Örtük neytral temperlənmiş Caputo kəsrli Volterra–Fredholm inteqral-diferensial tənliyi, kəsrli tərtibli və eksponensial temperləmə ehtiva edən Caputo törəməsini; keçmişdən asılı gecikdirilmiş arqumentləri, gələcəyə uzanan qabaqlayıcı arqumentləri, neytral funksional həddi və həm Volterra, həm də Fredholm inteqral operatorlarını eyni riyazi quruluş daxilində birləşdirən tənlik sinfidir. Abdulrahman A. Sharif və Muath Awadalla-nın tədqiqatı bu sinifdəki problemlər üçün həllin mövcudluğunu, yeganəliyini və dayanıqlığını sabit nöqtə nəzəriyyəsi vasitəsilə araşdırır. Skalyar fasiləsiz funksiyalar fəzasında Banach daralma prinsipi və Schauder sabit nöqtə teoremi; ümumi Banach fəzasında isə Darbo sabit nöqtə teoremi ilə Kuratowski kompakt olmama ölçüsü istifadə olunur. Tədqiqat həmçinin Ulam–Hyers–Rassias dayanıqlığı üçün yetərli şərtlər çıxarır və nəzəri quruluşu MATLAB R2023a ilə aparılmış ədədi nümunələr üzərində araşdırır.

Ədədi bölmədə temperlənmiş Caputo törəməsi L1 sxemi ilə diskretləşdirilir. Volterra və Fredholm inteqralları skalyar problemdə mürəkkəb Simpson qaydası, Banach fəzası problemində isə trapesiya qaydası ilə yaxınlaşdırılır; həllin hesablanmasında inteqral tənlik formasından alınmış sabit nöqtə iterasiyasından istifadə olunur. Problem 1 üçün şəbəkə incəldikcə müşahidə olunan yaxınlaşma tərtibi təxminən 1,38–1,44, Problem 2 üçün isə təxminən 1,37 kimi bildirilir. Sabit nöqtə iterasiyasının hesabatda verilən ilk altı addımında xəta nisbəti hər iki problemdə təxminən 0,273 səviyyəsində qalır. Lakin bu tədqiqat real fiziki sistem üzərində sahə yoxlaması aparmır; viskoelastiklik, idarəetmə nəzəriyyəsi və sinir dinamikası mənbədə model sinfinin mümkün motivasiyaları kimi təqdim olunur.

Temperlənmiş Caputo kəsrli törəməsi nədir?

Temperlənmiş Caputo kəsrli törəməsi klassik Caputo kəsrli törəməsinə eksponensial temperləmə çevrilməsi əlavə edərək uzunmüddətli yaddaşın kəsrli və qeyri-lokal xarakterini qoruyur, eyni zamanda uzaq keçmişin təsirinin eksponensial şəkildə zəiflədilməsini təmin edən kəsrli törəmə operatorudur.

Tədqiqatda temperləmə parametri \(w_1\geq 0\), kəsrli tərtib isə \(w\) ilə göstərilir. Əvvəlcə temperlənmiş Riemann–Liouville kəsrli inteqralı aşağıdakı quruluşla təyin olunur:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Burada \(\Gamma(w)\) Gamma funksiyasıdır. Nüvədəki \((\rho-\varpi)^{w-1}\) həddi kəsrli yaddaşı, \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) həddi isə temperləməni təmsil edir. \(w_1=0\) olduqda temperlənmiş inteqral klassik Riemann–Liouville kəsrli inteqralına çevrilir.

Temperlənmiş Caputo törəməsi isə mənbədə

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

şəklində qurulur. Bu tərif əvvəlcə funksiyanın \(e^{w_1\rho}\) ilə çəkiləndirilməsi, sonra klassik Caputo törəməsinin alınması və sonda \(e^{-w_1\rho}\) əmsalı ilə temperlənməsi deməkdir. Beləliklə model yalnız ani vəziyyətdən deyil, keçmiş vəziyyətlərin çəkili bütövündən də asılı qalır, çox uzaq keçmişin təsiri isə temperləmə parametri vasitəsilə zəiflədilir.

Keçmiş, cari və qabaqlayıcı zaman seqmentləri

Tədqiqatın mühüm xüsusiyyətlərindən biri həll funksiyasının yalnız \([0,\xi]\) əsas intervalında təyin edilməməsidir. Problem üçhissəli zaman quruluşundan istifadə edir: keçmiş seqmenti \([ -a,0]\), əsas həll seqmenti \([0,\xi]\) və qabaqlayıcı seqment \([\xi,\xi+g]\). Mənbədə \(a,g>0\) qəbul edilir.

