Utafiti huu unachunguza tabia ya kijiometri inayojitokeza wakati nukta za udhibiti za mikunjo ya Bézier zinapochaguliwa moja kwa moja kutoka kwenye mkunjo wa kiparameta au fiche ulio juu ya uso wa pande tatu. Mkunjo wa Bézier ni mkunjo wa kiparameta unaoundwa na jumla iliyowekewa uzani ya nukta maalumu za udhibiti kwa kutumia polinomu za Bernstein. Katika mkabala wa kawaida wa Bézier, nukta za udhibiti huamua umbo la mkunjo, ilhali katika utafiti huu nukta zenyewe za udhibiti huchukuliwa kama sampuli kutoka kwenye mikunjo iliyo juu ya nyuso kama silinda, tufe, uso wa tandiko, torasi, Möbius na lemniskati. Kwa hiyo, mkunjo wa Bézier unaoundwa hauathiriwi kwa njia isiyo ya moja kwa moja na poligoni ya udhibiti pekee, bali pia na jiometri ya uso ambao nukta za udhibiti zimechukuliwa.

Uchunguzi mkuu wa utafiti ni kwamba idadi ya nukta za udhibiti zinazochaguliwa kutoka kwenye mkunjo wa uso inapoongezwa, mkunjo wa Bézier huzidi kuukaribia mkunjo wa awali wa uso. Tabia hii imechunguzwa hasa kwa njia ya kuona katika matumizi ya MATLAB. Kwa heliksi iliyo juu ya silinda, mikunjo iliyoundwa kwa kutumia nukta 5, 10 na 30 za udhibiti inaonyesha kuwa kadiri idadi ya nukta inavyoongezeka, mkunjo wa Bézier hufuata jiometri ya heliksi kwa ukaribu zaidi. Hata hivyo, utafiti hauendelezi makadirio ya jumla ya hitilafu wala daraja la kiasi la ukaribiaji; waandishi wanapendekeza uchanganuzi wa aina hii wa hitilafu na ukaribiaji kuwa mada ya utafiti wa baadaye.

Mkunjo wa Bézier Ni Nini na Nukta za Udhibiti Huamuaje Mkunjo?

Mkunjo wa Bézier ni mkunjo wa polinomu wa kiparameta unaopatikana kwa kuweka uzani kwenye nukta za udhibiti \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) kwa kutumia fomula za msingi za Bernstein. Nukta ya kwanza na ya mwisho ya udhibiti huamua nukta ya mwanzo na mwisho ya mkunjo, huku nukta za udhibiti za kati zikielekeza umbo la jumla la mkunjo. Katika hali za kawaida, si lazima nukta za udhibiti za kati ziwe moja kwa moja juu ya mkunjo wa Bézier.

Mkunjo wa jumla wa Bézier wa daraja la \(n\) umefafanuliwa katika chanzo kama:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

.

Fomula ya msingi ya Bernstein hapa ni:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

.

Kwa hiyo, kwa kila thamani ya \(t\), nafasi ya mkunjo wa Bézier ni mchanganyiko unaoundwa na nukta zote za udhibiti kwa uzani tofauti.

Wazo la msingi la polinomu za Bernstein

Polinomu za Bernstein hutokana na uhusiano katika upanuzi wa binomi:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

.

Kwa sababu hiyo, jumla ya fomula zote za msingi za Bernstein ni 1 katika kipindi cha \(0\leq t\leq1\):

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Sifa hii huwezesha mkunjo wa Bézier kufasiriwa kama mchanganyiko affin wa nukta za udhibiti.

Polinomu za Bernstein za daraja la kwanza

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Fomula hizi mbili za msingi huunda moja kwa moja uingizaji wa mstari kati ya nukta mbili za udhibiti.

Polinomu za Bernstein za daraja la pili

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Polinomu za Bernstein za daraja la tatu

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Vielelezo 2.1–2.4 katika chanzo vinaonyesha grafu za fomula hizi za msingi kwa daraja la 0., 1., 2. na 3. Katika fomula za Bernstein za daraja la juu zaidi, athari ya kila msingi hukusanyika katika sehemu tofauti ya kipindi cha parameta.

