Бул изилдөө эки өзгөрмөлүү математикалык функциялардын үч өлчөмдүү геометриясын жана жарым-жартылай туундуларын бир эле MATLAB эсептөө чөйрөсүндө визуалдаштыруу үчүн иштелип чыккан эсептөөчү илимий визуалдаштыруу прототибин карайт. Система символдук функция аныктамасын, аналитикалык жарым-жартылай туунду эсептөөнү, үзгүлтүксүз сандык тордо функцияны баалоону жана үч өлчөмдүү график түзүүнү бирдиктүү иш агымында бириктирет. Булакта негизги мисал катары \(z=x^2-y^2\) гиперболалык параболоиди колдонулган; \(f_x=2x\) жана \(f_y=-2y\) жарым-жартылай туундулары MATLAB Symbolic Math Toolbox менен байланыштырылып, бул туунду компоненттери `quiver3` аркылуу беттин үстүндө вектордук талаа түрүндө көрсөтүлгөн.

Изилдөөнүн негизги максаты жаңы туунду алуу ыкмасын иштеп чыгуу эмес, символдук математика менен геометриялык түшүндүрмөнүн ортосунда эсептөөчү көпүрө түзүү болуп саналат. `meshgrid` функциясы менен түзүлгөн сандык аймакта `surf` функциясы ээр бетин, ал эми `quiver3` өзгөрүү багыттарын көрсөткөн жебелерди түзөт. Ушундайча x багытында өсүп, y багытында тескери багытта өзгөргөн беттин жүрүм-турумун бир эле үч өлчөмдүү чөйрөдө изилдөөгө болот. Бирок системанын билим берүүчү натыйжалуулугу студенттердин үлгүсүндө эксперименталдык түрдө өлчөнгөн эмес; үйрөнүүгө байланыштуу тыянактар мүмкүн болгон колдонуу чөйрөсү катары гана бааланууга тийиш.

Көп Өзгөрмөлүү Функциянын Жарым-жартылай Туундусу Геометриялык Жактан Эмнени Түшүндүрөт?

Эки өзгөрмөлүү:

\[ z=f(x,y) \]

функциясында \(x\) жана \(y\) көз карандысыз өзгөрмөлөр бир эле беттин эки башка багытын аныктайт. Жарым-жартылай туундулардын ичинен:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

y туруктуу кармалганда x багытындагы жергиликтүү өзгөрүү ылдамдыгын; ал эми башка туунду:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

x туруктуу кармалганда y багытындагы жергиликтүү өзгөрүү ылдамдыгын билдирет.

Бул эки компонент бирге:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

градиент түзүмүн пайда кылат. Градиент функциянын кириш тегиздигинде эң тез өсүү багытын жана жергиликтүү өзгөрүүнүн чоңдугун аныктаган негизги дифференциалдык түзүм болуп саналат.

Изилдөөдө эмне үчүн z=x²−y² тандалган?

Булак benchmark функциясын:

\[ z=x^2-y^2 \]

түрүндө тандайт.

Бул функция классикалык гиперболалык параболоид, башкача айтканда ээр бети. Геометриянын негизги өзгөчөлүгү x жана y багыттарында бири-бирине карама-каршы ийилишинде.

x багытында, \(y=0\) тандалганда:

\[ z=x^2 \]

алынат. Бул жогору карай ачылган парабола.

y багытында, \(x=0\) тандалганда:

\[ z=-y^2 \]

алынат. Бул болсо ылдый карай ачылган парабола.

Бул эки карама-каршы жүрүм-турум бир эле чекитте кесилишкендиктен:

\[ (0,0,0) \]

чекити ээр чекити болуп саналат.

Жарым-жартылай туундулардын аналитикалык жыйынтыгы

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

үчүн:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

жана:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

алынат.

Демек, градиент:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

түрүндө болот.

Бул жыйынтык беттин ар башка аймактарындагы өзгөрүү багыты жайгашкан жерге көз каранды экенин көрсөтөт. x координатасынын абсолюттук мааниси өскөн сайын x багытындагы өзгөрүүнүн чоңдугу өсөт, ал эми y багытындагы компонент \(−2y\) белгисинен улам карама-каршы багытта жүрөт.

MATLAB Символдук Туундуну 3D График Менен Кантип Бириктирет?

Изилдөөдө MATLAB өз ара байланышкан төрт эсептөө катмары катары каралат: символдук иштетүү, сандык дискреттештирүү, вектордук талааны түзүү жана үч өлчөмдүү визуалдаштыруу. Функция адегенде символдук түрдө аныкталат, андан соң анын жарым-жартылай туундулары эсептелет, бул туюнтмалар үзгүлтүксүз \(x-y\) торунда сандык маанилерге айландырылат жана акырында бет менен туунду талаасы бир эле графикалык чөйрөдө көрсөтүлөт.

