HOMC, yüksək tərtibli Markov zəncirlərinin birbaşa tensor formasında təhlili üçün hazırlanmış MATLAB əsaslı hesablama paketidir. Birinci tərtibli klassik Markov zəncirlərində gələcək vəziyyət yalnız cari vəziyyətdən asılı olduğu halda, yüksək tərtibli zəncirlərdə gələcək vəziyyət cari vəziyyətlə yanaşı bir və ya daha çox keçmiş vəziyyətdən də asılıdır. Buna görə keçid ehtimalları ikiölçülü matris əvəzinə çoxölçülü keçid tensoru ilə təqdim olunur. HOMC; bu keçid tensörlerinden k-adımlı keçid olasılıklarını, limiting probability distribution değerlerini, ever-reaching probability tensörlerini və mean first passage time tensörlerini hesaplayabilmekte; həmçinin zincirin regular və ya ergodic olup olmadığının incelenmesini, durumların recurrent/transient olaraq sınıflandırılmasını və ilişkili reduced first-order chain keçid matrisinin oluşturulmasını dəstəkləyir.

Paketin matematiksel mərkəzində yazarın önceki çalışmalarında kullanılan xüsusi bir tensor işlemi olan box product (⊠) mövcuddur. Bu çarpım, klasik tensor çarpımlarından fərqli bir olasılıksal anlama sahiptir və yüksək tərtibli Markov zincirinin k-adımlı keçid tensörünü birbaşa üretmek üçün istifadə olunur. Box product, mertebe iki olduğunda normal matris çarpımına indirgenmesine rağmen üçüncü və daha yüksək tərtiblərdə associative deyil. HOMC bu nedenle tensor kuvvetlerini klasik matris kuvvetlendirmesinden fərqli, sıralı bir biçimde hesaplamaktadır.

Tədqiqatın nümunələri göstərir ki, paket yalnız yüksək tərtibli zəncirlərlə məhdudlaşmır və ikinci tərtib halında klassik birinci tərtibli Markov zəncirləri ilə də uyğun işləyir. Bununla belə, müəllifin əsas vurğusu ondan ibarətdir ki, yüksək tərtibli Markov məsələlərinin hamısını əlaqəli birinci tərtibli zəncirə endirməklə həll etmək mümkün deyil. HOMC-nin əsas məqsədi yüksək tərtibli strukturun öz tensor riyaziyyatını birbaşa qoruyan MATLAB hesablama mühiti təmin etməkdir.

Birinci tərtibli Markov zənciri ilə yüksək tərtibli zəncir arasındakı fərq nədir?

Klasik birinci mertebe Markov zincirinde sistemin bir sonraki durumu yalnız cari duruma bağlıdır. Durum uzayı

\[ S=\{1,2,\ldots,n\} \]

olaraq tanımlandığında Markov özelliği:

\[ \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j,\ldots,X_1=k) = \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

şeklindedir.

Geçiş ehtimalı:

\[ p_{ij}=\Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

ilə müəyyən edilir və bütün geçişler \(n\times n\) ölçülü stokastik bir \(P\) matrisi içində tutulabilir.

Yüksek mertebeli Markov zincirinde isə gelecek vəziyyət yalnız \(X_t\)'ye deyil, geçmişteki birden fazla duruma bağlıdır. Makaledeki tanıma görə \(m\geq3\) olmak üzere \((m-1)\). mertebeden zincir:

\[ \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m,\ldots,X_1=i_{t+1} ) = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

özelliğini təmin edir.

Buna karşılık keçid ehtimalı:

\[ p_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

olur və bütün olasılıklar \(m\). mertebeden, her boyutu \(n\) olan bir keçid tensöründe tutulur:

\[ \mathcal P=[p_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

Bu tensor stokastiktir:

\[ 0\leq p_{i_1i_2\ldots i_m}\leq1 \]

və her keçmiş vəziyyət kombinasyonu üçün:

\[ \sum_{i_1\in S}p_{i_1i_2\ldots i_m}=1 \]

olmalıdır.

MATLAB bu problem üçün niyə uyğundur?

Yüksek mertebeli Markov zincirlerinde temel veri yapısı çok ölçülü bir tensördür. MATLAB'ın doğal multidimensional array yapısı bu tür keçid tensörlerini birbaşa saklamaya uygundur.

