HOMC — yuqori tartibli Markov zanjirlarini bevosita tensor shaklida tahlil qilish uchun ishlab chiqilgan MATLAB asosidagi hisoblash paketidir. Klassik birinchi tartibli Markov zanjirlarida kelajakdagi holat faqat joriy holatga bog‘liq bo‘lsa, yuqori tartibli zanjirlarda u joriy holat bilan birga bir yoki bir nechta oldingi holatlarga ham bog‘liq bo‘ladi. Shu sababli o‘tish ehtimollari ikki o‘lchamli matritsa o‘rniga ko‘p o‘lchamli o‘tish tensori orqali ifodalanadi. HOMC; bu o‘tish tensörlerinden k-adımlı o‘tish olasılıklarını, limiting probability distribution değerlerini, ever-reaching probability tensörlerini va mean first passage time tensörlerini hesaplayabilmekte; shuningdek zincirin regular yoki ergodic olup olmadığının incelenmesini, durumların recurrent/transient sifatida sınıflandırılmasını va ilişkili reduced first-order chain o‘tish matrisinin oluşturulmasını qo‘llab-quvvatlaydi.

Paketin matematiksel markazida yazarın önceki çalışmalarında kullanılan maxsus bir tensor işlemi bo‘lgan box product (⊠) mavjud. Bu çarpım, klasik tensor çarpımlarından farqli bir olasılıksal anlama sahiptir va yuqori tartibli Markov zincirinin k-adımlı o‘tish tensörünü bevosita üretmek uchun qo‘llanadi. Box product, mertebe iki olduğunda normal matritsa çarpımına indirgenmesine rağmen uchinchi va undan yuqori tartiblarda associative emas. HOMC bu nedenle tensor kuvvetlerini klasik matritsa kuvvetlendirmesinden farqli, sıralı bir biçimde hesaplamaktadır.

Tadqiqot misollari paket faqat yuqori tartibli zanjirlar bilan cheklanmasligini, ikkinchi tartib holatida klassik birinchi tartibli Markov zanjirlari bilan ham mos ishlashini ko‘rsatadi. Biroq muallifning asosiy ta’kidi shundan iboratki, barcha yuqori tartibli Markov masalalarini tegishli birinchi tartibli zanjirga keltirish orqali hal qilib bo‘lmaydi. HOMC ning asosiy maqsadi yuqori tartibli tuzilmaning o‘z tensor matematikasini bevosita saqlay oladigan MATLAB hisoblash muhitini taqdim etishdir.

Birinchi tartibli Markov zanjiri bilan yuqori tartibli zanjir o‘rtasidagi farq nima?

Klasik birinci mertebe Markov zincirinde sistemin bir sonraki durumu faqat joriy duruma bağlıdır. Durum uzayı

\[ S=\{1,2,\ldots,n\} \]

sifatida tanımlandığında Markov özelliği:

\[ \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j,\ldots,X_1=k) = \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

şeklindedir.

Geçiş ehtimoli:

\[ p_{ij}=\Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

bilan aniqlanadi va barcha geçişler \(n\times n\) o‘lchamli stokastik bir \(P\) matrisi ichida tutulabilir.

Yüksek mertebeli Markov zincirinde esa gelecek holat faqat \(X_t\)'ye emas, geçmişteki birden fazla duruma bağlıdır. Makaledeki tanıma ko‘ra \(m\geq3\) olmak üzere \((m-1)\). mertebeden zincir:

\[ \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m,\ldots,X_1=i_{t+1} ) = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

özelliğini ta’minlaydi.

Buna karşılık o‘tish ehtimoli:

\[ p_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

bo‘ladi va barcha olasılıklar \(m\). mertebeden, her boyutu \(n\) bo‘lgan bir o‘tish tensöründe tutulur:

\[ \mathcal P=[p_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

Bu tensor stokastiktir:

\[ 0\leq p_{i_1i_2\ldots i_m}\leq1 \]

va her oldingi holat kombinasyonu uchun:

\[ \sum_{i_1\in S}p_{i_1i_2\ldots i_m}=1 \]

olmalıdır.

Nima uchun MATLAB bu masala uchun mos?

Yüksek mertebeli Markov zincirlerinde temel veri yapısı çok o‘lchamli bir tensördür. MATLAB'ın doğal multidimensional array yapısı bu tür o‘tish tensörlerini bevosita saklamaya uygundur.

