Bu tədqiqat iki dəyişənli riyazi funksiyaların üçölçülü həndəsəsini və qismən törəmələrini eyni MATLAB hesablama mühitində vizuallaşdırmaq üçün hazırlanmış hesablama əsaslı elmi vizuallaşdırma prototipini nəzərdən keçirir. Sistem simvolik funksiya tərifini, analitik qismən törəmələrin hesablanmasını, müntəzəm ədədi şəbəkə üzərində funksiyanın qiymətləndirilməsini və üçölçülü qrafiklərin qurulmasını vahid iş axınında birləşdirir. Mənbədə əsas nümunə kimi \(z=x^2-y^2\) hiperbolik paraboloidindən istifadə edilmiş; \(f_x=2x\) və \(f_y=-2y\) qismən törəmələri MATLAB Symbolic Math Toolbox ilə əlaqələndirilmiş və bu törəmə komponentləri `quiver3` vasitəsilə səth üzərində vektor sahəsi şəklində göstərilmişdir.

Tədqiqatın əsas məqsədi yeni törəmə üsulu hazırlamaq deyil, simvolik riyaziyyat ilə həndəsi şərh arasında hesablama körpüsü qurmaqdır. `meshgrid` funksiyası ilə yaradılan ədədi sahədə `surf` funksiyası yəhər səthini, `quiver3` isə dəyişmə istiqamətlərini göstərən oxları yaradır. Beləliklə, x istiqamətində artan, y istiqamətində isə əks istiqamətdə dəyişən səth davranışı eyni üçölçülü mühitdə araşdırıla bilir. Bununla belə, sistemin tədris effektivliyi tələbə nümunəsi üzərində eksperimental şəkildə ölçülməmişdir; öyrənmə ilə bağlı nəticələr yalnız potensial istifadə sahəsi kimi qiymətləndirilməlidir.

Çoxdəyişənli Funksiyanın Qismən Törəməsi Həndəsi Baxımdan Nəyi İfadə Edir?

İki dəyişənli:

\[ z=f(x,y) \]

funksiyasında \(x\) və \(y\) müstəqil dəyişənləri eyni səthin iki fərqli istiqamətini müəyyən edir. Qismən törəmələrdən:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

y sabit saxlanıldıqda x istiqamətində yerli dəyişmə sürətini; digər törəmə:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

isə x sabit saxlanıldıqda y istiqamətində yerli dəyişmə sürətini ifadə edir.

Bu iki komponent birlikdə:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

qradiyent strukturunu yaradır. Qradiyent funksiyanın giriş müstəvisində ən sürətli artım istiqamətini və yerli dəyişmə böyüklüyünü müəyyən edən əsas diferensial strukturdur.

Tədqiqatda niyə z=x²−y² seçilmişdir?

Mənbə benchmark funksiyasını:

\[ z=x^2-y^2 \]

kimi seçir.

Bu funksiya klassik hiperbolik paraboloid, yəni yəhər səthidir. Həndəsənin əsas xüsusiyyəti x və y istiqamətlərində bir-birinə əks istiqamətdə əyilməsidir.

x istiqamətində, \(y=0\) seçildikdə:

\[ z=x^2 \]

alınır. Bu, yuxarıya doğru açılan paraboldur.

y istiqamətində, \(x=0\) seçildikdə:

\[ z=-y^2 \]

alınır. Bu isə aşağıya doğru açılan paraboldur.

Bu iki əks davranış eyni nöqtədə kəsişdiyi üçün:

\[ (0,0,0) \]

nöqtəsi yəhər nöqtəsidir.

Qismən törəmələrin analitik nəticəsi

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

üçün:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

və:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

alınır.

Beləliklə, qradiyent:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

şəklindədir.

Bu nəticə səthin müxtəlif bölgələrində dəyişmə istiqamətinin mövqedən asılı olduğunu göstərir. x koordinatının mütləq qiyməti artdıqca x istiqamətində dəyişmənin böyüklüyü artır, y istiqamətindəki komponent isə \(−2y\) işarəsi səbəbindən əks istiqamətli davranır.

MATLAB Simvolik Törəməni 3B Qrafiklə Necə Birləşdirir?

Tədqiqatda MATLAB bir-biri ilə əlaqəli dörd hesablama qatı şəklində nəzərdən keçirilir: simvolik əməliyyat, ədədi diskretləşdirmə, vektor sahəsinin yaradılması və üçölçülü vizuallaşdırma. Funksiya əvvəlcə simvolik olaraq təyin edilir, sonra qismən törəmələri hesablanır, bu ifadələr müntəzəm \(x-y\) şəbəkəsi üzərində ədədi qiymətlərə çevrilir və sonda səth ilə törəmə sahəsi eyni qrafik mühitində göstərilir.

1. Simvolik əməliyyat qatı

Appendix A-dakı kod:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

şəklindədir.