Örneğin \(m\). mertebeden bir keçid tensörünün frontal slice'ları:

P(:,:,i3,...,im)

biçiminde erişilebilir. Her slice sıradan bir \(n\times n\) MATLAB matrisi olduğu üçün tensorun fərqli bölümlerini incelemek və ya değiştirmek birbaşa MATLAB sözdizimiyle mümkündür.

Ancak yoğun bir \(m\). mertebe, \(n\) ölçülü tensorun giriş sayısı:

\[ n^m \]

olduğu üçün bellek gereksinimi hızlı biçimde büyür. Çalışma HOMC'nin temel uzay karmaşıklığını:

\[ O(n^m) \]

olaraq vermektedir.

Yazar bunun genel və dense higher-order Markov chain problemi üçün keçid tensörünün kendisinin zaten \(n^m\) eleman içerdiği göz önüne alındığında kaçınılmaz olduğunu belirtmektedir.

HOMC yaddaşı necə azaltmağa çalışır?

Özel box-product hesabının naif bir uygulaması bütün:

\[ (i_1,i_2,\ldots,i_m) \]

indeks kombinasyonlarının önceden oluşturulmasını gerektirebilir. Bunun büyük \(n\) və \(m\) değerlerinde önemli ek bellek tüketimi yaratacağı qeyd olunur.

HOMC bunun yerine MATLAB'ın yerleşik ind2sub fonksiyonunu kullanarak ihtiyaç duyulan indeksleri hesaplama sırasında üretmektedir. Aynı yaklaşım paket içindeki başka fonksiyonlarda da uygun yerlerde kullanılmıştır.

Dolayısıyla ana bellek yükü ek bir dev indeks tablosundan deyil, esas keçid tensörü və gerektiğinde eyni büyüklükteki çıktı tensörlerinden kaynaklanmaktadır.

Linear indexing nə üçün lazımdır?

Bir tensorun çok ölçülü indekslerini tek bir sırada düzenlemek, tensor-to-matrix dönüşümleri və reduced first-order chain oluşturma kimi işlemlerde vacibdir.

HOMC bunun üçün:

ind = lind(s,r)

fonksiyonunu sunmaktadır.

Burada:

s = size(P)

keçid tensörünün boyut vektörüdür. Varsayılan r=1 normal linear indexing üretirken:

lind(s,-1)

reversed linear indexing hasil edir.

Örnek 2.1'de:

s = [2 2 2 2]

üçün toplam:

\[ 2^4=16 \]

indeks kombinasyonu elde edilir.

Box product nədir?

HOMC'nin merkezindeki işlem \(\boxempty\) və ya mənbə gösterimindeki ⊠ box product'tır. Aynı boyutta iki \(m\). mertebe tensor:

\[ \mathcal A=[a_{i_1i_2\ldots i_m}], \qquad \mathcal B=[b_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

üçün:

\[ \mathcal C=\mathcal A\boxtimes\mathcal B \]

tensörünün elemanları:

\[ c_{i_1i_2\ldots i_m} = \sum_{j=1}^{n} a_{i_1ji_2\ldots i_{m-1}} b_{ji_2\ldots i_m} \]

şəklində müəyyən edilir.

MATLAB funksiyası:

C = bprod(A,B)

biçimindedir.

Özel olaraq \(m=2\) olduğunda tensörler matristir və box product sıradan:

\[ AB \]

matris çarpımına çevrilir.

Box product adi matris hasilindən nə üçün fərqlənir?

En kritik fark associative olmamasıdır. Genel olaraq \(m\geq3\) üçün:

\[ A\boxtimes(B\boxtimes C) \neq (A\boxtimes B)\boxtimes C \]

olabilir.

Bu nedenle tensor kuvvetleri sıradan cebirdeki kimi parçalanamaz.

Örneğin:

\[ A^6 \]

genel olaraq:

\[ A^3\boxtimes A^3 \]

şəklində hesaplanamaz.

HOMC tensor qüvvəsini necə müəyyənləşdirir?

Tensör kuvveti rekürsif olaraq:

\[ A^{k+1}=A^k\boxtimes A \]

şəklində müəyyən edilir.

MATLAB funksiyası:

C = bpow(A,k)

biçimindedir.

