Ин таҳқиқот прототипи ҳисоббарории визуализатсияи илмиро баррасӣ мекунад, ки барои дар як муҳити ҳисоббарории MATLAB намоиш додани геометрияи сеченака ва ҳосилаҳои хусусии функсияҳои математикии дутағйирёбанда таҳия шудааст. Система таърифи рамзии функсия, ҳисобкунии аналитикии ҳосилаҳои хусусӣ, арзёбии функсия дар шабакаи мунтазами ададӣ ва сохтани графикаи сеченакаро дар як ҷараёни ягонаи корӣ муттаҳид мекунад. Дар манбаъ ҳамчун мисоли асосӣ параболоиди гиперболии \(z=x^2-y^2\) истифода шудааст; ҳосилаҳои хусусии \(f_x=2x\) ва \(f_y=-2y\) бо MATLAB Symbolic Math Toolbox пайваст карда шуда, ин ҷузъҳои ҳосила бо истифода аз `quiver3` дар рӯйи сатҳ ҳамчун майдони векторӣ нишон дода шудаанд.

Ҳадафи асосии таҳқиқот таҳияи усули нави ҳосилагирӣ нест, балки бунёди пули ҳисоббарорӣ байни математикаи рамзӣ ва тафсири геометрӣ мебошад. Дар соҳаи ададие, ки бо функсияи `meshgrid` сохта мешавад, функсияи `surf` сатҳи зиншаклро ва `quiver3` тирҳоеро ҳосил мекунад, ки самтҳои тағйиротро ифода мекунанд. Ба ин тартиб, рафтори сатҳе, ки дар самти x афзоиш ёфта, дар самти y ба самти муқобил тағйир меёбад, дар як муҳити сеченака таҳқиқ карда мешавад. Бо вуҷуди ин, самаранокии таълимии система дар намунаи донишҷӯён ба таври таҷрибавӣ чен нашудааст; хулосаҳо дар бораи омӯзиш бояд танҳо ҳамчун соҳаи эҳтимолии истифода арзёбӣ шаванд.

Ҳосилаи Хусусии Функсияи Бисёртағйирёбанда Аз Нигоҳи Геометрӣ Чиро Ифода Мекунад?

Дар функсияи дутағйирёбандаи:

\[ z=f(x,y) \]

тағйирёбандаҳои мустақили \(x\) ва \(y\) ду самти гуногуни як сатҳро муайян мекунанд. Аз ҳосилаҳои хусусӣ:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

ҳангоми собит нигоҳ доштани y суръати маҳаллии тағйиротро дар самти x ифода мекунад; ҳосилаи дигар:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

бошад, ҳангоми собит нигоҳ доштани x суръати маҳаллии тағйиротро дар самти y ифода мекунад.

Ин ду ҷузъ якҷоя:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

сохтори градиентро ташкил медиҳанд. Градиент сохтори асосии дифференсиалӣ мебошад, ки самти тезтарин афзоиш ва бузургии тағйироти маҳаллии функсияро дар ҳамвории вуруд муайян мекунад.

Чаро дар таҳқиқот z=x²−y² интихоб шудааст?

Манбаъ функсияи benchmark-ро:

\[ z=x^2-y^2 \]

интихоб мекунад.

Ин функсия параболоиди гиперболии классикӣ, яъне сатҳи зиншакл аст. Хусусияти асосии геометрия ин аст, ки он дар самтҳои x ва y ба таври муқобил хам мешавад.

Дар самти x, ҳангоми интихоб кардани \(y=0\):

\[ z=x^2 \]

ба даст меояд. Ин параболаи ба боло кушодашаванда аст.

Дар самти y, ҳангоми интихоб кардани \(x=0\):

\[ z=-y^2 \]

ба даст меояд. Ин бошад параболаи ба поён кушодашаванда аст.

Азбаски ин ду рафтори муқобил дар як нуқта бурида мешаванд:

\[ (0,0,0) \]

нуқтаи зиншакл мебошад.

Натиҷаи аналитикии ҳосилаҳои хусусӣ

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

барои:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

ва:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

ба даст меояд.

Пас, градиент:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

мебошад.

