Bir-biri bilan aralashmaydigan uch xil suyuq yoki gaz fazaning bir xil hisoblash sohasida harakatlanishi hisoblash suyuqliklar dinamikasining murakkab muammolaridan biridir. Interfeyslar harakatlanadi, shaklini o‘zgartiradi, birlashadi, ajraladi va uch faza kesishadigan hududlarda sirt tarangligi kuchlari bir vaqtning o‘zida ta’sir ko‘rsatadi. Adam Y. Ghoneim tomonidan ishlab chiqilgan ushbu tadqiqot mazkur muammoni klassik hisoblash to‘rini yaratmasdan yechish maqsadida Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) bilan Phase-Field yondashuvini birlashtiradi.

Usulda suyuqliklar orasidagi interfeys keskin chegara sifatida emas, ma’lum qalinlikka ega o‘tish Phase-Field sohasi sifatida ifodalanadi. Uch fazaning evolyutsiyasi Cahn–Hilliard tenglamalari, oqim sohasi esa Navier–Stokes tenglamalari bilan yechiladi. SPH og‘irlik funksiyalarining muvofiqligini yaxshilash uchun Reproducing Kernel (RK) va Differential Reproducing Kernel (DRK) yondashuvlaridan foydalanilgan. Bosim yechimida esa klassik zichlikka asoslangan Equation of State o‘rniga so‘ndiruvchi bosim diffuziyasini o‘z ichiga olgan General Pressure Equation tanlangan.

Usul Couette, Poiseuille va lid-driven cavity kabi standart benchmarklardan boshlab uch fazali ajralish, suyuqlik linzasi, yuqori zichlik nisbatli suv–moy–havo tizimi, tushayotgan tomchi, ko‘tarilayotgan pufakcha va erkin sirtli tank aralashmasi kabi murakkabroq muammolarda sinovdan o‘tkazilgan. Suyuqlik linzasi sinovida analitik natijalarga ko‘ra maksimal nisbiy xato %5 dan past bo‘lgan; RK va DRK yaqinlashuv qiyaliklari mos ravishda 1,86 va 1,93 bo‘lib, taxminan ikkinchi tartibli xatti-harakatni ko‘rsatgan.

Usul taxminan 1000:1 zichlik nisbatiga ega suv–havo tizimini ham barqaror yecha olgan. Biroq Phase-Field mobility parametrining interfeys qalinligi va hajm saqlanishiga kuchli ta’siri mavjud: namunaviy aylanuvchi pufakcha sinovida M=0,01 uchun hajm yo‘qotilishi atigi %0,3 bo‘lgan bo‘lsa, M=0,05 da %20 ga ko‘tarilgan. Shu sababli tadqiqot faqat yangi yechim usulini taklif etib qolmay, usulning sonli parametrlarini ehtiyotkorlik bilan sozlash zarurligini ham ko‘rsatadi.

Uch fazali oqimni hisoblash nega qiyinroq?

Ikki fazali oqimlarda ham suyuqlik–gaz yoki suyuqlik–suyuqlik interfeysining harakatini to‘g‘ri kuzatish qiyin. Uch fazali tizimda bunga uchta alohida interfeys tarangligi va uch faza uchrashishi mumkin bo‘lgan triple-junction hududlari qo‘shiladi. Interfeysning birlashishi, uzilishi yoki topologik shaklini o‘zgartirishi klassik mesh asosidagi usullarda qayta to‘rlash yoki maxsus interface-capturing algoritmlariga ehtiyoj tug‘dirishi mumkin.

Phase-Field Yondashuvi Uch Fazani Qanday Ifodalaydi?

Phase-Field usulida har bir faza uchun \(\psi_p\) deb ataluvchi uzluksiz order parameter ishlatiladi. Faza toza hududida bu qiymat 0 yoki 1 ga yaqinlashadi, ikki faza orasidagi interfeysda esa qiymat uzluksiz o‘zgaradi. Shunday qilib, keskin chegara o‘rniga cheklangan qalinlikdagi diffuse interface hosil bo‘ladi.

Uch faza uchun:

\[ \psi_1+\psi_2+\psi_3=1 \]

sharti qo‘llanadi.

Demak:

\[ \psi_3=1-\psi_1-\psi_2 \]

bo‘lgani sababli faqat ikkita mustaqil Cahn–Hilliard tenglamasini yechish kifoya.

