HOMC — жогорку тартиптеги Марков чынжырларын түздөн-түз тензордук формада талдоо үчүн иштелип чыккан MATLAB негизиндеги эсептөө пакети. Классикалык биринчи тартиптеги Марков чынжырларында кийинки абал учурдагы абалга гана көз каранды болсо, жогорку тартиптеги чынжырларда кийинки абал учурдагы абал менен бирге мурунку бир же бир нече абалга да көз каранды. Ошондуктан өтүү ыктымалдыктары эки өлчөмдүү матрицанын ордуна көп өлчөмдүү өтүү тензору аркылуу көрсөтүлөт. HOMC; бул өтүү tensörlerinden k-adımlı өтүү olasılıklarını, limiting probability distribution değerlerini, ever-reaching probability tensörlerini жана mean first passage time tensörlerini hesaplayabilmekte; мындан тышкары zincirin regular же ergodic olup olmadığının incelenmesini, durumların recurrent/transient катары sınıflandırılmasını жана ilişkili reduced first-order chain өтүү matrisinin oluşturulmasını колдойт.

Paketin matematiksel борборунда yazarın önceki çalışmalarında kullanılan өзгөчө бир тензор işlemi болгон box product (⊠) бар. Бул çarpım, klasik тензор çarpımlarından ар башка бир olasılıksal anlama sahiptir жана жогорку тартиптеги Markov zincirinin k-adımlı өтүү tensörünü түздөн-түз üretmek үчүн колдонулат. Box product, mertebe iki olduğunda normal матрица çarpımına indirgenmesine rağmen үчүнчү жана андан жогорку тартиптерде associative эмес. HOMC бул nedenle тензор kuvvetlerini klasik матрица kuvvetlendirmesinden ар башка, sıralı бир biçimde hesaplamaktadır.

Изилдөөнүн мисалдары пакет жогорку тартиптеги чынжырлар менен гана чектелбестен, экинчи тартипте классикалык биринчи тартиптеги Марков чынжырлары менен да шайкеш иштей турганын көрсөтөт. Ошол эле учурда автордун негизги басымы — жогорку тартиптеги Марков маселелеринин баарын тиешелүү биринчи тартиптеги чынжырга келтирүү менен чечүүгө болбой тургандыгында. HOMCнин негизги максаты — жогорку тартиптеги түзүлүштүн өзүнүн тензордук математикасын түздөн-түз сактай алган MATLAB эсептөө чөйрөсүн камсыз кылуу.

Биринчи тартиптеги Марков чынжыры менен жогорку тартиптеги чынжырдын айырмасы эмнеде?

Klasik birinci mertebe Markov zincirinde sistemin бир sonraki durumu гана учурдагы duruma bağlıdır. Durum uzayı

\[ S=\{1,2,\ldots,n\} \]

катары tanımlandığında Markov özelliği:

\[ \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j,\ldots,X_1=k) = \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

şeklindedir.

Geçiş ыктымалдыгы:

\[ p_{ij}=\Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

менен аныкталат жана бардык geçişler \(n\times n\) өлчөмдүү stokastik бир \(P\) matrisi ичинде tutulabilir.

Yüksek mertebeli Markov zincirinde болсо gelecek абал гана \(X_t\)'ye эмес, geçmişteki birden fazla duruma bağlıdır. Makaledeki tanıma боюнча \(m\geq3\) olmak üzere \((m-1)\). mertebeden zincir:

\[ \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m,\ldots,X_1=i_{t+1} ) = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

özelliğini камсыз кылат.

Buna karşılık өтүү ыктымалдыгы:

\[ p_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

болот жана бардык olasılıklar \(m\). mertebeden, her boyutu \(n\) болгон бир өтүү tensöründe tutulur:

\[ \mathcal P=[p_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

Бул тензор stokastiktir:

\[ 0\leq p_{i_1i_2\ldots i_m}\leq1 \]

жана her мурунку абал kombinasyonu үчүн:

\[ \sum_{i_1\in S}p_{i_1i_2\ldots i_m}=1 \]

olmalıdır.

Эмне үчүн MATLAB бул маселе үчүн ылайыктуу?

Yüksek mertebeli Markov zincirlerinde temel veri yapısı çok өлчөмдүү бир tensördür. MATLAB'ın doğal multidimensional array yapısı бул tür өтүү tensörlerini түздөн-түз saklamaya uygundur.