Uwakilishi wa kimatriksi wa polinomu za Bernstein

Makala inaeleza kwamba polinomu za Bernstein zinaweza kuonyeshwa si katika umbo la jumla pekee bali pia katika umbo la matriksi. Kwa mfano, katika hali ya kwadratiki:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Katika hali ya kubiki, chanzo kinatoa:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

. Uwakilishi huu husaidia kushughulikia mabadiliko ya msingi katika muundo wa kijiometri unaosaidiwa na kompyuta na matumizi ya kihesabu ndani ya muundo wa aljebra uliopangiliwa.

Algoriti ya De Casteljau Huhesabuje Mkunjo wa Bézier?

Algoriti ya De Casteljau ni mbinu ya kujirudia inayopata nukta kwenye mkunjo wa Bézier kwa kufanya uingizaji wa mstari mfululizo kati ya nukta za udhibiti badala ya kuhesabu moja kwa moja polinomu za daraja la juu. Katika kila hatua, nukta jirani huunganishwa kwa uzani wa \(1-t\) na \(t\); mchakato hurudiwa hadi kufikiwa nukta moja.

Ujirudiaji wa msingi

Ujirudiaji uliotolewa kwa uhakika katika chanzo ni:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

.

Mwanzoni:

\[ P_i^0=P_i \]

huchukuliwa, na katika hatua ya mwisho:

\[ P_0^n(t) \]

hutoa nukta ya mkunjo wa Bézier kwa parameta \(t\).

Mfano wa daraja la pili

Kwa nukta tatu za udhibiti \(P_0,P_1,P_2\), kwanza:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

huhesabiwa.

Kisha:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

hupatikana.

Upanuzi wake ni:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

na ndio mkunjo wa Bézier wa daraja la pili.

Mkunjo wa Bézier wa kubiki

Kwa nukta nne za udhibiti:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Kielelezo 3.5 katika chanzo kinaonyesha kwa pamoja nukta za udhibiti, poligoni ya udhibiti inayoundwa nazo na mkunjo wa Bézier.

Poligoni ya udhibiti

Poligoni inayoundwa kwa kuunganisha nukta za udhibiti kwa vipande vya mstari kwa mpangilio huitwa poligoni ya udhibiti. Mkunjo wa Bézier huongozwa kijiometri na poligoni hii.

Mabadiliko ya msingi katika sehemu inayofuata ya utafiti ni kwamba nukta hizi za udhibiti hazichaguliwi kiholela. Nukta huchukuliwa kama sampuli kutoka kwenye mkunjo ambao tayari upo juu ya uso maalumu wa pande tatu.

Mkunjo wa Bézier Unaundwaje Kutoka Kwenye Mkunjo Ulio Juu ya Uso?

Chanzo kinazingatia katika \(R^3\):

\[ \varphi(u,v) \]

uso unaotolewa kwa uparametishaji huu. Chaguo zisizobadilika kama \(u=u_0\) au \(v=v_0\) hutoa mikunjo ya kiparameta ya uso. Zaidi ya hayo:

\[ f(u,v)=0 \]

uhusiano huu unaweza kutumiwa kufafanua mikunjo mingine juu ya uso.

Juu ya mkunjo wa uso uliochaguliwa:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

nukta huchukuliwa kama sampuli. Kisha nukta hizi hutumiwa kama nukta za udhibiti katika fomula ya kawaida ya Bézier:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Kwa hiyo, mkunjo unaoundwa bado ni mkunjo wa Bézier kwa maana ya kawaida; tofauti ya mbinu iko katika chanzo cha kijiometri cha nukta za udhibiti.

Kwa Nini Mkunjo wa Bézier Hukikaribia Mkunjo wa Uso Idadi ya Nukta za Udhibiti Inapoongezeka?