Örneğin \(m\). mertebeden bir o‘tish tensörünün frontal slice'ları:

P(:,:,i3,...,im)

biçiminde erişilebilir. Her slice sıradan bir \(n\times n\) MATLAB matrisi ekanligi uchun tensorning farqli bölümlerini incelemek yoki değiştirmek bevosita MATLAB sözdizimiyle mümkündür.

Ancak yoğun bir \(m\). mertebe, \(n\) o‘lchamli tensorning giriş sayısı:

\[ n^m \]

ekanligi uchun bellek gereksinimi hızlı biçimde büyür. Çalışma HOMC'nin temel uzay karmaşıklığını:

\[ O(n^m) \]

sifatida vermektedir.

Yazar bunun genel va dense higher-order Markov chain problemi uchun o‘tish tensörünün kendisinin zaten \(n^m\) eleman içerdiği göz önüne alındığında kaçınılmaz olduğunu belirtmektedir.

HOMC xotirani qanday kamaytirishga harakat qiladi?

Özel box-product hesabının naif bir uygulaması barcha:

\[ (i_1,i_2,\ldots,i_m) \]

indeks kombinasyonlarının önceden oluşturulmasını gerektirebilir. Bunun büyük \(n\) va \(m\) değerlerinde önemli ek bellek tüketimi yaratacağı qayd etiladi.

HOMC bunun yerine MATLAB'ın yerleşik ind2sub fonksiyonunu kullanarak ihtiyaç duyulan indeksleri hesaplama sırasında üretmektedir. Aynı yaklaşım paket içindeki başka fonksiyonlarda da uygun yerlerde kullanılmıştır.

Dolayısıyla ana bellek yükü ek bir dev indeks tablosundan emas, esas o‘tish tensörü va gerektiğinde bir xil büyüklükteki çıktı tensörlerinden kaynaklanmaktadır.

Linear indexing nima uchun kerak?

Bir tensorning çok o‘lchamli indekslerini tek bir sırada düzenlemek, tensor-to-matrix dönüşümleri va reduced first-order chain oluşturma kabi işlemlerde muhimdir.

HOMC bunun uchun:

ind = lind(s,r)

fonksiyonunu sunmaktadır.

Burada:

s = size(P)

o‘tish tensörünün boyut vektörüdür. Varsayılan r=1 normal linear indexing üretirken:

lind(s,-1)

reversed linear indexing hosil qiladi.

Örnek 2.1'de:

s = [2 2 2 2]

uchun toplam:

\[ 2^4=16 \]

indeks kombinasyonu elde amalga oshirilmoqda.

Box product nima?

HOMC'nin merkezindeki işlem \(\boxempty\) yoki manba gösterimindeki ⊠ box product'tır. Aynı boyutta iki \(m\). mertebe tensor:

\[ \mathcal A=[a_{i_1i_2\ldots i_m}], \qquad \mathcal B=[b_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

uchun:

\[ \mathcal C=\mathcal A\boxtimes\mathcal B \]

tensörünün elemanları:

\[ c_{i_1i_2\ldots i_m} = \sum_{j=1}^{n} a_{i_1ji_2\ldots i_{m-1}} b_{ji_2\ldots i_m} \]

shaklida aniqlanadi.

MATLAB funksiyasi:

C = bprod(A,B)

biçimindedir.

Özel sifatida \(m=2\) olduğunda tensörler matristir va box product sıradan:

\[ AB \]

matritsa çarpımına aylanadi.

Box product nima uchun oddiy matritsa ko‘paytmasidan farq qiladi?

En kritik fark associative olmamasıdır. Genel sifatida \(m\geq3\) uchun:

\[ A\boxtimes(B\boxtimes C) \neq (A\boxtimes B)\boxtimes C \]

olabilir.

Bu nedenle tensor kuvvetleri sıradan cebirdeki kabi parçalanamaz.

Örneğin:

\[ A^6 \]

genel sifatida:

\[ A^3\boxtimes A^3 \]

shaklida hesaplanamaz.

HOMC tensor darajasini qanday belgilaydi?

Tensör kuvveti rekürsif sifatida:

\[ A^{k+1}=A^k\boxtimes A \]

shaklida aniqlanadi.

