Katika nadharia ya kawaida ya udhibiti wa pato, lengo la kidhibiti ni kuleta pato la mfumo wa mienendo karibu na rejea inayotakiwa huku likiondoa athari za usumbufu wa nje. Sehemu muhimu ya nadharia ya kawaida hudhani kuwa ishara za rejea na usumbufu huzalishwa na exosystem inayotoa milinganyo laini ya tofauti. Hata hivyo, katika matumizi halisi kunaweza pia kuwa na ishara zisizo laini na wakati mwingine zisizo za kipindi, kama mawimbi ya meno ya msumeno, mawimbi ya pembetatu, ishara za kubadilishwa au zinazofanana na pulse-width-modulation (PWM). Utafiti huu unalenga moja kwa moja tatizo la kihisabati la uwezekano wa kutatuliwa katika hali hii ya jumla zaidi.

Kwa kuwa milinganyo ya quasi-regulator ambayo watafiti walitumia hapo awali katika mfumo wa NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — ina vipengele vya integral, uchanganuzi wa uwezekano wake wa kutatuliwa si wa moja kwa moja kama ilivyo kwa milinganyo ya kawaida ya regulator. Kazi mpya kwanza inabadilisha milinganyo hii ya integral kuwa mfumo sawia wa milinganyo tofauti-aljebra (DAE), kisha inagawa tatizo katika hali mbili kulingana na kuwepo au kutokuwepo kwa kipengele cha feedforward \(D\).

Katika hali ambayo hakuna njia ya feedforward, yaani \(D=0\), matokeo muhimu ya kwanza ni kwamba ishara \(Q\Lambda(t,t_0)\) inayopaswa kudhibitiwa lazima iwe na ulaini wa kutosha. Utafiti unaonyesha kuwa, ili milinganyo ya quasi-regulator iweze kutatuliwa, angalau mwendelezo wa ndani wa Lipschitz wa kazi hii ni sharti la lazima. Kwa hiyo, pale ambapo hakuna athari ya moja kwa moja ya feedforward, kwa ujumla haiwezekani kufuta papo hapo rejea inayosababisha mruko halisi kwenye pato kwa kutumia ingizo la udhibiti la kawaida lenye thamani yenye kikomo.

Matokeo ya pili ya msingi ni kwamba daraja la jamaa la mfumo huathiri moja kwa moja uwezekano wa kutatuliwa katika udhibiti wa pato usio laini, tofauti na hali ya kawaida. Kwa kutumia kiwango cha ulaini cha kazi saidizi \(V_j(t)\), watafiti wanaonyesha kuwa katika hali ya \(D=0\), daraja la jamaa \(r\) lazima lizingatie kikomo fulani cha juu. Sharti la jumla la lazima hutolewa kama:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

.

Mojawapo ya teorema kuu za utafiti inaonyesha kuwa, chini ya \(D=0\), dhana zilizotajwa za ulaini na daraja la jamaa la kitengo \(r=1\), uwezekano wa kutatuliwa kwa milinganyo ya quasi-regulator kwa \(P\) na \(Q\) zozote ni sawia na non-smooth non-resonance condition iliyofafanuliwa na watafiti. Katika hali yenye njia ya feedforward, yaani \(D\neq0\), matokeo hayo hayo ya lazima-na-ya-kutosha ya non-resonance hupatikana bila kuhitaji dhana za daraja la jamaa au ulaini wa ziada.

Watafiti pia wanaonyesha kuwa ikiwa mfumo wa mstari unaodhibitiwa ni minimum phase, basi sharti jipya la non-smooth non-resonance hutimizwa. Hata hivyo, matokeo haya ya minimum-phase ni sharti la kutosha; si sawa na ufafanuzi wenyewe wa sharti jipya la non-resonance.

