Bu çalışma, Bézier eğrilerinin kontrol noktalarının doğrudan üç boyutlu bir yüzey üzerinde bulunan parametrik veya örtük bir eğriden seçilmesi durumunda ortaya çıkan geometrik davranışı inceliyor. Bézier eğrisi, belirli kontrol noktalarının Bernstein polinomlarıyla ağırlıklandırılmış toplamından oluşan parametrik bir eğridir. Klasik Bézier yaklaşımında kontrol noktaları eğrinin biçimini belirlerken bu çalışmada kontrol noktalarının kendisi silindir, küre, eyer, torus, Möbius ve lemniskat gibi yüzeyler üzerindeki eğrilerden örneklenmektedir. Böylece oluşturulan Bézier eğrisi yalnız kontrol çokgeninden değil, kontrol noktalarının alındığı yüzey geometrisinden de dolaylı olarak etkilenmektedir.

Çalışmanın temel gözlemi, yüzey eğrisi üzerinden seçilen kontrol noktalarının sayısı artırıldığında Bézier eğrisinin özgün yüzey eğrisine giderek yaklaşmasıdır. Bu davranış özellikle MATLAB uygulamalarında görsel olarak incelenmiştir. Silindir üzerindeki helis için 5, 10 ve 30 kontrol noktasıyla oluşturulan eğriler, nokta sayısının artmasıyla Bézier eğrisinin helis geometrisini daha yakından izlediğini göstermektedir. Bununla birlikte çalışma genel bir hata kestirimi veya nicel yakınsama mertebesi geliştirmemektedir; yazarlar bu tür hata ve yakınsama analizlerini gelecek araştırma konusu olarak önermektedir.

Bézier Eğrisi Nedir ve Kontrol Noktaları Eğriyi Nasıl Belirler?

Bézier eğrisi, \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) kontrol noktalarının Bernstein baz fonksiyonlarıyla ağırlıklandırılmasıyla elde edilen parametrik bir polinom eğrisidir. İlk ve son kontrol noktası eğrinin başlangıç ve bitiş noktalarını belirlerken ara kontrol noktaları eğrinin genel şeklini yönlendirir. Ara kontrol noktalarının normal koşullarda doğrudan Bézier eğrisi üzerinde bulunması gerekmez.

Genel \(n\). dereceden Bézier eğrisi kaynakta:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

olarak tanımlanmıştır.

Buradaki Bernstein baz fonksiyonu:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

şeklindedir.

Dolayısıyla her \(t\) değeri için Bézier eğrisinin konumu bütün kontrol noktalarının farklı ağırlıklarla oluşturduğu bir birleşimdir.

Bernstein polinomlarının temel fikri

Bernstein polinomları binom açılımındaki:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

ilişkisinden doğar.

Bu nedenle bütün Bernstein baz fonksiyonlarının toplamı \(0\leq t\leq1\) aralığında 1'dir:

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Bu özellik Bézier eğrisinin kontrol noktalarının afin kombinasyonu olarak yorumlanmasını mümkün kılar.

Birinci derece Bernstein polinomları

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Bu iki baz fonksiyon doğrudan iki kontrol noktası arasındaki doğrusal interpolasyonu oluşturur.

İkinci derece Bernstein polinomları

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Üçüncü derece Bernstein polinomları

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Kaynak Şekil 2.1–2.4 bu baz fonksiyonlarının 0., 1., 2. ve 3. derece için grafiklerini göstermektedir. Daha yüksek dereceli Bernstein fonksiyonlarında her bazın etkisi parametre aralığının farklı bir bölgesine yoğunlaşmaktadır.

Bernstein polinomlarının matris gösterimi

Makale Bernstein polinomlarının yalnız toplam formunda değil matris biçiminde de gösterilebileceğini açıklamaktadır. Örneğin kuadratik durumda:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Kübik durumda ise kaynak:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

biçimini vermektedir. Bu gösterim bilgisayar destekli geometrik tasarım ve sayısal uygulamalarda baz dönüşümlerini düzenli bir cebirsel yapıda ele almaya yardımcı olur.

De Casteljau Algoritması Bézier Eğrisini Nasıl Hesaplar?

