Ushbu tadqiqot Bézier egri chiziqlarining nazorat nuqtalari bevosita uch o‘lchamli sirt ustida joylashgan parametrik yoki oshkormas egri chiziqdan tanlanganda yuzaga keladigan geometrik xatti-harakatni o‘rganadi. Bézier egri chizig‘i — ma’lum nazorat nuqtalarining Bernstein ko‘phadlari bilan vaznlantirilgan yig‘indisidan hosil bo‘ladigan parametrik egri chiziqdir. Klassik Bézier yondashuvida nazorat nuqtalari egri chiziq shaklini belgilasa, ushbu tadqiqotda nazorat nuqtalarining o‘zi silindr, sfera, egar, torus, Möbius va lemniskata kabi sirtlar ustidagi egri chiziqlardan namuna sifatida olinadi. Shunday qilib, hosil qilingan Bézier egri chizig‘iga faqat nazorat ko‘pburchagi emas, balki nazorat nuqtalari olingan sirt geometriyasi ham bilvosita ta’sir ko‘rsatadi.

Tadqiqotning asosiy kuzatuvi shundan iboratki, sirt egri chizig‘idan tanlangan nazorat nuqtalari soni oshirilganda Bézier egri chizig‘i asl sirt egri chizig‘iga tobora yaqinlashadi. Bu xatti-harakat ayniqsa MATLAB ilovalarida vizual tarzda tekshirilgan. Silindr ustidagi helisa uchun 5, 10 va 30 nazorat nuqtasi bilan tuzilgan egri chiziqlar, nuqtalar soni ortgani sari Bézier egri chizig‘i helisa geometriyasini yanada yaqinroq kuzatishini ko‘rsatadi. Biroq tadqiqot umumiy xatolik bahosini yoki miqdoriy yaqinlashish tartibini ishlab chiqmaydi; mualliflar bunday xatolik va yaqinlashish tahlillarini kelajakdagi tadqiqot mavzusi sifatida taklif qiladilar.

Bézier Egri Chizig‘i Nima va Nazorat Nuqtalari Egri Chiziqni Qanday Belgilaydi?

Bézier egri chizig‘i \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) nazorat nuqtalarini Bernstein bazis funksiyalari bilan vaznlash orqali olinadigan parametrik polinom egri chizig‘idir. Birinchi va oxirgi nazorat nuqtalari egri chiziqning boshlanish va tugash nuqtalarini belgilaydi, oraliq nazorat nuqtalari esa egri chiziqning umumiy shaklini yo‘naltiradi. Odatdagi sharoitlarda oraliq nazorat nuqtalari bevosita Bézier egri chizig‘i ustida yotishi shart emas.

Umumiy \(n\)-darajali Bézier egri chizig‘i manbada:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

ko‘rinishida ta’riflangan.

Bu yerdagi Bernstein bazis funksiyasi:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

ko‘rinishidadir.

Demak, har bir \(t\) qiymati uchun Bézier egri chizig‘ining holati barcha nazorat nuqtalari turli vaznlar bilan hosil qilgan kombinatsiyadir.

Bernstein ko‘phadlarining asosiy g‘oyasi

Bernstein ko‘phadlari binom yoyilmasidagi:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

munosabatidan kelib chiqadi.

Shu sababli barcha Bernstein bazis funksiyalarining yig‘indisi \(0\leq t\leq1\) oraliqda 1 ga teng:

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Bu xususiyat Bézier egri chizig‘ini nazorat nuqtalarining affin kombinatsiyasi sifatida talqin qilish imkonini beradi.

Birinchi darajali Bernstein ko‘phadlari

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Bu ikki bazis funksiya bevosita ikki nazorat nuqtasi orasidagi chiziqli interpolyatsiyani hosil qiladi.

