Ин таҳқиқот рафтори геометриро меомӯзад, ки ҳангоми интихоби нуқтаҳои идоракунии каҷҳои Bézier мустақиман аз каҷи параметрӣ ё ғайриошкоре, ки дар рӯи сатҳи сеченака ҷойгир аст, ба вуҷуд меояд. Каҷи Bézier каҷи параметриест, ки аз ҷамъи вазндоршудаи нуқтаҳои муайяни идоракунӣ бо полиномҳои Bernstein ташкил мешавад. Дар равиши классикии Bézier нуқтаҳои идоракунӣ шакли каҷро муайян мекунанд, дар ҳоле ки дар ин таҳқиқот худи нуқтаҳои идоракунӣ аз каҷҳои рӯи сатҳҳое чун силиндр, кура, сатҳи зиншакл, торус, Möbius ва лемниската намунагирӣ мешаванд. Ҳамин тавр, ба каҷи Bézier-и сохташуда на танҳо бисёркунҷаи идоракунӣ, балки геометрияи сатҳе, ки нуқтаҳои идоракунӣ аз он гирифта шудаанд, низ ба таври ғайримустақим таъсир мерасонад.

Мушоҳидаи асосии таҳқиқот ин аст, ки ҳангоми зиёд кардани шумораи нуқтаҳои идоракунии интихобшуда аз каҷи сатҳӣ, каҷи Bézier тадриҷан ба каҷи аслии сатҳӣ наздик мешавад. Ин рафтор махсусан дар барномаҳои MATLAB ба таври визуалӣ омӯхта шудааст. Барои спирали рӯи силиндр каҷҳое, ки бо 5, 10 ва 30 нуқтаи идоракунӣ сохта шудаанд, нишон медиҳанд, ки бо зиёд шудани шумораи нуқтаҳо каҷи Bézier геометрияи спиралро наздиктар пайгирӣ мекунад. Бо вуҷуди ин, таҳқиқот баҳодиҳии умумии хато ё тартиби миқдории наздикшавиро таҳия намекунад; муаллифон чунин таҳлилҳои хато ва наздикшавиро ҳамчун мавзӯи таҳқиқоти оянда пешниҳод мекунанд.

Каҷи Bézier Чист ва Нуқтаҳои Идоракунӣ Каҷро Чӣ Гуна Муайян Мекунанд?

Каҷи Bézier каҷи полиномии параметриест, ки бо вазндор кардани нуқтаҳои идоракунии \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) бо функсияҳои базисии Bernstein ба даст меояд. Нуқтаи аввал ва охирини идоракунӣ нуқтаҳои оғоз ва анҷоми каҷро муайян мекунанд, дар ҳоле ки нуқтаҳои миёнаи идоракунӣ шакли умумии каҷро роҳнамоӣ мекунанд. Дар шароити муқаррарӣ лозим нест, ки нуқтаҳои миёнаи идоракунӣ мустақиман дар рӯи каҷи Bézier ҷойгир бошанд.

Каҷи умумии Bézier-и дараҷаи \(n\) дар манбаъ:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

муайян шудааст.

Функсияи базисии Bernstein дар ин ҷо:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

шакл дорад.

Аз ин рӯ, барои ҳар қимати \(t\), мавқеи каҷи Bézier таркибе мебошад, ки ҳамаи нуқтаҳои идоракунӣ бо вазнҳои гуногун ташкил медиҳанд.

Ғояи асосии полиномҳои Bernstein

Полиномҳои Bernstein аз муносибати тавсеаи биномӣ:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

бармеоянд.

Аз ҳамин сабаб, ҷамъи ҳамаи функсияҳои базисии Bernstein дар фосилаи \(0\leq t\leq1\) ба 1 баробар аст:

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Ин хусусият имкон медиҳад, ки каҷи Bézier ҳамчун таркиби аффинии нуқтаҳои идоракунӣ тафсир карда шавад.

Полиномҳои Bernstein-и дараҷаи якум

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Ин ду функсияи базисӣ бевосита интерполятсияи хаттии байни ду нуқтаи идоракуниро ташкил медиҳанд.

