FO_LE ni programu tanzu ya MATLAB iliyotengenezwa ili kukokotoa vielezo vya Lyapunov vya muda wenye kikomo katika mifumo thabiti ya daraja la kisehemu, iliyolingana (commensurate) na isiyolingana (non-commensurate), iliyoundwa kwa kinyambuliko cha Caputo. Mbinu hii inachukua nafasi ya uwekaji asili (orthogonalization) wa kawaida wa Gram-Schmidt unaopatikana kwenye matumizi ya awali ya FO_Lyapunov na FO_NC_Lyapunov kwa kutumia uwekaji upya wa asili wa (reorthonormalization) unaotegemea QR, huku ikitatua mfumo uliopanuliwa wa kubadilika kwa hali kupitia kiunganishi (integrator) kipya cha utabiri-usahihishaji cha kwadratiki cha LIL. Kipimo sanifu (benchmark) kilicho na suluhisho kamili katika utafiti huu kinaonyesha kuwa mbinu ya LIL_nc inazidi kwa kiasi kikubwa mbinu ya kawaida isiyoharakishwa ya ABM_nc kwa upande wa makosa na muda wa kukokotoa; wakati inapolinganishwa na fde12_nc2 iliyoharakishwa na FFT, inatoa kiwango cha makosa cha ukubwa unaofanana, muda wa ushindani na kiwango cha juu kidogo cha muunganiko (convergence) kinachoonekana, ingawa inabaki nyuma kidogo kwa upande wa makosa kamili (absolute error).

Majaribio kwenye mfumo wa Rabinovich-Fabrikant yanaonyesha kuwa utaratibu huo huo wa FO_LE unaweza kutofautisha kati ya mzunguko wa fujo (chaotic orbit) na mifumo thabiti kwa mpangilio katika vekta tofauti za daraja la kisehemu. Kwa mfano, katika hali inayolingana (commensurate) ya (alpha=0.999), wigo uliokokotolewa ni takriban ((0.1017,;0.0000,;-1.9048)) na ukweli kwamba kielezo kikubwa zaidi cha Lyapunov ni chanya inalingana na tabia ya fujo ya mzunguko uliotathminiwa. Kinyume chake, kwa (alpha=(0.6,0.8,0.7)), vielezo vyote vilivyokokotolewa ni hasi, kuashiria kwamba mzunguko unakaribia usawa thabiti (stable equilibrium).

Kikomo kikuu cha ukalimani: Vielezo vya Lyapunov vilivyopatikana katika utafiti sio wigo kamili wa ki-asymptoti katika kikomo cha kinadharia cha (tightarrowinfty), bali ni makadirio ya ndani ya muda wenye kikomo yaliyokokotolewa kando ya mizunguko ya namba inayotokana na masharti maalum ya awali. Pia, (h), (h_{mathrm{norm}}), muda wa mwisho (T), na vekta ya daraja la kisehemu inaweza kuathiri uaminifu wa namba za matokeo.

Kwa nini kielezo cha Lyapunov ni kigumu zaidi kukokotoa katika mifumo ya daraja la kisehemu?

Katika mifumo thabiti ya kiwango cha asili, inawezekana kuchunguza kwa idadi kiasi gani cha kasi ya mizunguko miwili iliyo karibu sana na hali ya awali inavyotengana au kukaribiana baada ya muda kupitia vielezo vya Lyapunov. Kielezo kikubwa zaidi cha Lyapunov ambacho ni chanya huonyesha hali ambapo tofauti ndogo za awali hukua kielelezo kwa wastani na kuna utegemezi nyeti wa hali ya awali.

Katika mifumo ya daraja la kisehemu, mkokotoo ni mgumu zaidi; kwa sababu kinyambuliko cha Caputo kinabeba historia ya mfumo kupitia kiini cha muunganiko (integral kernel). Katika utafiti, kinyambuliko cha Caputo kwa msingi wa vipengele vya (0<alpha_i<1)

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t) = frac{1}{Gamma(1-alpha_i)} int_0^t frac{x'_i(au)} {(t-au)^{alpha_i}} ,dau \]

kinafafanuliwa kama hivyo. Hapa, muunganiko hujumuisha historia yote kuanzia (0) hadi wakati wa sasa. Kwa hivyo, haitoshi kwa algoriti ya namba kufanya kazi na "hali ya sasa" pekee; mfumo wa kumbukumbu ya kisehemu (fractional memory) lazima uhifadhiwe.