MATLAB funksiyasi:

C = bpow(A,k)

biçimindedir.

Sıfırıncı kuvvet uchun maxsus bir \(m\). mertebe identity tensor qo‘llanadi:

\[ \mathcal I=[\delta_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

va:

\[ \delta_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} 1,& i_1=i_2\\ 0,& \text{aksi halde} \end{cases} \]

sifatida aniqlanadi.

Bu tensor:

\[ I\boxtimes A=A \]

özelliğini sağlarken genel sifatida:

\[ A\boxtimes I\neq A \]

olabilir.

Identity tensor:

I = eyet(s)

bilan tuziladi.

Box product ning ehtimollik ma’nosi nima?

Yüksek mertebeli zincirin o‘tish tensörü \(\mathcal P\) esa:

\[ \mathcal P^k = [p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

tensöründeki her eleman:

\[ p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+k}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

shaklida k-adımlı o‘tish olasılığını temsil eder.

Dolayısıyla bpow(P,k) faqat soyut bir tensor kuvveti hesaplamaz; bevosita k adım sonraki holat olasılıklarını hosil qiladi.

Regular va ergodic yuqori tartibli zanjir bir xilmi?

Hayır. Çalışma bu iki kavram arasındaki farkı iki örnekle ayniqsa görünür hâle getirir.

Örnek 2.2: Dört durumlu ikkinchi tartibli zincirde:

bpow(P,10)

hesaplandığında \(P^{10}\)'un barcha girişlerinin pozitif ekanligi ko‘rinadi. Başka bir ifadeyle bir \(k\geq1\) uchun:

\[ P^k>0 \]

sağlandığından zincir regulardır.

Kaynak, regular bir yuqori tartibli zincirin unique limiting probability distribution'a sahip olduğunu belirtmektedir.

Örnek 2.3: Üç durumlu başka bir ikkinchi tartibli zincirde esa:

\[ P^k=P \]

tek \(k\) değerlerinde, başka bir tensor esa çift \(k\) değerlerinde tekrarlanmaktadır. Dolayısıyla hiçbir kuvvette barcha girişler pozitif olmadığı uchun zincir regular emas.

Bununla birlikte her başlangıç/hedef kombinasyonu uchun uygun bir \(k\) bulunabildiğinden zincir ergodicdir.

Bu örnek, manba tadqiqotning kullandığı higher-order Markov terminolojisinde:

ergodic olmak bilan regular olmak bir xil koşul emas.

Diagonal tensor nima uchun kerak?

Bir tensorning diagonal kısmı:

\[ A_d=[a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

bilan gösterilir va:

\[ a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} a_{i_1i_2\ldots i_m},&i_1=i_2\\ 0,&\text{aksi halde} \end{cases} \]

sifatida aniqlanadi.

HOMC funksiyasi:

D = diagt(A)

şeklindedir.

Bu yapı ayniqsa ever-reaching probability va mean first passage time denklemlerinde qo‘llanadi.

Tensor matritsaga qanday aylantiriladi?

HOMC hem matricization hem tensorization işlemlerini qo‘llab-quvvatlaydi.

Bir \(m\). mertebe, \(n\) o‘lchamli tensor uchun:

\[ N=n^{m-1} \]

olduğunda mode-k matricization sonucu \(n\times N\) matristir.

Fonksiyonlar:

B = t2mat(A,k)

va ters işlem uchun:

A = mat2t(B,k)

şeklindedir.

Örnek 2.5'te:

A = reshape(1:16,2,2,2,2)

bilan oluşturulan \(2\times2\times2\times2\) tensor mode-3 üzerinden:

\[ B= \begin{bmatrix} 1&2&3&4&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&13&14&15&16 \end{bmatrix} \]

matrisine dönüştürülmekte va:

mat2t(B,3)

orijinal tensörü geri vermektedir.

Yuqori tartibli zanjir nima uchun birinchi tartibli zanjirga aylantiriladi?

Bir \((m-1)\). mertebe Markov zincirinin oldingi holat kombinasyonları tek bir genişletilmiş holat sifatida ele alınarak ilişkili bir first-order chain oluşturulabilir.

Yeni holat uzayı:

\[ T= \{ i_1i_2\ldots i_{m-1}: i_1,\ldots,i_{m-1}\in S \} \]

bo‘ladi va boyutu:

\[ N=n^{m-1} \]

kadardır.