Полиномҳои Bernstein-и дараҷаи дуюм

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Полиномҳои Bernstein-и дараҷаи сеюм

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Расмҳои 2.1–2.4-и манбаъ графикҳои ин функсияҳои базисиро барои дараҷаҳои 0., 1., 2. ва 3. нишон медиҳанд. Дар функсияҳои Bernstein-и дараҷаи баландтар таъсири ҳар як базис дар қисми гуногуни фосилаи параметр мутамарказ мешавад.

Намоиши матритсавии полиномҳои Bernstein

Мақола шарҳ медиҳад, ки полиномҳои Bernstein-ро на танҳо дар шакли ҷамъ, балки дар шакли матритса низ метавон нишон дод. Масалан, дар ҳолати квадратӣ:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Дар ҳолати кубӣ бошад, манбаъ:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

шаклро медиҳад. Ин намоиш барои баррасии табдилҳои базисӣ дар тарҳрезии геометрии бо компютер дастгиришаванда ва барномаҳои ададӣ дар сохтори муназзами алгебравӣ кумак мекунад.

Алгоритми De Casteljau Каҷи Bézier-ро Чӣ Гуна Ҳисоб Мекунад?

Алгоритми De Casteljau усули рекурсивиест, ки нуқтаро дар каҷи Bézier ба ҷойи ҳисобкунии мустақими полиномҳои дараҷаи баланд тавассути иҷрои пайдарпайи интерполятсияи хаттӣ байни нуқтаҳои идоракунӣ ба даст меорад. Дар ҳар қадам нуқтаҳои ҳамсоя бо вазнҳои \(1-t\) ва \(t\) якҷо карда мешаванд; раванд то расидан ба як нуқтаи ягона такрор мешавад.

Рекурсияи асосӣ

Рекурсияи боэътимод додашуда дар манбаъ:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

чунин аст.

Дар оғоз:

\[ P_i^0=P_i \]

гирифта мешавад ва дар марҳилаи ниҳоӣ:

\[ P_0^n(t) \]

нуқтаи каҷи Bézier-ро барои параметри \(t\) медиҳад.

Мисоли дараҷаи дуюм

Барои се нуқтаи идоракунии \(P_0,P_1,P_2\) аввал:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

ҳисоб карда мешаванд.

Сипас:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

ба даст меояд.

Тавсеаи он:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

буда, каҷи Bézier-и дараҷаи дуюм мебошад.

Каҷи кубии Bézier

Барои чор нуқтаи идоракунӣ:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Дар Расми 3.5-и манбаъ нуқтаҳои идоракунӣ, бисёркунҷаи идоракунии аз онҳо сохташуда ва каҷи Bézier якҷоя нишон дода шудаанд.

Бисёркунҷаи идоракунӣ

Бисёркунҷае, ки дар натиҷаи пайвастани нуқтаҳои идоракунӣ бо порчаҳои хаттӣ бо тартиби онҳо ҳосил мешавад, бисёркунҷаи идоракунӣ ном дорад. Каҷи Bézier аз ҷиҳати геометрӣ аз ҷониби ин бисёркунҷа роҳнамоӣ мешавад.

Тағйироти асосӣ дар қисми минбаъдаи таҳқиқот ин аст, ки ин нуқтаҳои идоракунӣ тасодуфӣ интихоб намешаванд. Нуқтаҳо аз каҷе намунагирӣ мешаванд, ки аллакай дар рӯи сатҳи муайяни сеченака ҷойгир аст.

Каҷи Bézier Аз Каҷи Рӯи Сатҳ Чӣ Гуна Сохта Мешавад?

Манбаъ дар дохили \(R^3\):

\[ \varphi(u,v) \]

сатҳеро, ки бо параметризатсия дода шудааст, баррасӣ мекунад. Интихобҳои собит ба монанди \(u=u_0\) ё \(v=v_0\) каҷҳои параметрии сатҳро медиҳанд. Илова бар ин:

\[ f(u,v)=0 \]

бо ин муносибат каҷҳои дигарро низ дар рӯи сатҳ муайян кардан мумкин аст.

Дар рӯи каҷи сатҳии интихобшуда:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

нуқтаҳо намунагирӣ мешаванд. Сипас ин нуқтаҳо ҳамчун нуқтаҳои идоракунӣ дар формулаи стандартии Bézier истифода мешаванд:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Аз ин рӯ, каҷи сохташуда дар маънои стандартӣ ҳамоно каҷи Bézier аст; фарқи усул манбаи геометрии нуқтаҳои идоракунӣ мебошад.

