HOMC, yüksek mertebeli Markov zincirlerinin doğrudan tensör biçiminde analiz edilmesi için geliştirilmiş MATLAB tabanlı bir hesaplama paketidir. Birinci mertebeli klasik Markov zincirlerinde gelecek durum yalnız mevcut duruma bağlıyken, yüksek mertebeli zincirlerde gelecek durum mevcut durumla birlikte bir veya daha fazla geçmiş duruma bağlıdır. Bu nedenle geçiş olasılıkları iki boyutlu bir matris yerine çok boyutlu bir geçiş tensörüyle temsil edilir. HOMC; bu geçiş tensörlerinden k-adımlı geçiş olasılıklarını, limiting probability distribution değerlerini, ever-reaching probability tensörlerini ve mean first passage time tensörlerini hesaplayabilmekte; ayrıca zincirin regular veya ergodic olup olmadığının incelenmesini, durumların recurrent/transient olarak sınıflandırılmasını ve ilişkili reduced first-order chain geçiş matrisinin oluşturulmasını desteklemektedir.

Paketin matematiksel merkezinde yazarın önceki çalışmalarında kullanılan özel bir tensör işlemi olan box product (⊠) bulunur. Bu çarpım, klasik tensör çarpımlarından farklı bir olasılıksal anlama sahiptir ve yüksek mertebeli Markov zincirinin k-adımlı geçiş tensörünü doğrudan üretmek için kullanılır. Box product, mertebe iki olduğunda normal matris çarpımına indirgenmesine rağmen üçüncü ve daha yüksek mertebelerde associative değildir. HOMC bu nedenle tensör kuvvetlerini klasik matris kuvvetlendirmesinden farklı, sıralı bir biçimde hesaplamaktadır.

Çalışmanın örnekleri, paketin yalnız yüksek mertebeli zincirlerle sınırlı olmadığını, mertebe iki durumunda klasik birinci mertebe Markov zincirleriyle de uyumlu çalıştığını göstermektedir. Bununla birlikte yazarın temel vurgusu, yüksek mertebeli Markov problemlerinin tamamının ilişkili birinci mertebe zincire indirgenerek çözülemeyeceğidir. HOMC'nin esas gerekçesi, yüksek mertebeli yapının kendi tensör matematiğini doğrudan koruyabilen bir MATLAB hesaplama ortamı sağlamaktır.

Birinci mertebe Markov zinciri ile yüksek mertebeli zincir arasındaki fark nedir?

Klasik birinci mertebe Markov zincirinde sistemin bir sonraki durumu yalnız mevcut duruma bağlıdır. Durum uzayı

\[ S=\{1,2,\ldots,n\} \]

olarak tanımlandığında Markov özelliği:

\[ \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j,\ldots,X_1=k) = \Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

şeklindedir.

Geçiş olasılığı:

\[ p_{ij}=\Pr(X_{t+1}=i\mid X_t=j) \]

ile tanımlanır ve bütün geçişler \(n\times n\) boyutlu stokastik bir \(P\) matrisi içinde tutulabilir.

Yüksek mertebeli Markov zincirinde ise gelecek durum yalnız \(X_t\)'ye değil, geçmişteki birden fazla duruma bağlıdır. Makaledeki tanıma göre \(m\geq3\) olmak üzere \((m-1)\). mertebeden zincir:

\[ \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m,\ldots,X_1=i_{t+1} ) = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

özelliğini sağlar.

Buna karşılık geçiş olasılığı:

\[ p_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+1}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

olur ve bütün olasılıklar \(m\). mertebeden, her boyutu \(n\) olan bir geçiş tensöründe tutulur:

\[ \mathcal P=[p_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

Bu tensör stokastiktir:

\[ 0\leq p_{i_1i_2\ldots i_m}\leq1 \]

ve her geçmiş durum kombinasyonu için:

\[ \sum_{i_1\in S}p_{i_1i_2\ldots i_m}=1 \]

olmalıdır.

MATLAB neden bu problem için uygun?

Yüksek mertebeli Markov zincirlerinde temel veri yapısı çok boyutlu bir tensördür. MATLAB'ın doğal multidimensional array yapısı bu tür geçiş tensörlerini doğrudan saklamaya uygundur.