Yeni süreç:

\[ Y_t= [X_t,X_{t-1},\ldots,X_{t-m+2}]^T \]

sifatida aniqlanadi.

Bu zincir kaynakta reduced first-order chain sifatida adlandırılır.

Reduced-chain o‘tish matritsasi MATLAB da qanday tuziladi?

Önce o‘tish tensörünün mode-1 matricization'ı tuziladi. Daha so‘ng sütun bazlı Khatri-Rao product qo‘llanadi.

HOMC bunun uchun iki funksiya sunar:

krprod(A,B)

va bevosita reduced-chain matrisi uchun:

Q = rcmat(P)

Örnek 2.2'deki dört durumlu ikkinchi tartibli zincir uchun:

\[ N=4^2=16 \]

bo‘lgani sababli elde edilen reduced first-order transition matrix:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

boyutundadır.

Limiting probability distribution qanday topiladi?

Kaynağa ko‘ra regular bir yuqori tartibli zincir unique limiting distribution:

\[ \pi=\lim_{t\rightarrow\infty}x_t \]

değerine sahiptir.

Reduced-chain matrisi \(Q\)'nun dominant eigenvalue değeri:

\[ \lambda=1 \]

uchun uygun sağ eigenvector \(y\) mavjud va:

\[ y\geq0, \qquad \|y\|_1=1 \]

sifatida normalize amalga oshiriladi.

Daha so‘ng kaynakta identity tensor'un mode-1 matricization'ı sifatida tanımlanan \(\mathcal P^{(0)}\) bilan:

\[ \pi=\mathcal P^{(0)}y \]

hisoblanadi.

Örnek 2.6'da MATLAB'ın eig funksiyasi kullanıldığında \(\lambda=1\)'in multiplicity değeri 2 olsa va iki farqli eigenvector elde edilse de her ikisi de bir xil limiting distribution sonucunu üretmektedir:

\[ \pi= \begin{bmatrix} 0.2857\\ 0.2857\\ 0.2857\\ 0.1429 \end{bmatrix} \]

Ever-reaching probability nima?

Ever-reaching probability, belirli oldingi holat dizisinden başlanıldığında hedef duruma gelecekte en az bir kez ulaşılma olasılığını ifade eder.

İlk o‘tish zamanının tam \(k\). adımda gerçekleşme ehtimoli:

\[ f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

bilan gösterilir.

İlk tensor:

\[ F^{[1]}=P \]

va sonraki tensörler:

\[ F^{[k+1]} = (F^{[k]}-F^{[k]}_d)\boxtimes P \]

rekürsiyonu bilan hisoblanadi.

Ever-reaching probability tensor:

\[ F=\sum_{k=1}^{\infty}F^{[k]} \]

sifatida aniqlanadi.

HOMC funksiyasi:

F = erp(P,tol)

şeklindedir.

Varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

sifatida beriladi. Eğer herhangi bir \(k\)'da \(F^{[k]}\)'nın en büyük mutlak elemanı toleransın altına düşerse seri o noktada kesilerek taxminiy \(F\) döndürülür.

Ever-reaching probability yordamida holatlar qanday tasniflanadi?

Bir holat \(i\), gerekli diagonal ever-reaching olasılıklarının tamamı 1 esa recurrent sifatida sınıflandırılır.

Bunlardan en az biri 1 değilse holat transienttir.

İlgili barcha değerler 1'in altındaysa holat fully transient sifatida adlandırılır.

Örnek 3.1'de erp(P,1e-8) hesabı serinin ilk 67 terimi foydalanib yakınsamaktadır va natija:

• Durum 1: transient fakat fully transient emas,
• Durum 2: recurrent,
• Durum 3: fully transient

sifatida sınıflandırılmıştır.

Mean first passage time nima?

Mean first passage time, başlangıç oldingi holat kombinasyonundan hedef duruma ilk kez ulaşmak uchun gereken ortalama adım sayısıdır.

Kaynak:

\[ \mu_{i_1i_2\ldots i_m} = E(\eta_{i_1i_2\ldots i_m}) = \sum_{k=1}^{\infty} k f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

tanımını kullanmaktadır.