1. Символдук иштетүү катмары

Appendix A'дагы код:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

түрүндө берилген.

`syms x y`, \(x\) жана \(y\)-ни символдук өзгөрмөлөр катары аныктайт. `diff` функциясы болсо функциянын аналитикалык жарым-жартылай туундуларын эсептейт.

2. Сандык дискреттештирүү катмары

Булак кодунда:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

колдонулат.

Демек, x жана y аймактарынын экөө тең:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

аралыгында жана:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

кадамы менен үлгүлөнөт.

Функциянын маанилери:

z = xg.^2 - yg.^2;

менен эсептелет.

3. Туунду талаасын сандык баалоо

Аналитикалык жыйынтыктар түздөн-түз mesh үстүндө:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

түрүндө бааланган.

Ошондуктан эсептелген ар бир grid чекитинде өзгөрүүнүн эки компоненти белгилүү:

\[ (2x,-2y). \]

4. Визуалдаштыруу катмары

Бет:

surf(xg, yg, z);

аркылуу түзүлөт.

Булак ошондой эле:

colormap jet;
shading interp;

буйруктарын колдонуп, бетти түстүү градиент жана интерполяцияланган көлөкөлөө менен көрсөтөт.

Quiver3 Графигиндеги Жебелер Так Эмнени Көрсөтөт?

Булак кодунда `quiver3` чакыруусу \(x\) жана \(y\) жарым-жартылай туундуларын жебелердин горизонталдык компоненттери катары колдонот, ал эми үчүнчү вектордук компонентти нөлгө теңейт. Ошондуктан жебелер \((2x,-2y,0)\) түрүндө болуп, беттин 3D нормал векторун эмес, эки өзгөрмөлүү градиенттин компоненттерин беттин бийиктигине жайгаштырылган түрдө көрсөтөт.

Appendix A'дагы буйрук:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

түрүндө.

Алгачкы үч матрица жебелердин баштапкы координаталарын:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

аныктайт.

Кийинки үч матрица болсо жебелердин багыттарын:

\[ (2x,-2y,0) \]

түрүндө аныктайт.

Бул айырма маанилүү. Визуал:

• беттин нормалдарын,
• тийишме тегиздиктерди,
• 3D мейкиндиктеги нормал градиентти

түздөн-түз эсептебейт.

Анын ордуна эки өзгөрмөлүү функциянын кириш тегиздигиндеги туунду түзүмүн беттин үстүнө жайгаштырып, аны визуалдык түргө келтирет.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Система архитектурасынын төрт катмары

Булакта берилген эсептөө алгоритми

Макаланын Algorithm 1 бөлүмүндөгү иш-аракеттердин ирети:

1. Символдук \(x,y\) өзгөрмөлөрүн аныктоо.
2. \(f(x,y)\) функциясын түзүү.
3. \(f_x\) жана \(f_y\) жарым-жартылай туундуларын символдук эсептөө.
4. `meshgrid` менен сандык domain түзүү.
5. Функциянын маанилеринен \(Z\) беттик матрицасын түзүү.
6. Туунду талааларын ошол эле grid үстүндө баалоо.
7. Символдук жана сандык жүрүм-турумдун ортосундагы шайкештикти текшерүү.
8. `surf` менен бетти түзүү.
9. `quiver3` менен туунду векторлорун кошуу.
10. Бириктирилген визуалдаштырууну көрсөтүү.

1-сүрөт: ээр бети

Булактагы 1-сүрөт MATLAB экранында түзүлгөн:

\[ z=x^2-y^2 \]

бетин көрсөтөт.

Бет x багытында жогору, y багытында ылдый ийилет. Булак бул жүрүм-турумду:

• x багытында оң ийрилик,
• y багытында терс ийрилик,
• башталыш чекитинде ээр чекити

катары чечмелейт.

2-сүрөт: жарым-жартылай туунду вектордук талаасы

Булактагы 2-сүрөттө вектордук талаа өзүнчө көрсөтүлөт.

x компоненти:

\[ 2x \]

болгондуктан, векторлордун x багытындагы компоненти x координатасы менен сызыктуу түрдө өсөт.

y компоненти:

\[ -2y \]

болгондуктан, y белгиси өзгөргөндө вектордун багыты тескерисине бурулат.

Булак вектордук талаа эки координаталык огунун айланасында күтүлгөн аналитикалык симметрияны көрсөтөрүн билдирет.

3-сүрөт: бириктирилген бет жана туунду талаасы

Акыркы негизги чыгыш `surf` жана `quiver3` түзүмдөрүнүн бир эле фигурада үстү-үстүнө жайгаштырылышы:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Бул сүрөттө түстүү ээр бети геометриялык түзүмдү, ал эми жебелер туундулардын өзгөрүү компоненттерин бир эле координаталык мейкиндикте көрсөтөт.