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки самти тағйирот дар минтақаҳои гуногуни сатҳ аз мавқеъ вобаста аст. Бо зиёд шудани қимати мутлақи координатаи x бузургии тағйирот дар самти x зиёд мешавад, дар ҳоле ки ҷузъи самти y аз сабаби аломати \(−2y\) рафтори муқобили самтӣ дорад.

MATLAB Ҳосилаи Рамзиро Бо Графики 3D Чӣ Гуна Муттаҳид Мекунад?

Дар таҳқиқот MATLAB ҳамчун чор қабати ба ҳам пайвасти ҳисоббарорӣ баррасӣ мешавад: коркарди рамзӣ, дискретизатсияи ададӣ, сохтани майдони векторӣ ва визуализатсияи сеченака. Функсия аввал ба таври рамзӣ муайян карда мешавад, баъд ҳосилаҳои хусусии он ҳисоб мешаванд, ин ифодаҳо дар шабакаи мунтазами \(x-y\) ба қиматҳои ададӣ табдил дода мешаванд ва дар ниҳоят сатҳ ва майдони ҳосила дар як муҳити графикӣ намоиш дода мешаванд.

1. Қабати коркарди рамзӣ

Коди Appendix A:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

мебошад.

`syms x y`, \(x\) ва \(y\)-ро ҳамчун тағйирёбандаҳои рамзӣ муайян мекунад. Функсияи `diff` бошад ҳосилаҳои хусусии аналитикии функсияро ҳисоб мекунад.

2. Қабати дискретизатсияи ададӣ

Дар коди манбаъ:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

истифода мешавад.

Бинобар ин ҳам соҳаи x ва ҳам соҳаи y:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

дар фосилаи мазкур ва бо қадами:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

намунагирӣ мешавад.

Қиматҳои функсия:

z = xg.^2 - yg.^2;

ҳисоб карда мешаванд.

3. Арзёбии ададии майдони ҳосила

Натиҷаҳои аналитикӣ бевосита дар mesh:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

арзёбӣ шудаанд.

Аз ин рӯ, дар ҳар нуқтаи ҳисобшудаи grid ду ҷузъи тағйирот маълуманд:

\[ (2x,-2y). \]

4. Қабати визуализатсия

Сатҳ:

surf(xg, yg, z);

сохта мешавад.

Манбаъ инчунин:

colormap jet;
shading interp;

фармонҳоро истифода бурда, сатҳро бо градиенти ранг ва соягузории интерполятсионӣ нишон медиҳад.

Тирҳои Графики Quiver3 Дақиқан Чиро Нишон Медиҳанд?

Дар коди манбаъ даъвати `quiver3` ҳосилаҳои хусусии \(x\) ва \(y\)-ро ҳамчун ҷузъҳои уфуқии тирҳо истифода бурда, ҷузъи сеюми векторро ба сифр баробар мекунад. Аз ин рӯ, тирҳо шакли \((2x,-2y,0)\)-ро доранд ва на вектори нормалии 3D-и сатҳ, балки ҷузъҳои градиенти дутағйирёбандаро дар баландии сатҳ ҷойгир карда нишон медиҳанд.

Фармони Appendix A:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

мебошад.

Се матритсаи аввал координатаҳои оғозии тирҳоро:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

муайян мекунанд.

Се матритсаи баъдӣ бошад самтҳои тирҳоро:

\[ (2x,-2y,0) \]

муайян мекунанд.

Ин фарқ муҳим аст. Намоиш:

• нормалҳои сатҳ,
• ҳамвориҳои расанда,
• градиенти нормалӣ дар фазои 3D

ро бевосита ҳисоб намекунад.

Ба ҷои ин, сохтори ҳосилавии функсияи дутағйирёбандаро дар ҳамвории вуруд дар рӯйи сатҳ ҷойгир карда, онро намоён месозад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Чор қабати меъмории система

Алгоритми ҳисоббарории дар манбаъ овардашуда

Пайдарпаии амалҳо дар бахши Algorithm 1-и мақола:

1. Муайян кардани тағйирёбандаҳои рамзии \(x,y\).
2. Сохтани функсияи \(f(x,y)\).
3. Ҳисобкунии рамзии ҳосилаҳои хусусии \(f_x\) ва \(f_y\).
4. Сохтани domain-и ададӣ бо `meshgrid`.
5. Сохтани матритсаи сатҳии \(Z\) аз қиматҳои функсия.
6. Арзёбии майдонҳои ҳосила дар ҳамон grid.
7. Санҷидани мувофиқати рафтори рамзӣ ва ададӣ.
8. Сохтани сатҳ бо `surf`.
9. Илова кардани векторҳои ҳосила бо `quiver3`.
10. Намоиш додани визуализатсияи муттаҳидшуда.