De Casteljau algoritması, Bézier eğrisindeki bir noktayı doğrudan yüksek dereceli polinomları hesaplamak yerine kontrol noktaları arasında art arda doğrusal interpolasyon yaparak elde eden rekürsif bir yöntemdir. Her adımda komşu noktalar \(1-t\) ve \(t\) ağırlıklarıyla birleştirilir; işlem tek bir noktaya ulaşıncaya kadar tekrarlanır.

Temel rekürsiyon

Kaynakta güvenilir biçimde verilen rekürsiyon:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

şeklindedir.

Başlangıçta:

\[ P_i^0=P_i \]

alınır ve son aşamadaki:

\[ P_0^n(t) \]

Bézier eğrisinin \(t\) parametresindeki noktasını verir.

İkinci dereceden örnek

Üç kontrol noktası \(P_0,P_1,P_2\) için önce:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

hesaplanır.

Sonra:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

elde edilir.

Bunun açılımı:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

olup ikinci dereceden Bézier eğrisidir.

Kübik Bézier eğrisi

Dört kontrol noktası için:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Kaynak Şekil 3.5'te kontrol noktaları ile bunların oluşturduğu kontrol çokgeni ve Bézier eğrisi birlikte gösterilmektedir.

Kontrol çokgeni

Kontrol noktalarının sırasıyla doğrusal parçalarla birleştirilmesi sonucu oluşan poligona kontrol çokgeni denir. Bézier eğrisi bu çokgen tarafından geometrik olarak yönlendirilir.

Çalışmanın sonraki bölümündeki temel değişiklik, bu kontrol noktalarının rastgele seçilmemesidir. Noktalar, belirli bir üç boyutlu yüzey üzerinde zaten bulunan bir eğriden örneklenmektedir.

Yüzey Üzerindeki Bir Eğriden Bézier Eğrisi Nasıl Oluşturuluyor?

Kaynak \(R^3\) içinde:

\[ \varphi(u,v) \]

parametrizasyonuyla verilen bir yüzeyi ele almaktadır. \(u=u_0\) veya \(v=v_0\) gibi sabit seçimler yüzeyin parametre eğrilerini verir. Bunun dışında:

\[ f(u,v)=0 \]

ilişkisiyle yüzey üzerinde başka eğriler de tanımlanabilir.

Seçilen yüzey eğrisi üzerinde:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

noktaları örneklenir. Daha sonra bu noktalar standart Bézier formülünde kontrol noktaları olarak kullanılır:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Bu nedenle oluşturulan eğri standart anlamda yine bir Bézier eğrisidir; yöntemin farklılığı kontrol noktalarının geometrik kaynağıdır.

Kontrol Noktası Sayısı Arttığında Bézier Eğrisi Neden Yüzey Eğrisine Yaklaşıyor?

Bu çalışmanın yaklaşımında kontrol noktaları özgün yüzey eğrisinden daha sık örneklendikçe kontrol çokgeni yüzey eğrisinin yerel geometrisini daha ayrıntılı temsil etmeye başlar. Bernstein ağırlıklarıyla oluşturulan Bézier eğrisi de bu daha yoğun örnekleme tarafından yönlendirildiği için kaynak MATLAB örneklerinde özgün eğriyi giderek daha yakından izlemektedir. Makale bu davranışı 5, 10 ve 30 kontrol noktalı silindir-helis örneğinde açık biçimde görselleştirmektedir; ancak genel hata mertebesi veya yakınsama hızı hesaplamamaktadır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Uygulama 1: silindir üzerindeki helis

İlk temel örnekte dik dairesel silindir:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

ile tanımlanmıştır.

Yüzey üzerinde:

\[ v=u \]

seçilince:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

helis eğrisi elde edilir.

İlk örnekte beş kontrol noktası:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

değerlerinden alınmaktadır.

Beş kontrol noktasından dördüncü dereceden Bézier eğrisi elde edilmektedir:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Kaynak Şekil 4.2'de silindir, özgün helis, kontrol çokgeni ve Bézier eğrisi aynı üç boyutlu grafikte gösterilmektedir. Bézier eğrisi ilk ve son kontrol noktasından geçmesine rağmen beş noktalı durumda helisi tam olarak takip etmemektedir.

