Kusogea kwa awamu tatu tofauti za kimiminika au gesi zisizochanganyika ndani ya eneo moja la ukokotoaji ni mojawapo ya matatizo magumu katika mienendo ya vimiminika ya kikokotozi. Miingiliano husogea, hubadilika umbo, huungana, hutengana, na katika maeneo ambako awamu zote tatu hukutana, nguvu za mvutano wa uso hutenda kwa wakati mmoja. Utafiti huu uliotengenezwa na Adam Y. Ghoneim unaunganisha Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) na mkabala wa Phase-Field ili kutatua tatizo hilo bila kuunda gridi ya kawaida ya ukokotoaji.

Katika mbinu hii, mpaka kati ya vimiminika hauwakilishwi kama mpaka mkali, bali kama eneo la mpito la Phase-Field lenye unene fulani. Mabadiliko ya awamu tatu yanatatuliwa kwa milinganyo ya Cahn–Hilliard, huku uwanja wa mtiririko ukitatuliwa kwa milinganyo ya Navier–Stokes. Ili kuboresha uthabiti wa kazi za uzani za SPH, mikabala ya Reproducing Kernel (RK) na Differential Reproducing Kernel (DRK) imetumika. Kwa utatuzi wa shinikizo, badala ya Equation of State ya kawaida inayotegemea msongamano, General Pressure Equation yenye ueneaji wa shinikizo unaodhibiti mtikisiko imechaguliwa.

Mbinu hii imejaribiwa kuanzia benchmark za kawaida kama Couette, Poiseuille na lid-driven cavity hadi matatizo tata zaidi kama utengano wa awamu tatu, lenzi ya kimiminika, mfumo wa maji–mafuta–hewa wenye uwiano mkubwa wa msongamano, tone linaloanguka, kiputo kinachopanda na mchanganyiko wa tanki lenye uso huru. Katika jaribio la lenzi ya kimiminika, kosa la juu zaidi la uwiano lilibaki chini ya %5 ikilinganishwa na matokeo ya uchanganuzi; miteremko ya ukaribiano ya RK na DRK ilikuwa 1,86 na 1,93 mtawalia, ikionyesha mwenendo wa takribani daraja la pili.

Mbinu hii pia iliweza kutatua kwa uthabiti mfumo wa maji–hewa wenye uwiano wa msongamano wa takribani 1000:1. Hata hivyo, kigezo cha Phase-Field mobility kina athari kubwa kwa unene wa kiolesura na uhifadhi wa ujazo: katika jaribio la mfano la kiputo kinachozunguka, kwa M=0,01 upotevu wa ujazo ulikuwa %0,3 pekee, ilhali kwa M=0,05 uliongezeka hadi %20. Kwa hiyo, utafiti huu hauwasilishi tu mbinu mpya ya utatuzi, bali pia unaonyesha kwamba vigezo vyake vya nambari lazima virekebishwe kwa uangalifu.

Kwa nini kuhesabu mtiririko wa awamu tatu ni vigumu zaidi?

Hata katika mitiririko ya awamu mbili, kufuatilia kwa usahihi mwendo wa kiolesura cha kimiminika–gesi au kimiminika–kimiminika ni vigumu. Katika mfumo wa awamu tatu, huongezeka mvutano wa miingiliano mitatu tofauti pamoja na maeneo ya triple-junction ambako awamu zote tatu zinaweza kukutana. Kuungana, kukatika au kubadilika kwa topolojia ya kiolesura kunaweza kufanya mbinu za kawaida za mesh kuhitaji kuunda gridi upya au kutumia algoriti maalumu za interface-capturing.

Mkabala wa Phase-Field Unawakilishaje Awamu Tatu?

Katika mbinu ya Phase-Field, order parameter endelevu inayoitwa \(\psi_p\) hutumiwa kwa kila awamu. Katika eneo safi la awamu, thamani hii hukaribia 0 au 1, wakati katika kiolesura kati ya awamu mbili thamani hubadilika kwa mfululizo. Hivyo, badala ya mpaka mkali, diffuse interface yenye unene wenye kikomo hutokea.

Kwa awamu tatu:

\[ \psi_1+\psi_2+\psi_3=1 \]

sharti hili hutumika.

Kwa hiyo:

\[ \psi_3=1-\psi_1-\psi_2 \]

na hivyo inatosha kutatua milinganyo miwili tu huru ya Cahn–Hilliard.

Nishati huru ya Helmholtz ya mfumo kwa ujumla hufafanuliwa kama:

\[ E(\psi)= \int_{\Omega} \sum_{p=1}^{N} \left[ F(\psi_p)+ \frac{\epsilon^2}{2}|\nabla\psi_p|^2 \right]dx \]

kwa umbo hili.