Шакли 1: сатҳи зиншакл

Шакли 1-и манбаъ сатҳи дар экрани MATLAB сохташудаи:

\[ z=x^2-y^2 \]

ро нишон медиҳад.

Сатҳ дар самти x ба боло ва дар самти y ба поён хам мешавад. Манбаъ ин рафторро ҳамчун:

• каҷии мусбат дар самти x,
• каҷии манфӣ дар самти y,
• нуқтаи зиншакл дар мабдаъ

тафсир мекунад.

Шакли 2: майдони вектории ҳосилаҳои хусусӣ

Дар Шакли 2-и манбаъ майдони векторӣ алоҳида нишон дода мешавад.

Ҷузъи x:

\[ 2x \]

аст, бинобар ин ҷузъи векторҳо дар самти x бо координатаи x ба таври хаттӣ меафзояд.

Ҷузъи y:

\[ -2y \]

аст, бинобар ин ҳангоми тағйир ёфтани аломати y самти вектор баръакс мешавад.

Манбаъ қайд мекунад, ки майдони векторӣ дар атрофи ҳар ду меҳвари координатӣ симметрияи аналитикии интизоршударо нишон медиҳад.

Шакли 3: сатҳ ва майдони ҳосилаи муттаҳидшуда

Баромади асосии ниҳоӣ рӯйи ҳам гузоштани сохторҳои `surf` ва `quiver3` дар як фигура мебошад:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Дар ин тасвир сатҳи рангаи зиншакл сохтори геометриро ва тирҳо ҷузъҳои тағйироти ҳосилаҳоро дар як фазои координатӣ нишон медиҳанд.

Санҷиши мувофиқати рамзӣ-ададӣ

Манбаъ тартиби санҷиши думарҳиларо тавсиф мекунад:

• муқоисаи ҳосилаҳои рамзӣ бо тамоюли сатҳи ададӣ,
• санҷиши геометрии самтҳои векторҳо бо минтақаҳои афзоянда ва коҳишёбандаи сатҳ.

Дар бахши натиҷаҳо гуфта мешавад, ки ҳосилаҳои рамзӣ бо нишебии сатҳ мувофиқанд, самтҳои векторҳо тамоюлҳои ададиро пайгирӣ мекунанд ва дар соҳаи санҷидашуда номувофиқии ҳисоббарорӣ мушоҳида нашудааст.

Аммо манбаъ ченаки миқдории хаторо гузориш намекунад. Дар коди Appendix A низ ҳисобкунии ҷудогонаи ҳосила бо finite-difference ё матритсаи хато вуҷуд надорад. Аз ин рӯ, санҷиш бештар дар сатҳи назорати мувофиқати дохилии натиҷаи аналитикӣ бо рафтори графикӣ қарор дорад.

Мушкилоти бозтавлидпазирӣ аз нуқтаи назари версияи MATLAB

Дар мақола барои як система гузориш шудани се версияи гуногуни MATLAB номувофиқии дохилии metadata/усул дар манбаъ мебошад.

Бо вуҷуди ин, азбаски коди нашршуда ба функсияҳои хеле асосии MATLAB ва Symbolic Math Toolbox такя мекунад, маълум аст, ки сохтори усул кадом фармонҳоро истифода мебарад. Verianla аз ин мушоҳида бармеояд ва ҳеҷ як версияро ҳамчун “версияи комилан дуруст” қабул намекунад.

Оё Ин Системаи MATLAB Воқеан Дар Вақти Ҳақиқӣ ва Интерактивӣ Аст?