Örneğin \(m\). mertebeden bir geçiş tensörünün frontal slice'ları:

P(:,:,i3,...,im)

biçiminde erişilebilir. Her slice sıradan bir \(n\times n\) MATLAB matrisi olduğu için tensörün farklı bölümlerini incelemek veya değiştirmek doğrudan MATLAB sözdizimiyle mümkündür.

Ancak yoğun bir \(m\). mertebe, \(n\) boyutlu tensörün giriş sayısı:

\[ n^m \]

olduğu için bellek gereksinimi hızlı biçimde büyür. Çalışma HOMC'nin temel uzay karmaşıklığını:

\[ O(n^m) \]

olarak vermektedir.

Yazar bunun genel ve dense higher-order Markov chain problemi için geçiş tensörünün kendisinin zaten \(n^m\) eleman içerdiği göz önüne alındığında kaçınılmaz olduğunu belirtmektedir.

HOMC belleği nasıl azaltmaya çalışıyor?

Özel box-product hesabının naif bir uygulaması bütün:

\[ (i_1,i_2,\ldots,i_m) \]

indeks kombinasyonlarının önceden oluşturulmasını gerektirebilir. Bunun büyük \(n\) ve \(m\) değerlerinde önemli ek bellek tüketimi yaratacağı belirtilmektedir.

HOMC bunun yerine MATLAB'ın yerleşik ind2sub fonksiyonunu kullanarak ihtiyaç duyulan indeksleri hesaplama sırasında üretmektedir. Aynı yaklaşım paket içindeki başka fonksiyonlarda da uygun yerlerde kullanılmıştır.

Dolayısıyla ana bellek yükü ek bir dev indeks tablosundan değil, esas geçiş tensörü ve gerektiğinde aynı büyüklükteki çıktı tensörlerinden kaynaklanmaktadır.

Linear indexing neden gerekli?

Bir tensörün çok boyutlu indekslerini tek bir sırada düzenlemek, tensor-to-matrix dönüşümleri ve reduced first-order chain oluşturma gibi işlemlerde önemlidir.

HOMC bunun için:

ind = lind(s,r)

fonksiyonunu sunmaktadır.

Burada:

s = size(P)

geçiş tensörünün boyut vektörüdür. Varsayılan r=1 normal linear indexing üretirken:

lind(s,-1)

reversed linear indexing üretir.

Örnek 2.1'de:

s = [2 2 2 2]

için toplam:

\[ 2^4=16 \]

indeks kombinasyonu elde edilmektedir.

Box product nedir?

HOMC'nin merkezindeki işlem \(\boxempty\) veya kaynak gösterimindeki ⊠ box product'tır. Aynı boyutta iki \(m\). mertebe tensör:

\[ \mathcal A=[a_{i_1i_2\ldots i_m}], \qquad \mathcal B=[b_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

için:

\[ \mathcal C=\mathcal A\boxtimes\mathcal B \]

tensörünün elemanları:

\[ c_{i_1i_2\ldots i_m} = \sum_{j=1}^{n} a_{i_1ji_2\ldots i_{m-1}} b_{ji_2\ldots i_m} \]

şeklinde tanımlanır.

MATLAB fonksiyonu:

C = bprod(A,B)

biçimindedir.

Özel olarak \(m=2\) olduğunda tensörler matristir ve box product sıradan:

\[ AB \]

matris çarpımına dönüşür.

Box product neden normal matris çarpımından farklı?

En kritik fark associative olmamasıdır. Genel olarak \(m\geq3\) için:

\[ A\boxtimes(B\boxtimes C) \neq (A\boxtimes B)\boxtimes C \]

olabilir.

Bu nedenle tensör kuvvetleri sıradan cebirdeki gibi parçalanamaz.

Örneğin:

\[ A^6 \]

genel olarak:

\[ A^3\boxtimes A^3 \]

şeklinde hesaplanamaz.

HOMC tensör kuvvetini nasıl tanımlıyor?

Tensör kuvveti rekürsif olarak:

\[ A^{k+1}=A^k\boxtimes A \]

şeklinde tanımlanmaktadır.

MATLAB fonksiyonu:

C = bpow(A,k)

biçimindedir.

Sıfırıncı kuvvet için özel bir \(m\). mertebe identity tensor kullanılır:

\[ \mathcal I=[\delta_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

ve:

\[ \delta_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} 1,& i_1=i_2\\ 0,& \text{aksi halde} \end{cases} \]

olarak tanımlanır.

