Żımnî neutral tempered Caputo kesrî Volterra–Fredholm muʿâdele-i tamâmî-tefâżuliyyesi, kesrî mertebeli ve üssî tempering ihtivâ eden bir Caputo müştaḳını; mâżîye merbûṭ teʾḫîrli argümanları, istikbâle müteveccih müteḳaddim argümanları, neutral functional terimi ve hem Volterra hem Fredholm integral operatörlerini aynı heyʾet-i riyâżiyye dâhilinde cemʿ eden bir muʿâdele sınıfıdır. Abdulrahman A. Sharif ile Muath Awadalla'nın tedḳîḳi, bu sınıftaki mesâʾilin ḥallerinin mevcûdiyyetini, yegâneliğini ve istiḳrârını sâbit noḳṭa nazariyyesi vâsıṭasıyla tetkîḳ eder. Scalar mütemâdî fonksiyonlar feżâsında Banach daralma prensibi ve Schauder sâbit noḳṭa teoremi; umûmî Banach feżâsında ise Darbo sâbit noḳṭa teoremi ile Kuratowski noncompactness ölçüsü istiʿmâl olunur. Tedḳîḳ ayrıca Ulam–Hyers–Rassias istiḳrârı için kâfî şarṭlar istinbâṭ eder ve nazarî bünyeyi MATLAB R2023a ile icrâ olunan ʿadedî misâller üzerinden tetkîḳ eder.

ʿAdedî kısımda tempered Caputo müştaḳı L1 şemasıyla tefrîḳ olunur. Volterra ve Fredholm integralleri scalar mesʾelede mürekkeb Simpson ḳāʿidesiyle, Banach feżâsı mesʾelesinde trapez ḳāʿidesiyle taḳrîb olunur; ḥallin ḥesâbında muʿâdele-i tamâmiyye sûretinden müştakk olan sâbit noḳṭa iterasyonu istiʿmâl edilir. Problem 1 için şebeke inceldikçe müşâhede olunan taḳarrub mertebesi taḳrîben 1,38–1,44, Problem 2 için taḳrîben 1,37 diye rapor olunur. Sâbit noḳṭa iterasyonunun rapor edilen ilk altı ḳademesindeki ḫaṭâ nisbeti iki mesʾelede de taḳrîben 0,273 mertebesinde kalır. Lâkin bu tedḳîḳ hakîḳî bir fizikî sistem üzerinde saha taṣdîḳi icrâ etmez; viscoelasticity, control theory ve neural dynamics menbaʿda model sınıfının muḥtemel saikleri olarak zikr olunur.

Tempered Caputo kesrî müştaḳı nedir?

Tempered Caputo kesrî müştaḳı, klasik Caputo kesrî müştaḳına üssî bir tempering tahvîli ilâve ederek uzun müddetli hâfıżanın kesrî ve gayr-i mevżiʿî mâhiyyetini muhâfaża ederken uzak mâżînin teʾsîrini üssî sûrette tażʿîf eden bir kesrî müştaḳ operatörüdür.

Tedḳîḳde tempering parametresi \(w_1\geq 0\), kesrî mertebe ise \(w\) ile gösterilir. Evvelâ tempered Riemann–Liouville kesrî integrali şu heyʾetle taʿrîf olunur:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Burada \(\Gamma(w)\) Gamma fonksiyonudur. Çekirdekteki \((\rho-\varpi)^{w-1}\) terimi kesrî hâfıżayı, \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) terimi ise tempering'i temsîl eder. \(w_1=0\) olduğunda tempered integral klasik Riemann–Liouville kesrî integraline ircâʿ olunur.

Tempered Caputo müştaḳı ise menbaʿda

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

sûretinde kurulmuştur. Bu taʿrîf, evvelâ fonksiyonun \(e^{w_1\rho}\) ile vezinlendirilmesi, baʿdehû klasik Caputo müştaḳının alınması ve nihâyet \(e^{-w_1\rho}\) ʿâmiliyle temper edilmesi maʿnâsına gelir. Böylece model yalnız hâl-i ânîye değil, mâżîdeki hâllerin mevzûn bir mecmûʿuna da tâbiʿ kalırken pek uzak mâżînin teʾsîri tempering parametresi vâsıṭasıyla tażʿîf olunur.