Символдук-сандык шайкештикти текшерүү

Булак эки баскычтуу текшерүү процедурасын сүрөттөйт:

• символдук туундуларды сандык беттин ылдый-жогору багыты менен салыштыруу,
• вектор багыттарын өсүүчү жана азаюучу бет аймактары менен геометриялык жактан текшерүү.

Жыйынтык бөлүмүндө символдук туундулар беттин ылдый-жогору багыты менен шайкеш экендиги, вектор багыттары сандык тенденцияларды ээрчигени жана сыноодон өткөрүлгөн аймакта эсептөөдө карама-каршылык байкалбаганы айтылат.

Бирок булак сандык ката өлчөмүн билдирбейт. Appendix A кодунда өзүнчө finite-difference туунду эсептөөсү же ката матрицасы да жок. Ошондуктан текшерүү негизинен аналитикалык жыйынтык менен графикалык жүрүм-турумдун ортосундагы ички шайкештикти текшерүү деңгээлинде.

MATLAB версиясы жагынан кайра өндүрүлүү көйгөйү

Макаланын бир эле система үчүн үч башка MATLAB версиясын билдириши булак ичиндеги metadata/ыкма карама-каршылыгы болуп саналат.

Ошентсе да жарыяланган код абдан негизги MATLAB жана Symbolic Math Toolbox функцияларына таянгандыктан, ыкма түзүмүндө кайсы буйруктар колдонулганы ачык. Verianla ушул байкоого таянып, кандайдыр бир версияны “так туура версия” деп кабыл албайт.

Бул MATLAB Системасы Чынында Реалдуу Убакытта жана Интерактивдүүбү?

Булак системаны “dynamic”, “interactive” жана айрым бөлүмдөрдө “real-time visualization” деген сөздөр менен сүрөттөйт. Жарыяланган код болсо бетти, вектордук талааны жана бириктирилген көрүнүштү түзгөн стандарттуу MATLAB фигураларын чыгарат; Appendix A'да атайын графикалык интерфейс, параметр slider-и, callback функциясы, анимация цикли же реалдуу убакыттагы маалымат киргизүү жок. Ошондуктан булак контекстиндеги интерактивдүү колдонуу MATLAB графикалык чөйрөсүндө үч өлчөмдүү визуалдык изилдөө катары түшүнүлүүгө тийиш.

Булак кодунун кайра өндүрүлүү артыкчылыгы

Изилдөө тышкы маалымат топтомун талап кылбайт.

Керектүү негизги элементтер:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• ички `meshgrid`,
• `surf`,
• `quiver3`

функциялары болуп саналат.

Appendix A изилдөөдө колдонулган мисал үчүн аткарылуучу кодду жарыялайт. Бул графиктерди кайра түзүү жагынан изилдөөнүн эң күчтүү методологиялык өзгөчөлүктөрүнүн бири.

Моделдин камтуу чеги

Кеңири жыйынтыктар бир гана:

\[ z=x^2-y^2 \]

функциясы аркылуу берилген.

Демек, төмөнкү функция класстары учурдагы изилдөөдө өзүнчө benchmark кылынган эмес:

• үзгүлтүктүү функциялар,
• сингулярдуулукту камтыган функциялар,
• өтө жогорку осцилляциялуу беттер,
• бөлүктүү функциялар,
• жогорку өлчөмдүү скалярдык талаалар.

Булак дагы татаалыраак nonlinear же discontinuous функциялардагы натыйжалуулук азырынча бааланбаганын билдирет.

Бул Изилдөө MATLAB Визуалдаштыруу Үйрөнүүнү Жакшыртарын Далилдейби?

Жок. Макалада студент же мугалим катышуучулар жок; контролдук топ, жетишкендик тести, мамиле шкаласы же үйрөнүү натыйжасын өлчөө жүргүзүлгөн эмес. Изилдөө визуалдаштыруу программасынын математикалык жана эсептөөчү түзүмүн гана баалайт. Ошондуктан визуалдык система көп өзгөрмөлүү калькулусту үйрөнүүнү колдошу мүмкүн деген пикир теориялык жана потенциалдуу билим берүүчү тыянак болуп саналат, эксперименталдык түрдө тастыкталган үйрөнүү таасири эмес.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• MATLAB ичинде символдук туунду менен үч өлчөмдүү график бир эле эсептөө агымында бириктириле алат.
• \(z=x^2-y^2\) функциясынын ээр геометриясы `surf` менен сапаттык жактан туура көрсөтүлөт.
• Аналитикалык жарым-жартылай туундулар \(2x\) жана \(−2y\) катары эсептелет.
• Бул туунду компоненттерин `quiver3` аркылуу вектордук талаа катары визуалдаштырууга болот.
• Бет жана туунду векторлору бир MATLAB фигурасында бириктириле алат.
• Тышкы маалымат топтому же үчүнчү тараптын MATLAB китепканасы талап кылынбайт.
• Үлгү колдонмонун коду макаланын Appendix A бөлүмүндө берилген.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

