Классикалык чыгышты жөнгө салуу теориясында башкаргычтын максаты динамикалык системанын чыгышын каалаган эталондук сигналга жакындатуу менен бирге тышкы бузулууларды басаңдатуу болуп саналат. Классикалык теориянын маанилүү бөлүгү эталондук жана бузуу сигналдары жылма дифференциалдык теңдемелерди пайда кылган exosystem тарабынан түзүлөт деп болжолдойт. Бирок реалдуу колдонмолордо араа тиштүү, үч бурчтуу толкун, которулма же pulse-width-modulation (PWM) сыяктуу жылма эмес жана кээде мезгилдүү эмес сигналдар да кездешет. Бул изилдөө дал ушул кеңири жагдайдагы математикалык чечилүү маселесине багытталган.

Изилдөөчүлөр мурда NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — алкагында колдонгон quasi-regulator теңдемелери интегралдык мүчөлөрдү камтыгандыктан, алардын чечилүүсүн талдоо классикалык regulator теңдемелериндегидей түз эмес. Жаңы иш адегенде бул интегралдык теңдемелерди эквиваленттүү дифференциалдык-алгебралык теңдемелер (DAE) системасына айландырат жана андан кийин feedforward мүчөсү \(D\) бар же жок экенине жараша маселени экиге бөлөт.

Feedforward жолу жок \(D=0\) учурда биринчи маанилүү жыйынтык — жөнгө салынуучу \(Q\Lambda(t,t_0)\) сигналы жетиштүү жылма болушу керек. Изилдөө quasi-regulator теңдемелеринин чечилиши үчүн жок дегенде бул функциянын локалдык Lipschitz үзгүлтүксүздүгү зарыл экенин көрсөтөт. Демек, түз feedforward таасири жок кезде чыгышта чыныгы секирик жараткан эталондук сигналды чектелген жана классикалык башкаруу кириши менен заматта жокко чыгаруу жалпы учурда мүмкүн эмес.

Экинчи негизги жыйынтык — системанын салыштырма даражасы жылма эмес чыгышты жөнгө салууда классикалык учурдан айырмаланып чечилүүгө түздөн-түз таасир этет. Изилдөөчүлөр жардамчы \(V_j(t)\) функцияларынын жылмалуулук даражасын колдонуп, \(D=0\) учурда салыштырма даража \(r\) белгилүү бир жогорку чекке ылайык болушу керек экенин көрсөтүшөт. Жалпы зарыл шарт:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

түрүндө берилет.

Изилдөөнүн негизги теоремаларынын бири \(D=0\), көрсөтүлгөн жылмалуулук божомолдору жана бирдиктик салыштырма даража \(r=1\) шартында quasi-regulator теңдемелеринин каалаган \(P\) жана \(Q\) үчүн чечилиши изилдөөчүлөр аныктаган non-smooth non-resonance condition менен эквиваленттүү экенин көрсөтөт. Feedforward жолу бар \(D\neq0\) учурда болсо ошол эле зарыл-жетиштүү non-resonance жыйынтыгы салыштырма даража жана кошумча жылмалуулук божомолдору талап кылынбастан алынат.

Изилдөөчүлөр ошондой эле башкарылуучу сызыктуу система minimum phase болсо, жаңы non-smooth non-resonance шарты аткарыларын көрсөтүшөт. Бирок бул minimum-phase жыйынтыгы жетиштүү шарт; ал жаңы non-resonance шартынын аныктамасынын өзү эмес.

Түркия жагынан бул иш, айрыкча күч электроникасы, робототехника, которулма системалар жана өнөр жайлык башкаруу сыяктуу жылма эмес эталондук же бузуу сигналдары пайда болушу мүмкүн болгон тармактарда фундаменталдык башкаруу теориясы үчүн маанилүү. Бирок булак Түркиядагы кандайдыр бир система, реалдуу башкаруу жабдыгы же натыйжалуулук сыноосу боюнча колдонмо бербейт. Ошондуктан изилдөөнүн баалуулугу талаадагы башкаруу алгоритминин иштешин түз көрсөтүүдөн көрө, мындай башкаруу маселеси математикалык жактан кандай шарттарда чечиле аларын түшүндүргөн теориялык негизди өнүктүрүүдө.