Kwa mtazamo wa Uturuki, kazi hii ni muhimu kwa nadharia ya msingi ya udhibiti, hasa katika maeneo kama elektroni za nguvu, robotiki, mifumo ya kubadilishwa na udhibiti wa viwandani ambako rejea au usumbufu usio laini unaweza kujitokeza. Hata hivyo, chanzo hakitumii matokeo haya kwenye mfumo wowote wa Uturuki, maunzi halisi ya udhibiti au jaribio la utendaji. Kwa hiyo, thamani ya utafiti si kuonyesha moja kwa moja utendaji wa algoriti ya udhibiti wa shambani, bali kuendeleza msingi wa kinadharia unaoeleza chini ya masharti gani tatizo kama hili la udhibiti linaweza kutatuliwa kihisabati.

Tatizo la udhibiti wa pato ni nini?

Udhibiti wa pato ni tatizo la kubuni kidhibiti kinachokaribisha pato la mfumo wa mienendo kwenye njia ya rejea inayotakiwa huku kikikandamiza usumbufu wa nje. Mfumo wa mstari usiobadilika kwa wakati, wenye ingizo moja–pato moja (SISO), unaozingatiwa katika utafiti ni:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

.

Hapa \(x(t)\) ni hali ya mfumo, \(u(t)\) ni ingizo la udhibiti, \(e(t)\) ni kosa la udhibiti, na:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

ni vekta ya exogenous signal inayojumuisha ishara za rejea na usumbufu.

Tofauti kuu na nadharia ya kawaida ni nini?

Katika udhibiti wa kawaida wa pato wa mstari, exogenous signal mara nyingi hutokana na mfumo laini wa mienendo kama:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

. Katika muundo wa jumla zaidi unaozingatiwa na utafiti huu, hutumiwa generator ya wazi ya umbo:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

.

Si lazima pia \(\Lambda(t,t_0)\) itimize sifa ya kawaida ya semigroup. Upanuzi huu huruhusu kujumuishwa kwa madarasa ya ishara ambazo si laini na si lazima ziwe za kipindi.

Tatizo la NNOR linahitaji malengo gani mawili?

Katika utafiti, tatizo la non-smooth non-periodic output regulation linaelezwa kwa masharti mawili:

• SF — Stabilization condition: Wakati exogenous signal ni sifuri, asili ya mfumo wa mzunguko uliofungwa lazima iwe thabiti kwa eksponensheli.
• RF — Regulation condition: Wakati Exosystem imeunganishwa na mfumo, kosa la udhibiti lazima lielekee sifuri kadiri muda unavyokwenda: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Kwa nini milinganyo ya quasi-regulator inahitajika?

Katika nadharia ya kawaida ya output-regulation, milinganyo ya regulator hutambulisha njia za hali na udhibiti zinazozalisha kosa la hali-tulivu la sifuri. Hata hivyo, katika darasa la jumla la ishara zisizo laini na zisizo za kipindi, steady state kwa maana ya kawaida si lazima iwe imefafanuliwa vizuri kila wakati.

Kwa sababu hii, katika kazi zao za awali watafiti walitumia:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

milinganyo ya quasi-regulator equations inayofafanua njia zinazotarajiwa za kufuta kosa.

Kikomo muhimu cha kimawazo cha utafiti ni hiki: suluhisho la milinganyo ya quasi-regulator ni muundo wa kutosha kwa kutatua tatizo la NNOR; haidaiwi kuwa ni tabia ya lazima katika tatizo la jumla la NNOR kama ilivyo kwa milinganyo ya kawaida ya regulator.

Umbo la integral la milinganyo ya quasi-regulator

Mfumo wa milinganyo katika utafiti ni:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

na:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

; ambapo:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Tatizo ni kama kunaweza kupatikana kazi zilizowekewa mipaka na zilizo endelevu kipande-kwa-kipande \(\Pi(t)\) na \(\Delta(t)\) zinazotimiza milinganyo hii kwa \(t\ge t_0\) zote.

Kwa nini milinganyo hubadilishwa kuwa umbo la DAE?

