Klassik chiqish regulyatsiyasi nazariyasida boshqaruvchining maqsadi dinamik tizim chiqishini istalgan tayanch signalga yaqinlashtirish bilan bir vaqtda tashqi buzilishlarning ta’sirini bartaraf etishdir. Klassik nazariyaning muhim qismi tayanch va buzuvchi signallar silliq differensial tenglamalarni hosil qiluvchi exosystem tomonidan yaratilishini faraz qiladi. Biroq real amaliyotlarda arrasimon, uchburchak to‘lqin, kommutatsiyalanuvchi yoki pulse-width-modulation (PWM) ga o‘xshash silliq bo‘lmagan va ba’zan davriy bo‘lmagan signallar ham uchrashi mumkin. Ushbu tadqiqot aynan mana shu umumiyroq holatning matematik yechiluvchanlik muammosiga qaratilgan.

Tadqiqotchilar ilgari NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — doirasida qo‘llagan quasi-regulator tenglamalari integral hadlarni o‘z ichiga olgani sababli, ularning yechiluvchanligini tahlil qilish klassik regulator tenglamalaridagidek to‘g‘ridan-to‘g‘ri emas. Yangi ish avvalo bu integral tenglamalarni ekvivalent differensial-algebraik tenglamalar (DAE) tizimiga aylantiradi va so‘ng feedforward hadi \(D\) mavjud yoki mavjud emasligiga qarab muammoni ikki holatga ajratadi.

Feedforward yo‘li mavjud bo‘lmagan \(D=0\) holatda birinchi muhim natija shundan iboratki, regulyatsiya qilinadigan \(Q\Lambda(t,t_0)\) signali yetarli silliqlikka ega bo‘lishi kerak. Tadqiqot quasi-regulator tenglamalarining yechilishi uchun hech bo‘lmaganda ushbu funksiyaning lokal Lipschitz uzluksizligi zarur ekanini ko‘rsatadi. Demak, to‘g‘ridan-to‘g‘ri feedforward ta’siri bo‘lmaganda chiqishda haqiqiy sakrash hosil qiladigan tayanch signalni chekli va klassik boshqaruv kirishi bilan bir zumda bekor qilish umuman olganda mumkin emas.

Ikkinchi asosiy natija — tizimning nisbiy darajasi silliq bo‘lmagan chiqish regulyatsiyasida klassik holatdan farqli ravishda yechiluvchanlikka bevosita ta’sir qiladi. Tadqiqotchilar yordamchi \(V_j(t)\) funksiyalarining silliqlik darajasidan foydalanib, \(D=0\) holatda nisbiy daraja \(r\) ma’lum yuqori chegaraga mos kelishi kerakligini ko‘rsatadilar. Umumiy zarur shart:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

ko‘rinishida beriladi.

Tadqiqotning asosiy teoremalaridan biri shuni ko‘rsatadiki, \(D=0\), ko‘rsatilgan silliqlik farazlari va birlik nisbiy daraja \(r=1\) ostida quasi-regulator tenglamalarining istalgan \(P\) va \(Q\) uchun yechilishi tadqiqotchilar ta’riflagan non-smooth non-resonance condition bilan ekvivalentdir. Feedforward yo‘li mavjud bo‘lgan \(D\neq0\) holatda esa xuddi shu zarur-yetarli non-resonance natija nisbiy daraja va qo‘shimcha silliqlik farazlarisiz olinadi.

Tadqiqotchilar, shuningdek, boshqarilayotgan chiziqli tizim minimum phase bo‘lsa, yangi non-smooth non-resonance sharti bajarilishini ko‘rsatadilar. Biroq ushbu minimum-phase natija yetarli shart hisoblanadi; u yangi non-resonance shartining ta’rifi bilan aynan bir narsa emas.