Inamaanisha nini kusema Commensurate (inayolingana) na Non-commensurate (isiyolingana)?

Utafiti

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), qquad i=1,ldots,n_e \]

unashughulikia mfumo wa Caputo wa vipengele vingi katika muundo wa. Ikiwa

\[ alpha_1=alpha_2=cdots=alpha_{n_e}=alpha \]

basi mfumo huchukuliwa kuwa inayolingana (commensurate); ikiwa angalau vipengele viwili vina daraja tofauti huchukuliwa kama isiyolingana (non-commensurate). Mojawapo ya mambo muhimu ya FO_LE ni kwamba inasaidia madarasa yote mawili ndani ya mfumo sawa wa ukokotoaji na wala si kwa algoriti tofauti za msingi.

Mfumo wa mabadiliko una umuhimu gani?

Ili kukokotoa kielezo cha Lyapunov, haitoshi kujua tu mzunguko wa rejeleo. Ni muhimu pia kufuatilia jinsi usumbufu (perturbations) mdogo karibu na mzunguko huu unavyokua. Kwa hili, tumbo la usumbufu (perturbation matrix) la (Phi(t)) linatumika:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}phi_{ij}(t) = sum_{k=1}^{n_e} frac{partial f_i} {partial x_k} (t,x(t)) phi_{kj}(t), \]

na sharti la awali linachukuliwa kama

\[ Phi(0)=I_{n_e} ].

Hivyo, mlinganyo wa asili wa (n_e) na mlinganyo wa mabadiliko wa (n_e^2) hutatuliwa pamoja. Mfumo uliopanuliwa una jumla ya

[ n_e+n_e^2 \]

milinganyo.

Kwa nini QR inatumika badala ya Gram-Schmidt?

Katika programu tanzu za awali za FO_Lyapunov, vekta za usumbufu ziliwekwa katika asili (orthogonalized) kwa kutumia mchakato wa kawaida wa Gram-Schmidt. Matumizi mapya ya FO_LE badala yake hutumia mtengano wa

[ A=QR ]

. Hapa (Q) hubeba msingi mpya wa usumbufu wa orthonormal, huku tumbo la juu la pembetatu la (R) likibeba maelezo ya upanuzi wa ndani katika kipindi hicho cha muunganiko.

Katika mbinu hii, baada ya ishara za diagonal za (R) kuwekwa sawa,

\[ z_k=|R_{kk}| \]

inachukuliwa na ukuaji wa mrundikano

\[ s_kleftarrow s_k+log z_k \]

unasasishwa.

Mbinu ya utabiri-usahihishaji ya LIL

Mabadiliko ya pili muhimu ya FO_LE ni kiunganishi (integrator). Utafiti huu unatumia mpangilio wa utabiri-usahihishaji wa kwadratiki wa Kuingiza Lagrange katika Hatua ya Mwisho (Lagrange Interpolation at the Last step) (LIL) badala ya vitatuzi vya awali vya ABM.

Hatua ya utabiri inafafanuliwa na

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ frac{h^alpha}{Gamma(alpha+1)} sum_{k=0}^{n} b^{(alpha)}_{n-k}f_k \]

na uzani wa

\[ b_j^{(alpha)} = (j+1)^alpha-j^alpha ].

Kisha, msahihishaji thabiti (implicit corrector) hutumia pamoja viwango vya utendakazi vilivyopita na kipengele cha (f(t_{n+1},y_{n+1})) katika pointi mpya. Katika mifumo isiyolingana (non-commensurate), fomula hii inatumika kwa msingi wa vijenzi na uzani unaolingana na daraja lao la (alpha_i) hutumika kwa kila mlinganyo.

Kipimo sanifu cha suluhisho kamili kinaonyesha nini?