Neno la kwanza ni sehemu ya bulk free-energy inayosukuma awamu kuelekea hali safi. Neno la Gradient linawakilisha gharama ya nishati ya kutengeneza kiolesura.

Mlinganyo wa Cahn–Hilliard hufanya nini?

Potenshali ya kemikali hupatikana kutokana na utofauti wa nishati huru kwa mujibu wa order parameter, na usambazaji wa awamu hubadilika kwa:

\[ \frac{D\psi_p}{Dt} = M\nabla^2\mu_p \]

.

Hapa \(M\) ni kigezo cha Phase-Field mobility. Thamani hii si konstanti ya kihisabati pekee; huunda usawaziko muhimu kati ya ueneaji wa kiolesura, uhifadhi wa unene wake na upotevu wa ujazo.

Kwa Nini SPH Inaitwa Meshfree?

Katika Smoothed Particle Hydrodynamics, eneo la ukokotoaji haligawanywi katika gridi za kawaida za finite element au finite volume. Badala yake, eneo huundwa na chembe, na thamani ya kigezo katika chembe fulani huhesabiwa kutokana na michango ya chembe jirani iliyopimwa kwa kernel.

Ukadiriaji wa SPH wa kigezo cha uwanja ni:

\[ \hat{u}_i = \sum_{j=1}^{n} u_j W_{ij} \]

.

Kwa muundo huu, usambazaji usio wa kawaida wa nukta, chembe zinazosogea na jiometria tata vinaweza kushughulikiwa bila kuunda mesh connectivity.

Kwa Nini RK na DRK Zinahitajika?

Kushindwa kwa kazi za kawaida za kernel za SPH kukidhi kikamilifu masharti ya partition-of-unity na reproducibility, hasa karibu na mipaka, kunaweza kusababisha matatizo ya usahihi. Mkabala wa Reproducing Kernel husahihisha kazi za uzani kupitia matrix ya moment na hivyo kutekeleza masharti hayo moja kwa moja.

Tofauti kuu ya Differential Reproducing Kernel ni kwamba sharti la reproducibility halitumiki kwa kazi ya uzani pekee bali pia kwa derivatives zake za anga. Kwa njia hii, inaweza kuepukwa kuhesabu derivatives za matrix ya moment zinazohitajika katika ukokotoaji wa derivatives wazi wa RK.

Katika utafiti huu, derivatives za DRK za daraja la juu hazikutumika moja kwa moja. RK na DRK zilitumika tu kwa kazi ya uzani na gradients za daraja la kwanza; Laplacian ilihesabiwa kwa usemi wa SPH wenye uimara zaidi. Kwa hiyo, DRK ina faida ya ukokotoaji, lakini si kwa kiwango kikubwa sana.

General Pressure Equation Inabadilisha Nini?

Katika weakly-compressible SPH, shinikizo kwa kawaida huhesabiwa kutokana na mabadiliko ya msongamano kwa kutumia Equation of State. Katika mifumo ya awamu nyingi, msongamano hubadilika ghafla kwenye kiolesura, hivyo mkabala huu unaweza kusababisha mitikisiko isiyotakikana ya shinikizo na msongamano.

Badala yake, utafiti huu umetumia:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} = -C^2(\nabla\cdot\rho V) + \nu_{GPE}\nabla^2P \]

yaani General Pressure Equation.

Neno \(\nu_{GPE}\nabla^2P\) ni utaratibu wa ueneaji unaopunguza mitikisiko ya nambari katika uwanja wa shinikizo. Kwa kuwa utatuzi unaweza kufanywa kwa njia ya ndani na explicit, si lazima kutatua mfumo wa mstari wa kimataifa wa Pressure-Poisson katika kila hatua ya muda.

Uunganishaji wa muda

Mfumo wa CHNS uliendelezwa kwa njia ya explicit kwa kutumia mkabala wa Runge–Kutta wa daraja la pili. Hatua ya muda huchaguliwa kulingana na kiwango cha chini cha vikwazo vya kasi bandia ya sauti, mnato wa juu zaidi na Phase-Field mobility:

\[ \Delta t= \min \left( \frac{\gamma_{CFL}h}{C}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2\nu_{max}}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2M} \right) \]

na katika utafiti \(\gamma_{CFL}=0,25\) ilitumika.

Kwa Nini Particle Shifting Ni Muhimu?

