Klassik çıxış tənzimlənməsi nəzəriyyəsində nəzarətçinin məqsədi dinamik sistemin çıxışını istənilən istinad siqnalına yaxınlaşdırarkən xarici pozuntuların təsirini aradan qaldırmaqdır. Klassik nəzəriyyənin mühüm hissəsi istinad və pozuntu siqnallarının hamar diferensial tənliklər yaradan bir exosystem tərəfindən formalaşdırıldığını fərz edir. Lakin real tətbiqlərdə mişarvari, üçbucaq dalğa, açılıb-sönən və ya pulse-width-modulation (PWM) tipli hamar olmayan və bəzən periodik olmayan siqnallar da mövcud ola bilər. Bu tədqiqat məhz bu daha ümumi vəziyyətin riyazi həllolunma probleminə fokuslanır.

Tədqiqatçıların əvvəlki NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — çərçivəsində istifadə etdikləri quasi-regulator tənlikləri inteqral terminlər ehtiva etdiyinə görə onların həllolunma analizi klassik regulator tənliklərindəki qədər birbaşa deyil. Yeni iş əvvəlcə bu inteqral tənlikləri ekvivalent diferensial-cəbri tənlik (DAE) sisteminə çevirir, sonra isə feedforward termini \(D\)-nin olub-olmamasına görə problemi iki hissəyə ayırır.

Feedforward yolunun olmadığı \(D=0\) halında ilk mühüm nəticə ondan ibarətdir ki, tənzimlənəcək \(Q\Lambda(t,t_0)\) siqnalı kifayət qədər hamarlığa malik olmalıdır. Tədqiqat quasi-regulator tənliklərinin həll oluna bilməsi üçün ən azı bu funksiyanın lokal Lipschitz fasiləsizliyinin zəruri olduğunu göstərir. Deməli, birbaşa feedforward təsiri olmadıqda çıxışda həqiqi sıçrayış yaradan istinad siqnalını sonlu və klassik idarəetmə girişi ilə ani şəkildə ləğv etmək ümumilikdə mümkün deyil.

İkinci əsas nəticə ondan ibarətdir ki, sistemin nisbi dərəcəsi hamar olmayan çıxış tənzimlənməsində klassik haldan fərqli olaraq həllolunmaya birbaşa təsir edir. Tədqiqatçılar köməkçi \(V_j(t)\) funksiyalarının hamarlıq dərəcəsindən istifadə edərək \(D=0\) halında nisbi dərəcə \(r\)-nin müəyyən yuxarı sərhədə uyğun olmalı olduğunu göstərirlər. Ümumi zəruri şərt:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

şəklində verilir.

Tədqiqatın əsas teoremlərindən biri göstərir ki, \(D=0\), göstərilən hamarlıq fərziyyələri və vahid nisbi dərəcə \(r=1\) altında quasi-regulator tənliklərinin istənilən \(P\) və \(Q\) üçün həll oluna bilməsi tədqiqatçıların müəyyən etdiyi non-smooth non-resonance condition ilə ekvivalentdir. Feedforward yolunun mövcud olduğu \(D\neq0\) halında isə eyni zəruri-kafi non-resonance nəticəsi nisbi dərəcə və əlavə hamarlıq fərziyyələrinə ehtiyac olmadan əldə edilir.

Tədqiqatçılar həmçinin idarə olunan xətti sistem minimum phase olduqda yeni non-smooth non-resonance şərtinin ödəndiyini göstərirlər. Lakin bu minimum-phase nəticəsi kafi şərtdir; yeni non-resonance şərtinin tərifi ilə eyni şey deyil.

Türkiyə baxımından bu iş, xüsusilə güc elektronikası, robototexnika, açılıb-sönən sistemlər və sənaye idarəetməsi kimi hamar olmayan istinad və ya pozuntu siqnallarının yarana bildiyi sahələrdə fundamental idarəetmə nəzəriyyəsi baxımından əhəmiyyətlidir. Lakin mənbə hər hansı Türkiyə sistemi, real idarəetmə avadanlığı və ya performans testi üzərində tətbiq təqdim etmir. Buna görə işin dəyəri bir sahə idarəetmə alqoritminin performansını birbaşa göstərməkdən daha çox, belə bir idarəetmə probleminin riyazi olaraq hansı şərtlərdə həll oluna biləcəyini izah edən nəzəri bazanı inkişaf etdirməsidir.