Bütün değerler bir mean first passage time tensor:

\[ \mu=[\mu_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

ichida saklanır.

Ergodic yuqori tartibli zincir uchun:

\[ \mu= E+(\mu-\mu_d)\boxtimes P \]

tensor denklemi geçerlidir.

HOMC mean first passage time ni ikki xil usulda hisoblaydi

Doğrudan usul:

mu = mfptd(P)

Fonksiyon tensor denkleminden oluşan lineer sistemi bevosita çözer.

Ancak manba, barcha problemi tek bir:

\[ n^m\times n^m \]

lineer sistem sifatida çözmeyi önermemektedir.

Unknown değerler reversed linear indexing sırasına konulduğunda katsayı matrisi \(n\) adet diagonal block'a ayrılabildiği uchun HOMC bu yapıyı kullanarak sistemi \(n\) küçük alt probleme ayırmaktadır.

İteratif usul:

\[ \mu^{(k+1)} = E+ (\mu^{(k)}-\mu^{(k)}_d)\boxtimes P \]

iterasyonu uygulanmaktadır.

MATLAB funksiyasi:

mu = mfpti(P,mu0,tol)

şeklindedir.

Varsayılan başlangıç:

\[ \mu^{(0)}=E \]

va varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

sifatida beriladi.

HOMC birinchi tartibli zanjirlarda ham ishlaydimi?

Evet. Kaynakta \(m=2\) olduğunda higher-order tanım klasik Markov zincirine indirgenmektedir va HOMC fonksiyonlarının buna uyumlu olması ayniqsa test edilmiştir.

Örnek 2.4'te üç durumlu:

\[ P= \begin{bmatrix} 0.5&0.5&0\\ 0.5&0&1\\ 0&0.5&0 \end{bmatrix} \]

o‘tish matrisi uchun:

bpow(P,5)

sonucu:

\[ \begin{bmatrix} 0.3750&0.4688&0.3125\\ 0.4688&0.2188&0.6250\\ 0.1562&0.3125&0.0625 \end{bmatrix} \]

sifatida elde edilmiş va bunun MATLAB'ın klasik:

P^5

sonucuyla bir xil ekanligi ko‘rsatilgan.

Direct va iterative MFPT bir xil natija beradimi?

Kaynak örneklerinde evet.

Ergodic ikkinchi tartibli zincir uchun mfptd(P):

\[ \mu(:,:,i_3)= \begin{bmatrix} 4&3&4\\ 1&2&1\\ 4&3&4 \end{bmatrix}, \qquad i_3=1,2,3 \]

sonucunu üretmektedir.

Kaynak shuningdek sonucu:

mu-ones(s)-bprod(mu-diagt(mu),P)

ifadesiyle denklem (7)'ye geri koymakta va sıfır tensörü elde ederek kontrol etmektedir.

mfpti(P) esa varsayılan toleransla 40 iterasyonda:

\[ 3.9999971,\quad 2.9999981,\quad 1.0000000 \]

kabi direct çözümün beklenen 4, 3 va 1 değerlerine yakın sonuçlara ulaşmaktadır.

Birinchi tartibli MFPT misoli ham bormi?

Evet. Örnek 3.3'te bir xil klasik Markov matrisi uchun direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

sifatida bulunmuştur.

Iterative mfpti(P) yöntemi varsayılan toleransla 66 iterasyonda bu değerlere taxminiy sifatida yakınsamaktadır.

Nima uchun HOMC faqat reduced first-order chain vositalarining o‘rnini bosa olmaydi?

Bir yuqori tartibli zincirin expanded-state first-order representation'ı oluşturulabilse de manba tadqiqotning ana teorik mesajlarından biri, barcha higher-order Markov sorularının bu dönüşümle çözülememesidir.

Reduced-chain yaklaşımı ayniqsa limiting distribution kabi belirli problemlerde yararlıdır. Buna karşılık higher-order k-step transition, ever-reaching probability va mean first passage time yapılarının tensor biçimi kendi matematiksel bilgilerini taşımaktadır.

Bu nedenle HOMC hem:

• tensor temelli higher-order fonksiyonları, hem de
• gerektiğinde ilişkili first-order chain'e dönüşüm araçlarını

bir xil pakette sunmaktadır.

Bu Turkiya nuqtayi nazaridan nimani anglatadi?