Sıfırıncı kuvvet üçün xüsusi bir \(m\). mertebe identity tensor istifadə olunur:

\[ \mathcal I=[\delta_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

və:

\[ \delta_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} 1,& i_1=i_2\\ 0,& \text{aksi halde} \end{cases} \]

olaraq müəyyən edilir.

Bu tensor:

\[ I\boxtimes A=A \]

özelliğini sağlarken genel olaraq:

\[ A\boxtimes I\neq A \]

olabilir.

Identity tensor:

I = eyet(s)

ilə yaradılır.

Box product-un ehtimal mənası nədir?

Yüksek mertebeli zincirin keçid tensörü \(\mathcal P\) isə:

\[ \mathcal P^k = [p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

tensöründeki her eleman:

\[ p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+k}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

şəklində k-adımlı keçid olasılığını temsil eder.

Dolayısıyla bpow(P,k) yalnız soyut bir tensor kuvveti hesaplamaz; birbaşa k adım sonraki vəziyyət olasılıklarını hasil edir.

Regular və ergodic yüksək tərtibli zəncir eyni şeydirmi?

Hayır. Çalışma bu iki kavram arasındaki farkı iki örnekle xüsusilə görünür hâle getirir.

Örnek 2.2: Dört durumlu ikinci tərtibli zincirde:

bpow(P,10)

hesaplandığında \(P^{10}\)'un bütün girişlerinin pozitif olduğu görünür. Başka bir ifadeyle bir \(k\geq1\) üçün:

\[ P^k>0 \]

sağlandığından zincir regulardır.

Kaynak, regular bir yüksək tərtibli zincirin unique limiting probability distribution'a sahip olduğunu belirtmektedir.

Örnek 2.3: Üç durumlu başka bir ikinci tərtibli zincirde isə:

\[ P^k=P \]

tek \(k\) değerlerinde, başka bir tensor isə çift \(k\) değerlerinde tekrarlanmaktadır. Dolayısıyla hiçbir kuvvette bütün girişler pozitif olmadığı üçün zincir regular deyil.

Bununla birlikte her başlangıç/hedef kombinasyonu üçün uygun bir \(k\) bulunabildiğinden zincir ergodicdir.

Bu örnek, mənbə tədqiqatın kullandığı higher-order Markov terminolojisinde:

ergodic olmak ilə regular olmak eyni koşul deyil.

Diagonal tensor nə üçün istifadə olunur?

Bir tensorun diagonal kısmı:

\[ A_d=[a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

ilə gösterilir və:

\[ a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} a_{i_1i_2\ldots i_m},&i_1=i_2\\ 0,&\text{aksi halde} \end{cases} \]

olaraq müəyyən edilir.

HOMC funksiyası:

D = diagt(A)

şeklindedir.

Bu yapı xüsusilə ever-reaching probability və mean first passage time denklemlerinde istifadə olunur.

Tensor matrisə necə çevrilir?

HOMC hem matricization hem tensorization işlemlerini dəstəkləyir.

Bir \(m\). mertebe, \(n\) ölçülü tensor üçün:

\[ N=n^{m-1} \]

olduğunda mode-k matricization sonucu \(n\times N\) matristir.

Fonksiyonlar:

B = t2mat(A,k)

və ters işlem üçün:

A = mat2t(B,k)

şeklindedir.

Örnek 2.5'te:

A = reshape(1:16,2,2,2,2)

ilə oluşturulan \(2\times2\times2\times2\) tensor mode-3 üzerinden:

\[ B= \begin{bmatrix} 1&2&3&4&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&13&14&15&16 \end{bmatrix} \]

matrisine dönüştürülmekte və:

mat2t(B,3)

orijinal tensörü geri vermektedir.

Yüksək tərtibli zəncir nə üçün birinci tərtibli zəncirə çevrilir?

Bir \((m-1)\). mertebe Markov zincirinin keçmiş vəziyyət kombinasyonları tek bir genişletilmiş vəziyyət olaraq ele alınarak ilişkili bir first-order chain oluşturulabilir.

Yeni vəziyyət uzayı:

\[ T= \{ i_1i_2\ldots i_{m-1}: i_1,\ldots,i_{m-1}\in S \} \]

olur və boyutu:

\[ N=n^{m-1} \]

kadardır.

