Utafiti huu unachunguza prototaipu ya uonyeshaji wa kisayansi wa kikokotozi iliyotengenezwa ili kuonyesha jiometri ya pande tatu na viambajengo sehemu vya kazi za hisabati zenye vigeu viwili ndani ya mazingira yale yale ya ukokotoaji ya MATLAB. Mfumo unaunganisha ufafanuzi wa kazi kwa alama, ukokotoaji wa kiuchanganuzi wa viambajengo sehemu, tathmini ya kazi kwenye gridi ya namba iliyo sawa na uundaji wa grafu za pande tatu katika mtiririko mmoja wa kazi. Katika chanzo, paraboloidi hiperboliki \(z=x^2-y^2\) imetumika kama mfano mkuu; viambajengo sehemu \(f_x=2x\) na \(f_y=-2y\) vimehusishwa na MATLAB Symbolic Math Toolbox, na vipengele hivi vya viambajengo vimeonyeshwa kwa kutumia `quiver3` kama uga wa vekta juu ya uso.

Lengo kuu la utafiti si kuunda mbinu mpya ya kupata kiambajengo, bali kujenga daraja la kikokotozi kati ya hisabati ya alama na tafsiri ya kijiometri. Kwenye eneo la namba lililoundwa kwa kazi ya `meshgrid`, kazi ya `surf` huunda uso wa tandiko, huku `quiver3` ikizalisha mishale inayowakilisha mielekeo ya mabadiliko. Hivyo, tabia ya uso inayoongezeka katika mwelekeo wa x na kubadilika kwa mwelekeo wa kinyume katika mwelekeo wa y inaweza kuchunguzwa katika mazingira yale yale ya pande tatu. Hata hivyo, ufanisi wa kielimu wa mfumo haujapimwa kwa majaribio kwa sampuli ya wanafunzi; hitimisho kuhusu ujifunzaji linapaswa kutathminiwa tu kama eneo linalowezekana la matumizi.

Kiambajengo Sehemu cha Kazi Yenye Vigeu Vingi Kinaeleza Nini Kijiometri?

Katika kazi yenye vigeu viwili:

\[ z=f(x,y) \]

vigeu huru \(x\) na \(y\) huainisha mielekeo miwili tofauti ya uso uleule. Kati ya viambajengo sehemu:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

huonyesha kiwango cha mabadiliko ya eneo katika mwelekeo wa x wakati y inashikiliwa kuwa thabiti; kiambajengo kingine:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

huonyesha kiwango cha mabadiliko ya eneo katika mwelekeo wa y wakati x inashikiliwa kuwa thabiti.

Vipengele hivi viwili kwa pamoja huunda:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

muundo wa gradienti. Gradienti ni muundo wa msingi wa tofauti unaofafanua mwelekeo wa ongezeko la haraka zaidi na ukubwa wa mabadiliko ya eneo ya kazi katika tambarare ya ingizo.

Kwa nini z=x²−y² ilichaguliwa katika utafiti?

Chanzo kinachagua kazi ya benchmark:

\[ z=x^2-y^2 \]

kama mfano.

Kazi hii ni paraboloidi hiperboliki ya kawaida, yaani uso wa tandiko. Sifa kuu ya jiometri yake ni kupinda kwa mielekeo inayokinzana katika pande za x na y.

Katika mwelekeo wa x, wakati \(y=0\) inachaguliwa:

\[ z=x^2 \]

hupatikana. Hii ni parabola inayofunguka kuelekea juu.

Katika mwelekeo wa y, wakati \(x=0\) inachaguliwa:

\[ z=-y^2 \]

hupatikana. Hii ni parabola inayofunguka kuelekea chini.

Kwa kuwa tabia hizi mbili zinazokinzana hukutana katika sehemu ileile:

\[ (0,0,0) \]

ni nukta ya tandiko.

Matokeo ya kiuchanganuzi ya viambajengo sehemu

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

kwa:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

na:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

hupatikana.

Kwa hiyo gradienti ni:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

kwa umbo hili.

