Бири-бири менен аралашпаган үч башка суюк же газ фазасынын бир эсептөө мейкиндигинде кыймылдашы эсептөөчү суюктуктар динамикасынын татаал маселелеринин бири болуп саналат. Интерфейстер кыймылдайт, формасын өзгөртөт, биригет, ажырайт жана үч фаза кесилишкен аймактарда беттик тартылуу күчтөрү бир убакта таасир этет. Adam Y. Ghoneim тарабынан иштелип чыккан бул изилдөө аталган маселени классикалык эсептөө торун түзбөстөн чечүү үчүн Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) менен Phase-Field ыкмасын айкалыштырат.

Ыкмада суюктуктардын ортосундагы интерфейс кескин чек катары эмес, белгилүү калыңдыктагы өтмө Phase-Field аймагы катары көрсөтүлөт. Үч фазанын эволюциясы Cahn–Hilliard теңдемелери менен, агым талаасы Navier–Stokes теңдемелери менен чечилет. SPH салмак функцияларынын шайкештигин жакшыртуу үчүн Reproducing Kernel (RK) жана Differential Reproducing Kernel (DRK) ыкмалары колдонулган. Басымды чечүүдө болсо классикалык тыгыздыкка негизделген Equation of State ордуна басымдын термелүүсүн басаңдатуучу диффузияны камтыган General Pressure Equation тандалган.

Ыкма Couette, Poiseuille жана lid-driven cavity сыяктуу стандарттык benchmark маселелеринен баштап үч фазалуу ажыроо, суюктук линзасы, жогорку тыгыздык катышындагы суу–май–аба системасы, түшкөн тамчы, көтөрүлгөн көбүк жана эркин беттүү резервуар аралашмасы сыяктуу татаалыраак маселелерде сыналган. Суюктук линзасы сыноосунда аналитикалык натыйжаларга салыштырганда максималдуу салыштырма ката %5 көрсөткүчүнөн төмөн калган; RK жана DRK жакындашуу ылдыйлоолору тиешелүүлүгүнө жараша 1,86 жана 1,93 болуп, болжол менен экинчи тартиптеги жүрүм-турумду көрсөткөн.

Ыкма болжол менен 1000:1 тыгыздык катышындагы суу–аба системасын да туруктуу чече алган. Бирок Phase-Field mobility параметри интерфейстин калыңдыгына жана көлөмдүн сакталуусуна күчтүү таасир берет: мисал катары айлануучу көбүк сыноосунда M=0,01 үчүн көлөм жоготуусу болгону %0,3 болсо, M=0,05 болгон учурда %20 деңгээлине чейин өскөн. Ошондуктан изилдөө жаңы чечүү ыкмасын гана сунуштабастан, анын сандык параметрлерин кылдат жөндөө зарыл экенин да көрсөтөт.

Үч фазалуу агымды эсептөө эмне үчүн кыйыныраак?

Эки фазалуу агымдарда да суюктук–газ же суюктук–суюктук интерфейсинин кыймылын так көзөмөлдөө кыйын. Үч фазалуу системада буга үч өзүнчө интерфейс тартылуусу жана үч фаза жолуга ала турган triple-junction аймактары кошулат. Интерфейстин биригиши, ажырашы же топологиялык формасын өзгөртүшү классикалык mesh негизиндеги ыкмаларда кайра тор түзүүнү же атайын interface-capturing алгоритмдерин талап кылышы мүмкүн.

Phase-Field Ыкмасы Үч Фазаны Кантип Көрсөтөт?

Phase-Field ыкмасында ар бир фаза үчүн \(\psi_p\) деп аталган үзгүлтүксүз order parameter колдонулат. Фазанын таза аймагында бул мааниси 0 же 1 маанисине жакындайт, ал эми эки фазанын ортосундагы интерфейсте мааниси үзгүлтүксүз өзгөрөт. Ошентип, кескин чек ордуна чектелген калыңдыктагы diffuse interface пайда болот.

Үч фаза үчүн:

\[ \psi_1+\psi_2+\psi_3=1 \]

шарты колдонулат.

Демек:

\[ \psi_3=1-\psi_1-\psi_2 \]

болгондуктан эки гана көз карандысыз Cahn–Hilliard теңдемесин чечүү жетиштүү.

Системанын Helmholtz эркин энергиясы жалпы түрдө:

\[ E(\psi)= \int_{\Omega} \sum_{p=1}^{N} \left[ F(\psi_p)+ \frac{\epsilon^2}{2}|\nabla\psi_p|^2 \right]dx \]

түрүндө аныкталат.