Bu tensör:

\[ I\boxtimes A=A \]

özelliğini sağlarken genel olarak:

\[ A\boxtimes I\neq A \]

olabilir.

Identity tensor:

I = eyet(s)

ile oluşturulur.

Box product'un olasılıksal anlamı nedir?

Yüksek mertebeli zincirin geçiş tensörü \(\mathcal P\) ise:

\[ \mathcal P^k = [p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

tensöründeki her eleman:

\[ p^{(k)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \Pr( X_{t+k}=i_1 \mid X_t=i_2,\ldots,X_{t-m+2}=i_m ) \]

şeklinde k-adımlı geçiş olasılığını temsil eder.

Dolayısıyla bpow(P,k) yalnız soyut bir tensör kuvveti hesaplamaz; doğrudan k adım sonraki durum olasılıklarını üretir.

Regular ve ergodic yüksek mertebeli zincir aynı şey mi?

Hayır. Çalışma bu iki kavram arasındaki farkı iki örnekle özellikle görünür hâle getirir.

Örnek 2.2: Dört durumlu ikinci mertebe zincirde:

bpow(P,10)

hesaplandığında \(P^{10}\)'un bütün girişlerinin pozitif olduğu görülmektedir. Başka bir ifadeyle bir \(k\geq1\) için:

\[ P^k>0 \]

sağlandığından zincir regulardır.

Kaynak, regular bir yüksek mertebeli zincirin unique limiting probability distribution'a sahip olduğunu belirtmektedir.

Örnek 2.3: Üç durumlu başka bir ikinci mertebe zincirde ise:

\[ P^k=P \]

tek \(k\) değerlerinde, başka bir tensör ise çift \(k\) değerlerinde tekrarlanmaktadır. Dolayısıyla hiçbir kuvvette bütün girişler pozitif olmadığı için zincir regular değildir.

Bununla birlikte her başlangıç/hedef kombinasyonu için uygun bir \(k\) bulunabildiğinden zincir ergodicdir.

Bu örnek, kaynak çalışmanın kullandığı higher-order Markov terminolojisinde:

ergodic olmak ile regular olmak aynı koşul değildir.

Diagonal tensor ne işe yarıyor?

Bir tensörün diagonal kısmı:

\[ A_d=[a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

ile gösterilir ve:

\[ a^{(d)}_{i_1i_2\ldots i_m} = \begin{cases} a_{i_1i_2\ldots i_m},&i_1=i_2\\ 0,&\text{aksi halde} \end{cases} \]

olarak tanımlanır.

HOMC fonksiyonu:

D = diagt(A)

şeklindedir.

Bu yapı özellikle ever-reaching probability ve mean first passage time denklemlerinde kullanılır.

Tensör nasıl matrise dönüştürülüyor?

HOMC hem matricization hem tensorization işlemlerini desteklemektedir.

Bir \(m\). mertebe, \(n\) boyutlu tensör için:

\[ N=n^{m-1} \]

olduğunda mode-k matricization sonucu \(n\times N\) matristir.

Fonksiyonlar:

B = t2mat(A,k)

ve ters işlem için:

A = mat2t(B,k)

şeklindedir.

Örnek 2.5'te:

A = reshape(1:16,2,2,2,2)

ile oluşturulan \(2\times2\times2\times2\) tensör mode-3 üzerinden:

\[ B= \begin{bmatrix} 1&2&3&4&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&13&14&15&16 \end{bmatrix} \]

matrisine dönüştürülmekte ve:

mat2t(B,3)

orijinal tensörü geri vermektedir.

Yüksek mertebeli zincir neden birinci mertebeli zincire dönüştürülüyor?

Bir \((m-1)\). mertebe Markov zincirinin geçmiş durum kombinasyonları tek bir genişletilmiş durum olarak ele alınarak ilişkili bir first-order chain oluşturulabilir.

Yeni durum uzayı:

\[ T= \{ i_1i_2\ldots i_{m-1}: i_1,\ldots,i_{m-1}\in S \} \]

olur ve boyutu:

\[ N=n^{m-1} \]

kadardır.

