Бул изилдөөдө Bézier ийри сызыктарынын башкаруу чекиттери түздөн-түз үч өлчөмдүү беттин үстүндө жайгашкан параметрдик же жашыруун ийри сызыктан тандалганда пайда болгон геометриялык жүрүм-турум каралат. Bézier ийри сызыгы — белгилүү башкаруу чекиттеринин Bernstein көп мүчөлөрү менен салмакталган суммасынан түзүлгөн параметрдик ийри сызык. Классикалык Bézier ыкмасында башкаруу чекиттери ийри сызыктын формасын аныктаса, бул изилдөөдө башкаруу чекиттеринин өздөрү цилиндр, сфера, ээр, торус, Möbius жана лемниската сыяктуу беттердеги ийри сызыктардан үлгү катары алынат. Ошентип түзүлгөн Bézier ийри сызыгына башкаруу көп бурчтугу гана эмес, башкаруу чекиттери алынган беттин геометриясы да кыйыр түрдө таасир этет.

Изилдөөнүн негизги байкоосу — беттик ийри сызыктан тандалган башкаруу чекиттеринин саны көбөйтүлгөндө Bézier ийри сызыгы баштапкы беттик ийри сызыкка барган сайын жакындайт. Бул жүрүм-турум өзгөчө MATLAB колдонмолорунда визуалдык түрдө изилденген. Цилиндрдеги спираль үчүн 5, 10 жана 30 башкаруу чекити менен түзүлгөн ийри сызыктар чекиттердин саны көбөйгөн сайын Bézier ийри сызыгы спиралдын геометриясын жакыныраак ээрчий турганын көрсөтөт. Ошол эле учурда изилдөө жалпы ката баалоосун же сандык жакындашуу тартибин иштеп чыкпайт; авторлор мындай ката жана жакындашуу талдоолорун келечектеги изилдөөнүн темасы катары сунушташат.

Bézier Ийри Сызыгы Деген Эмне жана Башкаруу Чекиттери Ийри Сызыкты Кантип Аныктайт?

Bézier ийри сызыгы \(P_0,P_1,\ldots,P_n\) башкаруу чекиттерин Bernstein базистик функциялары менен салмактоо аркылуу алынган параметрдик полиномдук ийри сызык. Биринчи жана акыркы башкаруу чекиттери ийри сызыктын башталыш жана аяктоо чекиттерин аныктайт, ал эми аралык башкаруу чекиттери ийри сызыктын жалпы формасын багыттайт. Кадимки шарттарда аралык башкаруу чекиттеринин түздөн-түз Bézier ийри сызыгынын үстүндө жатышы талап кылынбайт.

Жалпы \(n\)-даражадагы Bézier ийри сызыгы булакта:

\[ P(t)= \sum_{i=0}^{n} P_iB_i^n(t), \qquad 0\leq t\leq1 \]

түрүндө аныкталган.

Бул жердеги Bernstein базистик функциясы:

\[ B_i^n(t) = {n\choose i} (1-t)^{n-i}t^i \]

түрүндө берилет.

Демек, ар бир \(t\) мааниси үчүн Bézier ийри сызыгынын абалы бардык башкаруу чекиттеринин ар башка салмактар менен түзгөн айкалышы болуп саналат.

Bernstein көп мүчөлөрүнүн негизги идеясы

Bernstein көп мүчөлөрү биномдук ажыратуудагы:

\[ 1=(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^k(1-t)^{n-k} \]

байланышынан келип чыгат.

Ошондуктан бардык Bernstein базистик функцияларынын суммасы \(0\leq t\leq1\) аралыгында 1 ге барабар:

\[ \sum_{k=0}^{n} B_{k,n}(t)=1. \]

Бул касиет Bézier ийри сызыгын башкаруу чекиттеринин аффиндик айкалышы катары түшүндүрүүгө мүмкүндүк берет.