Биринчи мүчө фазаларды таза абалдарга багыттоочу bulk free-energy компоненти болуп саналат. Gradient мүчөсү болсо интерфейстин түзүлүшүнүн энергетикалык чыгымын билдирет.

Cahn–Hilliard теңдемеси эмне кылат?

Химиялык потенциал эркин энергиянын order parameter боюнча вариациясынан алынат жана фазалардын бөлүштүрүлүшү:

\[ \frac{D\psi_p}{Dt} = M\nabla^2\mu_p \]

аркылуу эволюцияланат.

Бул жердеги \(M\) — Phase-Field mobility параметри. Бул мааниси жөн гана математикалык туруктуу эмес; ал интерфейстин диффузиясы, калыңдыктын сакталуусу жана көлөм жоготуусу ортосунда маанилүү тең салмак түзөт.

SPH Эмне Үчүн Meshfree Деп Аталат?

Smoothed Particle Hydrodynamics ыкмасында эсептөө мейкиндиги классикалык чектүү элемент же чектүү көлөм торлоруна бөлүнбөйт. Анын ордуна мейкиндик бөлүкчөлөрдөн турат жана өзгөрмөнүн белгилүү бир бөлүкчөдөгү мааниси коңшу бөлүкчөлөрдүн kernel менен салмакталган салымдарынан эсептелет.

Талаа өзгөрмөсүнүн SPH жакындашуусу:

\[ \hat{u}_i = \sum_{j=1}^{n} u_j W_{ij} \]

түрүндө берилет.

Бул түзүлүш аркылуу иретсиз чекит бөлүштүрүүлөрү, кыймылдаган бөлүкчөлөр жана татаал геометриялар mesh connectivity түзбөстөн иштетиле алат.

RK жана DRK Эмне Үчүн Керек?

Классикалык SPH kernel функцияларынын, айрыкча чек аймактарында partition-of-unity жана reproducibility шарттарын толук камсыздай албашы тактык көйгөйлөрүнө алып келиши мүмкүн. Reproducing Kernel ыкмасы салмак функцияларын момент матрицасы аркылуу оңдоп, бул шарттарды түздөн-түз аткарат.

Differential Reproducing Kernel ыкмасынын негизги айырмасы reproducibility шартын салмак функциясына гана эмес, анын мейкиндиктик туундуларына да колдонушунда. Ошентип, RKнин ачык туунду эсептөөсүндө талап кылынган момент матрицасынын туундуларын эсептөөгө болгон муктаждык азаят.

Бул изилдөөдө жогорку тартиптеги DRK туундулары түздөн-түз колдонулган эмес. RK жана DRK салмак функциясы жана биринчи тартиптеги градиенттер үчүн гана колдонулган; Лапласиан туруктуураак SPH туюнтмасы менен эсептелген. Ошондуктан DRKнин эсептөө артыкчылыгы бар, бирок ал кескин деңгээлде эмес.

General Pressure Equation Эмнени Өзгөртөт?

Weakly-compressible SPHде басым адатта тыгыздыктын өзгөрүшүнөн Equation of State аркылуу эсептелет. Көп фазалуу системаларда тыгыздык интерфейсте кескин өзгөргөндүктөн, мындай ыкма керексиз басым жана тыгыздык термелүүлөрүнө алып келиши мүмкүн.

Бул изилдөө анын ордуна:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} = -C^2(\nabla\cdot\rho V) + \nu_{GPE}\nabla^2P \]

түрүндөгү General Pressure Equation колдонгон.

\(\nu_{GPE}\nabla^2P\) мүчөсү басым талаасындагы сандык термелүүлөрдү басаңдатуучу диффузия механизми болуп саналат. Чечим локалдуу жана explicit түрдө аткарылгандыктан, ар бир убакыт кадамында глобалдык Pressure-Poisson сызыктуу системасын чечүү талап кылынбайт.

Убакыт боюнча интеграция

CHNS системасы экинчи тартиптеги Runge–Kutta ыкмасы менен explicit түрдө алга жылдырылган. Убакыт кадамы жасалма үн ылдамдыгы, максималдуу илешкектүүлүк жана Phase-Field mobility чектөөлөрүнүн минимумуна жараша тандалат:

\[ \Delta t= \min \left( \frac{\gamma_{CFL}h}{C}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2\nu_{max}}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2M} \right) \]

жана изилдөөдө \(\gamma_{CFL}=0,25\) колдонулган.