Örneğin \(m\). mertebeden бир өтүү tensörünün frontal slice'ları:

P(:,:,i3,...,im)

biçiminde erişilebilir. Her slice sıradan бир \(n\times n\) MATLAB matrisi экендиги үчүн тензордун ар башка bölümlerini incelemek же değiştirmek түздөн-түз MATLAB sözdizimiyle mümkündür.

Ancak yoğun бир \(m\). mertebe, \(n\) өлчөмдүү тензордун giriş sayısı:

\[ n^m \]

экендиги үчүн bellek gereksinimi hızlı biçimde büyür. Çalışma HOMC'nin temel uzay karmaşıklığını:

\[ O(n^m) \]

катары vermektedir.

Yazar bunun genel жана dense higher-order Markov chain problemi үчүн өтүү tensörünün kendisinin zaten \(n^m\) eleman içerdiği göz önüne alındığında kaçınılmaz olduğunu belirtmektedir.

HOMC эс тутумду кантип азайтууга аракет кылат?

Özel box-product hesabının naif бир uygulaması бардык:

\[ (i_1,i_2,\ldots,i_m) \]

indeks kombinasyonlarının önceden oluşturulmasını gerektirebilir. Bunun büyük \(n\) жана \(m\) değerlerinde önemli ek bellek tüketimi yaratacağı белгиленет.

HOMC bunun yerine MATLAB'ın yerleşik ind2sub fonksiyonunu kullanarak ihtiyaç duyulan indeksleri hesaplama sırasında üretmektedir. Aynı yaklaşım paket içindeki başka fonksiyonlarda da uygun yerlerde kullanılmıştır.

Dolayısıyla ana bellek yükü ek бир dev indeks tablosundan эмес, esas өтүү tensörü жана gerektiğinde бирдей büyüklükteki çıktı tensörlerinden kaynaklanmaktadır.

Linear indexing эмне үчүн керек?

Бир тензордун çok өлчөмдүү indekslerini tek бир sırada düzenlemek, tensor-to-matrix dönüşümleri жана reduced first-order chain oluşturma сыяктуу işlemlerde маанилүү.

HOMC bunun үчүн:

ind = lind(s,r)

fonksiyonunu sunmaktadır.

Burada:

s = size(P)

өтүү tensörünün boyut vektörüdür. Varsayılan r=1 normal linear indexing üretirken:

lind(s,-1)

reversed linear indexing өндүрөт.

Örnek 2.1'de:

s = [2 2 2 2]

үчүн toplam:

\[ 2^4=16 \]

indeks kombinasyonu elde жүргүзүлөт.

Box product деген эмне?

HOMC'nin merkezindeki işlem \(\boxempty\) же булак gösterimindeki ⊠ box product'tır. Aynı boyutta iki \(m\). mertebe тензор:

\[ \mathcal A=[a_{i_1i_2\ldots i_m}], \qquad \mathcal B=[b_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

үчүн:

\[ \mathcal C=\mathcal A\boxtimes\mathcal B \]

tensörünün elemanları:

\[ c_{i_1i_2\ldots i_m} = \sum_{j=1}^{n} a_{i_1ji_2\ldots i_{m-1}} b_{ji_2\ldots i_m} \]

түрүндө аныкталат.

MATLAB функциясы:

C = bprod(A,B)

biçimindedir.

Özel катары \(m=2\) olduğunda tensörler matristir жана box product sıradan:

\[ AB \]

матрица çarpımına айланат.

Box product кадимки матрицаларды көбөйтүүдөн эмнеси менен айырмаланат?

En kritik fark associative olmamasıdır. Genel катары \(m\geq3\) үчүн:

\[ A\boxtimes(B\boxtimes C) \neq (A\boxtimes B)\boxtimes C \]

olabilir.

Бул nedenle тензор kuvvetleri sıradan cebirdeki сыяктуу parçalanamaz.

Örneğin:

\[ A^6 \]

genel катары:

\[ A^3\boxtimes A^3 \]

түрүндө hesaplanamaz.

HOMC тензордук даражаны кантип аныктайт?

Tensör kuvveti rekürsif катары:

\[ A^{k+1}=A^k\boxtimes A \]

түрүндө аныкталат.