Ikkinchi darajali Bernstein ko‘phadlari

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Uchinchi darajali Bernstein ko‘phadlari

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Manbadagi 2.1–2.4-rasmlar ushbu bazis funksiyalarining 0., 1., 2. va 3. darajalar uchun grafiklarini ko‘rsatadi. Yuqori darajali Bernstein funksiyalarida har bir bazisning ta’siri parametr oralig‘ining turli qismida jamlanadi.

Bernstein ko‘phadlarining matritsaviy ifodasi

Maqolada Bernstein ko‘phadlarini faqat yig‘indi shaklida emas, balki matritsa ko‘rinishida ham ifodalash mumkinligi tushuntiriladi. Masalan, kvadratik holatda:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Kubik holatda esa manba:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

ko‘rinishini beradi. Bu ifoda kompyuter yordamidagi geometrik loyihalash va sonli ilovalarda bazis almashtirishlarini tartibli algebraik tuzilma doirasida ko‘rib chiqishga yordam beradi.

De Casteljau Algoritmi Bézier Egri Chizig‘ini Qanday Hisoblaydi?

De Casteljau algoritmi Bézier egri chizig‘idagi nuqtani yuqori darajali ko‘phadlarni bevosita hisoblash o‘rniga nazorat nuqtalari orasida ketma-ket chiziqli interpolyatsiya bajarish orqali hosil qiladigan rekursiv usuldir. Har bir bosqichda qo‘shni nuqtalar \(1-t\) va \(t\) vaznlari bilan birlashtiriladi; jarayon bitta nuqtaga yetguncha takrorlanadi.

Asosiy rekursiya

Manbada ishonchli tarzda berilgan rekursiya:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

ko‘rinishidadir.

Boshlanishida:

\[ P_i^0=P_i \]

olinadi va oxirgi bosqichdagi:

\[ P_0^n(t) \]

Bézier egri chizig‘ining \(t\) parametridagi nuqtasini beradi.

Ikkinchi darajali misol

Uchta \(P_0,P_1,P_2\) nazorat nuqtasi uchun avval:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

hisoblanadi.

So‘ng:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

hosil qilinadi.

Uning yoyilmasi:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

bo‘lib, ikkinchi darajali Bézier egri chizig‘idir.

Kubik Bézier egri chizig‘i

To‘rtta nazorat nuqtasi uchun:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Manbadagi 3.5-rasmda nazorat nuqtalari, ular hosil qilgan nazorat ko‘pburchagi va Bézier egri chizig‘i birgalikda ko‘rsatiladi.

Nazorat ko‘pburchagi

Nazorat nuqtalarini ketma-ket chiziqli kesmalar bilan birlashtirish natijasida hosil bo‘lgan ko‘pburchak nazorat ko‘pburchagi deb ataladi. Bézier egri chizig‘i geometrik jihatdan ushbu ko‘pburchak tomonidan yo‘naltiriladi.

Tadqiqotning keyingi bo‘limidagi asosiy o‘zgarish shundaki, bu nazorat nuqtalari tasodifiy tanlanmaydi. Nuqtalar muayyan uch o‘lchamli sirt ustida mavjud bo‘lgan egri chiziqdan namuna sifatida olinadi.

Sirt Ustidagi Egri Chiziqdan Bézier Egri Chizig‘i Qanday Hosil Qilinadi?

Manba \(R^3\) ichida:

\[ \varphi(u,v) \]

parametrlashtirish bilan berilgan sirtni ko‘rib chiqadi. \(u=u_0\) yoki \(v=v_0\) kabi o‘zgarmas tanlovlar sirtning parametrik egri chiziqlarini beradi. Bundan tashqari:

\[ f(u,v)=0 \]

munosabati yordamida sirt ustida boshqa egri chiziqlar ham aniqlanishi mumkin.

Tanlangan sirt egri chizig‘i ustida:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

nuqtalar namuna sifatida olinadi. Keyin bu nuqtalar standart Bézier formulasida nazorat nuqtalari sifatida ishlatiladi:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Shuning uchun hosil qilingan egri chiziq standart ma’noda yana Bézier egri chizig‘idir; usulning farqi nazorat nuqtalarining geometrik manbasidadir.