Манбаъ системаро бо ибораҳои “dynamic”, “interactive” ва дар баъзе бахшҳо “real-time visualization” тавсиф мекунад. Аммо коди нашршуда фигураҳои стандартии MATLAB-ро месозад, ки сатҳ, майдони векторӣ ва намуди муттаҳидшударо ҳосил мекунанд; дар Appendix A интерфейси махсуси графикӣ, slider-и параметр, функсияи callback, даври аниматсия ё воридоти маълумоти вақти ҳақиқӣ вуҷуд надорад. Аз ин рӯ, истифодаи интерактивӣ дар заминаи манбаъ бояд ҳамчун кашфи визуалии сеченака дар муҳити графикии MATLAB фаҳмида шавад.

Бартарии бозтавлидпазирии коди манбаъ

Таҳқиқот маҷмӯи додаҳои берунаро талаб намекунад.

Унсурҳои асосии зарурӣ:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• `meshgrid`-и дохилӣ,
• `surf`,
• `quiver3`

мебошанд.

Appendix A барои мисоли дар таҳқиқот истифодашуда коди иҷрошавандаро нашр мекунад. Ин аз ҷиҳати аз нав сохтани графикҳо яке аз қавитарин хусусиятҳои методологии таҳқиқот мебошад.

Доираи модел

Натиҷаҳои муфассал танҳо тавассути функсияи:

\[ z=x^2-y^2 \]

пешниҳод шудаанд.

Аз ин рӯ, синфҳои зерини функсияҳо дар таҳқиқоти ҷорӣ алоҳида benchmark нашудаанд:

• функсияҳои нопайваста,
• функсияҳои дорои сингулярият,
• сатҳҳои дорои осиллятсияи хеле баланд,
• функсияҳои пораӣ,
• майдонҳои скалярии андозаашон баландтар.

Манбаъ низ қайд мекунад, ки иҷроиш дар функсияҳои мураккабтари nonlinear ё discontinuous ҳанӯз арзёбӣ нашудааст.

Оё Ин Таҳқиқот Исбот Мекунад, Ки Визуализатсияи MATLAB Омӯзишро Беҳтар Мекунад?

Не. Дар мақола донишҷӯ ё омӯзгор ҳамчун иштирокчӣ вуҷуд надорад; гурӯҳи назоратӣ, санҷиши муваффақият, миқёси муносибат ё ченкунии натиҷаи омӯзиш гузаронида нашудааст. Таҳқиқот танҳо сохтори математикӣ ва ҳисоббарории нармафзори визуализатсияро арзёбӣ мекунад. Аз ин рӯ, андешаи он ки системаи визуалӣ метавонад омӯзиши ҳисобҳои бисёртағйирёбандаро дастгирӣ кунад, хулосаи назариявӣ ва эҳтимолии таълимӣ аст, на таъсири омӯзишии ба таври таҷрибавӣ тасдиқшуда.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Дар MATLAB ҳосилаи рамзӣ ва графики сеченака метавонанд дар як ҷараёни ҳисоббарорӣ муттаҳид шаванд.
• Геометрияи зиншакли функсияи \(z=x^2-y^2\) бо `surf` аз ҷиҳати сифатӣ дуруст нишон дода мешавад.
• Ҳосилаҳои хусусии аналитикӣ ҳамчун \(2x\) ва \(−2y\) ҳисоб карда мешаванд.
• Ин ҷузъҳои ҳосиларо бо `quiver3` ҳамчун майдони векторӣ визуалӣ кардан мумкин аст.
• Сатҳ ва векторҳои ҳосила метавонанд дар як фигураи MATLAB муттаҳид карда шаванд.
• Маҷмӯи додаҳои беруна ё китобхонаи тарафи сеюми MATLAB талаб карда намешавад.
• Коди барномаи намунавӣ дар бахши Appendix A-и мақола оварда шудааст.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Система муваффақияти имтиҳонии донишҷӯёнро зиёд мекунад.
• Система аз таълими анъанавӣ аз ҷиҳати оморӣ самараноктар аст.
• Дар ҳамаи функсияҳои бисёртағйирёбанда санҷида шудааст.
• GUI-и вақти ҳақиқӣ ё интерфейси махсуси корбар бо идоракунии параметр таҳия шудааст.
• Қиматҳои миқдории хатои рамзӣ-ададӣ ҳисоб карда шудаанд.
• Тирҳои Quiver3 векторҳои нормалии сатҳро ифода мекунанд.
• Система дар функсияҳои мураккаб ё нопайваста ҳамон дақиқӣ ва иҷроишро нишон медиҳад.