Katika mkabala wa utafiti huu, kadiri nukta za udhibiti zinavyochukuliwa kwa msongamano mkubwa zaidi kutoka kwenye mkunjo wa awali wa uso, poligoni ya udhibiti huanza kuwakilisha kwa undani zaidi jiometri ya ndani ya mkunjo wa uso. Kwa kuwa mkunjo wa Bézier unaoundwa kwa uzani za Bernstein pia huongozwa na uchukuaji huu wa sampuli ulio na msongamano mkubwa zaidi, katika mifano ya MATLAB ya chanzo huufuata mkunjo wa awali kwa ukaribu unaozidi kuongezeka. Makala inaonyesha tabia hii wazi katika mfano wa silinda-heliksi wenye nukta 5, 10 na 30 za udhibiti; hata hivyo, haihesabu daraja la jumla la hitilafu wala kasi ya ukaribiaji.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Matumizi 1: heliksi juu ya silinda

Katika mfano wa kwanza wa msingi, silinda ya duara iliyonyooka:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

imefafanuliwa.

Juu ya uso:

\[ v=u \]

ikichaguliwa:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

mkunjo wa heliksi hupatikana.

Katika mfano wa kwanza, nukta tano za udhibiti huchukuliwa kutoka kwenye thamani:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

.

Kwa nukta tano za udhibiti, mkunjo wa Bézier wa daraja la nne hupatikana:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Kielelezo 4.2 katika chanzo kinaonyesha silinda, heliksi ya awali, poligoni ya udhibiti na mkunjo wa Bézier katika grafu ileile ya pande tatu. Ingawa mkunjo wa Bézier unapita kwenye nukta ya kwanza na ya mwisho ya udhibiti, katika hali ya nukta tano hauifuati heliksi kikamilifu.

Ulinganisho wa nukta 5, 10 na 30 za udhibiti

Kielelezo 4.4 katika chanzo ni mojawapo ya taswira zinazoonyesha kwa njia ya moja kwa moja zaidi matokeo ya msingi ya utafiti. Juu ya heliksi ileile, kwa mpangilio:

• nukta 5 za udhibiti,
• nukta 10 za udhibiti,
• nukta 30 za udhibiti

zimetumiwa.

Kadiri idadi ya nukta za udhibiti inavyoongezeka, grafu ya MATLAB inaonyesha kwamba mkunjo wa Bézier huzidi kuikaribia heliksi iliyo juu ya silinda.

Matokeo haya hayaonyeshwi kwa jedwali la hitilafu za nambari, bali kwa grafu za kijiometri zilizowekwa juu ya nyingine.

Matumizi 2: mkunjo wa duara juu ya tufe

Tufe ya kitengo:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

imefafanuliwa.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

inapochaguliwa:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

hupatikana.

Mkunjo huu ni duara lililo katika kimo kisichobadilika juu ya tufe.

Wakati mfano wa kinadharia unajenga mkunjo wa Bézier wa kubiki kwa nukta nne za udhibiti, Vielelezo 4.5 na 4.6 katika sehemu ya MATLAB vinaonyesha matumizi yaliyoongezwa msongamano yenye nukta 10 za udhibiti. Idadi hizi mbili za nukta za udhibiti katika chanzo hazipaswi kuchanganywa kana kwamba ni hatua ileile ya hesabu.

Matumizi 3: uso wa tandiko

Chanzo kinatoa uso wa tandiko kama:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

.

\[ u=0.5v \]

inapochaguliwa, mkunjo wa kiparameta huundwa juu ya uso:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Nukta saba za udhibiti zimechaguliwa kutoka kwenye mkunjo huu na mkunjo wa Bézier wa daraja la sita umehesabiwa:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

Kielelezo 4.7 kinaonyesha kwa pamoja uso wa tandiko, mkunjo wa kiparameta, poligoni ya udhibiti na mkunjo wa Bézier.

Matumizi 4: torasi

Uso wa jumla wa torasi umetolewa katika chanzo kama:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

.

Utafiti unachagua:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

.