Nazorat Nuqtalari Soni Oshganda Bézier Egri Chizig‘i Nega Sirt Egri Chizig‘iga Yaqinlashadi?

Ushbu tadqiqot yondashuvida nazorat nuqtalari asl sirt egri chizig‘idan tobora zichroq namuna sifatida olingan sari nazorat ko‘pburchagi sirt egri chizig‘ining mahalliy geometriyasini batafsilroq ifodalay boshlaydi. Bernstein vaznlari bilan hosil qilingan Bézier egri chizig‘i ham shu zichroq namunalash tomonidan yo‘naltirilgani uchun manbadagi MATLAB misollarida asl egri chiziqni tobora yaqinroq kuzatadi. Maqola bu xatti-harakatni 5, 10 va 30 nazorat nuqtali silindr-helisa misolida aniq vizuallashtiradi; biroq umumiy xatolik tartibini yoki yaqinlashish tezligini hisoblamaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Ilova 1: silindr ustidagi helisa

Birinchi asosiy misolda to‘g‘ri doiraviy silindr:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

bilan ta’riflangan.

Sirt ustida:

\[ v=u \]

tanlanganda:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

helisa egri chizig‘i hosil bo‘ladi.

Birinchi misolda beshta nazorat nuqtasi:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

qiymatlaridan olinadi.

Beshta nazorat nuqtasidan to‘rtinchi darajali Bézier egri chizig‘i hosil qilinadi:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Manbadagi 4.2-rasmda silindr, asl helisa, nazorat ko‘pburchagi va Bézier egri chizig‘i bir xil uch o‘lchamli grafikda ko‘rsatiladi. Bézier egri chizig‘i birinchi va oxirgi nazorat nuqtasidan o‘tsa-da, besh nuqtali holatda helisani to‘liq kuzatmaydi.

5, 10 va 30 nazorat nuqtasini taqqoslash

Manbadagi 4.4-rasm tadqiqotning asosiy natijasini eng bevosita ko‘rsatadigan tasvirlardan biridir. Bir xil helisa ustida mos ravishda:

• 5 nazorat nuqtasi,
• 10 nazorat nuqtasi,
• 30 nazorat nuqtasi

ishlatilgan.

Nazorat nuqtalari soni oshgani sari MATLAB grafigida Bézier egri chizig‘ining silindr ustidagi helisaga tobora ko‘proq yaqinlashgani ko‘rinadi.

Bu natija sonli xatolik jadvali bilan emas, geometrik ustma-ust qo‘yilgan grafiklar orqali ko‘rsatiladi.

Ilova 2: sfera ustidagi aylana egri chizig‘i

Birlik sfera:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

bilan ta’riflangan.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

tanlanganda:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

hosil bo‘ladi.

Bu egri chiziq sfera ustida o‘zgarmas balandlikdagi aylanadir.

Nazariy misol to‘rtta nazorat nuqtasi bilan kubik Bézier egri chizig‘ini qursa, MATLAB bo‘limidagi 4.5 va 4.6-rasmlar 10 nazorat nuqtali zichlashtirilgan ilovani ko‘rsatadi. Manbadagi bu ikki nazorat nuqtasi sonini bir xil hisoblash bosqichi deb aralashtirmaslik kerak.

Ilova 3: egar sirti

Manba egar sirtini:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

ko‘rinishida beradi.

\[ u=0.5v \]

tanlanib, sirt ustida parametrik egri chiziq hosil qilinadi:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Ushbu egri chiziqdan yettita nazorat nuqtasi tanlanib, oltinchi darajali Bézier egri chizig‘i hisoblangan:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

4.7-rasm egar sirtini, parametrik egri chiziqni, nazorat ko‘pburchagini va Bézier egri chizig‘ini birgalikda ko‘rsatadi.

Ilova 4: torus

Umumiy torus sirti manbada:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

ko‘rinishida berilgan.

