojik-mühendislik-ekonomi modellerine uygulamaları, stokastik pertürbasyonları ve birbirine bağlı denklem sistemlerini önermektedir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Yazarlar: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Kurumlar: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Dergi: Mathematics.

Yayınevi: MDPI.

Bibliyografik kayıt: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Gönderim: 4 Ocak 2026. Revizyon: 24 Ocak 2026. Kabul: 26 Ocak 2026. Yayın: 29 Ocak 2026.

Kaynak türü: Hakemli akademik araştırma makalesi; teorik matematiksel analiz, yapısal örnekler ve sayısal simülasyonlar içerir.

Lisans: Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla metni kaynak makalenin cümlelerini veya şekil tasarımını yeniden yayımlamak yerine, bilimsel olgu, denklem, yöntem, sonuç ve sınırlılıkları bağımsız öğretici anlatımla yeniden yapılandırmıştır.

Finansman: Çalışma, King Faisal University bünyesindeki Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research tarafından KFU260481 numaralı hibe ile desteklenmiştir.

Veri erişilebilirliği: Yazarlar çalışmanın özgün katkılarının makale içinde bulunduğunu, ek soruların corresponding author'lara yöneltilebileceğini belirtmektedir.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması bildirmemiştir.

Yazar katkıları: Abdulrahman A. Sharif kavramsallaştırma, metodoloji ve ilk taslak yazımını; Muath Awadalla inceleme ve düzenlemeyi üstlenmiştir. Teorik inceleme ve biçimsel analiz iki yazar tarafından gerçekleştirilmiştir.

Yöntemsel sınır: Sonuçlar kaynakta tanımlanan yeterli matematiksel varsayımlara bağlıdır. Sayısal bölüm iki özel problem üzerinde çalışır ve gerçek dünya saha doğrulaması değildir. \(\ell^1\) örneğinin hesaplaması sonsuz boyutlu uzayın sonlu bileşenlere kırpılmasıyla gerçekleştirilmiştir.

Sayısal raporlama sınırı: Kaynakta \(10^{-6}\) iterasyon toleransı belirtilmesine karşın yayımlanan altı-adımlık tablolarda son ardışık iterasyon farkları bu eşikten büyüktür. Bu nedenle Verianla, kaynakta görülen geometrik daralma davranışını aktarır fakat altı iterasyonda \(10^{-6}\) toleransına erişildiği sonucunu bağımsız biçimde üretmez.

Görsel yeniden çizim uygunluğu: Uygun. Kaynağın Tablo 1–7 verilerinden tamamen yeni Verianla grafik kompozisyonları hazırlanabilir. PDF'nin Şekil 1 ve Şekil 2'sinin bilimsel mesajı yeniden çizilebilir; özgün şekil yerleşimini kopyalamaya ihtiyaç yoktur.

Verianla Live / Live Figure uygunluğu: Kısmen uygun. Sabit nokta iterasyonundaki hata azalması, ağ yakınsaması ve \(\ell^1\) normunun değişimi kaynak verileri değiştirilmeden oynat/duraklat/yeniden başlat biçiminde sunulabilir. Kullanıcıya \(w\), \(w_1\), tolerans veya diğer bilimsel parametreleri değiştirip yeni sonuç üretme kontrolü verilmemelidir.