Yeni süreç:

\[ Y_t= [X_t,X_{t-1},\ldots,X_{t-m+2}]^T \]

olaraq müəyyən edilir.

Bu zincir kaynakta reduced first-order chain olaraq adlandırılır.

Reduced-chain keçid matrisi MATLAB-da necə yaradılır?

Önce keçid tensörünün mode-1 matricization'ı yaradılır. Daha sonra sütun bazlı Khatri-Rao product istifadə olunur.

HOMC bunun üçün iki funksiya sunar:

krprod(A,B)

və birbaşa reduced-chain matrisi üçün:

Q = rcmat(P)

Örnek 2.2'deki dört durumlu ikinci tərtibli zincir üçün:

\[ N=4^2=16 \]

olduğundan elde edilen reduced first-order transition matrix:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

boyutundadır.

Limiting probability distribution necə tapılır?

Kaynağa görə regular bir yüksək tərtibli zincir unique limiting distribution:

\[ \pi=\lim_{t\rightarrow\infty}x_t \]

değerine sahiptir.

Reduced-chain matrisi \(Q\)'nun dominant eigenvalue değeri:

\[ \lambda=1 \]

üçün uygun sağ eigenvector \(y\) mövcuddur və:

\[ y\geq0, \qquad \|y\|_1=1 \]

olaraq normalize edilir.

Daha sonra kaynakta identity tensor'un mode-1 matricization'ı olaraq tanımlanan \(\mathcal P^{(0)}\) ilə:

\[ \pi=\mathcal P^{(0)}y \]

hesablanır.

Örnek 2.6'da MATLAB'ın eig funksiyası kullanıldığında \(\lambda=1\)'in multiplicity değeri 2 olsa və iki fərqli eigenvector elde edilse de her ikisi de eyni limiting distribution sonucunu üretmektedir:

\[ \pi= \begin{bmatrix} 0.2857\\ 0.2857\\ 0.2857\\ 0.1429 \end{bmatrix} \]

Ever-reaching probability nədir?

Ever-reaching probability, belirli keçmiş vəziyyət dizisinden başlanıldığında hedef duruma gelecekte en az bir kez ulaşılma olasılığını ifade eder.

İlk keçid zamanının tam \(k\). adımda gerçekleşme ehtimalı:

\[ f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

ilə gösterilir.

İlk tensor:

\[ F^{[1]}=P \]

və sonraki tensörler:

\[ F^{[k+1]} = (F^{[k]}-F^{[k]}_d)\boxtimes P \]

rekürsiyonu ilə hesablanır.

Ever-reaching probability tensor:

\[ F=\sum_{k=1}^{\infty}F^{[k]} \]

olaraq müəyyən edilir.

HOMC funksiyası:

F = erp(P,tol)

şeklindedir.

Varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

olaraq verilir. Eğer herhangi bir \(k\)'da \(F^{[k]}\)'nın en büyük mutlak elemanı toleransın altına düşerse seri o noktada kesilerek təxmini \(F\) döndürülür.

Ever-reaching probability ilə vəziyyətlər necə təsnif edilir?

Bir vəziyyət \(i\), gerekli diagonal ever-reaching olasılıklarının tamamı 1 isə recurrent olaraq sınıflandırılır.

Bunlardan en az biri 1 değilse vəziyyət transienttir.

İlgili bütün değerler 1'in altındaysa vəziyyət fully transient olaraq adlandırılır.

Örnek 3.1'de erp(P,1e-8) hesabı serinin ilk 67 terimi istifadə edilərək yakınsamaktadır və nəticə:

• Durum 1: transient fakat fully transient deyil,
• Durum 2: recurrent,
• Durum 3: fully transient

olaraq sınıflandırılmıştır.

Mean first passage time nədir?

Mean first passage time, başlangıç keçmiş vəziyyət kombinasyonundan hedef duruma ilk kez ulaşmak üçün gereken ortalama adım sayısıdır.

Kaynak:

\[ \mu_{i_1i_2\ldots i_m} = E(\eta_{i_1i_2\ldots i_m}) = \sum_{k=1}^{\infty} k f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

tanımını kullanmaktadır.

Bütün değerler bir mean first passage time tensor:

\[ \mu=[\mu_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

içində saklanır.