Биринчи даражадагы Bernstein көп мүчөлөрү

\[ B_{0,1}(t)=1-t \]

\[ B_{1,1}(t)=t. \]

Бул эки базистик функция эки башкаруу чекитинин ортосундагы түз сызыктуу интерполяцияны түзөт.

Экинчи даражадагы Bernstein көп мүчөлөрү

\[ B_{0,2}(t)=(1-t)^2 \]

\[ B_{1,2}(t)=2t(1-t) \]

\[ B_{2,2}(t)=t^2. \]

Үчүнчү даражадагы Bernstein көп мүчөлөрү

\[ B_{0,3}(t)=(1-t)^3 \]

\[ B_{1,3}(t)=3t(1-t)^2 \]

\[ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t) \]

\[ B_{3,3}(t)=t^3. \]

Булактагы 2.1–2.4-сүрөттөр бул базистик функциялардын 0., 1., 2. жана 3. даражалар үчүн графиктерин көрсөтөт. Жогорку даражадагы Bernstein функцияларында ар бир базистин таасири параметр аралыгынын ар башка бөлүгүнө топтолот.

Bernstein көп мүчөлөрүнүн матрицалык көрсөтүлүшү

Макалада Bernstein көп мүчөлөрүн сумма түрүндө гана эмес, матрица түрүндө да көрсөтүүгө болору түшүндүрүлөт. Мисалы, квадраттык учурда:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix}. \]

Кубдук учурда болсо булак:

\[ B(x)= \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

түрүн берет. Бул көрсөтүлүш компьютердик геометриялык долбоорлоодо жана сандык колдонмолордо базистик өзгөртүүлөрдү иреттүү алгебралык түзүлүштө кароого жардам берет.

De Casteljau Алгоритми Bézier Ийри Сызыгын Кантип Эсептейт?

De Casteljau алгоритми Bézier ийри сызыгындагы чекитти жогорку даражадагы көп мүчөлөрдү түздөн-түз эсептөөнүн ордуна башкаруу чекиттеринин ортосунда кезектешкен түз сызыктуу интерполяцияларды жүргүзүү аркылуу табуучу рекурсивдүү ыкма. Ар бир кадамда коңшу чекиттер \(1-t\) жана \(t\) салмактары менен бириктирилет; процесс бир гана чекит калганга чейин кайталанат.

Негизги рекурсия

Булакта ишенимдүү түрдө берилген рекурсия:

\[ P_i^j(t) = (1-t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t) \]

түрүндө.

Башында:

\[ P_i^0=P_i \]

деп алынат жана акыркы этаптагы:

\[ P_0^n(t) \]

Bézier ийри сызыгынын \(t\) параметриндеги чекитин берет.

Экинчи даражадагы мисал

Үч \(P_0,P_1,P_2\) башкаруу чекити үчүн адегенде:

\[ P_0^1(t)=(1-t)P_0+tP_1 \]

\[ P_1^1(t)=(1-t)P_1+tP_2 \]

эсептелет.

Андан кийин:

\[ P_0^2(t) = (1-t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) \]

алынат.

Мунун жайылтмасы:

\[ P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \]

болуп, экинчи даражадагы Bézier ийри сызыгын берет.

Кубдук Bézier ийри сызыгы

Төрт башкаруу чекити үчүн:

\[ P(t)= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3. \]

Булактагы 3.5-сүрөттө башкаруу чекиттери, алар түзгөн башкаруу көп бурчтугу жана Bézier ийри сызыгы бирге көрсөтүлгөн.

Башкаруу көп бурчтугу

Башкаруу чекиттерин ирети менен түз сызык кесиндилери аркылуу бириктирүүдөн пайда болгон көп бурчтук башкаруу көп бурчтугу деп аталат. Bézier ийри сызыгы геометриялык жактан ушул көп бурчтук аркылуу багытталат.