Tizimning Helmholtz erkin energiyasi umumiy holda:

\[ E(\psi)= \int_{\Omega} \sum_{p=1}^{N} \left[ F(\psi_p)+ \frac{\epsilon^2}{2}|\nabla\psi_p|^2 \right]dx \]

ko‘rinishida aniqlanadi.

Birinchi had fazalarni sof holatlarga yo‘naltiruvchi bulk free-energy komponentidir. Gradient hadi esa interfeys hosil bo‘lishining energiya xarajatini ifodalaydi.

Cahn–Hilliard tenglamasi nima qiladi?

Kimyoviy potensial erkin energiyaning order parameter bo‘yicha variatsiyasidan olinadi va fazalarning taqsimoti:

\[ \frac{D\psi_p}{Dt} = M\nabla^2\mu_p \]

orqali rivojlanadi.

Bu yerdagi \(M\) Phase-Field mobility parametridir. Bu qiymat shunchaki matematik konstanta emas; u interfeys diffuziyasi, uning qalinligini saqlash va hajm yo‘qotilishi o‘rtasida muhim muvozanat hosil qiladi.

SPH Nega Meshfree Deb Ataladi?

Smoothed Particle Hydrodynamics da hisoblash sohasi klassik chekli element yoki chekli hajm to‘rlariga bo‘linmaydi. Buning o‘rniga soha zarrachalardan tashkil topadi va o‘zgaruvchining ma’lum bir zarrachadagi qiymati qo‘shni zarrachalarning kernel bo‘yicha og‘irlangan hissalari orqali hisoblanadi.

Maydon o‘zgaruvchisining SPH yaqinlashuvi:

\[ \hat{u}_i = \sum_{j=1}^{n} u_j W_{ij} \]

ko‘rinishidadir.

Ushbu tuzilma tufayli tartibsiz nuqta taqsimotlari, harakatlanuvchi zarrachalar va murakkab geometriyalarni mesh connectivity yaratmasdan qayta ishlash mumkin.

RK va DRK Nega Kerak?

Klassik SPH kernel funksiyalarining, ayniqsa chegara hududlarida partition-of-unity va reproducibility shartlarini to‘liq qondira olmasligi aniqlik muammolariga olib kelishi mumkin. Reproducing Kernel yondashuvi og‘irlik funksiyalarini moment matritsasi orqali tuzatib, ushbu shartlarni bevosita qo‘llaydi.

Differential Reproducing Kernel yondashuvining asosiy farqi reproducibility shartini faqat og‘irlik funksiyasiga emas, balki uning fazoviy hosilalariga ham qo‘llashidir. Shu tariqa RK ning ochiq hosila hisobida talab qilinadigan moment matritsasi hosilalarini hisoblashning oldini olish mumkin.

Ushbu tadqiqotda yuqori tartibli DRK hosilalari bevosita ishlatilmagan. RK va DRK faqat og‘irlik funksiyasi va birinchi tartibli gradientlar uchun qo‘llanilgan; Laplasian esa yanada barqaror SPH ifodasi bilan hisoblangan. Shu sababli DRK ning hisoblash afzalligi bor, ammo u keskin darajada katta emas.

General Pressure Equation Nimani O‘zgartiradi?

Weakly-compressible SPH da bosim odatda zichlik o‘zgarishidan Equation of State yordamida hisoblanadi. Ko‘p fazali tizimlarda zichlik interfeysda keskin o‘zgargani sababli, bu yondashuv nomaqbul bosim va zichlik tebranishlariga olib kelishi mumkin.

Ushbu tadqiqot buning o‘rniga:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} = -C^2(\nabla\cdot\rho V) + \nu_{GPE}\nabla^2P \]

ko‘rinishidagi General Pressure Equation dan foydalangan.

\(\nu_{GPE}\nabla^2P\) hadi bosim maydonidagi sonli tebranishlarni so‘ndiruvchi diffuziya mexanizmidir. Yechim lokal va explicit tarzda bajarilishi mumkinligi sababli har bir vaqt qadamida global Pressure-Poisson chiziqli tizimini yechish shart emas.

Vaqt bo‘yicha integratsiya

CHNS tizimi ikkinchi tartibli Runge–Kutta yondashuvi bilan explicit tarzda oldinga surilgan. Vaqt qadami sun’iy tovush tezligi, maksimal yopishqoqlik va Phase-Field mobility cheklovlarining minimumiga ko‘ra tanlanadi:

\[ \Delta t= \min \left( \frac{\gamma_{CFL}h}{C}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2\nu_{max}}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2M} \right) \]

va tadqiqotda \(\gamma_{CFL}=0,25\) ishlatilgan.