Nukta saba za udhibiti zimechukuliwa kutoka kwenye mkunjo huu wa kiparameta na mkunjo wa Bézier umehesabiwa. Matokeo ya MATLAB yanawasilishwa katika Kielelezo 4.8 pamoja na maonyesho ya torasi katika muundo wa fremu ya waya na uso wenye rangi.

Maelezo kuhusu notasheni ya chanzo: Katika mstari wa ubadilishaji unaotolewa baada ya uhusiano wa jumla wa torasi, matumizi ya alama \(u\) na \(v\) hayalingani kikamilifu kimahesabu na umbo la jumla pamoja na sharti la \(u=0.28v\). Kwa sababu hiyo, uparametishaji wa jumla na sharti la parameta lililotumika vimehifadhiwa hapa, na hakuna mlinganyo wa matokeo uliosahihishwa ambao haupo katika chanzo uliowekwa.

Matumizi 5: uso wa Möbius

Uparametishaji wa Möbius katika chanzo ni:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

.

\[ u=5v \]

uhusiano huu ukitumiwa, mkunjo huundwa juu ya uso.

Nukta tano za udhibiti zimechaguliwa kutoka kwenye mkunjo huu na mkunjo wa Bézier wa daraja la nne umehesabiwa:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Kielelezo 4.9 katika chanzo kinaonyesha kwa pande tatu uso wa Möbius pamoja na mkunjo wa kiparameta juu ya uso huo na ukaribiaji wa Bézier.

Matumizi 6: uso wa lemniskati

Utafiti kwanza unafafanua uso wa lemniskati kwa mahusiano:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

na:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

.

Kisha:

\[ u=v \]

kwa sharti hili, mkunjo wa kiparameta huchaguliwa juu ya uso.

Nukta sita za udhibiti zimechukuliwa kutoka kwenye mkunjo huu na mkunjo wa Bézier wa daraja la tano umeundwa:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Katika Kielelezo 4.10 cha chanzo, poligoni ya udhibiti na mkunjo wa Bézier vinaonyeshwa pamoja juu ya jiometri changamano ya uso wa lemniskati.

Matumizi 7: mkunjo wa jumla wa anga

Katika mfano wa mwisho, mbinu imetumika moja kwa moja kwenye mkunjo wa anga uliotolewa kama:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

.

Nukta tano za udhibiti zimechaguliwa juu ya mkunjo na mkunjo wa Bézier unaoundwa nazo umechorwa katika mazingira ya MATLAB. Kielelezo 4.11 kinaonyesha mkunjo wa awali, nukta za udhibiti na ukaribiaji wa Bézier katika mfumo uleule wa koordinati.

Jukumu la MATLAB katika utafiti

MATLAB inatumika katika utafiti huu si kwa ajili ya kuendeleza algoriti mpya ya Bézier, bali kwa ajili ya kuhesabu muundo wa kihisabati na kuonyesha kwa kuona tabia ya kijiometri ya pande tatu.

Hasa:

• uundaji wa mesh za uso,
• uchoraji wa mikunjo ya kiparameta,
• uainishaji wa nukta za udhibiti,
• uhesabuji wa uzani za Bernstein,
• utengenezaji wa koordinati za mkunjo wa Bézier,
• uonyeshaji wa poligoni ya udhibiti,
• ulinganisho wa ukaribiaji unaotokea kwa kuongeza idadi ya nukta za udhibiti

hufanywa katika grafu za MATLAB.

Sehemu muhimu ya msimbo wa `.m` wa matumizi ya silinda/heliksi imetolewa wazi katika chanzo. Msimbo hutumia `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` na koordinati za Bézier zinazoundwa moja kwa moja kutoka kwenye vigawo vya Bernstein.

Je, Utafiti Huu Unapendekeza Algoriti Mpya ya Bézier?