Изилдөөнүн кийинки бөлүгүндөгү негизги өзгөрүү — бул башкаруу чекиттеринин туш келди тандалбаганы. Чекиттер белгилүү бир үч өлчөмдүү бетте мурда эле жайгашкан ийри сызыктан үлгү катары алынат.

Бет Үстүндөгү Ийри Сызыктан Bézier Ийри Сызыгы Кантип Түзүлөт?

Булак \(R^3\) ичинде:

\[ \varphi(u,v) \]

параметрлештирүүсү менен берилген бетти карайт. \(u=u_0\) же \(v=v_0\) сыяктуу туруктуу тандоолор беттин параметрдик ийри сызыктарын берет. Мындан тышкары:

\[ f(u,v)=0 \]

байланышы аркылуу беттин үстүндө башка ийри сызыктар да аныкталышы мүмкүн.

Тандалган беттик ийри сызыктын үстүнөн:

\[ P_0,P_1,\ldots,P_n \]

чекиттери үлгү катары алынат. Андан кийин бул чекиттер стандарттуу Bézier формуласында башкаруу чекиттери катары колдонулат:

\[ B_z(t) = \sum_{k=0}^{n} P_k{n\choose k} t^k(1-t)^{n-k}. \]

Ошондуктан түзүлгөн ийри сызык стандарттуу мааниде дагы эле Bézier ийри сызыгы болуп саналат; ыкманын айырмасы башкаруу чекиттеринин геометриялык булагында.

Башкаруу Чекиттеринин Саны Көбөйгөндө Bézier Ийри Сызыгы Эмне Үчүн Беттик Ийри Сызыкка Жакындайт?

Бул изилдөөнүн ыкмасында башкаруу чекиттери баштапкы беттик ийри сызыктан барган сайын тыгыз үлгүлөнгөн сайын башкаруу көп бурчтугу беттик ийри сызыктын жергиликтүү геометриясын толугураак чагылдыра баштайт. Bernstein салмактары менен түзүлгөн Bézier ийри сызыгы да ушул тыгыз үлгүлөөгө баш ийгендиктен, булактагы MATLAB мисалдарында баштапкы ийри сызыкты барган сайын жакыныраак ээрчийт. Макала бул жүрүм-турумду 5, 10 жана 30 башкаруу чекити бар цилиндр-спираль мисалында ачык визуалдаштырат; бирок жалпы ката тартибин же жакындашуу ылдамдыгын эсептебейт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Колдонмо 1: цилиндрдеги спираль

Биринчи негизги мисалда тик тегерек цилиндр:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u,\sin u,v) \]

менен аныкталган.

Беттин үстүндө:

\[ v=u \]

тандалганда:

\[ \varphi(u) = (\cos u,\sin u,u) \]

спираль ийри сызыгы алынат.

Биринчи мисалда беш башкаруу чекити:

\[ u=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \]

маанилеринен алынат.

Беш башкаруу чекитинен төртүнчү даражадагы Bézier ийри сызыгы алынат:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Булактагы 4.2-сүрөттө цилиндр, баштапкы спираль, башкаруу көп бурчтугу жана Bézier ийри сызыгы бир эле үч өлчөмдүү графикте көрсөтүлөт. Bézier ийри сызыгы биринчи жана акыркы башкаруу чекитинен өтсө да, беш чекиттүү учурда спиралды толук ээрчибейт.

5, 10 жана 30 башкаруу чекитин салыштыруу

Булактагы 4.4-сүрөт изилдөөнүн негизги жыйынтыгын эң түз көрсөткөн визуалдардын бири. Бир эле спиралда ирети менен:

• 5 башкаруу чекити,
• 10 башкаруу чекити,
• 30 башкаруу чекити

колдонулган.

Башкаруу чекиттеринин саны көбөйгөн сайын MATLAB графигинде Bézier ийри сызыгынын цилиндрдеги спиралга барган сайын көбүрөөк жакындаганы көрүнөт.