Yeni süreç:

\[ Y_t= [X_t,X_{t-1},\ldots,X_{t-m+2}]^T \]

olarak tanımlanır.

Bu zincir kaynakta reduced first-order chain olarak adlandırılır.

Reduced-chain geçiş matrisi MATLAB'da nasıl oluşturuluyor?

Önce geçiş tensörünün mode-1 matricization'ı oluşturulur. Daha sonra sütun bazlı Khatri-Rao product kullanılır.

HOMC bunun için iki fonksiyon sunar:

krprod(A,B)

ve doğrudan reduced-chain matrisi için:

Q = rcmat(P)

Örnek 2.2'deki dört durumlu ikinci mertebe zincir için:

\[ N=4^2=16 \]

olduğundan elde edilen reduced first-order transition matrix:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

boyutundadır.

Limiting probability distribution nasıl bulunuyor?

Kaynağa göre regular bir yüksek mertebeli zincir unique limiting distribution:

\[ \pi=\lim_{t\rightarrow\infty}x_t \]

değerine sahiptir.

Reduced-chain matrisi \(Q\)'nun dominant eigenvalue değeri:

\[ \lambda=1 \]

için uygun sağ eigenvector \(y\) bulunur ve:

\[ y\geq0, \qquad \|y\|_1=1 \]

olarak normalize edilir.

Daha sonra kaynakta identity tensor'un mode-1 matricization'ı olarak tanımlanan \(\mathcal P^{(0)}\) ile:

\[ \pi=\mathcal P^{(0)}y \]

hesaplanır.

Örnek 2.6'da MATLAB'ın eig fonksiyonu kullanıldığında \(\lambda=1\)'in multiplicity değeri 2 olsa ve iki farklı eigenvector elde edilse de her ikisi de aynı limiting distribution sonucunu üretmektedir:

\[ \pi= \begin{bmatrix} 0.2857\\ 0.2857\\ 0.2857\\ 0.1429 \end{bmatrix} \]

Ever-reaching probability nedir?

Ever-reaching probability, belirli geçmiş durum dizisinden başlanıldığında hedef duruma gelecekte en az bir kez ulaşılma olasılığını ifade eder.

İlk geçiş zamanının tam \(k\). adımda gerçekleşme olasılığı:

\[ f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

ile gösterilir.

İlk tensör:

\[ F^{[1]}=P \]

ve sonraki tensörler:

\[ F^{[k+1]} = (F^{[k]}-F^{[k]}_d)\boxtimes P \]

rekürsiyonu ile hesaplanır.

Ever-reaching probability tensor:

\[ F=\sum_{k=1}^{\infty}F^{[k]} \]

olarak tanımlanmaktadır.

HOMC fonksiyonu:

F = erp(P,tol)

şeklindedir.

Varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

olarak verilmektedir. Eğer herhangi bir \(k\)'da \(F^{[k]}\)'nın en büyük mutlak elemanı toleransın altına düşerse seri o noktada kesilerek yaklaşık \(F\) döndürülür.

Ever-reaching probability ile durumlar nasıl sınıflandırılıyor?

Bir durum \(i\), gerekli diagonal ever-reaching olasılıklarının tamamı 1 ise recurrent olarak sınıflandırılır.

Bunlardan en az biri 1 değilse durum transienttir.

İlgili bütün değerler 1'in altındaysa durum fully transient olarak adlandırılır.

Örnek 3.1'de erp(P,1e-8) hesabı serinin ilk 67 terimi kullanılarak yakınsamaktadır ve sonuç:

• Durum 1: transient fakat fully transient değil,
• Durum 2: recurrent,
• Durum 3: fully transient

olarak sınıflandırılmıştır.

Mean first passage time nedir?

Mean first passage time, başlangıç geçmiş durum kombinasyonundan hedef duruma ilk kez ulaşmak için gereken ortalama adım sayısıdır.

Kaynak:

\[ \mu_{i_1i_2\ldots i_m} = E(\eta_{i_1i_2\ldots i_m}) = \sum_{k=1}^{\infty} k f^{[k]}_{i_1i_2\ldots i_m} \]

tanımını kullanmaktadır.

Bütün değerler bir mean first passage time tensor:

\[ \mu=[\mu_{i_1i_2\ldots i_m}] \]

içinde saklanır.

