Bu tədqiqat, Bézier əyrilərinin nəzarət nöqtələrinin birbaşa üçölçülü səth üzərində yerləşən parametrik və ya örtük əyridən seçilməsi halında ortaya çıxan həndəsi davranışı araşdırır. Bézier əyrisi, müəyyən nəzarət nöqtələrinin Bernstein polinomları ilə çəkiləndirilmiş cəmindən ibarət parametrik əyridir. Klassik Bézier yanaşmasında nəzarət nöqtələri əyrinin formasını müəyyən etdiyi halda, bu tədqiqatda nəzarət nöqtələrinin özü silindr, kürə, yəhər, torus, Möbius və lemniskat kimi səthlər üzərindəki əyrilərdən nümunələnir. Beləliklə yaradılan Bézier əyrisinə yalnız nəzarət çoxbucaqlısı deyil, nəzarət nöqtələrinin götürüldüyü səthin həndəsəsi də dolayı şəkildə təsir edir.

Tədqiqatın əsas müşahidəsi budur ki, səth əyrisi üzərindən seçilən nəzarət nöqtələrinin sayı artırıldıqda Bézier əyrisi ilkin səth əyrisinə getdikcə yaxınlaşır. Bu davranış xüsusilə MATLAB tətbiqlərində vizual şəkildə araşdırılmışdır. Silindr üzərindəki helis üçün 5, 10 və 30 nəzarət nöqtəsi ilə yaradılan əyrilər, nöqtələrin sayı artdıqca Bézier əyrisinin helis həndəsəsini daha yaxından izlədiyini göstərir. Bununla belə, tədqiqat ümumi xəta qiymətləndirilməsi və ya kəmiyyətcə yaxınlaşma tərtibi hazırlamır; müəlliflər bu cür xəta və yaxınlaşma təhlillərini gələcək tədqiqat mövzusu kimi təklif edirlər.

Bézier Əyrisi Nədir və Nəzarət Nöqtələri Əyrini Necə Müəyyən Edir?

Bézier əyrisi, \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) nəzarət nöqtələrinin Bernstein bazis funksiyaları ilə çəkiləndirilməsi nəticəsində alınan parametrik polinom əyrisidir. İlk və son nəzarət nöqtələri əyrinin başlanğıc və son nöqtələrini müəyyən etdiyi halda, aralıq nəzarət nöqtələri əyrinin ümumi formasını yönləndirir. Normal şəraitdə aralıq nəzarət nöqtələrinin birbaşa Bézier əyrisinin üzərində yerləşməsi tələb olunmur.

Ümumi \(n\)-ci dərəcəli Bézier əyrisi mənbədə:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

kimi tərif edilmişdir.

Buradakı Bernstein bazis funksiyası:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

şəklindədir.

Beləliklə, hər bir \(t\) qiyməti üçün Bézier əyrisinin mövqeyi bütün nəzarət nöqtələrinin müxtəlif çəkilərlə yaratdığı kombinasiyadır.

Bernstein polinomlarının əsas ideyası

Bernstein polinomları binom açılışındakı:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

münasibətindən yaranır.

Buna görə bütün Bernstein bazis funksiyalarının cəmi \(0\leq t\leq1\) intervalında 1-ə bərabərdir:

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Bu xüsusiyyət Bézier əyrisini nəzarət nöqtələrinin affin kombinasiyası kimi şərh etməyə imkan verir.

Birinci dərəcəli Bernstein polinomları

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Bu iki bazis funksiyası birbaşa iki nəzarət nöqtəsi arasında xətti interpolyasiya yaradır.

İkinci dərəcəli Bernstein polinomları

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Üçüncü dərəcəli Bernstein polinomları

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Mənbənin Şəkil 2.1–2.4 hissəsində bu bazis funksiyalarının 0., 1., 2. və 3. dərəcələr üçün qrafikləri göstərilir. Daha yüksək dərəcəli Bernstein funksiyalarında hər bazisin təsiri parametr intervalının fərqli bir hissəsində cəmləşir.

Bernstein polinomlarının matris göstərilişi

Məqalə Bernstein polinomlarının yalnız cəm şəklində deyil, matris formasında da göstərilə biləcəyini izah edir. Məsələn, kvadratik halda:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Kubik halda isə mənbə:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

formasını verir. Bu göstəriliş kompüter dəstəkli həndəsi dizayn və ədədi tətbiqlərdə bazis çevrilmələrini nizamlı cəbri quruluşda nəzərdən keçirməyə kömək edir.