Mâżî, hâl ve müteḳaddim zamân segmentleri

Tedḳîḳin mühim ḫuṣûṣiyyetlerinden biri, ḥall fonksiyonunun yalnız \([0,\xi]\) esâs aralığında taʿrîf olunmamasıdır. Mesʾele üç parçalı bir zamân heyʾeti istiʿmâl eder: mâżî segmenti \([ -a,0]\), esâs ḥall segmenti \([0,\xi]\) ve müteḳaddim segment \([\xi,\xi+g]\). Menbaʿda \(a,g>0\) alınır.

Bir \(\rho\) noḳṭası etrâfındaki fonksiyonun mâżîsi ve müteḳaddim kısmı

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

segmentiyle temsîl olunur. Böylece muʿâdelenin sağ tarafı yalnız \(k(\rho)\) kıymetini değil, \(\rho\) etrâfındaki teʾḫîrli ve müteḳaddim kıymetleri dahi istiʿmâl edebilir.

Volterra ve Fredholm terimleri bu modelde neyi temsîl eder?

Volterra terimi üst ḥaddi hâzır müteġayyir \(\rho\) olan ve binâenaleyh ḥallin \(\rho\)'ya kadar müterâkim mâżîsini temsîl eden integral operatörüdür; Fredholm terimi ise sâbit \([0,\xi]\) aralığının tamâmı üzerinden integral aldığı için daha küllî bir teʿâmülü yahut bütün-aralık hissəsini temsîl eder.

Tedḳîḳin esâs muʿâdelesindeki iki integral heyʾeti şunlardır:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

İlk integralin üst ḥaddinin \(\rho\) olması, taḳdîr noḳṭası ilerledikçe ḥesâba dâhil olunan mâżî aralığının da büyümesi demektir. İkinci integral ise her \(\rho\) için bütün \([0,\xi]\) aralığını ihâṭa eder. Menbaʿ tedḳîḳi bu heyʾeti târîḫî/hâfıżaya merbûṭ teʾsîrlerle daha küllî teʿâmüllerin aynı model içinde cemʿ olunmasının riyâżî bir yolu olarak mütâlaʿa eder.

Esâs żımnî neutral mesʾele

Tedḳîḳin merkezindeki mesʾele, sadeleştirilmiş işâretle şu heyʾete mâliktir:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Muʿâdele żımnîdir, zîrâ kesrî müştaḳ yalnız sol tarafta bulunmaz; \(F\) fonksiyonunun medḫallerinden biri olmak üzere sağ tarafta dahi mevcûddur. Neutral'dir, zîrâ müştaḳ doğrudan \(k(\rho)\) üzerinde değil, \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) terkîbi üzerinde alınır. Buna teʾḫîrli ve müteḳaddim argümanlarla iki muḫtelif integral operatörünün ilâvesi, klasik başlangıç kıymeti mesâʾilinden daha mürekkeb bir functional heyʾet vücûda getirir.

Niçin sâbit noḳṭa nazariyyesi istiʿmâl olunur?

Müʾellifler tefâżulî mesʾeleyi münâsib bir muʿâdele-i tamâmiyyeye tahvîl ederek ḥalli bir operatörün sâbit noḳṭası olarak mütâlaʿa ederler. Bir \(S\) operatörü için \(Sk=k\) müsâvâtını sağlayan fonksiyon, aṣlî tamâmî-tefâżulî mesʾelenin ḥalline tekābül eder. Bu tahvîl sâyesinde mevcûdiyyet ve yegânelik mesʾelesi, muʿâdele-i tefâżuliyyenin doğrudan ḥallinden operatörün muʿayyen fonksiyon feżâlarında hangi ḫaṣâʾiṣi hâʾiz olduğunun tedḳîḳine intikāl eder.