`syms x y`, \(x\) və \(y\)-ni simvolik dəyişən kimi təyin edir. `diff` funksiyası isə funksiyanın analitik qismən törəmələrini hesablayır.

2. Ədədi diskretləşdirmə qatı

Mənbə kodunda:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

istifadə olunur.

Beləliklə, həm x, həm də y sahəsi:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

intervalında və:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

addımı ilə nümunələnir.

Funksiya qiymətləri:

z = xg.^2 - yg.^2;

ilə hesablanır.

3. Törəmə sahəsinin ədədi qiymətləndirilməsi

Analitik nəticələr birbaşa mesh üzərində:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

şəklində qiymətləndirilmişdir.

Buna görə hesablanan hər grid nöqtəsində iki dəyişmə komponenti məlumdur:

\[ (2x,-2y). \]

4. Vizuallaşdırma qatı

Səth:

surf(xg, yg, z);

ilə yaradılır.

Mənbə həmçinin:

colormap jet;
shading interp;

əmrlərindən istifadə edərək səthi rəng qradiyenti və interpolasiyalı kölgələndirmə ilə göstərir.

Quiver3 Qrafikindəki Oxlar Dəqiq Olaraq Nəyi Göstərir?

Mənbə kodunda `quiver3` çağırışı \(x\) və \(y\) qismən törəmələrini oxların üfüqi komponentləri kimi istifadə edir, üçüncü vektor komponentini isə sıfıra təyin edir. Buna görə oxlar \((2x,-2y,0)\) şəklindədir və səthin 3B normal vektorunu deyil, iki dəyişənli qradiyentin komponentlərini səthin hündürlüyündə yerləşdirilmiş şəkildə göstərir.

Appendix A-dakı əmr:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

şəklindədir.

İlk üç matris oxların başlanğıc koordinatlarını:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

müəyyən edir.

Sonrakı üç matris isə oxların istiqamətlərini:

\[ (2x,-2y,0) \]

kimi təyin edir.

Bu fərq vacibdir. Vizual:

• səth normallarını,
• toxunan müstəviləri,
• 3B fəzadakı normal qradiyenti

birbaşa hesablamır.

Əvəzində iki dəyişənli funksiyanın giriş müstəvisindəki törəmə strukturunu səth üzərində yerləşdirərək vizual hala gətirir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Sistem arxitekturasının dörd qatı

Mənbədə verilən hesablama alqoritmi

Məqalənin Algorithm 1 bölməsindəki əməliyyat ardıcıllığı:

1. Simvolik \(x,y\) dəyişənlərinin təyin edilməsi.
2. \(f(x,y)\) funksiyasının yaradılması.
3. \(f_x\) və \(f_y\) qismən törəmələrinin simvolik hesablanması.
4. `meshgrid` ilə ədədi domain yaradılması.
5. Funksiya qiymətlərindən \(Z\) səth matrisinin yaradılması.
6. Törəmə sahələrinin eyni grid üzərində qiymətləndirilməsi.
7. Simvolik və ədədi davranış arasındakı uyğunluğun yoxlanılması.
8. `surf` ilə səthin yaradılması.
9. `quiver3` ilə törəmə vektorlarının əlavə edilməsi.
10. Birləşdirilmiş vizuallaşdırmanın göstərilməsi.

Şəkil 1: yəhər səthi

Mənbə Şəkil 1, MATLAB ekranında yaradılan:

\[ z=x^2-y^2 \]

səthini göstərir.

Səth x istiqamətində yuxarı, y istiqamətində aşağı əyilir. Mənbə bu davranışı:

• x istiqamətində müsbət əyrilik,
• y istiqamətində mənfi əyrilik,
• orijində yəhər nöqtəsi

kimi şərh edir.

Şəkil 2: qismən törəmə vektor sahəsi

Mənbə Şəkil 2-də vektor sahəsi ayrıca göstərilir.

x komponenti:

\[ 2x \]

olduğu üçün vektorların x istiqamətindəki komponenti x koordinatı ilə xətti şəkildə artır.

y komponenti:

\[ -2y \]

olduğu üçün y-nin işarəsi dəyişdikdə vektorun istiqaməti əksinə dönür.

Mənbə vektor sahəsinin hər iki koordinat oxu ətrafında gözlənilən analitik simmetriyanı göstərdiyini bildirir.

Şəkil 3: birləşdirilmiş səth və törəmə sahəsi

Son əsas çıxış `surf` və `quiver3` strukturlarının eyni fiqurda üst-üstə yerləşdirilməsidir:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Bu görüntüdə rəngli yəhər səthi həndəsi quruluşu, oxlar isə törəmələrin dəyişmə komponentlərini eyni koordinat fəzasında göstərir.