Bir \(\rho\) nöqtəsi ətrafında funksiyanın keçmişi və qabaqlayıcı hissəsi

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

seqmenti ilə təmsil olunur. Beləliklə tənliyin sağ tərəfi yalnız \(k(\rho)\) qiymətini deyil, həm də \(\rho\) ətrafındakı gecikdirilmiş və qabaqlayıcı qiymətləri istifadə edə bilər.

Volterra və Fredholm hədləri bu modeldə nəyi təmsil edir?

Volterra həddi yuxarı sərhədi cari dəyişən \(\rho\) olan və buna görə həllin \(\rho\)-ya qədər yığılan keçmişini təmsil edən inteqral operatorudur; Fredholm həddi isə sabit \([0,\xi]\) intervalının hamısı üzrə inteqral aldığı üçün daha qlobal qarşılıqlı təsiri və ya bütün intervalın töhfəsini təmsil edir.

Tədqiqatın əsas tənliyindəki iki inteqral quruluş aşağıdakılardır:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

Birinci inteqralın yuxarı sərhədinin \(\rho\) olması o deməkdir ki, qiymətləndirmə nöqtəsi irəlilədikcə nəzərə alınan keçmiş interval da böyüyür. İkinci inteqral isə hər \(\rho\) üçün bütün \([0,\xi]\) intervalını əhatə edir. Mənbə tədqiqatı bu quruluşu tarixçə/yaddaşdan asılı təsirlərlə daha qlobal qarşılıqlı təsirlərin eyni modeldə birləşdirilməsinin riyazi yolu kimi nəzərdən keçirir.

Əsas örtük neytral problem

Tədqiqatın mərkəzindəki problem sadələşdirilmiş işarələmə ilə aşağıdakı quruluşa malikdir:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Tənlik örtükdür, çünki kəsrli törəmə yalnız sol tərəfdə yerləşmir; \(F\) funksiyasının girişlərindən biri kimi sağ tərəfdə də mövcuddur. Neytraldır, çünki törəmə birbaşa \(k(\rho)\) üzərində deyil, \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) birləşməsi üzərində alınır. Buna gecikdirilmiş və qabaqlayıcı arqumentlərin, eləcə də iki fərqli inteqral operatorunun əlavə edilməsi klassik başlanğıc qiymət məsələlərindən daha mürəkkəb funksional quruluş yaradır.

Niyə sabit nöqtə nəzəriyyəsindən istifadə olunur?

Müəlliflər diferensial problemi uyğun inteqral tənliyə çevirərək həlli bir operatorun sabit nöqtəsi kimi nəzərdən keçirirlər. Bir \(S\) operatoru üçün \(Sk=k\) bərabərliyini ödəyən funksiya ilkin inteqral-diferensial problemin həllinə uyğun gəlir. Bu çevrilmə sayəsində mövcudluq və yeganəlik problemi diferensial tənliyin birbaşa həllindən operatorun müəyyən funksiyalar fəzalarında hansı xassələri ödədiyinin araşdırılmasına keçirilir.

Kuratowski kompakt olmama ölçüsü

Ümumi Banach fəzasında klassik kompaktlıq şərtləri birbaşa əlverişli olmaya bilər. Buna görə mənbə məhdud \(M\) çoxluğuna, onu sonlu sayda kiçik diametrli çoxluqlarla örtmək üçün tələb olunan miqyasa əsaslanan kompakt olmama ölçüsü təyin edir. Ölçünün sıfır olması müvafiq çoxluğun kompakt olduğunu ifadə edir. Darbo yanaşmasında məqsəd həll operatorunun bu ölçünü \(q<1\) əmsalı ilə azaltdığını göstərməkdir.

Modelin tətbiq konteksti necə şərh edilməlidir?

Mənbə bu riyazi sinfi viskoelastiklik, idarəetmə nəzəriyyəsi, ötürmə xətləri və sinir dinamikası kimi yaddaş, gecikmə və ya qabaqlama təsirləri ehtiva edə bilən sistemlərlə əlaqələndirir. Bununla belə, tədqiqat bu sahələrdən heç birində real eksperimental məlumatdan istifadə etmir və müəyyən fiziki sistem üzərində sahə doğrulaması aparmır. Buna görə bu tətbiqlər modelin riyazi motivasiyalarıdır; tədqiqatın birbaşa doğrulanmış mühəndislik və ya bioloji performans nəticələri deyil.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tədqiqat həllin mövcudluğunu və yeganəliyini necə qurur?