Ҳангоми Зиёд Шудани Шумораи Нуқтаҳои Идоракунӣ Каҷи Bézier Чаро Ба Каҷи Сатҳӣ Наздик Мешавад?

Дар равиши ин таҳқиқот, ҳар қадар нуқтаҳои идоракунӣ аз каҷи аслии сатҳӣ зичтар намунагирӣ шаванд, ҳамон қадар бисёркунҷаи идоракунӣ геометрияи маҳаллии каҷи сатҳиро муфассалтар ифода мекунад. Азбаски каҷи Bézier-и бо вазнҳои Bernstein сохташуда низ аз ин намунагирии зичтар роҳнамоӣ мешавад, дар мисолҳои MATLAB-и манбаъ он каҷи аслиро ҳарчи наздиктар пайгирӣ мекунад. Мақола ин рафторро дар мисоли силиндр-спирал бо 5, 10 ва 30 нуқтаи идоракунӣ ба таври равшан визуалӣ мекунад; аммо тартиби умумии хато ё суръати наздикшавиро ҳисоб намекунад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Барномаи 1: спирал дар рӯи силиндр

Дар мисоли асосии аввал силиндри рости доиравӣ:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

муайян шудааст.

Дар рӯи сатҳ:

\[ v=u \]

интихоб шавад:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

каҷи спиралӣ ба даст меояд.

Дар мисоли аввал панҷ нуқтаи идоракунӣ аз қиматҳои:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

гирифта мешаванд.

Аз панҷ нуқтаи идоракунӣ каҷи Bézier-и дараҷаи чорум ҳосил мешавад:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Дар Расми 4.2-и манбаъ силиндр, спирали аслӣ, бисёркунҷаи идоракунӣ ва каҷи Bézier дар як графики сеченака нишон дода мешаванд. Гарчанде ки каҷи Bézier аз нуқтаҳои аввал ва охирини идоракунӣ мегузарад, дар ҳолати панҷнуқтаӣ спиралро пурра пайгирӣ намекунад.

Муқоисаи 5, 10 ва 30 нуқтаи идоракунӣ

Расми 4.4-и манбаъ яке аз тасвирҳоест, ки натиҷаи асосии таҳқиқотро мустақимтар нишон медиҳад. Дар ҳамон як спирал мутаносибан:

• 5 нуқтаи идоракунӣ,
• 10 нуқтаи идоракунӣ,
• 30 нуқтаи идоракунӣ

истифода шудаанд.

Бо зиёд шудани шумораи нуқтаҳои идоракунӣ дар графики MATLAB дида мешавад, ки каҷи Bézier ба спирали рӯи силиндр ҳарчи бештар наздик мешавад.

Ин натиҷа на бо ҷадвали ададии хато, балки бо графикҳои геометрии рӯйҳамгузоришуда нишон дода мешавад.

Барномаи 2: каҷи доиравӣ дар рӯи кура

Кураи воҳидӣ:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

муайян шудааст.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

интихоб карда шавад:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

ба даст меояд.

Ин каҷ доираест дар баландии собит дар рӯи кура.

Дар ҳоле ки мисоли назариявӣ бо чор нуқтаи идоракунӣ каҷи кубии Bézier месозад, Расмҳои 4.5 ва 4.6 дар қисми MATLAB барномаи зичкардашудаи 10 нуқтаи идоракунӣ-ро нишон медиҳанд. Ин ду шумораи нуқтаҳои идоракунӣ дар манбаъ набояд ҳамчун як марҳилаи ҳисоб омехта карда шаванд.

Барномаи 3: сатҳи зиншакл

Манбаъ сатҳи зиншаклро:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

чунин медиҳад.

\[ u=0.5v \]

интихоб шуда, дар рӯи сатҳ каҷи параметрӣ сохта мешавад:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Аз ин каҷ ҳафт нуқтаи идоракунӣ интихоб шуда, каҷи Bézier-и дараҷаи шашум ҳисоб шудааст:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

Расми 4.7 сатҳи зиншакл, каҷи параметрӣ, бисёркунҷаи идоракунӣ ва каҷи Bézier-ро якҷоя нишон медиҳад.