Çıxış tənzimlənməsi problemi nədir?

Çıxış tənzimlənməsi dinamik sistemin çıxışını istənilən istinad trayektoriyasına yaxınlaşdırarkən xarici pozuntuları basdıracaq nəzarətçi layihələndirmə problemidir. Tədqiqatda nəzərdən keçirilən tək girişli–tək çıxışlı (SISO) xətti zamanla dəyişməyən sistem:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

şəklindədir.

Burada \(x(t)\) sistem vəziyyəti, \(u(t)\) idarəetmə girişi, \(e(t)\) tənzimləmə xətası və:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

istinad və pozuntu siqnallarını ehtiva edən exogenous signal vektorudur.

Klassik nəzəriyyədən əsas fərq nədir?

Klassik xətti çıxış tənzimlənməsində exogenous siqnal çox vaxt:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

kimi hamar dinamik sistemdən əldə edilir. Bu tədqiqatın nəzərdən keçirdiyi daha ümumi quruluşda isə:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

formasındakı açıq generator istifadə olunur.

\(\Lambda(t,t_0)\)-nun standart semigroup xassəsini ödəməsi də məcburi deyil. Bu genişləndirmə hamar olmayan və periodik olması tələb edilməyən siqnal siniflərini əhatə etməyə imkan verir.

NNOR problemi hansı iki məqsədi tələb edir?

Tədqiqatda non-smooth non-periodic output regulation problemi iki şərtlə ifadə olunur:

• SF — Stabilization condition: Exogenous siqnal sıfır olduqda qapalı dövrə sisteminin başlanğıc nöqtəsi eksponensial sabit olmalıdır.
• RF — Regulation condition: Exosystem sistemə qoşulduqda tənzimləmə xətası zamanla sıfıra getməlidir: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Quasi-regulator tənlikləri niyə lazımdır?

Klassik output-regulation nəzəriyyəsində regulator tənlikləri sıfır sabit-hal xətası yaradan vəziyyət və idarəetmə trayektoriyalarını xarakterizə edir. Lakin hamar olmayan və periodik olmayan ümumi siqnal sinfində klassik mənadakı steady state həmişə yaxşı müəyyən edilmir.

Buna görə tədqiqatçılar əvvəlki işlərində:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

şəklində xəta-sıfırlayan gözlənilən trayektoriyaları müəyyən edən quasi-regulator equations istifadə etmişlər.

Tədqiqatın mühüm konseptual sərhədi budur: quasi-regulator tənliklərinin həlli NNOR problemini həll etmək üçün kafi quruluşdur; ümumi NNOR problemində klassik regulator tənliklərində olduğu kimi zəruri xarakterizasiya olduğu iddia edilmir.

Quasi-regulator tənliklərinin inteqral forması

Tədqiqatdakı tənlik sistemi:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

və:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

şəklindədir; burada:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Problem bütün \(t\ge t_0\) üçün bu tənlikləri ödəyən məhdud, hissə-hissə fasiləsiz \(\Pi(t)\) və \(\Delta(t)\) funksiyalarının tapılıb-tapıla bilməməsidir.

Niyə tənliklər DAE formasına çevrilir?

İnteqral formadakı tənliklərin birbaşa həllolunma analizi çətindir. Tədqiqatın Lemma 1 nəticəsi \(\Lambda\)-nın tərsinin mövcudluğu altında quasi-regulator tənliklərinin aşağıdakı DAE sistemi ilə ekvivalent olduğunu göstərir:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

Çevrilmə:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

ilə aparılır.

Bu ekvivalentlik işin qalan bütün həllolunma analizinin başlanğıc nöqtəsidir.

Feedforward termini niyə bu qədər vacibdir?

Çıxış:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

olduğuna görə \(D\neq0\) olduqda idarəetmə girişi \(u\) tənzimləmə xətasına birbaşa təsir edə bilər. \(D=0\) halında isə giriş əvvəlcə vəziyyət dinamikasından keçməlidir.

Bu fərq hamar olmayan siqnallarda kritik olur. İstinad və ya pozuntu çıxışda ani sıçrayış yaradırsa, fasiləsiz sistem vəziyyəti \(Cx\) eyni anda əks istiqamətdə sıçraya bilməz. Birbaşa feedforward yolu \(Du\) mövcud olduqda idarəetmə girişi bu ani komponenti birbaşa kompensasiya edə bilər.