MATLAB функциясы:

C = bpow(A,k)

biçimindedir.

Sıfırıncı kuvvet үчүн өзгөчө бир \(m\). mertebe identity tensor колдонулат:

\[ \mathcal I=[\delta_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

жана:

\[ \delta_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} 1,& i_1=i_2\\ 0,& \text{aksi halde} \end{cases} \]

катары аныкталат.

Бул тензор:

\[ I\boxtimes A=A \]

özelliğini sağlarken genel катары:

\[ A\boxtimes I\neq A \]

olabilir.

Identity tensor:

I = eyet(s)

менен түзүлөт.

Box product ыктымалдык жактан эмнени билдирет?

Yüksek mertebeli zincirin өтүү tensörü \(\mathcal P\) болсо:

\[ \mathcal P^k = [p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

tensöründeki her eleman:

\[ p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+k}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

түрүндө k-adımlı өтүү olasılığını temsil eder.

Dolayısıyla bpow(P,k) гана soyut бир тензор kuvveti hesaplamaz; түздөн-түз k adım sonraki абал olasılıklarını өндүрөт.

Regular жана ergodic жогорку тартиптеги чынжыр бир эле нерсеби?

Hayır. Çalışma бул iki kavram arasındaki farkı iki örnekle өзгөчө görünür hâle getirir.

Örnek 2.2: Dört durumlu экинчи тартиптеги zincirde:

bpow(P,10)

hesaplandığında \(P^{10}\)'un бардык girişlerinin pozitif экендиги көрүнөт. Başka бир ifadeyle бир \(k\geq1\) үчүн:

\[ P^k>0 \]

sağlandığından zincir regulardır.

Kaynak, regular бир жогорку тартиптеги zincirin unique limiting probability distribution'a sahip olduğunu belirtmektedir.

Örnek 2.3: Üç durumlu başka бир экинчи тартиптеги zincirde болсо:

\[ P^k=P \]

tek \(k\) değerlerinde, başka бир тензор болсо çift \(k\) değerlerinde tekrarlanmaktadır. Dolayısıyla hiçbir kuvvette бардык girişler pozitif olmadığı үчүн zincir regular эмес.

Bununla birlikte her başlangıç/hedef kombinasyonu үчүн uygun бир \(k\) bulunabildiğinden zincir ergodicdir.

Бул örnek, булак изилдөөнүн kullandığı higher-order Markov terminolojisinde:

ergodic olmak менен regular olmak бирдей koşul эмес.

Diagonal tensor эмне үчүн керек?

Бир тензордун diagonal kısmı:

\[ A_d=[a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

менен gösterilir жана:

\[ a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} a_{i_1i_2\ldots i_m},&i_1=i_2\\ 0,&\text{aksi halde} \end{cases} \]

катары аныкталат.

HOMC функциясы:

D = diagt(A)

şeklindedir.

Бул yapı өзгөчө ever-reaching probability жана mean first passage time denklemlerinde колдонулат.

Тензор матрицага кантип айландырылат?

HOMC hem matricization hem tensorization işlemlerini колдойт.

Бир \(m\). mertebe, \(n\) өлчөмдүү тензор үчүн:

\[ N=n^{m-1} \]

olduğunda mode-k matricization sonucu \(n\times N\) matristir.

Fonksiyonlar:

B = t2mat(A,k)

жана ters işlem үчүн:

A = mat2t(B,k)

şeklindedir.

Örnek 2.5'te:

A = reshape(1:16,2,2,2,2)

менен oluşturulan \(2\times2\times2\times2\) тензор mode-3 üzerinden:

\[ B= \begin{bmatrix} 1&2&3&4&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&13&14&15&16 \end{bmatrix} \]

matrisine dönüştürülmekte жана:

mat2t(B,3)

orijinal tensörü geri vermektedir.

Жогорку тартиптеги чынжыр эмне үчүн биринчи тартиптеги чынжырга айландырылат?

Бир \((m-1)\). mertebe Markov zincirinin мурунку абал kombinasyonları tek бир genişletilmiş абал катары ele alınarak ilişkili бир first-order chain oluşturulabilir.

Yeni абал uzayı:

\[ T= \{ i_1i_2\ldots i_{m-1}: i_1,\ldots,i_{m-1}\in S \} \]

болот жана boyutu:

\[ N=n^{m-1} \]

kadardır.