Hapana. Waandishi wanaeleza wazi kwamba ubunifu wa utafiti si kuendeleza msingi mpya wa Bernstein wala algoriti mpya ya De Casteljau. Mchango ni mfumo wa kijiometri unaotegemea uso unaounganisha kwa utaratibu nadharia ya kawaida ya Bézier na nukta za udhibiti zilizochaguliwa kutoka kwenye mikunjo ya kiparameta na fiche iliyo kwenye nyuso za pande tatu, pamoja na matumizi ya MATLAB yanayounga mkono mfumo huu.

Matokeo makuu yanayoungwa mkono na utafiti

• Nukta zinazochukuliwa kama sampuli kutoka kwenye mkunjo wa uso zinaweza kutumiwa kama nukta za kawaida za udhibiti za Bézier.
• Mbinu hii inaweza kutumiwa kwa jiometri tofauti za nyuso kama silinda, tufe, uso wa tandiko, torasi, Möbius na lemniskati.
• Kuongeza idadi ya nukta za udhibiti hufanya mkunjo wa Bézier uonekane karibu zaidi na mkunjo wa awali wa uso katika mifano ya MATLAB ya chanzo.
• Katika mfano wa silinda-heliksi, tofauti kati ya nukta 5, 10 na 30 za udhibiti imeonyeshwa kwa njia ya kuona.
• Algoriti ya De Casteljau na misingi ya Bernstein hutoa miundombinu sawa ya kihesabu kwa jiometri ileile ya Bézier.
• MATLAB huruhusu uso, poligoni ya udhibiti, mkunjo wa awali na mkunjo wa Bézier kulinganishwa katika mazingira yale yale ya pande tatu.

Matokeo ambayo utafiti hauyathibitishi moja kwa moja

• Kwamba idadi fulani ya nukta za udhibiti inatosha kwa mikunjo yote ya nyuso.
• Kwamba kuna fomula ya jumla ya nambari kati ya idadi ya nukta za udhibiti \(n\) na hitilafu.
• Kwamba kasi ya ukaribiaji ni sawa kwa nyuso zote.
• Kwamba mbinu iliyopendekezwa ni sahihi zaidi katika kila hali kuliko NURBS au uwakilishi wa Bézier wa kirazionali.
• Kwamba benchmark ya utendaji wa mbinu imefanywa katika mifumo ya CAD ya wakati halisi.
• Kwamba msimbo wa MATLAB ni kifurushi kilichowekewa matoleo na kujaribiwa katika hifadhi huru ya programu.

Kizuizi kikuu kwa upande wa ukaribiaji

Hitimisho la makala kwamba “kadiri nukta za udhibiti zinavyoongezeka, mkunjo wa Bézier huukaribia mkunjo wa uso” ni kiini cha utafiti. Hata hivyo, hitimisho hili linaonyeshwa hasa kupitia muundo wa kijiometri na taswira za MATLAB.

Miongoni mwa mapendekezo ya waandishi kwa kazi za baadaye, hasa kuna:

• kuendeleza makadirio ya hitilafu,
• kuchunguza kasi za ukaribiaji kwa uchanganuzi mkali zaidi

. Kauli hii inathibitisha kwamba kiwango cha jumla cha ukaribiaji bado hakijapatikana katika utafiti wa sasa.

Maana yake katika CAGD

Katika muktadha wa Computer-Aided Geometric Design, kubadilisha mkunjo maalumu ulio juu ya uso kuwa uwakilishi wa Bézier kunaweza kuwa na manufaa kwa ubunifu, uparametishaji upya na uchakataji wa data za kijiometri. Kupitia nukta za udhibiti, mkunjo unaweza kuwakilishwa kwa zana za kawaida za Bézier, huku kuchukua nukta kutoka kwenye uso kukisaidia kuhifadhi jiometri ya awali.

Waandishi pia wanauchukulia mkabala huu kama maandalizi ya kuunda nyuso za Bézier moja kwa moja kutoka kwenye vipande vya uso katika siku zijazo.