Ergodic yüksək tərtibli zincir üçün:

\[ \mu= E+(\mu-\mu_d)\boxtimes P \]

tensor denklemi geçerlidir.

HOMC mean first passage time-ı iki fərqli üsulla hesablayır

Doğrudan metod:

mu = mfptd(P)

Fonksiyon tensor denkleminden oluşan lineer sistemi birbaşa çözer.

Ancak mənbə, bütün problemi tek bir:

\[ n^m\times n^m \]

lineer sistem olaraq çözmeyi önermemektedir.

Unknown değerler reversed linear indexing sırasına konulduğunda katsayı matrisi \(n\) adet diagonal block'a ayrılabildiği üçün HOMC bu yapıyı kullanarak sistemi \(n\) küçük alt probleme ayırmaktadır.

İteratif metod:

\[ \mu^{(k+1)} = E+ (\mu^{(k)}-\mu^{(k)}_d)\boxtimes P \]

iterasyonu uygulanmaktadır.

MATLAB funksiyası:

mu = mfpti(P,mu0,tol)

şeklindedir.

Varsayılan başlangıç:

\[ \mu^{(0)}=E \]

və varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

olaraq verilir.

HOMC birinci tərtibli zəncirlərdə də işləyirmi?

Evet. Kaynakta \(m=2\) olduğunda higher-order tanım klasik Markov zincirine indirgenmektedir və HOMC fonksiyonlarının buna uyumlu olması xüsusilə test edilmiştir.

Örnek 2.4'te üç durumlu:

\[ P= \begin{bmatrix} 0.5&0.5&0\\ 0.5&0&1\\ 0&0.5&0 \end{bmatrix} \]

keçid matrisi üçün:

bpow(P,5)

sonucu:

\[ \begin{bmatrix} 0.3750&0.4688&0.3125\\ 0.4688&0.2188&0.6250\\ 0.1562&0.3125&0.0625 \end{bmatrix} \]

olaraq elde edilmiş və bunun MATLAB'ın klasik:

P^5

sonucuyla eyni olduğu göstərilmişdir.

Direct və iterative MFPT eyni nəticəni verirmi?

Kaynak örneklerinde evet.

Ergodic ikinci tərtibli zincir üçün mfptd(P):

\[ \mu(:,:,i_3)= \begin{bmatrix} 4&3&4\\ 1&2&1\\ 4&3&4 \end{bmatrix}, \qquad i_3=1,2,3 \]

sonucunu üretmektedir.

Kaynak həmçinin sonucu:

mu-ones(s)-bprod(mu-diagt(mu),P)

ifadesiyle denklem (7)'ye geri koymakta və sıfır tensörü elde ederek kontrol etmektedir.

mfpti(P) isə varsayılan toleransla 40 iterasyonda:

\[ 3.9999971,\quad 2.9999981,\quad 1.0000000 \]

kimi direct çözümün beklenen 4, 3 və 1 değerlerine yakın sonuçlara ulaşmaktadır.

Birinci tərtibli MFPT nümunəsi də varmı?

Evet. Örnek 3.3'te eyni klasik Markov matrisi üçün direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

olaraq bulunmuştur.

Iterative mfpti(P) yöntemi varsayılan toleransla 66 iterasyonda bu değerlere təxmini olaraq yakınsamaktadır.

HOMC nə üçün yalnız reduced first-order chain vasitələrini əvəz etmir?

Bir yüksək tərtibli zincirin expanded-state first-order representation'ı oluşturulabilse de mənbə tədqiqatın ana teorik mesajlarından biri, bütün higher-order Markov sorularının bu dönüşümle çözülememesidir.

Reduced-chain yaklaşımı xüsusilə limiting distribution kimi belirli problemlerde yararlıdır. Buna karşılık higher-order k-step transition, ever-reaching probability və mean first passage time yapılarının tensor biçimi kendi matematiksel bilgilerini taşımaktadır.

Bu nedenle HOMC hem:

• tensor temelli higher-order fonksiyonları, hem de
• gerektiğinde ilişkili first-order chain'e dönüşüm araçlarını

eyni pakette sunmaktadır.

Bu, Türkiyə baxımından nə ifadə edir?