Барномаи 4: торус

Сатҳи умумии торус дар манбаъ:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

дар чунин шакл дода шудааст.

Таҳқиқот интихоби:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

-ро анҷом медиҳад.

Аз ин каҷи параметрӣ ҳафт нуқтаи идоракунӣ гирифта шуда, каҷи Bézier ҳисоб шудааст. Натиҷаи MATLAB дар Расми 4.8 ҳамроҳ бо намоишҳои торус дар шакли каркаси симӣ ва сатҳи ранга пешниҳод шудааст.

Ёддошт оид ба ишорагузории манбаъ: Дар сатри ҷойгузинии баъд аз муносибати умумии торус истифодаи рамзҳои \(u\) ва \(v\) аз нигоҳи математикӣ бо шакли умумӣ ва шарти \(u=0.28v\) пурра мувофиқат намекунад. Аз ин рӯ, дар ин ҷо параметризатсияи умумӣ ва шарти параметрии истифодашуда нигоҳ дошта шудаанд ва муодилаи ислоҳшудае, ки дар манбаъ вуҷуд надорад, ҳамчун натиҷа таҳмил нашудааст.

Барномаи 5: сатҳи Möbius

Параметризатсияи Möbius дар манбаъ:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

чунин аст.

\[ u=5v \]

бо истифода аз ин муносибат дар рӯи сатҳ каҷ сохта шудааст.

Аз ин каҷ панҷ нуқтаи идоракунӣ интихоб шуда, каҷи Bézier-и дараҷаи чорум ҳисоб шудааст:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Расми 4.9-и манбаъ сатҳи Möbius ва каҷи параметрӣ дар рӯи ин сатҳро бо наздикшавии Bézier ба таври сеченака нишон медиҳад.

Барномаи 6: сатҳи лемниската

Таҳқиқот сатҳи лемнискатаро аввал бо:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

ва:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

муносибатҳо муайян мекунад.

Сипас:

\[ u=v \]

бо ин шарт дар рӯи сатҳ каҷи параметрӣ интихоб мешавад.

Аз ин каҷ шаш нуқтаи идоракунӣ гирифта шуда, каҷи Bézier-и дараҷаи панҷум сохта шудааст:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Дар Расми 4.10-и манбаъ бисёркунҷаи идоракунӣ ва каҷи Bézier дар рӯи геометрияи мураккаби сатҳи лемниската якҷоя нишон дода мешаванд.

Барномаи 7: каҷи умумии фазоӣ

Дар мисоли охирин усул мустақиман ба каҷи фазоии:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

татбиқ шудааст.

Дар рӯи каҷ панҷ нуқтаи идоракунӣ интихоб шуда, каҷи Bézier-и аз онҳо сохташуда дар муҳити MATLAB кашида шудааст. Расми 4.11 каҷи аслӣ, нуқтаҳои идоракунӣ ва наздикшавии Bézier-ро дар як системаи координатӣ нишон медиҳад.

Нақши MATLAB дар таҳқиқот

MATLAB дар ин таҳқиқот на барои таҳияи алгоритми нави Bézier, балки барои ҳисоб кардани сохтори математикӣ ва визуалӣ кардани рафтори геометрии сеченака истифода мешавад.

Аз ҷумла:

• сохтани mesh-ҳои сатҳӣ,
• кашидани каҷҳои параметрӣ,
• муайян кардани нуқтаҳои идоракунӣ,
• ҳисоб кардани вазнҳои Bernstein,
• тавлиди координатаҳои каҷи Bézier,
• нишон додани бисёркунҷаи идоракунӣ,
• муқоисаи наздикшавие, ки бо зиёд кардани шумораи нуқтаҳои идоракунӣ ба вуҷуд меояд

дар графикҳои MATLAB иҷро мешаванд.

Қисми муҳими коди `.m` барои барномаи силиндр/спирал дар манбаъ ба таври ошкор дода шудааст. Дар код `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` ва координатаҳои Bézier, ки мустақиман аз коэффисиентҳои Bernstein сохта шудаанд, истифода мешаванд.

Оё Ин Таҳқиқот Алгоритми Нави Bézier-ро Пешниҳод Мекунад?