Katika Lagrangian SPH, kwa kuwa chembe husogea pamoja na mtiririko, baada ya muda zinaweza kukaribiana na kujikusanya. Kwa kuwa RK/DRK inahitaji kukokotoa inverse ya matrix ya moment ya eneo, hali hii si kutokuwa na mpangilio wa mwonekano tu; matrix inaweza kuwa badly conditioned na kufanya utatuzi ukose uthabiti.

Utafiti hutumia particle shifting kusogeza chembe kwa kiasi kidogo kutoka maeneo yenye msongamano mkubwa wa chembe kuelekea maeneo yenye chembe chache zaidi.

Katika ulinganisho wa ukurasa wa 24 wa PDF, bila shifting huonekana mikusanyiko dhahiri, huku baada ya shifting chembe zikirejea katika usambazaji karibu sare.

Kwa chembe za uso huru, kiasi cha shifting hupunguzwa; vinginevyo jiometria halisi ya uso huru inaweza kupotoshwa kwa njia bandia.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Uthibitishaji wa Couette flow

Katika tatizo la Couette lenye chembe 50 na nambari ndogo ya Reynolds, matokeo ya RK-SPH na DRK-SPH yalikuwa karibu sana na suluhisho la uchanganuzi. Makosa ya L2-norm katika nyakati tofauti yalikuwa takribani katika daraja la \(10^{-3}\)–\(10^{-2}\), na tofauti ya juu zaidi kati ya matokeo ya RK–DRK ilikuwa takribani %0,16.

Uthibitishaji wa Poiseuille flow

Kwa kasi tatu tofauti za kilele, suluhisho za RK na DRK zililingana vizuri na wasifu wa uchanganuzi. Tofauti ya juu zaidi katika thamani za makosa ya mikabala hiyo miwili ilikuwa takribani %1,7. Katika baadhi ya hali RK ilikuwa karibu kidogo zaidi na suluhisho la uchanganuzi, huku DRK ikihesabu kasi ya juu zaidi kwa kiwango kidogo zaidi ya thamani hiyo.

Lid-driven cavity

Kwa Re=100, eneo la chembe 50×50 lilitatuliwa. Katika mkabala wa Eulerian, matokeo ya chembe zisizosogea yalilingana vizuri sana na data za marejeo za kawaida za Ghia na wenzake. Katika suluhisho la Lagrangian, hitilafu zaidi zilionekana katika vilele vya kasi kutokana na kutokuwa na mpangilio wa chembe; kuongeza azimio hadi chembe 10.000 kulipunguza tofauti hii.

Je, Awamu Tatu Zinaweza Kujitenga Zenyewe?

Katika jiometria huria ya 2B yenye chembe 10.000, order parameter tatu zilizosambazwa kiholela mwanzoni zilitengana baada ya muda kuwa maeneo tofauti ya awamu nyekundu, kijani na bluu. Wakati wa mchakato huu, jumla ya nishati huru iliendelea kupungua.

Mwenendo huohuo ulipatikana pia katika jiometria za 3B za duara-tufe na torus zenye chembe 64.000. Hivyo, mbinu haikubaki imefungwa kwenye square grid ya kawaida au jiometria rahisi ya mstatili.

Mvutano wa Uso Unabadilishaje Jiometria ya Kiolesura?

Katika jaribio la udhibiti la awamu mbili, awamu iliyopachikwa yenye umbo la mraba mwanzoni iligeuka polepole kuwa ya duara kutokana na nguvu za mvutano wa uso kwenye kona zenye curvature kubwa. Matokeo haya yanaendana na mwelekeo wa nishati huru wa kupunguza eneo la kiolesura.

Katika hali ya awamu tatu, uwiano wa mvutano wa uso ulibadilishwa:

Katika Lenzi ya Kimiminika, Suluhisho Lilikaribia Kiasi Gani Suluhisho la Uchanganuzi?

Katika tatizo la lenzi ya kimiminika ambako awamu tatu hukutana, pembe za kinadharia za mgusano na upana wa lenzi zilihesabiwa kwa sheria ya Neumann.

Chanzo kinaripoti kwamba katika uwiano wote wa mvutano wa uso uliojaribiwa, kosa la juu zaidi la uwiano lilibaki chini ya %5.

Ukaribiano

Kwa benchmark hii, usahihi wa takribani daraja la pili ulionekana. Baada ya chembe 22.500, mabadiliko madogo tu yalibaki katika nishati huru ya hali thabiti.

Je, Uwiano wa Msongamano wa 1000:1 Ulitatuliwa kwa Uthabiti?

Jaribio la uwiano mkubwa wa msongamano lilifanywa kwa mfumo wa maji–mafuta ya zeituni–hewa.