Бул жыйынтык сандык ката таблицасы менен эмес, геометриялык үстмө-үст графиктер аркылуу көрсөтүлгөн.

Колдонмо 2: сферадагы тегерек ийри сызык

Бирдик сфера:

\[ \varphi(u,v) = (\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v) \]

менен аныкталган.

\[ v=\frac{\pi}{4} \]

тандалганда:

\[ \varphi(u) = \left( \frac{\sqrt2}{2}\cos u, \frac{\sqrt2}{2}\sin u, \frac{\sqrt2}{2} \right) \]

алынат.

Бул ийри сызык сферанын үстүндөгү туруктуу бийиктиктеги айлана.

Теориялык мисалда төрт башкаруу чекити менен кубдук Bézier ийри сызыгы түзүлсө, MATLAB бөлүмүндөгү 4.5 жана 4.6-сүрөттөр 10 башкаруу чекиттүү тыгыздатылган колдонмону көрсөтөт. Булактагы бул эки башкаруу чекитинин санын бир эле эсептөө баскычы катары аралаштырбоо керек.

Колдонмо 3: ээр бети

Булак ээр бетин:

\[ \varphi(u,v) = (\sqrt{u}\cos v, \sqrt{u}\sin v, u\cos v\sin v) \]

түрүндө берет.

\[ u=0.5v \]

тандалып, беттин үстүндө параметрдик ийри сызык түзүлөт:

\[ \varphi(v) = (\sqrt{0.5v}\cos v, \sqrt{0.5v}\sin v, 0.5v\cos v\sin v). \]

Бул ийри сызыктан жети башкаруу чекити тандалып, алтынчы даражадагы Bézier ийри сызыгы эсептелген:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^6P_0 +6t(1-t)^5P_1 +15t^2(1-t)^4P_2\\ &+20t^3(1-t)^3P_3 +15t^4(1-t)^2P_4\\ &+6t^5(1-t)P_5 +t^6P_6. \end{aligned} \]

4.7-сүрөт ээр бетин, параметрдик ийри сызыкты, башкаруу көп бурчтугун жана Bézier ийри сызыгын бирге көрсөтөт.

Колдонмо 4: торус

Жалпы торус бети булакта:

\[ \varphi(u,v) = ((c+a\cos v)\cos u, (c+a\cos v)\sin u, a\sin v) \]

түрүндө берилген.

Изилдөө:

\[ a=1,\qquad c=3,\qquad u=0.28v \]

тандоосун колдонот.

Бул параметрдик ийри сызыктан жети башкаруу чекити алынып, Bézier ийри сызыгы эсептелген. MATLAB жыйынтыгы 4.8-сүрөттө торустун зым-каркас жана түстүү беттик көрсөтүлүштөрү менен бирге берилген.

Булактагы белгилөөгө байланыштуу эскертүү: Жалпы торус байланышынан кийин берилген ордуна коюу сабында \(u\) жана \(v\) белгилеринин колдонулушу математикалык жактан жалпы форма жана \(u=0.28v\) шарты менен толук дал келбейт. Ошондуктан бул жерде жалпы параметрлештирүү жана колдонулган параметр шарты сакталган, булакта жок оңдолгон жыйынтык теңдеме катары таңууланган эмес.

Колдонмо 5: Möbius бети

Булактагы Möbius параметрлештирүүсү:

\[ \varphi(u,v) = \left( \cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\, \sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,\, v\sin\frac{u}{2} \right) \]

түрүндө.

\[ u=5v \]

байланышы колдонулуп, беттин үстүндө ийри сызык түзүлгөн.

Бул ийри сызыктан беш башкаруу чекити тандалып, төртүнчү даражадагы Bézier ийри сызыгы эсептелген:

\[ P(t) = (1-t)^4P_0 + 4t(1-t)^3P_1 + 6t^2(1-t)^2P_2 + 4t^3(1-t)P_3 + t^4P_4. \]

Булактагы 4.9-сүрөт Möbius бетин жана ушул беттеги параметрдик ийри сызык менен Bézier жакындашуусун үч өлчөмдүү түрдө көрсөтөт.