Matokeo haya yanaonyesha kwamba mwelekeo wa mabadiliko katika maeneo tofauti ya uso unategemea mahali. Kadiri thamani kamili ya uratibu wa x inavyoongezeka, ukubwa wa mabadiliko katika mwelekeo wa x huongezeka, huku kipengele cha mwelekeo wa y kikionyesha tabia ya kinyume kwa sababu ya ishara \(−2y\).

MATLAB Inaunganishaje Kiambajengo cha Alama na Grafu ya 3D?

Katika utafiti, MATLAB inachukuliwa kama tabaka nne za ukokotoaji zinazohusiana: uchakataji wa alama, ugawaji wa namba katika hatua, uundaji wa uga wa vekta na uonyeshaji wa pande tatu. Kazi hufafanuliwa kwanza kwa alama, kisha viambajengo vyake sehemu huhesabiwa, misemo hii hubadilishwa kuwa thamani za namba kwenye gridi ya kawaida ya \(x-y\), na hatimaye uso pamoja na uga wa viambajengo huonyeshwa katika mazingira yale yale ya grafu.

1. Tabaka la uchakataji wa alama

Msimbo katika Appendix A ni:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

kwa namna hii.

`syms x y` hufafanua \(x\) na \(y\) kama vigeu vya alama. Kazi ya `diff` huhesabu viambajengo sehemu vya kiuchanganuzi vya kazi.

2. Tabaka la ugawaji wa namba

Katika msimbo wa chanzo:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

hutumika.

Kwa hiyo maeneo ya x na y yote mawili yako:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

katika masafa haya na:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

huchukuliwa sampuli kwa hatua hiyo.

Thamani za kazi:

z = xg.^2 - yg.^2;

.

3. Tathmini ya namba ya uga wa viambajengo

Matokeo ya kiuchanganuzi yametathminiwa moja kwa moja kwenye mesh kama:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

.

Kwa hiyo katika kila nukta ya grid iliyohesabiwa, vipengele viwili vya mabadiliko vinajulikana:

\[ (2x,-2y). \]

4. Tabaka la uonyeshaji

Uso huundwa kwa:

surf(xg, yg, z);

.

Chanzo pia hutumia:

colormap jet;
shading interp;

ili kuonyesha uso kwa gradieni ya rangi na uwekaji kivuli uliokadiriwa kati ya pointi.

Mishale Katika Grafu ya Quiver3 Inaonyesha Nini Hasa?

Katika msimbo wa chanzo, mwito wa `quiver3` hutumia viambajengo sehemu vya \(x\) na \(y\) kama vipengele vya mlalo vya mishale na kuweka kipengele cha tatu cha vekta kuwa sifuri. Kwa hiyo mishale ina umbo \((2x,-2y,0)\) na haiwakilishi vekta ya kawaida ya 3D ya uso; badala yake huonyesha vipengele vya gradienti ya vigeu viwili vilivyowekwa katika kimo cha uso.

Amri katika Appendix A ni:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

.

Matrisi tatu za kwanza huainisha viwianishi vya kuanzia vya mishale:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

.

Matrisi tatu zinazofuata huainisha mielekeo ya mishale kama:

\[ (2x,-2y,0) \]

.

Tofauti hii ni muhimu. Uonyeshaji huu hauhesabu moja kwa moja:

• vektor za kawaida za uso,
• tambarare za mguso,
• gradienti ya kawaida katika nafasi ya 3D

.

Badala yake, unaweka muundo wa viambajengo wa kazi yenye vigeu viwili kutoka tambarare ya ingizo juu ya uso na kuufanya uonekane.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Tabaka nne za usanifu wa mfumo

Algoriti ya ukokotoaji iliyotolewa katika chanzo

Mfuatano wa hatua katika sehemu ya Algorithm 1 ya makala ni:

1. Kufafanua vigeu vya alama \(x,y\).
2. Kuunda kazi \(f(x,y)\).
3. Kuhesabu kwa alama viambajengo sehemu \(f_x\) na \(f_y\).
4. Kuunda domain ya namba kwa `meshgrid`.
5. Kuzalisha matrisi ya uso \(Z\) kutoka thamani za kazi.
6. Kutathmini maeneo ya viambajengo kwenye grid ileile.
7. Kukagua ulinganifu kati ya tabia ya alama na ya namba.
8. Kuunda uso kwa `surf`.
9. Kuongeza vekta za viambajengo kwa `quiver3`.
10. Kuonyesha uonyeshaji uliounganishwa.