• Система студенттердин экзамендик жетишкендигин жогорулатат.
• Система салттуу окутуудан статистикалык жактан натыйжалуураак.
• Бардык көп өзгөрмөлүү функцияларда тастыкталган.
• Реалдуу убакыттагы GUI же параметр менен башкарылган атайын колдонуучу интерфейси иштелип чыккан.
• Сандык символдук-сандык ката маанилери эсептелген.
• Quiver3 жебелери беттин нормал векторлорун көрсөтөт.
• Система татаал же үзгүлтүктүү функцияларда бирдей тактык жана натыйжалуулук көрсөтөт.

Келечектеги изилдөөлөр

Авторлор системаны мындан ары өнүккөн түзүмдөргө кеңейтүүнү сунушташат. Алардын арасында:

• татаалыраак математикалык функциялар,
• жогорку өлчөмдүү вектордук талаалар,
• дифференциалдык көп түрдүүлүктөр,
• реалдуу убакыттагы колдонуучу өз ара аракет интерфейстери,
• контролдонуучу студенттик эксперименттер менен билим берүүчү натыйжалуулукту өлчөө

бар.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска изилдөө: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Түркчө аталыш: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Авторлор: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Жооптуу автор: Ali Türkoğlu.

Аффилиация 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Аффилиация 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Журнал: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Том / Сан: 4(1).

Беттер: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Жөнөтүлгөн: 10-апрель 2026.

Кабыл алынган: 31-май 2026.

Жарыяланган: 30-июнь 2026.

Макала түрү: Research Article.

Жарыялоочу: Ardahan University.

Рецензиялоо: JSAT кош-сокур рецензия саясатын колдонорун жана макалалар кеминде эки рецензент тарабынан бааланарын билдирет.

Ачык жеткиликтүүлүк: Journal of Studies in Advanced Technologies ачык жеткиликтүү илимий журнал болуп саналат.

Лицензия: Журналдын учурдагы маалыматы Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0) лицензиясын көрсөтөт.

Негизги изилдөө дизайны: Computational scientific tool development / илимий визуалдаштыруу программалык прототиби.

Benchmark функция: \(z=x^2-y^2\).

Жарым-жартылай туундулар: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Сандык аймак: x жана y үчүн −2ден +2ге чейин, 0.1 grid кадамы.

Негизги MATLAB куралдары: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 жана MATLAB Graphics Engine.

Визуалдык чыгыштар: 3D ээр бети, туунду вектордук талаасы жана бет-вектор бириктирилген графиги.

Quiver3 түшүндүрмөсү: Жарыяланган код вектор компоненттерин \((f_x,f_y,0)\) катары колдонот; демек жебелер толук 3D бет нормал талаасы эмес.

Кайра өндүрүлүү: Колдонмонун коду Appendix A'да берилген жана тышкы маалымат топтомун же үчүнчү тараптын китепканасын талап кылбайт.

MATLAB версиясынын карама-каршылыгы: Булак Abstract'та R2023b, Methods бөлүмүндө R2026a, Reproducibility бөлүмүндө R2023b жана Appendix A'да R2023a деп билдирет.

Текшерүү чеги: Булак символдук-сандык жана геометриялык шайкештик текшерүүсүн билдирет; бирок жарыяланган жыйынтыктарда сандык ката нормасы же finite-difference салыштыруу таблицасы жок.

Интерактивдүүлүк чеги: Булак “interactive/dynamic/real-time” сөздөрүн колдонот; жарыяланган Appendix A кодунда атайын GUI, callback же анимация механизми жок.

Билим берүүчү текшерүү: Жок. Адам катышуучулар же үйрөнүү жетишкендиги боюнча эксперимент жүргүзүлгөн эмес.

Этика комитети: Расмий макала жазуусу изилдөө этика комитетинин уруксатын талап кылбаганын билдирет.

Каржылоо: Расмий макала жазуусуна ылайык, изилдөө эч бир мекеме тарабынан колдоого алынган эмес.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришет.

Авторлордун салымы: Ali Türkoğlu — алгачкы долбоор, методология, изилдөө, формалдык талдоо жана маалыматтарды курациялоо; Yasin Soylu — карап чыгуу/редакциялоо, методология, мүнөздөмө берүү жана супервизия.

Маалыматты колдонуу: Изилдөө тышкы маалымат топтомуна таянбайт; функциянын маанилери MATLAB ичинде эсептелет.