Ni vigumu kuchanganua moja kwa moja uwezekano wa kutatuliwa kwa milinganyo iliyo katika umbo la integral. Matokeo ya Lemma 1 yanaonyesha kuwa, chini ya ubadilishikaji wa \(\Lambda\), milinganyo ya quasi-regulator ni sawia na mfumo ufuatao wa DAE:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

Mabadiliko yanafanywa kwa:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

.

Usawa huu ndio mwanzo wa uchanganuzi wote unaofuata wa uwezekano wa kutatuliwa katika utafiti.

Kwa nini kipengele cha feedforward ni muhimu sana?

Kwa kuwa pato ni:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

, ikiwa \(D\neq0\), ingizo la udhibiti \(u\) linaweza kuathiri moja kwa moja kosa la udhibiti. Katika hali ya \(D=0\), ingizo lazima kwanza lipitie mienendo ya hali.

Tofauti hii huwa muhimu katika ishara zisizo laini. Ikiwa rejea au usumbufu unasababisha mruko wa ghafla kwenye pato, hali endelevu ya mfumo \(Cx\) haiwezi kuruka mara moja katika mwelekeo kinyume. Ikiwa njia ya moja kwa moja ya feedforward \(Du\) ipo, ingizo la udhibiti linaweza kusawazisha moja kwa moja sehemu hii ya ghafla.

Theorem 1 inasema nini?

Sharti la kwanza kuu la lazima la utafiti ni:

Ikiwa \(D=0\), ili milinganyo ya quasi-regulator iweze kutatuliwa, kazi \(Q\Lambda(t,t_0)\) lazima iwe endelevu kwa Lipschitz ya ndani kwa nyakati zote.

Matokeo muhimu ya hili ni kwamba ikiwa \(Q\Lambda\) ina kutokuwepo kwa mwendelezo halisi wakati \(D=0\), milinganyo ya quasi-regulator haiwezi kutatuliwa kwa kutumia \(\Delta(t)\) iliyo na mipaka.

Chanzo kinafafanua hili kifizikia kama ifuatavyo: ishara endelevu ya \(Cx\) haiwezi kufuta papo hapo mruko wa ishara isiyo endelevu ya \(Q\omega\) bila msaada wa moja kwa moja wa feedforward.

Watafiti wanabainisha kuwa matumizi ya impulsive control yanaweza kubadilisha hali hii, lakini wanaiacha kwa kazi ya baadaye.

Assumption 2 inahitaji ulaini gani?

Kwa \(D=0\), utafiti kisha hudhani kuwa \(Q\Lambda(t,t_0)\) ni piecewise differentiable na kwamba:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

hubaki na mipaka katika vipindi husika vya muda vilivyo laini.

Piecewise differentiability hapa hujumuisha muundo ambao ishara ni endelevu lakini derivative za kushoto na kulia zinaweza kutofautiana katika baadhi ya nukta. Mawimbi ya pembetatu ni mojawapo ya mifano ya msingi ya tabia hii isiyo laini.

Je, dhana hii inahitaji \(\omega(t)\) yote iwe endelevu?

Hapana. Utafiti unatenganisha hili kwa uwazi. Kuwa kwa \(Q\Lambda\) na ulaini unaohitajika hakumaanishi kwamba vipengele vyote vya \(\Lambda\) au \(\omega\) lazima viwe endelevu.

Ikiwa mruko katika exogenous signal unabaki kwenye kernel ya \(Q\), mruko huo huenda usionekane moja kwa moja kwenye pato la udhibiti. Kwa hiyo, baadhi ya vipengele visivyo endelevu vinavyoathiri hali ya mfumo kupitia \(P\omega\) haviondolewi kabisa na nadharia.

Kwa nini daraja la jamaa linakuwa muhimu kwa namna tofauti na nadharia ya kawaida?

Katika mfumo wa SISO, daraja la jamaa \(r\) linaonyesha kiwango cha derivative ambacho ingizo la udhibiti linaonekana kwa mara ya kwanza katika pato. Chanzo hulifafanua kama \(r\le n\) chanya ndogo zaidi inayotimiza:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

.