Theorem 1 nə deyir?

Tədqiqatın ilk əsas zəruri şərti belədir:

\(D=0\) olduqda quasi-regulator tənliklərinin həll oluna bilməsi üçün \(Q\Lambda(t,t_0)\) funksiyası bütün zamanlarda lokal Lipschitz fasiləsiz olmalıdır.

Bunun mühüm nəticəsi odur ki, \(D=0\) olduqda \(Q\Lambda\)-da həqiqi kəsilmə varsa, məhdud \(\Delta(t)\) istifadə etməklə quasi-regulator tənliklərini həll etmək mümkün deyil.

Mənbə bunu fiziki olaraq belə şərh edir: fasiləsiz \(Cx\) siqnalı birbaşa feedforward yardımı olmadan kəsilən \(Q\omega\) siqnalının sıçrayışını ani şəkildə ləğv edə bilməz.

Tədqiqatçılar impulsive control istifadəsinin bu vəziyyəti dəyişə biləcəyini qeyd edir, lakin bunu gələcək işə saxlayırlar.

Assumption 2 hansı hamarlığı tələb edir?

\(D=0\) üçün tədqiqat bundan sonra \(Q\Lambda(t,t_0)\)-nun piecewise differentiable olmasını və:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifadəsinin müvafiq hamar zaman intervallarında məhdud qalmasını fərz edir.

Piecewise differentiability burada siqnalın fasiləsiz olduğu, lakin müəyyən nöqtələrdə sol və sağ törəmələrinin fərqli ola bildiyi quruluşu əhatə edir. Üçbucaq dalğalar bu cür hamar olmayan davranışın əsas nümunələrindən biridir.

Bu fərziyyə bütün \(\omega(t)\)-nın fasiləsiz olmasını tələb edirmi?

Xeyr. Tədqiqat bunu xüsusi olaraq ayırır. \(Q\Lambda\)-nın zəruri hamarlığa malik olması \(\Lambda\)-nın və ya \(\omega\)-nın bütün komponentlərinin fasiləsiz olması demək deyil.

Exogenous siqnaldakı sıçrayış \(Q\)-nun nüvəsində qalırsa, bu sıçrayış birbaşa tənzimləmə çıxışına əks olunmaya bilər. Buna görə \(P\omega\) vasitəsilə sistem vəziyyətinə təsir edən bəzi kəsilən komponentlər nəzəriyyə tərəfindən tamamilə istisna edilmir.

Nisbi dərəcə niyə klassik nəzəriyyədən fərqli olaraq ön plana çıxır?

SISO sistemində nisbi dərəcə \(r\), idarəetmə girişinin çıxışda ilk dəfə göründüyü törəmə səviyyəsini ifadə edir. Mənbə bunu:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

şərtini ödəyən ən kiçik müsbət \(r\le n\) kimi müəyyən edir.

Klassik hamar LTI output regulation problemində nisbi dərəcə regulator tənliklərinin həllolunma şərtinin mərkəzində deyil. Bu tədqiqatda isə hamar olmayan siqnallar olduqda nisbi dərəcə idarəetmə girişinin çıxışın nə qədər aşağı hamarlıq səviyyəsindəki davranışını yarada biləcəyini müəyyən edir.

Başqa sözlə, idarəetmə girişinin çıxışa təsir etməsi üçün çox sayda dinamik törəmə mərhələsindən keçməsi tələb olunursa, sonlu idarəetmə girişinin kifayət qədər kəskin exogenous çıxış komponentini ləğv etməsi mümkün olmaya bilər.

\(V_j(t)\) köməkçi funksiyaları niyə müəyyən edilir?

Hamar olmayan \(\Lambda\) səbəbindən tədqiqatçılar tənlikləri istənilən qədər birbaşa diferensiallaşdıra bilmirlər. Bunun əvəzinə təkrar inteqrasiyanı ehtiva edən:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

funksiyalarını müəyyən edirlər.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) kimi götürülür və hər \(V_j\)-nin hamarlıq dərəcəsi \(c_j\) ilə göstərilir.

Bu köməkçi quruluş siqnalın hamarlıq miqdarı ilə sistemin nisbi dərəcəsini eyni riyazi çərçivədə müqayisə etməyə imkan verir.