Kaynak tadqiqot Türkiye'ye ait veri seti yoki uygulama içermemektedir. Bu nedenle çalışmadan Türkiye'ye özgü bir Markov modeli sonucu çıkarılamaz.

Bununla birlikte HOMC genel amaçlı matematiksel bir araç bo‘lgani sababli, o‘tish davranışının faqat son duruma emas yanada uzun geçmişe bağlı ekanligi araştırma problemlerinde metodolojik sifatida kullanılabilir. Kaynak makalenin atıf verdiği uygulama literatüründe enerji fiyatları, fotovoltaik üretim tahmini, bina doluluk tahmini, zaman serileri, hedef takibi va sequential recommendation kabi yuqori tartibli Markov kullanım alanları mavjud. Bunlar HOMC makalesinde yeni uygulama deneyleri sifatida test edilmemiş, faqat higher-order Markov zincirlerinin joriy uygulama alanlarına örnek sifatida referanslandırılmıştır.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• HOMC, higher-order Markov chains uchun MATLAB tabanlı tensor hesaplama fonksiyonları sunmaktadır.
• Geçiş tensorlar MATLAB multidimensional array sifatida bevosita temsil edilebilir.
• bprod maxsus box-product işlemini uygular.
• bpow k-adımlı transition tensor hesaplamasını gerçekleştirir.
• Box product \(m\geq3\) uchun genel sifatida associative emas.
• eyet makaledeki maxsus identity tensor yapısını oluşturur.
• diagt diagonal tensor çıkarır.
• t2mat va mat2t matricization/tensorization ta’minlaydi.
• rcmat reduced first-order chain o‘tish matrisini oluşturabilir.
• Reduced-chain bilan MATLAB eig funksiyasi limiting distribution hesabında kullanılabilir.
• erp ever-reaching probability tensor hesaplamasını destekler.
• Ever-reaching probability diagonal değerleri recurrent va transient holat sınıflandırmasında kullanılabilir.
• mfptd mean first passage time denklemini blok yapısını kullanarak bevosita çözer.
• mfpti bir xil problemi iteratif sifatida çözebilir.
• Paket \(m=2\) maxsus durumunda klasik first-order Markov zincirleriyle de çalışabilmektedir.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan yoki ko‘rsatmaydigan natijalar

• HOMC'nin barcha olası higher-order Markov yazılımlarından yanada hızlı ekanligi gösterilmemektedir.
• Makale farqli \(n\) va \(m\) değerlerinde sistematik runtime benchmark'ı sunmamaktadır.
• Paket yoğun tensörlerde \(O(n^m)\) bellek ölçeğini ortadan kaldırmamaktadır.
• Çalışma sparse yoki çok büyük tensörler uchun ayrı bir ölçeklenebilirlik yöntemi doğrulamamaktadır.
• Yazarın “ilk dedicated MATLAB package” ifadesi tadqiqotning literatür değerlendirmesine dayanan bir özgünlük iddiasıdır; makale bağımsız yazılım envanteri çalışması emas.
• Matematiksel örneklerdeki başarı, belirli gerçek dünya veri kümelerinde otomatik üstün tahmin performansı anlamına gelmez.
• Bir higher-order chain'in reduced first-order chain'e dönüştürülebilmesi, barcha higher-order sorularının faqat first-order yazılımla çözülebileceği anlamına gelmez.
• Kaynağın 2025 sürümünde yanada so‘ng eklenen fund funksiyasi yoki absorbing-chain fundamental tensor özellikleri bulunmamaktadır.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Manbada aniqlangan asosiy HOMC funksiyalari

Misollarning ilmiy maqsadi

2.2-misol: regularity natijasi

İkinci mertebe va dört durumlu zincirin o‘tish tensörü dört adet \(4\times4\) frontal slice bilan aniqlanadi.

bpow(P,10) sonucunda manba dört ayrı \(P^{10}(:,:,i_3)\) matrisinin barcha girişlerini pozitif sifatida vermektedir.

Bu nedenle:

\[ P^{10}>0 \]

va zincir regular sifatida sınıflandırılmaktadır.

2.3-misol: ergodic, biroq regular bo‘lmagan zanjir

Üç durumlu ikkinchi tartibli zincirde tensor kuvveti periyodik davranış göstermektedir:

• tek \(k\): \(P^k=P\),
• çift \(k\): ikinci bir sabit tensor.