Не. Муаллифон ба таври возеҳ таъкид мекунанд, ки навоварии таҳқиқот таҳияи базиси нави Bernstein ё алгоритми нави De Casteljau нест. Саҳм аз чаҳорчӯбаи геометрии вобаста ба сатҳ иборат аст, ки назарияи классикии Bézier-ро ба таври низомнок бо нуқтаҳои идоракунии интихобшуда аз каҷҳои параметрӣ ва ғайриошкори рӯи сатҳҳои сеченака якҷо мекунад, инчунин аз барномаҳои MATLAB, ки ин равишро дастгирӣ менамоянд.

Натиҷаҳои асосие, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Нуқтаҳои аз каҷи сатҳӣ намунагирифташуда метавонанд ҳамчун нуқтаҳои стандартии идоракунии Bézier истифода шаванд.
• Ин усул ба геометрияҳои гуногуни сатҳӣ, аз ҷумла силиндр, кура, сатҳи зиншакл, торус, Möbius ва лемниската татбиқ мешавад.
• Зиёд кардани шумораи нуқтаҳои идоракунӣ дар мисолҳои MATLAB-и манбаъ боис мешавад, ки каҷи Bézier ба каҷи аслии сатҳӣ наздиктар намоён шавад.
• Дар мисоли силиндр-спирал фарқи байни 5, 10 ва 30 нуқтаи идоракунӣ ба таври визуалӣ нишон дода шудааст.
• Алгоритми De Casteljau ва базисҳои Bernstein зерсохтори ҳисоббарории эквивалентии як геометрияи Bézier-ро таъмин мекунанд.
• MATLAB имкон медиҳад сатҳ, бисёркунҷаи идоракунӣ, каҷи аслӣ ва каҷи Bézier дар як муҳити сеченака муқоиса карда шаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот мустақиман исбот намекунад

• Барои ҳамаи каҷҳои сатҳӣ шумораи муайяни нуқтаҳои идоракунӣ кофӣ аст.
• Байни шумораи нуқтаҳои идоракунӣ \(n\) ва хато формулаи умумии ададӣ вуҷуд дорад.
• Суръати наздикшавӣ дар ҳамаи сатҳҳо яксон аст.
• Усули пешниҳодшуда дар ҳар ҳолат аз NURBS ё намоишҳои рационалии Bézier дақиқтар аст.
• Benchmark-и иҷроиши усул дар системаҳои CAD-и вақти воқеӣ анҷом дода шудааст.
• Коди MATLAB бастаест, ки дар анбори мустақили нармафзор версиябандӣ ва санҷида шудааст.

Маҳдудияти асосӣ аз ҷиҳати наздикшавӣ

Натиҷаи мақола, ки “бо зиёд шудани нуқтаҳои идоракунӣ каҷи Bézier ба каҷи сатҳӣ наздик мешавад”, дар маркази таҳқиқот қарор дорад. Аммо ин натиҷа асосан тавассути сохтори геометрӣ ва тасвирҳои MATLAB нишон дода шудааст.

Дар байни пешниҳодҳои муаллифон барои таҳқиқоти оянда махсусан:

• таҳияи баҳодиҳии хато,
• омӯзиши суръатҳои наздикшавӣ бо усули таҳлилии сахттар

зикр шудаанд. Ин изҳорот тасдиқ мекунад, ки дар таҳқиқоти ҷорӣ суръати умумии наздикшавӣ ҳанӯз ба даст оварда нашудааст.

Аҳамият аз нуқтаи назари CAGD

Дар заминаи Computer-Aided Geometric Design табдил додани каҷи муайяни рӯи сатҳ ба намоиши Bézier метавонад барои тарҳрезӣ, параметризатсияи дубора ва коркарди додаҳои геометрӣ муфид бошад. Ба шарофати нуқтаҳои идоракунӣ каҷ метавонад бо абзорҳои стандартии Bézier муаррифӣ шавад, дар ҳоле ки гирифтани нуқтаҳо аз сатҳ ба нигоҳ доштани геометрияи аслӣ мусоидат мекунад.

Муаллифон ин равишро инчунин ҳамчун омодагӣ барои сохтани сатҳҳои Bézier мустақиман аз қисмҳои сатҳӣ дар оянда арзёбӣ мекунанд.