Kuratowski noncompactness ölçüsü

Umûmî Banach feżâsında klasik kompaktlık şarṭları doğrudan müfîd olmayabilir. Menbaʿ bu sebeple mahdûd bir \(M\) mecmûʿasına, onu mahdûd ḳaṭrlı küçük mecmûʿalarla sonlu adedde örtmek için lâzım gelen miḳyâsa müstenid bir noncompactness ölçüsü taʿyîn eder. Ölçünün ṣıfır olması alâḳalı mecmûʿanın kompakt olduğunu ifâde eder. Darbo usûlünde maḳṣad, ḥall operatörünün bu ölçüyü \(q<1\) żarîbiyle tenḳîṣ ettiğini göstermektir.

Modelin taṭbîḳ bağlamı nasıl tefsîr edilmelidir?

Menbaʿ bu riyâżî sınıfı viscoelasticity, control theory, transmission lines ve neural dynamics gibi hâfıża, teʾḫîr yahut öngörü teʾsîrlerini hâvî olabilen sistemlerle irtibâṭlandırır. Bununla beraber tedḳîḳ bu sahalardan hiçbirinde hakîḳî tecrübe verisi istiʿmâl etmez ve muʿayyen bir fizikî sistem üzerinde saha taṣdîḳi icrâ etmez. Binâenaleyh bu taṭbîḳlar modelin riyâżî saikleridir; tedḳîḳin doğrudan taṣdîḳ edilmiş mühendislik yahut biyolojik performans netîceleri değildir.

Tedḳîḳin Usûlü ve Netîceleri

Tedḳîḳ ḥallin mevcûdiyyetini ve yegâneliğini nasıl teʾsîs eder?

Scalar mesʾelede ḥall operatörünün münâsib Lipschitz ve nemâ şarṭları tahtında daralma olduğu gösterildiğinde Banach prensibi yegâne ḥalli verir; daha żaʿîf kompaktlık şarṭlarında Schauder en az bir ḥall teʾmîn eder, umûmî Banach feżâsına geçildiğinde ise Darbo teoremi ve Kuratowski noncompactness ölçüsü istiʿmâliyle en az bir ḥall elde olunur.

Scalar mesʾelede yegânelik şarṭı

Menbaʿın H1–H6 farżiyyeleri; \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ve \(\hbar_2\) için mütemâdîlik, Lipschitz ve nemâ murâḳabeleri vazʿ eder. Teorem 4'te aşağıdaki miḳdârî şarṭ merkezî bir mevḳiʿ tutar:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Sol taraftaki mecmûʿ, ḥall operatörünün küllî ḥassâsiyyetinin bir üst ḥaddi gibi ʿamel eder. \(\lambda\), neutral terimin \(k^\rho\)'daki tebeddüllere ḥassâsiyyetini; \(\mu\), \(A\), \(A_1\) ve \(A_2\), \(F\)'nin muḫtelif medḫallerine tâbiʿ Lipschitz żarîblerini; \(\delta_1\) ve \(\delta_2\) ise integral çekirdeklerinin ḥall müteġayyirine ḥassâsiyyetini temsîl eder. Bu mürekkeb żarîb birden küçük olduğunda operatör daralmadır ve sâbit noḳṭa yegânedir.

Menbaʿın scalar taṭbîḳında \(w=1/3\) ve \(w_1=1\) istiʿmâl olunur. Verilen ḫuṣûṣî \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) ve \(\hbar_2\) fonksiyonlarından elde olunan żarîbler yegânelik nâmüsâvâtına konulduğunda menbaʿ taḳrîben

\[ 0.1685<1 \]

kıymetini ḥesâb eder. Bu netîce, menbaʿda taʿrîf olunan Problem (16)–(18) için Teorem 4'ün kâfî şarṭının sağlandığını ve mesʾelenin yegâne ḥalle mâlik olduğunu gösterir.