Kaynak tədqiqat Türkiye'ye ait veri seti və ya uygulama içermemektedir. Bu nedenle çalışmadan Türkiye'ye özgü bir Markov modeli sonucu çıkarılamaz.

Bununla birlikte HOMC genel amaçlı matematiksel bir araç olduğundan, keçid davranışının yalnız son duruma deyil daha uzun geçmişe bağlı olduğu araştırma problemlerinde metodolojik olaraq kullanılabilir. Kaynak makalenin atıf verdiği uygulama literatüründe enerji fiyatları, fotovoltaik üretim tahmini, bina doluluk tahmini, zaman serileri, hedef takibi və sequential recommendation kimi yüksək tərtibli Markov kullanım alanları mövcuddur. Bunlar HOMC makalesinde yeni uygulama deneyleri olaraq test edilmemiş, yalnız higher-order Markov zincirlerinin cari uygulama alanlarına örnek olaraq referanslandırılmıştır.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• HOMC, higher-order Markov chains üçün MATLAB tabanlı tensor hesaplama fonksiyonları sunmaktadır.
• Geçiş tensorları MATLAB multidimensional array olaraq birbaşa temsil edilebilir.
• bprod xüsusi box-product işlemini uygular.
• bpow k-adımlı transition tensor hesaplamasını gerçekleştirir.
• Box product \(m\geq3\) üçün genel olaraq associative deyil.
• eyet makaledeki xüsusi identity tensor yapısını oluşturur.
• diagt diagonal tensor çıkarır.
• t2mat və mat2t matricization/tensorization təmin edir.
• rcmat reduced first-order chain keçid matrisini oluşturabilir.
• Reduced-chain ilə MATLAB eig funksiyası limiting distribution hesabında kullanılabilir.
• erp ever-reaching probability tensor hesaplamasını destekler.
• Ever-reaching probability diagonal değerleri recurrent və transient vəziyyət sınıflandırmasında kullanılabilir.
• mfptd mean first passage time denklemini blok yapısını kullanarak birbaşa çözer.
• mfpti eyni problemi iteratif olaraq çözebilir.
• Paket \(m=2\) xüsusi durumunda klasik first-order Markov zincirleriyle de çalışabilmektedir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi və ya göstərmədiyi nəticələr

• HOMC'nin bütün olası higher-order Markov yazılımlarından daha hızlı olduğu gösterilmemektedir.
• Makale fərqli \(n\) və \(m\) değerlerinde sistematik runtime benchmark'ı sunmamaktadır.
• Paket yoğun tensörlerde \(O(n^m)\) bellek ölçeğini ortadan kaldırmamaktadır.
• Çalışma sparse və ya çok büyük tensörler üçün ayrı bir ölçeklenebilirlik yöntemi doğrulamamaktadır.
• Yazarın “ilk dedicated MATLAB package” ifadesi tədqiqatın literatür değerlendirmesine dayanan bir özgünlük iddiasıdır; makale bağımsız yazılım envanteri çalışması deyil.
• Matematiksel örneklerdeki başarı, belirli gerçek dünya veri kümelerinde otomatik üstün tahmin performansı anlamına gelmez.
• Bir higher-order chain'in reduced first-order chain'e dönüştürülebilmesi, bütün higher-order sorularının yalnız first-order yazılımla çözülebileceği anlamına gelmez.
• Kaynağın 2025 sürümünde daha sonra eklenen fund funksiyası və ya absorbing-chain fundamental tensor özellikleri bulunmamaktadır.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Mənbədə müəyyən edilən əsas HOMC funksiyaları

Nümunələrin elmi məqsədi

Nümunə 2.2: regularity nəticəsi

İkinci mertebe və dört durumlu zincirin keçid tensörü dört adet \(4\times4\) frontal slice ilə müəyyən edilir.

bpow(P,10) sonucunda mənbə dört ayrı \(P^{10}(:,:,i_3)\) matrisinin bütün girişlerini pozitif olaraq vermektedir.

Bu nedenle:

\[ P^{10}>0 \]

və zincir regular olaraq sınıflandırılmaktadır.

Nümunə 2.3: ergodic, lakin regular olmayan zəncir

Üç durumlu ikinci tərtibli zincirde tensor kuvveti periyodik davranış göstermektedir:

• tek \(k\): \(P^k=P\),
• çift \(k\): ikinci bir sabit tensor.