Ili kujaribu mbinu ya namba, utafiti unatumia mfumo wa pande mbili usiyolingana (non-commensurate) wenye daraja la (alpha_1=0.9) na (alpha_2=0.8):

[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = -2x_2+ left(x_1-x_{1,e}(t)ight)^2. \]

Sharti la awali ni (x_1(0)=x_2(0)=1). Kwa kuwa suluhisho kamili linajulikana kwa njia ya kazi za Mittag-Leffler, makosa ya kila kitatuzi yanaweza kukokotolewa moja kwa moja:

\[ x_e(t)= egin{bmatrix} E_{alpha_1}(-t^{alpha_1})\ E_{alpha_2}(-2t^{alpha_2}) end{bmatrix}. \]

Kipimo cha makosa ni kikawaida kikuu tofauti (discrete maximum norm) kwenye vifundo vyote vya wakati:

\[ E(h)= max_n |x_n-x(t_n)|_infty. \]

Tokeo la kushangaza zaidi la kipimo sanifu: gharama ya ABM ya kawaida

Kwa wavu (mesh) mwembamba zaidi wa (h=0.000625), jedwali la chanzo linatoa maadili haya:

• LIL_nc: makosa (1.77imes10^{-6}), muda wa CPU sekunde 0.05995, daraja inayoonekana 1.60.
• fde12_nc2: makosa (1.71imes10^{-6}), muda wa CPU sekunde 0.03252, daraja inayoonekana 1.57.
• ABM_nc: makosa (6.52imes10^{-4}), muda wa CPU sekunde 6.16438, daraja inayoonekana 0.80.

Katika hatua hii, fde12_nc2 inatoa matokeo mazuri zaidi kidogo kuliko LIL_nc kwa upande wa makosa kamili na muda wa kukimbia. Kwa hivyo, chanzo hakiungi mkono hitimisho kwamba LIL_nc "inashinda" kikamilifu fde12_nc2 iliyoboreshwa ya FFT. Tafsiri makini zaidi inayoungwa mkono na utafiti ni kwamba LIL_nc inashindana katika kiwango kile kile cha makosa na inaonyesha daraja la juu kidogo la muunganiko (convergence).

Machafuko (Chaos) na uthabiti (stability) kupitia mfumo wa Rabinovich-Fabrikant

Kisha FO_LE inajaribiwa kwenye mfumo wa kisehemu wa mabadiliko matatu wa Rabinovich-Fabrikant:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

na katika utafiti, (a=-1), (b=-0.1) zimechaguliwa.

Vituo vya usawa vimetolewa kama

\[ E_0=(0,0,0) \]

pamoja na makadirio ya

\[ E_pm=(pm0.1479,;pm0.6759,;1.1969) ].

Mipangilio mitatu ya daraja la kisehemu, mwonekano wa kiidadi tofauti tatu

Kwa nini mfano wa tatu hauitwi "wa vipindi" (periodic)?

Kwa kisa cha (alpha=(0.85,0.965,0.999)), chanzo kinasisitiza hasa kwamba mzunguko unaweza kuonekana kimaono kama wenye vipindi. Hata hivyo, kutokana na matokeo ya kinadharia kwamba hakuna masuluhisho kamili ya vipindi ambayo sio thabiti katika mifumo inayoendeshwa pekee ya daraja la kisehemu (autonomous fractional-order systems) iliyoundwa kwa kinyambuliko cha Caputo, utafiti unadhibiti tabia hii kama "inaonekana" (apparently) au "inayojirudia kiidadi" (numerically periodic).

Tofauti hii ni muhimu kisayansi: kuonekana kwa grafu ya awamu (phase graph) kama mkunjo uliofungwa pekee sio ushahidi tosha wa mzunguko kamili wa kimahesabu.

Kwa nini hnorm ni muhimu sana?

Wakati hatua ya muunganiko ya h inabainisha mwonekano wa wakati wa kitatuzi cha LIL_nc, hnorm inabainisha ni baada ya vipindi vingapi vya wakati ambapo tumbo la usumbufu (perturbation matrix) litawekwa upya kuwa orthonormal kupitia QR.

Kulingana na utafiti, ikiwa hnorm imechaguliwa kuwa kubwa sana, vekta za usumbufu zinaweza kukaribiana mno kabla ya operesheni ya QR na hivyo kuharibu hali ya kiidadi (numerical conditioning). Ikiwa imechaguliwa kuwa ndogo sana, uwekaji upya wa orthonormal unafanywa mara kwa mara mno na taarifa za upanuzi za muda wenye kikomo zinaweza kuwa zisizo na maana sana.