Tadqiqot:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

tanlovini amalga oshiradi.

Ushbu parametrik egri chiziqdan yettita nazorat nuqtasi olinib, Bézier egri chizig‘i hisoblangan. MATLAB natijasi 4.8-rasmda torusning sim-karkas va rangli sirt tasvirlari bilan birga taqdim etiladi.

Manba notatsiyasi haqida izoh: Umumiy torus munosabatidan keyin berilgan o‘rniga qo‘yish satrida \(u\) va \(v\) belgilaridan foydalanish matematik jihatdan umumiy shakl va \(u=0.28v\) sharti bilan to‘liq mos kelmaydi. Shu sababli bu yerda umumiy parametrlashtirish va qo‘llangan parametr sharti saqlanib, manbada mavjud bo‘lmagan tuzatilgan natija tenglama sifatida kiritilmagan.

Ilova 5: Möbius sirti

Manbadagi Möbius parametrlashtirishi:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

ko‘rinishidadir.

\[ u=5v \]

munosabatidan foydalanib sirt ustida egri chiziq hosil qilingan.

Ushbu egri chiziqdan beshta nazorat nuqtasi tanlanib, to‘rtinchi darajali Bézier egri chizig‘i hisoblangan:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Manbadagi 4.9-rasm Möbius sirtini va ushbu sirt ustidagi parametrik egri chiziq bilan Bézier yaqinlashuvini uch o‘lchamli tarzda ko‘rsatadi.

Ilova 6: lemniskata sirti

Tadqiqot lemniskata sirtini avval:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

va:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

munosabatlari bilan ta’riflaydi.

Keyin:

\[ u=v \]

sharti bilan sirt ustida parametrik egri chiziq tanlanadi.

Ushbu egri chiziqdan oltita nazorat nuqtasi olinib, beshinchi darajali Bézier egri chizig‘i hosil qilingan:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Manbadagi 4.10-rasmda lemniskata sirtining murakkab geometriyasi ustida nazorat ko‘pburchagi va Bézier egri chizig‘i birgalikda ko‘rsatiladi.

Ilova 7: umumiy fazoviy egri chiziq

So‘nggi misolda usul bevosita:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

ko‘rinishida berilgan fazoviy egri chiziqqa qo‘llangan.

Egri chiziq ustida beshta nazorat nuqtasi tanlanib, ular hosil qilgan Bézier egri chizig‘i MATLAB muhitida chizilgan. 4.11-rasm asl egri chiziqni, nazorat nuqtalarini va Bézier yaqinlashuvini bir xil koordinata tizimida ko‘rsatadi.

MATLAB-ning tadqiqotdagi roli

MATLAB ushbu tadqiqotda yangi Bézier algoritmini ishlab chiqish uchun emas, matematik tuzilmani hisoblash va uch o‘lchamli geometrik xatti-harakatni vizuallashtirish uchun ishlatiladi.

Xususan:

• sirt meshlarini yaratish,
• parametrik egri chiziqlarni chizish,
• nazorat nuqtalarini belgilash,
• Bernstein vaznlarini hisoblash,
• Bézier egri chizig‘i koordinatalarini hosil qilish,
• nazorat ko‘pburchagini ko‘rsatish,
• nazorat nuqtalari sonini oshirish natijasida yuzaga keladigan yaqinlashuvni taqqoslash

MATLAB grafiklarida bajariladi.

Silindr/helisa ilovasining `.m` kodidagi muhim qism manbada ochiq ko‘rinishda berilgan. Kodda `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` va bevosita Bernstein koeffitsiyentlaridan hosil qilingan Bézier koordinatalari ishlatiladi.

Ushbu Tadqiqot Yangi Bézier Algoritmini Taklif Qiladimi?