Ingawa uwiano wa maji/hewa ulikuwa takribani 1000:1, suluhisho za PF-SPH zenye msingi wa RK na DRK zilibaki thabiti. Matokeo yanaendana na suluhisho la OpenFOAM multiphaseInterFoam FVM–VOF kwa upande wa mwenendo wa jumla wa interfacial.

Hata hivyo, katika mgongano na kurudi nyuma kwa tone, jiometria ya tone la PF-SPH inaonekana bapa kidogo zaidi kuliko matokeo ya OpenFOAM. Mwandishi anajadili kama sababu mojawapo inayowezekana kulegea kwa kiolesura na upotevu wa ujazo unaotokana na Phase-Field mobility.

Kigezo cha Mobility Kinaathirije Uhifadhi wa Ujazo?

Matokeo haya yanaonyesha kwamba kuongeza thamani ya mobility hakutoi kiotomatiki suluhisho sahihi zaidi. Kwa thamani ndogo sana kiolesura huenea chini ya advection, huku kwa thamani kubwa sana upotevu wa ujazo unaweza kuongezeka hata kama umbo linahifadhiwa.

Tone linaloanguka la awamu tatu

Wakati mvutano wa uso ulikuwa sifuri, tone lenye msongamano wa kati lilienea sana baada ya kugonga uso wa kimiminika cha chini. Uwiano wa mvutano wa uso ulipoongezwa hadi 1,9:1:1, kuenea kwa tone kulizuiwa kwa kiasi kikubwa na tone likashikiliwa kwenye kiolesura kati ya awamu mbili.

Kiputo kinachopanda cha awamu tatu

Kiputo cha awamu yenye msongamano mdogo zaidi kilipanda ndani ya kimiminika cha chini chenye msongamano mkubwa zaidi, na kilipofika kwenye kiolesura cha vimiminika viwili vyenye msongamano mkubwa kilishikiliwa hapo na mvutano wa uso. Mwenendo huohuo ulionyeshwa katika suluhisho la 2B Lagrangian lenye chembe 10.000 na suluhisho la 3B Eulerian lenye nukta 64.000.

Mchanganyiko wa tanki la awamu tatu

Awamu tatu zisizochanganyika zenye misongamano 100, 50 na 1 ziliwekwa kando kwa kando mwanzoni. Chini ya nguvu ya uvutano, mfumo ulijipanga upya na katika hali thabiti awamu nyekundu yenye msongamano mkubwa zaidi ilikaa chini, awamu ya kijani yenye msongamano wa kati katikati, na awamu ya bluu nyepesi zaidi juu.

Tofauti Kati ya Mikabala ya Eulerian na Lagrangian Ni Nini?

Katika Lagrangian SPH, chembe husogea pamoja na mtiririko halisi wa kimwili. Mkabala huu huwakilisha nyuso huru kwa njia ya asili, lakini huhitaji kusasisha orodha ya majirani na kufanya particle shifting katika kila hatua ya muda.

Katika matumizi ya Eulerian, chembe ziliachwa kama approximation points zisizosogea angani, na awamu pamoja na uwanja wa kasi zili-advect kupitia milinganyo. Mkabala huu ulipunguza gharama ya ukokotoaji hasa katika mifano ya 3B; kwa sababu orodha ya chembe jirani na algoriti ya shifting hazikuundwa upya kila wakati.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Milinganyo ya CHNS iliweza kutatuliwa kikamilifu kwa njia ya meshfree kwa SPH-RK/DRK.
• GPE ilitoa utatuzi wa shinikizo bila kutumia density-based EOS.
• RK na DRK zilionyesha ulinganifu mzuri na suluhisho za analitik/reference katika benchmark.
• DRK ni haraka kidogo kuliko RK katika baadhi ya majaribio.
• RK ilitoa matokeo sahihi kidogo zaidi kuliko DRK katika baadhi ya benchmark.
• Kosa la uchanganuzi la matokeo ya Liquid-lens lilibaki chini ya %5.
• Ukaribiano wa RK na DRK kwa liquid-lens ni takribani wa daraja la pili.
• Utengano wa awamu tatu wa 2B na 3B uliweza kutatuliwa katika jiometria huria.
• Suluhisho thabiti lilipatikana kwa uwiano wa msongamano wa takribani 1000:1.
• Particle shifting ilibainishwa kuwa muhimu kwa uthabiti wa suluhisho la Lagrangian RK/DRK.
• Mkabala wa Phase-Field uliwezesha SPH kutumika kwa njia zote mbili, Eulerian na Lagrangian.