Schauder ile mevcûdiyyet

Menbaʿ yegâneliği mecbûr kılmaksızın yalnız ḥallin mevcûdiyyetini elde etmek için Schauder sâbit noḳṭa teoremine dahi mürâcaʿat eder. Burada ḥall operatörünün mütemâdîliği, münâsib mahdûd-maḳfûl-konveks mecmûʿayı kendi içine irsâl etmesi ve sûretin equicontinuous/nisbeten kompakt olması gösterilir. Netîce, alâḳalı farżiyyeler ve menbaʿda verilen üst ḥadd şarṭı tahtında mesʾelenin en az bir ḥalli olduğudur. Schauder netîcesi yegâneliği żamân etmez.

Umûmî Banach feżâsına tevsiʿ

Tedḳîḳin ikinci esâs nazarî ḳademesi, scalar \(\mathbb{R}\) kıymetli mesʾeleden umûmî bir Banach feżâsı \(E\)'ye geçmektir. Bu hâlde ḥall \(k(\rho)\) artık bir ʿaded-i hakîḳî olmak mecbûriyyetinde değildir; Banach feżâsında bir unsur olabilir. Menbaʿ, H7–H14 nevʿinden farżiyyeler tahtında ḥall operatörünün mütemâdîliğini, münâsib mecmûʿayı kendi içine irsâl ettiğini, equicontinuity'sini ve noncompactness ölçüsünü tenḳîṣ etme ḫaṣṣasını teʾsîs eder.

Teorem 6'nın esâs şarṭı menbaʿ notasyonuyla ḫulâṣa olunduğunda

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

sûretindedir. Bu nâmüsâvât Darbo sâbit noḳṭa çerçevesinin lâzım olan tenḳîṣ ḫaṣṣasını verir. Menbaʿda \(\ell^1\) feżâsında kurulan taṭbîḳda ḥesâb olunan kıymet taḳrîben

\[ 0.00422987<1 \]

olduğundan Problem (21)–(23) için en az bir ḥall bulunduğu netîcesine varılır.

Ulam–Hyers–Rassias istiḳrârı neyi ifâde eder?

Ulam–Hyers–Rassias istiḳrârı, muʿâdeleyi küçük ve murâḳabe olunan bir bâḳī ḫaṭâ ile sağlayan taḳrîbî bir ḥallin, münâsib farżiyyeler tahtında hakîḳî bir ḥalle yine murâḳabe olunan bir mesâfede kalmasını ifâde eder; tedḳîḳ bu mesâfeyi \(\varepsilon\) ve vezin fonksiyonu \(\Delta(\rho)\) ile ḥaddeder.

Menbaʿda istiḳrârın esâs hedefi şu sûrettedir:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

burada \(k\), perturb edilmiş nâmüsâvâtı sağlayan taḳrîbî ḥall, \(\bar{k}\) aṣlî mesʾelenin ḥalli ve \(\lambda_{F,\Delta}>0\) menbaʿ farżiyyelerinden müştakk istiḳrâr sâbitidir. Bu netîce, muʿâdelede küçük bir bâḳī ḫaṭânın bulunmasının ḥalli murâḳabesiz sûrette uzaklaştırmadığını riyâżî olarak ḥaddeder.

Teorem 7 ayrıca azalmayan bir \(\Delta\) fonksiyonu ve

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

şarṭını istiʿmâl eder. Menbaʿ metninde Teorem 7'nin farżiyyeleri arasında “condition (15)” ʿibâresi de vardır. Banach feżâsı kısmındaki sâbitlerin notasyonu muḫtelif olduğundan bu çapraz mürâcaʿat burada sükûtla yeniden numaralanmamış yahut taṣḥîḥ edilmemiştir.

ʿAdedî usûl

ʿAdedî tecrübeler MATLAB R2023a ile icrâ olunur. Tempered Caputo müştaḳı için L1 taḳrîbi istiʿmâl edilir. Menbaʿ, \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) tahvîlini klasik L1 tefrîḳine taṭbîḳ edip netîceyi \(e^{-w_1\rho_k}\) ile temper eder. Vezinler

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

sûretinde taʿrîf olunur. Kâfî derecede mülâyim \(f\) için menbaʿ, mahallî kesme ḫaṭâsının \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) mertebesinde olduğunu bildirir.

