Bu çalışma, iki değişkenli matematiksel fonksiyonların üç boyutlu geometrisini ve kısmi türevlerini aynı MATLAB hesaplama ortamında görselleştirmek için geliştirilen hesaplamalı bir bilimsel görselleştirme prototipini ele almaktadır. Sistem sembolik fonksiyon tanımını, analitik kısmi türev hesabını, düzenli bir sayısal ağ üzerinde fonksiyon değerlendirmesini ve üç boyutlu grafik üretimini tek bir iş akışında birleştirmektedir. Kaynakta temel örnek olarak \(z=x^2-y^2\) hiperbolik paraboloidi kullanılmış; \(f_x=2x\) ve \(f_y=-2y\) kısmi türevleri MATLAB Symbolic Math Toolbox ile ilişkilendirilmiş ve bu türev bileşenleri `quiver3` kullanılarak yüzey üzerinde bir vektör alanı biçiminde gösterilmiştir.

Çalışmanın ana amacı yeni bir türev yöntemi geliştirmek değil, sembolik matematik ile geometrik yorum arasında hesaplamalı bir köprü kurmaktır. `meshgrid` fonksiyonu ile oluşturulan sayısal alan üzerinde `surf` fonksiyonu eyer yüzeyini, `quiver3` ise değişim yönlerini temsil eden okları üretmektedir. Böylece x doğrultusunda artan, y doğrultusunda ise ters yönde değişen yüzey davranışı aynı üç boyutlu ortamda incelenebilmektedir. Bununla birlikte sistemin eğitimsel etkinliği öğrenci örneklemi üzerinde deneysel olarak ölçülmemiştir; öğrenmeye ilişkin çıkarımlar yalnız potansiyel kullanım alanı olarak değerlendirilmelidir.

Çok Değişkenli Bir Fonksiyonun Kısmi Türevi Geometrik Olarak Ne Anlatır?

İki değişkenli:

\[ z=f(x,y) \]

fonksiyonunda \(x\) ve \(y\) bağımsız değişkenleri aynı yüzeyin iki farklı doğrultusunu belirler. Kısmi türevlerden:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

y sabit tutulduğunda x yönündeki yerel değişim hızını; diğer türev:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

ise x sabit tutulduğunda y yönündeki yerel değişim hızını ifade eder.

Bu iki bileşen birlikte:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

gradyan yapısını oluşturur. Gradyan fonksiyonun giriş düzleminde en hızlı artış doğrultusunu ve yerel değişim büyüklüğünü tanımlayan temel diferansiyel yapıdır.

Çalışmada neden z=x²−y² seçilmiştir?

Kaynak benchmark fonksiyonunu:

\[ z=x^2-y^2 \]

olarak seçmektedir.

Bu fonksiyon klasik bir hiperbolik paraboloid, yani eyer yüzeyidir. Geometrinin temel özelliği x ve y doğrultularında birbirinin tersine kıvrılmasıdır.

x doğrultusunda, \(y=0\) seçildiğinde:

\[ z=x^2 \]

elde edilir. Bu yukarı doğru açılan paraboldür.

y doğrultusunda, \(x=0\) seçildiğinde:

\[ z=-y^2 \]

elde edilir. Bu ise aşağı doğru açılan paraboldür.

Bu iki karşıt davranış aynı noktada kesiştiğinden:

\[ (0,0,0) \]

noktası eyer noktasıdır.

Kısmi türevlerin analitik sonucu

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

için:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

ve:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

elde edilir.

Dolayısıyla gradyan:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

şeklindedir.

Bu sonuç yüzeyin farklı bölgelerindeki değişim yönünün konuma bağlı olduğunu gösterir. x koordinatının mutlak değeri arttıkça x doğrultusundaki değişimin büyüklüğü artarken y yönündeki bileşen \(−2y\) işareti nedeniyle karşıt yönlü davranır.

MATLAB Sembolik Türev ile 3B Grafiği Nasıl Birleştiriyor?

Çalışmada MATLAB dört bağlı hesap katmanı biçiminde ele alınmaktadır: sembolik işlem, sayısal ayrıklaştırma, vektör alanı oluşturma ve üç boyutlu görselleştirme. Fonksiyon önce sembolik olarak tanımlanmakta, ardından kısmi türevleri hesaplanmakta, bu ifadeler düzenli bir \(x-y\) ağı üzerinde sayısal değerlere dönüştürülmekte ve son olarak yüzey ile türev alanı aynı grafik ortamında gösterilmektedir.

1. Sembolik işlem katmanı

Appendix A'daki kod:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

biçimindedir.