Yeni süreç:

\[ Y_t= [X_t,X_{t-1},\ldots,X_{t-m+2}]^T \]

катары аныкталат.

Бул zincir kaynakta reduced first-order chain катары adlandırılır.

Reduced-chain өтүү матрицасы MATLABда кантип түзүлөт?

Önce өтүү tensörünün mode-1 matricization'ı түзүлөт. Daha кийин sütun bazlı Khatri-Rao product колдонулат.

HOMC bunun үчүн iki функция sunar:

krprod(A,B)

жана түздөн-түз reduced-chain matrisi үчүн:

Q = rcmat(P)

Örnek 2.2'deki dört durumlu экинчи тартиптеги zincir үчүн:

\[ N=4^2=16 \]

болгондуктан elde edilen reduced first-order transition matrix:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

boyutundadır.

Limiting probability distribution кантип табылат?

Kaynağa боюнча regular бир жогорку тартиптеги zincir unique limiting distribution:

\[ \pi=\lim_{t\rightarrow\infty}x_t \]

değerine sahiptir.

Reduced-chain matrisi \(Q\)'nun dominant eigenvalue değeri:

\[ \lambda=1 \]

үчүн uygun sağ eigenvector \(y\) бар жана:

\[ y\geq0, \qquad \|y\|_1=1 \]

катары normalize жасалат.

Daha кийин kaynakta identity tensor'un mode-1 matricization'ı катары tanımlanan \(\mathcal P^{(0)}\) менен:

\[ \pi=\mathcal P^{(0)}y \]

эсептелет.

Örnek 2.6'da MATLAB'ın eig функциясы kullanıldığında \(\lambda=1\)'in multiplicity değeri 2 olsa жана iki ар башка eigenvector elde edilse de her ikisi de бирдей limiting distribution sonucunu üretmektedir:

\[ \pi= \begin{bmatrix} 0.2857\\ 0.2857\\ 0.2857\\ 0.1429 \end{bmatrix} \]

Ever-reaching probability деген эмне?

Ever-reaching probability, belirli мурунку абал dizisinden başlanıldığında hedef duruma gelecekte en az бир kez ulaşılma olasılığını ifade eder.

İlk өтүү zamanının tam \(k\). adımda gerçekleşme ыктымалдыгы:

\[ f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

менен gösterilir.

İlk тензор:

\[ F^{[1]}=P \]

жана sonraki tensörler:

\[ F^{[k+1]} = (F^{[k]}-F^{[k]}_d)\boxtimes P \]

rekürsiyonu менен эсептелет.

Ever-reaching probability tensor:

\[ F=\sum_{k=1}^{\infty}F^{[k]} \]

катары аныкталат.

HOMC функциясы:

F = erp(P,tol)

şeklindedir.

Varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

катары берилет. Eğer herhangi бир \(k\)'da \(F^{[k]}\)'nın en büyük mutlak elemanı toleransın altına düşerse seri o noktada kesilerek болжолдуу \(F\) döndürülür.

Ever-reaching probability аркылуу абалдар кантип классификацияланат?

Бир абал \(i\), gerekli diagonal ever-reaching olasılıklarının tamamı 1 болсо recurrent катары sınıflandırılır.

Bunlardan en az biri 1 değilse абал transienttir.

İlgili бардык değerler 1'in altındaysa абал fully transient катары adlandırılır.

Örnek 3.1'de erp(P,1e-8) hesabı serinin ilk 67 terimi колдонуу менен yakınsamaktadır жана натыйжа:

• Durum 1: transient fakat fully transient эмес,
• Durum 2: recurrent,
• Durum 3: fully transient

катары sınıflandırılmıştır.

Mean first passage time деген эмне?

Mean first passage time, başlangıç мурунку абал kombinasyonundan hedef duruma ilk kez ulaşmak үчүн gereken ortalama adım sayısıdır.

Kaynak:

\[ \mu_{i_1i_2\ldots i_m} = E(\eta_{i_1i_2\ldots i_m}) = \sum_{k=1}^{\infty} k f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

tanımını kullanmaktadır.

Bütün değerler бир mean first passage time tensor:

\[ \mu=[\mu_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

ичинде saklanır.