Bu nedenle bütün girişlerin eyni \(k\)'da pozitif olduğu bir kuvvet bulunmamaktadır.

Buna rağmen her vəziyyət kombinasyonu üçün en az bir erişilebilir k-adımı bulunduğundan zincir mənbə tanımına görə ergodic'tir.

Nümunə 2.6: limiting distribution

Dört durumlu ikinci tərtibli zincirin reduced-state sayısı:

\[ 4^2=16 \]

olduğundan:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

keçid matrisi elde edilir.

MATLAB eig ilə bulunan iki ayrı \(\lambda=1\) eigenvector'ü eyni:

\[ \pi= [0.2857,\ 0.2857,\ 0.2857,\ 0.1429]^T \]

limiting distribution değerini üretmektedir.

Nümunə 3.1: ever-reaching probability-nin yaxınlaşması

Nümunə 3.2: yüksək tərtibli mean first passage time

Nümunə 3.3: birinci tərtibli mean first passage time

Üç durumlu first-order zincir üçün direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

olaraq elde edilmiştir.

Iterative metod varsayılan toleransla bu matrise 66 iterasyonda yakınsamaktadır.

Hesablama miqyaslana bilməsi barədə mənbə nə deyir?

Makale tədqiqat süresi üçün sistematik benchmark vermemektedir. Buna karşılık bellek açısından temel sınırı açık biçimde belirtmektedir:

\[ O(n^m) \]

Bunun nedeni, genel dense higher-order Markov chain'in keçid tensörünün zaten \(n^m\) olasılık değeri içermesidir.

Dolayısıyla örneğin vəziyyət sayısını və ya mertebeyi artırmak problem büyüklüğünü doğrusal deyil üstel biçimde artırabilir.

Bu tablo birbaşa makaledeki formüllerin boyut ilişkilerini özetler; yeni performans benchmark'ı deyil.

Tədqiqatın əsas töhfəsi

HOMC'nin katkısı yeni bir genel amaçlı Markov modelinden ziyade, yazarın və ortaklarının higher-order Markov chains üzerine geliştirdiği tensor temelli sonuçların MATLAB'da birbaşa kullanılabilir fonksiyonlara dönüştürülmesidir.

Bu paket xüsusilə:

• sayısal deney,
• algoritma prototipleme,
• higher-order transition tensor araştırmaları,
• state classification,
• limiting distribution,
• ever-reaching probability,
• mean first passage time

problemleri üçün ortak hesaplama altyapısı sağlamayı amaçlamaktadır.

Əsas məhdudiyyətlər

• Yoğun tensorun \(n^m\) ölçeklenmesi büyük problemlerde temel bellek sınırıdır.
• Kaynak sistematik CPU/GPU hız benchmark'ı sunmamaktadır.
• GPU, parallel computing və ya sparse-tensor optimizasyonu makalenin konusu deyil.
• Örnekler matematiksel/sentetik zincirlerdir; uygulama alanlarına ait yeni saha verisi analizi sunulmamaktadır.
• Box product klasik tensor ürünlerinden farklıdır; başka tensor toolbox işlemleriyle eşdeğer kabul edilmemelidir.
• Non-associativity nedeniyle kuvvet hesaplarında matris cebirindeki bazı hızlandırma sezgileri birbaşa kullanılamaz.
• Reduced first-order chain kullanışlı olmasına rağmen bütün higher-order problemlerin yerini alamaz.

Mənbə və Metod Qeydi

Tam özgün tədqiqat adı: HOMC: A MATLAB Package for Higher Order Markov Chains

Yazar: Jianhong Xu.

Sorumlu yazar: Jianhong Xu.

Eş birinci/eş katkı: Çalışma tek yazarlı olduğundan eş katkı beyanı bulunmamaktadır.

Kurum: School of Mathematical and Statistical Sciences, Southern Illinois University Carbondale, Carbondale, Illinois, USA.

Kaynak türü: MATLAB tabanlı matematiksel bilimsel yazılım və sayısal metod çalışması.

Yüklenen sürüm: arXiv:2510.02664v1 [stat.CO].

ArXiv ilk gönderim tarihi: 3 Ekim 2025.

PDF üzərində yazılı tarih: 6 Ekim 2025.