Turkiya nuqtai nazaridan ushbu ish, ayniqsa kuch elektronikasi, robototexnika, kommutatsiyalanuvchi tizimlar va sanoat boshqaruvi kabi silliq bo‘lmagan tayanch yoki buzuvchi signallar yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan sohalarda fundamental boshqaruv nazariyasi uchun ahamiyatlidir. Biroq manba hech qanday Turkiya tizimi, real boshqaruv apparaturasi yoki ishlash sinovida qo‘llanmani taqdim etmaydi. Shu sababli tadqiqotning qiymati bevosita dala boshqaruv algoritmining ishlashini ko‘rsatishdan ko‘ra, bunday boshqaruv muammosining matematik jihatdan qaysi shartlarda yechilishi mumkinligini tushuntiruvchi nazariy asosni rivojlantirishidadir.

Chiqish regulyatsiyasi muammosi nima?

Chiqish regulyatsiyasi — dinamik tizim chiqishini istalgan tayanch trayektoriyaga yaqinlashtirish va shu bilan birga tashqi buzilishlarni bostiradigan boshqaruvchini loyihalash muammosidir. Tadqiqotda ko‘rib chiqilgan bitta kirishli–bitta chiqishli (SISO) chiziqli vaqtga invariant tizim:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

ko‘rinishidadir.

Bu yerda \(x(t)\) tizim holati, \(u(t)\) boshqaruv kirishi, \(e(t)\) regulyatsiya xatosi va:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

tayanch va buzuvchi signallarni o‘z ichiga oluvchi exogenous signal vektoridir.

Klassik nazariyadan asosiy farq nimada?

Klassik chiziqli chiqish regulyatsiyasida exogenous signal ko‘pincha:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

kabi silliq dinamik tizimdan hosil qilinadi. Ushbu tadqiqot ko‘rib chiqayotgan umumiyroq tuzilmada esa:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

ko‘rinishidagi ochiq generator ishlatiladi.

\(\Lambda(t,t_0)\) standart semigroup xossasini qanoatlantirishi ham shart emas. Bu kengaytma silliq bo‘lmagan va albatta davriy bo‘lishi talab qilinmaydigan signal sinflarini qamrab olish imkonini beradi.

NNOR muammosi qaysi ikki maqsadni talab qiladi?

Tadqiqotda non-smooth non-periodic output regulation muammosi ikki shart bilan ifodalanadi:

• SF — Stabilization condition: Exogenous signal nol bo‘lganda yopiq kontur tizimining boshlang‘ich nuqtasi eksponensial barqaror bo‘lishi kerak.
• RF — Regulation condition: Exosystem tizimga ulanganida regulyatsiya xatosi vaqt o‘tishi bilan nolga intilishi kerak: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Quasi-regulator tenglamalari nima uchun kerak?

Klassik output-regulation nazariyasida regulator tenglamalari nol turg‘un-holat xatosini hosil qiluvchi holat va boshqaruv trayektoriyalarini tavsiflaydi. Biroq silliq bo‘lmagan va davriy bo‘lmagan umumiy signal sinfida klassik ma’nodagi steady state har doim ham yaxshi aniqlanmaydi.

Shu sababli tadqiqotchilar oldingi ishlarida:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

ko‘rinishidagi xatoni nolga tushiruvchi kutiladigan trayektoriyalarni tavsiflaydigan quasi-regulator equations dan foydalangan.

Tadqiqotning muhim konseptual chegarasi quyidagicha: quasi-regulator tenglamalarining yechimi NNOR muammosini yechish uchun yetarli tuzilma hisoblanadi; umumiy NNOR muammosida klassik regulator tenglamalaridagidek zarur tavsif ekanligi da’vo qilinmaydi.

Quasi-regulator tenglamalarining integral ko‘rinishi

Tadqiqotdagi tenglamalar tizimi:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

va:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

ko‘rinishidadir; bunda:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Muammo barcha \(t\ge t_0\) uchun ushbu tenglamalarni qanoatlantiradigan chegaralangan, bo‘lakli uzluksiz \(\Pi(t)\) va \(\Delta(t)\) funksiyalarini topish mumkin yoki mumkin emasligidir.