Колдонмо 6: лемниската бети

Изилдөө лемниската бетин адегенде:

\[ X= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\cos u \]

\[ Y= \cos(v)\sqrt{|\sin(2u)|}\sin u \]

жана:

\[ Z= X^2-Y^2+2XY\tan^2(v) \]

байланыштары менен аныктайт.

Андан кийин:

\[ u=v \]

шарты менен беттин үстүндө параметрдик ийри сызык тандалат.

Бул ийри сызыктан алты башкаруу чекити алынып, бешинчи даражадагы Bézier ийри сызыгы түзүлгөн:

\[ \begin{aligned} P(t)=& (1-t)^5P_0 +5t(1-t)^4P_1 +10t^2(1-t)^3P_2\\ &+10t^3(1-t)^2P_3 +5t^4(1-t)P_4 +t^5P_5. \end{aligned} \]

Булактагы 4.10-сүрөттө лемниската бетинин татаал геометриясынын үстүндө башкаруу көп бурчтугу жана Bézier ийри сызыгы бирге көрсөтүлөт.

Колдонмо 7: жалпы мейкиндик ийри сызыгы

Акыркы мисалда ыкма түздөн-түз:

\[ \varphi(u) = (u^3,2u-5,u^2+2u) \]

түрүндө берилген мейкиндик ийри сызыгына колдонулган.

Ийри сызыктын үстүнөн беш башкаруу чекити тандалып, алар түзгөн Bézier ийри сызыгы MATLAB чөйрөсүндө чийилген. 4.11-сүрөт баштапкы ийри сызыкты, башкаруу чекиттерин жана Bézier жакындашуусун бир эле координаттар системасында көрсөтөт.

MATLAB-дын изилдөөдөгү ролу

MATLAB бул изилдөөдө жаңы Bézier алгоритмин иштеп чыгуу үчүн эмес, математикалык түзүлүштү эсептөө жана үч өлчөмдүү геометриялык жүрүм-турумду визуалдаштыруу үчүн колдонулат.

Атап айтканда:

• беттик mesh'терди түзүү,
• параметрдик ийри сызыктарды чийүү,
• башкаруу чекиттерин аныктоо,
• Bernstein салмактарын эсептөө,
• Bézier ийри сызыгынын координаттарын түзүү,
• башкаруу көп бурчтугун көрсөтүү,
• башкаруу чекиттеринин санын көбөйтүү менен пайда болгон жакындашууну салыштыруу

MATLAB графиктеринде аткарылат.

Цилиндр/спираль колдонмосунун `.m` кодунун маанилүү бөлүгү булакта ачык берилген. Коддо `linspace`, `meshgrid`, `plot3`, `surf` жана түздөн-түз Bernstein коэффициенттеринен түзүлгөн Bézier координаттары колдонулат.

Бул Изилдөө Жаңы Bézier Алгоритмин Сунуштайбы?

Жок. Авторлор изилдөөнүн жаңылыгы жаңы Bernstein базисин же жаңы De Casteljau алгоритмин иштеп чыгуу эмес экенин ачык белгилешет. Салым — классикалык Bézier теориясын үч өлчөмдүү беттерде жайгашкан параметрдик жана жашыруун ийри сызыктардан тандалган башкаруу чекиттери менен системалуу түрдө бириктирген бетке көз каранды геометриялык алкак жана аны колдогон MATLAB колдонмолору.