Katika tatizo la kawaida la LTI output regulation lenye ulaini, daraja la jamaa haliko katikati ya sharti la uwezekano wa kutatuliwa kwa milinganyo ya regulator. Katika utafiti huu, hata hivyo, ishara zinapokuwa si laini, daraja la jamaa huamua ni tabia ya kiwango gani cha chini cha ulaini ambayo ingizo la udhibiti linaweza kuunda kwenye pato.

Kwa maneno mengine, ikiwa ingizo la udhibiti lazima lipitie derivatives nyingi za mienendo kabla ya kuathiri pato, huenda ingizo la udhibiti lenye kikomo lisiweze kufuta sehemu kali ya kutosha ya exogenous output.

Kwa nini kazi saidizi \(V_j(t)\) zinafafanuliwa?

Kwa sababu ya \(\Lambda\) isiyo laini, watafiti hawawezi kuchukua derivatives za milinganyo moja kwa moja kwa kiwango kisicho na kikomo. Badala yake wanafafanua kazi:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

zinazohusisha integrals zinazorudiwa.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) huchukuliwa, na kiwango cha ulaini cha kila \(V_j\) huonyeshwa kwa \(c_j\).

Muundo huu saidizi huwezesha kulinganisha kiasi cha ulaini wa ishara na daraja la jamaa la mfumo ndani ya mfumo mmoja wa kihisabati.

Ujumbe mkuu wa Lemma 2 ni upi?

\(j^*=c_n

• kwa \(j\le j^*\), \(V_j\) inaweza kutofautishwa angalau mara \(j\);
• kwa \(j>j^*\), kiwango cha ulaini cha kazi zote zinazofuata za \(V_j\) hubaki katika \(j^*\).

Kwa hivyo, kiwango cha derivative ambacho ulaini “unaisha” kinaamuliwa kihisabati.

Sharti la lazima kwa daraja la jamaa ni lipi?

Proposition 1 inaonyesha kuwa, ikiwa chini ya \(D=0\) na Assumption 1–2 milinganyo ya quasi-regulator inaweza kutatuliwa:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

lazima litimizwe.

Hapa:

\[ j^*=c_n \]

ni kiwango cha ulaini cha kazi saidizi \(V_n\).

Hili ni sharti la lazima; utafiti unasema wazi kuwa ukosefu wa usawa \(r\le j^*+1\) peke yake si wa kutosha katika kila hali.

Kwa nini utafiti baadaye unalenga \(r=1\)?

Watafiti wanaeleza kuwa hasa pale ambapo ishara zisizo laini kama mawimbi ya pembetatu au mraba ndizo zinazolengwa, kuwa na \(c_n\ge1\) si hali ya kawaida sana. Kwa hiyo, kama hali ya msingi ya kuhakikisha uwezekano wa kutatuliwa kwa darasa pana la ishara zisizo laini, utafiti unalenga:

\[ r=1 \]

yaani dhana ya unitary relative degree.

Katika hali hii:

\[ CB\neq0 \]

na ingizo huanza kuathiri pato katika kiwango cha derivative ya kwanza.

Non-smooth non-resonance condition ni nini?

Mchango mkuu wa kimawazo wa utafiti ni sharti jipya la kutokuwa na resonance lililofafanuliwa katika Definition 1. Mifumo, kwa thamani fulani ya awali \(\Omega(t_0)\):

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

ikiwa kazi hii hubaki na mipaka kwa \(t\ge t_0\) zote, hufafanuliwa kuwa non-resonant.

Eigenvalues za \(A_z\) ni sawa na transmission zero za mfumo unaodhibitiwa.

Kwa hiyo, badala ya kulinganisha tu eigenvalues za exosystem ya kawaida na transmission zero, kigezo kipya kinaeleza mwingiliano wa mienendo isiyo laini na inayotegemea muda kwa ujumla ya \(\Lambda\) na zero dynamics kama tatizo la boundedness katika kikoa cha muda.