Particle Shifting Nega Muhim?

Lagrangian SPH da zarrachalar oqim bilan birga harakat qilgani uchun vaqt o‘tishi bilan bir-biriga yaqinlashishi va to‘planishi mumkin. RK/DRK da lokal moment matritsasining teskarisini hisoblash talab etilganligi sababli, bu holat shunchaki vizual tartibsizlik emas; matritsa yomon shartlangan holatga kelib, yechimni beqarorlashtirishi mumkin.

Tadqiqot particle shifting yordamida yuqori zarracha zichligiga ega hududlardan zarrachalarni siyrakroq sohalar tomon kichik miqdorda siljitadi.

PDF ning 24. sahifasidagi taqqoslashda shifting qo‘llanmaganda aniq to‘planishlar yuzaga keladi, shifting dan keyin esa zarrachalar taxminan bir jinsli taqsimotga qaytadi.

Erkin sirt zarrachalarida shifting miqdori kamaytiriladi; aks holda haqiqiy erkin sirt geometriyasi sun’iy ravishda buzilishi mumkin.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Couette flow verifikatsiyasi

50 zarrachali past Reynolds sonli Couette muammosida RK-SPH va DRK-SPH natijalari analitik yechimga juda yaqin chiqqan. Turli vaqtlardagi L2-norm xatolari taxminan \(10^{-3}\)–\(10^{-2}\) tartibidadir va RK–DRK natijalari orasidagi maksimal farq taxminan %0,16 ni tashkil etadi.

Poiseuille flow verifikatsiyasi

Uch xil cho‘qqi tezlikda RK va DRK yechimlari analitik profilga yaxshi mos kelgan. Ikki yondashuv xato qiymatlaridagi maksimal farq taxminan %1,7 bo‘lgan. RK ayrim holatlarda analitik yechimga biroz yaqinroq bo‘lgan, DRK esa maksimal tezlikni sal yuqoriroq hisoblagan.

Lid-driven cavity

Re=100 uchun 50×50 zarrachali soha yechilgan. Eulerian yondashuvda sobit zarrachalar natijalari Ghia va hamkasblarining klassik ma’lumotnomaviy ma’lumotlari bilan juda yaxshi mos kelgan. Lagrangian yechimda zarracha tartibsizligi tufayli tezlik cho‘qqilarida ko‘proq xato yuzaga kelgan; aniqlikni 10.000 zarrachagacha oshirish bu farqni kamaytirgan.

Uch Faza O‘z-o‘zidan Ajrala Oladimi?

10.000 zarrachali ixtiyoriy 2B geometriyada dastlab tasodifiy taqsimlangan uchta order parameter vaqt o‘tishi bilan alohida qizil, yashil va ko‘k faza hududlariga ajralgan. Ushbu jarayon davomida umumiy erkin energiya uzluksiz kamaygan.

Xuddi shu xatti-harakat 64.000 zarrachali 3B sfera va torus geometriyalarida ham olingan. Shunday qilib, usul muntazam kvadrat grid yoki oddiy to‘rtburchak geometriya bilan cheklanib qolmagan.

Sirt Tarangligi Interfeys Geometriyasini Qanday O‘zgartiradi?

Ikki fazali nazorat sinovida dastlab kvadrat shakldagi ichki faza yuqori egrilikka ega burchaklardagi sirt tarangligi kuchlari tufayli vaqt o‘tishi bilan aylana shakliga kelgan. Bu natija erkin energiyaning interfeys maydonini kamaytirishga intilishi bilan mos keladi.

Uch fazali holatda sirt tarangligi nisbati o‘zgartirilgan:

Suyuqlik Linzasida Analitik Yechimga Qanchalik Yaqinlashildi?

Uch faza uchrashadigan suyuqlik linzasi muammosida Neumann qonuni yordamida nazariy kontakt burchaklari va linza kengligi hisoblangan.

Manba sinovdan o‘tkazilgan barcha sirt tarangligi nisbatlarida maksimal nisbiy xato %5 dan past qolganini bildiradi.

Yaqinlashuv

Ushbu benchmark uchun taxminan ikkinchi tartibli aniqlik kuzatilgan. 22.500 zarrachadan keyin barqaror holat erkin energiyasida faqat kichik o‘zgarishlar qolgan.

1000:1 Zichlik Nisbati Barqaror Yechildimi?