Chanzo hakitoi fomula ya kiulimwengu inayofaa kwa usawa (optimal) ya hnorm. Katika majaribio yaliyofanywa, imeelezwa kuwa thamani ya takriban (h_{mathrm{norm}}=0.2) kwa (h=0.01) inatoa usawa unaofaa kati ya uthabiti, ufanano, na gharama ya mkokotoo kwa upande wa mifano iliyotumika.

Hitimisho linaloungwa mkono na utafiti

• Kwamba FO_LE inatoa mfumo mmoja wa pamoja wa kukokotoa kielezo cha Lyapunov kwa mifumo ya Caputo inayolingana (commensurate) na isiyolingana (non-commensurate).
• Kwamba inatumia uwekaji upya wa orthonormal (reorthonormalization) unaotegemea QR badala ya ule wa kawaida wa Gram-Schmidt.
• Kwamba inajumuisha mfumo uliopanuliwa wa mabadiliko ya hali (extended state-variational system) na mbinu ya utabiri-usahihishaji ya LIL/LIL_nc.
• Kwamba LIL_nc inatoa makosa ya chini zaidi na muda mfupi wa kufanya kazi ikilinganishwa na ABM_nc ya kawaida katika kipimo sanifu cha suluhisho kamili.
• Kwamba LIL_nc inashindana katika kiwango kile kile cha ukubwa wa makosa dhidi ya fde12_nc2 iliyoharakishwa na FFT na inatoa daraja la juu kidogo la muunganiko (convergence) linaloonekana katika jaribio hili.
• Kwamba wigo tofauti wa Lyapunov wa muda wenye kikomo unaweza kukokotolewa dhidi ya miundo tofauti ya awali/madaraja katika mifano ya Rabinovich-Fabrikant.
• Kwamba hatua za QR zinazorudiwa zimeundwa kuhifadhi kanuni ya kumbukumbu ya kisehemu (fractional memory) ndani ya mfumo wa mkakati wa kusukuma (impulsive formulation) uliopitishwa na utafiti.

Hitimisho ambalo haliungwi mkono au halikuthibitishwa na utafiti

• Haikuthibitisha kwamba kila wigo wa Lyapunov uliokokotolewa kwa FO_LE ni sawa haswa na wigo kamili wa ki-asymptoti wa (tightarrowinfty).
• Haitamki kwamba LE chanya ya kiidadi pekee ni ushahidi kamili wa machafuko (chaos) ukiwa hautegemei vigezo vilivyochaguliwa vibaya vya utatuzi.
• Haionyeshi kwamba LIL_nc ni sahihi zaidi au ya haraka zaidi kuliko fde12_nc2 katika matatizo yote ya mlinganyo tofauti wa kisehemu (fractional differential equation).
• Haitoi thamani ya (h_{mathrm{norm}}=0.2) kama thamani nzuri inayofaa ulimwenguni kwa mifumo yote.
• Haikubali kiotomatiki mzunguko wa awamu unaoonekana umefungwa kiidadi kama suluhisho kamili la vipindi (periodic solution).
• Haionyeshi kwamba familia moja ya mifano ya Rabinovich-Fabrikant katika utafiti inawakilisha mifumo yote ya machafuko ya kisehemu.

Eneo la matumizi ya kisayansi kwa upande wa Uturuki

Utafiti haujumuishi data au matumizi mahususi kwa Uturuki. Hata hivyo, kutokana na mtazamo wa vikundi vya kitaaluma vinavyofanya tafiti zinazotegemea MATLAB kuhusu mifumo thabiti isiyo ya mstari (nonlinear dynamical systems), udhibiti, umeme na umeme, mifumo ya kimekanika au kalkulasi ya kisehemu (fractional calculus), muundo wazi wa algoriti wa FO_LE unaweza kutathminiwa hasa kwa upande wa uzalishaji upya (reproducibility). Muda wa CPU, uchaguzi wa uvumilivu na tabia ya muda mrefu lazima zithibitishwe tofauti katika maunzi (hardware) na matoleo tofauti ya MATLAB nchini Uturuki; uhamishaji wa moja kwa moja wa thamani za kasi zilizoripotiwa kwenye chanzo kwenda kwenye mifumo ya ndani haungekuwa sahihi kisayansi.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Tatizo la kimahesabu

Tatizo kuu la thamani ya awali la utafiti liko katika mfumo wa

[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), quad x(0)=x_0, quad 0<alpha_i<1 \]

. Ili kukokotoa Lyapunov, mfumo wa mabadiliko unaotegemea Jacobian hutatuliwa pamoja na mzunguko wa rejeleo.