Lemma 2-nin əsas mesajı nədir?

\(j^*=c_n

• \(j\le j^*\) üçün \(V_j\) ən azı \(j\) dəfə diferensiallana bilir;
• \(j>j^*\) olduqda bütün sonrakı \(V_j\) funksiyalarının hamarlıq dərəcəsi \(j^*\)-da qalır.

Beləliklə hamarlığın hansı törəmə səviyyəsində “tükəndiyi” riyazi olaraq müəyyən edilir.

Nisbi dərəcə üçün zəruri şərt nədir?

Proposition 1, \(D=0\) və Assumption 1–2 altında quasi-regulator tənlikləri həll oluna bilirsə:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

olmalı olduğunu göstərir.

Burada:

\[ j^*=c_n \]

köməkçi \(V_n\) funksiyasının hamarlıq dərəcəsidir.

Bu zəruri şərtdir; tədqiqat \(r\le j^*+1\) bərabərsizliyinin təkbaşına hər halda kafi olmadığını açıq şəkildə bildirir.

Niyə tədqiqat daha sonra \(r=1\)-ə fokuslanır?

Tədqiqatçılar xüsusilə üçbucaq və ya kvadrat dalğa kimi hamar olmayan siqnalların hədəfləndiyi halda \(c_n\ge1\) olmasının daha az tipik olduğunu qeyd edirlər. Buna görə geniş hamar olmayan siqnal sinfi üçün həllolunmanı təmin edəcək əsas hal kimi:

\[ r=1 \]

yəni unitary relative degree fərziyyəsinə fokuslanılır.

Bu halda:

\[ CB\neq0 \]

olur və giriş çıxışa ilk törəmə səviyyəsində təsir etməyə başlayır.

Non-smooth non-resonance condition nədir?

Tədqiqatın əsas konseptual töhfəsi Definition 1-də müəyyən edilən yeni rezonanssızlıq şərtidir. Sistemlər müəyyən \(\Omega(t_0)\) başlanğıc qiyməti üçün:

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

funksiyası bütün \(t\ge t_0\) üçün məhdud qalırsa non-resonant kimi müəyyən edilir.

\(A_z\)-nin özqiymətləri idarə olunan sistemin transmission zero-ları ilə eynidir.

Beləliklə yeni meyar yalnız klassik exosystem özqiymətləri ilə transmission zero-ları müqayisə etmək əvəzinə, hamar olmayan və ümumi zamandan asılı \(\Lambda\) dinamikasının sıfır dinamikası ilə qarşılıqlı təsirini zaman oblastında boundedness problemi kimi ifadə edir.

Theorem 2-nin zəruri və kafi nəticəsi nədir?

\(D=0\), Assumption 1 və 2 ilə:

\[ r=1 \]

fərziyyəsi altında tədqiqat aşağıdakı ekvivalentliyi əldə edir:

Quasi-regulator tənlikləri istənilən \(P\) və \(Q\) üçün həll oluna bilər ⇔ idarə olunan sistem ilə exogenous-signal generator non-smooth non-resonant-dır.

Bu tədqiqat daxilində əsas zəruri-kafi həllolunma nəticəsidir.

Theorem 2-nin sübutunda sistem necə ayrılır?

\(r=1\) halında:

\[ b=CB\neq0 \]

olduğuna görə tədqiqatçılar \(T\) xətti çevrilməsi ilə sistemi zero-dynamics və output komponentlərinə ayırırlar:

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

DAE-nin cəbri hissəsi birbaşa:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

nəticəsini verir.

Qalan \(\Theta_z\) dinamikası isə transmission zero-ları daşıyan \(A_{11}\) matrisi üzərindən inkişaf edir. Beləliklə bütün quasi-regulator həllolunma problemi zero-dynamics komponentində müəyyən zamanla dəyişən inteqral həllin məhdud olub-olmaması probleminə endirilir.

Feedforward varsa nəticə necə dəyişir?

\(D\neq0\) halında idarəetmə girişi çıxış tənliyində birbaşa yer aldığından:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

kimi cəbri formada həll edilə bilər.

Buna görə \(D=0\) halındakı əlavə hamarlıq və unitary-relative-degree şərtləri lazım deyil.

Theorem 3-ə görə \(D\neq0\) və Assumption 1 altında quasi-regulator tənlikləri istənilən \(P,Q\) üçün həll oluna bilər o halda və yalnız o halda ki, iki sistem non-smooth non-resonant olsun.