Nima uchun tenglamalar DAE ko‘rinishiga aylantiriladi?

Integral ko‘rinishdagi tenglamalarning yechiluvchanligini bevosita tahlil qilish qiyin. Tadqiqotning Lemma 1 natijasi \(\Lambda\) ning teskarilanuvchanligi ostida quasi-regulator tenglamalari quyidagi DAE tizimiga ekvivalent ekanini ko‘rsatadi:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

O‘zgartirish:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

orqali amalga oshiriladi.

Ushbu ekvivalentlik tadqiqotning qolgan barcha yechiluvchanlik tahlilining boshlang‘ich nuqtasidir.

Feedforward hadi nima uchun bunchalik muhim?

Chiqish:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

bo‘lgani sababli \(D\neq0\) bo‘lsa, boshqaruv kirishi \(u\) regulyatsiya xatosiga bevosita ta’sir qilishi mumkin. \(D=0\) holatda esa kirish avval holat dinamikasidan o‘tishi kerak.

Bu farq silliq bo‘lmagan signallarda kritik ahamiyatga ega. Agar tayanch yoki buzuvchi signal chiqishda to‘satdan sakrash hosil qilsa, uzluksiz tizim holati \(Cx\) ayni vaqtda qarama-qarshi tomonga sakray olmaydi. Bevosita feedforward yo‘li \(Du\) mavjud bo‘lsa, boshqaruv kirishi ushbu oniy komponentni to‘g‘ridan-to‘g‘ri muvozanatlashi mumkin.

Theorem 1 nima deydi?

Tadqiqotning birinchi asosiy zarur sharti quyidagicha:

\(D=0\) bo‘lsa, quasi-regulator tenglamalarining yechilishi uchun \(Q\Lambda(t,t_0)\) funksiyasi barcha vaqtlarda lokal Lipschitz uzluksiz bo‘lishi kerak.

Buning muhim natijasi shuki, \(D=0\) bo‘lganda \(Q\Lambda\) da haqiqiy uzilish mavjud bo‘lsa, chegaralangan \(\Delta(t)\) yordamida quasi-regulator tenglamalarini yechib bo‘lmaydi.

Manba buni fizik jihatdan quyidagicha izohlaydi: uzluksiz \(Cx\) signali bevosita feedforward yordamisiz uziluvchi \(Q\omega\) signalidagi sakrashni bir zumda bekor qila olmaydi.

Tadqiqotchilar impulsive control qo‘llanishi bu holatni o‘zgartirishi mumkinligini qayd etadilar, biroq uni kelajakdagi ishga qoldiradilar.

Assumption 2 qanday silliqlikni talab qiladi?

\(D=0\) uchun tadqiqot bundan keyin \(Q\Lambda(t,t_0)\) ning piecewise differentiable bo‘lishini va:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifodasi tegishli silliq vaqt oraliqlarida chegaralangan bo‘lib qolishini faraz qiladi.

Piecewise differentiability bu yerda signal uzluksiz bo‘lib, ayrim nuqtalarda chap va o‘ng hosilalari farqli bo‘lishi mumkin bo‘lgan tuzilmani qamrab oladi. Uchburchak to‘lqinlar bunday silliq bo‘lmagan xatti-harakatning asosiy misollaridan biridir.

Bu faraz butun \(\omega(t)\) ning uzluksiz bo‘lishini talab qiladimi?

Yo‘q. Tadqiqot buni alohida ta’kidlaydi. \(Q\Lambda\) ning zarur silliqlikka ega bo‘lishi \(\Lambda\) yoki \(\omega\) ning barcha komponentlari uzluksiz bo‘lishini anglatmaydi.

Exogenous signaldagi sakrash \(Q\) ning yadrosida qolsa, bu sakrash bevosita regulyatsiya chiqishida aks etmasligi mumkin. Shu sababli \(P\omega\) orqali tizim holatiga ta’sir qiluvchi ayrim uziluvchi komponentlar nazariya tomonidan butunlay istisno etilmaydi.