Bu nedenle barcha girişlerin bir xil \(k\)'da pozitif ekanligi bir kuvvet bulunmamaktadır.

Buna rağmen her holat kombinasyonu uchun en az bir erişilebilir k-adımı bulunduğundan zincir manba tanımına ko‘ra ergodic'tir.

2.6-misol: limiting distribution

Dört durumlu ikkinchi tartibli zincirin reduced-state sayısı:

\[ 4^2=16 \]

bo‘lgani sababli:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

o‘tish matrisi elde amalga oshirilmoqda.

MATLAB eig bilan bulunan iki ayrı \(\lambda=1\) eigenvector'ü bir xil:

\[ \pi= [0.2857,\ 0.2857,\ 0.2857,\ 0.1429]^T \]

limiting distribution değerini üretmektedir.

3.1-misol: ever-reaching probability yaqinlashuvi

3.2-misol: yuqori tartibli mean first passage time

3.3-misol: birinchi tartibli mean first passage time

Üç durumlu first-order zincir uchun direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

sifatida elde edilmiştir.

Iterative usul varsayılan toleransla bu matrise 66 iterasyonda yakınsamaktadır.

Hisoblash masshtabliligi haqida manba nima deydi?

Makale tadqiqot süresi uchun sistematik benchmark vermemektedir. Buna karşılık bellek açısından temel sınırı açık biçimde belirtmektedir:

\[ O(n^m) \]

Bunun nedeni, genel dense higher-order Markov chain'in o‘tish tensörünün zaten \(n^m\) olasılık değeri içermesidir.

Dolayısıyla örneğin holat sayısını yoki mertebeyi artırmak problem büyüklüğünü doğrusal emas üstel biçimde artırabilir.

Bu tablo bevosita makaledeki formüllerin boyut ilişkilerini özetler; yeni performans benchmark'ı emas.

Tadqiqotning asosiy hissasi

HOMC'nin katkısı yeni bir genel amaçlı Markov modelinden ziyade, yazarın va ortaklarının higher-order Markov chains üzerine geliştirdiği tensor temelli sonuçların MATLAB'da bevosita kullanılabilir fonksiyonlara dönüştürülmesidir.

Bu paket ayniqsa:

• sayısal deney,
• algoritma prototipleme,
• higher-order transition tensor araştırmaları,
• state classification,
• limiting distribution,
• ever-reaching probability,
• mean first passage time

problemleri uchun ortak hesaplama altyapısı sağlamayı amaçlamaktadır.

Asosiy cheklovlar

• Yoğun tensorning \(n^m\) ölçeklenmesi büyük problemlerde temel bellek sınırıdır.
• Kaynak sistematik CPU/GPU hız benchmark'ı sunmamaktadır.
• GPU, parallel computing yoki sparse-tensor optimizasyonu makalenin konusu emas.
• Örnekler matematiksel/sentetik zincirlerdir; uygulama alanlarına ait yeni saha verisi analizi sunulmamaktadır.
• Box product klasik tensor ürünlerinden farklıdır; başka tensor toolbox işlemleriyle eşdeğer kabul edilmemelidir.
• Non-associativity nedeniyle kuvvet hesaplarında matritsa cebirindeki bazı hızlandırma sezgileri bevosita kullanılamaz.
• Reduced first-order chain kullanışlı olmasına rağmen barcha higher-order problemlerin yerini alamaz.

Manba va Usul Haqida Izoh

Tam özgün tadqiqot adı: HOMC: A MATLAB Package for Higher Order Markov Chains

Yazar: Jianhong Xu.

Sorumlu yazar: Jianhong Xu.

Eş birinci/eş katkı: Çalışma tek yazarlı bo‘lgani sababli eş katkı beyanı bulunmamaktadır.

Kurum: School of Mathematical and Statistical Sciences, Southern Illinois University Carbondale, Carbondale, Illinois, USA.

Kaynak türü: MATLAB tabanlı matematiksel bilimsel yazılım va sayısal usul çalışması.

Yüklenen sürüm: arXiv:2510.02664v1 [stat.CO].

ArXiv ilk gönderim tarihi: 3 Ekim 2025.

PDF ustida yazılı tarih: 6 Ekim 2025.