Particle Shifting Эмне Үчүн Критикалык?

Lagrangian SPHде бөлүкчөлөр агым менен бирге кыймылдагандыктан, убакыт өтүшү менен бири-бирине жакындап, топтолушу мүмкүн. RK/DRKде локалдык момент матрицасынын тескери матрицасын эсептөө керек болгондуктан, бул көрүнүш жөн гана визуалдык иретсиздик эмес; матрица начар шартталып, чечимди туруксуздаштырышы мүмкүн.

Изилдөө particle shifting аркылуу бөлүкчөлөрдүн тыгыздыгы жогору аймактардан аларды сейрек аймактарга аз өлчөмдө жылдырат.

PDFнин 24. бетиндеги салыштырууда shifting колдонулбаганда ачык топтолуулардын пайда болгону, shifting кийин бөлүкчөлөрдүн болжол менен бир тектүү бөлүштүрүүгө кайтканы көрсөтүлгөн.

Эркин бет бөлүкчөлөрүндө shifting көлөмү азайтылат; болбосо чыныгы эркин бет геометриясы жасалма түрдө бузулушу мүмкүн.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Couette flow текшерүүсү

50 бөлүкчөлүү төмөн Reynolds сандуу Couette маселесинде RK-SPH жана DRK-SPH натыйжалары аналитикалык чечимге абдан жакын чыккан. Ар кандай убакыттардагы L2-norm каталары болжол менен \(10^{-3}\)–\(10^{-2}\) тартибинде болуп, RK–DRK жыйынтыктарынын ортосундагы максималдуу айырма болжол менен %0,16 түзгөн.

Poiseuille flow текшерүүсү

Үч башка чоку ылдамдыкта RK жана DRK чечимдери аналитикалык профилге жакшы дал келген. Эки ыкманын ката маанилериндеги максималдуу айырма болжол менен %1,7 болгон. RK айрым учурларда аналитикалык чечимге бир аз жакыныраак болсо, DRK максималдуу ылдамдыкты бир аз жогору эсептеген.

Lid-driven cavity

Re=100 үчүн 50×50 бөлүкчөлүү аймак чечилген. Eulerian ыкмасында туруктуу бөлүкчөлөрдүн натыйжалары Ghia жана кесиптештеринин классикалык маалымдама маалыматтары менен абдан жакшы дал келген. Lagrangian чечиминде бөлүкчөлөрдүн иретсиздигинен улам ылдамдык чокуларында көбүрөөк ката пайда болгон; чечилишти 10.000 бөлүкчөгө көбөйтүү бул айырманы азайткан.

Үч Фаза Өзүнөн-өзү Ажыроого Жөндөмдүүбү?

10.000 бөлүкчөлүү эркин 2B геометрияда башында туш келди бөлүштүрүлгөн үч order parameter убакыттын өтүшү менен өзүнчө кызыл, жашыл жана көк фаза аймактарына ажыраган. Бул процесс учурунда жалпы эркин энергия үзгүлтүксүз төмөндөгөн.

Ушундай эле жүрүм-турум 64.000 бөлүкчөлүү 3B сфера жана торус геометрияларында да алынган. Ошентип, ыкма туруктуу квадрат grid же жөнөкөй тик бурчтуу геометрия менен чектелген эмес.

Беттик Тартылуу Интерфейстин Геометриясын Кантип Өзгөртөт?

Эки фазалуу контролдук сыноодо баштапкы квадрат формасындагы киргизилген фаза жогорку ийриликке ээ бурчтардагы беттик тартылуу күчтөрүнөн улам убакыт өткөн сайын тегерек формага келген. Бул натыйжа эркин энергиянын интерфейс аянтын кыскартууга умтулуусу менен шайкеш келет.

Үч фазалуу учурда беттик тартылуу катышы өзгөртүлгөн:

Суюктук Линзасында Аналитикалык Чечимге Канчалык Жакындады?

Үч фаза жолуккан суюктук линзасы маселесинде Neumann мыйзамы менен теориялык тийишүү бурчтары жана линзанын туурасы эсептелген.

Булакта сыналган бардык беттик тартылуу катыштарында максималдуу салыштырма ката %5 көрсөткүчүнөн төмөн калганы билдирилет.

Жакындашуу

Бул benchmark үчүн болжол менен экинчи тартиптеги тактык байкалган. 22.500 бөлүкчөдөн кийин туруктуу абалдагы эркин энергияда гана майда өзгөрүүлөр калган.

1000:1 Тыгыздык Катышы Туруктуу Чечилдиби?