Nisbiy daraja nima uchun klassik nazariyadagidan boshqacha tarzda muhim bo‘ladi?

SISO tizimida nisbiy daraja \(r\), boshqaruv kirishi chiqishda birinchi marta ko‘rinadigan hosila darajasini ifodalaydi. Manba uni:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

shartini qanoatlantiruvchi eng kichik musbat \(r\le n\) sifatida ta’riflaydi.

Klassik silliq LTI output regulation muammosida nisbiy daraja regulator tenglamalarining yechiluvchanlik shartining markazida turmaydi. Ushbu tadqiqotda esa silliq bo‘lmagan signallar mavjud bo‘lganda nisbiy daraja boshqaruv kirishi chiqishdagi qanchalik past silliqlikdagi xatti-harakatni hosil qila olishini belgilaydi.

Boshqacha aytganda, boshqaruv kirishi chiqishga ta’sir qilishidan oldin juda ko‘p dinamik hosila bosqichlaridan o‘tishi kerak bo‘lsa, chekli boshqaruv kirishi yetarlicha keskin exogenous chiqish komponentini bekor qila olmasligi mumkin.

\(V_j(t)\) yordamchi funksiyalari nima uchun ta’riflanadi?

Silliq bo‘lmagan \(\Lambda\) sababli tadqiqotchilar tenglamalarni istalgancha bevosita differensiallay olmaydilar. Buning o‘rniga takroriy integrallashni o‘z ichiga oluvchi:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

funksiyalarni ta’riflaydilar.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) deb olinadi va har bir \(V_j\) ning silliqlik darajasi \(c_j\) bilan belgilanadi.

Ushbu yordamchi tuzilma signal silliqligi miqdori bilan tizim nisbiy darajasini bir xil matematik doirada taqqoslash imkonini beradi.

Lemma 2 ning asosiy mazmuni nima?

\(j^*=c_n

• \(j\le j^*\) uchun \(V_j\) kamida \(j\) marta differensiallanuvchi;
• \(j>j^*\) bo‘lganda barcha keyingi \(V_j\) funksiyalarining silliqlik darajasi \(j^*\) da qoladi.

Shu tariqa silliqlik qaysi hosila darajasida “tugashi” matematik jihatdan aniqlanadi.

Nisbiy daraja uchun zarur shart nima?

Proposition 1, \(D=0\) va Assumption 1–2 ostida quasi-regulator tenglamalari yechiladigan bo‘lsa:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

bo‘lishi kerakligini ko‘rsatadi.

Bu yerda:

\[ j^*=c_n \]

yordamchi \(V_n\) funksiyasining silliqlik darajasidir.

Bu zarur shart; tadqiqot \(r\le j^*+1\) tengsizligi o‘z-o‘zicha har bir holatda yetarli emasligini aniq ta’kidlaydi.

Nima uchun tadqiqot keyin \(r=1\) ga e’tibor qaratadi?

Tadqiqotchilar ayniqsa uchburchak yoki kvadrat to‘lqin kabi silliq bo‘lmagan signallar mo‘ljallanganda \(c_n\ge1\) bo‘lishi kamroq tipik ekanini qayd etadilar. Shu sababli keng silliq bo‘lmagan signal sinfi uchun yechiluvchanlikni kafolatlashning asosiy holati sifatida:

\[ r=1 \]

ya’ni unitary relative degree faraziga e’tibor qaratiladi.

Bu holatda:

\[ CB\neq0 \]

bo‘ladi va kirish chiqishga birinchi hosila darajasidayoq ta’sir qiladi.

Non-smooth non-resonance condition nima?

Tadqiqotning asosiy konseptual hissasi Definition 1 da ta’riflangan yangi rezonanssizlik shartidir. Tizimlar ma’lum \(\Omega(t_0)\) boshlang‘ich qiymati uchun:

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

funksiya barcha \(t\ge t_0\) uchun chegaralangan bo‘lsa, non-resonant deb ta’riflanadi.