`syms x y`, \(x\) ve \(y\)'yi sembolik değişken olarak tanımlar. `diff` fonksiyonu ise fonksiyonun analitik kısmi türevlerini hesaplar.

2. Sayısal ayrıklaştırma katmanı

Kaynak kodunda:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

kullanılmaktadır.

Dolayısıyla hem x hem y alanı:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

aralığında ve:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

adımıyla örneklenmektedir.

Fonksiyon değerleri:

z = xg.^2 - yg.^2;

ile hesaplanmaktadır.

3. Türev alanının sayısal değerlendirilmesi

Analitik sonuçlar doğrudan mesh üzerinde:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

şeklinde değerlendirilmiştir.

Bu nedenle hesaplanan her grid noktasında iki değişim bileşeni bilinmektedir:

\[ (2x,-2y). \]

4. Görselleştirme katmanı

Yüzey:

surf(xg, yg, z);

ile oluşturulmaktadır.

Kaynak ayrıca:

colormap jet;
shading interp;

komutlarını kullanarak yüzeyi renk gradyanı ve interpolasyonlu gölgelendirme ile göstermektedir.

Quiver3 Grafiğindeki Oklar Tam Olarak Neyi Gösteriyor?

Kaynak kodunda `quiver3` çağrısı \(x\) ve \(y\) kısmi türevlerini okların yatay bileşenleri olarak kullanırken üçüncü vektör bileşenini sıfıra ayarlamaktadır. Bu nedenle oklar \((2x,-2y,0)\) biçimindedir ve yüzeyin 3B normal vektörünü değil, iki değişkenli gradyanın bileşenlerini yüzey yüksekliğine yerleştirilmiş biçimde gösterir.

Appendix A'daki komut:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

şeklindedir.

İlk üç matris okların başlangıç koordinatlarını:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

belirler.

Sonraki üç matris ise ok yönlerini:

\[ (2x,-2y,0) \]

olarak tanımlar.

Bu ayrım önemlidir. Görsel:

• yüzey normallerini,
• teğet düzlemleri,
• 3B uzaydaki normal gradyanı

doğrudan hesaplamamaktadır.

Bunun yerine iki değişkenli fonksiyonun giriş düzlemindeki türev yapısını yüzey üzerinde konumlandırarak görsel hale getirmektedir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Sistem mimarisinin dört katmanı

Kaynakta verilen hesaplama algoritması

Makalenin Algorithm 1 bölümündeki işlem sırası:

1. Sembolik \(x,y\) değişkenlerinin tanımlanması.
2. \(f(x,y)\) fonksiyonunun oluşturulması.
3. \(f_x\) ve \(f_y\) kısmi türevlerinin sembolik hesaplanması.
4. `meshgrid` ile sayısal domain oluşturulması.
5. Fonksiyon değerlerinden \(Z\) yüzey matrisinin üretilmesi.
6. Türev alanlarının aynı grid üzerinde değerlendirilmesi.
7. Sembolik ve sayısal davranış arasındaki tutarlılığın kontrol edilmesi.
8. `surf` ile yüzeyin oluşturulması.
9. `quiver3` ile türev vektörlerinin eklenmesi.
10. Birleşik görselleştirmenin gösterilmesi.

Şekil 1: eyer yüzeyi

Kaynak Şekil 1, MATLAB ekranı içinde oluşturulan:

\[ z=x^2-y^2 \]

yüzeyini göstermektedir.

Yüzey x doğrultusunda yukarı, y doğrultusunda aşağı kıvrılmaktadır. Kaynak bu davranışı:

• x yönünde pozitif eğrilik,
• y yönünde negatif eğrilik,
• orijinde eyer noktası

olarak yorumlamaktadır.

Şekil 2: kısmi türev vektör alanı

Kaynak Şekil 2'de vektör alanı tek başına gösterilmektedir.

x bileşeni:

\[ 2x \]

olduğu için vektörlerin x yönündeki bileşeni x koordinatıyla doğrusal biçimde büyür.

y bileşeni:

\[ -2y \]

olduğu için y'nin işareti değiştiğinde vektör yönü tersine döner.

Kaynak vektör alanının her iki koordinat ekseni çevresinde beklenen analitik simetriyi gösterdiğini belirtmektedir.

Şekil 3: birleşik yüzey ve türev alanı

Son ana çıktı `surf` ve `quiver3` yapılarının aynı figürde üst üste bindirilmesidir:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Bu görüntüde renkli eyer yüzeyi geometrik yapıyı, oklar ise türevlerin değişim bileşenlerini aynı koordinat uzayında göstermektedir.