Simvolik-ədədi uyğunluq yoxlaması

Mənbə iki mərhələli doğrulama prosedurunu təsvir edir:

• simvolik törəmələrin ədədi səth meyli ilə müqayisə edilməsi,
• vektor istiqamətlərinin artan və azalan səth bölgələri ilə həndəsi olaraq yoxlanılması.

Nəticə bölməsində simvolik törəmələrin səth meyli ilə uyğun olduğu, vektor istiqamətlərinin ədədi meylləri izlədiyi və sınaqdan keçirilən sahədə hesablama uyğunsuzluğunun müşahidə edilmədiyi bildirilir.

Lakin mənbə kəmiyyətcə xəta ölçüsü təqdim etmir. Appendix A kodunda ayrıca finite-difference törəmə hesabı və ya xəta matrisi də yoxdur. Buna görə doğrulama daha çox analitik nəticə ilə qrafik davranış arasındakı daxili uyğunluğun yoxlanılması səviyyəsindədir.

MATLAB versiyası baxımından təkrar istehsal problemi

Məqalənin eyni sistem üçün üç fərqli MATLAB versiyası bildirməsi mənbə daxilində metadata/metod uyğunsuzluğudur.

Bununla belə, dərc olunmuş kod çox əsas MATLAB və Symbolic Math Toolbox funksiyalarına söykəndiyindən metod strukturunun hansı əmrlərdən istifadə etdiyi aydındır. Verianla bu müşahidəyə əsaslanaraq hər hansı versiyanı “mütləq doğru versiya” kimi qəbul etmir.

Bu MATLAB Sistemi Həqiqətən Real Vaxtlı və İnteraktivdirmi?

Mənbə sistemi “dynamic”, “interactive” və bəzi bölmələrdə “real-time visualization” ifadələri ilə təsvir edir. Dərc olunan kod isə səthi, vektor sahəsini və birləşdirilmiş görünüşü yaradan standart MATLAB fiqurları istehsal edir; Appendix A-da xüsusi qrafik interfeys, parametr slider-i, callback funksiyası, animasiya dövrü və ya real vaxt məlumat girişi yoxdur. Buna görə mənbə kontekstində interaktiv istifadə MATLAB qrafik mühitində üçölçülü vizual araşdırma kimi başa düşülməlidir.

Mənbə kodunun təkrar istehsal üstünlüyü

Tədqiqat xarici məlumat dəsti tələb etmir.

Tələb olunan əsas elementlər:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• daxili `meshgrid`,
• `surf`,
• `quiver3`

funksiyalarıdır.

Appendix A, tədqiqatda istifadə olunan nümunə üçün icra oluna bilən kodu dərc edir. Bu, qrafiklərin yenidən yaradılması baxımından tədqiqatın ən güclü metodoloji xüsusiyyətlərindən biridir.

Modelin əhatə dairəsi

Ətraflı nəticələr yalnız:

\[ z=x^2-y^2 \]

funksiyası əsasında təqdim edilmişdir.

Buna görə aşağıdakı funksiya sinifləri mövcud tədqiqatda ayrıca benchmark edilməmişdir:

• kəsilməz olmayan funksiyalar,
• təkillik ehtiva edən funksiyalar,
• çox yüksək osillasiyalı səthlər,
• hissəli funksiyalar,
• daha yüksək ölçülü skalyar sahələr.

Mənbə də daha mürəkkəb nonlinear və ya discontinuous funksiyalardakı performansın hələ qiymətləndirilmədiyini bildirir.

Bu Tədqiqat MATLAB Vizuallaşdırmasının Öyrənməni Yaxşılaşdırdığını Sübut Edirmi?

Xeyr. Məqalədə tələbə və ya müəllim iştirakçı yoxdur; nəzarət qrupu, nailiyyət testi, münasibət şkalası və ya öyrənmə nəticələrinin ölçülməsi aparılmamışdır. Tədqiqat yalnız vizuallaşdırma proqramının riyazi və hesablama strukturunu qiymətləndirir. Buna görə vizual sistemin çoxdəyişənli kalkulusun öyrənilməsini dəstəkləyə biləcəyi fikri nəzəri və potensial tədris nəticəsidir, eksperimental olaraq təsdiqlənmiş öyrənmə effekti deyil.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• MATLAB daxilində simvolik törəmə ilə üçölçülü qrafik eyni hesablama axınında birləşdirilə bilər.
• \(z=x^2-y^2\) funksiyasının yəhər həndəsəsi `surf` ilə düzgün keyfiyyət quruluşunda göstərilir.
• Analitik qismən törəmələr \(2x\) və \(−2y\) kimi hesablanır.
• Bu törəmə komponentləri `quiver3` vasitəsilə vektor sahəsi kimi vizuallaşdırıla bilər.
• Səth və törəmə vektorları bir MATLAB fiqurunda birləşdirilə bilər.
• Xarici məlumat dəsti və ya üçüncü tərəf MATLAB kitabxanası tələb olunmur.
• Nümunə tətbiqin kodu məqalənin Appendix A bölməsində verilmişdir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Sistemin tələbələrin imtahan nailiyyətlərini artırdığı.
• Sistemin ənənəvi tədrisdən statistik olaraq daha effektiv olduğu.
• Bütün çoxdəyişənli funksiyalarda doğrulandığı.
• Real vaxtlı GUI və ya parametrlə idarə olunan xüsusi istifadəçi interfeysinin hazırlandığı.
• Kəmiyyətcə simvolik-ədədi xəta qiymətlərinin hesablandığı.
• Quiver3 oxlarının səthin normal vektorlarını təmsil etdiyi.
• Sistemin mürəkkəb və ya kəsilməz olmayan funksiyalarda eyni dəqiqlik və performansı göstərdiyi.