\(A_z\) ning xos qiymatlari boshqarilayotgan tizimning transmission zero lari bilan bir xil.

Shunday qilib, yangi mezon faqat klassik exosystem xos qiymatlari bilan transmission zero larni taqqoslash o‘rniga, silliq bo‘lmagan va umumiy vaqtga bog‘liq \(\Lambda\) dinamikasining nol dinamikalari bilan o‘zaro ta’sirini vaqt sohasidagi boundedness muammosi sifatida ifodalaydi.

Theorem 2 ning zarur va yetarli natijasi nima?

\(D=0\), Assumption 1 va 2 bilan:

\[ r=1 \]

farazi ostida tadqiqot quyidagi ekvivalentlikni oladi:

Quasi-regulator tenglamalari istalgan \(P\) va \(Q\) uchun yechiladigan ⇔ boshqarilayotgan tizim bilan exogenous-signal generator non-smooth non-resonant.

Bu tadqiqotdagi asosiy zarur-yetarli yechiluvchanlik natijasidir.

Theorem 2 isbotida tizim qanday ajratiladi?

\(r=1\) holatda:

\[ b=CB\neq0 \]

bo‘lgani uchun tadqiqotchilar \(T\) chiziqli o‘zgartirish yordamida tizimni zero-dynamics va output komponentlariga ajratadilar:

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

DAE ning algebraik qismi bevosita:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

natijasini beradi.

Qolgan \(\Theta_z\) dinamikasi transmission zero larni tashuvchi \(A_{11}\) matritsasi orqali rivojlanadi. Shu bilan quasi-regulator yechiluvchanligining butun muammosi zero-dynamics komponentidagi muayyan vaqtga bog‘liq integral yechim chegaralangan yoki chegaralanmaganligi masalasiga keltiriladi.

Feedforward mavjud bo‘lsa natija qanday o‘zgaradi?

\(D\neq0\) holatda boshqaruv kirishi chiqish tenglamasida bevosita mavjud bo‘lgani uchun:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

ko‘rinishida algebraik tarzda yechilishi mumkin.

Shu sababli \(D=0\) holatidagi qo‘shimcha silliqlik va unitary-relative-degree shartlari kerak emas.

Theorem 3 ga ko‘ra, \(D\neq0\) va Assumption 1 ostida quasi-regulator tenglamalari istalgan \(P,Q\) uchun yechiladigan bo‘lishi uchun va faqat shunda ikki tizim non-smooth non-resonant bo‘lishi kerak.

Minimum-phase tizimlar nima uchun muhim?

Tadqiqotdagi Proposition 2 quyidagi yetarli natijani beradi:

Boshqarilayotgan chiziqli tizim minimum phase bo‘lsa, Assumption 1 ostida non-smooth non-resonance sharti bajariladi.

Minimum-phase holatda transmission zero lar ochiq chap yarim tekislikda joylashadi va natijada \(A_z\) Hurwitz bo‘ladi. Shunday qilib:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

ko‘rinishidagi eksponensial kamayishdan foydalanib Definition 1 dagi integral hadning chegaralanganligi ko‘rsatiladi.

Minimum phase zarurmi?

Tadqiqot minimum-phase shartini zarur deb taqdim etmaydi. Proposition 2 faqat:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

natijasini o‘rnatadi.

Shuning uchun non-minimum-phase tizim barcha holatlarda yechilmaydi degan xulosani ushbu tadqiqotdan chiqarib bo‘lmaydi.

Yangi shart klassik non-resonance bilan qanday bog‘langan?

Klassik LTI output regulation muammosida exosystem:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

va shu sababli:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

bo‘lganda regulator equation Sylvester turidagi algebraik tenglamaga keltiriladi.

Klassik non-resonance shartining mohiyati:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

ya’ni tizim transmission zero lari bilan exosystem xos qiymatlari ustma-ust tushmasligidir.