Ergodic yüksek mertebeli zincir için:

\[ \mu= E+(\mu-\mu_d)\boxtimes P \]

tensör denklemi geçerlidir.

HOMC mean first passage time'ı iki farklı biçimde hesaplıyor

Doğrudan yöntem:

mu = mfptd(P)

Fonksiyon tensör denkleminden oluşan lineer sistemi doğrudan çözer.

Ancak kaynak, bütün problemi tek bir:

\[ n^m\times n^m \]

lineer sistem olarak çözmeyi önermemektedir.

Unknown değerler reversed linear indexing sırasına konulduğunda katsayı matrisi \(n\) adet diagonal block'a ayrılabildiği için HOMC bu yapıyı kullanarak sistemi \(n\) küçük alt probleme ayırmaktadır.

İteratif yöntem:

\[ \mu^{(k+1)} = E+ (\mu^{(k)}-\mu^{(k)}_d)\boxtimes P \]

iterasyonu uygulanmaktadır.

MATLAB fonksiyonu:

mu = mfpti(P,mu0,tol)

şeklindedir.

Varsayılan başlangıç:

\[ \mu^{(0)}=E \]

ve varsayılan tolerans:

\[ 10^{-6} \]

olarak verilmektedir.

HOMC birinci mertebeli zincirlerde de çalışıyor mu?

Evet. Kaynakta \(m=2\) olduğunda higher-order tanım klasik Markov zincirine indirgenmektedir ve HOMC fonksiyonlarının buna uyumlu olması özellikle test edilmiştir.

Örnek 2.4'te üç durumlu:

\[ P= \begin{bmatrix} 0.5&0.5&0\\ 0.5&0&1\\ 0&0.5&0 \end{bmatrix} \]

geçiş matrisi için:

bpow(P,5)

sonucu:

\[ \begin{bmatrix} 0.3750&0.4688&0.3125\\ 0.4688&0.2188&0.6250\\ 0.1562&0.3125&0.0625 \end{bmatrix} \]

olarak elde edilmiş ve bunun MATLAB'ın klasik:

P^5

sonucuyla aynı olduğu gösterilmiştir.

Direct ve iterative MFPT aynı sonucu veriyor mu?

Kaynak örneklerinde evet.

Ergodic ikinci mertebe zincir için mfptd(P):

\[ \mu(:,:,i_3)= \begin{bmatrix} 4&3&4\\ 1&2&1\\ 4&3&4 \end{bmatrix}, \qquad i_3=1,2,3 \]

sonucunu üretmektedir.

Kaynak ayrıca sonucu:

mu-ones(s)-bprod(mu-diagt(mu),P)

ifadesiyle denklem (7)'ye geri koymakta ve sıfır tensörü elde ederek kontrol etmektedir.

mfpti(P) ise varsayılan toleransla 40 iterasyonda:

\[ 3.9999971,\quad 2.9999981,\quad 1.0000000 \]

gibi direct çözümün beklenen 4, 3 ve 1 değerlerine yakın sonuçlara ulaşmaktadır.

Birinci mertebe MFPT örneği de var mı?

Evet. Örnek 3.3'te aynı klasik Markov matrisi için direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

olarak bulunmuştur.

Iterative mfpti(P) yöntemi varsayılan toleransla 66 iterasyonda bu değerlere yaklaşık olarak yakınsamaktadır.

HOMC neden yalnız reduced first-order chain araçlarının yerine geçmiyor?

Bir yüksek mertebeli zincirin expanded-state first-order representation'ı oluşturulabilse de kaynak çalışmanın ana teorik mesajlarından biri, bütün higher-order Markov sorularının bu dönüşümle çözülememesidir.

Reduced-chain yaklaşımı özellikle limiting distribution gibi belirli problemlerde yararlıdır. Buna karşılık higher-order k-step transition, ever-reaching probability ve mean first passage time yapılarının tensör biçimi kendi matematiksel bilgilerini taşımaktadır.

Bu nedenle HOMC hem:

• tensör temelli higher-order fonksiyonları, hem de
• gerektiğinde ilişkili first-order chain'e dönüşüm araçlarını

aynı pakette sunmaktadır.

Türkiye açısından ne ifade ediyor?

Kaynak çalışma Türkiye'ye ait veri seti veya uygulama içermemektedir. Bu nedenle çalışmadan Türkiye'ye özgü bir Markov modeli sonucu çıkarılamaz.