Изилдөө колдогон негизги жыйынтыктар

• Беттик ийри сызыктан үлгү катары алынган чекиттер стандарттуу Bézier башкаруу чекиттери катары колдонулушу мүмкүн.
• Бул ыкма цилиндр, сфера, ээр, торус, Möbius жана лемниската сыяктуу ар кандай беттик геометрияларга колдонулушу мүмкүн.
• Башкаруу чекиттеринин санын көбөйтүү булактагы MATLAB мисалдарында Bézier ийри сызыгынын баштапкы беттик ийри сызыкка жакыныраак көрүнүшүн камсыз кылат.
• Цилиндр-спираль мисалында 5, 10 жана 30 башкаруу чекитинин ортосундагы айырма визуалдык түрдө көрсөтүлгөн.
• De Casteljau алгоритми жана Bernstein базистери бир эле Bézier геометриясынын эквиваленттүү эсептөө негизин камсыз кылат.
• MATLAB бетти, башкаруу көп бурчтугун, баштапкы ийри сызыкты жана Bézier ийри сызыгын бир эле үч өлчөмдүү чөйрөдө салыштырууга мүмкүндүк берет.

Изилдөө түздөн-түз далилдебеген жыйынтыктар

• Бардык беттик ийри сызыктар үчүн башкаруу чекиттеринин белгилүү бир саны жетиштүү экени.
• Башкаруу чекиттеринин саны \(n\) менен катанын ортосунда жалпы сандык формула бар экени.
• Жакындашуу ылдамдыгы бардык беттерде бирдей экени.
• Сунушталган ыкма NURBS же рационалдык Bézier көрсөтүлүштөрүнөн ар бир учурда такыраак экени.
• Ыкманын реалдуу убакыттагы CAD системаларында өндүрүмдүүлүк benchmark'ы жүргүзүлгөнү.
• MATLAB коду өз алдынча программалык репозиторийде версияланып, сыноодон өткөн пакет экени.

Жакындашуу боюнча негизги чектөө

Макаланын “башкаруу чекиттери көбөйгөн сайын Bézier ийри сызыгы беттик ийри сызыкка жакындайт” деген жыйынтыгы изилдөөнүн өзөгүндө турат. Бирок бул жыйынтык негизинен геометриялык түзүлүш жана MATLAB визуалдары аркылуу көрсөтүлөт.

Авторлордун келечектеги изилдөө сунуштарынын арасында өзгөчө:

• ката баалоолорун иштеп чыгуу,
• жакындашуу ылдамдыктарын катуураак аналитикалык түрдө изилдөө

бар. Бул билдирүү учурдагы изилдөөдө жалпы жакындашуу ылдамдыгы али алынбаганын ырастайт.

CAGD жагынан мааниси

Computer-Aided Geometric Design контекстинде беттин үстүндөгү белгилүү бир ийри сызыкты Bézier көрсөтүлүшүнө айландыруу долбоорлоо, кайра параметрлештирүү жана геометриялык маалыматтарды иштетүү үчүн пайдалуу болушу мүмкүн. Башкаруу чекиттеринин жардамы менен ийри сызыкты стандарттуу Bézier куралдары аркылуу көрсөтүүгө болот, ал эми чекиттердин беттен алынышы баштапкы геометрияны сактоого жардам берет.

Авторлор бул ыкманы келечекте түздөн-түз беттик бөлүктөрдөн Bézier беттерин түзүүгө даярдык катары да баалашат.

Келечектеги изилдөө багыттары

Булактын жыйынтык бөлүмүндө өнүктүрүүнүн төрт негизги багыты көрсөтүлгөн:

• беттик бөлүктөрдөн түздөн-түз Bézier бетин түзүү,
• форманы күчтүүрөөк башкаруу үчүн альтернативдүү полиномдук базистер же рационалдык формулалар,
• ката баалоону жана жакындашуу ылдамдыктарын аналитикалык изилдөө,
• ыкманы изогеометриялык талдоо, CAD/CAM жана реалдуу убакыттагы геометриялык моделдөө системалары менен интеграциялоо.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска эмгек: Design of Bézier Curves of Some Surfaces with Matlab Applications

Авторлор: Ceyda Yılmaz Luzum; Şenay Baydaş; Bülent Karakaş.