Minimum-phase sistemlər niyə vacibdir?

Tədqiqatdakı Proposition 2 aşağıdakı kafi nəticəni verir:

İdarə olunan xətti sistem minimum phase olduqda, Assumption 1 altında non-smooth non-resonance şərti ödənir.

Minimum-phase halında transmission zero-lar açıq sol yarımmüstəvidədir və beləliklə \(A_z\) Hurwitz olur. Bununla:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

şəklindəki eksponensial azalmadan istifadə olunaraq Definition 1-dəki inteqral terminin məhdudluğu göstərilir.

Minimum phase zəruridirmi?

Tədqiqat minimum-phase şərtini zəruri kimi təqdim etmir. Proposition 2 yalnız:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

nəticəsini qurur.

Deməli non-minimum-phase sistemin bütün hallarda həll oluna bilmədiyi nəticəsi bu tədqiqatdan çıxarıla bilməz.

Yeni şərt klassik non-resonance ilə necə əlaqəlidir?

Klassik LTI output regulation problemində exosystem:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

və nəticə etibarilə:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

olduqda regulator equation Sylvester tipli cəbri tənliyə endirilir.

Klassik non-resonance şərtinin mahiyyəti:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

yəni sistemin transmission zero-ları ilə exosystem özqiymətlərinin üst-üstə düşməməsidir.

Tədqiqat yeni non-smooth non-resonance şərtinin bu klassik ideyanın hamar olmayan və periodik olmayan siqnal generatorlarına genişləndirilmiş forması olduğunu göstərir.

Mənbənin Remark 2-sindəki mühüm fərq ondan ibarətdir ki, yeni boundedness şərti klassik özqiymət ayrılığından daha güclü ola bilər. Başqa sözlə, yalnız spektrlərin kəsişməməsi ümumi non-smooth/non-periodic generator üçün Definition 1-dəki bütün zaman üzrə məhdudluğu avtomatik təmin etmir.

Həllər yeganədirmi?

Xeyr. Remark 3 quasi-regulator tənliklərinin həll oluna bilməsinin həllin yeganə olması demək olmadığını açıq şəkildə bildirir.

Məsələn minimum-phase halda \(A_{11}\) Hurwitz olduqda müxtəlif:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

başlanğıc qiymətləri ilə başlayan müxtəlif həllər yenə də məhdud qala bilər. Beləliklə müxtəlif bounded piecewise-continuous \(\Pi\) və \(\Delta\) həlləri eyni həllolunma şərtini ödəyə bilər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Quasi-regulator tənlikləri uyğun çevrilmə altında DAE sistemi ilə ekvivalentdir.
• \(D=0\) halında \(Q\Lambda\)-nın lokal Lipschitz fasiləsizliyi həllolunma üçün zəruri şərtdir.
• Hamar olmayan çıxış dinamikasında sistemin nisbi dərəcəsi quasi-regulator həllolunmasına təsir edir.
• \(D=0\) altında zəruri nisbi dərəcə şərti \(r\le j^*+1\)-dir.
• \(D=0\), müvafiq hamarlıq fərziyyələri və \(r=1\) altında non-smooth non-resonance şərti istənilən \(P,Q\) üçün həllolunmanın zəruri və kafi xarakterizasiyasıdır.
• \(D\neq0\) halında eyni zəruri-kafi nəticə əlavə \(r=1\) şərti olmadan əldə edilir.
• Minimum-phase olmaq yeni non-smooth non-resonance şərti üçün kafidir.
• Quasi-regulator həllərinin non-smooth non-periodic halda yeganə olması tələb olunmur.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi və ya sınaqdan keçirmədiyi nəticələr

• Tədqiqat müəyyən fiziki plant üzərində eksperimental performans artımı göstərmir.
• İdarəetmə alqoritminin xəta, yerləşmə vaxtı və ya enerji sərfi baxımından sayısal üstünlüyünü müqayisə etmir.
• Nəticələr bütün nonlinear sistemlər üçün verilməyib; əsas problem SISO LTI sistem sinfi üçün qurulub.
• Quasi-regulator tənliklərinin həllolunması təkbaşına bütün mümkün NNOR dizaynlarının zəruri şərti kimi təqdim edilmir.
• \(D=0\) halındakı \(r\le j^*+1\) şərti təkbaşına kafi deyil.
• Minimum-phase olmaq həllolunma üçün zəruri şərt kimi göstərilməyib.
• Discontinuous çıxışı feedforward olmadan izləmək üçün impulsive control seçimi analiz edilməyib.
• Mənbə real PWM dövrəsi, robot, güc çeviricisi və ya sənaye sistemi üzərində tətbiq təsdiqi təqdim etmir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tədqiqat eksperimental deyil, teorem əsaslıdır