Ergodic жогорку тартиптеги zincir үчүн:

\[ \mu= E+(\mu-\mu_d)\boxtimes P \]

тензор denklemi geçerlidir.

HOMC mean first passage time-ды эки башка ыкма менен эсептейт

Doğrudan ыкма:

mu = mfptd(P)

Fonksiyon тензор denkleminden oluşan lineer sistemi түздөн-түз çözer.

Ancak булак, бардык problemi tek бир:

\[ n^m\times n^m \]

lineer sistem катары çözmeyi önermemektedir.

Unknown değerler reversed linear indexing sırasına konulduğunda katsayı matrisi \(n\) adet diagonal block'a ayrılabildiği үчүн HOMC бул yapıyı kullanarak sistemi \(n\) küçük alt probleme ayırmaktadır.

İteratif ыкма:

\[ \mu^{(k+1)} = E+ (\mu^{(k)}-\mu^{(k)}_d)\boxtimes P \]

iterasyonu uygulanmaktadır.

MATLAB функциясы:

mu = mfpti(P,mu0,tol)

şeklindedir.

Varsayılan başlangıç:

\[ \mu^{(0)}=E \]

жана varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

катары берилет.

HOMC биринчи тартиптеги чынжырларда да иштейби?

Evet. Kaynakta \(m=2\) olduğunda higher-order tanım klasik Markov zincirine indirgenmektedir жана HOMC fonksiyonlarının buna uyumlu olması өзгөчө test edilmiştir.

Örnek 2.4'te üç durumlu:

\[ P= \begin{bmatrix} 0.5&0.5&0\\ 0.5&0&1\\ 0&0.5&0 \end{bmatrix} \]

өтүү matrisi үчүн:

bpow(P,5)

sonucu:

\[ \begin{bmatrix} 0.3750&0.4688&0.3125\\ 0.4688&0.2188&0.6250\\ 0.1562&0.3125&0.0625 \end{bmatrix} \]

катары elde edilmiş жана bunun MATLAB'ın klasik:

P^5

sonucuyla бирдей экендиги көрсөтүлгөн.

Direct жана iterative MFPT бирдей натыйжа береби?

Kaynak örneklerinde evet.

Ergodic экинчи тартиптеги zincir үчүн mfptd(P):

\[ \mu(:,:,i_3)= \begin{bmatrix} 4&3&4\\ 1&2&1\\ 4&3&4 \end{bmatrix}, \qquad i_3=1,2,3 \]

sonucunu üretmektedir.

Kaynak мындан тышкары sonucu:

mu-ones(s)-bprod(mu-diagt(mu),P)

ifadesiyle denklem (7)'ye geri koymakta жана sıfır tensörü elde ederek kontrol etmektedir.

mfpti(P) болсо varsayılan toleransla 40 iterasyonda:

\[ 3.9999971,\quad 2.9999981,\quad 1.0000000 \]

сыяктуу direct çözümün beklenen 4, 3 жана 1 değerlerine yakın sonuçlara ulaşmaktadır.

Биринчи тартиптеги MFPTнин мисалы да барбы?

Evet. Örnek 3.3'te бирдей klasik Markov matrisi үчүн direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

катары bulunmuştur.

Iterative mfpti(P) yöntemi varsayılan toleransla 66 iterasyonda бул değerlere болжолдуу катары yakınsamaktadır.

HOMC эмне үчүн reduced first-order chain каражаттарынын ордун толук баса албайт?

Бир жогорку тартиптеги zincirin expanded-state first-order representation'ı oluşturulabilse de булак изилдөөнүн ana teorik mesajlarından biri, бардык higher-order Markov sorularının бул dönüşümle çözülememesidir.

Reduced-chain yaklaşımı өзгөчө limiting distribution сыяктуу belirli problemlerde yararlıdır. Buna karşılık higher-order k-step transition, ever-reaching probability жана mean first passage time yapılarının тензор biçimi kendi matematiksel bilgilerini taşımaktadır.

Бул nedenle HOMC hem:

• тензор temelli higher-order fonksiyonları, hem de
• gerektiğinde ilişkili first-order chain'e dönüşüm araçlarını

бирдей pakette sunmaktadır.

Бул Түркия үчүн эмнени билдирет?