Чыгышты жөнгө салуу маселеси деген эмне?

Чыгышты жөнгө салуу — динамикалык системанын чыгышын каалаган эталондук траекторияга жакындатуу менен тышкы бузулууларды басаңдатуучу башкаргычты долбоорлоо маселеси. Изилдөөдө каралган бир кириштүү–бир чыгыштуу (SISO) сызыктуу убакыт-инварианттуу система:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

түрүндө берилет.

Бул жерде \(x(t)\) системанын абалы, \(u(t)\) башкаруу кириши, \(e(t)\) жөнгө салуу катасы жана:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

эталондук жана бузуу сигналдарын камтыган exogenous signal вектору.

Классикалык теориядан негизги айырма эмнеде?

Классикалык сызыктуу чыгышты жөнгө салууда exogenous signal көбүнчө:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

сыяктуу жылма динамикалык системадан алынат. Бул изилдөө караган жалпы түзүлүштө болсо:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

түрүндөгү ачык generator колдонулат.

\(\Lambda(t,t_0)\) стандарттуу semigroup касиетин аткарышы да милдеттүү эмес. Бул кеңейтүү жылма эмес жана сөзсүз мезгилдүү болууга тийиш эмес сигнал класстарын камтууга мүмкүндүк берет.

NNOR маселеси кайсы эки максатты талап кылат?

Изилдөөдө non-smooth non-periodic output regulation маселеси эки шарт менен берилет:

• SF — Stabilization condition: Exogenous signal нөл болгондо жабык контур системасынын баштапкы чекити экспоненциалдык туруктуу болушу керек.
• RF — Regulation condition: Exosystem системага туташканда жөнгө салуу катасы убакыт өткөн сайын нөлгө умтулушу керек: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Quasi-regulator теңдемелери эмне үчүн керек?

Классикалык output-regulation теориясында regulator теңдемелери нөл туруктуу-абал катасын түзгөн абал жана башкаруу траекторияларын мүнөздөйт. Бирок жылма эмес жана мезгилдүү эмес жалпы сигнал классында классикалык маанидеги steady state дайыма жакшы аныкталбайт.

Ошондуктан изилдөөчүлөр мурдагы иштеринде:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

түрүндөгү катаны нөлгө келтирүүчү күтүлгөн траекторияларды аныктаган quasi-regulator equations колдонушкан.

Изилдөөнүн маанилүү концептуалдык чеги мындай: quasi-regulator теңдемелеринин чечими NNOR маселесин чечүү үчүн жетиштүү түзүлүш; жалпы NNOR маселесинде классикалык regulator теңдемелериндей зарыл мүнөздөмө деп айтылбайт.

Quasi-regulator теңдемелеринин интегралдык түрү

Изилдөөдөгү теңдемелер системасы:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

жана:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

түрүндө; мында:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Маселе бардык \(t\ge t_0\) үчүн бул теңдемелерди аткарган чектелген, бөлүктүү үзгүлтүксүз \(\Pi(t)\) жана \(\Delta(t)\) функцияларын табууга болобу деген суроо.

Эмне үчүн теңдемелер DAE түрүнө айландырылат?

Интегралдык түрдөгү теңдемелердин чечилүүсүн түз талдоо кыйын. Изилдөөнүн Lemma 1 жыйынтыгы \(\Lambda\) тескериленүүчү болгондо quasi-regulator теңдемелери төмөнкү DAE системасына эквиваленттүү экенин көрсөтөт:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

Өзгөртүү:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

аркылуу жүргүзүлөт.

Бул эквиваленттүүлүк изилдөөнүн калган бардык чечилүү анализинин баштапкы чекити болуп саналат.

Feedforward мүчөсү эмне үчүн ушунчалык маанилүү?

Чыгыш:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

болгондуктан \(D\neq0\) болсо, башкаруу кириши \(u\) жөнгө салуу катасына түз таасир бере алат. \(D=0\) учурда болсо кириш алгач абал динамикасынан өтүшү керек.

Бул айырма жылма эмес сигналдарда критикалык. Эталондук же бузуу сигналы чыгышта күтүүсүз секирик жаратса, үзгүлтүксүз системанын абалы \(Cx\) ошол эле учурда тескери багытта секире албайт. Түз feedforward жолу \(Du\) бар болсо, башкаруу кириши бул заматтык компонентти түз компенсациялай алат.