Mtiririko wa kazi wa Benettin-QR

1. Tumbo la usumbufu la awali (initial perturbation matrix) linawekwa kama (I_{n_e}).
2. Mfumo asili unaunganishwa na mfumo wa mabadiliko.
3. Mfumo uliopanuliwa unaunganishwa na LIL_nc katika kipindi cha muda cha urefu wa (h_{mathrm{norm}}).
4. Kikosi cha mabadiliko (Variation block) kinatolewa kama tumbo la (Phi).
5. Mtengano wa (Phi=QR) unafanywa.
6. (z_k=|R_{kk}|) inakokotolewa kutokana na thamani za diagonal za (R).
7. Ukuaji unarundikwa kwa (s_kleftarrow s_k+log z_k).
8. Vielezo vya Lyapunov vya muda wenye kikomo vinasasishwa kupitia (lambda_k=s_k/(t-t_{mathrm{start}})).
9. Tumbo la Q linarejeshwa kwenye hali iliyopanuliwa kama msingi mpya wa usumbufu.
10. Mchakato unarudiwa hadi muda wa mwisho ufikiwe.

Kipimo sanifu kamili chenye suluhisho kamili

Jedwali linaonyesha kwamba LIL_nc inaonyesha daraja la muunganiko thabiti sana la kimajaribio (experimental convergence order) la takriban 1.60-1.62 katika kipindi chote cha kuboresha wavu. Wakati fde12_nc2 ikizalisha makosa kamili madogo zaidi kidogo katika nyavu zote zilizochunguzwa, ABM_nc ina daraja la chini zaidi la muunganiko na gharama kubwa zaidi ya CPU hasa katika nyavu nyembamba.

Mfano wa RF 1 — mfumo wa fujo (chaotic) unaolingana (commensurate)

\[ alpha_1=alpha_2=alpha_3=0.999 \]

na kwa pointi ya awali ya ((0.1,0.1,0.1)), chanzo kinaonyesha mzunguko wa fujo na kinaripoti matokeo ya takriban

[ LE=(0.1017,;0.0000,;-1.9048) ]

. Ukweli wa kwamba kielezo kikubwa zaidi ni chanya inalingana na tabia ya fujo ya mzunguko huu uliokokotolewa.

Mfano wa RF 2 — usawa thabiti usiyolingana (non-commensurate)

[ alpha=(0.6,0.8,0.7) ]

kutokana na asili za kawaida, (M=10) na

\[ gamma=frac1{10} \]

zinapatikana. Katika mkokotoo wa chanzo wa uthabiti wa jumla (generalized stability), kihoja kamili cha chini kabisa cha mizizi 21 ni (12.223^circ), huku pembe muhimu ikiwa ni (9^circ). Kwa sababu hiyo, vituo husika vya usawa vya (E_pm) vinakidhi sharti la uthabiti wa ki-asymptoti wa ndani.

Tokeo la FO_LE:

[ LE=(-0.0894,;-0.1025,;-2.9471). ]

Mfano wa RF 3 — tatizo la sifa za jumla la daraja la juu

[ alpha=(0.85,0.965,0.999) ]

basi (M=1000) na mlinganyo wa sifa wa jumla (generalized characteristic equation) unapanuka hadi poli-nomial (polynomial) ya daraja la 2814. Pembe muhimu inatolewa takriban kama

\[ heta^ast=frac{pi}{2000}approx0.09^circ \]

. Katika utafiti, kihoja (argument) kidogo zaidi kwa mizizi yote 2814 kimepatikana kuwa takriban (0.0920^circ) na inabainishwa kuwa sharti la uthabiti limekamilika.

Wigo uliokokotolewa:

[ LE=(-0.0007,;-0.1303,;-1.4903). ]

Vigezo muhimu vya kiidadi

Katika majaribio ya chanzo chenyewe, (h_{mathrm{norm}}approx0.2) ilitoa usawa ufaao wa kivitendo kwa (h=0.01); katika mkokotoo wa muda mrefu, upeo wa (Tin[1000,1500]) ulipatikana kuwa unafaa kwa mifano ya RF iliyotumika. Hivi si viwango vya kudumu ulimwenguni, bali ni chaguzi za kimajaribio (empirical) za matatizo yaliyochunguzwa.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa kamili asili katika chanzo kilichopakiwa: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Mwandishi: Marius-F. Danca.