Sembolik-sayısal tutarlılık kontrolü

Kaynak iki aşamalı bir doğrulama prosedürü tarif etmektedir:

• sembolik türevlerin sayısal yüzey eğilimiyle karşılaştırılması,
• vektör yönlerinin artan ve azalan yüzey bölgeleriyle geometrik olarak kontrol edilmesi.

Sonuç bölümünde sembolik türevlerin yüzey eğimiyle uyumlu olduğu, vektör yönlerinin sayısal eğilimleri takip ettiği ve test edilen alanda hesaplama tutarsızlığı gözlenmediği belirtilmektedir.

Ancak kaynak nicel bir hata ölçüsü raporlamamaktadır. Appendix A kodunda da ayrıca finite-difference türev hesabı veya hata matrisi bulunmamaktadır. Bu nedenle doğrulama daha çok analitik sonuçla grafik davranış arasındaki iç tutarlılık kontrolü düzeyindedir.

MATLAB sürümü açısından yeniden üretilebilirlik sorunu

Makalenin aynı sistem için üç farklı MATLAB sürümü raporlaması kaynak-içi bir metadata/yöntem tutarsızlığıdır.

Bununla birlikte yayımlanan kod çok temel MATLAB ve Symbolic Math Toolbox işlevlerine dayandığından yöntem yapısının hangi komutları kullandığı nettir. Verianla bu gözlemden hareketle herhangi bir sürümün “kesin doğru sürüm” olduğunu varsaymamaktadır.

Bu MATLAB Sistemi Gerçekten Gerçek Zamanlı ve Etkileşimli mi?

Kaynak sistemi “dynamic”, “interactive” ve bazı bölümlerde “real-time visualization” ifadeleriyle tanımlamaktadır. Yayımlanan kod ise yüzey, vektör alanı ve birleşik görünümü oluşturan standart MATLAB figürleri üretmektedir; özel bir grafik arayüz, parametre slider'ı, callback fonksiyonu, animasyon döngüsü veya gerçek zamanlı veri girişi Appendix A'da bulunmamaktadır. Bu nedenle kaynak bağlamındaki etkileşimli kullanım, MATLAB grafik ortamında üç boyutlu görsel keşif olarak anlaşılmalıdır.

Kaynak kodun yeniden üretilebilirlik avantajı

Çalışma dış veri seti gerektirmemektedir.

Gereken temel unsurlar:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• yerleşik `meshgrid`,
• `surf`,
• `quiver3`

işlevleridir.

Appendix A, çalışmada kullanılan örnek için çalıştırılabilir kodu yayımlamaktadır. Bu, grafikleri yeniden oluşturma açısından çalışmanın en güçlü metodolojik özelliklerinden biridir.

Modelin kapsamı

Ayrıntılı sonuçlar yalnız:

\[ z=x^2-y^2 \]

fonksiyonu üzerinden sunulmuştur.

Dolayısıyla şu fonksiyon sınıfları mevcut çalışmada ayrıca benchmark edilmemiştir:

• süreksiz fonksiyonlar,
• tekillik içeren fonksiyonlar,
• çok yüksek osilasyonlu yüzeyler,
• parçalı fonksiyonlar,
• daha yüksek boyutlu skaler alanlar.

Kaynak da daha karmaşık nonlinear veya discontinuous fonksiyonlardaki performansın henüz değerlendirilmediğini belirtmektedir.

Bu Çalışma MATLAB Görselleştirmesinin Öğrenmeyi İyileştirdiğini Kanıtlıyor mu?

Hayır. Makalede öğrenci veya öğretmen katılımcı bulunmamaktadır; kontrol grubu, başarı testi, tutum ölçeği veya öğrenme çıktısı ölçümü yapılmamıştır. Çalışma yalnız görselleştirme yazılımının matematiksel ve hesaplamalı yapısını değerlendirmektedir. Bu nedenle görsel sistemin çok değişkenli kalkülüs öğrenimini destekleyebileceği görüşü teorik ve potansiyel bir eğitimsel çıkarımdır, deneysel olarak doğrulanmış bir öğrenme etkisi değildir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• MATLAB içinde sembolik türev ile üç boyutlu grafik aynı hesaplama akışında birleştirilebilir.
• \(z=x^2-y^2\) fonksiyonunun eyer geometrisi `surf` ile doğru nitel yapıda gösterilmektedir.
• Analitik kısmi türevler \(2x\) ve \(−2y\) olarak hesaplanmaktadır.
• Bu türev bileşenleri `quiver3` yardımıyla vektör alanı olarak görselleştirilebilmektedir.
• Yüzey ve türev vektörleri tek MATLAB figüründe birleştirilebilmektedir.
• Dış veri seti veya üçüncü taraf MATLAB kütüphanesi gerekmemektedir.
• Örnek uygulamanın kodu makalenin Appendix A bölümünde verilmiştir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Sistemin öğrencilerin sınav başarısını artırdığı.
• Sistemin geleneksel öğretimden istatistiksel olarak daha etkili olduğu.
• Bütün çok değişkenli fonksiyonlarda doğrulandığı.
• Gerçek zamanlı GUI veya parametre kontrollü özel bir kullanıcı arayüzü geliştirildiği.
• Nicel sembolik-sayısal hata değerlerinin hesaplandığı.
• Quiver3 oklarının yüzey normal vektörlerini temsil ettiği.
• Sistemin karmaşık veya süreksiz fonksiyonlarda aynı doğruluk ve performansı gösterdiği.