Matokeo ya lazima na ya kutosha ya Theorem 2 ni yapi?

Kwa \(D=0\), Assumption 1 na 2, na chini ya dhana:

\[ r=1 \]

utafiti hupata usawa ufuatao:

Milinganyo ya quasi-regulator inaweza kutatuliwa kwa \(P\) na \(Q\) zozote ⇔ mfumo unaodhibitiwa na exogenous-signal generator ni non-smooth non-resonant.

Haya ndiyo matokeo makuu ya lazima-na-ya-kutosha kuhusu uwezekano wa kutatuliwa katika utafiti.

Mfumo unatenganishwaje katika uthibitisho wa Theorem 2?

Katika hali ya \(r=1\):

\[ b=CB\neq0 \]

kwa hiyo watafiti hutenganisha mfumo kuwa vipengele vya zero-dynamics na output kwa kutumia ubadilishaji wa mstari \(T\):

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

Sehemu ya aljebra ya DAE hutoa moja kwa moja:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

.

Mienendo iliyobaki ya \(\Theta_z\) huendelea kupitia matrisi \(A_{11}\) inayobeba transmission zero. Kwa hiyo, tatizo zima la uwezekano wa kutatuliwa kwa quasi-regulator hupunguzwa kuwa swali la kama suluhisho fulani la integral linalobadilika kwa wakati katika sehemu ya zero-dynamics lina mipaka au la.

Matokeo hubadilikaje ikiwa feedforward ipo?

Katika hali ya \(D\neq0\), kwa kuwa ingizo la udhibiti lipo moja kwa moja katika mlinganyo wa pato:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

linaweza kutatuliwa kialjebra.

Kwa hiyo, masharti ya ziada ya ulaini na unitary-relative-degree yanayohitajika katika hali ya \(D=0\) hayahitajiki hapa.

Kulingana na Theorem 3, chini ya \(D\neq0\) na Assumption 1, milinganyo ya quasi-regulator inaweza kutatuliwa kwa \(P,Q\) zozote ikiwa na tu ikiwa mifumo miwili ni non-smooth non-resonant.

Kwa nini mifumo ya minimum-phase ni muhimu?

Proposition 2 katika utafiti inatoa matokeo yafuatayo ya kutosha:

Ikiwa mfumo wa mstari unaodhibitiwa ni minimum phase, chini ya Assumption 1 sharti la non-smooth non-resonance hutimizwa.

Katika hali ya minimum-phase, transmission zero ziko katika nusu-uwanda wa kushoto ulio wazi na hivyo \(A_z\) huwa Hurwitz. Kwa kutumia kupungua kwa eksponensheli:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

boundedness ya kipengele cha integral katika Definition 1 huonyeshwa.

Je, minimum phase ni lazima?

Utafiti hauwasilishi sharti la minimum-phase kama la lazima. Proposition 2 huanzisha tu:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

.

Kwa hiyo, haiwezi kuhitimishwa kutokana na utafiti huu kwamba mfumo wa non-minimum-phase hauwezi kutatuliwa katika hali zote.

Sharti jipya linahusianaje na non-resonance ya kawaida?

Katika tatizo la kawaida la LTI output regulation, exosystem ni:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

na hivyo:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

; hapo regulator equation hupunguzwa kuwa mlinganyo wa aljebra wa aina ya Sylvester.

Kiini cha sharti la kawaida la non-resonance ni:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

yaani transmission zero za mfumo zisipatane na eigenvalues za exosystem.

Utafiti unaonyesha kuwa sharti jipya la non-smooth non-resonance ni upanuzi wa wazo hili la kawaida kwa generator za ishara zisizo laini na zisizo za kipindi.

Tofauti muhimu katika Remark 2 ya chanzo ni kwamba sharti jipya la boundedness linaweza kuwa kali zaidi kuliko kutengana kwa eigenvalues katika hali ya kawaida. Kwa maneno mengine, kutokutana kwa spectra pekee hakuhakikishi moja kwa moja boundedness ya wakati wote katika Definition 1 kwa generator ya jumla ya non-smooth/non-periodic.