Таҳқиқоти оянда

Муаллифон тавсия медиҳанд, ки система ба сохторҳои пешрафтатар васеъ карда шавад. Аз ҷумла:

• функсияҳои математикии мураккабтар,
• майдонҳои вектории андозаашон баландтар,
• манифолдҳои дифференсиалӣ,
• интерфейсҳои ҳамкории корбар дар вақти ҳақиқӣ,
• чен кардани самаранокии таълимӣ бо таҷрибаҳои назоратшавандаи донишҷӯён

пешниҳод шудаанд.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Таҳқиқоти аслӣ: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Унвони туркӣ: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Муаллифон: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Муаллифи масъул: Ali Türkoğlu.

Аффилиатсия 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Аффилиатсия 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Маҷалла: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Ҷилд / Шумора: 4(1).

Саҳифаҳо: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Ирсол: 10 апрели 2026.

Қабул: 31 майи 2026.

Нашр: 30 июни 2026.

Навъи мақола: Research Article.

Ношир: Ardahan University.

Баррасии ҳамтоён: JSAT изҳор мекунад, ки сиёсати баррасии дутарафаи нобиноро татбиқ мекунад ва мақолаҳо аз ҷониби ҳадди ақал ду баррасӣкунанда арзёбӣ мешаванд.

Дастрасии кушода: Journal of Studies in Advanced Technologies маҷаллаи илмии дастрасии кушода мебошад.

Иҷозатнома: Маълумоти ҷории маҷалла иҷозатномаи Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0)-ро нишон медиҳад.

Тарҳи асосии таҳқиқот: Computational scientific tool development / прототипи нармафзори визуализатсияи илмӣ.

Функсияи benchmark: \(z=x^2-y^2\).

Ҳосилаҳои хусусӣ: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Соҳаи ададӣ: барои x ва y аз −2 то +2, қадами grid 0.1.

Абзорҳои асосии MATLAB: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 ва MATLAB Graphics Engine.

Баромадҳои визуалӣ: сатҳи зиншакли 3D, майдони вектории ҳосила ва графики муттаҳидшудаи сатҳ-вектор.

Тафсири Quiver3: Коди нашршуда ҷузъҳои векториро ҳамчун \((f_x,f_y,0)\) истифода мебарад; бинобар ин тирҳо майдони пурраи нормалии 3D-и сатҳ нестанд.

Бозтавлидпазирӣ: Коди барнома дар Appendix A оварда шудааст ва маҷмӯи додаҳои беруна ё китобхонаи тарафи сеюмро талаб намекунад.

Номувофиқии версияи MATLAB: Манбаъ дар Abstract R2023b, дар бахши Methods R2026a, дар бахши Reproducibility R2023b ва дар Appendix A R2023a-ро гузориш мекунад.

Ҳудуди санҷиш: Манбаъ санҷиши мувофиқати рамзӣ-ададӣ ва геометриро гузориш медиҳад; аммо дар натиҷаҳои нашршуда меъёри миқдории хато ё ҷадвали муқоисаи finite-difference вуҷуд надорад.

Ҳудуди интерактивӣ: Манбаъ ибораҳои “interactive/dynamic/real-time”-ро истифода мекунад; дар коди нашршудаи Appendix A GUI-и махсус, callback ё механизми аниматсия вуҷуд надорад.

Санҷиши таълимӣ: Нест. Иштирокчии инсонӣ ё таҷрибаи муваффақияти омӯзиш гузаронида нашудааст.

Кумитаи ахлоқ: Сабти расмии мақола нишон медиҳад, ки таҳқиқот тасдиқи кумитаи ахлоқро талаб намекунад.

Маблағгузорӣ: Тибқи сабти расмии мақола, таҳқиқот аз ҷониби ягон муассиса дастгирӣ нашудааст.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон: Ali Türkoğlu — тарҳи аввалия, методология, таҳқиқот, таҳлили формалӣ ва куратсияи додаҳо; Yasin Soylu — баррасӣ/таҳрир, методология, тавсиф ва назорат.

Истифодаи додаҳо: Таҳқиқот ба маҷмӯи додаҳои беруна такя намекунад; қиматҳои функсия дар дохили MATLAB ҳисоб карда мешаванд.