Tadqiqot yangi non-smooth non-resonance sharti ushbu klassik g‘oyaning silliq bo‘lmagan va davriy bo‘lmagan signal generatorlariga kengaytirilgan shakli ekanini ko‘rsatadi.

Manbaning Remark 2 dagi muhim farqi shundaki, yangi boundedness sharti klassik xos qiymatlar ajralganligidan kuchliroq bo‘lishi mumkin. Boshqacha aytganda, spektrlarning faqat ustma-ust tushmasligi umumiy non-smooth/non-periodic generator uchun Definition 1 dagi barcha vaqt bo‘yicha chegaralanganlikni avtomatik kafolatlamaydi.

Yechimlar yagona bo‘ladimi?

Yo‘q. Remark 3 quasi-regulator tenglamalarining yechilishi yechim yagona degani emasligini aniq ko‘rsatadi.

Masalan minimum-phase holatda \(A_{11}\) Hurwitz bo‘lsa, turli:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

boshlang‘ich qiymatlar bilan boshlanuvchi turli yechimlar baribir chegaralangan bo‘lib qolishi mumkin. Shunday qilib turli bounded piecewise-continuous \(\Pi\) va \(\Delta\) yechimlari bir xil yechiluvchanlik shartini qanoatlantirishi mumkin.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• Quasi-regulator tenglamalari mos o‘zgartirish ostida DAE tizimiga ekvivalent.
• \(D=0\) holatda \(Q\Lambda\) ning lokal Lipschitz uzluksizligi yechiluvchanlik uchun zarur shartdir.
• Silliq bo‘lmagan chiqish dinamikasida tizimning nisbiy darajasi quasi-regulator yechiluvchanligiga ta’sir qiladi.
• \(D=0\) ostida zarur nisbiy daraja sharti \(r\le j^*+1\).
• \(D=0\), tegishli silliqlik farazlari va \(r=1\) ostida non-smooth non-resonance sharti istalgan \(P,Q\) uchun yechiluvchanlikning zarur va yetarli tavsifidir.
• \(D\neq0\) holatda xuddi shu zarur-yetarli natija qo‘shimcha \(r=1\) shartisiz olinadi.
• Minimum-phase bo‘lish yangi non-smooth non-resonance sharti uchun yetarli.
• Quasi-regulator yechimlari non-smooth non-periodic holatda yagona bo‘lishi shart emas.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan yoki sinamagan natijalar

• Tadqiqot ma’lum fizik plant ustida tajribaviy ishlash yaxshilanishini ko‘rsatmaydi.
• Boshqaruv algoritmining xato, o‘rnashish vaqti yoki energiya sarfi bo‘yicha sonli ustunligini taqqoslamaydi.
• Natijalar barcha nonlinear tizimlar uchun berilmagan; asosiy muammo SISO LTI tizim sinfi uchun qurilgan.
• Quasi-regulator tenglamalarining yechiluvchanligi o‘z-o‘zicha barcha mumkin bo‘lgan NNOR loyihalarining zarur sharti sifatida taqdim etilmaydi.
• \(D=0\) holatidagi \(r\le j^*+1\) sharti o‘z-o‘zicha yetarli emas.
• Minimum-phase bo‘lish yechiluvchanlik uchun zarur shart ekani ko‘rsatilmagan.
• Feedforward siz discontinuous chiqishni kuzatish uchun impulsive control varianti tahlil qilinmagan.
• Manba real PWM sxemasi, robot, kuch o‘zgartirgichi yoki sanoat tizimida amaliy tasdiqlashni bermaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tadqiqot tajribaviy emas, teoremaga asoslangan

Ushbu ishda klassik ma’noda tajriba guruhi, ma’lumotlar to‘plami, sensor, namuna hajmi yoki statistik gipoteza testi mavjud emas. Tadqiqot usuli matematik boshqaruv nazariyasiga asoslanadi.