Theorem 1 эмне дейт?

Изилдөөнүн биринчи негизги зарыл шарты төмөнкүдөй:

\(D=0\) болсо quasi-regulator теңдемелеринин чечилиши үчүн \(Q\Lambda(t,t_0)\) функциясы бардык убакта локалдык Lipschitz үзгүлтүксүз болушу керек.

Мунун маанилүү натыйжасы — \(D=0\) учурда \(Q\Lambda\) ичинде чыныгы үзүлүү болсо, чектелген \(\Delta(t)\) колдонуп quasi-regulator теңдемелерин чечүү мүмкүн эмес.

Булак муну физикалык жактан мындай түшүндүрөт: үзгүлтүксүз \(Cx\) сигналы түз feedforward жардамысыз үзүлмө \(Q\omega\) сигналынын секиригин заматта жокко чыгара албайт.

Изилдөөчүлөр impulsive control колдонуу бул жагдайды өзгөртүшү мүмкүн экенин белгилешет, бирок аны келечектеги ишке калтырышат.

Assumption 2 кандай жылмалуулукту талап кылат?

\(D=0\) үчүн изилдөө мындан ары \(Q\Lambda(t,t_0)\) piecewise differentiable болушун жана:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

туюнтмасы тиешелүү жылма убакыт интервалдарында чектелген бойдон калышын болжолдойт.

Piecewise differentiability бул жерде сигнал үзгүлтүксүз болуп, бирок белгилүү чекиттерде сол жана оң туундулары ар башка болушу мүмкүн болгон түзүлүштү камтыйт. Үч бурчтуу толкундар мындай жылма эмес жүрүм-турумдун негизги мисалдарынын бири.

Бул божомол бүтүндөй \(\omega(t)\) үзгүлтүксүз болушун талап кылабы?

Жок. Изилдөө муну атайын ажыратат. \(Q\Lambda\) керектүү жылмалуулукка ээ болушу \(\Lambda\) же \(\omega\) бардык компоненттери үзгүлтүксүз болушу керек дегенди билдирбейт.

Exogenous signal ичиндеги секирик \(Q\) ядросунда калса, ал секирик түздөн-түз жөнгө салуу чыгышына чагылбашы мүмкүн. Ошондуктан \(P\omega\) аркылуу системанын абалына таасир берген айрым үзүлмө компоненттер теория тарабынан толугу менен четтетилбейт.

Салыштырма даража эмне үчүн классикалык теориядан башкача мааниге ээ?

SISO системасында салыштырма даража \(r\) башкаруу кириши чыгышта биринчи жолу көрүнгөн туунду деңгээлин билдирет. Булак аны:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

шартын аткарган эң кичине оң \(r\le n\) катары аныктайт.

Классикалык жылма LTI output regulation маселесинде салыштырма даража regulator теңдемелеринин чечилүү шартынын борборунда эмес. Бул изилдөөдө болсо жылма эмес сигналдарда салыштырма даража башкаруу кириши чыгыштын канчалык төмөн жылмалуулуктагы жүрүм-турумун түзө аларын аныктайт.

Башкача айтканда, башкаруу кириши чыгышка таасир эткенге чейин өтө көп динамикалык туунду баскычтарынан өтүшү керек болсо, чектелген башкаруу кириши жетиштүү кескин exogenous output компонентин жокко чыгара албай калышы мүмкүн.

\(V_j(t)\) жардамчы функциялары эмне үчүн аныкталат?

Жылма эмес \(\Lambda\) себептүү изилдөөчүлөр теңдемелерди каалаганча түз дифференциалдай алышпайт. Анын ордуна кайталанма интегралдоону камтыган:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

функцияларын аныкташат.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) деп алынат жана ар бир \(V_j\) функциясынын жылмалуулук даражасы \(c_j\) менен белгиленет.

Бул жардамчы түзүлүш сигналдын жылмалуулук өлчөмү менен системанын салыштырма даражасын бир математикалык алкакта салыштырууга мүмкүнчүлүк берет.

Lemma 2 нин негизги билдирүүсү эмне?