Суу–зайтун майы–аба системасы менен жогорку тыгыздык катышы сыноосу жүргүзүлгөн.

Суу/аба катышы болжол менен 1000:1 болгонуна карабастан RK жана DRK негизиндеги PF-SPH чечимдери туруктуу бойдон калган. Натыйжалар OpenFOAM multiphaseInterFoam FVM–VOF чечими менен жалпы interfacial жүрүм-турум жагынан шайкеш келет.

Ошол эле учурда тамчынын соккусу жана кайра секирүүсүндө PF-SPH тамчы геометриясы OpenFOAM натыйжасына салыштырмалуу бир аз жалпагыраак көрүнөт. Автор мунун мүмкүн болгон себептеринин бири катары Phase-Field mobility менен байланышкан интерфейстин жумшаруусун жана көлөм жоготуусун талкуулайт.

Mobility Параметри Көлөмдүн Сакталуусуна Кантип Таасир Этет?

Бул жыйынтык mobility маанисин чоңойтуу автоматтык түрдө такыраак чечим бербестигин көрсөтөт. Өтө кичине маанилерде интерфейс адвекциянын таасиринде жайылат, ал эми өтө жогорку маанилерде форма сакталып турса да көлөм жоготуусу көбөйүшү мүмкүн.

Үч фазалуу түшкөн тамчы

Беттик тартылуу нөл болгондо орточо тыгыздыктагы тамчы ылдыйкы суюктуктун бетине урулгандан кийин кеңири жайылган. Беттик тартылуу катышы 1,9:1:1 катышына көтөрүлгөндө тамчынын жайылышы кыйла чектелип, ал эки фазанын ортосундагы интерфейсте кармалып калган.

Үч фазалуу көтөрүлгөн көбүк

Тыгыздыгы эң төмөн фазанын көбүгү тыгызыраак ылдыйкы суюктуктун ичинде көтөрүлүп, эки тыгыз суюктуктун интерфейсине жеткенде беттик тартылуудан улам ошол жерде кармалып калган. Ушундай эле жүрүм-турум 10.000 бөлүкчөлүү 2B Lagrangian жана 64.000 чекиттүү 3B Eulerian чечимде көрсөтүлгөн.

Үч фазалуу резервуар аралашмасы

Тыгыздыктары 100, 50 жана 1 болгон үч аралашпаган фаза башында жанаша жайгаштырылган. Тартылуу күчүнүн таасиринде система кайра уюшуп, туруктуу абалда эң тыгыз кызыл фаза түбүнө, орточо тыгыздыктагы жашыл фаза ортого, эң жеңил көк фаза жогорку аймакка жайгашкан.

Eulerian жана Lagrangian Ыкмаларынын Айырмасы Эмне?

Lagrangian SPHде бөлүкчөлөр физикалык агым менен бирге кыймылдайт. Бул ыкма эркин беттерди табигый түрдө көрсөтөт, бирок ар бир убакыт кадамында коңшулук тизмесин жаңылоону жана particle shifting жүргүзүүнү талап кылат.

Eulerian колдонууда бөлүкчөлөр мейкиндикте туруктуу approximation points катары калтырылып, фазалар жана ылдамдык талаасы теңдемелер аркылуу advect кылынган. Бул ыкма, айрыкча 3B мисалдарында, эсептөө чыгымын азайткан; анткени коңшу бөлүкчөлөрдүн тизмеси жана shifting алгоритми үзгүлтүксүз кайра түзүлбөйт.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• CHNS теңдемелери SPH-RK/DRK менен толугу менен meshfree түрүндө чечиле алган.
• GPE, density-based EOS колдонбостон басым чечимин камсыз кылган.
• RK жана DRK benchmarkдарда аналитикалык/reference чечимдер менен жакшы дал келүүнү көрсөткөн.
• DRK айрым сыноолордо RKга караганда бир аз ылдамыраак.
• RK айрым benchmarkдарда DRKга караганда бир аз так жыйынтык берген.
• Liquid-lens жыйынтыктарынын аналитикалык катасы %5 көрсөткүчүнөн төмөн калган.
• RK жана DRK liquid-lens жакындашуусу болжол менен экинчи тартиптүү.
• 2B жана 3B үч фазалуу ажыроо эркин геометрияларда чечиле алган.
• Болжол менен 1000:1 тыгыздык катышында туруктуу чечим алынган.
• Particle shifting Lagrangian RK/DRK чечиминин туруктуулугу үчүн критикалык деп табылган.
• Phase-Field ыкмасы SPHни Eulerian да, Lagrangian да колдонууга мүмкүндүк берген.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