Gələcək tədqiqatlar

Müəlliflər sistemi daha qabaqcıl strukturlara genişləndirməyi təklif edirlər. Bunlara:

• daha mürəkkəb riyazi funksiyalar,
• daha yüksək ölçülü vektor sahələri,
• diferensial manifoldlar,
• real vaxtlı istifadəçi qarşılıqlı əlaqə interfeysləri,
• nəzarət olunan tələbə təcrübələri ilə tədris effektivliyinin ölçülməsi

daxildir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal tədqiqat: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Türkcə başlıq: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Müəlliflər: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Məsul müəllif: Ali Türkoğlu.

Afiliasiya 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Afiliasiya 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Jurnal: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Cild / Say: 4(1).

Səhifələr: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Göndərilmə: 10 Aprel 2026.

Qəbul: 31 May 2026.

Nəşr: 30 İyun 2026.

Məqalə növü: Research Article.

Nəşriyyat: Ardahan University.

Hakemlik: JSAT cüt-kor hakem qiymətləndirmə siyasəti tətbiq etdiyini və məqalələrin ən azı iki hakem tərəfindən qiymətləndirildiyini bildirir.

Açıq giriş: Journal of Studies in Advanced Technologies açıq girişli elmi jurnaldır.

Lisenziya: Cari jurnal məlumatı Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0) lisenziyasını göstərir.

Əsas tədqiqat dizaynı: Computational scientific tool development / elmi vizuallaşdırma proqram prototipi.

Benchmark funksiya: \(z=x^2-y^2\).

Qismən törəmələr: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Ədədi sahə: x və y üçün −2 ilə +2 arasında, 0.1 grid addımı.

Əsas MATLAB alətləri: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 və MATLAB Graphics Engine.

Vizual çıxışlar: 3B yəhər səthi, törəmə vektor sahəsi və səth-vektor birləşdirilmiş qrafiki.

Quiver3 şərhi: Dərc olunan kod vektor komponentlərini \((f_x,f_y,0)\) kimi istifadə edir; buna görə oxlar tam 3B səth normal sahəsi deyil.

Təkrar istehsal: Tətbiq kodu Appendix A-da verilmişdir və xarici məlumat dəsti və ya üçüncü tərəf kitabxanası tələb etmir.

MATLAB versiyası uyğunsuzluğu: Mənbə Abstract-da R2023b, Methods bölməsində R2026a, Reproducibility bölməsində R2023b və Appendix A-da R2023a bildirir.

Doğrulama sərhədi: Mənbə simvolik-ədədi və həndəsi uyğunluq yoxlaması bildirir; lakin dərc olunmuş nəticələrdə kəmiyyətcə xəta norması və ya finite-difference müqayisə cədvəli yoxdur.

İnteraktivlik sərhədi: Mənbə “interactive/dynamic/real-time” ifadələrindən istifadə edir; dərc olunan Appendix A kodunda xüsusi GUI, callback və ya animasiya mexanizmi yoxdur.

Tədris doğrulaması: Yoxdur. İnsan iştirakçı və ya öyrənmə nailiyyəti təcrübəsi aparılmamışdır.

Etika komitəsi: Rəsmi məqalə qeydi tədqiqatın etika komitəsi təsdiqi tələb etmədiyini bildirir.

Maliyyələşdirmə: Rəsmi məqalə qeydinə görə tədqiqat heç bir qurum tərəfindən dəstəklənməmişdir.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər maraqların toqquşması olmadığını bildirirlər.

Müəllif töhfələri: Ali Türkoğlu — ilkin layihə, metodologiya, tədqiqat, formal analiz və məlumat kurasiyası; Yasin Soylu — nəzərdən keçirmə/redaktə, metodologiya, xarakterizasiya və superviziya.

Məlumat istifadəsi: Tədqiqat xarici məlumat dəstinə əsaslanmır; funksiya qiymətləri MATLAB daxilində hesablanır.