Suv–zaytun moyi–havo tizimi bilan yuqori zichlik nisbati sinovi o‘tkazilgan.

Suv/havo nisbati taxminan 1000:1 bo‘lishiga qaramay, RK va DRK asosidagi PF-SPH yechimlari barqaror qolgan. Natijalar OpenFOAM multiphaseInterFoam FVM–VOF yechimi bilan umumiy interfacial xatti-harakat jihatidan mos keladi.

Biroq tomchi urilishi va qaytishida PF-SPH tomchi geometriyasi OpenFOAM natijasiga qaraganda biroz yassiroq ko‘rinadi. Muallif buning mumkin bo‘lgan sabablaridan biri sifatida Phase-Field mobility tufayli yuzaga keladigan interfeys yumshashini va hajm yo‘qotilishini muhokama qiladi.

Mobility Parametri Hajm Saqlanishiga Qanday Ta’sir Qiladi?

Bu natija mobility qiymatini oshirish avtomatik ravishda aniqroq yechim hosil qilmasligini ko‘rsatadi. Juda kichik qiymatlarda interfeys adveksiya ostida yoyiladi, juda yuqori qiymatlarda esa shakl saqlansa ham hajm yo‘qotilishi ortishi mumkin.

Uch fazali tushayotgan tomchi

Sirt tarangligi nol bo‘lganda o‘rtacha zichlikdagi tomchi pastki suyuqlik yuzasiga urilgandan keyin keng yoyilgan. Sirt tarangligi nisbati 1,9:1:1 gacha oshirilganda tomchining yoyilishi sezilarli darajada cheklangan va tomchi ikki faza orasidagi interfeysda ushlab qolingan.

Uch fazali ko‘tarilayotgan pufakcha

Zichligi eng past fazaning pufakchasi zichroq pastki suyuqlik ichida ko‘tarilgan va ikki zich suyuqlik interfeysiga yetganda sirt tarangligi sababli shu yerda ushlab qolingan. Xuddi shu xatti-harakat 10.000 zarrachali 2B Lagrangian va 64.000 nuqtali 3B Eulerian yechimda ko‘rsatilgan.

Uch fazali tank aralashmasi

Zichliklari 100, 50 va 1 bo‘lgan uchta aralashmaydigan faza dastlab yonma-yon joylashtirilgan. Gravitatsiya ta’sirida tizim qayta tartiblangan va barqaror holatda eng zich qizil faza tubga, o‘rtacha zichlikdagi yashil faza o‘rtaga, eng yengil ko‘k faza esa yuqori hududga joylashgan.

Eulerian va Lagrangian Yondashuvlari O‘rtasidagi Farq Nima?

Lagrangian SPH da zarrachalar fizik oqim bilan birga harakat qiladi. Ushbu yondashuv erkin sirtlarni tabiiy tarzda ifodalaydi, biroq har bir vaqt qadamida qo‘shnilik ro‘yxatini yangilash va particle shifting bajarishni talab qiladi.

Eulerian qo‘llanishda zarrachalar fazoda sobit approximation points sifatida qoldirilgan va fazalar bilan tezlik maydoni tenglamalar orqali advect qilingan. Ushbu yondashuv, ayniqsa 3B misollarda, hisoblash xarajatini kamaytirgan; chunki qo‘shni zarrachalar ro‘yxati va shifting algoritmi doimiy ravishda qayta tuzilmaydi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• CHNS tenglamalari SPH-RK/DRK bilan to‘liq meshfree tarzda yechilgan.
• GPE, density-based EOS ishlatmasdan bosim yechimini ta’minlagan.
• RK va DRK benchmarklarda analitik/reference yechimlar bilan yaxshi moslik ko‘rsatgan.
• DRK ayrim sinovlarda RK dan biroz tezroq.
• RK ayrim benchmarklarda DRK dan biroz aniqroq natija bergan.
• Liquid-lens natijalarining analitik xatosi %5 dan past qolgan.
• RK va DRK liquid-lens yaqinlashuvi taxminan ikkinchi tartibli.
• 2B va 3B uch fazali ajralish ixtiyoriy geometriyalarda yechilgan.
• Taxminan 1000:1 zichlik nisbatida barqaror yechim olingan.
• Particle shifting Lagrangian RK/DRK yechimining barqarorligi uchun kritik deb topilgan.
• Phase-Field yondashuvi SPH ni ham Eulerian, ham Lagrangian tarzda qo‘llash imkonini bergan.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan natijalar