• DRK бул колдонууда RKдан 10–25 эсе ылдамыраак экени көрсөтүлгөн эмес.
• Бардык benchmarkдарда DRK RKдан такыраак экени көрсөтүлгөн эмес.
• 1000:1 тыгыздык сыноосу эксперименталдык түрдө ырасталган эмес.
• OpenFOAM салыштыруусу бардык интерфейс геометриялары сандык жактан бирдей экенин көрсөтпөйт.
• Phase-Field ыкмасы толук локалдык көлөм сакталуусун камсыз кылаары көрсөтүлгөн эмес.
• Бир mobility мааниси бардык үч фазалуу маселелер үчүн оптималдуу экени көрсөтүлгөн эмес.
• Симуляциядагы diffuse-interface калыңдыгын чыныгы суюктук интерфейсинин физикалык калыңдыгы катары чечмелөөгө болбойт.
• Ыкма бардык өнөр жайлык жогорку Reynolds сандуу турбуленттик үч фазалуу агымдарда текшерилгени көрсөтүлгөн эмес.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска изилдөө: Meshfree Phase-Field Modeling of Three-Phase Flow using Smoothed Particle Hydrodynamics with Differential Reproducing Kernels and Artificial Compressibility.

Автор: Adam Y. Ghoneim.

Мекеме: Department of Mechanical Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada.

Басылма: Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 469, Article 116654, 2025.

Жарыяланган күнү: 1 December 2025.

DOI: 10.1016/j.cam.2025.116654.

Рецензия абалы: Рецензияланган журналдык макала. Жүктөлгөн файл жарыяланган макаланын версиясынын мазмунун камтыйт жана ыраазычылык бөлүмүндө анонимдүү рецензенттердин баалоолору үчүн ыраазычылык айтылат.

Библиографиялык эскертүү: PDFнин биринчи бетиндеги шилтемеде журналдын аты “Journal of Computational of Applied Mathematics” деп жазылган. Расмий басмакана жазуусундагы туура журнал аты “Journal of Computational and Applied Mathematics”.

Негизги модель: Cahn–Hilliard–Navier–Stokes үч фазалуу diffuse-interface модели.

Сандык ыкма: Smoothed Particle Hydrodynamics; Reproducing Kernels жана Differential Reproducing Kernels.

Басым чечими: General Pressure Equation негизиндеги artificial compressibility.

Убакыт интеграциясы: Экинчи тартиптеги Runge–Kutta.

Негизги турукташтыруулар: GPE pressure diffusion, artificial viscosity жана Lagrangian колдонууда particle shifting.

Негизги текшерүүлөр: Couette flow, Poiseuille flow, lid-driven cavity, surface-tension-driven interface relaxation, liquid lens analytical comparison, OpenFOAM FVM–VOF салыштыруусу.

2B чечилиш мисалдары: 2.500–40.000 бөлүкчө; көп үч фазалуу сыноолордо 10.000 бөлүкчө.

3B чечилиш: Сфера, торус, тамчы жана көбүк мисалдарында 64.000 бөлүкчө/approximation point.

Жогорку тыгыздык катышы сыноосу: суу–зайтун майы–аба; болжол менен 1000:1 максималдуу тыгыздык катышы.

Жакындашуу: суюктук линзасы benchmarkында RK ≈1,86 жана DRK ≈1,93 жакындашуу ылдыйлоосу.

Негизги чектөө: Phase-Field mobility жана interface-thickness параметрлери маселеге көз каранды. Жогорку mobility геометриялык интерфейс калыңдыгын сактай алат, бирок көлөм жоготуусун көбөйтүшү мүмкүн; төмөн mobility болсо ашыкча интерфейс диффузиясына алып келиши мүмкүн.

Текшерүү чеги: изилдөө сандык/методологиялык CFD макаласы болуп саналат. Көп фазалуу чыныгы эксперименттик маалыматтарга каршы кеңири текшерүү жүргүзүлгөн эмес.

Визуалды кайра чийүү эскертүүсү: Булактагы түстүү үч фазалуу симуляция сүрөттөрүн түз көчүрүүнүн ордуна Verianla үчүн meshfree бөлүкчө тармагы, diffuse interface, үч фаза, RK/DRK kernel, GPE басым чечими, түшкөн тамчы жана көтөрүлгөн көбүк механизмдерин бириктирген оригиналдуу илимий схема колдонулушу керек.