\(j^*=c_n

• \(j\le j^*\) үчүн \(V_j\) кеминде \(j\) жолу дифференциалданат;
• \(j>j^*\) болгондо кийинки бардык \(V_j\) функцияларынын жылмалуулук даражасы \(j^*\) деңгээлинде калат.

Ошентип жылмалуулук кайсы туунду деңгээлинде “түгөнөрү” математикалык түрдө аныкталат.

Салыштырма даража үчүн зарыл шарт кандай?

Proposition 1, \(D=0\) жана Assumption 1–2 шарттарында quasi-regulator теңдемелери чечилсе:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

болушу керек экенин көрсөтөт.

Бул жерде:

\[ j^*=c_n \]

жардамчы \(V_n\) функциясынын жылмалуулук даражасы.

Бул зарыл шарт; изилдөө \(r\le j^*+1\) теңсиздиги өзүнчө бардык учурда жетиштүү эмес экенин ачык белгилейт.

Эмне үчүн изилдөө кийин \(r=1\) ге басым жасайт?

Изилдөөчүлөр айрыкча үч бурчтуу же квадрат толкун сыяктуу жылма эмес сигналдар каралганда \(c_n\ge1\) болушу азыраак типтүү экенин белгилешет. Ошондуктан кеңири жылма эмес сигнал классы үчүн чечилүүнү кепилдей турган негизги учур катары:

\[ r=1 \]

башкача айтканда unitary relative degree божомолуна көңүл бурулат.

Бул учурда:

\[ CB\neq0 \]

болот жана кириш чыгышка биринчи туунду деңгээлинде таасир бере баштайт.

Non-smooth non-resonance condition деген эмне?

Изилдөөнүн негизги концептуалдык салымы Definition 1 де аныкталган жаңы резонанссыздык шарты. Системалар белгилүү \(\Omega(t_0)\) баштапкы мааниси үчүн:

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

функциясы бардык \(t\ge t_0\) үчүн чектелген бойдон калса non-resonant деп аныкталат.

\(A_z\) өздүк маанилери башкарылуучу системанын transmission zero'лору менен бирдей.

Ошентип жаңы критерий классикалык exosystem өздүк маанилери менен transmission zero'лорду гана салыштыруунун ордуна, жылма эмес жана жалпы убакытка көз каранды \(\Lambda\) динамикасынын нөлдүк динамика менен өз ара аракетин убакыт аймагындагы boundedness маселеси катары берет.

Theorem 2 нин зарыл жана жетиштүү жыйынтыгы кандай?

\(D=0\), Assumption 1 жана 2 менен:

\[ r=1 \]

божомолунун алдында изилдөө төмөнкү эквиваленттүүлүктү алат:

Quasi-regulator теңдемелери каалаган \(P\) жана \(Q\) үчүн чечилет ⇔ башкарылуучу система менен exogenous-signal generator non-smooth non-resonant.

Бул иштин негизги зарыл-жетиштүү чечилүү жыйынтыгы.

Theorem 2 нин далилинде система кантип бөлүнөт?

\(r=1\) учурда:

\[ b=CB\neq0 \]

болгондуктан изилдөөчүлөр \(T\) сызыктуу өзгөртүүсү менен системаны zero-dynamics жана output компоненттерине бөлүшөт:

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

DAEнин алгебралык бөлүгү түз:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

жыйынтыгын берет.

Калган \(\Theta_z\) динамикасы transmission zero'лорду алып жүргөн \(A_{11}\) матрицасы аркылуу өнүгөт. Ошентип quasi-regulator чечилүүсүнүн бүт маселеси zero-dynamics компонентиндеги белгилүү убакытка көз каранды интегралдык чечим чектелгенби же жокпу деген маселеге келтирилет.

Feedforward бар болсо жыйынтык кантип өзгөрөт?

\(D\neq0\) учурда башкаруу кириши чыгыш теңдемесинде түз болгондуктан:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

түрүндө алгебралык жол менен чечилет.

Ошондуктан \(D=0\) учурдагы кошумча жылмалуулук жана unitary-relative-degree шарттары талап кылынбайт.

Theorem 3 боюнча \(D\neq0\) жана Assumption 1 шартында quasi-regulator теңдемелери каалаган \(P,Q\) үчүн чечилет, эгер жана болгону эки система non-smooth non-resonant болсо.

Minimum-phase системалар эмне үчүн маанилүү?