5, 10 ve 30 kontrol noktası karşılaştırması

Kaynak Şekil 4.4 çalışmanın temel bulgusunu en doğrudan gösteren görsellerden biridir. Aynı helis üzerinde sırasıyla:

• 5 kontrol noktası,
• 10 kontrol noktası,
• 30 kontrol noktası

kullanılmıştır.

Kontrol noktası sayısı arttıkça MATLAB grafiğinde Bézier eğrisinin silindir üzerindeki helise giderek daha fazla yaklaştığı görülmektedir.

Bu sonuç bir sayısal hata tablosuyla değil geometrik üst üste bindirme grafikleriyle gösterilmektedir.

Uygulama 2: küre üzerinde dairesel eğri

Birim küre:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

ile tanımlanmıştır.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

seçildiğinde:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

elde edilir.

Bu eğri küre üzerinde sabit yükseklikte bir çemberdir.

Teorik örnek dört kontrol noktasıyla kübik Bézier eğrisi kurarken MATLAB bölümündeki Şekil 4.5 ve 4.6, 10 kontrol noktalı yoğunlaştırılmış uygulamayı göstermektedir. Kaynaktaki bu iki kontrol noktası sayısı aynı hesap aşaması olarak karıştırılmamalıdır.

Uygulama 3: eyer yüzeyi

Kaynak eyer yüzeyini:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

olarak verir.

\[ u=0.5v \]

seçilerek yüzey üzerinde bir parametre eğrisi oluşturulur:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Bu eğri üzerinden yedi kontrol noktası seçilerek altıncı dereceden Bézier eğrisi hesaplanmıştır:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

Şekil 4.7 eyer yüzeyini, parametre eğrisini, kontrol çokgenini ve Bézier eğrisini birlikte göstermektedir.

Uygulama 4: torus

Genel torus yüzeyi kaynakta:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

biçiminde verilmiştir.

Çalışma:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

seçimini yapmaktadır.

Bu parametre eğrisinden yedi kontrol noktası alınmış ve Bézier eğrisi hesaplanmıştır. MATLAB sonucu Şekil 4.8'de torusun tel-kafes ve renkli yüzey gösterimleriyle birlikte sunulmaktadır.

Kaynak notasyonu notu: Genel torus bağıntısından sonra verilen yerine koyma satırında \(u\) ve \(v\) sembollerinin kullanımı matematiksel olarak genel form ve \(u=0.28v\) koşuluyla tam uyuşmamaktadır. Bu nedenle burada genel parametrizasyon ve kullanılan parametre koşulu korunmuş, kaynakta bulunmayan düzeltilmiş bir sonuç denklem olarak dayatılmamıştır.

Uygulama 5: Möbius yüzeyi

Kaynağın Möbius parametrizasyonu:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

şeklindedir.

\[ u=5v \]

ilişkisi kullanılarak yüzey üzerinde bir eğri oluşturulmuştur.

Bu eğriden beş kontrol noktası seçilmiş ve dördüncü dereceden Bézier eğrisi hesaplanmıştır:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Kaynak Şekil 4.9, Möbius yüzeyini ve bu yüzey üzerindeki parametrik eğri ile Bézier yaklaşımını üç boyutlu olarak göstermektedir.

Uygulama 6: lemniskat yüzeyi

Çalışma lemniskat yüzeyini önce:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

ve:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

bağıntılarıyla tanımlamaktadır.

Daha sonra:

\[ u=v \]

koşuluyla yüzey üzerinde bir parametre eğrisi seçilmektedir.

Bu eğriden altı kontrol noktası alınarak beşinci dereceden Bézier eğrisi oluşturulmuştur:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Kaynak Şekil 4.10'da lemniskat yüzeyinin karmaşık geometrisi üzerinde kontrol çokgeni ve Bézier eğrisi birlikte gösterilmektedir.

Uygulama 7: genel bir uzay eğrisi

Son örnekte yöntem doğrudan:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

şeklinde verilen bir uzay eğrisine uygulanmıştır.