Bu işdə klassik mənada eksperiment qrupu, data set, sensor, nümunə ölçüsü və ya statistik hipotez testi yoxdur. Tədqiqat metodu riyazi idarəetmə nəzəriyyəsinə əsaslanır.

Sübut quruluşu əsasən aşağıdakı vasitələrdən istifadə edir:

• inteqral quasi-regulator tənliklərinin DAE formasına çevrilməsi,
• funksiya hamarlığı və local Lipschitz xassələri,
• nisbi dərəcə analizi,
• təkrarlanan inteqrallarla müəyyən edilən köməkçi \(V_j\) funksiyaları,
• xətti koordinat çevrilməsi,
• zero-dynamics və transmission-zero quruluşu,
• Kronecker hasili,
• vəziyyət keçid matrisi/inteqral həllinin məhdudluq analizi,
• Hurwitz və minimum-phase xassələri.

Assumption 1

Exogenous signal generator üçün \(\Lambda(t,t_0)\)-nun:

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

olması və:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifadəsinin bütün \(t\ge\tau\ge t_0\) üçün uniform bounded olması qəbul edilir.

Assumption 2

\(D=0\) halında:

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

piecewise differentiable olmalı və:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

müvafiq hamar zaman aralıqlarında məhdud qalmalıdır.

Assumption 3

Theorem 2-nin əsas zəruri-kafi nəticəsi üçün sistem:

\[ r=1 \]

yəni unitary relative degree xassəsinə malik qəbul edilir.

Tədqiqatdakı əsas riyazi nəticələrin xülasəsi

\(D=0\) və \(D\neq0\) arasındakı əsas fərq

Klassik və yeni non-resonance yanaşmasının fərqi

Nəticə niyə xüsusilə nəzəri idarəetmə baxımından vacibdir?

Nəzarətçi layihələndirməzdən əvvəl ideal xəta-sıfırlayan trayektoriyaların riyazi olaraq mövcud olub-olmadığını bilmək lazımdır. Əgər quasi-regulator tənlikləri həll olunmursa, bu tənliklərə əsaslanan NNOR idarəetmə layihəsi başlanğıcdan etibarən zəruri quruluş elementini itirmiş olur.

Beləliklə bu iş “hansı nəzarətçi daha yaxşıdır?” sualından daha fundamental bir suala cavab verir:

Hamar olmayan və periodik olmayan istinad/pozuntu altında xəta-sıfırlayan vəziyyət və giriş trayektoriyalarının mövcudluğu hansı sistem və siqnal xüsusiyyətlərindən asılıdır?

Mənbənin cavabı budur ki, feedforward quruluşu, siqnal hamarlığı, sistemin nisbi dərəcəsi, transmission zero-ları və yeni non-smooth non-resonance şərti birlikdə qiymətləndirilməlidir.

Tədqiqatın məhdudiyyətləri

• Əsas sistem sinfi SISO LTI sistemdir.
• Nəticələr müəyyən edilmiş Assumption 1–3 çərçivəsindədir.
• Fiziki və ya sayısal tətbiq nümunəsi təqdim edilmir.
• \(D=0\) üçün ümumi zəruri-kafi nəticə xüsusilə unitary relative degree halına fokuslanır.
• Daha yüksək nisbi dərəcələr üçün Proposition 1 zəruri şərt versə də, tam ümumi həllolunma xarakterizasiyası təqdim edilmir.
• Feedforward olmadan həqiqi discontinuous çıxışları izləmək üçün impulsive control araşdırılmayıb.
• Quasi-regulator həllinin yeganəliyi təmin edilmir.

Mənbə və Metod Qeydi

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Müəlliflər: Zirui Niu, Daniele Astolfi və Giordano Scarciotti.

Müəllif sırası: Mənbə versiyasındakı sıra olduğu kimi qorunub.