Volterra ve Fredholm integralleri Problem 1'de mürekkeb Simpson ḳāʿidesiyle, \(\ell^1\) Banach feżâsı mesʾelesinde ise trapez ḳāʿidesiyle ḥesâb olunur. Her iterasyonda kesrî müştaḳ, Volterra integrali, Fredholm integrali ve żımnî \(F\) terimi tecdîd olunur; sonra integral düstûrundan yeni ḥall taḳrîbi istihsâl olunur.

Problem 1: scalar mahdûd-aralık misâli

Problem 1'de kesrî mertebe \(w=1/3\), tempering parametresi \(w_1=1\), esâs saha \([0,1]\) ve ʿadedî taḳarrub toleransı \(10^{-6}\) olarak verilir. Şebeke ḥassâsiyyetini taḳdîr etmek için \(N=1600\) ḥalli referans ḥall olarak istiʿmâl olunur.

Tecrübî taḳarrub mertebesi

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

ile ḥesâb olunur. Şebeke inceldikçe referans ḥalle nisbetle ḫaṭâ muntazaman azalır ve rapor edilen son iki ḳademede mertebe taḳrîben 1,44'e vâsıl olur.

Menbaʿda tam taḥlîlî ḥall mevcûd olmadığından iterasyon cedvelindeki “Maximum Error” hakîḳî ḥalle göre ḫaṭâ değildir. Bu miḳdâr

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

olarak, yaʿnî mütevâlî iki sâbit noḳṭa iterasyonunun farḳı olarak taʿrîf olunmuştur. Buna göre rapor edilen ilk altı ḳademede kıymet 0.154327'den 0.000234'e düşmekte, mütevâlî ḫaṭâ nisbeti ise taḳrîben 0.273 mertebesinde kalmaktadır.

Tefsîr ḥaddi:Menbaʿ algoritmada \(10^{-6}\) toleransını zikretmesine rağmen rapor edilen altıncı iterasyondaki farḳ \(2.34\times10^{-4}\)'dür. Bu sebeple cedvel, altı ḳademede bâriz hendesî taḳarrubu ve taḳrîben 0.273 daralma seyrini gösterir; cedvelin kendisi \(10^{-6}\) tevakkuf toleransına altıncı ḳademede vâsıl olunduğunu göstermez.

Menbaʿın Şekil 1'i dört panelden mürekkebdir: şebeke taḳarrubu, bütün ḥall profili, tempered kesrî müştaḳ ve Volterra–Fredholm integral hisseleri. Verianla cihetinden bu şekil, menbaʿ verileri istiʿmâl olunarak özgün grafik tertîbiyle yeniden çizilmeye münâsibdir; menbaʿ şeklinin piksel yahut tasarım sûretini kopyalamağa lüzûm yoktur.

Problem 2: \(\ell^1\) Banach feżâsı misâli

İkinci mesʾele nâmütenâhî buʿudlu \(\ell^1\) dizi feżâsında taʿrîf olunur. Kesrî mertebe yine \(w=1/3\), lâkin tempering parametresi \(w_1=3\)'dür. ʿAdedî ḥesâb nâmütenâhî adedde bileşeni doğrudan işleyemediğinden sistem ilk \(M\) bileşene kadar kesilir.

Menbaʿ, bileşenlerin indeks büyüdükçe sürʿatle azalmasına istinâden \(10^{-6}\) için muḥâfazakâr kesme seviyesinin \(M=1000\) olacağını bildirir. Buna muḳābil cedvellerde ḥesâb ve ʿarż kolaylığı için \(M=5\) istiʿmâl edilmiş; ayrıca \(M=20\) ve \(M=50\) ḥesâblarının önde gelen bileşenler ve \(\ell^1\) normu bakımından tefrîḳ olunamaz netîceler verdiği rapor edilmiştir.

Bu mesʾelede ilk üç bileşen menbaʿda muntazam miḳyâslanmış bir heyʾet gösterir. Meselâ \(\rho=1\)'de \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) ve \(k_3=0.181070\) olarak rapor olunur.