Je, suluhisho ni la kipekee?

Hapana. Remark 3 inaeleza wazi kuwa ukweli kwamba milinganyo ya quasi-regulator inaweza kutatuliwa haumaanishi kuwa suluhisho ni la kipekee.

Kwa mfano, katika hali ya minimum-phase ambapo \(A_{11}\) ni Hurwitz, suluhisho mbalimbali zinazoanza na thamani tofauti za:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

zinaweza bado kubaki na mipaka. Kwa hiyo, suluhisho tofauti za bounded piecewise-continuous za \(\Pi\) na \(\Delta\) zinaweza kutimiza sharti lile lile la uwezekano wa kutatuliwa.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Milinganyo ya quasi-regulator ni sawia na mfumo wa DAE chini ya ubadilishaji unaofaa.
• Katika hali ya \(D=0\), mwendelezo wa ndani wa Lipschitz wa \(Q\Lambda\) ni sharti la lazima kwa uwezekano wa kutatuliwa.
• Katika mienendo ya pato isiyo laini, daraja la jamaa la mfumo huathiri uwezekano wa kutatuliwa kwa quasi-regulator.
• Chini ya \(D=0\), sharti la lazima la daraja la jamaa ni \(r\le j^*+1\).
• Chini ya \(D=0\), dhana husika za ulaini na \(r=1\), sharti la non-smooth non-resonance ni tabia ya lazima na ya kutosha ya uwezekano wa kutatuliwa kwa \(P,Q\) zozote.
• Katika hali ya \(D\neq0\), matokeo hayo hayo ya lazima-na-ya-kutosha hupatikana bila sharti la ziada la \(r=1\).
• Kuwa minimum-phase ni sharti la kutosha kwa non-smooth non-resonance mpya.
• Suluhisho za quasi-regulator katika hali ya non-smooth non-periodic si lazima ziwe za kipekee.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono au haujayajaribu

• Utafiti hauonyeshi ongezeko la utendaji wa majaribio kwenye plant fulani ya kimwili.
• Haulinganishi ubora wa nambari wa algoriti ya udhibiti kwa upande wa kosa, muda wa kutulia au matumizi ya nishati.
• Matokeo hayajatolewa kwa mifumo yote nonlinear; tatizo la msingi limeundwa kwa darasa la mifumo ya SISO LTI.
• Uwezekano wa kutatuliwa kwa milinganyo ya quasi-regulator hauwasilishwi peke yake kama sharti la lazima la miundo yote inayowezekana ya NNOR.
• Sharti \(r\le j^*+1\) katika hali ya \(D=0\) halitoshi peke yake.
• Kuwa minimum-phase hakujaonyeshwa kuwa sharti la lazima kwa uwezekano wa kutatuliwa.
• Chaguo la impulsive control kwa kufuatilia pato discontinuous bila feedforward halijachanganuliwa.
• Chanzo hakitoi uthibitisho wa matumizi katika mzunguko halisi wa PWM, roboti, kigeuzi cha nguvu au mfumo wa viwandani.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Utafiti si wa majaribio, bali unategemea teorema

Katika kazi hii hakuna kikundi cha majaribio, seti ya data, sensa, ukubwa wa sampuli au jaribio la nadharia ya takwimu kwa maana ya kawaida. Mbinu ya utafiti inategemea nadharia ya kihisabati ya udhibiti.

Muundo wa uthibitisho hutumia hasa zana zifuatazo:

• kubadilisha milinganyo ya integral ya quasi-regulator kuwa umbo la DAE,
• ulaini wa kazi na sifa za local Lipschitz,
• uchanganuzi wa daraja la jamaa,
• kazi saidizi \(V_j\) zilizoelezwa kwa integrals zinazorudiwa,
• ubadilishaji wa mstari wa kuratibu,
• muundo wa zero-dynamics na transmission-zero,
• bidhaa ya Kronecker,
• uchanganuzi wa boundedness wa matrisi ya mpito wa hali/suluhisho la integral,
• sifa za Hurwitz na minimum-phase.