ArXiv DOI: 10.48550/arXiv.2510.02664.

Yüklenen sürümün yayın durumu: Yüklenen arXiv PDF'si bir preprint sürümüdür.

Güncel yayın durumu: Bibliyografik doğrulamada yazarın Southern Illinois University resmî araştırma sayfası va HOMC resmî README dosyası çalışmayı ACM Transactions on Mathematical Software'da “to appear” sifatida listelemektedir.

Güncel dergi DOI'si: 10.1145/3834564.

Bilimsel içerikte kullanılan sürüm: Bu Verianla makalesindeki tanımlar, fonksiyonlar, denklemler, örnekler va sayısal natijalar yüklenen arXiv v1 sürümüne dayanmaktadır. Sonraki yazılım yoki makale güncellemeleri ana bilimsel içeriğe geriye dönük sifatida eklenmemiştir.

Kaynak kod: Yüklenen tadqiqot HOMC MATLAB manba dosyalarının Southern Illinois University sunucusundaki neumann.math.siu.edu/homc dizininde kamuya açık olduğunu belirtmektedir.

Güncel yazılım ayrımı: Resmî HOMC README dosyası Haziran 2026'da higher-order absorbing Markov chains uchun fund isimli yeni bir funksiya eklendiğini belirtmektedir. Bu işlev 2025 tarihli yüklenen makalenin funksiya setinde bulunmadığından bu makalenin bilimsel xususiyat listesine dahil edilmemiştir.

Kaynakta anlatılan ana fonksiyonlar:lind, bprod, bpow, eyet, diagt, t2mat, mat2t, krprod, rcmat, erp, mfptd va mfpti.

MATLAB built-in fonksiyonları: Kaynak ayniqsa size, ones, eig, ind2sub, fliplr va reshape kabi MATLAB araçlarından yararlanmaktadır.

Temel matematiksel yapı: m. mertebe o‘tish tensorlar, maxsus box product, tensor kuvvetleri, mode-k matricization, Khatri-Rao product, reduced first-order chain, ever-reaching probability va mean first passage time tensorlar.

Bellek karmaşıklığı: Kaynak genel dense higher-order Markov zinciri hesaplamaları uchun esas depolama maliyetini \(O(n^m)\) sifatida vermektedir.

Runtime benchmark: Çalışma sistematik işlem süresi yoki farqli donanımlarda performans benchmark'ı raporlamamaktadır.

“İlk paket” ifadesinin sınırı: Yazar çalışmayı kendi literatür değerlendirmesine ko‘ra higher-order Markov chains uchun ilk dedicated MATLAB package sifatida tanımlamaktadır. Bu ifade bağımsız kapsamlı yazılım envanteri çalışmasının sonucu emas.

Uygulama sınırı: Makalede higher-order Markov chains'in rating transitions, occupancy prediction, zaman serileri, PageRank, target tracking, PV üretim tahmini, electricity price dynamics va sequential recommendation kabi alanlarda kullanıldığı kaynaklarla qayd etiladi. HOMC makalesinin kendisi bu alanlarda yeni uygulama veri seti yoki karşılaştırmalı deney sunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir competing-interest beyanı bulunmamaktadır; bundan çıkar çatışması olmadığı sonucu çıkarılmamıştır.

Finansman: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir funding acknowledgement bölümü bulunmamaktadır.

CRediT/yazar katkısı: Çalışma tek yazarlı olup ayrı bir CRediT contribution statement içermemektedir.

Bilimsel yorum sınırı: Çalışma higher-order Markov chains uchun matematiksel va hesaplamalı bir MATLAB paketini sunmaktadır. Örnekler usul doğrulaması va kullanım gösterimi niteliğindedir; belirli bir gerçek dünya probleminde tahmin üstünlüğü yoki saha performansı kanıtı emas.

Bilimsel içerik sınırı: Bu Verianla metnindeki higher-order Markov tanımları, box product, tensor kuvvetleri, regularity/ergodicity örnekleri, reduced-chain dönüşümü, limiting distribution, ever-reaching probability, state classification va mean first passage time sonuçları faqat yüklenen çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynaklar faqat bibliyografik yayın durumunu va HOMC paketinin güncel resmî durumunu doğrulamak uchun kullanılmıştır.