Eğri üzerinde beş kontrol noktası seçilmiş ve bunların oluşturduğu Bézier eğrisi MATLAB ortamında çizilmiştir. Şekil 4.11 özgün eğri, kontrol noktaları ve Bézier yaklaşımını aynı koordinat sisteminde göstermektedir.

MATLAB'ın çalışmadaki rolü

MATLAB bu araştırmada yeni bir Bézier algoritması geliştirmek için değil, matematiksel yapıyı hesaplamak ve üç boyutlu geometrik davranışı görselleştirmek için kullanılmaktadır.

Özellikle:

• yüzey mesh'lerinin oluşturulması,
• parametre eğrilerinin çizilmesi,
• kontrol noktalarının belirlenmesi,
• Bernstein ağırlıklarının hesaplanması,
• Bézier eğrisinin koordinatlarının üretilmesi,
• kontrol çokgeninin gösterilmesi,
• kontrol noktası sayısının artırılmasıyla ortaya çıkan yaklaşımın karşılaştırılması

MATLAB grafiklerinde gerçekleştirilmektedir.

Silindir/helis uygulamasının `.m` kodunun önemli bölümü kaynakta açık biçimde verilmiştir. Kodda `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` ve doğrudan Bernstein katsayılarından oluşturulan Bézier koordinatları kullanılmaktadır.

Bu Çalışma Yeni Bir Bézier Algoritması mı Öneriyor?

Hayır. Yazarlar çalışmanın yeniliğinin yeni bir Bernstein bazı veya yeni bir De Casteljau algoritması geliştirmek olmadığını açıkça belirtmektedir. Katkı, klasik Bézier teorisini üç boyutlu yüzeylerde bulunan parametrik ve örtük eğrilerden seçilmiş kontrol noktalarıyla sistematik biçimde birleştiren yüzey-bağımlı bir geometrik çerçeve ve bunu destekleyen MATLAB uygulamalarıdır.

Çalışmanın desteklediği ana sonuçlar

• Bir yüzey eğrisinden örneklenen noktalar standart Bézier kontrol noktaları olarak kullanılabilir.
• Bu yöntem silindir, küre, eyer, torus, Möbius ve lemniskat gibi farklı yüzey geometrilerine uygulanabilmektedir.
• Kontrol noktası sayısının artırılması kaynak MATLAB örneklerinde Bézier eğrisinin özgün yüzey eğrisine daha yakın görünmesini sağlamaktadır.
• Silindir-helis örneğinde 5, 10 ve 30 kontrol noktası arasındaki fark görsel olarak gösterilmiştir.
• De Casteljau algoritması ve Bernstein bazları aynı Bézier geometrisinin eşdeğer hesaplama altyapısını sağlamaktadır.
• MATLAB, yüzey, kontrol çokgeni, özgün eğri ve Bézier eğrisini aynı üç boyutlu ortamda karşılaştırmaya olanak vermektedir.

Çalışmanın doğrudan kanıtlamadığı sonuçlar

• Bütün yüzey eğrileri için belirli bir kontrol noktası sayısının yeterli olduğu.
• Kontrol noktası sayısı \(n\) ile hata arasında genel bir sayısal formül bulunduğu.
• Yakınsama hızının bütün yüzeylerde aynı olduğu.
• Önerilen yöntemin NURBS veya rasyonel Bézier temsillerinden her durumda daha doğru olduğu.
• Yöntemin gerçek zamanlı CAD sistemlerinde performans benchmarkının yapıldığı.
• MATLAB kodunun bağımsız bir yazılım deposunda sürümlenmiş ve test edilmiş bir paket olduğu.

Yakınsama açısından temel sınırlama

Makalenin “kontrol noktaları arttıkça Bézier eğrisi yüzey eğrisine yaklaşır” sonucu çalışmanın merkezindedir. Ancak bu sonuç esas olarak geometrik yapı ve MATLAB görselleri üzerinden gösterilmektedir.

Yazarların gelecek çalışma önerileri arasında özellikle:

• hata kestirimlerinin geliştirilmesi,
• yakınsama hızlarının daha katı analitik biçimde incelenmesi

yer almaktadır. Bu ifade mevcut çalışmada genel yakınsama oranının henüz elde edilmediğini doğrulamaktadır.