Yo‘q. Mualliflar tadqiqot yangiligi yangi Bernstein bazisini yoki yangi De Casteljau algoritmini ishlab chiqishda emasligini aniq ta’kidlaydilar. Hissa klassik Bézier nazariyasini uch o‘lchamli sirtlarda joylashgan parametrik va oshkormas egri chiziqlardan tanlangan nazorat nuqtalari bilan tizimli ravishda birlashtiruvchi sirtga bog‘liq geometrik doira hamda uni qo‘llab-quvvatlovchi MATLAB ilovalaridan iborat.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan asosiy natijalar

• Sirt egri chizig‘idan namuna sifatida olingan nuqtalar standart Bézier nazorat nuqtalari sifatida ishlatilishi mumkin.
• Bu usul silindr, sfera, egar, torus, Möbius va lemniskata kabi turli sirt geometriyalariga qo‘llanishi mumkin.
• Nazorat nuqtalari sonini oshirish manbadagi MATLAB misollarida Bézier egri chizig‘ining asl sirt egri chizig‘iga yaqinroq ko‘rinishini ta’minlaydi.
• Silindr-helisa misolida 5, 10 va 30 nazorat nuqtasi orasidagi farq vizual tarzda ko‘rsatilgan.
• De Casteljau algoritmi va Bernstein bazislari bir xil Bézier geometriyasining ekvivalent hisoblash asosini ta’minlaydi.
• MATLAB sirt, nazorat ko‘pburchagi, asl egri chiziq va Bézier egri chizig‘ini bir xil uch o‘lchamli muhitda taqqoslash imkonini beradi.

Tadqiqot bevosita isbotlamaydigan natijalar

• Barcha sirt egri chiziqlari uchun ma’lum bir nazorat nuqtalari soni yetarli ekanligi.
• Nazorat nuqtalari soni \(n\) bilan xatolik o‘rtasida umumiy sonli formula mavjudligi.
• Yaqinlashish tezligi barcha sirtlarda bir xil ekanligi.
• Taklif etilgan usul NURBS yoki ratsional Bézier ifodalaridan har qanday holatda ham aniqroq ekanligi.
• Usulning real vaqt CAD tizimlaridagi unumdorlik benchmarki o‘tkazilgani.
• MATLAB kodi mustaqil dasturiy ta’minot repozitoriysida versiyalangan va sinovdan o‘tkazilgan paket ekanligi.

Yaqinlashish nuqtai nazaridan asosiy cheklov

Maqolaning “nazorat nuqtalari ko‘paygani sari Bézier egri chizig‘i sirt egri chizig‘iga yaqinlashadi” degan natijasi tadqiqot markazida turadi. Biroq bu natija asosan geometrik tuzilma va MATLAB vizualizatsiyalari orqali ko‘rsatilgan.

Mualliflarning kelajakdagi tadqiqot takliflari orasida, xususan:

• xatolik baholarini ishlab chiqish,
• yaqinlashish tezliklarini yanada qat’iy analitik tarzda o‘rganish

mavjud. Bu ifoda hozirgi tadqiqotda umumiy yaqinlashish darajasi hali olinmaganini tasdiqlaydi.

CAGD nuqtai nazaridan ahamiyati

Computer-Aided Geometric Design kontekstida sirt ustidagi muayyan egri chiziqni Bézier ifodasiga aylantirish loyihalash, qayta parametrlash va geometrik ma’lumotlarni qayta ishlash nuqtai nazaridan foydali bo‘lishi mumkin. Nazorat nuqtalari tufayli egri chiziq standart Bézier vositalari bilan ifodalanishi mumkin, nuqtalarning sirtdan olinishi esa asl geometriyani saqlashga yordam beradi.

Mualliflar ushbu yondashuvni kelajakda bevosita sirt bo‘laklaridan Bézier sirtlarini hosil qilishga tayyorgarlik sifatida ham baholaydilar.