De Casteljau Alqoritmi Bézier Əyrisini Necə Hesablayır?

De Casteljau alqoritmi, Bézier əyrisindəki bir nöqtəni yüksək dərəcəli polinomları birbaşa hesablamaq əvəzinə nəzarət nöqtələri arasında ardıcıl xətti interpolyasiya aparmaqla əldə edən rekursiv üsuldur. Hər addımda qonşu nöqtələr \(1-t\) və \(t\) çəkiləri ilə birləşdirilir; proses tək bir nöqtəyə çatana qədər təkrarlanır.

Əsas rekursiya

Mənbədə etibarlı şəkildə verilən rekursiya:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

şəklindədir.

Başlanğıcda:

\[ P_i^0=P_i \]

götürülür və son mərhələdəki:

\[ P_0^n(t) \]

Bézier əyrisinin \(t\) parametrindəki nöqtəsini verir.

İkinci dərəcəli nümunə

Üç nəzarət nöqtəsi \(P_0,P_1,P_2\) üçün əvvəlcə:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

hesablanır.

Sonra:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

alınır.

Bunun açılışı:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

olub ikinci dərəcəli Bézier əyrisidir.

Kubik Bézier əyrisi

Dörd nəzarət nöqtəsi üçün:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Mənbənin Şəkil 3.5 hissəsində nəzarət nöqtələri, onların yaratdığı nəzarət çoxbucaqlısı və Bézier əyrisi birlikdə göstərilir.

Nəzarət çoxbucaqlısı

Nəzarət nöqtələrinin ardıcıllıqla xətti parçalar vasitəsilə birləşdirilməsi nəticəsində yaranan çoxbucaqlıya nəzarət çoxbucaqlısı deyilir. Bézier əyrisi həndəsi baxımdan bu çoxbucaqlı tərəfindən yönləndirilir.

Tədqiqatın sonrakı hissəsindəki əsas dəyişiklik bu nəzarət nöqtələrinin təsadüfi seçilməməsidir. Nöqtələr müəyyən üçölçülü səth üzərində artıq mövcud olan əyridən nümunələnir.

Səth Üzərindəki Bir Əyridən Bézier Əyrisi Necə Yaradılır?

Mənbə \(R^3\) daxilində:

\[ \varphi(u,v) \]

parametrləşdirilməsi ilə verilən səthi nəzərdən keçirir. \(u=u_0\) və ya \(v=v_0\) kimi sabit seçimlər səthin parametr əyrilərini verir. Bundan başqa:

\[ f(u,v)=0 \]

münasibəti ilə səth üzərində başqa əyrilər də müəyyən edilə bilər.

Seçilmiş səth əyrisi üzərində:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

nöqtələri nümunələnir. Daha sonra bu nöqtələr standart Bézier düsturunda nəzarət nöqtələri kimi istifadə olunur:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Buna görə yaradılan əyri standart mənada yenə Bézier əyrisidir; üsulun fərqi nəzarət nöqtələrinin həndəsi mənbəyidir.

Nəzarət Nöqtələrinin Sayı Artanda Bézier Əyrisi Niyə Səth Əyrisinə Yaxınlaşır?

Bu tədqiqatın yanaşmasında nəzarət nöqtələri ilkin səth əyrisindən daha sıx nümunələndikcə nəzarət çoxbucaqlısı səth əyrisinin lokal həndəsəsini daha ətraflı təmsil etməyə başlayır. Bernstein çəkiləri ilə yaradılan Bézier əyrisi də bu daha sıx nümunələmə tərəfindən yönləndirildiyi üçün mənbədəki MATLAB nümunələrində ilkin əyrini getdikcə daha yaxından izləyir. Məqalə bu davranışı 5, 10 və 30 nəzarət nöqtəli silindr-helis nümunəsində açıq şəkildə vizuallaşdırır; lakin ümumi xəta tərtibini və ya yaxınlaşma sürətini hesablamır.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tətbiq 1: silindr üzərində helis

İlk əsas nümunədə düz dairəvi silindr:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

ilə müəyyən edilmişdir.

Səth üzərində:

\[ v=u \]

seçildikdə:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

helis əyrisi alınır.

İlk nümunədə beş nəzarət nöqtəsi:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

qiymətlərindən götürülür.

Beş nəzarət nöqtəsindən dördüncü dərəcəli Bézier əyrisi alınır:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Mənbənin Şəkil 4.2 hissəsində silindr, ilkin helis, nəzarət çoxbucaqlısı və Bézier əyrisi eyni üçölçülü qrafikdə göstərilir. Bézier əyrisi ilk və son nəzarət nöqtəsindən keçsə də, beş nöqtəli halda helisi tam izləmir.