Mwelekeo wa utafiti wa baadaye

Sehemu ya hitimisho ya chanzo inaonyesha mielekeo minne mikuu ya maendeleo:

• kuunda uso wa Bézier moja kwa moja kutoka kwenye vipande vya uso,
• misingi mbadala ya polinomu au uundaji wa kirazionali kwa udhibiti wenye nguvu zaidi wa umbo,
• uchunguzi wa kichanganuzi wa makadirio ya hitilafu na kasi za ukaribiaji,
• kuunganisha mbinu na uchanganuzi wa isogeometri, CAD/CAM na mifumo ya uundaji wa kijiometri ya wakati halisi.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kazi asilia: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Waandishi: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Mwandishi anayewajibika: Kulingana na alama ya nyota katika PDF ya chanzo, Şenay Baydaş.

Ushirika 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Ushirika 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Jarida: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Kifupisho cha jarida: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Juzuu / Toleo: 18(2).

Kurasa: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Tarehe ya kuchapishwa: 30 Juni 2026.

Tarehe ya kuwasilishwa: 2 Januari 2025.

Tarehe ya kukubaliwa: 18 Februari 2026.

Aina ya makala: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Mchapishaji: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Mapitio ya kitaalamu: Sera ya jarida inaeleza kwamba makala zinazopita ukaguzi wa uhariri wa uasilia hutumwa kwa wakaguzi wawili kwa single-blind peer review.

Ufikiaji wazi: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science linaelezwa kuwa jarida la ufikiaji wazi.

Maelezo ya leseni: PDF ya makala iliyochunguzwa haitoi msimbo maalumu wa leseni ya Creative Commons; kwa hiyo hakuna leseni ya CC ambayo haipo katika chanzo iliyowekwa.

Zana kuu za kihisabati: polinomu za Bernstein, mikunjo ya Bézier, poligoni za udhibiti na algoriti ya De Casteljau ya uingizaji unaojirudia.

Mbinu kuu: kuchukua kama sampuli idadi maalumu ya nukta za udhibiti kutoka kwenye mkunjo wa uso wa kiparameta au fiche ndani ya \(R^3\), na kuunda mkunjo mpya wa Bézier kwa mchanganyiko wa Bernstein-Bézier wa nukta hizi.

Mifano ya MATLAB: heliksi juu ya silinda, duara juu ya tufe, uso wa tandiko, torasi, Möbius, lemniskati na mkunjo wa jumla wa anga.

Uchunguzi mkuu: Idadi ya nukta za udhibiti inapoongezwa, ukaribiaji wa Bézier katika mifano ya MATLAB huzidi kuukaribia mkunjo wa awali wa uso.

Kizuizi cha ukaribiaji: Makala haitoi norma ya jumla ya hitilafu wala daraja la ukaribiaji; uchanganuzi mkali zaidi wa hitilafu na ukaribiaji umependekezwa kama kazi ya baadaye.

Matatizo ya notasheni ndani ya chanzo: matumizi ya kauli za nukta nne na kumi za udhibiti katika hatua tofauti za mfano wa tufe; mstari wa ubadilishaji wa parameta katika mfano wa torasi kutolingana kikamilifu na uparametishaji wa jumla; katika mstari mmoja wa kati wa utoaji wa De Casteljau, kigawo cha \(t\) kuonekana katika umbo la “i”.

Upatikanaji wa msimbo: Vipande vya msimbo wa MATLAB vinatolewa ndani ya makala; katika chanzo kilichochunguzwa hakuna kiungo cha hifadhi huru ya msimbo iliyowekewa matoleo.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wanatangaza kwamba hakuna mgongano wa maslahi unaohusiana na uchapishaji wa makala.

Mchango wa waandishi: Chanzo kinaeleza kwamba waandishi wote walisoma na kuidhinisha toleo la makala lililochapishwa; mgawanyo wa kina wa majukumu ya CRediT haujatolewa.

Ufadhili: Hakuna tamko tofauti la ufadhili katika chanzo kilichochunguzwa.

Upatikanaji wa data: Hakuna sehemu tofauti ya upatikanaji wa data wala kiungo cha hifadhi ya data kilichoripotiwa.