Kaynak изилдөө Türkiye'ye ait veri seti же uygulama içermemektedir. Бул nedenle çalışmadan Türkiye'ye özgü бир Markov modeli sonucu çıkarılamaz.

Bununla birlikte HOMC genel amaçlı matematiksel бир araç болгондуктан, өтүү davranışının гана son duruma эмес көбүрөөк uzun geçmişe bağlı экендиги araştırma problemlerinde metodolojik катары kullanılabilir. Kaynak makalenin atıf verdiği uygulama literatüründe enerji fiyatları, fotovoltaik üretim tahmini, bina doluluk tahmini, zaman serileri, hedef takibi жана sequential recommendation сыяктуу жогорку тартиптеги Markov kullanım alanları бар. Bunlar HOMC makalesinde yeni uygulama deneyleri катары test edilmemiş, гана higher-order Markov zincirlerinin учурдагы uygulama alanlarına örnek катары referanslandırılmıştır.

Изилдөө колдогон натыйжалар

• HOMC, higher-order Markov chains үчүн MATLAB tabanlı тензор hesaplama fonksiyonları sunmaktadır.
• Geçiş тензорлорду MATLAB multidimensional array катары түздөн-түз temsil edilebilir.
• bprod өзгөчө box-product işlemini uygular.
• bpow k-adımlı transition tensor hesaplamasını gerçekleştirir.
• Box product \(m\geq3\) үчүн genel катары associative эмес.
• eyet makaledeki өзгөчө identity tensor yapısını oluşturur.
• diagt diagonal tensor çıkarır.
• t2mat жана mat2t matricization/tensorization камсыз кылат.
• rcmat reduced first-order chain өтүү matrisini oluşturabilir.
• Reduced-chain менен MATLAB eig функциясы limiting distribution hesabında kullanılabilir.
• erp ever-reaching probability tensor hesaplamasını destekler.
• Ever-reaching probability diagonal değerleri recurrent жана transient абал sınıflandırmasında kullanılabilir.
• mfptd mean first passage time denklemini blok yapısını kullanarak түздөн-түз çözer.
• mfpti бирдей problemi iteratif катары çözebilir.
• Paket \(m=2\) өзгөчө durumunda klasik first-order Markov zincirleriyle de çalışabilmektedir.

Изилдөө колдобогон же көрсөтпөгөн натыйжалар

• HOMC'nin бардык olası higher-order Markov yazılımlarından көбүрөөк hızlı экендиги gösterilmemektedir.
• Makale ар башка \(n\) жана \(m\) değerlerinde sistematik runtime benchmark'ı sunmamaktadır.
• Paket yoğun tensörlerde \(O(n^m)\) bellek ölçeğini ortadan kaldırmamaktadır.
• Çalışma sparse же çok büyük tensörler үчүн ayrı бир ölçeklenebilirlik yöntemi doğrulamamaktadır.
• Yazarın “ilk dedicated MATLAB package” ifadesi изилдөөнүн literatür değerlendirmesine dayanan бир özgünlük iddiasıdır; makale bağımsız yazılım envanteri çalışması эмес.
• Matematiksel örneklerdeki başarı, belirli gerçek dünya veri kümelerinde otomatik üstün tahmin performansı anlamına gelmez.
• Бир higher-order chain'in reduced first-order chain'e dönüştürülebilmesi, бардык higher-order sorularının гана first-order yazılımla çözülebileceği anlamına gelmez.
• Kaynağın 2025 sürümünde көбүрөөк кийин eklenen fund функциясы же absorbing-chain fundamental tensor özellikleri bulunmamaktadır.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Булакта аныкталган негизги HOMC функциялары

Мисалдардын илимий максаты

2.2-мисал: regularity натыйжасы

İkinci mertebe жана dört durumlu zincirin өтүү tensörü dört adet \(4\times4\) frontal slice менен аныкталат.

bpow(P,10) sonucunda булак dört ayrı \(P^{10}(:,:,i_3)\) matrisinin бардык girişlerini pozitif катары vermektedir.

Бул nedenle:

\[ P^{10}>0 \]

жана zincir regular катары sınıflandırılmaktadır.

2.3-мисал: ergodic, бирок regular эмес чынжыр

Üç durumlu экинчи тартиптеги zincirde тензор kuvveti periyodik davranış göstermektedir:

• tek \(k\): \(P^k=P\),
• çift \(k\): ikinci бир sabit тензор.