Assumption 1

Kwa exogenous signal generator, \(\Lambda(t,t_0)\) hudhaniwa kuwa:

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

na kwamba:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ni uniform bounded kwa \(t\ge\tau\ge t_0\) zote.

Assumption 2

Katika hali ya \(D=0\):

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

lazima iwe piecewise differentiable na:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

ibaki na mipaka katika vipindi husika vya muda vilivyo laini.

Assumption 3

Kwa matokeo makuu ya lazima-na-ya-kutosha ya Theorem 2, mfumo unachukuliwa kuwa na:

\[ r=1 \]

yaani sifa ya unitary relative degree.

Muhtasari wa matokeo makuu ya kihisabati katika utafiti

Tofauti kuu kati ya \(D=0\) na \(D\neq0\)

Tofauti kati ya mbinu ya kawaida na mpya ya non-resonance

Kwa nini matokeo ni muhimu hasa kwa udhibiti wa kinadharia?

Kabla ya kubuni kidhibiti, ni lazima kujua ikiwa njia bora za hali na ingizo zinazofuta kosa zipo kihisabati. Ikiwa milinganyo ya quasi-regulator haiwezi kutatuliwa, muundo wa udhibiti wa NNOR unaotegemea milinganyo hiyo hupoteza sehemu muhimu ya msingi tangu mwanzo.

Kwa hivyo kazi hii inajibu swali la msingi zaidi kuliko “kidhibiti kipi ni bora?”:

Kuwepo kwa njia za hali na ingizo zinazofuta kosa chini ya rejea/usumbufu usio laini na usio wa kipindi kunategemea sifa zipi za mfumo na ishara?

Jibu la chanzo ni kwamba muundo wa feedforward, ulaini wa ishara, daraja la jamaa la mfumo, transmission zero na sharti jipya la non-smooth non-resonance lazima zitathminiwe pamoja.

Mapungufu ya utafiti

• Darasa la msingi la mfumo ni mfumo wa SISO LTI.
• Matokeo yako ndani ya Assumption 1–3 zilizofafanuliwa.
• Hakuna mfano wa kimwili au wa nambari wa matumizi unaotolewa.
• Kwa \(D=0\), matokeo ya jumla ya lazima-na-ya-kutosha yanalenga hasa hali ya unitary relative degree.
• Kwa madaraja ya jamaa ya juu zaidi, Proposition 1 hutoa sharti la lazima lakini haitoi tabia kamili ya jumla ya uwezekano wa kutatuliwa.
• Impulsive control kwa kufuatilia pato halisi discontinuous bila feedforward haijachunguzwa.
• Upekee wa suluhisho la quasi-regulator haujahakikishwa.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Waandishi: Zirui Niu, Daniele Astolfi na Giordano Scarciotti.

Mpangilio wa waandishi: Mpangilio katika toleo la chanzo umehifadhiwa kama ulivyo.

Mwandishi wa kwanza wa pamoja/mchango sawa: Hakuna tamko la mchango sawa katika toleo lililochunguzwa.

Mwandishi wa mawasiliano: Kwa kuwa chanzo hakina alama tofauti ya corresponding-author, hakuna mwandishi maalum aliyeteuliwa kama mwandishi wa mawasiliano.

Taasisi: Zirui Niu na Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Maelezo ya mawasiliano yaliyotolewa katika chanzo: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Jukwaa: arXiv.

Kitambulisho cha arXiv: 2605.28665.

Toleo lililochunguzwa: arXiv:2605.28665v1.

Tarehe ya kuwasilisha: 27 Mei 2026.