Skalyar problemdə həll operatorunun uyğun Lipschitz və artım şərtləri altında daralma olduğu göstərildikdə Banach prinsipi yeganə həll verir; daha zəif kompaktlıq şərtlərində Schauder ən azı bir həlli təmin edir, ümumi Banach fəzasına keçildikdə isə Darbo teoremi və Kuratowski kompakt olmama ölçüsü vasitəsilə ən azı bir həll əldə edilir.

Skalyar problemdə yeganəlik şərti

Mənbənin H1–H6 fərziyyələri \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) və \(\hbar_2\) üçün fasiləsizlik, Lipschitz və artım nəzarətləri qoyur. Teorem 4-də aşağıdakı kəmiyyət şərti mərkəzi rol oynayır:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Sol tərəfdəki cəm həll operatorunun ümumi həssaslığının yuxarı sərhədi kimi davranır. \(\lambda\) neytral həddin \(k^\rho\)-dakı dəyişikliklərə həssaslığını; \(\mu\), \(A\), \(A_1\) və \(A_2\) isə \(F\)-in müxtəlif girişlərindən asılı Lipschitz əmsallarını; \(\delta_1\) və \(\delta_2\) inteqral nüvələrinin həll dəyişəninə həssaslığını təmsil edir. Bu birləşik əmsal birdən kiçik olduqda operator daralmadır və sabit nöqtə yeganədir.

Mənbənin skalyar tətbiqində \(w=1/3\) və \(w_1=1\) istifadə olunur. Verilmiş xüsusi \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) və \(\hbar_2\) funksiyalarından alınan əmsallar yeganəlik bərabərsizliyinə yerləşdirildikdə mənbə təxminən

\[ 0.1685<1 \]

qiymətini hesablayır. Bu nəticə mənbədə müəyyən edilmiş Problem (16)–(18) üçün Teorem 4-ün yetərli şərtinin ödəndiyini və problemin yeganə həllə malik olduğunu göstərir.

Schauder ilə mövcudluq

Mənbə yeganəliyi tələb etmədən yalnız həllin mövcudluğunu əldə etmək üçün Schauder sabit nöqtə teoreminə də müraciət edir. Burada həll operatorunun fasiləsizliyi, uyğun məhdud-qapalı-qabarıq çoxluğu öz daxilinə göndərməsi və təsvirin bərabərfasiləsiz/nisbətən kompakt olması göstərilir. Nəticə odur ki, müvafiq fərziyyələr və mənbədə verilən yuxarı sərhəd şərti altında problemin ən azı bir həlli vardır. Schauder nəticəsi yeganəliyə zəmanət vermir.

Ümumi Banach fəzasına genişləndirmə

Tədqiqatın ikinci əsas nəzəri addımı skalyar \(\mathbb{R}\)-qiymətli problemdən ümumi Banach fəzası \(E\)-yə keçiddir. Bu halda həll \(k(\rho)\) artıq mütləq real ədəd deyil; Banach fəzasının elementi ola bilər. Mənbə H7–H14 tipli fərziyyələr altında həll operatorunun fasiləsizliyini, uyğun çoxluğu öz daxilinə göndərməsini, bərabərfasiləsizliyini və kompakt olmama ölçüsünü azaltma xassəsini qurur.

Teorem 6-nın əsas şərti mənbə işarələməsi ilə ümumiləşdirildikdə

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

şəklindədir. Bu bərabərsizlik Darbo sabit nöqtə çərçivəsinin tələb olunan daralma xassəsini verir. Mənbədə \(\ell^1\) fəzasında qurulan tətbiqdə hesablanan qiymət təxminən

\[ 0.00422987<1 \]

olduğuna görə Problem (21)–(23) üçün ən azı bir həll tapıldığı nəticəsinə gəlinir.

Ulam–Hyers–Rassias dayanıqlığı nəyi ifadə edir?

Ulam–Hyers–Rassias dayanıqlığı tənliyi kiçik və nəzarət olunan qalıq xəta ilə ödəyən təxmini həllin uyğun fərziyyələr altında həqiqi həllə yenə nəzarət olunan məsafədə qalmasını ifadə edir; tədqiqat bu məsafəni \(\varepsilon\) və çəki funksiyası \(\Delta(\rho)\) ilə məhdudlaşdırır.