Kielelezo 1: uso wa tandiko

Kielelezo 1 cha chanzo kinaonyesha uso ulioundwa kwenye skrini ya MATLAB:

\[ z=x^2-y^2 \]

.

Uso hupinda juu katika mwelekeo wa x na chini katika mwelekeo wa y. Chanzo kinatafsiri tabia hii kama:

• mkunjo chanya katika mwelekeo wa x,
• mkunjo hasi katika mwelekeo wa y,
• nukta ya tandiko kwenye asili

.

Kielelezo 2: uga wa vekta za viambajengo sehemu

Katika Kielelezo 2 cha chanzo, uga wa vekta unaonyeshwa peke yake.

Kipengele cha x ni:

\[ 2x \]

kwa hiyo kipengele cha vekta katika mwelekeo wa x huongezeka kwa mstari pamoja na uratibu wa x.

Kipengele cha y ni:

\[ -2y \]

kwa hiyo mwelekeo wa vekta hubadilika kuwa kinyume ishara ya y inapobadilika.

Chanzo kinasema kuwa uga wa vekta unaonyesha ulinganifu wa kiuchanganuzi unaotarajiwa kuzunguka mihimili yote miwili ya viwianishi.

Kielelezo 3: uso na uga wa viambajengo uliounganishwa

Toleo kuu la mwisho ni kuweka miundo ya `surf` na `quiver3` juu ya nyingine katika figura moja:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Katika picha hii, uso wa tandiko wenye rangi unaonyesha muundo wa kijiometri, huku mishale ikionyesha vipengele vya mabadiliko ya viambajengo katika nafasi ileile ya viwianishi.

Ukaguzi wa ulinganifu wa alama na namba

Chanzo kinaelezea utaratibu wa uthibitishaji wa hatua mbili:

• kulinganisha viambajengo vya alama na mwelekeo wa uso wa namba,
• kukagua kijiometri mielekeo ya vekta kwa maeneo ya uso yanayoongezeka na kupungua.

Katika sehemu ya matokeo, imeelezwa kuwa viambajengo vya alama vinaendana na mteremko wa uso, mielekeo ya vekta inafuata mielekeo ya namba, na hakuna kutokulingana kwa ukokotoaji kulikobainika katika eneo lililojaribiwa.

Hata hivyo, chanzo hakiripoti kipimo cha kiasi cha kosa. Katika msimbo wa Appendix A pia hakuna hesabu tofauti ya kiambajengo kwa finite-difference wala matrisi ya kosa. Kwa hiyo uthibitishaji uko zaidi katika kiwango cha ukaguzi wa ulinganifu wa ndani kati ya matokeo ya kiuchanganuzi na tabia ya grafu.

Tatizo la uzalishwaji upya kwa upande wa toleo la MATLAB

Makala kuripoti matoleo matatu tofauti ya MATLAB kwa mfumo uleule ni kutokulingana kwa metadata/mbinu ndani ya chanzo.

Hata hivyo, kwa sababu msimbo uliochapishwa unategemea kazi za msingi sana za MATLAB na Symbolic Math Toolbox, ni wazi ni amri zipi zinazotumiwa katika muundo wa mbinu. Verianla haitumii uchunguzi huu kudhani kwamba toleo lolote ni “toleo sahihi kwa uhakika”.

Je, Mfumo Huu wa MATLAB Ni wa Wakati Halisi na Unaingilika Kweli?