Изилдөөдөгү Proposition 2 төмөнкү жетиштүү жыйынтыкты берет:

Башкарылуучу сызыктуу система minimum phase болсо, Assumption 1 шартында non-smooth non-resonance шарты аткарылат.

Minimum-phase учурда transmission zero'лор ачык сол жарым тегиздикте жайгашат, демек \(A_z\) Hurwitz болот. Ошондо:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

түрүндөгү экспоненциалдык азаюу колдонулуп Definition 1 деги интегралдык мүчөнүн чектелгендиги көрсөтүлөт.

Minimum phase зарылбы?

Изилдөө minimum-phase шартын зарыл деп бербейт. Proposition 2 болгону:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

жыйынтыгын түзөт.

Демек non-minimum-phase система бардык учурда чечилбейт деген жыйынтык бул изилдөөдөн чыкпайт.

Жаңы шарт классикалык non-resonance менен кандай байланышта?

Классикалык LTI output regulation маселесинде exosystem:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

жана ошондуктан:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

болгондо regulator equation Sylvester тибиндеги алгебралык теңдемеге келтирилет.

Классикалык non-resonance шартынын маңызы:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

башкача айтканда системанын transmission zero'лору менен exosystem өздүк маанилери дал келбеши керек.

Изилдөө жаңы non-smooth non-resonance шарты бул классикалык идеянын жылма эмес жана мезгилдүү эмес signal generator'лорго кеңейтилген формасы экенин көрсөтөт.

Булактын Remark 2 бөлүгүндөгү маанилүү айырма — жаңы boundedness шарты классикалык өздүк маанилердин ажыроосуна караганда күчтүүрөөк болушу мүмкүн. Башкача айтканда, спектрлердин жөн гана дал келбеши жалпы non-smooth/non-periodic generator үчүн Definition 1 деги бардык убакыттагы чектелгендикти автоматтык түрдө кепилдебейт.

Чечимдер уникалдуубу?

Жок. Remark 3 quasi-regulator теңдемелеринин чечилиши чечим уникалдуу дегенди билдирбесин так көрсөтөт.

Мисалы minimum-phase учурда \(A_{11}\) Hurwitz болсо, ар башка:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

баштапкы маанилери менен башталган ар түрдүү чечимдер дагы эле чектелген калышы мүмкүн. Ошентип ар башка bounded piecewise-continuous \(\Pi\) жана \(\Delta\) чечимдери бир эле чечилүү шартын аткара алат.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• Quasi-regulator теңдемелери ылайыктуу өзгөртүүдө DAE системасына эквиваленттүү.
• \(D=0\) учурда \(Q\Lambda\) локалдык Lipschitz үзгүлтүксүздүгү чечилүү үчүн зарыл шарт.
• Жылма эмес чыгыш динамикасында системанын салыштырма даражасы quasi-regulator чечилүүсүнө таасир этет.
• \(D=0\) шартында зарыл салыштырма даража шарты \(r\le j^*+1\).
• \(D=0\), тиешелүү жылмалуулук божомолдору жана \(r=1\) шартында non-smooth non-resonance шарты каалаган \(P,Q\) үчүн чечилүүнүн зарыл жана жетиштүү мүнөздөмөсү.
• \(D\neq0\) учурда ошол эле зарыл-жетиштүү жыйынтык кошумча \(r=1\) шартсыз алынат.
• Minimum-phase болуу жаңы non-smooth non-resonance шарты үчүн жетиштүү.
• Quasi-regulator чечимдери non-smooth non-periodic учурда уникалдуу болууга милдеттүү эмес.

Изилдөө колдобогон же текшербеген жыйынтыктар

• Изилдөө белгилүү физикалык plant системасында эксперименттик натыйжалуулук жогорулашын көрсөтпөйт.
• Башкаруу алгоритминин ката, орношуу убактысы же энергия керектөөсү боюнча сандык артыкчылыгын салыштырбайт.
• Жыйынтыктар бардык nonlinear системалар үчүн берилген эмес; негизги маселе SISO LTI система классы үчүн курулган.
• Quasi-regulator теңдемелеринин чечилүүсү өзүнчө бардык мүмкүн болгон NNOR долбоорлорунун зарыл шарты катары берилбейт.
• \(D=0\) учурдагы \(r\le j^*+1\) шарты өзүнчө жетиштүү эмес.
• Minimum-phase болуу чечилүү үчүн зарыл шарт экени көрсөтүлгөн эмес.
• Feedforward жок discontinuous чыгышты көзөмөлдөө үчүн impulsive control варианты талданган эмес.
• Булак реалдуу PWM схемасы, робот, күч өзгөрткүчү же өнөр жай системасында колдонмо текшерүүсүн бербейт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Изилдөө эксперименттик эмес, теоремага негизделген