CAGD açısından anlamı

Computer-Aided Geometric Design bağlamında yüzey üzerinde belirli bir eğrinin Bézier temsiline dönüştürülmesi tasarım, yeniden parametreleme ve geometrik veri işleme açısından kullanışlı olabilir. Kontrol noktaları sayesinde eğri standart Bézier araçlarıyla temsil edilebilirken noktaların yüzeyden alınması özgün geometrinin korunmasına yardımcı olur.

Yazarlar bu yaklaşımı ileride doğrudan yüzey parçalarından Bézier yüzeylerinin oluşturulmasına hazırlık olarak da değerlendirmektedir.

Gelecek araştırma yönleri

Kaynak sonuç bölümünde dört temel geliştirme doğrultusu belirtilmektedir:

• yüzey parçalarından doğrudan Bézier yüzeyi oluşturma,
• daha güçlü şekil kontrolü için alternatif polinom bazları veya rasyonel formülasyonlar,
• hata kestirimi ve yakınsama hızlarının analitik incelenmesi,
• yöntemin izogeometrik analiz, CAD/CAM ve gerçek zamanlı geometrik modelleme sistemleriyle bütünleştirilmesi.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Yazarlar: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Sorumlu yazar: Kaynak PDF'deki yıldız işaretine göre Şenay Baydaş.

Afiliasyon 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Afiliasyon 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Dergi: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Dergi kısaltması: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Cilt / Sayı: 18(2).

Sayfalar: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Yayın tarihi: 30 Haziran 2026.

Gönderim tarihi: 2 Ocak 2025.

Kabul tarihi: 18 Şubat 2026.

Makale türü: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Yayıncı: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Hakemlik: Dergi politikası, editoryal orijinallik kontrolünden geçen makalelerin iki hakeme single-blind peer review için gönderildiğini belirtmektedir.

Açık erişim: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science açık erişimli bir dergi olarak tanımlanmaktadır.

Lisans notu: İncelenen makale PDF'sinde belirli bir Creative Commons lisans kodu raporlanmamaktadır; bu nedenle kaynakta bulunmayan bir CC lisansı atanmamıştır.

Temel matematiksel araçlar: Bernstein polinomları, Bézier eğrileri, kontrol çokgenleri ve De Casteljau rekürsif interpolasyon algoritması.

Temel yöntem: \(R^3\) içindeki parametrik veya örtük bir yüzey eğrisinden belirli sayıda kontrol noktası örnekleme ve bu noktaların Bernstein-Bézier kombinasyonuyla yeni bir Bézier eğrisi oluşturma.

MATLAB örnekleri: silindir üzerindeki helis, küre üzerindeki daire, eyer, torus, Möbius, lemniskat ve genel bir uzay eğrisi.

Ana gözlem: Kontrol noktalarının sayısı artırıldığında MATLAB örneklerinde Bézier yaklaşımı özgün yüzey eğrisine giderek daha fazla yaklaşmaktadır.

Yakınsama sınırı: Makale genel hata normu veya yakınsama mertebesi vermemektedir; daha katı hata ve yakınsama analizi gelecek çalışma olarak önerilmiştir.

Kaynak-içi notasyon sorunları: Küre örneğinde dört ve on kontrol noktası ifadelerinin farklı aşamalarda kullanılması; torus örneğindeki parametre yerine koyma satırının genel parametrizasyonla tam uyuşmaması; De Casteljau türetiminin bir ara satırında \(t\) katsayısının “i” biçiminde görünmesi.

Kod erişimi: MATLAB kod parçaları makale içinde verilmektedir; incelenen kaynakta bağımsız sürümlenmiş kod deposu bağlantısı bulunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Yazarlar makalenin yayımlanmasına ilişkin çıkar çatışması olmadığını beyan etmektedir.

Yazar katkısı: Kaynak, bütün yazarların yayımlanan makale sürümünü okuyup onayladığını belirtmektedir; ayrıntılı CRediT rol dağılımı verilmemiştir.

Finansman: İncelenen kaynakta ayrı bir finansman beyanı bulunmamaktadır.

Veri erişilebilirliği: Ayrı bir veri erişilebilirliği bölümü veya veri deposu bağlantısı raporlanmamıştır.