• DRK ushbu qo‘llanishda RK dan 10–25 marta tezroq ekani ko‘rsatilmagan.
• Barcha benchmarklarda DRK RK dan aniqroq ekani ko‘rsatilmagan.
• 1000:1 zichlik sinovi eksperimental ravishda tasdiqlanmagan.
• OpenFOAM taqqoslash barcha interfeys geometriyalari miqdoriy jihatdan bir xil ekanini ko‘rsatmaydi.
• Phase-Field yondashuvi to‘liq lokal hajm saqlanishini ta’minlashi ko‘rsatilmagan.
• Bitta mobility qiymati barcha uch fazali muammolar uchun optimal ekani ko‘rsatilmagan.
• Simulyatsiyadagi diffuse-interface qalinligini haqiqiy suyuqlik interfeysining fizik qalinligi sifatida talqin qilib bo‘lmaydi.
• Usul barcha sanoatdagi yuqori Reynolds sonli turbulent uch fazali oqimlarda tasdiqlangani ko‘rsatilmagan.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Meshfree Phase-Field Modeling of Three-Phase Flow using Smoothed Particle Hydrodynamics with Differential Reproducing Kernels and Artificial Compressibility.

Muallif: Adam Y. Ghoneim.

Muassasa: Department of Mechanical Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada.

Nashr: Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 469, Article 116654, 2025.

Nashr sanasi: 1 December 2025.

DOI: 10.1016/j.cam.2025.116654.

Taqriz holati: Taqrizdan o‘tgan jurnal maqolasidir. Yuklangan fayl nashr qilingan maqola versiyasining mazmunini o‘z ichiga oladi va minnatdorchilik bo‘limida anonim taqrizchilarning baholashlari uchun minnatdorchilik bildiriladi.

Bibliografik izoh: PDF ning birinchi sahifasidagi izohda jurnal nomi “Journal of Computational of Applied Mathematics” shaklida yozilgan. Rasmiy nashriyot yozuvidagi to‘g‘ri jurnal nomi “Journal of Computational and Applied Mathematics”dir.

Asosiy model: Cahn–Hilliard–Navier–Stokes uch fazali diffuse-interface modeli.

Sonli usul: Smoothed Particle Hydrodynamics; Reproducing Kernels va Differential Reproducing Kernels.

Bosim yechimi: General Pressure Equation asosidagi artificial compressibility.

Vaqt integratsiyasi: Ikkinchi tartibli Runge–Kutta.

Asosiy barqarorlashtirishlar: GPE pressure diffusion, artificial viscosity va Lagrangian qo‘llanishda particle shifting.

Asosiy verifikatsiyalar: Couette flow, Poiseuille flow, lid-driven cavity, surface-tension-driven interface relaxation, liquid lens analytical comparison, OpenFOAM FVM–VOF taqqoslash.

2B aniqlik misollari: 2.500–40.000 zarracha; ko‘plab uch fazali sinovlarda 10.000 zarracha.

3B aniqlik: Sfera, torus, tomchi va pufakcha misollarida 64.000 zarracha/approximation point.

Yuqori zichlik nisbati sinovi: suv–zaytun moyi–havo; taxminan 1000:1 maksimal zichlik nisbati.

Yaqinlashuv: suyuqlik linzasi benchmarkida RK ≈1,86 va DRK ≈1,93 yaqinlashuv qiyaligi.

Asosiy cheklov: Phase-Field mobility va interface-thickness parametrlari muammoga bog‘liq. Yuqori mobility geometrik interfeys qalinligini saqlashi mumkin, biroq hajm yo‘qotilishini oshirishi mumkin; past mobility esa ortiqcha interfeys diffuziyasiga olib kelishi mumkin.

Verifikatsiya chegarasi: tadqiqot sonli/metodologik CFD maqolasidir. Ko‘p fazali haqiqiy eksperimental ma’lumotlarga nisbatan keng qamrovli verifikatsiya o‘tkazilmagan.

Vizualni qayta chizish izohi: Manbadagi rangli uch fazali simulyatsiya tasvirlarini bevosita nusxalash o‘rniga Verianla uchun meshfree zarracha tarmog‘i, diffuse interface, uch faza, RK/DRK kernel, GPE bosim yechimi, tushayotgan tomchi va ko‘tarilayotgan pufakcha mexanizmlarini birlashtiruvchi original ilmiy sxemadan foydalanish kerak.