Kelajakdagi tadqiqot yo‘nalishlari

Manbaning xulosa bo‘limida to‘rtta asosiy rivojlantirish yo‘nalishi ko‘rsatilgan:

• sirt bo‘laklaridan bevosita Bézier sirtini hosil qilish,
• kuchliroq shakl nazorati uchun muqobil polinom bazislari yoki ratsional formulalar,
• xatolik bahosi va yaqinlashish tezliklarini analitik o‘rganish,
• usulni izogeometrik tahlil, CAD/CAM va real vaqt geometrik modellashtirish tizimlari bilan integratsiyalash.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Mualliflar: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Mas’ul muallif: Manba PDF-dagi yulduzcha belgisiga ko‘ra Şenay Baydaş.

Affiliatsiya 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Affiliatsiya 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Jurnal: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Jurnal qisqartmasi: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Jild / Son: 18(2).

Sahifalar: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Nashr sanasi: 30 iyun 2026.

Yuborilgan sana: 2 yanvar 2025.

Qabul qilingan sana: 18 fevral 2026.

Maqola turi: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Nashriyotchi: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Taqriz jarayoni: Jurnal siyosatiga ko‘ra, tahririy originallik tekshiruvidan o‘tgan maqolalar single-blind peer review uchun ikki taqrizchiga yuboriladi.

Ochiq kirish: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science ochiq kirishli jurnal sifatida ta’riflanadi.

Litsenziya izohi: Ko‘rib chiqilgan maqola PDF-ida muayyan Creative Commons litsenziya kodi ko‘rsatilmagan; shu sababli manbada mavjud bo‘lmagan CC litsenziyasi belgilanmagan.

Asosiy matematik vositalar: Bernstein ko‘phadlari, Bézier egri chiziqlari, nazorat ko‘pburchaklari va De Casteljau rekursiv interpolyatsiya algoritmi.

Asosiy usul: \(R^3\) ichidagi parametrik yoki oshkormas sirt egri chizig‘idan ma’lum miqdordagi nazorat nuqtalarini namuna sifatida olish va ushbu nuqtalarning Bernstein-Bézier kombinatsiyasi orqali yangi Bézier egri chizig‘ini hosil qilish.

MATLAB misollari: silindr ustidagi helisa, sfera ustidagi aylana, egar, torus, Möbius, lemniskata va umumiy fazoviy egri chiziq.

Asosiy kuzatuv: Nazorat nuqtalari soni oshirilganda MATLAB misollarida Bézier yaqinlashuvi asl sirt egri chizig‘iga tobora ko‘proq yaqinlashadi.

Yaqinlashish cheklovi: Maqolada umumiy xatolik normasi yoki yaqinlashish tartibi berilmagan; qat’iyroq xatolik va yaqinlashish tahlili kelajakdagi tadqiqot sifatida taklif qilingan.

Manba ichidagi notatsiya muammolari: Sfera misolida to‘rtta va o‘nta nazorat nuqtasi ifodalarining turli bosqichlarda ishlatilishi; torus misolidagi parametrni o‘rniga qo‘yish satrining umumiy parametrlashtirishga to‘liq mos kelmasligi; De Casteljau keltirib chiqarishining oraliq satrlaridan birida \(t\) koeffitsiyentining “i” ko‘rinishida chiqishi.

Kodga kirish: MATLAB kod parchalari maqola ichida berilgan; ko‘rib chiqilgan manbada mustaqil versiyalangan kod repozitoriysiga havola mavjud emas.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar maqolaning nashr qilinishi bilan bog‘liq manfaatlar to‘qnashuvi yo‘qligini bildiradilar.

Muallif hissasi: Manbada barcha mualliflar nashr qilingan maqola versiyasini o‘qib, tasdiqlagani aytiladi; batafsil CRediT rollari taqsimoti berilmagan.

Moliyalashtirish: Ko‘rib chiqilgan manbada alohida moliyalashtirish bayonoti mavjud emas.

Ma’lumotlarning mavjudligi: Alohida ma’lumotlar mavjudligi bo‘limi yoki ma’lumotlar repozitoriysiga havola berilmagan.