İlk altı iterasyon için mütevâlî ḥall farḳı 0.142567'den 0.000217'ye düşerken rapor olunan daralma nisbeti taḳrîben 0.273 civârında kalır. Problem 2'nin şebeke taḳarrub mertebesi taḳrîben 1.37'dir. Menbaʿ ayrıca \(w_1=3\) tempering'inde kesrî müştaḳın Problem 1'deki \(w_1=1\) hâline nisbetle daha sürʿatli azaldığını bildirir.

PDF'nin 32. ṣaḥîfesindeki Şekil 2; şebeke ḫaṭâsı ve 1.37 meylini, ilk üç ḥall bileşenini, \(k_1\)'in tempered kesrî müştaḳını ve \(\ell^1\) normunun \([0,1]\) boyunca tebeddülünü birlikte gösterir.

İki mesʾele birlikte neyi gösterir?

Menbaʿın ʿadedî misâlleri, şebeke inceldikçe referans ḥalle göre ḫaṭânın azaldığını, sâbit noḳṭa iterasyonlarında benzer taḳrîben 0.273 daralma nisbetlerinin zuhûr ettiğini ve hem scalar hem \(\ell^1\) kurulumunda mülâyim ḥall profilleri elde olunduğunu gösterir. Problem 2'de daha büyük tempering parametresi kesrî müştaḳ hissesinin daha sürʿatli azalmasıyla irtibâṭlandırılır.

Tedḳîḳin teʾyîd ettiği netîce:Taʿyîn olunan mütemâdîlik, Lipschitz, nemâ ve noncompactness şarṭları tahtında bu muʿâdele sınıfı için ḥallin mevcûdiyyeti, muʿayyen scalar şarṭlarda ḥallin yegâneliği ve Ulam–Hyers–Rassias istiḳrârı riyâżî olarak teʾsîs olunabilir. Verilen ḫuṣûṣî misâller alâḳalı kâfî şarṭları sağlar; ʿadedî usûller de münteḫab misâllerde muntazam taḳarrub seyrini gösterir.

Tedḳîḳin teʾyîd etmediği netîce:Tedḳîḳ, bütün żımnî kesrî Volterra–Fredholm mesâʾilinin şarṭsız sûrette yegâne ḥalle mâlik olduğunu göstermez. Riyâżî kâfî şarṭlar ihlâl edildiğinde aynı netîce bi'z-zarûre cârî değildir. ʿAdedî simülasyonlar sâbit noḳṭa teoremlerinin yerine geçen müstaḳil riyâżî bürhân değildir. Ayrıca viscoelastic, biyolojik, neural yahut control sistemlerinde hakîḳî saha performansı bu tedḳîḳde tecrübî olarak taṣdîḳ edilmemiştir.

Menbaʿda dikkat isteyen iki raporlama noḳṭası

Birinci noḳṭa, Teorem 7'nin H7–H12 farżiyyelerine ilâveten “condition (15)” ʿibâresine mürâcaʿat etmesidir. Menbaʿın Banach-feżâsı kısmında ayrı sâbit ve żarîb notasyonu bulunduğundan bu çapraz mürâcaʿat Verianla tarafından sükûtla başka bir muʿâdele numarasına tahvîl edilmemiştir.

İkinci noḳṭa, ʿadedî usûl için \(10^{-6}\) toleransı zikrolunurken menbaʿ cedvellerinin yalnız ilk altı iterasyonu göstermesi ve altıncı ḳademedeki mütevâlî iterasyon farḳlarının hâlâ taḳrîben \(2\times10^{-4}\) mertebesinde olmasıdır. Bu sebeple Verianla beyânı, menbaʿda ayrıca geçen “altı iterasyonda taḳarrub” ʿibâresini \(10^{-6}\) toleransına altı iterasyonda vâsıl olunduğu şeklinde tevsiʿ etmez.