Isbot tuzilishi asosan quyidagi vositalardan foydalanadi:

• integral quasi-regulator tenglamalarini DAE ko‘rinishiga aylantirish,
• funksiya silliqligi va local Lipschitz xossalari,
• nisbiy daraja tahlili,
• takroriy integrallar bilan ta’riflangan yordamchi \(V_j\) funksiyalari,
• chiziqli koordinata almashtirish,
• zero-dynamics va transmission-zero tuzilishi,
• Kronecker ko‘paytmasi,
• holat o‘tish matritsasi/integral yechimning chegaralanganlik tahlili,
• Hurwitz va minimum-phase xossalari.

Assumption 1

Exogenous signal generator uchun \(\Lambda(t,t_0)\) ning:

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

bo‘lishi va:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifodasi barcha \(t\ge\tau\ge t_0\) uchun uniform bounded bo‘lishi qabul qilinadi.

Assumption 2

\(D=0\) holatda:

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

piecewise differentiable bo‘lishi va:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

tegishli silliq vaqt oraliqlarida chegaralangan bo‘lib qolishi kerak.

Assumption 3

Theorem 2 ning asosiy zarur-yetarli natijasi uchun tizim:

\[ r=1 \]

ya’ni unitary relative degree xossasiga ega deb qabul qilinadi.

Tadqiqotdagi asosiy matematik natijalar xulosasi

\(D=0\) va \(D\neq0\) orasidagi asosiy farq

Klassik va yangi non-resonance yondashuvi farqi

Natija nima uchun ayniqsa nazariy boshqaruv nuqtai nazaridan muhim?

Boshqaruvchini loyihalashdan oldin ideal xatoni nolga tushiruvchi trayektoriyalar matematik jihatdan mavjud yoki mavjud emasligini bilish kerak. Agar quasi-regulator tenglamalari yechilmasa, ushbu tenglamalarga tayangan NNOR boshqaruv dizayni boshidanoq zarur qurilish blokini yo‘qotadi.

Shu tariqa ushbu ish “qaysi boshqaruvchi yaxshiroq?” degan savoldan ko‘ra fundamentalroq savolga javob beradi:

Silliq bo‘lmagan va davriy bo‘lmagan tayanch/buzuvchi signal ostida xatoni nolga tushiruvchi holat va kirish trayektoriyalarining mavjudligi qaysi tizim va signal xususiyatlariga bog‘liq?

Manbaning javobi shuki, feedforward tuzilmasi, signal silliqligi, tizimning nisbiy darajasi, transmission zero lar va yangi non-smooth non-resonance sharti birgalikda baholanishi kerak.

Tadqiqot cheklovlari

• Asosiy tizim sinfi SISO LTI tizimdir.
• Natijalar ta’riflangan Assumption 1–3 doirasidadir.
• Fizik yoki sonli amaliy misol keltirilmagan.
• \(D=0\) uchun umumiy zarur-yetarli natija ayniqsa unitary relative degree holatiga qaratilgan.
• Yuqoriroq nisbiy darajalar uchun Proposition 1 zarur shart bersa-da, to‘liq umumiy yechiluvchanlik tavsifi berilmagan.
• Feedforward bo‘lmagan haqiqiy discontinuous chiqishlarni kuzatish uchun impulsive control o‘rganilmagan.
• Quasi-regulator yechimining yagonaligi kafolatlanmagan.

Manba va Usul Haqida Izoh

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Mualliflar: Zirui Niu, Daniele Astolfi va Giordano Scarciotti.

Mualliflar tartibi: Manba versiyasidagi tartib aynan saqlangan.

Teng birinchi muallif/teng hissa: Ko‘rib chiqilgan versiyada teng hissa bayonoti mavjud emas.

Mas’ul muallif: Manbada alohida corresponding-author belgisi bo‘lmagani sababli muayyan muallif mas’ul muallif sifatida tayinlanmagan.

Muassasalar: Zirui Niu va Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Manbada berilgan aloqa ma’lumotlari: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Platforma: arXiv.

arXiv identifikatori: 2605.28665.