Самтҳои таҳқиқоти оянда

Дар қисми хулосаи манбаъ чор самти асосии рушд нишон дода шудааст:

• сохтани сатҳи Bézier мустақиман аз қисмҳои сатҳӣ,
• базисҳои алтернативии полиномӣ ё формулаҳои рационалӣ барои идоракунии қавитари шакл,
• омӯзиши аналитикии баҳодиҳии хато ва суръатҳои наздикшавӣ,
• ҳамгироии усул бо таҳлили изогеометрӣ, CAD/CAM ва системаҳои моделсозии геометрии вақти воқеӣ.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Кори аслӣ: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Муаллифон: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Муаллифи масъул: Мувофиқи аломати ситорача дар PDF-и манбаъ, Şenay Baydaş.

Аффилиатсия 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Аффилиатсия 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Маҷалла: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Ихтисораи маҷалла: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Ҷилд / Шумора: 18(2).

Саҳифаҳо: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Санаи нашр: 30 июн 2026.

Санаи ирсол: 2 январ 2025.

Санаи қабул: 18 феврал 2026.

Навъи мақола: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Ношир: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Тақриз: Сиёсати маҷалла мегӯяд, ки мақолаҳое, ки аз санҷиши таҳририи асолат мегузаранд, барои single-blind peer review ба ду тақризгар фиристода мешаванд.

Дастрасии кушода: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science ҳамчун маҷаллаи дастрасии кушода муаррифӣ мешавад.

Ёддошт оид ба иҷозатнома: Дар PDF-и мақолаи баррасишуда рамзи мушаххаси иҷозатномаи Creative Commons гузориш нашудааст; аз ин рӯ, иҷозатномаи CC-и дар манбаъ набуда таъин нашудааст.

Абзорҳои асосии математикӣ: полиномҳои Bernstein, каҷҳои Bézier, бисёркунҷаҳои идоракунӣ ва алгоритми рекурсивии интерполятсияи De Casteljau.

Усули асосӣ: намунагирии шумораи муайяни нуқтаҳои идоракунӣ аз каҷи параметрӣ ё ғайриошкори сатҳӣ дар дохили \(R^3\) ва сохтани каҷи нави Bézier бо таркиби Bernstein-Bézier-и ин нуқтаҳо.

Мисолҳои MATLAB: спирал дар рӯи силиндр, доира дар рӯи кура, сатҳи зиншакл, торус, Möbius, лемниската ва каҷи умумии фазоӣ.

Мушоҳидаи асосӣ: Ҳангоми зиёд кардани шумораи нуқтаҳои идоракунӣ, дар мисолҳои MATLAB наздикшавии Bézier ба каҷи аслии сатҳӣ тадриҷан бештар мешавад.

Маҳдудияти наздикшавӣ: Мақола нормаи умумии хато ё тартиби наздикшавиро намедиҳад; таҳлили сахттари хато ва наздикшавӣ ҳамчун кори оянда пешниҳод шудааст.

Масъалаҳои ишорагузории дохилии манбаъ: истифодаи ифодаҳои чор ва даҳ нуқтаи идоракунӣ дар марҳилаҳои гуногуни мисоли кура; пурра мувофиқат накардани сатри ҷойгузории параметр дар мисоли торус бо параметризатсияи умумӣ; дар яке аз сатрҳои миёнаи бароварди De Casteljau ба шакли “i” намоён шудани коэффисиенти \(t\).

Дастрасии код: Қисмҳои коди MATLAB дар дохили мақола дода шудаанд; дар манбаи баррасишуда пайванди анбори мустақили версиябандишудаи код вуҷуд надорад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки вобаста ба нашри мақола бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон: Манбаъ мегӯяд, ки ҳамаи муаллифон нусхаи нашршудаи мақоларо хонда ва тасдиқ кардаанд; тақсимоти муфассали нақшҳои CRediT дода нашудааст.

Маблағгузорӣ: Дар манбаи баррасишуда изҳороти ҷудогонаи маблағгузорӣ вуҷуд надорад.

Дастрасии додаҳо: Бахши ҷудогонаи дастрасии додаҳо ё пайванди анбори додаҳо гузориш нашудааст.