Бул nedenle бардык girişlerin бирдей \(k\)'da pozitif экендиги бир kuvvet bulunmamaktadır.

Buna rağmen her абал kombinasyonu үчүн en az бир erişilebilir k-adımı bulunduğundan zincir булак tanımına боюнча ergodic'tir.

2.6-мисал: limiting distribution

Dört durumlu экинчи тартиптеги zincirin reduced-state sayısı:

\[ 4^2=16 \]

болгондуктан:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

өтүү matrisi elde жүргүзүлөт.

MATLAB eig менен bulunan iki ayrı \(\lambda=1\) eigenvector'ü бирдей:

\[ \pi= [0.2857,\ 0.2857,\ 0.2857,\ 0.1429]^T \]

limiting distribution değerini üretmektedir.

3.1-мисал: ever-reaching probability жакындашы

3.2-мисал: жогорку тартиптеги mean first passage time

3.3-мисал: биринчи тартиптеги mean first passage time

Üç durumlu first-order zincir үчүн direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

катары elde edilmiştir.

Iterative ыкма varsayılan toleransla бул matrise 66 iterasyonda yakınsamaktadır.

Эсептөөнүн масштабдуулугу жөнүндө булак эмне дейт?

Makale изилдөө süresi үчүн sistematik benchmark vermemektedir. Buna karşılık bellek açısından temel sınırı açık biçimde belirtmektedir:

\[ O(n^m) \]

Bunun nedeni, genel dense higher-order Markov chain'in өтүү tensörünün zaten \(n^m\) olasılık değeri içermesidir.

Dolayısıyla örneğin абал sayısını же mertebeyi artırmak problem büyüklüğünü doğrusal эмес üstel biçimde artırabilir.

Бул tablo түздөн-түз makaledeki formüllerin boyut ilişkilerini özetler; yeni performans benchmark'ı эмес.

Изилдөөнүн негизги салымы

HOMC'nin katkısı yeni бир genel amaçlı Markov modelinden ziyade, yazarın жана ortaklarının higher-order Markov chains üzerine geliştirdiği тензор temelli sonuçların MATLAB'da түздөн-түз kullanılabilir fonksiyonlara dönüştürülmesidir.

Бул paket өзгөчө:

• sayısal deney,
• algoritma prototipleme,
• higher-order transition tensor araştırmaları,
• state classification,
• limiting distribution,
• ever-reaching probability,
• mean first passage time

problemleri үчүн ortak hesaplama altyapısı sağlamayı amaçlamaktadır.

Негизги чектөөлөр

• Yoğun тензордун \(n^m\) ölçeklenmesi büyük problemlerde temel bellek sınırıdır.
• Kaynak sistematik CPU/GPU hız benchmark'ı sunmamaktadır.
• GPU, parallel computing же sparse-tensor optimizasyonu makalenin konusu эмес.
• Örnekler matematiksel/sentetik zincirlerdir; uygulama alanlarına ait yeni saha verisi analizi sunulmamaktadır.
• Box product klasik тензор ürünlerinden farklıdır; başka tensor toolbox işlemleriyle eşdeğer kabul edilmemelidir.
• Non-associativity nedeniyle kuvvet hesaplarında матрица cebirindeki bazı hızlandırma sezgileri түздөн-түз kullanılamaz.
• Reduced first-order chain kullanışlı olmasına rağmen бардык higher-order problemlerin yerini alamaz.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Tam özgün изилдөө adı: HOMC: A MATLAB Package for Higher Order Markov Chains

Yazar: Jianhong Xu.

Sorumlu yazar: Jianhong Xu.

Eş birinci/eş katkı: Çalışma tek yazarlı болгондуктан eş katkı beyanı bulunmamaktadır.

Kurum: School of Mathematical and Statistical Sciences, Southern Illinois University Carbondale, Carbondale, Illinois, USA.

Kaynak türü: MATLAB tabanlı matematiksel bilimsel yazılım жана sayısal ыкма çalışması.

Yüklenen sürüm: arXiv:2510.02664v1 [stat.CO].

ArXiv ilk gönderim tarihi: 3 Ekim 2025.

PDF үстүндө yazılı tarih: 6 Ekim 2025.