Ko‘rib chiqilgan versiya: arXiv:2605.28665v1.

Topshirilgan sana: 27 May 2026.

Kategoriyalar: Systems and Control (eess.SY); shuningdek arXiv qaydida Optimization and Control (math.OC) sohasi bilan bog‘langan.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Rasmiy qayd:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Nashr/taqriz holati: Ko‘rib chiqilgan hujjat arXiv preprint versiyasidir. Joriy arXiv metadata qaydida ish “7 pages, accepted by MTNS 2026” deb ko‘rsatilgan. Foydalanilgan manbalar konferensiya taqriz jarayonini alohida hujjatlashtirmagani sababli ushbu Verianla matnida holat “arXiv preprinti; MTNS 2026 ga qabul qilingan” tarzida berilgan va alohida taqrizli yakuniy proceedings nashri mavjuddek taqdim etilmagan.

Yakuniy proceedings bibliografiyasi: Ko‘rib chiqilgan manba va bajarilgan bibliografik tekshiruvda jild, sahifa, proceedings DOI yoki yakuniy MTNS 2026 bibliografik yozuvi tasdiqlanmagani uchun qo‘shilmagan.

Litsenziya: arXiv qaydidagi qayta foydalanish litsenziyasi umumiy Creative Commons nashr litsenziyasi sifatida talqin qilinmagan.

Moliyalashtirish: Ko‘rib chiqilgan ishda alohida moliyalashtirish bayonoti aniqlanmagan.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Ko‘rib chiqilgan ishda alohida competing-interests bayonoti aniqlanmagan.

Ma’lumot/kod: Tadqiqot nazariydir; alohida tajriba ma’lumotlar to‘plami yoki kod ombori bayonoti yo‘q.

CRediT/muallif hissalari: Ko‘rib chiqilgan versiyada alohida CRediT authorship statement mavjud emas.

Tadqiqot turi: Nazariy/matematik boshqaruv nazariyasi tahlili. Tajriba, dala o‘lchovi yoki sonli benchmark ishlash testi mavjud emas.

Asosiy matematik vositalar: Quasi-regulator integral tenglamalari, differential-algebraic equation o‘zgartirish, relative-degree tahlili, piecewise differentiability, repeated-integral yordamchi funksiyalar, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, Hurwitz/minimum-phase xossalari va boundedness tahlili.

Asosiy zarur shartlar: \(D=0\) holatda \(Q\Lambda\) ning local Lipschitz uzluksizligi va mos silliqlik ostida \(r\le j^*+1\).

Asosiy zarur-yetarli natija: \(D=0\), Assumption 1–3 va \(r=1\) ostida; shuningdek \(D\neq0\), Assumption 1 ostida quasi-regulator tenglamalarining istalgan \(P,Q\) uchun yechiluvchanligi non-smooth non-resonance shartiga ekvivalent.

Yetarli maxsus holat: Minimum-phase tizim bo‘lish non-smooth non-resonance sharti bajarilishi uchun yetarli; zarur ekanligi ko‘rsatilmagan.

Yechimning yagonaligi: Manba non-smooth non-periodic holatda bounded quasi-regulator yechimlar umuman olganda yagona bo‘lishi shart emasligini aniq ta’kidlaydi.

Ilmiy qamrov chegarasi: Natijalar manbada ta’riflangan matematik tizim sinfi va farazlar uchun yechiluvchanlik teoremalaridir. Ular fizik tizim ishlashi, sonli boshqaruv yutug‘i, barqarorlik zaxirasi yoki tajribaviy aniqlik natijasi emas.

Mazmun asosi: Ushbu Verianla izohi tadqiqotning muammo ta’rifi, quasi-regulator tenglamalari, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, matematik isbot oqimi va xulosa bo‘limiga asoslanadi. Bibliografik identifikatsiya/nashr holatini tekshirishdan tashqari tashqi manbalardan yangi ilmiy natija qo‘shilmagan.