Âtî tedḳîḳ cihetleri

Menbaʿ, âtî tedḳîḳler için daha ḫuṣûṣî ʿadedî algoritmaların inkişâfını, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard yahut Katugampola nevʿinden başka kesrî operatörlere tevsiʿi, optimal control mesâʾilini, muʿayyen fizikî-biyolojik-mühendislik-iḳtiṣâdî modellere taṭbîḳları, stochastic perturbations'ı ve birbirine merbûṭ muʿâdele sistemlerini teklif eder.

Menbaʿ ve Usûl Ḥaḳḳında Ḳayd

Aṣlî tedḳîḳ: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Müʾellifler: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Müʾesseseler: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Mecmûʿa: Mathematics.

Nâşir: MDPI.

Bibliyografik ḳayd: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

İrsâl:4 Ocak 2026.Taʿdîl:24 Ocak 2026.Ḳabûl:26 Ocak 2026.Neşr:29 Ocak 2026.

Menbaʿ nevʿi:Hakemli akademik tedḳîḳ maḳālesi; nazarî riyâżî taḥlîl, yapısal misâller ve ʿadedî simülasyonlar ihtivâ eder.

Ruḫṣat:Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla metni, menbaʿ maḳālenin cümlelerini yahut şekil tasarımını yeniden neşr etmek yerine ilmî vâḳıʿaları, muʿâdeleleri, usûlleri, netîceleri ve taḥdîdleri müstaḳil taʿlîmî bir beyânla yeniden tertîb etmiştir.

Mâlî destek:Tedḳîḳ, King Faisal University bünyesindeki Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research tarafından KFU260481 numaralı hibe ile desteklenmiştir.

Veri erişilebilirliği:Müʾellifler tedḳîḳin aṣlî hisselerinin maḳāle dâhilinde bulunduğunu, ilâve suʾâllerin corresponding author'lara tevcih edilebileceğini beyân eder.

Menâfiʿ teʿârużu:Müʾellifler menâfiʿ teʿârużu bildirmemişlerdir.

Müʾellif hisseleri:Abdulrahman A. Sharif mefhûmlaştırma, metodoloji ve ilk müsvedde tahrîrini; Muath Awadalla murâcaʿa ve taḥrîri deruhde etmiştir. Nazarî murâcaʿa ve formal analysis iki müʾellif tarafından icrâ olunmuştur.

Usûlî ḥadd:Netîceler menbaʿda taʿrîf olunan kâfî riyâżî farżiyyelere tâbiʿdir. ʿAdedî kısım iki ḫuṣûṣî mesʾele üzerinde çalışır ve hakîḳî dünya saha taṣdîḳi değildir. \(\ell^1\) misâlinin ḥesâbı nâmütenâhî buʿudlu feżânın sonlu bileşenlere kesilmesiyle icrâ olunmuştur.

ʿAdedî raporlama ḥaddi:Menbaʿda \(10^{-6}\) iterasyon toleransı zikrolunmasına rağmen neşrolunan altı-ḳademeli cedvellerde son mütevâlî iterasyon farḳları bu eşikten büyüktür. Bu sebeple Verianla, menbaʿda görülen hendesî daralma seyrini nakleder; lâkin altı iterasyonda \(10^{-6}\) toleransına erişildiği netîcesini müstaḳillen istihsâl etmez.

Şeklin yeniden çizimine münâsebet:Münâsibdir. Menbaʿın Tablo 1–7 verilerinden tamâmen yeni Verianla grafik tertîbleri hazırlanabilir. PDF'nin Şekil 1 ve Şekil 2'sinin ilmî mesajı yeniden çizilebilir; aṣlî şekil tertîbini kopyalamağa lüzûm yoktur.

Verianla Live / Live Figure münâsebeti:Kısmen münâsibdir. Sâbit noḳṭa iterasyonundaki ḫaṭâ tenâḳuṣu, şebeke taḳarrubu ve \(\ell^1\) normunun tebeddülü, menbaʿ verileri değiştirilmeden oynat/duraklat/yeniden başlat sûretinde ʿarż olunabilir. Kullanıcıya \(w\), \(w_1\), tolerans yahut diğer ilmî parametreleri değiştirip yeni netîce istihsâl etme kontrolü verilmemelidir.