Birgə birinci müəllif/bərabər töhfə: Araşdırılan versiyada bərabər töhfə bəyanatı yoxdur.

Məsul müəllif: Mənbədə ayrıca corresponding-author işarəsi olmadığından konkret müəllif məsul müəllif kimi təyin edilməyib.

Qurumlar: Zirui Niu və Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Mənbədə verilən əlaqə məlumatları: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Platforma: arXiv.

arXiv identifikatoru: 2605.28665.

Araşdırılan versiya: arXiv:2605.28665v1.

Göndərilmə tarixi: 27 May 2026.

Kateqoriyalar: Systems and Control (eess.SY); həmçinin arXiv qeydində Optimization and Control (math.OC) sahəsi ilə əlaqələndirilir.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Rəsmi qeyd:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Nəşr/rəyçilik statusu: Araşdırılan sənəd arXiv preprint versiyasıdır. Cari arXiv metadata qeydində iş “7 pages, accepted by MTNS 2026” kimi göstərilir. Əldə olunan mənbələr konfransın rəyçilik prosedurunu ayrıca sənədləşdirmədiyinə görə bu Verianla mətnində status “arXiv preprinti; MTNS 2026-ya qəbul edilib” kimi göstərilib və ayrıca rəyli yekun proceedings nəşri varmış kimi təqdim edilməyib.

Yekun proceedings biblioqrafiyası: Araşdırılan mənbə və aparılan biblioqrafik yoxlamada cild, səhifə, proceedings DOI-si və ya yekun MTNS 2026 biblioqrafik künyəsi təsdiqlənmədiyi üçün əlavə edilməyib.

Lisenziya: arXiv qeydindəki təkrar istifadə lisenziyası ümumi Creative Commons nəşr lisenziyası kimi şərh edilməyib.

Maliyyələşdirmə: Araşdırılan işdə ayrıca maliyyələşdirmə bəyanatı aşkarlanmayıb.

Maraqların toqquşması: Araşdırılan işdə ayrıca competing-interests bəyanatı aşkarlanmayıb.

Məlumat/kod: İş nəzəridir; ayrıca eksperimental data set və ya kod deposu bəyanatı yoxdur.

CRediT/müəllif töhfələri: Araşdırılan versiyada ayrıca CRediT authorship statement yoxdur.

Tədqiqat növü: Nəzəri/riyazi idarəetmə nəzəriyyəsi analizi. Eksperiment, sahə ölçümü və ya sayısal benchmark performans testi yoxdur.

Əsas riyazi vasitələr: Quasi-regulator inteqral tənlikləri, differential-algebraic equation çevrilməsi, relative-degree analizi, piecewise differentiability, repeated-integral köməkçi funksiyalar, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, Hurwitz/minimum-phase xassələri və boundedness analizi.

Əsas zəruri şərtlər: \(D=0\) halında \(Q\Lambda\)-nın local Lipschitz fasiləsizliyi və uyğun hamarlıq altında \(r\le j^*+1\).

Əsas zəruri-kafi nəticə: \(D=0\), Assumption 1–3 və \(r=1\) altında; həmçinin \(D\neq0\), Assumption 1 altında quasi-regulator tənliklərinin istənilən \(P,Q\) üçün həllolunması non-smooth non-resonance şərtinə ekvivalentdir.

Kafi xüsusi hal: Minimum-phase sistem olmaq non-smooth non-resonance şərtinin ödənməsi üçün kafidir; zəruri olduğu göstərilməyib.

Həllin yeganəliyi: Mənbə non-smooth non-periodic halda bounded quasi-regulator həllərinin ümumiyyətlə yeganə olmaq məcburiyyətində olmadığını açıq şəkildə bildirir.

Elmi əhatə sərhədi: Nəticələr mənbədə müəyyən edilmiş riyazi sistem sinfi və fərziyyələr üçün həllolunma teoremləridir. Fiziki sistem performansı, sayısal idarəetmə qazancı, sabitlik marjası və ya eksperimental dəqiqlik nəticəsi deyil.

Məzmun bazası: Bu Verianla izahı tədqiqatın problem tərifi, quasi-regulator tənlikləri, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, riyazi sübut axını və nəticə bölməsinə əsaslanır. Biblioqrafik kimlik/nəşr statusunun yoxlanması xaricində kənar mənbələrdən yeni elmi nəticə əlavə edilməyib.