Chanzo kinaelezea mfumo kwa maneno “dynamic”, “interactive” na katika baadhi ya sehemu “real-time visualization”. Msimbo uliochapishwa, hata hivyo, huzalisha figura za kawaida za MATLAB zinazounda uso, uga wa vekta na mwonekano uliounganishwa; hakuna kiolesura maalum cha grafu, slider ya parameta, kazi ya callback, mzunguko wa uhuishaji wala ingizo la data la wakati halisi katika Appendix A. Kwa hiyo matumizi ya mwingiliano katika muktadha wa chanzo yanapaswa kueleweka kama uchunguzi wa kuona wa pande tatu katika mazingira ya grafu ya MATLAB.

Faida ya uzalishwaji upya wa msimbo wa chanzo

Utafiti hauhitaji seti ya data ya nje.

Vipengele vya msingi vinavyohitajika ni:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• `meshgrid` iliyojengewa ndani,
• `surf`,
• `quiver3`

.

Appendix A huchapisha msimbo unaoweza kuendeshwa kwa mfano uliotumika katika utafiti. Hii ni mojawapo ya sifa zake zenye nguvu zaidi za kimethodolojia kwa upande wa kutengeneza upya grafu.

Upeo wa modeli

Matokeo ya kina yamewasilishwa tu kupitia kazi:

\[ z=x^2-y^2 \]

.

Kwa hiyo makundi yafuatayo ya kazi hayajafanyiwa benchmark tofauti katika utafiti huu:

• kazi zisizo endelevu,
• kazi zenye singularity,
• nyuso zenye osilasheni ya juu sana,
• kazi za vipande,
• nyuga skala za vipimo vya juu zaidi.

Chanzo pia kinasema kwamba utendaji katika kazi ngumu zaidi za nonlinear au discontinuous bado haujatathminiwa.

Je, Utafiti Huu Unathibitisha Kwamba Uonyeshaji wa MATLAB Huboresha Ujifunzaji?

Hapana. Hakuna wanafunzi au walimu waliohusishwa kama washiriki katika makala; hakuna kundi la udhibiti, mtihani wa mafanikio, kipimo cha mtazamo wala upimaji wa matokeo ya ujifunzaji uliofanywa. Utafiti unatathmini tu muundo wa kihisabati na kikokotozi wa programu ya uonyeshaji. Kwa hiyo mtazamo kwamba mfumo wa kuona unaweza kusaidia kujifunza kalkulasi yenye vigeu vingi ni hitimisho la kinadharia na lenye uwezekano wa kielimu, si athari ya ujifunzaji iliyothibitishwa kwa majaribio.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Ndani ya MATLAB, kiambajengo cha alama na grafu ya pande tatu vinaweza kuunganishwa katika mtiririko mmoja wa ukokotoaji.
• Jiometri ya tandiko ya kazi \(z=x^2-y^2\) inaonyeshwa kwa muundo sahihi wa kimaelezo kwa `surf`.
• Viambajengo sehemu vya kiuchanganuzi huhesabiwa kuwa \(2x\) na \(−2y\).
• Vipengele hivi vya viambajengo vinaweza kuonyeshwa kama uga wa vekta kwa kutumia `quiver3`.
• Uso na vekta za viambajengo vinaweza kuunganishwa katika figura moja ya MATLAB.
• Hakuna seti ya data ya nje au maktaba ya MATLAB ya upande wa tatu inayohitajika.
• Msimbo wa programu ya mfano umetolewa katika sehemu ya Appendix A ya makala.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono

• Kwamba mfumo huongeza mafanikio ya wanafunzi katika mitihani.
• Kwamba mfumo ni bora zaidi kitakwimu kuliko ufundishaji wa kawaida.
• Kwamba umethibitishwa kwa kazi zote zenye vigeu vingi.
• Kwamba GUI ya wakati halisi au kiolesura maalum cha mtumiaji kinachodhibitiwa kwa parameta kimetengenezwa.
• Kwamba thamani za kiasi za kosa la alama na namba zimehesabiwa.
• Kwamba mishale ya Quiver3 inawakilisha vekta za kawaida za uso.
• Kwamba mfumo unaonyesha usahihi na utendaji uleule kwa kazi ngumu au zisizo endelevu.