Бул иште классикалык мааниде эксперименттик топ, маалыматтар топтому, сенсор, үлгү өлчөмү же статистикалык гипотеза сыноосу жок. Изилдөө ыкмасы математикалык башкаруу теориясына негизделген.

Далилдөө түзүлүшү негизинен төмөнкү каражаттарды колдонот:

• интегралдык quasi-regulator теңдемелерин DAE формасына өзгөртүү,
• функциянын жылмалуулугу жана local Lipschitz касиеттери,
• салыштырма даража анализи,
• кайталанма интегралдар менен аныкталган жардамчы \(V_j\) функциялары,
• сызыктуу координаттык өзгөртүү,
• zero-dynamics жана transmission-zero түзүлүшү,
• Kronecker көбөйтүндүсү,
• абал өтүү матрицасы/интегралдык чечимдин чектелгендик анализи,
• Hurwitz жана minimum-phase касиеттери.

Assumption 1

Exogenous signal generator үчүн \(\Lambda(t,t_0)\):

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

болушу жана:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

туюнтмасы бардык \(t\ge\tau\ge t_0\) үчүн uniform bounded болушу кабыл алынат.

Assumption 2

\(D=0\) учурда:

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

piecewise differentiable болушу жана:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

тиешелүү жылма убакыт аралыктарында чектелген бойдон калышы керек.

Assumption 3

Theorem 2 нин негизги зарыл-жетиштүү жыйынтыгы үчүн система:

\[ r=1 \]

башкача айтканда unitary relative degree касиетине ээ деп кабыл алынат.

Изилдөөдөгү негизги математикалык жыйынтыктардын кыскача мазмуну

\(D=0\) жана \(D\neq0\) ортосундагы негизги айырма

Классикалык жана жаңы non-resonance ыкмасынын айырмасы

Жыйынтык эмне үчүн теориялык башкаруу үчүн өзгөчө маанилүү?

Башкаргычты долбоорлоодон мурда идеалдуу катаны-нөлгө-келтирүүчү траекториялар математикалык түрдө бар-жогун билүү керек. Эгер quasi-regulator теңдемелери чечилбесе, ушул теңдемелерге негизделген NNOR башкаруу долбоору башынан эле зарыл түзүлүш элементи жок болуп калат.

Ошентип бул иш “кайсы башкаргыч жакшы?” деген суроодон да негизги суроого жооп берет:

Жылма эмес жана мезгилдүү эмес эталондук/бузуу сигналы шартында катаны нөлгө келтирүүчү абал жана кириш траекторияларынын болушу кайсы система жана сигнал касиеттерине көз каранды?

Булактын жообу: feedforward түзүлүшү, сигналдын жылмалуулугу, системанын салыштырма даражасы, transmission zero'лор жана жаңы non-smooth non-resonance шарты бирге бааланышы керек.

Изилдөөнүн чектөөлөрү

• Негизги система классы SISO LTI система.
• Жыйынтыктар аныкталган Assumption 1–3 алкагында.
• Физикалык же сандык колдонмо мисалы берилген эмес.
• \(D=0\) үчүн жалпы зарыл-жетиштүү жыйынтык өзгөчө unitary relative degree учуруна багытталган.
• Жогорку салыштырма даражалар үчүн Proposition 1 зарыл шарт бергени менен толук жалпы чечилүү мүнөздөмөсү берилген эмес.
• Feedforward жок реалдуу discontinuous чыгыштарды көзөмөлдөө үчүн impulsive control изилденген эмес.
• Quasi-regulator чечиминин уникалдуулугу кепилденбейт.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Авторлор: Zirui Niu, Daniele Astolfi жана Giordano Scarciotti.

Авторлордун ирети: Булактагы версиянын ирети өзгөртүүсүз сакталган.