Mənbədə dayanıqlığın əsas hədəfi aşağıdakı formadadır:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

burada \(k\) perturbasiya edilmiş bərabərsizliyi ödəyən təxmini həll, \(\bar{k}\) ilkin problemin həlli və \(\lambda_{F,\Delta}>0\) mənbə fərziyyələrindən çıxarılan dayanıqlıq sabitidir. Bu nəticə tənlikdə kiçik qalıq xətanın mövcudluğunun həlli nəzarətsiz şəkildə uzaqlaşdırmadığını riyazi olaraq məhdudlaşdırır.

Teorem 7 həmçinin azalmayan \(\Delta\) funksiyasından və

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

şərtindən istifadə edir. Mənbə mətnində Teorem 7-nin fərziyyələri arasında “condition (15)” ifadəsi də vardır. Banach fəzası bölməsində sabitlərin işarələnməsi fərqli olduğuna görə bu çarpaz istinad burada səssizcə yenidən nömrələnməmiş və ya düzəldilməmişdir.

Ədədi üsul

Ədədi təcrübələr MATLAB R2023a ilə aparılır. Temperlənmiş Caputo törəməsi üçün L1 yaxınlaşmasından istifadə edilir. Mənbə \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) çevrilməsini klassik L1 diskretləşdirməsinə tətbiq edir və nəticəni \(e^{-w_1\rho_k}\) ilə temperləyir. Çəkilər

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

şəklində təyin edilir. Kifayət qədər hamar \(f\) üçün mənbə lokal kəsilmə xətasının \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) tərtibində olduğunu bildirir.

Volterra və Fredholm inteqralları Problem 1-də mürəkkəb Simpson qaydası ilə, \(\ell^1\) Banach fəzası problemində isə trapesiya qaydası ilə hesablanır. Hər iterasiyada kəsrli törəmə, Volterra inteqralı, Fredholm inteqralı və örtük \(F\) həddi yenilənir; sonra inteqral düsturundan yeni həll yaxınlaşması yaradılır.

Problem 1: skalyar sonlu-interval nümunəsi

Problem 1-də kəsrli tərtib \(w=1/3\), temperləmə parametri \(w_1=1\), əsas sahə \([0,1]\) və ədədi yaxınlaşma tolerantlığı \(10^{-6}\) kimi verilir. Şəbəkə həssaslığını qiymətləndirmək üçün \(N=1600\) həlli istinad həlli kimi istifadə olunur.

Empirik yaxınlaşma tərtibi

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

ilə hesablanır. Şəbəkə incəldikcə istinad həllinə görə xəta müntəzəm şəkildə azalır və hesabatda verilən son iki addımda tərtib təxminən 1,44-ə çatır.

Mənbədə tam analitik həll olmadığı üçün iterasiya cədvəlindəki “Maximum Error” həqiqi həllə görə xəta deyil. Bu kəmiyyət

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

kimi, yəni ardıcıl iki sabit nöqtə iterasiyası arasındakı fərq kimi təyin edilmişdir. Buna görə hesabatda verilən ilk altı addımda qiymət 0.154327-dən 0.000234-ə enir, ardıcıl xəta nisbəti isə təxminən 0.273 səviyyəsində qalır.

Şərh sərhədi:Mənbə alqoritmdə \(10^{-6}\) tolerantlıq göstərsə də, hesabatda verilən altıncı iterasiyadakı fərq \(2.34\times10^{-4}\)-dür. Buna görə cədvəl altı addımda aydın həndəsi yaxınlaşmanı və təxminən 0.273 daralma davranışını göstərir; cədvəlin özü altıncı addımda \(10^{-6}\) dayandırma tolerantlığına çatıldığını göstərmir.

Mənbənin Şəkil 1-i dörd paneldən ibarətdir: şəbəkə yaxınlaşması, bütün həll profili, temperlənmiş kəsrli törəmə və Volterra–Fredholm inteqral töhfələri. Verianla baxımından bu şəkil mənbə məlumatlarından istifadə etməklə orijinal qrafik tərtibatında yenidən çəkilməyə uyğundur; mənbə şəklinin piksel və ya dizayn surətinə ehtiyac yoxdur.