Bununla birlikte HOMC genel amaçlı matematiksel bir araç olduğundan, geçiş davranışının yalnız son duruma değil daha uzun geçmişe bağlı olduğu araştırma problemlerinde metodolojik olarak kullanılabilir. Kaynak makalenin atıf verdiği uygulama literatüründe enerji fiyatları, fotovoltaik üretim tahmini, bina doluluk tahmini, zaman serileri, hedef takibi ve sequential recommendation gibi yüksek mertebeli Markov kullanım alanları bulunmaktadır. Bunlar HOMC makalesinde yeni uygulama deneyleri olarak test edilmemiş, yalnız higher-order Markov zincirlerinin mevcut uygulama alanlarına örnek olarak referanslandırılmıştır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• HOMC, higher-order Markov chains için MATLAB tabanlı tensör hesaplama fonksiyonları sunmaktadır.
• Geçiş tensörleri MATLAB multidimensional array olarak doğrudan temsil edilebilir.
• bprod özel box-product işlemini uygular.
• bpow k-adımlı transition tensor hesaplamasını gerçekleştirir.
• Box product \(m\geq3\) için genel olarak associative değildir.
• eyet makaledeki özel identity tensor yapısını oluşturur.
• diagt diagonal tensor çıkarır.
• t2mat ve mat2t matricization/tensorization sağlar.
• rcmat reduced first-order chain geçiş matrisini oluşturabilir.
• Reduced-chain ile MATLAB eig fonksiyonu limiting distribution hesabında kullanılabilir.
• erp ever-reaching probability tensor hesaplamasını destekler.
• Ever-reaching probability diagonal değerleri recurrent ve transient durum sınıflandırmasında kullanılabilir.
• mfptd mean first passage time denklemini blok yapısını kullanarak doğrudan çözer.
• mfpti aynı problemi iteratif olarak çözebilir.
• Paket \(m=2\) özel durumunda klasik first-order Markov zincirleriyle de çalışabilmektedir.

Çalışmanın desteklemediği veya göstermediği sonuçlar

• HOMC'nin tüm olası higher-order Markov yazılımlarından daha hızlı olduğu gösterilmemektedir.
• Makale farklı \(n\) ve \(m\) değerlerinde sistematik runtime benchmark'ı sunmamaktadır.
• Paket yoğun tensörlerde \(O(n^m)\) bellek ölçeğini ortadan kaldırmamaktadır.
• Çalışma sparse veya çok büyük tensörler için ayrı bir ölçeklenebilirlik yöntemi doğrulamamaktadır.
• Yazarın “ilk dedicated MATLAB package” ifadesi çalışmanın literatür değerlendirmesine dayanan bir özgünlük iddiasıdır; makale bağımsız yazılım envanteri çalışması değildir.
• Matematiksel örneklerdeki başarı, belirli gerçek dünya veri kümelerinde otomatik üstün tahmin performansı anlamına gelmez.
• Bir higher-order chain'in reduced first-order chain'e dönüştürülebilmesi, bütün higher-order sorularının yalnız first-order yazılımla çözülebileceği anlamına gelmez.
• Kaynağın 2025 sürümünde daha sonra eklenen fund fonksiyonu veya absorbing-chain fundamental tensor özellikleri bulunmamaktadır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Kaynakta tanımlanan ana HOMC fonksiyonları

Örneklerin bilimsel amacı

Örnek 2.2: regularity sonucu

İkinci mertebe ve dört durumlu zincirin geçiş tensörü dört adet \(4\times4\) frontal slice ile tanımlanmaktadır.

bpow(P,10) sonucunda kaynak dört ayrı \(P^{10}(:,:,i_3)\) matrisinin bütün girişlerini pozitif olarak vermektedir.

Bu nedenle:

\[ P^{10}>0 \]

ve zincir regular olarak sınıflandırılmaktadır.

Örnek 2.3: ergodic fakat regular olmayan zincir

Üç durumlu ikinci mertebe zincirde tensör kuvveti periyodik davranış göstermektedir:

• tek \(k\): \(P^k=P\),
• çift \(k\): ikinci bir sabit tensör.

Bu nedenle bütün girişlerin aynı \(k\)'da pozitif olduğu bir kuvvet bulunmamaktadır.