5, 10 və 30 nəzarət nöqtəsinin müqayisəsi

Mənbənin Şəkil 4.4 hissəsi tədqiqatın əsas nəticəsini ən birbaşa göstərən vizuallardan biridir. Eyni helis üzərində ardıcıllıqla:

• 5 nəzarət nöqtəsi,
• 10 nəzarət nöqtəsi,
• 30 nəzarət nöqtəsi

istifadə edilmişdir.

Nəzarət nöqtələrinin sayı artdıqca MATLAB qrafikində Bézier əyrisinin silindr üzərindəki helisə getdikcə daha çox yaxınlaşdığı görünür.

Bu nəticə ədədi xəta cədvəli ilə deyil, həndəsi üst-üstə salınmış qrafiklərlə göstərilir.

Tətbiq 2: kürə üzərində dairəvi əyri

Vahid kürə:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

ilə müəyyən edilmişdir.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

seçildikdə:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

alınır.

Bu əyri kürə üzərində sabit hündürlükdə yerləşən çevrədir.

Nəzəri nümunə dörd nəzarət nöqtəsi ilə kubik Bézier əyrisi qurduğu halda, MATLAB bölməsindəki Şəkil 4.5 və 4.6 10 nəzarət nöqtəli sıxlaşdırılmış tətbiqi göstərir. Mənbədəki bu iki nəzarət nöqtəsi sayı eyni hesablama mərhələsi kimi qarışdırılmamalıdır.

Tətbiq 3: yəhər səthi

Mənbə yəhər səthini:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

kimi verir.

\[ u=0.5v \]

seçilərək səth üzərində parametr əyrisi yaradılır:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Bu əyri üzərindən yeddi nəzarət nöqtəsi seçilərək altıncı dərəcəli Bézier əyrisi hesablanmışdır:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

Şəkil 4.7 yəhər səthini, parametr əyrisini, nəzarət çoxbucaqlısını və Bézier əyrisini birlikdə göstərir.

Tətbiq 4: torus

Ümumi torus səthi mənbədə:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

şəklində verilmişdir.

Tədqiqat:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

seçimini edir.

Bu parametr əyrisindən yeddi nəzarət nöqtəsi götürülmüş və Bézier əyrisi hesablanmışdır. MATLAB nəticəsi Şəkil 4.8-də torusun məftil-karkas və rəngli səth göstərilişləri ilə birlikdə təqdim olunur.

Mənbə notasiyası qeydi: Ümumi torus münasibətindən sonra verilən yerinə qoyma sətrində \(u\) və \(v\) simvollarının istifadəsi riyazi baxımdan ümumi forma və \(u=0.28v\) şərti ilə tam uyğunlaşmır. Buna görə burada ümumi parametrləşdirmə və istifadə olunan parametr şərti qorunmuş, mənbədə olmayan düzəldilmiş nəticə tənliyi əlavə edilməmişdir.

Tətbiq 5: Möbius səthi

Mənbənin Möbius parametrləşdirilməsi:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

şəklindədir.

\[ u=5v \]

münasibətindən istifadə edilərək səth üzərində əyri yaradılmışdır.

Bu əyridən beş nəzarət nöqtəsi seçilmiş və dördüncü dərəcəli Bézier əyrisi hesablanmışdır:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Mənbənin Şəkil 4.9 hissəsində Möbius səthi və bu səth üzərindəki parametrik əyri ilə Bézier yaxınlaşması üçölçülü şəkildə göstərilir.

Tətbiq 6: lemniskat səthi

Tədqiqat lemniskat səthini əvvəlcə:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

və:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

münasibətləri ilə müəyyən edir.

Daha sonra:

\[ u=v \]

şərti ilə səth üzərində parametr əyrisi seçilir.

Bu əyridən altı nəzarət nöqtəsi götürülərək beşinci dərəcəli Bézier əyrisi yaradılmışdır:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Mənbənin Şəkil 4.10 hissəsində lemniskat səthinin mürəkkəb həndəsəsi üzərində nəzarət çoxbucaqlısı və Bézier əyrisi birlikdə göstərilir.

Tətbiq 7: ümumi fəza əyrisi

Son nümunədə üsul birbaşa:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

şəklində verilən fəza əyrisinə tətbiq edilmişdir.

Əyri üzərində beş nəzarət nöqtəsi seçilmiş və onların yaratdığı Bézier əyrisi MATLAB mühitində çəkilmişdir. Şəkil 4.11 ilkin əyrini, nəzarət nöqtələrini və Bézier yaxınlaşmasını eyni koordinat sistemində göstərir.