Taasisi: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Mchango sawa/mwandishi wa kwanza kwa ushirikiano: Haitumiki; utafiti una mwandishi mmoja tu.

Mwandishi msimamizi: Barua pepe ya mawasiliano ya mwandishi pekee, Marius-F. Danca, imetolewa katika utafiti uliopakiwa.

Toleo lililopakiwa: arXiv:2604.09334v1, 10 Aprili 2026.

Aina ya toleo lililopakiwa: Preprint / toleo la awali la makala.

Hali ya uchapishaji ya sasa: Baada ya toleo la arXiv kupakiwa, utafiti ulichapishwa kwa mapitio ya wataalam (peer-reviewed) katika International Journal of Bifurcation and Chaos. Kwa hivyo, ingawa PDF iliyopakiwa yenyewe ni preprint, utafiti huo haupo tena kwenye hadhi ya preprint pekee.

Kichwa cha toleo lililochapishwa: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Matumizi ya herufi kubwa/ndogo na tahajia ya "Fractional-Order" kwenye kichwa ni muundo uliopo kwenye rekodi ya bibiliografia iliyochapishwa; kichwa asili cha PDF iliyopakiwa hakijabadilishwa kimya kimya.

Jarida: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Mchapishaji: World Scientific Publishing Company.

Gombo / toleo / nambari ya makala: Volume 36, Issue 12, 2650172.

DOI ya uchapishaji wenye mapitio ya wataalam: 10.1142/S0218127426501725.

DOI ya arXiv: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Mwaka wa kuchapishwa: 2026.

Tofauti ya toleo la bibiliografia: Chanzo kilichopakiwa ni toleo la arXiv v1 la tarehe 10 Aprili 2026. Rekodi za sasa za bibiliografia zinaonyesha kuwa utafiti ulikubaliwa baadaye na kuchapishwa kama toleo la jarida lenye mapitio ya wataalam mnamo Julai 2026. Mbinu za kisayansi, fomula, vipimo sanifu na matokeo ya kiidadi katika makala yametolewa kutoka kwa toleo la chanzo lililopakiwa; taarifa za sasa za jarida zimeongezwa kwa madhumuni ya uthibitishaji wa bibiliografia pekee.

Ufadhili: Hakuna tamko tofauti la ufadhili lililogunduliwa katika maandishi yaliyochunguzwa ya utafiti uliopakiwa.

Mwingiliano wa maslahi: Hakuna tamko tofauti la mwingiliano wa maslahi lililogunduliwa kwenye toleo lililopakiwa.

Michango ya CRediT/waandishi: Hakuna tamko tofauti la CRediT linalopatikana katika toleo lililopakiwa ambalo lina mwandishi mmoja pekee.

Ufikiaji wa kodi: Utafiti unatoa kodi ya MATLAB ya LIL na FO_LE katika viambatisho; imeelezwa kuwa toleo la haraka la LIL_nc linapatikana kupitia Ubadilishanaji wa Faili Kuu wa MATLAB (MATLAB Central File Exchange). Rekodi ya MATLAB Central ilitengenezwa pia kwa ajili ya FO_LE baadaye.

Mbinu ya matumizi ya taswira: Michoro ya SVG katika makala hii ya Verianla sio nakala halisi za vielelezo kutoka kwenye makala chanzo. Imechorwa upya kiasili kwa ajili ya Verianla kwa kutegemea fomula, maelezo ya mbinu, na thamani za kiidadi zilizoripotiwa waziwazi. Katika michoro ya SVG ya kiidadi inayotokana na Jedwali 1 la chanzo, data iliyotolewa kwenye chanzo pekee ndiyo iliyotumika.

Kikomo kikuu cha ukalimani: Vielezo vya Lyapunov vilivyokokotolewa ni makadirio ya kiidadi ya muda wenye kikomo yanayotolewa chini ya sharti maalum la awali, muda uliopangwa, hatua ya muunganiko, na kipindi cha uwekaji upya wa orthonormal. Utafiti wenyewe unasisitiza kuwa hizi hazipaswi kuchukuliwa kuwa sawa kabisa na wigo wa ki-asymptoti wa kinadharia.