Problem 2: \(\ell^1\) Banach fəzası nümunəsi

İkinci problem sonsuzölçülü \(\ell^1\) ardıcıllıqlar fəzasında təyin edilir. Kəsrli tərtib yenə \(w=1/3\), lakin temperləmə parametri \(w_1=3\)-dür. Ədədi hesablama sonsuz sayda komponenti birbaşa işləyə bilmədiyi üçün sistem ilk \(M\) komponentə qədər kəsilir.

Mənbə komponentlərin indeks böyüdükcə sürətlə azalmasına əsaslanaraq \(10^{-6}\) üçün konservativ kəsmə səviyyəsinin \(M=1000\) olacağını bildirir. Bununla belə, cədvəllərdə hesablama və təqdimat asanlığı üçün \(M=5\) istifadə edilmiş; əlavə olaraq \(M=20\) və \(M=50\) hesablamalarının aparıcı komponentlər və \(\ell^1\) norması baxımından fərqləndirilməyən nəticələr verdiyi bildirilmişdir.

Bu problemdə ilk üç komponent mənbədə müntəzəm miqyaslanmış quruluş göstərir. Məsələn, \(\rho=1\)-də \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) və \(k_3=0.181070\) kimi bildirilir.

İlk altı iterasiya üçün ardıcıl həll fərqi 0.142567-dən 0.000217-yə enərkən bildirilən daralma nisbəti təxminən 0.273 ətrafında qalır. Problem 2-nin şəbəkə yaxınlaşma tərtibi təxminən 1.37-dir. Mənbə həmçinin \(w_1=3\) temperləməsində kəsrli törəmənin Problem 1-dəki \(w_1=1\) vəziyyətinə nisbətən daha sürətlə azaldığını bildirir.

PDF-nin 32. səhifəsindəki Şəkil 2; şəbəkə xətasını və 1.37 meylini, ilk üç həll komponentini, \(k_1\)-in temperlənmiş kəsrli törəməsini və \(\ell^1\) normasının \([0,1]\) boyunca dəyişməsini birlikdə göstərir.

İki problem birlikdə nə göstərir?

Mənbənin ədədi nümunələri şəbəkə incəldikcə istinad həllinə görə xətanın azaldığını, sabit nöqtə iterasiyalarında oxşar təxminən 0.273 daralma nisbətlərinin yarandığını və həm skalyar, həm də \(\ell^1\) quruluşunda hamar həll profillərinin alındığını göstərir. Problem 2-də daha böyük temperləmə parametri kəsrli törəmə töhfəsinin daha sürətlə azalması ilə əlaqələndirilir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticə:Müəyyən edilmiş fasiləsizlik, Lipschitz, artım və kompakt olmama şərtləri altında bu tənlik sinfi üçün həllin mövcudluğu, müəyyən skalyar şərtlərdə həllin yeganəliyi və Ulam–Hyers–Rassias dayanıqlığı riyazi olaraq qurula bilər. Verilmiş xüsusi nümunələr müvafiq yetərli şərtləri ödəyir; ədədi üsullar da seçilmiş nümunələrdə müntəzəm yaxınlaşma davranışı göstərir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticə:Tədqiqat bütün örtük kəsrli Volterra–Fredholm problemlərinin şərtsiz olaraq yeganə həllə malik olduğunu göstərmir. Riyazi yetərli şərtlər pozulduqda eyni nəticə avtomatik olaraq qüvvədə deyil. Ədədi simulyasiyalar sabit nöqtə teoremlərini əvəz edən müstəqil riyazi sübut deyil. Bundan əlavə, viskoelastik, bioloji, sinir və ya idarəetmə sistemlərində real sahə performansı bu tədqiqatda eksperimental olaraq doğrulanmamışdır.

Mənbədə diqqət tələb edən iki hesabat məqamı

Birinci məqam Teorem 7-nin H7–H12 fərziyyələrinə əlavə olaraq “condition (15)” ifadəsinə istinad etməsidir. Mənbənin Banach-fəzası bölməsində ayrıca sabit və əmsal işarələməsi olduğuna görə bu çarpaz istinad Verianla tərəfindən səssizcə başqa tənlik nömrəsinə çevrilməmişdir.