MATLAB-ın tədqiqatdakı rolu

MATLAB bu tədqiqatda yeni Bézier alqoritmi hazırlamaq üçün deyil, riyazi quruluşu hesablamaq və üçölçülü həndəsi davranışı vizuallaşdırmaq üçün istifadə olunur.

Xüsusilə:

• səth mesh-lərinin yaradılması,
• parametr əyrilərinin çəkilməsi,
• nəzarət nöqtələrinin müəyyən edilməsi,
• Bernstein çəkilərinin hesablanması,
• Bézier əyrisinin koordinatlarının yaradılması,
• nəzarət çoxbucaqlısının göstərilməsi,
• nəzarət nöqtələrinin sayının artırılması ilə ortaya çıxan yaxınlaşmanın müqayisəsi

MATLAB qrafiklərində həyata keçirilir.

Silindr/helis tətbiqinin `.m` kodunun mühüm hissəsi mənbədə açıq şəkildə verilmişdir. Kodda `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` və birbaşa Bernstein əmsallarından yaradılan Bézier koordinatları istifadə olunur.

Bu Tədqiqat Yeni Bézier Alqoritmi Təklif Edirmi?

Xeyr. Müəlliflər tədqiqatın yeniliyinin yeni Bernstein bazisi və ya yeni De Casteljau alqoritmi hazırlamaq olmadığını açıq şəkildə bildirirlər. Töhfə klassik Bézier nəzəriyyəsini üçölçülü səthlərdə yerləşən parametrik və örtük əyrilərdən seçilmiş nəzarət nöqtələri ilə sistemli şəkildə birləşdirən səthdən asılı həndəsi çərçivə və bunu dəstəkləyən MATLAB tətbiqləridir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi əsas nəticələr

• Səth əyrisindən nümunələnən nöqtələr standart Bézier nəzarət nöqtələri kimi istifadə edilə bilər.
• Bu üsul silindr, kürə, yəhər, torus, Möbius və lemniskat kimi müxtəlif səth həndəsələrinə tətbiq oluna bilər.
• Nəzarət nöqtələrinin sayının artırılması mənbədəki MATLAB nümunələrində Bézier əyrisinin ilkin səth əyrisinə daha yaxın görünməsini təmin edir.
• Silindr-helis nümunəsində 5, 10 və 30 nəzarət nöqtəsi arasındakı fərq vizual şəkildə göstərilmişdir.
• De Casteljau alqoritmi və Bernstein bazisləri eyni Bézier həndəsəsinin ekvivalent hesablama infrastrukturunu təmin edir.
• MATLAB səthi, nəzarət çoxbucaqlısını, ilkin əyrini və Bézier əyrisini eyni üçölçülü mühitdə müqayisə etməyə imkan verir.

Tədqiqatın birbaşa sübut etmədiyi nəticələr

• Bütün səth əyriləri üçün müəyyən sayda nəzarət nöqtəsinin kifayət etməsi.
• Nəzarət nöqtələrinin sayı \(n\) ilə xəta arasında ümumi ədədi düsturun mövcud olması.
• Yaxınlaşma sürətinin bütün səthlərdə eyni olması.
• Təklif edilən üsulun NURBS və ya rasional Bézier təsvirlərindən hər vəziyyətdə daha dəqiq olması.
• Üsulun real vaxt CAD sistemlərində performans benchmarkının aparılması.
• MATLAB kodunun müstəqil proqram təminatı deposunda versiyalaşdırılmış və sınaqdan keçirilmiş paket olması.

Yaxınlaşma baxımından əsas məhdudiyyət

Məqalənin “nəzarət nöqtələri artdıqca Bézier əyrisi səth əyrisinə yaxınlaşır” nəticəsi tədqiqatın mərkəzindədir. Lakin bu nəticə əsasən həndəsi quruluş və MATLAB vizualları vasitəsilə göstərilir.

Müəlliflərin gələcək tədqiqat təklifləri arasında xüsusilə:

• xəta qiymətləndirmələrinin hazırlanması,
• yaxınlaşma sürətlərinin daha ciddi analitik şəkildə araşdırılması

yer alır. Bu ifadə hazırkı tədqiqatda ümumi yaxınlaşma nisbətinin hələ əldə edilmədiyini təsdiqləyir.