Matokeo yasiyoungwa mkono na utafiti

• Haijaonyeshwa kwamba DRK ni haraka mara 10–25 kuliko RK katika matumizi haya.
• Haijaonyeshwa kwamba DRK ni sahihi zaidi kuliko RK katika benchmark zote.
• Jaribio la msongamano wa 1000:1 halijathibitishwa kwa majaribio ya kimwili.
• Ulinganisho wa OpenFOAM hauonyeshi kwa kiasi kwamba jiometria zote za kiolesura ni sawa.
• Haijaonyeshwa kwamba mkabala wa Phase-Field huhakikisha uhifadhi kamili wa ujazo wa eneo.
• Haijaonyeshwa kwamba thamani moja ya mobility ndiyo bora kwa matatizo yote ya awamu tatu.
• Unene wa diffuse-interface katika uigaji hauwezi kutafsiriwa kama unene wa kimwili wa kiolesura halisi cha kimiminika.
• Haijaonyeshwa kwamba mbinu imethibitishwa katika mitiririko yote ya viwandani ya awamu tatu yenye Reynolds kubwa na turbulence.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kazi asili: Meshfree Phase-Field Modeling of Three-Phase Flow using Smoothed Particle Hydrodynamics with Differential Reproducing Kernels and Artificial Compressibility.

Mwandishi: Adam Y. Ghoneim.

Taasisi: Department of Mechanical Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada.

Uchapishaji: Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 469, Article 116654, 2025.

Tarehe ya uchapishaji: 1 December 2025.

DOI: 10.1016/j.cam.2025.116654.

Hali ya mapitio: Ni makala ya jarida iliyopitiwa na wataalamu wenzao. Faili iliyopakiwa ina maudhui ya toleo la makala lililochapishwa na katika sehemu ya shukrani inawashukuru wakaguzi wasiojulikana kwa tathmini zao.

Dokezo la bibliografia: Katika tanbihi ya ukurasa wa kwanza wa PDF, jina la jarida limeandikwa kama “Journal of Computational of Applied Mathematics”. Jina sahihi la jarida katika rekodi rasmi ya mchapishaji ni “Journal of Computational and Applied Mathematics”.

Modeli kuu: Modeli ya awamu tatu ya diffuse-interface ya Cahn–Hilliard–Navier–Stokes.

Mbinu ya nambari: Smoothed Particle Hydrodynamics; Reproducing Kernels na Differential Reproducing Kernels.

Utatuzi wa shinikizo: artificial compressibility inayotegemea General Pressure Equation.

Uunganishaji wa muda: Runge–Kutta ya daraja la pili.

Uimarishaji mkuu: GPE pressure diffusion, artificial viscosity na particle shifting katika matumizi ya Lagrangian.

Uthibitishaji mkuu: Couette flow, Poiseuille flow, lid-driven cavity, surface-tension-driven interface relaxation, liquid lens analytical comparison, ulinganisho wa OpenFOAM FVM–VOF.

Mifano ya azimio la 2B: chembe 2.500–40.000; katika majaribio mengi ya awamu tatu chembe 10.000.

Azimio la 3B: chembe/approximation point 64.000 katika mifano ya tufe, torus, tone na kiputo.

Jaribio la uwiano mkubwa wa msongamano: maji–mafuta ya zeituni–hewa; uwiano wa juu zaidi wa msongamano wa takribani 1000:1.

Ukaribiano: katika benchmark ya lenzi ya kimiminika, mteremko wa ukaribiano wa RK ≈1,86 na DRK ≈1,93.

Kikomo kikuu: Vigezo vya Phase-Field mobility na interface-thickness hutegemea tatizo. mobility kubwa inaweza kuhifadhi unene wa kijiometria wa kiolesura lakini kuongeza upotevu wa ujazo; mobility ndogo inaweza kusababisha ueneaji mkubwa kupita kiasi wa kiolesura.

Kikomo cha uthibitishaji: Utafiti huu ni makala ya CFD ya nambari/kimbinu. Hakufanyika uthibitishaji mpana dhidi ya data halisi ya majaribio ya mifumo ya awamu nyingi.

Dokezo la kuchora upya taswira: Badala ya kunakili moja kwa moja picha za uigaji wa awamu tatu zenye rangi kutoka chanzo, Verianla inapaswa kutumia mchoro asili wa kisayansi unaounganisha mtandao wa chembe wa meshfree, diffuse interface, awamu tatu, RK/DRK kernel, utatuzi wa shinikizo wa GPE, pamoja na mifumo ya tone linaloanguka na kiputo kinachopanda.