Gelecek araştırmalar

Yazarlar sistemi daha ileri yapılara genişletmeyi önermektedir. Bunlar arasında:

• daha karmaşık matematiksel fonksiyonlar,
• daha yüksek boyutlu vektör alanları,
• diferansiyel manifoldlar,
• gerçek zamanlı kullanıcı etkileşim arayüzleri,
• kontrollü öğrenci deneyleriyle eğitimsel etkinliğin ölçülmesi

yer almaktadır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Türkçe başlık: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Yazarlar: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Sorumlu yazar: Ali Türkoğlu.

Afiliasyon 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Afiliasyon 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Dergi: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Cilt / Sayı: 4(1).

Sayfalar: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Gönderim: 10 Nisan 2026.

Kabul: 31 Mayıs 2026.

Yayın: 30 Haziran 2026.

Makale türü: Research Article.

Yayıncı: Ardahan University.

Hakemlik: JSAT çift-kör hakem değerlendirme politikası uyguladığını ve makalelerin en az iki hakem tarafından değerlendirildiğini belirtmektedir.

Açık erişim: Journal of Studies in Advanced Technologies açık erişimli bilimsel dergidir.

Lisans: Güncel dergi bilgisi Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0) lisansını göstermektedir.

Temel araştırma tasarımı: Computational scientific tool development / bilimsel görselleştirme yazılım prototipi.

Benchmark fonksiyon: \(z=x^2-y^2\).

Kısmi türevler: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Sayısal alan: x ve y için −2 ile +2 arasında, 0.1 grid adımı.

Temel MATLAB araçları: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 ve MATLAB Graphics Engine.

Görsel çıktılar: 3B eyer yüzeyi, türev vektör alanı ve yüzey-vektör birleşik grafiği.

Quiver3 yorumu: Yayımlanan kod vektör bileşenlerini \((f_x,f_y,0)\) olarak kullanmaktadır; dolayısıyla oklar tam 3B yüzey normal alanı değildir.

Yeniden üretilebilirlik: Uygulama kodu Appendix A'da verilmiştir ve dış veri seti ya da üçüncü taraf kütüphane gerektirmez.

MATLAB sürümü tutarsızlığı: Kaynak Abstract'ta R2023b, Methods bölümünde R2026a, Reproducibility bölümünde R2023b ve Appendix A'da R2023a bildirmektedir.

Doğrulama sınırı: Kaynak sembolik-sayısal ve geometrik tutarlılık kontrolü raporlamaktadır; ancak yayımlanan sonuçlarda nicel hata normu veya finite-difference karşılaştırma tablosu bulunmamaktadır.

Etkileşim sınırı: Kaynak “interactive/dynamic/real-time” ifadelerini kullanmaktadır; yayımlanan Appendix A kodunda özel GUI, callback veya animasyon mekanizması bulunmamaktadır.

Eğitimsel doğrulama: Yok. İnsan katılımcı veya öğrenme başarısı deneyi yapılmamıştır.

Etik kurul: Resmî makale kaydı çalışmanın etik kurul onayı gerektirmediğini belirtmektedir.

Finansman: Resmî makale kaydına göre çalışma herhangi bir kurum tarafından desteklenmemiştir.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması olmadığını bildirmektedir.

Yazar katkıları: Ali Türkoğlu — ilk taslak, metodoloji, araştırma, biçimsel analiz ve veri kürasyonu; Yasin Soylu — gözden geçirme/düzenleme, metodoloji, karakterizasyon ve süpervizyon.

Veri kullanımı: Çalışma dış veri setine dayanmamaktadır; fonksiyon değerleri MATLAB içinde hesaplanmaktadır.