ArXiv DOI: 10.48550/arXiv.2510.02664.

Yüklenen sürümün yayın durumu: Yüklenen arXiv PDF'si bir preprint sürümüdür.

Güncel yayın durumu: Bibliyografik doğrulamada yazarın Southern Illinois University resmî araştırma sayfası və HOMC resmî README dosyası çalışmayı ACM Transactions on Mathematical Software'da “to appear” olaraq listelemektedir.

Güncel dergi DOI'si: 10.1145/3834564.

Bilimsel içerikte kullanılan sürüm: Bu Verianla makalesindeki tanımlar, fonksiyonlar, denklemler, örnekler və sayısal nəticələr yüklenen arXiv v1 sürümüne dayanmaktadır. Sonraki yazılım və ya makale güncellemeleri ana bilimsel içeriğe geriye dönük olaraq eklenmemiştir.

Kaynak kod: Yüklenen tədqiqat HOMC MATLAB mənbə dosyalarının Southern Illinois University sunucusundaki neumann.math.siu.edu/homc dizininde kamuya açık olduğunu belirtmektedir.

Güncel yazılım ayrımı: Resmî HOMC README dosyası Haziran 2026'da higher-order absorbing Markov chains üçün fund isimli yeni bir funksiya eklendiğini belirtmektedir. Bu işlev 2025 tarihli yüklenen makalenin funksiya setinde bulunmadığından bu makalenin bilimsel xüsusiyyət listesine dahil edilmemiştir.

Kaynakta anlatılan ana fonksiyonlar:lind, bprod, bpow, eyet, diagt, t2mat, mat2t, krprod, rcmat, erp, mfptd və mfpti.

MATLAB built-in fonksiyonları: Kaynak xüsusilə size, ones, eig, ind2sub, fliplr və reshape kimi MATLAB araçlarından yararlanmaktadır.

Temel matematiksel yapı: m. mertebe keçid tensorları, xüsusi box product, tensor kuvvetleri, mode-k matricization, Khatri-Rao product, reduced first-order chain, ever-reaching probability və mean first passage time tensorları.

Bellek karmaşıklığı: Kaynak genel dense higher-order Markov zinciri hesaplamaları üçün esas depolama maliyetini \(O(n^m)\) olaraq vermektedir.

Runtime benchmark: Çalışma sistematik işlem süresi və ya fərqli donanımlarda performans benchmark'ı raporlamamaktadır.

“İlk paket” ifadesinin sınırı: Yazar çalışmayı kendi literatür değerlendirmesine görə higher-order Markov chains üçün ilk dedicated MATLAB package olaraq tanımlamaktadır. Bu ifade bağımsız kapsamlı yazılım envanteri çalışmasının sonucu deyil.

Uygulama sınırı: Makalede higher-order Markov chains'in rating transitions, occupancy prediction, zaman serileri, PageRank, target tracking, PV üretim tahmini, electricity price dynamics və sequential recommendation kimi alanlarda kullanıldığı kaynaklarla qeyd olunur. HOMC makalesinin kendisi bu alanlarda yeni uygulama veri seti və ya karşılaştırmalı deney sunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir competing-interest beyanı bulunmamaktadır; bundan çıkar çatışması olmadığı sonucu çıkarılmamıştır.

Finansman: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir funding acknowledgement bölümü bulunmamaktadır.

CRediT/yazar katkısı: Çalışma tek yazarlı olup ayrı bir CRediT contribution statement içermemektedir.

Bilimsel yorum sınırı: Çalışma higher-order Markov chains üçün matematiksel və hesaplamalı bir MATLAB paketini sunmaktadır. Örnekler metod doğrulaması və kullanım gösterimi niteliğindedir; belirli bir gerçek dünya probleminde tahmin üstünlüğü və ya saha performansı kanıtı deyil.

Bilimsel içerik sınırı: Bu Verianla metnindeki higher-order Markov tanımları, box product, tensor kuvvetleri, regularity/ergodicity örnekleri, reduced-chain dönüşümü, limiting distribution, ever-reaching probability, state classification və mean first passage time sonuçları yalnız yüklenen çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynaklar yalnız bibliyografik yayın durumunu və HOMC paketinin güncel resmî durumunu doğrulamak üçün kullanılmıştır.