Utafiti wa baadaye

Waandishi wanapendekeza kupanua mfumo hadi miundo ya juu zaidi. Hii inajumuisha:

• kazi ngumu zaidi za hisabati,
• nyuga za vekta za vipimo vya juu zaidi,
• manifoldi za tofauti,
• violezo vya mwingiliano wa mtumiaji wa wakati halisi,
• kupima ufanisi wa kielimu kupitia majaribio ya wanafunzi yaliyodhibitiwa

.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asilia: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Kichwa cha Kituruki: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Waandishi: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Mwandishi wa mawasiliano: Ali Türkoğlu.

Uhusiano 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Uhusiano 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Jarida: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Juzuu / Toleo: 4(1).

Kurasa: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Iliwasilishwa: 10 Aprili 2026.

Ilikubaliwa: 31 Mei 2026.

Ilichapishwa: 30 Juni 2026.

Aina ya makala: Research Article.

Mchapishaji: Ardahan University.

Mapitio ya kitaalamu: JSAT inasema kwamba inatumia sera ya mapitio ya kitaalamu ya upofu-mbili na kwamba makala hupitiwa na angalau wakaguzi wawili.

Ufikiaji wazi: Journal of Studies in Advanced Technologies ni jarida la kisayansi la ufikiaji wazi.

Leseni: Taarifa ya sasa ya jarida inaonyesha leseni ya Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).

Muundo mkuu wa utafiti: Computational scientific tool development / prototaipu ya programu ya uonyeshaji wa kisayansi.

Kazi ya benchmark: \(z=x^2-y^2\).

Viambajengo sehemu: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Eneo la namba: kwa x na y kutoka −2 hadi +2, hatua ya grid 0.1.

Zana kuu za MATLAB: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 na MATLAB Graphics Engine.

Matokeo ya kuona: uso wa tandiko wa 3D, uga wa vekta za viambajengo na grafu iliyounganishwa ya uso-vektor.

Tafsiri ya Quiver3: Msimbo uliochapishwa hutumia vipengele vya vekta kama \((f_x,f_y,0)\); kwa hiyo mishale si uga kamili wa kawaida wa uso wa 3D.

Uzalishwaji upya: Msimbo wa programu umetolewa katika Appendix A na hauhitaji seti ya data ya nje wala maktaba ya upande wa tatu.

Kutokulingana kwa toleo la MATLAB: Chanzo kinaripoti R2023b katika Abstract, R2026a katika sehemu ya Methods, R2023b katika sehemu ya Reproducibility na R2023a katika Appendix A.

Kikomo cha uthibitishaji: Chanzo kinaripoti ukaguzi wa ulinganifu wa alama-namba na kijiometri; hata hivyo, hakuna normu ya kiasi ya kosa wala jedwali la kulinganisha finite-difference katika matokeo yaliyochapishwa.

Kikomo cha mwingiliano: Chanzo kinatumia maneno “interactive/dynamic/real-time”; hakuna GUI maalum, callback wala utaratibu wa uhuishaji katika msimbo uliochapishwa wa Appendix A.

Uthibitishaji wa kielimu: Hakuna. Hakuna washiriki wa kibinadamu wala jaribio la mafanikio ya ujifunzaji lililofanywa.

Kamati ya maadili: Rekodi rasmi ya makala inaonyesha kwamba utafiti haukuhitaji idhini ya kamati ya maadili.

Ufadhili: Kwa mujibu wa rekodi rasmi ya makala, utafiti haukufadhiliwa na taasisi yoyote.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wanaripoti kwamba hakuna mgongano wa maslahi.

Michango ya waandishi: Ali Türkoğlu — rasimu ya kwanza, metodolojia, utafiti, uchanganuzi rasmi na uhifadhi/uratibu wa data; Yasin Soylu — mapitio/uhariri, metodolojia, ubainishaji na usimamizi.

Matumizi ya data: Utafiti hautegemei seti ya data ya nje; thamani za kazi huhesabiwa ndani ya MATLAB.