Тең биринчи автор/тең салым: Каралган версияда тең салым жөнүндө билдирүү жок.

Жооптуу автор: Булакта өзүнчө corresponding-author белгиси жок болгондуктан белгилүү бир автор жооптуу автор катары дайындалган эмес.

Мекемелер: Zirui Niu жана Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Булакта берилген байланыш маалыматтары: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Платформа: arXiv.

arXiv идентификатору: 2605.28665.

Каралган версия: arXiv:2605.28665v1.

Жөнөтүлгөн күнү: 27 Май 2026.

Категориялар: Systems and Control (eess.SY); ошондой эле arXiv жазуусунда Optimization and Control (math.OC) тармагы менен байланышкан.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Расмий жазуу:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Жарыя/рецензия статусу: Каралган документ arXiv preprint версиясы. Учурдагы arXiv metadata жазуусунда иш “7 pages, accepted by MTNS 2026” деп көрсөтүлгөн. Жеткиликтүү булактар конференциянын рецензиялоо процедурасын өзүнчө документтебегендиктен, бул Verianla текстинде статус “arXiv preprint; MTNS 2026 га кабыл алынган” деп берилген жана өзүнчө рецензияланган акыркы proceedings басылмасы бардай көрсөтүлгөн эмес.

Акыркы proceedings библиографиясы: Каралган булакта жана жүргүзүлгөн библиографиялык текшерүүдө том, бет, proceedings DOI же акыркы MTNS 2026 библиографиялык маалыматы ырасталбагандыктан кошулган эмес.

Лицензия: arXiv жазуусундагы кайра колдонуу лицензиясы жалпы Creative Commons басма лицензиясы катары чечмеленген эмес.

Каржылоо: Каралган иште өзүнчө каржылоо билдирүүсү табылган эмес.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Каралган иште өзүнчө competing-interests билдирүүсү табылган эмес.

Маалымат/код: Иш теориялык; өзүнчө эксперименттик dataset же код репозиторийи тууралуу билдирүү жок.

CRediT/автордук салымдар: Каралган версияда өзүнчө CRediT authorship statement жок.

Изилдөө түрү: Теориялык/математикалык башкаруу теориясынын анализи. Эксперимент, талаа өлчөөсү же сандык benchmark натыйжалуулук сыноосу жок.

Негизги математикалык куралдар: Quasi-regulator интегралдык теңдемелери, differential-algebraic equation өзгөртүүсү, relative-degree анализи, piecewise differentiability, repeated-integral жардамчы функциялары, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, Hurwitz/minimum-phase касиеттери жана boundedness анализи.

Негизги зарыл шарттар: \(D=0\) учурда \(Q\Lambda\) local Lipschitz үзгүлтүксүздүгү жана ылайыктуу жылмалуулукта \(r\le j^*+1\).

Негизги зарыл-жетиштүү жыйынтык: \(D=0\), Assumption 1–3 жана \(r=1\) шартында; ошондой эле \(D\neq0\), Assumption 1 шартында quasi-regulator теңдемелеринин каалаган \(P,Q\) үчүн чечилиши non-smooth non-resonance шартына эквиваленттүү.

Жетиштүү өзгөчө учур: Minimum-phase система болуу non-smooth non-resonance шартынын аткарылышы үчүн жетиштүү; зарыл экени көрсөтүлгөн эмес.

Чечимдин уникалдуулугу: Булак non-smooth non-periodic учурда bounded quasi-regulator чечимдер жалпы түрдө уникалдуу болууга милдеттүү эмес экенин ачык билдирет.

Илимий чектөө: Жыйынтыктар булакта аныкталган математикалык система классы жана божомолдор үчүн чечилүү теоремалары. Алар физикалык системанын иштеши, сандык башкаруу утушу, туруктуулук запасы же эксперименттик тактык жыйынтыгы эмес.

Мазмундун негизи: Бул Verianla түшүндүрмөсү изилдөөнүн маселе аныктамасына, quasi-regulator теңдемелерине, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, математикалык далилдөө агымына жана жыйынтык бөлүмүнө негизделет. Библиографиялык идентификация/жарыя статусун текшерүүдөн башка тышкы булактардан жаңы илимий жыйынтык кошулган эмес.