Kategoria: Systems and Control (eess.SY); pia imehusishwa na eneo la Optimization and Control (math.OC) katika rekodi ya arXiv.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Rekodi rasmi:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Hali ya uchapishaji/uhakiki: Hati iliyochunguzwa ni toleo la arXiv preprint. Rekodi ya sasa ya metadata ya arXiv inaeleza kazi kama “7 pages, accepted by MTNS 2026”. Kwa kuwa vyanzo vilivyofikiwa havijaandika tofauti utaratibu wa uhakiki wa mkutano, katika maandishi haya ya Verianla hali imetolewa kama “arXiv preprint; imekubaliwa MTNS 2026” na haijawasilishwa kana kwamba kuna uchapishaji wa mwisho wa proceedings uliopitiwa na wahakiki.

Bibliografia ya mwisho ya proceedings: Kwa kuwa juzuu, kurasa, proceedings DOI au kumbukumbu ya mwisho ya bibliografia ya MTNS 2026 haikuthibitishwa katika chanzo kilichochunguzwa na uhakiki wa bibliografia, haijaongezwa.

Leseni: Leseni ya matumizi tena katika rekodi ya arXiv haijatafsiriwa kama leseni ya jumla ya uchapishaji ya Creative Commons.

Ufadhili: Hakuna tamko tofauti la ufadhili lililotambuliwa katika kazi iliyochunguzwa.

Mgongano wa maslahi: Hakuna tamko tofauti la competing-interests lililotambuliwa katika kazi iliyochunguzwa.

Data/msimbo: Kazi ni ya kinadharia; hakuna tamko tofauti la seti ya data ya majaribio au hifadhi ya msimbo.

CRediT/michango ya waandishi: Hakuna CRediT authorship statement tofauti katika toleo lililochunguzwa.

Aina ya utafiti: Uchanganuzi wa kinadharia/kihisabati wa nadharia ya udhibiti. Hakuna jaribio, kipimo cha shambani au jaribio la utendaji wa benchmark wa nambari.

Zana kuu za kihisabati: Milinganyo ya integral ya Quasi-regulator, ubadilishaji wa differential-algebraic equation, uchanganuzi wa relative-degree, piecewise differentiability, kazi saidizi za repeated-integral, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, sifa za Hurwitz/minimum-phase na uchanganuzi wa boundedness.

Masharti makuu ya lazima: Katika hali ya \(D=0\), mwendelezo wa local Lipschitz wa \(Q\Lambda\) na, chini ya ulaini unaofaa, \(r\le j^*+1\).

Matokeo makuu ya lazima-na-ya-kutosha: Chini ya \(D=0\), Assumption 1–3 na \(r=1\); na pia chini ya \(D\neq0\), Assumption 1, uwezekano wa kutatuliwa kwa milinganyo ya quasi-regulator kwa \(P,Q\) zozote ni sawia na sharti la non-smooth non-resonance.

Hali maalum ya kutosha: Mfumo kuwa minimum-phase ni wa kutosha kwa sharti la non-smooth non-resonance kutimizwa; haijaonyeshwa kuwa ni lazima.

Upekee wa suluhisho: Chanzo kinaeleza wazi kuwa katika hali ya non-smooth non-periodic, suluhisho za bounded quasi-regulator kwa ujumla si lazima ziwe za kipekee.

Kikomo cha upeo wa kisayansi: Matokeo ni teorema za uwezekano wa kutatuliwa kwa darasa la mfumo wa kihisabati na dhana zilizofafanuliwa katika chanzo. Si matokeo ya utendaji wa mfumo wa kimwili, faida ya nambari ya udhibiti, ukingo wa uthabiti au usahihi wa majaribio.

Msingi wa maudhui: Maelezo haya ya Verianla yanategemea ufafanuzi wa tatizo wa utafiti, milinganyo ya quasi-regulator, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, mtiririko wa uthibitisho wa kihisabati na sehemu ya hitimisho. Hakuna matokeo mapya ya kisayansi yaliyoongezwa kutoka vyanzo vya nje isipokuwa uthibitishaji wa utambulisho wa bibliografia/hali ya uchapishaji.