CAGD baxımından mənası

Computer-Aided Geometric Design kontekstində səth üzərində müəyyən bir əyrinin Bézier təsvirinə çevrilməsi dizayn, yenidən parametrləşdirmə və həndəsi məlumatların emalı baxımından faydalı ola bilər. Nəzarət nöqtələri sayəsində əyri standart Bézier alətləri ilə təmsil edilə bildiyi halda, nöqtələrin səthdən götürülməsi ilkin həndəsənin qorunmasına kömək edir.

Müəlliflər bu yanaşmanı gələcəkdə birbaşa səth hissələrindən Bézier səthlərinin yaradılmasına hazırlıq kimi də qiymətləndirirlər.

Gələcək tədqiqat istiqamətləri

Mənbənin nəticə bölməsində dörd əsas inkişaf istiqaməti göstərilir:

• səth hissələrindən birbaşa Bézier səthinin yaradılması,
• daha güclü forma nəzarəti üçün alternativ polinom bazisləri və ya rasional formullaşdırmalar,
• xəta qiymətləndirilməsi və yaxınlaşma sürətlərinin analitik araşdırılması,
• üsulun izogeometrik analiz, CAD/CAM və real vaxt həndəsi modelləşdirmə sistemləri ilə inteqrasiyası.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal iş: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Müəlliflər: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Məsul müəllif: Mənbə PDF-dəki ulduz işarəsinə görə Şenay Baydaş.

Afiliasiya 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Afiliasiya 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Jurnal: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Jurnalın qısaltması: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Cild / Say: 18(2).

Səhifələr: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Nəşr tarixi: 30 iyun 2026.

Göndərilmə tarixi: 2 yanvar 2025.

Qəbul tarixi: 18 fevral 2026.

Məqalə növü: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Nəşriyyatçı: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Resenziya: Jurnalın siyasəti redaksiya orijinallıq yoxlamasından keçən məqalələrin single-blind peer review üçün iki rəyçiyə göndərildiyini bildirir.

Açıq giriş: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science açıq girişli jurnal kimi müəyyən edilir.

Lisenziya qeydi: Araşdırılan məqalə PDF-ində konkret Creative Commons lisenziya kodu göstərilmir; buna görə mənbədə olmayan CC lisenziyası təyin edilməmişdir.

Əsas riyazi alətlər: Bernstein polinomları, Bézier əyriləri, nəzarət çoxbucaqlıları və De Casteljau rekursiv interpolyasiya alqoritmi.

Əsas metod: \(R^3\) daxilində parametrik və ya örtük səth əyrisindən müəyyən sayda nəzarət nöqtəsinin nümunələnməsi və bu nöqtələrin Bernstein-Bézier kombinasiyası ilə yeni Bézier əyrisinin yaradılması.

MATLAB nümunələri: silindr üzərində helis, kürə üzərində çevrə, yəhər, torus, Möbius, lemniskat və ümumi fəza əyrisi.

Əsas müşahidə: Nəzarət nöqtələrinin sayı artırıldıqda MATLAB nümunələrində Bézier yaxınlaşması ilkin səth əyrisinə getdikcə daha çox yaxınlaşır.

Yaxınlaşma məhdudiyyəti: Məqalə ümumi xəta norması və ya yaxınlaşma tərtibi vermir; daha ciddi xəta və yaxınlaşma təhlili gələcək tədqiqat kimi təklif edilmişdir.

Mənbədaxili notasiya problemləri: Kürə nümunəsində dörd və on nəzarət nöqtəsi ifadələrinin müxtəlif mərhələlərdə istifadə edilməsi; torus nümunəsində parametrin yerinə qoyulması sətrinin ümumi parametrləşdirmə ilə tam uyğunlaşmaması; De Casteljau törəməsinin aralıq sətrlərindən birində \(t\) əmsalının “i” şəklində görünməsi.

Kod əlçatanlığı: MATLAB kod hissələri məqalənin içində verilir; araşdırılan mənbədə ayrıca versiyalaşdırılmış kod deposuna keçid yoxdur.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər məqalənin nəşri ilə bağlı maraqların toqquşmasının olmadığını bəyan edirlər.

Müəllif töhfəsi: Mənbə bütün müəlliflərin nəşr edilmiş məqalə versiyasını oxuyub təsdiqlədiyini bildirir; ətraflı CRediT rol bölgüsü verilmir.

Maliyyələşdirmə: Araşdırılan mənbədə ayrıca maliyyələşdirmə bəyanatı yoxdur.

Məlumatların əlçatanlığı: Ayrı məlumat əlçatanlığı bölməsi və ya məlumat deposu keçidi göstərilməmişdir.