İkinci məqam odur ki, ədədi üsul üçün \(10^{-6}\) tolerantlıq göstərildiyi halda mənbə cədvəlləri yalnız ilk altı iterasiyanı göstərir və altıncı addımdakı ardıcıl iterasiya fərqləri hələ də təxminən \(2\times10^{-4}\) səviyyəsindədir. Buna görə Verianla izahı mənbədə ayrıca keçən “altı iterasiyada yaxınlaşma” ifadəsini altı iterasiyada \(10^{-6}\) tolerantlığa çatıldığı kimi genişləndirmir.

Gələcək tədqiqat istiqamətləri

Mənbə gələcək tədqiqatlar üçün daha ixtisaslaşmış ədədi alqoritmlərin hazırlanmasını, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard və ya Katugampola tipli başqa kəsrli operatorlara genişləndirməni, optimal idarəetmə problemlərini, müəyyən fiziki-bioloji-mühəndislik-iqtisadi modellərə tətbiqləri, stoxastik perturbasiyaları və bir-birinə bağlı tənlik sistemlərini təklif edir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal tədqiqat: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Müəlliflər: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Qurumlar: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Jurnal: Mathematics.

Nəşriyyat: MDPI.

Biblioqrafik qeyd: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Göndərilmə:4 yanvar 2026.Reviziya:24 yanvar 2026.Qəbul:26 yanvar 2026.Nəşr:29 yanvar 2026.

Mənbə növü:Rəyçi qiymətləndirməsindən keçmiş akademik tədqiqat məqaləsi; nəzəri riyazi analiz, struktur nümunələri və ədədi simulyasiyalar ehtiva edir.

Lisenziya:Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla mətni mənbə məqalənin cümlələrini və ya şəkil dizaynını yenidən dərc etmək əvəzinə elmi faktları, tənlikləri, metodları, nəticələri və məhdudiyyətləri müstəqil öyrədici izahla yenidən qurmuşdur.

Maliyyələşdirmə:Tədqiqat King Faisal University tərkibindəki Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research tərəfindən KFU260481 nömrəli qrantla dəstəklənmişdir.

Məlumatların əlçatanlığı:Müəlliflər tədqiqatın orijinal töhfələrinin məqalənin daxilində olduğunu, əlavə sualların corresponding author-lara yönəldilə biləcəyini bildirirlər.

Maraq toqquşması:Müəlliflər maraq toqquşması bildirməmişlər.

Müəllif töhfələri:Abdulrahman A. Sharif konseptuallaşdırma, metodologiya və ilkin qaralama yazısını; Muath Awadalla isə nəzərdən keçirmə və redaktəni üzərinə götürmüşdür. Nəzəri araşdırma və formal analiz hər iki müəllif tərəfindən həyata keçirilmişdir.

Metodoloji məhdudiyyət:Nəticələr mənbədə müəyyən edilmiş yetərli riyazi fərziyyələrdən asılıdır. Ədədi bölmə iki xüsusi problem üzərində işləyir və real dünya sahə doğrulaması deyil. \(\ell^1\) nümunəsinin hesablanması sonsuzölçülü fəzanın sonlu sayda komponentə kəsilməsi ilə həyata keçirilmişdir.

Ədədi hesabat məhdudiyyəti:Mənbədə \(10^{-6}\) iterasiya tolerantlığı göstərilsə də, dərc olunmuş altı-addımlı cədvəllərdə son ardıcıl iterasiya fərqləri bu həddən böyükdür. Buna görə Verianla mənbədə görünən həndəsi daralma davranışını ötürür, lakin altı iterasiyada \(10^{-6}\) tolerantlığa çatıldığı nəticəsini müstəqil şəkildə çıxarmır.

Şəklin yenidən çəkilməsinə uyğunluq:Uyğundur. Mənbənin Cədvəl 1–7 məlumatlarından tamamilə yeni Verianla qrafik kompozisiyaları hazırlana bilər. PDF-nin Şəkil 1 və Şəkil 2-dəki elmi mesaj yenidən çəkilə bilər; orijinal şəkil tərtibatını kopyalamağa ehtiyac yoxdur.

Verianla Live / Live Figure uyğunluğu:Qismən uyğundur. Sabit nöqtə iterasiyasındakı xətanın azalması, şəbəkə yaxınlaşması və \(\ell^1\) normasının dəyişməsi mənbə məlumatları dəyişdirilmədən oynat/dayandır/yenidən başlat formasında təqdim edilə bilər. İstifadəçiyə \(w\), \(w_1\), tolerantlıq və ya digər elmi parametrləri dəyişərək yeni nəticə yaratmaq nəzarəti verilməməlidir.