Buna rağmen her durum kombinasyonu için en az bir erişilebilir k-adımı bulunduğundan zincir kaynak tanımına göre ergodic'tir.

Örnek 2.6: limiting distribution

Dört durumlu ikinci mertebe zincirin reduced-state sayısı:

\[ 4^2=16 \]

olduğundan:

\[ Q\in\mathbb R^{16\times16} \]

geçiş matrisi elde edilmektedir.

MATLAB eig ile bulunan iki ayrı \(\lambda=1\) eigenvector'ü aynı:

\[ \pi= [0.2857,\ 0.2857,\ 0.2857,\ 0.1429]^T \]

limiting distribution değerini üretmektedir.

Örnek 3.1: ever-reaching probability yakınsaması

Örnek 3.2: higher-order mean first passage time

Örnek 3.3: first-order mean first passage time

Üç durumlu first-order zincir için direct çözüm:

\[ M= \begin{bmatrix} 2.5&3&4\\ 2&2.5&1\\ 6&4&5 \end{bmatrix} \]

olarak elde edilmiştir.

Iterative yöntem varsayılan toleransla bu matrise 66 iterasyonda yakınsamaktadır.

Hesaplama ölçeklenebilirliği konusunda kaynak ne söylüyor?

Makale çalışma süresi için sistematik benchmark vermemektedir. Buna karşılık bellek açısından temel sınırı açık biçimde belirtmektedir:

\[ O(n^m) \]

Bunun nedeni, genel dense higher-order Markov chain'in geçiş tensörünün zaten \(n^m\) olasılık değeri içermesidir.

Dolayısıyla örneğin durum sayısını veya mertebeyi artırmak problem büyüklüğünü doğrusal değil üstel biçimde artırabilir.

Bu tablo doğrudan makaledeki formüllerin boyut ilişkilerini özetler; yeni performans benchmark'ı değildir.

Çalışmanın temel katkısı

HOMC'nin katkısı yeni bir genel amaçlı Markov modelinden ziyade, yazarın ve ortaklarının higher-order Markov chains üzerine geliştirdiği tensör temelli sonuçların MATLAB'da doğrudan kullanılabilir fonksiyonlara dönüştürülmesidir.

Bu paket özellikle:

• sayısal deney,
• algoritma prototipleme,
• higher-order transition tensor araştırmaları,
• state classification,
• limiting distribution,
• ever-reaching probability,
• mean first passage time

problemleri için ortak hesaplama altyapısı sağlamayı amaçlamaktadır.

Temel sınırlılıklar

• Yoğun tensörün \(n^m\) ölçeklenmesi büyük problemlerde temel bellek sınırıdır.
• Kaynak sistematik CPU/GPU hız benchmark'ı sunmamaktadır.
• GPU, parallel computing veya sparse-tensor optimizasyonu makalenin konusu değildir.
• Örnekler matematiksel/sentetik zincirlerdir; uygulama alanlarına ait yeni saha verisi analizi sunulmamaktadır.
• Box product klasik tensör ürünlerinden farklıdır; başka tensor toolbox işlemleriyle eşdeğer kabul edilmemelidir.
• Non-associativity nedeniyle kuvvet hesaplarında matris cebirindeki bazı hızlandırma sezgileri doğrudan kullanılamaz.
• Reduced first-order chain kullanışlı olmasına rağmen bütün higher-order problemlerin yerini alamaz.

Kaynak ve Yöntem Notu

Tam özgün çalışma adı: HOMC: A MATLAB Package for Higher Order Markov Chains

Yazar: Jianhong Xu.

Sorumlu yazar: Jianhong Xu.

Eş birinci/eş katkı: Çalışma tek yazarlı olduğundan eş katkı beyanı bulunmamaktadır.

Kurum: School of Mathematical and Statistical Sciences, Southern Illinois University Carbondale, Carbondale, Illinois, USA.

Kaynak türü: MATLAB tabanlı matematiksel bilimsel yazılım ve sayısal yöntem çalışması.

Yüklenen sürüm: arXiv:2510.02664v1 [stat.CO].

ArXiv ilk gönderim tarihi: 3 Ekim 2025.

PDF üzerinde yazılı tarih: 6 Ekim 2025.