ArXiv DOI: 10.48550/arXiv.2510.02664.

Yüklenen sürümün yayın durumu: Yüklenen arXiv PDF'si бир preprint sürümüdür.

Güncel yayın durumu: Bibliyografik doğrulamada yazarın Southern Illinois University resmî araştırma sayfası жана HOMC resmî README dosyası çalışmayı ACM Transactions on Mathematical Software'da “to appear” катары listelemektedir.

Güncel dergi DOI'si: 10.1145/3834564.

Bilimsel içerikte kullanılan sürüm: Бул Verianla makalesindeki tanımlar, fonksiyonlar, denklemler, örnekler жана sayısal натыйжалар yüklenen arXiv v1 sürümüne dayanmaktadır. Sonraki yazılım же makale güncellemeleri ana bilimsel içeriğe geriye dönük катары eklenmemiştir.

Kaynak kod: Yüklenen изилдөө HOMC MATLAB булак dosyalarının Southern Illinois University sunucusundaki neumann.math.siu.edu/homc dizininde kamuya açık olduğunu belirtmektedir.

Güncel yazılım ayrımı: Resmî HOMC README dosyası Haziran 2026'da higher-order absorbing Markov chains үчүн fund isimli yeni бир функция eklendiğini belirtmektedir. Бул işlev 2025 tarihli yüklenen makalenin функция setinde bulunmadığından бул makalenin bilimsel касиет listesine dahil edilmemiştir.

Kaynakta anlatılan ana fonksiyonlar:lind, bprod, bpow, eyet, diagt, t2mat, mat2t, krprod, rcmat, erp, mfptd жана mfpti.

MATLAB built-in fonksiyonları: Kaynak өзгөчө size, ones, eig, ind2sub, fliplr жана reshape сыяктуу MATLAB araçlarından yararlanmaktadır.

Temel matematiksel yapı: m. mertebe өтүү тензорлорду, өзгөчө box product, тензор kuvvetleri, mode-k matricization, Khatri-Rao product, reduced first-order chain, ever-reaching probability жана mean first passage time тензорлорду.

Bellek karmaşıklığı: Kaynak genel dense higher-order Markov zinciri hesaplamaları үчүн esas depolama maliyetini \(O(n^m)\) катары vermektedir.

Runtime benchmark: Çalışma sistematik işlem süresi же ар башка donanımlarda performans benchmark'ı raporlamamaktadır.

“İlk paket” ifadesinin sınırı: Yazar çalışmayı kendi literatür değerlendirmesine боюнча higher-order Markov chains үчүн ilk dedicated MATLAB package катары tanımlamaktadır. Бул ifade bağımsız kapsamlı yazılım envanteri çalışmasının sonucu эмес.

Uygulama sınırı: Makalede higher-order Markov chains'in rating transitions, occupancy prediction, zaman serileri, PageRank, target tracking, PV üretim tahmini, electricity price dynamics жана sequential recommendation сыяктуу alanlarda kullanıldığı kaynaklarla белгиленет. HOMC makalesinin kendisi бул alanlarda yeni uygulama veri seti же karşılaştırmalı deney sunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı бир competing-interest beyanı bulunmamaktadır; bundan çıkar çatışması olmadığı sonucu çıkarılmamıştır.

Finansman: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı бир funding acknowledgement bölümü bulunmamaktadır.

CRediT/yazar katkısı: Çalışma tek yazarlı olup ayrı бир CRediT contribution statement içermemektedir.

Bilimsel yorum sınırı: Çalışma higher-order Markov chains үчүн matematiksel жана hesaplamalı бир MATLAB paketini sunmaktadır. Örnekler ыкма doğrulaması жана kullanım gösterimi niteliğindedir; belirli бир gerçek dünya probleminde tahmin üstünlüğü же saha performansı kanıtı эмес.

Bilimsel içerik sınırı: Бул Verianla metnindeki higher-order Markov tanımları, box product, тензор kuvvetleri, regularity/ergodicity örnekleri, reduced-chain dönüşümü, limiting distribution, ever-reaching probability, state classification жана mean first passage time sonuçları гана yüklenen çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynaklar гана bibliyografik yayın durumunu жана HOMC paketinin güncel resmî durumunu doğrulamak үчүн kullanılmıştır.