Жооптуу автор: Булак PDF-деги жылдызча белгисине ылайык Şenay Baydaş.

Аффилиация 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Van Yuzuncu Yil University, 65080 Van, Türkiye.

Аффилиация 2: Department of Mathematics, Faculty of Science, Bartin University, 74100 Bartın, Türkiye.

Журнал: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science.

Журналдын кыскартылышы: Turk. J. Math. Comput. Sci.

Том / Саны: 18(2).

Барактар: 576–597.

DOI: 10.47000/tjmcs.1584879

Жарыяланган күнү: 30 июнь 2026.

Жөнөтүлгөн күнү: 2 январь 2025.

Кабыл алынган күнү: 18 февраль 2026.

Макаланын түрү: Research Article.

2020 AMS Classification: 65D17, 14H50, 51N05, 68U07.

Басып чыгаруучу: Matematikçiler Derneği (MATDER).

e-ISSN: 2148-1830.

Рецензиялоо: Журналдын саясаты редакциялык оригиналдуулук текшерүүсүнөн өткөн макалалар single-blind peer review үчүн эки рецензентке жөнөтүлөрүн билдирет.

Ачык жеткиликтүүлүк: Turkish Journal of Mathematics and Computer Science ачык жеткиликтүү журнал катары аныкталат.

Лицензия жөнүндө эскертүү: Каралган макаланын PDF-файлында конкреттүү Creative Commons лицензия коду көрсөтүлгөн эмес; ошондуктан булакта жок CC лицензиясы дайындалган эмес.

Негизги математикалык куралдар: Bernstein көп мүчөлөрү, Bézier ийри сызыктары, башкаруу көп бурчтуктары жана De Casteljau рекурсивдүү интерполяция алгоритми.

Негизги ыкма: \(R^3\) ичиндеги параметрдик же жашыруун беттик ийри сызыктан белгилүү сандагы башкаруу чекиттерин үлгү катары алуу жана бул чекиттердин Bernstein-Bézier айкалышы менен жаңы Bézier ийри сызыгын түзүү.

MATLAB мисалдары: цилиндрдеги спираль, сферадагы айлана, ээр, торус, Möbius, лемниската жана жалпы мейкиндик ийри сызыгы.

Негизги байкоо: Башкаруу чекиттеринин саны көбөйгөндө MATLAB мисалдарында Bézier жакындашуусу баштапкы беттик ийри сызыкка барган сайын көбүрөөк жакындайт.

Жакындашуу чеги: Макала жалпы ката нормасын же жакындашуу тартибин бербейт; катуураак ката жана жакындашуу талдоосу келечектеги изилдөө катары сунушталган.

Булак ичиндеги белгилөө көйгөйлөрү: Сфера мисалында төрт жана он башкаруу чекити деген билдирүүлөрдүн ар башка этаптарда колдонулушу; торус мисалындагы параметрди ордуна коюу сабынын жалпы параметрлештирүүгө толук дал келбеши; De Casteljau чыгарылышынын аралык сабынын биринде \(t\) коэффициентинин “i” түрүндө көрүнүшү.

Кодго жеткиликтүүлүк: MATLAB кодунун үзүндүлөрү макаланын ичинде берилет; каралган булакта өзүнчө версияланган код репозиторийине шилтеме жок.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор макаланын жарыяланышына байланыштуу кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришет.

Автордук салым: Булак бардык авторлор жарыяланган макала версиясын окуп, жактырганын билдирет; CRediT ролдорунун деталдуу бөлүштүрүлүшү берилген эмес.

Каржылоо: Каралган булакта өзүнчө каржылоо билдирүүсү жок.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Өзүнчө маалымат жеткиликтүүлүгү бөлүмү же маалымат репозиторийине шилтеме көрсөтүлгөн эмес.