ArXiv DOI: 10.48550/arXiv.2510.02664.

Yüklenen sürümün yayın durumu: Yüklenen arXiv PDF'si bir preprint sürümüdür.

Güncel yayın durumu: Bibliyografik doğrulamada yazarın Southern Illinois University resmî araştırma sayfası ve HOMC resmî README dosyası çalışmayı ACM Transactions on Mathematical Software'da “to appear” olarak listelemektedir.

Güncel dergi DOI'si: 10.1145/3834564.

Bilimsel içerikte kullanılan sürüm: Bu Verianla makalesindeki tanımlar, fonksiyonlar, denklemler, örnekler ve sayısal sonuçlar yüklenen arXiv v1 sürümüne dayanmaktadır. Sonraki yazılım veya makale güncellemeleri ana bilimsel içeriğe geriye dönük olarak eklenmemiştir.

Kaynak kod: Yüklenen çalışma HOMC MATLAB kaynak dosyalarının Southern Illinois University sunucusundaki neumann.math.siu.edu/homc dizininde kamuya açık olduğunu belirtmektedir.

Güncel yazılım ayrımı: Resmî HOMC README dosyası Haziran 2026'da higher-order absorbing Markov chains için fund isimli yeni bir fonksiyon eklendiğini belirtmektedir. Bu işlev 2025 tarihli yüklenen makalenin fonksiyon setinde bulunmadığından bu makalenin bilimsel özellik listesine dahil edilmemiştir.

Kaynakta anlatılan ana fonksiyonlar:lind, bprod, bpow, eyet, diagt, t2mat, mat2t, krprod, rcmat, erp, mfptd ve mfpti.

MATLAB built-in fonksiyonları: Kaynak özellikle size, ones, eig, ind2sub, fliplr ve reshape gibi MATLAB araçlarından yararlanmaktadır.

Temel matematiksel yapı: m. mertebe geçiş tensörleri, özel box product, tensör kuvvetleri, mode-k matricization, Khatri-Rao product, reduced first-order chain, ever-reaching probability ve mean first passage time tensörleri.

Bellek karmaşıklığı: Kaynak genel dense higher-order Markov zinciri hesaplamaları için esas depolama maliyetini \(O(n^m)\) olarak vermektedir.

Runtime benchmark: Çalışma sistematik işlem süresi veya farklı donanımlarda performans benchmark'ı raporlamamaktadır.

“İlk paket” ifadesinin sınırı: Yazar çalışmayı kendi literatür değerlendirmesine göre higher-order Markov chains için ilk dedicated MATLAB package olarak tanımlamaktadır. Bu ifade bağımsız kapsamlı yazılım envanteri çalışmasının sonucu değildir.

Uygulama sınırı: Makalede higher-order Markov chains'in rating transitions, occupancy prediction, zaman serileri, PageRank, target tracking, PV üretim tahmini, electricity price dynamics ve sequential recommendation gibi alanlarda kullanıldığı kaynaklarla belirtilmektedir. HOMC makalesinin kendisi bu alanlarda yeni uygulama veri seti veya karşılaştırmalı deney sunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir competing-interest beyanı bulunmamaktadır; bundan çıkar çatışması olmadığı sonucu çıkarılmamıştır.

Finansman: Yüklenen arXiv v1 metninde ayrı bir funding acknowledgement bölümü bulunmamaktadır.

CRediT/yazar katkısı: Çalışma tek yazarlı olup ayrı bir CRediT contribution statement içermemektedir.

Bilimsel yorum sınırı: Çalışma higher-order Markov chains için matematiksel ve hesaplamalı bir MATLAB paketini sunmaktadır. Örnekler yöntem doğrulaması ve kullanım gösterimi niteliğindedir; belirli bir gerçek dünya probleminde tahmin üstünlüğü veya saha performansı kanıtı değildir.

Bilimsel içerik sınırı: Bu Verianla metnindeki higher-order Markov tanımları, box product, tensör kuvvetleri, regularity/ergodicity örnekleri, reduced-chain dönüşümü, limiting distribution, ever-reaching probability, state classification ve mean first passage time sonuçları yalnız yüklenen çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynaklar yalnız bibliyografik yayın durumunu ve HOMC paketinin güncel resmî durumunu doğrulamak için kullanılmıştır.